七年级数学下册 第六章 一元一次方程 华东师大版

第六章一元一次方程
应知
一、基本概念
方程：含有未知数的等式叫做方程。

一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程。

方程的解：能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解。

解方程：求方程解的过程叫做解方程。

【注意】解方程时，要用到等式的性质：
（1）等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。

（2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是零），所得结果仍是等式。

二、基本法则
列一元一次方程的步骤：
①弄清题意(设未知数)：求什么？用字母表示适当的未知数；
②分析条件(找等量关系)：找出已给出的数量及未知数之间的等量关系；
③组织方程(列方程)：对等量关系中涉及的量，列出所需的表达式，根据等量关系得到方程。

【注意】此三步骤适用于列各种方程。

2. 解一元一次方程的步骤：
①去分母。

②去括号。

③移项。

(根据等式性质推出：a.方程两边都加上或都减去同一个数或同一个整式，方程的解不变；2)方程两边都乘以或都除以同一个不为零的数，方程的解不变)。

④合并同类项。

⑤化未知项的系数为1。

⑥检验方程的解(一般不需答出，但要养成检验的习惯)。

应会
列一元一次方程。

解一元一次方程。

用一元一次方程解答实际问题。

【注意】
1.判断一个方程是不是一元一次方程，首先在整式方程前提下，化简后满足只含有一
个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0的方程，像
2
1
=
x，()1
2
2
2+
=
+x
x
等都不是一元一次方程.
2.解方程的基本思想就是应用等式的基本性质进行转化，要注意：①方程两边不能乘以（或除以）含有未知数的整式，否则所得方程与原方程不同解；②去分母时，不要漏乘没有分母的项；③解方程时一定要注意“移项”要变号.
例题
1. 解下列方程：
（1）10x－4（3－x）－5（2＋7x）=15x-9（x－2）
（2）3（2－3x）－3[3（2x－3）＋3]=5
（3）
()()()3
4
1
3
2
3
1
1
2
1
+
-
=
-
+
+
+x
x
x
2. 一个黑白足球的表面一共有32个皮块，其中有若干块黑色五边形和白色六边形，黑、白皮块的数目之比为3：5，问黑色皮块有多少？
3. 小明和小红做游戏，小明拿出一张日历：“我用笔圈出了2×2的一个正方形，它们数字的和是76，你知道我圈出的是哪几个数字吗？”你能帮小红解决吗？
4. 有一个班的同学去划船，他们算了一下，如果增加一条船，正好每条船坐6人，如果送还了一条船，正好每条船坐9人，问这个班共多少同学？
5. 丢番图的墓志铭：“坟中安葬着丢番图，多么令人惊讶，它忠实地记录了所经历的道路．上帝给予的童年占六分之一。

又过十二分之一，两颊长胡．再过七分之一，点燃起结婚的蜡烛．五年之后天赐贵子，可怜迟到的宁馨儿，享年仅及其父之半，便进人冰冷的墓．悲伤只有用数论的研究去弥补，又过四年，他也走完了人生的旅途．”请你列出方程算一算，丢番图去世时的年龄？
6. 某学校组织学生春游，如果租用若干辆45座的客车，则有15个人没有座位，如果
租用相同数量60座的客车，则多出1辆，其余车恰好坐满，已知租用45座的客车日租金为每辆车250元，60座的客车日租金为300元，问租用哪种客车更合算？租几辆车？
7. 学校田径队的小刚在400米跑测试时，先以6米／秒的速度跑完了大部分路程，最后以8米／秒的速度冲刺到达终点，成绩为1分零5秒，问小刚在冲刺以前跑了多少时间？
8. 甲、乙两人，同时出发，相对而行，距离是50km ，甲每小时走3km ，乙每小时走2km ，问：
①他俩几小时可以碰到？
②有一只小狗每小时走5km ，它同甲一起出发，碰到乙时它又往甲这边走，碰到甲它又往乙这边走，问小狗在甲、乙相遇时，一共走了多少千米？
③如果甲、乙、小狗都从一点出发，同向而行，其速度皆不变，乙和小狗先出发3小时，甲再出发追赶乙，当甲追上乙时，小狗跑了多少米？
④如果甲、乙、小狗从同一点出发，同向而行，而甲先出发5小时，乙才和小狗一起出发，当小狗追上甲时，甲走了多少米？乙还能追上甲吗？为什么？
9. 某商品的进价是1000元，售价为1500元，由于情况不好，商店决定降价出售，但又要保证利润率不低于5%，那么商店可降多少元出售此商品。

10. 一年定期的存款，年利率为1.98%，到期取款时须扣除利息的20%，作为利息税上缴国库，假如某人存入一年的定期储蓄1000元，到期扣税后可得利息多少元？
11. 某企业生产一种产品，每件成本价是400元，销售价为510元，本季度销售了m 件，为进一步扩大市场，该企业决定在降低销售价的同时降低生产成本，经过市场调研，预测下季度这种产品每件销售价降低4%，销售量将提高10%，要使销售利润（销售利润=销售价-成本价）保持不变，该产品每件的成本应降低多少元？
12. 一份试卷共25道题，每道题都给出四个答案，其中只有一个是正确的，要求学生把正确答案选出来，每题选对得4分，不选或选错扣1分，如果一个学生得90分，那么他选对几题？现有500名学生参加考试，有得83分的同学吗？为什么？
13. 浓度为18％的盐水一桶，加入50千克水后，浓度变为15％，求原有盐水多少千克?
参考答案
(1) 去括号：10x －12+4x －10－35x=15x-9x+18
合并同类项：-27x=40 x=-2713
1
(2)去括号：6－9x －18x ＋27－9=5
合并同类项：-27x=-19 x=2719
(3) 去括号：43
x 41332x 3121x 21--=-+++
合并同类项：1213
x 1213-= x=-1
解：设黑色皮块x 个，则白色皮块为x 35个。

x ＋x 35=32，x
38=32
解得：x= 12
答：黑色皮块12个。

3. 解：设小明圈出的日子是a ，b ，c ，d ，根据日历上日子的排列规律，有：
b=a+1，c=a+7，d=a+8
∴a+(a+1)+(a+7)+(a+8)=4a+16=76 解得:a=15，b=16，c=22，d=23
答：小明圈出的日子是15，16，22，23。

4. 解：设该班有x 个人，则：19x 6x += 2
18x = 解得：x=36
答：该班有36人。

5. 解：设丢番图去世时的年龄为x 岁，则： x 45x 217112161=++⎪⎭⎫ ⎝⎛+++ 9
x 283
= x=84
答：丢番图去世时的年龄为84岁。

6. 解：设租用45座客车x 辆，则：租用60座客车x-1辆。

由题意：45x+15=60(x-1) 15x=75 x=5
如果租用45座客车，需租金250×5=1250元。

如果租用60座客车，需租金300×4=1200元。

答：租用60座客车更合算，租4辆。

解：设小刚在冲刺以前跑了x 秒，则冲刺用了(65-x)秒
由题意：6x+8(65-x)=400，解得：x=60(秒)
答：小刚在冲刺以前跑了1分钟(60秒)。

8. (1) 设t 小时可以碰到，由题意：3t+2t=50, 解得：t=10(小时)
答：他们10小时可以碰到。

(2) 根据题意，小狗在他们碰到前没有停止行走，∴5t=50(千米)
答：小狗走了50千米。

(3) 设x小时甲追上乙，则小狗跑了5(x+3)千米。

由题意：
3x=2(x+3) 解得：x=6(小时)，5(x+3)=45(千米)
答：小狗跑了45千米。

(4) 设小狗x小时后追上甲，则甲走了3(x+5)千米。

由题意：
5x=3(x+5) 解得：x=7.5(小时)，3(x+5)=37.5(千米)
答：小狗追上甲时，甲走了37.5千米。

乙追不上甲，因为乙比甲速度慢，甲又先走5小时。

9. 解：设可降x元，由题意：1500-x=1000(1+5%)，解得：x=450
答：可降450元。

10. 解：设可得利息为x元，由题意：x÷(1-20%)=1000×1.98% 1.25x=19.8
得：x=15.84
答：可得利息为15.84元。

11. 解：设该产品每件的成本应降低x元，由题意：
［ 510(1-4%)-(400-x)］·(1+10%）=510-400，解得：x=10.4 答：该产品每件的成本应降低10.4元。

12. 解问题一：设答对了x道题，由题意：
4x-(25-x)=90 解得：x=23
答：答对了23道题。

解问题二：由题意：4x-(25-x)=83 解得：x=21.6
答：没有人得83分，因为题数只能是整数。

13. 解：设原有盐水x千克，由题意：
x·18%=(x+50)·15% 3x=750 解得：x=250
答：原有盐水250千克。