15随机事件的独立性
1-5 随机事件的独立性
因此 A，B，C 不相互独立.
例4 同时抛掷一对骰子,共抛两次,求两次所得点 数分别为7与11的概率. 解 设事件 Ai 为“第 i 次得7点” i = 1,2.
设事件 Bi 为“第 i 次得11点” i = 1,2.
事件 A 为两次所得点数分别为 7 与 11. 则有 P ( A) = P ( A1 B2 U B1 A2 ) = P ( A1 B2 ) + P ( B1 A2 )
它表示 A 的发生并不影响 B 发生的可能性大小 .
⇔
P ( B A) = P ( B )
P ( AB ) = P ( A) P ( B )
2.定义
设 A, B 是两事件 , 如果满足等式 P ( AB ) = P ( A) P ( B ) 则称事件 A, B 相互独立 , 简称 A, B 独立.
定义 设 A, B , C 是三个事件 , 如果满足等式 ⎧ P ( AB ) = P ( A) P ( B ), ⎪ P ( BC ) = P ( B ) P (C ), ⎪ ⎨ ⎪ P ( AC ) = P ( A) P (C ), ⎪ P ( ABC ) = P ( A) P ( B ) P (C ), ⎩ 则称事件 A, B , C 相互独立 .
A
由此可见两事件相互独立，但两事件不互斥.
1 1 若 P ( A) = , P ( B ) = 2 2 则 P ( AB ) = 0, 1 P ( A) P ( B ) = , 4 故 P ( AB ) ≠ P ( A) P ( B ) .
B A
由此可见两事件互斥但不独立.
3. 三事件两两相互独立的概念
“甲乙甲甲”, “乙甲甲甲”, “甲甲乙甲”; 由于这三种情况互不相 容 , 于是由独立性得 :
15随机事件的独立性
例2、一均匀正四面体，其一、二、三面分别 染成红、白、黑三色，第四面染上红白黑
三色。现以A、B、C分别记投掷一次四面 体出现红、白、黑颜色的事件，证明： A、 B、C两两独立，但不相互独立。
定义：设事件 A1,A2, An，若有
P(AiAj) P(Ai)P(Aj)
1i j n
P(AiAj Ak) P(Ai)P(Aj)P(Ak) 1i P(Ai)
i1
i1
则称 A1,A2, An 相互独立。
{ A , B }、 { A , B } 、{ A , B } 也相互独立。
二、多个随机事件的独立性 定义：设A, B, C是三个事件，若满足：
P(AB)=P(A)P(B) P(AC)=P(A)P(C) P(BC)=P(B) P(C) P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 则称A, B, C是三个相互独立的随机事件。若 前三个等式成立，则称A, B, C是两两相互 独立事件。
15随机事件的独立性
定义:设事件A、B是某一随机试验的任意两个
事件，若满足 P (A)B P (A )P (B )，则称事件
A、B互相独立，记为i.d.。
定理：若事件A与B相互独立，且
P(A)0,P(B)0 则 P (A B ) P (A ),P (B |A )P (B )
独立扩张定理：事件A与B独立的充要条件是
随机事件的独立性与互斥性知识点
随机事件的独立性与互斥性知识点随机事件是指在一定的条件下，可能发生也可能不发生的事件。
在概率论中，研究随机事件之间的关系非常重要，其中独立性与互斥性是两个基本概念。
本文将介绍随机事件的独立性与互斥性的定义、性质以及在实际问题中的应用。
一、独立事件的定义与性质独立事件是指两个或多个事件发生的结果不会相互影响的事件。
具体来说，如果事件 A 和事件 B 是独立事件，那么事件 A 的发生与否不会对事件 B 的发生产生影响，反之亦然。
独立事件的性质如下：1. 乘法公式：对于两个独立事件 A 和 B，它们同时发生的概率等于它们分别发生的概率之积，即P(A∩B) = P(A) × P(B)。
2. 加法公式：对于两个独立事件 A 和 B，它们至少有一个发生的概率等于它们分别发生的概率之和减去它们同时发生的概率，即P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)。
独立事件的性质保证了事件之间的独立性，使得我们可以通过简单的计算得到复杂事件的概率。
二、互斥事件的定义与性质互斥事件是指两个事件不可能同时发生的事件。
具体来说，如果事件 A 和事件 B 是互斥事件，那么事件 A 的发生就排除了事件 B 的发生，反之亦然。
互斥事件的性质如下：1. 加法公式：对于两个互斥事件 A 和 B，它们至少有一个发生的概率等于它们分别发生的概率之和，即 P(A∪B) = P(A) + P(B)。
互斥事件的性质使得我们可以通过计算事件的发生概率，确定事件之间的关系，从而进行合理的判断和决策。
三、独立事件与互斥事件的区别与联系独立事件和互斥事件都是描述随机事件之间关系的概念，但它们的定义和性质有所不同。
1. 独立事件是指两个或多个事件的发生结果不会相互影响，而互斥事件是指两个事件不可能同时发生。
2. 独立事件的加法公式和乘法公式可以用于计算独立事件的概率，而互斥事件只需要使用加法公式就可以计算。
独立事件和互斥事件在实际问题中有着广泛的应用。
高考数学复习知识点讲解教案第62讲 随机事件的相互独立性与条件概率
概率的积,则事件,为相互独立事件.
2.求两个相互独立事件同时发生的概率的步骤
（1）首先确定两个事件是相互独立的;
（2）确定两个事件可以同时发生;
（3）求出每个事件发生的概率,再求积.
变式题（1）
（多选题）[2023·新课标Ⅱ卷] 在信道内传输0，1信号，信号
的传输相互独立.发送0时，收到1的概率为 0 < < 1 ，收到0的概率为1 − ；
由相互独立事件的概率公式得，所求概率为 1 −
2 ，故B正确.
对于C，采用三次传输方案，发送1，1，1，收到的译码为1，
则收到的信号可能为 1,1,0 ， 1,0,1 ， 0,1,1 ， 1,1,1 ，
故所求概率为3ሺ1 −
2
ሻ
+ 1−
3 ，故C错误.
对于D，若采用三次传输方案，发送0，收到的译码为0，
5
1 2
别为 ， ，则该谜题被破解的概率为___.
6
2
3
[解析] 设“甲独立地破解出该谜题”为事件，“乙独立地破解出该谜题”为事件，
“该谜题被破解”为事件，且事件与相互独立，
则 = 1 − = 1 − 1 −
1
2
× 1−
2
3
=
5
.
6
3.［教材改编］
交通部门对某地上、下班时间拥堵状况统计调查，发现该地区上
4.结合古典概型,会利用乘法公式计算概率.
◆ 知识聚焦 ◆
1.事件的相互独立性
（1）定义：对任意两个事件与,如果
=____________成立,则称事件与
事件相互独立.
（2）判断方法：
①根据定义；
1-5 独立性
( n m)
1-5 事件的独立性
n0
An
(n=0, 1, 2,·,k-1) · ·
P ( B An ) P ()= 0
由全概率公式，得
P ( B)
n1
P ( An ) P ( B An ) P ( An ) P ( B An )
n k
n k
1-5 事件的独立性
则三事件 A, B, C 两两独立.
1 1 P ( ABC ) P ( A) P ( B ) P (C ), 4 8
因此 A、B、C 不相互独立.
2 若每蚕产n个卵的概率为Pn
n
1-5 事件的独立性
( n 0,1,2,; 0), 而每个卵变成虫的概率 为p，且各卵是否变成虫彼此间没有关系.
P ( B ) C 0.9 0.1 0.285.
18 20 18 2
1-5 事件的独立性
例2
设某考卷上有10道选择题, 每道选择题有4个
可供选择的答案, 其中一个为正确答案, 今有一考 生仅会做6道题, 有4道题不会做, 于是随意填写, 试 问能碰对m(m 0,1,2,3,4)道题的概率. 解 设Bm 表示4道题中碰对m道题这一事实, 则 m 1 m 3 4 m P ( Bm ) C4 ( ) ( ) ( m 0,1,2,3,4) 4 4
( p ) k (1 p ) e e k!
A, B 相互独立 A 与 B, A 与 B , A 与 B相互独立.
1-5 事件的独立性
3 设事件A1 , A2 ,, An相互独立, 则 P ( A1 A2 An ) 1 P ( A1 A2 „ An）
判断随机事件独立性的方法
判断随机事件独立性的方法随机事件独立性是概率论与数理统计中的一个重要概念。
判断随机事件是否独立对于许多实际问题的解决具有重要意义。
本文将介绍判断随机事件独立性的方法及其应用。
1. 什么是随机事件独立性在概率论中，独立性是指两个或多个事件的发生不受彼此影响的性质。
具体来说，如果事件A的发生与事件B的发生没有任何关联，即事件A的发生概率与事件B的发生概率的乘积等于事件A与B同时发生的概率，那么事件A和事件B就是独立的。
数学上，可以用以下条件来判断两个事件A和B是否独立： - P(A ∩ B) = P(A) * P(B)，即事件A与事件B同时发生的概率等于事件A的发生概率乘以事件B的发生概率。
2. 判断随机事件独立性的方法2.1. 基于条件概率的方法基于条件概率的方法是判断随机事件独立性的常用方法之一。
根据条件概率的定义，可以使用以下条件来判断两个事件A和B是否独立： - P(A|B) = P(A)，即事件A在事件B发生的条件下的概率等于事件A的概率。
如果满足以上条件，那么可以认为事件A和事件B是独立的。
否则，事件A 和事件B不满足独立性条件。
2.2. 基于频率统计的方法基于频率统计的方法是另一种常用的判断随机事件独立性的方法。
该方法基于大数定律，通过实际观察和统计事件发生的频率来判断事件之间是否独立。
具体操作时，可以进行一系列独立的实验，统计事件A和事件B同时发生的次数。
如果事件A和事件B的同时发生次数与事件A的发生次数乘以事件B的发生次数之积接近，那么可以认为事件A和事件B是独立的。
否则，事件A和事件B不满足独立性条件。
2.3. 基于协方差的方法基于协方差的方法是另一种常用的判断随机事件独立性的方法。
协方差是衡量两个随机变量之间关联程度的指标，可以通过计算事件A和事件B的协方差来判断它们是否独立。
具体操作时，可以通过以下条件来判断事件A和事件B是否独立： - 协方差(A, B) = 0，即事件A和事件B的协方差为0。
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符号
记作：AB
生，记作：A∪B(或 A＋B)
计算 公式 P(AB)＝P(A)P(B)
P(A∪B)＝P(A)＋P(B)
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2．n 个事件相互独立 对于 n 个事件 A1，A2，…，An，如果其中_任一个事件 _________发生的概 率不受其他事件是否发生的影响，则称 n 个事件 A1，A2，…，An 相 互独立． 3．独立事件的概率公式 (1)若事件 A，B 相互独立，则 P(AB)＝P(A)P(B)． (2) 若 事 件 A1 ， A2 ， … ， An 相 互 独 立 ， 则 P(A1A2…An) ＝ P(A1)·P(A2)…P(An)．
(3)恰有两人合格的概率： P2＝P(AB C )＋P(A B C)＋P( A BC) ＝25×34×23＋25×14×13＋35×34×13＝2630. 恰有一人合格的概率： P1＝1－P0－P2－P3＝1－110－2630－110＝2650＝152. 综合(1)(2)可知 P1 最大． 所以出现恰有一人合格的概率最大．
相互独立事件的判断 【例 1】 判断下列各对事件是否是相互独立事件． (1)甲组 3 名男生，2 名女生；乙组 2 名男生，3 名女生，现从甲、 乙两组中各选 1 名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出 1 名男生” 与“从乙组中选出 1 名女生”； (2)容器内盛有 5 个白乒乓球和 3 个黄乒乓球，“从 8 个球中任 意取出 1 个，取出的是白球”与“从剩下的 7 个球中任意取出 1 个， 取出的还是白球”； (3)掷一颗骰子一次，“出现偶数点”与“出现 3 点或 6 点”．
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随机事件的独立性与条件概率
随机事件的独立性与条件概率随机事件是在一定条件下具有不确定性的事件，它的发生与否取决于一系列的因素。
而随机事件的独立性是指事件的发生与其他事件的发生无关，即一个事件的发生与其他事件的发生是相互独立的。
条件概率则是指在已知某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。
1. 随机事件的独立性随机事件的独立性是指一个事件的发生与其他事件的发生无关。
具体来说，对于两个事件A和B，如果事件A的发生与否不会改变事件B的发生概率，那么事件A和事件B就是相互独立的。
例如，假设我们有一个袋子里面有红球和蓝球，事件A表示从袋子中取出一个红球，事件B表示从袋子中取出一个蓝球。
如果每次取球之前都将袋子中的球重新放回，那么事件A的发生与否不会改变事件B的发生概率，因此事件A和事件B是相互独立的。
2. 条件概率条件概率是指在已知某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。
通常使用P(A|B)来表示在事件B发生的情况下事件A发生的概率。
例如，假设我们有一副扑克牌，事件A表示从中抽取一张黑桃，事件B表示从中抽取一张红心。
如果我们已知事件B发生，也就是已知从中抽取的牌是一张红心，那么事件A发生的概率就会发生变化。
因为已经抽出了一张红心，所以扑克牌中剩余的牌中，黑桃的比例就会减少，从而影响到事件A发生的概率。
3. 独立性与条件概率的关系独立性和条件概率是密切相关的概念。
如果事件A和事件B是相互独立的，那么在已知事件B发生的情况下，事件A的发生概率仍然保持不变，即P(A|B) = P(A)。
这是因为独立事件的发生与其他事件的发生无关，所以在已知事件B发生的情况下，不会对事件A的发生概率造成影响。
然而，如果事件A和事件B不是相互独立的，那么在已知事件B 发生的情况下，事件A的发生概率会发生变化，即P(A|B) ≠ P(A)。
这是因为事件B的发生会对事件A的发生概率产生影响，所以在已知事件B发生的情况下，事件A的发生概率会有所不同。
总结：随机事件的独立性与条件概率是概率论中重要的概念。
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则称 A1 , A2 ,
An 相互独立。
注 意
（1） A1 , A2 , An 相互独立，则其中任取 k个事件 Ai , Ai , Ai (k 2,3, n 1) 也相互 独立；反之不一定。
1 2 k
（2）A1 , A2 ,
An独立，则B1 , B2 ,
n
Bn也相互独立，
n
其中Bi Ai或 Ai
（31 n n
Ai ) P( Ai )
i 1 n
Ai ) 1 P( Ai ) 1 (1 P( Ai ))
i 1 i 1
例3、n个人组成一个小组，在同一时间内分别
破译一份密码，假定每个人能译出的概率都是
定义：设A, B, C是三个事件，若满足：
P(AB)=P(A)P(B)
P(AC)=P(A)P(C)
P(BC)=P(B) P(C)
P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
则称A, B, C是三个相互独立的随机事件。若 前三个等式成立，则称A, B, C是两两相互 独立事件。
例2、一均匀正四面体，其一、二、三面分别 染成红、白、黑三色，第四面染上红白黑 三色。现以A、B、C分别记投掷一次四面 体出现红、白、黑颜色的事件，证明： A、 B、C两两独立，但不相互独立。
A、B互相独立，记为i.d.。
定理：若事件A与B相互独立，且
P( A) 0, P( B) 0
则 P( A B) P( A), P( B | A) P( B)
独立扩张定理：事件A与B独立的充要条件是 、 { A, B} 、 { A, B} { A, B} 也相互独立。
二、多个随机事件的独立性
§1.5 事件的独立性
一、 两个事件的独立性
例1、在20个产品中有2个次品，从中接连抽两 个产品，第一个产品抽得后放回，再抽第二个
产品，求
（1）已知第一次取得次品的情况下，第二次取
得次品的概率；
（2）第二次取得次品的概率。
定义:设事件A、B是某一随机试验的任意两个
事件，若满足 P( AB) P( A) P( B) ，则称事件
0.7，若要以99.9999%的把握译出，问n至少为
几？
例4、（系统可靠性） 设一电路由5个同样的电子元件组成（如下图 所示），每个元件正常工作的概率（元件的可 靠性）为p，元件损坏即断路。每个元件工作状 况互相独立，求此电路的可靠性（线路两端保 持连通的概率）。
1 5 3 4 2
定义：设事件 A1 , A2 ,
An，若有
1 i j n P( Ai Aj ) P( Ai ) P( Aj ) P( A A A ) P( A ) P( A ) P( A ) 1 i j k n i j k i j k n n P( Ai ) P( Ai ) i 1 i 1