15随机事件的独立性
1-5 随机事件的独立性
因此 A，B，C 不相互独立.
例4 同时抛掷一对骰子,共抛两次,求两次所得点 数分别为7与11的概率. 解 设事件 Ai 为“第 i 次得7点” i = 1,2.
设事件 Bi 为“第 i 次得11点” i = 1,2.
事件 A 为两次所得点数分别为 7 与 11. 则有 P ( A) = P ( A1 B2 U B1 A2 ) = P ( A1 B2 ) + P ( B1 A2 )
它表示 A 的发生并不影响 B 发生的可能性大小 .
⇔
P ( B A) = P ( B )
P ( AB ) = P ( A) P ( B )
2.定义
设 A, B 是两事件 , 如果满足等式 P ( AB ) = P ( A) P ( B ) 则称事件 A, B 相互独立 , 简称 A, B 独立.
定义 设 A, B , C 是三个事件 , 如果满足等式 ⎧ P ( AB ) = P ( A) P ( B ), ⎪ P ( BC ) = P ( B ) P (C ), ⎪ ⎨ ⎪ P ( AC ) = P ( A) P (C ), ⎪ P ( ABC ) = P ( A) P ( B ) P (C ), ⎩ 则称事件 A, B , C 相互独立 .
A
由此可见两事件相互独立，但两事件不互斥.
1 1 若 P ( A) = , P ( B ) = 2 2 则 P ( AB ) = 0, 1 P ( A) P ( B ) = , 4 故 P ( AB ) ≠ P ( A) P ( B ) .
B A
由此可见两事件互斥但不独立.
3. 三事件两两相互独立的概念
“甲乙甲甲”, “乙甲甲甲”, “甲甲乙甲”; 由于这三种情况互不相 容 , 于是由独立性得 :
随机事件的独立性与互斥性知识点
随机事件的独立性与互斥性知识点随机事件是指在一定的条件下，可能发生也可能不发生的事件。
在概率论中，研究随机事件之间的关系非常重要，其中独立性与互斥性是两个基本概念。
本文将介绍随机事件的独立性与互斥性的定义、性质以及在实际问题中的应用。
一、独立事件的定义与性质独立事件是指两个或多个事件发生的结果不会相互影响的事件。
具体来说，如果事件 A 和事件 B 是独立事件，那么事件 A 的发生与否不会对事件 B 的发生产生影响，反之亦然。
独立事件的性质如下：1. 乘法公式：对于两个独立事件 A 和 B，它们同时发生的概率等于它们分别发生的概率之积，即P(A∩B) = P(A) × P(B)。
2. 加法公式：对于两个独立事件 A 和 B，它们至少有一个发生的概率等于它们分别发生的概率之和减去它们同时发生的概率，即P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)。
独立事件的性质保证了事件之间的独立性，使得我们可以通过简单的计算得到复杂事件的概率。
二、互斥事件的定义与性质互斥事件是指两个事件不可能同时发生的事件。
具体来说，如果事件 A 和事件 B 是互斥事件，那么事件 A 的发生就排除了事件 B 的发生，反之亦然。
互斥事件的性质如下：1. 加法公式：对于两个互斥事件 A 和 B，它们至少有一个发生的概率等于它们分别发生的概率之和，即 P(A∪B) = P(A) + P(B)。
互斥事件的性质使得我们可以通过计算事件的发生概率，确定事件之间的关系，从而进行合理的判断和决策。
三、独立事件与互斥事件的区别与联系独立事件和互斥事件都是描述随机事件之间关系的概念，但它们的定义和性质有所不同。
1. 独立事件是指两个或多个事件的发生结果不会相互影响，而互斥事件是指两个事件不可能同时发生。
2. 独立事件的加法公式和乘法公式可以用于计算独立事件的概率，而互斥事件只需要使用加法公式就可以计算。
独立事件和互斥事件在实际问题中有着广泛的应用。
事件的相互独立性、条件概率与全概率公式-高考数学复习
）
A. 甲与丙相互独立
B. 甲与丁相互独立
C. 乙与丙相互独立
D. 丙与丁相互独立
目录
解析：
1
事件甲发生的概率 P （甲）＝ ，事件乙发生的概率 P
6
1
5
5
（乙）＝ ，事件丙发生的概率 P （丙）＝
＝ ，事件丁发生的概
6
6×6
36
6
1
率 P （丁）＝
＝ .事件甲与事件丙同时发生的概率为0， P （甲
）＝（1－0.6）×0.5×0.5×0.4＋0.6×（1－0.5）×0.5×0.4＋
0.6×0.5×（1－0.5）×0.4＋0.6×0.5×0.5×（1－0.4）＝0.25，4人需
使用设备的概率 P 2＝0.6×0.5×0.5×0.4＝0.06，故所求的概率 P ＝
3
2
3
5
（ ）·P （ ）·P （ ）＝（1－ ）（1－ ）（1－ ）＝ .
4
3
8
96
因为事件“甲、乙、丙三人都回答错误”与事件“甲、乙、丙
三人中，至少有一人答对这道题”是对立事件，
5
91
所以所求事件的概率为 P （ M ）＝1－ ＝ .
96
96
目录
解题技法
1. 求相互独立事件同时发生的概率的步骤
2∪…∪ An ＝Ω，且 P （ Ai ）＞0， i ＝1，2，…， n ，则对任意的事
件 B ⊆Ω，有 P （ B ）＝
∑ P （ Ai ） P （ B ｜ Ai ）
i=1
，我们称上面
的公式为全概率公式.
目录
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
判断随机事件独立性的方法
判断随机事件独立性的方法随机事件独立性是概率论与数理统计中的一个重要概念。
判断随机事件是否独立对于许多实际问题的解决具有重要意义。
本文将介绍判断随机事件独立性的方法及其应用。
1. 什么是随机事件独立性在概率论中，独立性是指两个或多个事件的发生不受彼此影响的性质。
具体来说，如果事件A的发生与事件B的发生没有任何关联，即事件A的发生概率与事件B的发生概率的乘积等于事件A与B同时发生的概率，那么事件A和事件B就是独立的。
数学上，可以用以下条件来判断两个事件A和B是否独立： - P(A ∩ B) = P(A) * P(B)，即事件A与事件B同时发生的概率等于事件A的发生概率乘以事件B的发生概率。
2. 判断随机事件独立性的方法2.1. 基于条件概率的方法基于条件概率的方法是判断随机事件独立性的常用方法之一。
根据条件概率的定义，可以使用以下条件来判断两个事件A和B是否独立： - P(A|B) = P(A)，即事件A在事件B发生的条件下的概率等于事件A的概率。
如果满足以上条件，那么可以认为事件A和事件B是独立的。
否则，事件A 和事件B不满足独立性条件。
2.2. 基于频率统计的方法基于频率统计的方法是另一种常用的判断随机事件独立性的方法。
该方法基于大数定律，通过实际观察和统计事件发生的频率来判断事件之间是否独立。
具体操作时，可以进行一系列独立的实验，统计事件A和事件B同时发生的次数。
如果事件A和事件B的同时发生次数与事件A的发生次数乘以事件B的发生次数之积接近，那么可以认为事件A和事件B是独立的。
否则，事件A和事件B不满足独立性条件。
2.3. 基于协方差的方法基于协方差的方法是另一种常用的判断随机事件独立性的方法。
协方差是衡量两个随机变量之间关联程度的指标，可以通过计算事件A和事件B的协方差来判断它们是否独立。
具体操作时，可以通过以下条件来判断事件A和事件B是否独立： - 协方差(A, B) = 0，即事件A和事件B的协方差为0。
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符号
记作：AB
生，记作：A∪B(或 A＋B)
计算 公式 P(AB)＝P(A)P(B)
P(A∪B)＝P(A)＋P(B)
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2．n 个事件相互独立 对于 n 个事件 A1，A2，…，An，如果其中_任一个事件 _________发生的概 率不受其他事件是否发生的影响，则称 n 个事件 A1，A2，…，An 相 互独立． 3．独立事件的概率公式 (1)若事件 A，B 相互独立，则 P(AB)＝P(A)P(B)． (2) 若 事 件 A1 ， A2 ， … ， An 相 互 独 立 ， 则 P(A1A2…An) ＝ P(A1)·P(A2)…P(An)．
(3)恰有两人合格的概率： P2＝P(AB C )＋P(A B C)＋P( A BC) ＝25×34×23＋25×14×13＋35×34×13＝2630. 恰有一人合格的概率： P1＝1－P0－P2－P3＝1－110－2630－110＝2650＝152. 综合(1)(2)可知 P1 最大． 所以出现恰有一人合格的概率最大．
相互独立事件的判断 【例 1】 判断下列各对事件是否是相互独立事件． (1)甲组 3 名男生，2 名女生；乙组 2 名男生，3 名女生，现从甲、 乙两组中各选 1 名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出 1 名男生” 与“从乙组中选出 1 名女生”； (2)容器内盛有 5 个白乒乓球和 3 个黄乒乓球，“从 8 个球中任 意取出 1 个，取出的是白球”与“从剩下的 7 个球中任意取出 1 个， 取出的还是白球”； (3)掷一颗骰子一次，“出现偶数点”与“出现 3 点或 6 点”．
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6.事件的独立性与随机变量的独立性 作者：阿曼古.卡地尔 指导老师：买买提明
编号学士学位论文事件的独立性与随机变量的独立性学生姓名：阿曼古·卡地尔学号：***********系部：数学系专业：数学与应用数学年级：2006-3班指导教师：买买提依明·热扎克完成日期：2011 年 5 月10 日中文摘要事件的独立性和随机变量的独立性是概率论中的最重要的概念之一.本论文主要讨论事件的独立性和独立事件的性质,随机变量的独立性,研究两种最常见的随机变量类型---离散型随机变量和连续型随机变量的独立性.关键词：独立事件；概率；随机变量目录中文摘要 (1)引言 (3)1. 事件的独立性 (3)1.1两个事件的独立性 (3)1.2三个事件的独立性 (7)1.3多个事件的独立性 (9)2.随机变量的独立性 (12)2.1离散型随机变量的独立性 (14)2.2连续型随机变量的独立性 (15)总结 (20)参考文献 (21)致谢 (22)23引言对于事件的独立性，即有直观的描述，又有严格的数学定义,它们在不同的场合各有用处, 独立性是概率论中的特有的概念.它的引进大大推动了概率的发展，概率论中许多重要的结论是独立性的假定下获得的.随机变量的独立性事实上是以事件的独立性为基础的概念.1. 事件的独立性在已知事件A 发生的条件下，B 发生的可能性为条件概率 ()(|)()P AB P B A P A =并且由此可以得到一般的概率乘法公式 ()()(|)P AB P A P B A =现在可以提出一个问题，如果事件B 发生与否不受事件A 是否发生的影响，那么会出现什么样的情况呢？为此，需要把“事件B 发生与否不受事件A 是否发生的影响”这句话表达成数学的语言.事实上，事件B 发生与否不受事件A 的影响，也就是意味着有 ()(|)P B P B A =这时乘法公式就有了更自然的形式 ()()()P AB P A P B =⋅ 由此启示我们引入下述定义.1.1两个事件的独立性定义1 对任意的两个事件A ，B ，若()()()P AB P A P B =成立，则称事件A ，B 是相互独立的，简称为独立的. 例1：分别掷两枚均匀的硬币，令{A=硬币甲出现正面}{B=硬币乙出现正面}验证事件A,B是相互独立的证明：这是样本空间{Ω=(正，正)，（正，反），（反，正），（反，反）}共含有4个基本事件，它们是等可能的，各有概率1/4，而{A=（正，正），（正，反）}{B=（正，正），（反，正）}{AB=（正，正）}由此知1()()2P A=P B=这是有1()()()4P AB==P A P B成立，所以A,B是相互独立的例2：一个家庭中有若干个小孩,假定生男孩和女孩是等可能的,令A= { 一个家庭中既有男孩又有女孩 }B= { 一个家庭中最多有一个女孩 }对下述两种情形,讨论A与B的独立性:(1)家庭中有两个小孩;(2)家庭中有三个小孩;解：(1)有两个小孩的家庭,这是样本空间为Ω={(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)},它有4个基本事件,由等可能性知概率各为14,这时A={(男,女),(女,男)}45B ={(男,男),(男,女),(女,男)}AB ={(男,女),(女,男)}于是1()2P A =,3()4P B =,1()2P AB = 由此可知()()()P AB P A P B ≠所以事件A ,B 不相互独立. (2)有三个小孩的家庭,样本空间为Ω={(男,男,男),(男,男,女),(男,女,男),(女,男,男), (男,女,女),(女,男,女),(女,女,男),(女,女,女)}由等可能性知这8个基本事件的概率均为18,这时A 中含有6基本事件,B 中含有4基本事件, AB 中含有3基本事件,于是63()84P A == , 41()82p B == , 3()8p AB = 显然有3()8p AB =()()P A P B = 成立,从而事件A 与B 是相互独立的.定理1 若果事件A 与B 相互独立，则A 与__B ，__A 与B ，__A 与__B 也相互 立.证明： 事件A 与 B 相互独立 ∴()()()P AB P A P B =6[]____(1)()()()()()()()()()1()()()P A B P A B P A AB A AB P A P AB P A P A P B P A P B P A P B =-=-⊃-=-=-=因此A 与__B 相互独立.(2)()()1()P AB P AB P AB ==-1()()()1()()()()[1()][1()]()()P A P B P AB P A P B P A P B P A P B P A P B =--+=--+=--=(3)()()()P AB P B A P B AB =-=-B AB ⊃()()P B P AB -()()()()[1()]()()()()P B P B P A P B P A P B P A P A P B =-=-==因此A 与B ，A 与B 也是相互独立. 命题 不可能事件与任意A 事件是相互独立. 证明 设φ是不可能事件()()()0()()P A P P A P A P φφφ==⋅=A ∴与φ是相互独立.命题 必然事件与任意A 事件是相互独立. 证明 设Ω是必然事件7()()()1()()P A P P A P A P Ω=A =⋅=⋅ΩA ∴与Ω是相互独立.例3： 甲，乙两个人分别猜一个谜，猜对的概率分别是0.7，0.6，求下列事件的概率.（1）“两个都猜对” （2）“两个人都猜错” （3）“恰有一个人猜对” （4）“至少有一个人猜对” 解：设A =“甲猜对” ， B =“乙猜对” 两个人分别猜谜 A ∴与B 是相互独立()0.7P A =， ()0.6P B = ⇒ ()0.3P A =，()0.4P B =(1)()()()0.70.60.42(2)()()()0.30.40.12P P AB P A P B P P AB P A P B ===⨯====⨯=(3)()()()P P ABAB P AB P AB ==+()()()()0.70.40.30.60.46P A P B P A P B =+=⨯+⨯=(4)()()()()()0.70.60.70.60.88P P A B P A P B P A P B ==+-=+-⨯=或()1()1()10.120.88P A B P A B P AB =-=-=-=1.2三个事件的独立性定义2 设三事件 ,,A B C ，如果8()()()()()()()()()()()()()P AB P A P B P AC P A P C P BC P B P C P ABC P A P B P C ====则称,,A B C 相互独立.只满足前3式，称,,A B C 为两两独立.,,A B C 相互独立，则一定两两独立；但是两两独立，则三个事件不一定相互独立.例4： 设样本空间 {}1234,,,ωωωωΩ= 含有等可能的四个基本事件，又{}{}{}121314,;,;,A B C ωωωωωω=== 解：显然有 ()()()12P A P B P C === 由此有()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()P AB P A B ;C B C ;AC P ;11;48A B C A B C P ABC P A B C A,B,C A C ABC A B C P ABC P =P P B =P P P =P P =P P P =∴≠P P ≠P P 这说明，，两两独立，但是故不相互独立。
随机事件的独立性与条件概率
随机事件的独立性与条件概率随机事件是在一定条件下具有不确定性的事件，它的发生与否取决于一系列的因素。
而随机事件的独立性是指事件的发生与其他事件的发生无关，即一个事件的发生与其他事件的发生是相互独立的。
条件概率则是指在已知某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。
1. 随机事件的独立性随机事件的独立性是指一个事件的发生与其他事件的发生无关。
具体来说，对于两个事件A和B，如果事件A的发生与否不会改变事件B的发生概率，那么事件A和事件B就是相互独立的。
例如，假设我们有一个袋子里面有红球和蓝球，事件A表示从袋子中取出一个红球，事件B表示从袋子中取出一个蓝球。
如果每次取球之前都将袋子中的球重新放回，那么事件A的发生与否不会改变事件B的发生概率，因此事件A和事件B是相互独立的。
2. 条件概率条件概率是指在已知某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。
通常使用P(A|B)来表示在事件B发生的情况下事件A发生的概率。
例如，假设我们有一副扑克牌，事件A表示从中抽取一张黑桃，事件B表示从中抽取一张红心。
如果我们已知事件B发生，也就是已知从中抽取的牌是一张红心，那么事件A发生的概率就会发生变化。
因为已经抽出了一张红心，所以扑克牌中剩余的牌中，黑桃的比例就会减少，从而影响到事件A发生的概率。
3. 独立性与条件概率的关系独立性和条件概率是密切相关的概念。
如果事件A和事件B是相互独立的，那么在已知事件B发生的情况下，事件A的发生概率仍然保持不变，即P(A|B) = P(A)。
这是因为独立事件的发生与其他事件的发生无关，所以在已知事件B发生的情况下，不会对事件A的发生概率造成影响。
然而，如果事件A和事件B不是相互独立的，那么在已知事件B 发生的情况下，事件A的发生概率会发生变化，即P(A|B) ≠ P(A)。
这是因为事件B的发生会对事件A的发生概率产生影响，所以在已知事件B发生的情况下，事件A的发生概率会有所不同。
总结：随机事件的独立性与条件概率是概率论中重要的概念。
概率论与数理统计第6节 随机事件的独立性和伯努利概型
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练习答案
3.解 (2)设每人射击 n次，Ai表示“甲第 i次击中目标”， Bi表示“乙第 i次击中目标”， i 1,2,.n,
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客人们不知布丰先生要干什么，只好客随主意， 一个个加入了试验的行列。一把小针扔完了，把 它捡起来又扔。而布丰先生本人则不停地在一旁 数着、记着，如此这般地忙碌了将近一个钟头。 最后，布丰先生高声宣布：“先生们，我这里记 录了诸位刚才的投针结果，共投针2212次，其 中与平行线相交的有704次。总数2212与相交数 704的比值为3.142。”说到这里，布丰先生故 意停了停，并对大家报以神秘的一笑，接着有意 提高声调说：“先生们，这就是圆周率π的近似 值！”
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d
d/2
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一、两个事件的独立性
定义1 设A, B是两个事件，且 P(B) 0,若 P(A B) P(A),
则称事件A与B相互独立。
根据条件概率公式，有：P(A B)=
P( AB) P(B)
如果A与B相互独立，有 P(A B) P(A),
结论若A1, A2 ,, An相互独立，则将这 n个事件中若干个 Ai换作对立事件，则所得 的n个事件仍然是独立事件 。
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二、多个事件的独立性
例2 三人独立地破译一份密码，已知各人能 译出的概率分别为1 ，1 ，1 ，求这密码能被破译的概率。
534
解1 设Ai 第i个人译出密码 ，i 1,2,3, B 密码能被破译 ，显然B A1 A2 A3, 于是有
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例2、一均匀正四面体，其一、二、三面分别 染成红、白、黑三色，第四面染上红白黑
例4、（系统可靠性）
设一电路由5个同样的电子元件组成（如下图 所示），每个元件正常工作的概率（元件的可
靠性）为p，元件损坏即断路。每个元件工作状 况互相独立，求此电路的可靠性（线路两端保
持连通的概率）。
1
2
5
3
4
其中Bi Ai或Ai
n
n
I （3）A1, A2 ,L An独立，则P( Ai ) P( Ai )
i 1
i 1
n
n
n
P(UAi ) 1 P( Ai ) 1 (1 P( Ai ))
i 1Βιβλιοθήκη i 1i 1例3、n个人组成一个小组，在同一时间内分别 破译一份密码，假定每个人能译出的概率都是 0.7，若要以99.9999%的把握译出，问n至少为 几？
三色。现以A、B、C分别记投掷一次四面 体出现红、白、黑颜色的事件，证明： A、 B、C两两独立，但不相互独立。
定义：设事件 A1, A2,L An，若有
P( Ai Aj ) P( Ai )P( Aj )
1i j n
P(
Ai
Aj
Ak
)
P(
Ai
)P(
Aj )P( M
Ak
)
1i j k n
A、B互相独立，记为i.d.。
定理：若事件A与B相互独立，且
P(A) 0, P(B) 0 则 P(A B) P(A), P(B | A) P(B)
独立扩张定理：事件A与B独立的充要条件是
{A, B}、 {A, B} 、{A, B} 也相互独立。
二、多个随机事件的独立性 定义：设A, B, C是三个事件，若满足：
§1.5 事件的独立性 一、 两个事件的独立性
例1、在20个产品中有2个次品，从中接连抽两 个产品，第一个产品抽得后放回，再抽第二个 产品，求 （1）已知第一次取得次品的情况下，第二次取 得次品的概率； （2）第二次取得次品的概率。
定义:设事件A、B是某一随机试验的任意两个
事件，若满足 P(AB) P(A)P(B)，则称事件
n
n
I
P( Ai ) P( Ai )
i 1
i 1
则称 A1, A2,L An 相互独立。
（1） A1, A2,L An 相互独立，则其中任取
注 意
k个事件 Ai1 , Ai2 ,L Aik (k 2,3,L n 1) 也相互
独立；反之不一定。
（2）A1, A2,L An独立，则B1, B2,L Bn也相互独立，