分数指数幂的运算
分数指数幂的同底数运算教案二：灵活应用同底数运算规则求解
亲爱的同学们，大家好！今天，我们将进一步讨论分数指数幂的同底数运算，希望通过今天的学习，能够让大家掌握这个知识点，并且能够熟练运用同底数运算规则求解。
我们来复习一下分数指数幂的定义。
分数指数幂，就是指数为分数的幂，例如2的1/2次方，2的2/3次方等等。
在这种情况下，我们需要首先理解分数指数幂的含义，我们以2的1/2次方为例，这个式子可以写成根号2，也就是2的平方根。
因此，我们也可以推广到其他的分数指数幂中，例如2的2/3次方，可以写成2的3次方根号2。
接下来，我们将讨论同底数运算的规则。
同底数运算的规则非常简单，就是将同一底数的指数相加，例如2的3次方乘以2的5次方，可以写成2的8次方。
用公式表示，就是a的m 次方乘以a的n次方，等于a的m+n次方。
在进行同底数运算的时候，有时候我们需要进行一些化简，例如对于3的1/2次方乘以9的3/2次方，我们可以先将9的3/2次方化简为（3的2次方）的3/2次方，接着可以将3的1/2次方写成3的1次方的1/2次方，然后代入同底数运算的公式中，即可得到3的2次方。
除了同底数运算，我们还需要学习同底数约分的方法。
同底数约分的方法非常简单，就是对于同一底数，将指数相减即可。
例如2的5次方除以2的3次方，可以写成2的（5-3）次方，也就是2的2次方。
在进行同底数约分的时候，有时候我们需要注意，即需要将分数指数幂的平方根或者三次方根化成分数形式，例如8的1/6次方可以写成（2的3次方）的1/6次方，然后化成分数形式，变成（2的1次方）的1/3次方，这样就可以进行同底数运算了。
让我们来看几个例子，来加深理解。
例子1：计算2的2/3次方乘以2的5/3次方。
答案：这个时候我们需要将指数相加，得到2的7/3次方。
例子2：计算3的1/2次方乘以9的3/2次方。
答案：这个时候我们需要进行一些化简，将9的3/2次方化简为（3的2次方）的3/2次方，接着可以将3的1/2次方写成3的1次方的1/2次方，然后代入同底数运算的公式中，即可得到3的2次方。
分数指数幂运算
分数指数幂运算
分数指数幂运算是将一个分数作为底数，另一个分数作为指数进行计算的运算。
如果分数指数是正数，可以按照分数的定义进行计算。
例如，计算2^1/3，可以先计算2的立方根，再将结果与自身相乘，即2^1/3 = (∛2)^3 = 2。
如果分数指数是负数，可以使用倒数的概念进行计算。
例如，计算2^(-1/3)，可以先计算2的立方根的倒数，再将结果与自身相乘，即2^(-1/3) = 1/(∛2)。
如果分数指数是分数形式，可以使用乘法的性质进行计算。
例如，计算2^(2/3)，可以将指数分解为2×(1/3)，然后先计算2的立方根，再将结果平方，即2^(2/3) = (∛2)^2 = 2^(1/3) ×
2^(1/3) = (∛2) × (∛2)。
需要注意的是，分数指数运算可能会得到无理数的结果，因此可能需要进行近似运算或使用特定的表达式表示结果。
根式指数和分数指数幂的运算及答案
(m - n )4 p 6⋅ q 5a a a 3 6a 9 6 3a 9 4 a3 1 3x 3 x -23、⎛ 3 6 a 9 ⎫ ⎛ 6 3 a 9 ⎫ ⎪ 根式与分数指数幂的运算（1）一、根式与指数转化1、用分数指数幂表达下列各式：(1) 3 x 2 =（2） 4 (a + b )3 （ a + b > 0 ） =（3）3 (m - n )2 =（4） （ m > n ）=m 3（5） （ｐ＞０）=（6） =m（7）（9）4 (- a )2（式中a > 0 ）= （8）3 ab 2（10）（11） =（12）( )4⋅ ()4=32、将52 写为根式44⎪ ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭等于（ C ）A 、a 16B 、a 8C 、a 4D 、a 24、已知x 5 = -2009 ，则x =（用根式表达）⎛ 8 - 6 ⎫ - 1 25、 a 5 b 5 ⎪ ⎝ ⎭⋅ 5 a 4 ÷ 5 b 3 (a ≠ 0, b ≠ 0)⎛ ⎫46、已知a ≥0，化简3 ⎪ = a7 (3 6⎝a 9 )4 ⋅ (6 3 ⎭a 9 )44、将表达成指数幂形式，其成果为 a- 8 ⎛ ⎫58、 ⎪ ⎪ ⎝ ⎭4 化成分数指数幂为 ________ 159、将(3 6 a 9 )4 ⋅ (6 3 a 9 )4 ( a >0)表达成指数幂形式，其成果为 a 4 .x 3 x 2 4 x 31 1a a(-2)4481⨯ 392 6 12 227 9 ⎭ ⎛ 6 ⎫ 7 3 二、求值1 求值：3 - 64 =； = ； 4 (3 -π)4 =3 42、 +3、22 ⨯ 23 =3 42216 - 34、(22 ) 3 =35、23⨯ 23=236 36、求值：( ) 814 =7、(1) 252 =（２） 27 3 =（３）( ) 2 =49（4）( 25)- 24=（5） =（6） 2 ⨯ ⨯ =[(- )2 ]-1-8、22 等于（）A ． B ．C D ． 2 2- 1 ⎛ 1 ⎫-23( )9、计算：0.0273- - ⎪ ⎝ ⎭+ 2564 - 3-1 + - 1 = 。
数学分数指数幂
思源个性化学习讲义【知识精要】1．分数指数幂的意义： 一般地,我们规定 n m nm a a = ()1,0>≥n n m a 为正整数，、 ,这就是正数a 的正分数指数幂的意义. 规定nm n maa-=1()1,0>>n n m a 为正整数，、其中的nm nm a a -、叫做分数指数幂，a 是底数整数指数幂和分数指数幂统称为有理数指数幂.注：（1）0的正分数指数幂为0, 0的负分数指数幂无意义. （2）若无特殊说明，底数中的字母均为正数。
2. 当a >0时，整数指数幂的运算性质，对于有理指数幂也同样适用.即对于任意有理数r ,s ,均有下面的运算性质：设q p b a 、,0,0>>为有理数（1）q p q p qp q p a a a a a a -+=÷=⋅，（2）()pq qpa a =（3）()p p pp p pb a b a b a ab =⎪⎭⎫ ⎝⎛=，【热身练习】1. 把下列方根化为分数指数幂的形式（1）310 （2）32101（3）3100 （4）41002. 求值(1)21169 (2)3264 (3) 239- (4)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-43256（ ）A.3B.3-C.3±D.81 4．当a _________时，式子23a 有意义 5. 若0>a ，则43a 和53-a 用根式形式表示分别为 和6.56b a 和mm 3用分数指数幂形式表示分别为 和【精解名题】 1. （1）23425-⎪⎭⎫⎝⎛= ；（2） 63125.132⨯⨯= ________2. 计算：631010⨯=__________________3.3151写成幂的形式______________4.化为分数指数幂的形式为 ___________________5. 583221)22(--化为分数指数幂得 _________________________6.式子 （ ）7. 已知32121=+-aa ，求下列各式的值。
函数奇偶性与分数指数幂的运算
课 题 函数奇偶性与分数指数幂的运算教学目标 理解函数奇偶性的判断方法和判断要点，会使用函数的奇偶性来解答相关问题；梳理清楚分数指数幂的运算性质和计算方法，明白在解答时具体的运用和思路。
重点、难点 重点：掌握函数奇偶性、分数指数幂的重点性质和计算方法。
难点：和所学知识糅合使用，将初中知识牵扯如高中的使用中。
考点及考试要求理解并掌握函数奇偶性在解答形象问题和抽象问题时的运用办法，能够把奇偶性等问题掌握；明白分数指数幂的计算，学会分数指数幂的计算要领和方法。
教学内容知识点一：函数奇偶性1.函数奇偶性的定义函数奇偶性：（1）奇函数⎪⎩⎪⎨⎧==+--=-0)0(03)2(0)()()()()1(f x x f x f x f x f ，则可以为）若（图象关于原点对称或（2）偶函数⎩⎨⎧=--=-轴对称图象关于或y x f x f x f x f )2(0)()()()()1(例题讲解11 .若3)3()2()(2+-+-=x k x k x f 是偶函数，讨论函数)(x f 的单调区间？2 定义在R 上的偶函数)(x f 在)0,(-∞是单调递减，若)2()6(a f a f <-，则a 的取值范围是如何？注意：用定义判断函数奇偶性的步骤是[来源学科网ZXXK](1)、先求定义域，看是否关于原点对称；(2)、再判断()()f x f x -=- 或 ()()f x f x -= 是否恒成立； （3）、作出相应结论.2 函数按是否有奇偶性可分为四类：n m nm a a= (a ＞0,m ,n ∈N *,且n ＞1)针对性练习一、填空题1.整数指数幂：0);1(0);(0,).n n a a a a n N a a a a n N *-*⋅⋅⋅⋅=∈=≠=≠∈个（2.整数指数幂的运算性质：（1）(,)m n a a m n Z ⋅=∈；（2）()(,)m n a m n Z =∈；（3）(,,0)mn a m n Z a a=∈≠；（4）()()m ab m Z =∈.[来源:Z#xx#]3.根式的运算性质：（1）当n 为任意正整数时，()nna =.（2）当n 为奇数时，nna =；当n为偶数时，.nna ==（3）根式的基本性质：(0).npmp a a =≥例题讲解1 化简：41233332233382()42a a b b aa b ab a--÷-⨯++a ·3a 25a ·3a(式原式＝11111213333333321111111223333352[()(2)]2()()(2)(2)()a a b a b a a aa ab b a a --⋅÷⨯+⋅+⋅ ＝51116333111336(2)2a a a a b a ba-⨯⨯-＝12233.a a a a ⨯⨯=课堂练习1 ：已知102m =，则m 等于 （ ）10.2A10.2B -10.2C10.2D ±2.：（1）下列根式与分数指数幂的互化正确的是 （ ）12.()(0)A x x x -=-> 1623.(0)B y y y =< 43341.()(0)C xx x-=> 133.(0)D x x x -=-≠3. 若0,n m <<，则222222m mn n m mn n ++--+等于（ ）.2A m .2B n .2C m - .2D n-§X§K]4.若02522<+-x x ，则2441x x +-+2 | x －2|等于 （ ） （A ） 54-x （B ）3- （C ）3 （D ）x 45-5.函数210)2()5()(--+-=x x x f 的定义域是 （ ）（A ）}2,5 ,|{≠≠∈x x R x x 且 （B ）}2|{>x x （C ）}5|{>x x （D ）}5,52|{><<x x x 或6. 计算122[(2)]--的结果是 （ ）（A ）2 （B ）2- （C ）22（D ）22-7 把322-化成分数指数幂的形式是 （ ） （A ）122--（B ）122- （C ）132-（D ）562-求值1.：求值：（1）88(2)x -； （2）33322(12)-+-；3.()41-30-0.753370.064()-2+168-⎡⎤--+⎣⎦; 4. 3-2013+26+-1.03-423-2⎛⎫⎛⎫⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;化简（1）设33,x -<<求222169x x x x -+-++的值.（2）用分式指数幂的形式表示下列各式.1..(0)a a a >2. 42233.()(0)b b -->[来源:学+科+网Z+X+X+K]课后作业试 题批 阅。
近似数的精确度 分数指数幂及运算
近似数的精确度分数指数幂及运算
在数学中，我们经常会遇到需要进行近似数的计算，这时候我们需要考虑到近似数的精确度。
近似数的精确度是指我们所得到的近似数与真实值之间的误差大小。
在实际应用中，我们需要根据具体情况来确定近似数的精确度，以保证计算结果的准确性。
在分数的运算中，我们需要注意分母的大小，因为分母越大，分数的精确度就越高。
例如，1/2和1/1000相比，1/2的精确度要高得多。
在进行分数的加减乘除运算时，我们需要先将分数化为相同的分母，然后再进行运算。
这样可以避免分母不同导致的误差。
指数幂是数学中常见的运算方式，它可以用来表示一个数的幂次方。
例如，2的3次方等于8，即2³=8。
在进行指数幂的计算时，我们需要注意底数和指数的大小关系。
如果底数比较大，指数比较小，那么我们可以直接计算出结果。
但如果底数比较小，指数比较大，那么我们需要使用科学计数法来表示结果，以保证精确度。
在运算中，我们还需要注意数值的精确度。
例如，当我们进行小数的加减乘除运算时，我们需要注意小数点后的位数，以保证计算结果的精确度。
如果小数点后的位数太多，我们可以使用四舍五入的方法来保留合适的位数。
在数学中，我们需要根据具体情况来确定近似数的精确度，以保证计算结果的准确性。
在分数、指数幂和运算中，我们需要注意数值
的大小关系和精确度，以避免误差的产生。
分数指数幂与根式(课堂PPT)
4ab0
4a
13
(2)(m4 n8 )8
(m
1 4
)8
(n
3 8
)3
m3 n3
m2 n3
33
题型四
根式运算，先把每个根式用分数 指数幂表示；题目便转化为分数 指数幂的运算。 注意：结果可以用根式表示，也 可以用分数指数幂表示. 但同一 结果中不能既有根式又有分数指 数幂，并且分母中不能含有负分 数指数幂．
40 9
26
小结
注意三点：
1、分数指数幂的概念（与整数指数幂对比，有何 差异，注意不能随意约分）.
2、分数指数幂的运算性质，进而推广到有理数指 数幂的运算性质。
3、根式运算时，先化为指数形式进行运算，原式 为根式的，再将结果化为根式。
27
题型一
将根式转化分数指数幂的形式。（a>0,b>0)
1当有多重根式是，要由里向外层层转化。 2对于有分母的，可以先把分母写成负指数幂。 3要熟悉运算性质。
25 32
x5 11
25 32 x 5 11
结论：当 n为奇数时，正数的 n次方根是一个正 数，负数的n 次方根是一个负数，这时，a的n次方根
只有一个，记为 x n a ．
9
得出结论
22 4 32 9 24 16
x6 12
2 4 3 9
24 16
x 6 12
结论：当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们
互为相反数．正数a的正n次方根用符号 n a 表示；负的
n次方根用符号 n a 表示,它们可以合并写成 n a(a 0) 的形式．
负数没有偶次方根．
10
注意问题
特别注意：0的 n次方根等于0.
指数运算规律
指数运算规律一、指数法则1. 幂的乘方：(a^m)^n = a^(m×n) (m,n都是正数) ；2. 同底数幂的乘法：a^m×a^n = a^(m+n) (m,n都是正数) ；3. 同底数幂的除法：a^m / a^n = a^(m-n) (a≠0, m,n都是正数，且m>n) ；4. 幂的乘方：(a^m)^n = a^(m×n) (m,n都是正数) ；5. 积的乘方：(ab)^n = a^n×b^n (n是正整数) 。
二、指数运算性质1. 零指数幂：0^n=1 (n∈Z*)；2. 负整数指数幂：a^(-n)=1/a^n (a≠0, n∈N*)；3. 特殊值法：令字母取不同的值代入进行验证。
三、指数运算技巧1. 分散注意，将难点各个击破；2. 利用分配律简化运算；3. 利用同底数幂的乘除法法则进行简化；4. 利用幂的乘方运算法则进行简化；5. 利用积的乘方运算法则进行简化；6. 利用非零数的0次幂等于1的性质进行简化；7. 利用整体代入的思想简化运算。
四、指数运算的规律1. 负指数表示的是倒数：a^(-n) = 1/a^n2. 分数指数幂：根号[a^(2n)] = a^n，根号[a^(2n-1)] = |a|^n3. 指数为无理数时，视为实数：例如，e^(πi) + 1 = 04. 指数运算中，负数可以引入：例如，e^(-x) = 1/e^x5. 指数函数与对数函数的互为反函数：指数函数和对数函数具有反函数性质，即如果y=a^x，那么x=log_a y。
五、指数运算的应用1. 在物理学中的应用：指数函数在物理学中有广泛的应用，例如在放射性衰变、电路中的RC或LC振荡器、光的吸收和发射等过程中，都可以看到指数函数的身影。
2. 在金融学中的应用：在金融学中，复利计算就是一个典型的指数问题。
复利是指本金及其产生的利息一并计算，也就是利上有利。
复利计算的特点是：把上期末的本利和作为下一期的本金，在计算时每一期本金的数额是不同的。
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分数指数幂的运算
【知识要点】
1、整数指数幂运算性质
(1)=⋅n
m
a a ),(Z n m ∈ (2) =n m
a
a ),(Z n m ∈
(3) =n m a )( ),(Z n m ∈ （4）=⋅n
b a )( )(Z n ∈ (5) 根式运算性质 ⎩⎨⎧=为偶数
为奇数n a n a a n
n
,,
2、正数的正分数指数幂的意义
n m n
m a a
= （n m a ,,0>∈N *,且)1>n
注意：（1）分数指数幂是根式的另一种表示形式；
（2）二是根式与分数指数幂可以进行互化. 3、对正数的负分数指数幂和0的分数指数幂作如下规定.
(1)n
m n
m
a
a
1=
- （n m a ,,0>∈N *
,且)1>n
(2)0的正分数指数幂等于0. (3)0的负分数指数幂无意义. 4、有理指数幂的运算性质
(1)∈>=⋅+s r a a
a a s
r s
r
,,0(Q ）
(2)
∈>=s r a a a rs
s r ,,0(）（Q ） (3) ∈>=⋅s r a b a b a r
r
r
,,0()(Q ）
注意：若p a ,0>是一个无理数，则p
a 表示一个确定的实数，上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用 【典型例题】 例1、当0>a 时 ①5
102
552510
)(a a a a
===②3
124
334312)(a a a a
===
③3
23
3
32
3
2
)(a a a ==
④2
12
2
1)(a a a ==
根据以上等式，找出规律，把下列各数化成上述形式()0>x .
(1)721x (2) 416x (3) 93x (4) 126x
例2、求值：
43
32
13
2)81
16(,)41(,100
,8-
--
.
例3、用分数指数幂的形式表示下列各式：
a a a a a a ,,3232⋅⋅ (式中0>a )
4、计算：[]
.01.016
)2()8
7
()064.0(2
175
.03
43
03
1-++-+----
-
例5、化简：（1）5
293
2
23
2
(9)(10)100- （2）322322+- （3） a a
a a
【经典练习】
1.用根式的形式表示下列各式（0>a ) 3
25
34
35
1,,,-
-a a
a a
2、求下列各式的值：
(1)2325 （2）3
227 （3）23
)49
36
(
（4）2
3
)4
25(- （5）423
981⨯ （6）63125.132⨯⨯
3. 用分数指数幂表示下列各式：（其中各式中的字母均为正数）
(1)32x （2）43)(b a -)(b a > （3）32)(n m - （4）4
)(n m - (5)5
6q p ⋅ (6)
m
m 3
4、计算求值()
()(
)
.322
510002.08330
1
2
13
2-+--+⎪
⎭
⎫
⎝⎛---
-
5、÷--)8)(3(312
12
13
2b a b a )6(6
561b a -
6、 化简代数式
.21
12
2112112----------+---+-b a b a b a b b a a
【课后作业】
1、求下列各式的值： (1)2
1
2- （2）2
1)
49
64(
-
（3）
4
3
10000-
（4）3
2
)27
125(-
5、用分数指数幂表示下列分式(其中各式字母均为正数)
(1)43a a ⋅ （2）a a a （3）32
)(b a - （4）43
)(b a + （5）32
2b a ab + （6）42
33
)(b a +
6、化简计算：（1）)2(4121y x -)2(4121y x + （2）42
34
32
1)(k n m -
7、已知22
12
1=+-a a ，求下列各式的值。
（1）;1
-+a a (2);2
2
-+a a
8、已知32x a b --=+, 42362x a x a ---+.。