高二数学平均变化率
高二数学变化率与导数知识点总结
高二数学变化率与导数知识点总结在高二数学学习中，变化率和导数是非常重要的概念。
它们是微积分的基础，也是我们理解函数变化规律和求解问题的重要工具。
下面是关于高二数学中变化率和导数的知识点总结。
1. 变化率的概念变化率是描述一个量相对于另一个量的变化程度的指标。
在数学中，我们通常用函数的导数来表示变化率。
对于函数y = f(x)，它的变化率可以用以下两种方式表示：- 平均变化率：平均变化率是函数在某个区间上的变化量与该区间长度的比值。
如果x的取值从a到b，对应的y的取值从f(a)到f(b)，则该区间上的平均变化率为：平均变化率 = (f(b) - f(a)) / (b - a)- 瞬时变化率：瞬时变化率是指在某一点上的瞬时变化速度。
如果函数在x点的导数存在，则该点的瞬时变化率为导数值，即：瞬时变化率 = f'(x)2. 导数的定义和性质导数是描述函数变化率的工具，它的定义如下：- 对于函数y = f(x)，如果函数在某一点x上的导数存在，那么导数表示函数在该点的瞬时变化率。
导数的定义如下： f'(x) = lim(h->0) [f(x+h) - f(x)] / h其中，f'(x)表示函数f(x)在点x处的导数。
导数具有以下几个重要的性质：- 导数存在的条件：函数在某一点x处的导数存在的充分必要条件是函数在该点的左导数和右导数存在且相等。
- 导数的几何意义：函数在某一点的导数等于函数曲线在该点切线的斜率。
切线的斜率可以用导数来表示。
- 导数与函数单调性的关系：如果函数在某区间内的导数大于0，则函数在该区间内单调递增；如果函数在某区间内的导数小于0，则函数在该区间内单调递减。
- 导数与函数极值的关系：如果函数在某一点的导数存在且为0，那么该点可能是函数的极值点。
3. 常见函数的导数- 幂函数导数：对于幂函数y = x^n，其中n为常数，它的导数为：dy/dx = n*x^(n-1)- 指数函数导数：对于指数函数y = a^x，其中a为常数且大于0且不等于1，它的导数为：dy/dx = a^x * ln(a)- 对数函数导数：对于对数函数y = log_a(x)，其中a为常数且大于0且不等于1，它的导数为：dy/dx = 1 / (x * ln(a))- 三角函数导数：对于三角函数sin(x)，cos(x)，tan(x)等，它们的导数可以通过基本导数公式来求解。
2.1平均变化率与瞬时变化率(教学课件)——高二数学北师大版(2019)选择性必修第二册
＝1＋20＋5×0.01＝21.05(m)，
Δs 21.05
＝
＝210.5(m/s)．
Δt
0.1
Δs 10 20+Δt +5 20+Δt 2 −10×20−5×202
(2)∵ ＝
＝5Δt＋210，
Δt
Δt
Δs
当Δt趋于0时， 趋于210，
A．3Δt＋6 B．－3Δt＋6
C．3Δt－6 D．－3Δt－6
答案：D
Δs 5−3 1+Δt 2 − 5−3
解析： ＝
Δt
Δt
故选D.
＝－6－3Δt.
3．设某产品的总成本函数为C(x)＝1
2
100＋
，其中x为产量数，
1200
19
12
生产900个单位到1 000个单位时总成本的平均变化率为________．
§1 平均变化率与瞬时变化率
要点一 平均变化率
对一般的函数y＝f(x)来说，当自变量x从x1变为x2时，函数值从f(x1)
−
−
变为f(x2)，它的平均变化率为___________．通常我们把自变量的变
x2－x1
改变量
化________称作自变量x的________，记作________，函数值的变化
Δy 2Δx+ Δx 2
∴ ＝
＝2＋Δx.
Δx
Δx
故选C.
)
题型二 平均变化率的实际应用
例2 甲、乙两人走过的路程s1(t)，s2(t)与时间t的关系如图所示，试
比较两人的速度哪个快？
解析：在t0处，s1(t0)＝s2(t0)，
高二数学平均变化率2
3
计算第一个10s内V的平均变化率。
例3、很多人都吹过气球，回忆一下吹气球的过程，随 着气球内空气容量的增加，气球的半径有如何变化？ 从数学角度如何解释这种现象?
计算气球的半径在v1 , v2 上的平均变化率
例4、已知函数 f ( x) 2 x 1, g ( x) 2 x, 分
时间 日最高气温 3月18日 3.5℃ 4月18日 18.6℃ 4月20日 33.4℃
温差15.1℃ 温差14.8℃ “气温陡增”这一句生活用语，用数学方法如何刻画?
联想 直线
T (℃ ) 30 B (32, 18.6) C (340 2 0
A (1, 3.5)
K=0.5
；/ 酒店家具；
就会被别人给顶替下去丶当然也有壹些人是例外の,那就是城主府中の女眷们,若是你能傍上城主,仙师,或者是大长老の话,甚至是壹些高级の核心弟子の话,那以后也是可以飞黄腾达,少奋斗几千年了丶而城主府の另外壹个大势力,就是这些女眷,就拿那城主来说吧,城主大人有名有姓の夫人,就有 壹千多位丶而且这些夫人们,个个实力强大呀,不壹定是貌若天仙,但是实力绝对都是壹流の丶所以在这海华仙城中,几千年前,便有这样の壹个谈资丶也许龙三,不是最强の仙城城主,但是龙三家亭,却是真正の最强の个人家亭丶就是因为龙三の老婆,个个实力强大,他个人还有数十万の后代,个个天 赋了不得丶光是这些人,就为龙三添了许多の实力丶还没算其它の八大仙师,二十四大长老,以及壹众高级弟子了丶这些人中の大部分,找女人の原则,其实都是向这龙三给学の丶女人可以不用最美,但是壹定要实力,不要花瓶丶所以这些城主府中の女人们,那都是个顶个の高手呀,平时在修行闭关, 可能你见不到丶但若是城主府有什么大事要办の时候,这数以几十万计の女修,往那边壹站当真是要顶半边天了丶"这城主府の人,倒
高中数学平均变化率
高中数学平均变化率数学中的平均变化率是指在一段时间内，某个量的变化率的平均值。
在高中数学中，平均变化率是一个重要的概念，它可以帮助我们更好地理解函数的性质和变化规律。
本文将从定义、计算方法、应用等方面介绍高中数学中的平均变化率。
一、定义平均变化率是指在一段时间内，某个量的变化率的平均值。
在数学中，我们通常用Δy/Δx来表示平均变化率，其中Δy表示y的变化量，Δx表示x的变化量。
平均变化率的单位通常是“每单位时间内的变化量”。
二、计算方法计算平均变化率的方法很简单，只需要将Δy/Δx的值代入公式即可。
例如，如果我们要计算函数f(x)=x²在区间[1,3]上的平均变化率，可以按照以下步骤进行：1. 计算Δy和Δx的值。
在本例中，Δy=f(3)-f(1)=9-1=8，Δx=3-1=2。
2. 将Δy/Δx的值代入公式。
平均变化率为Δy/Δx=8/2=4。
三、应用平均变化率在数学中有着广泛的应用。
下面介绍几个常见的应用场景。
1. 判断函数的单调性函数的单调性是指函数在定义域内的变化规律。
如果函数在某个区间内的平均变化率为正数，那么函数在该区间内是单调递增的；如果平均变化率为负数，那么函数在该区间内是单调递减的。
2. 计算曲线的斜率曲线的斜率是指曲线在某一点处的切线的斜率。
如果我们要计算曲线在某一点处的斜率，可以先计算该点左右两侧的平均变化率，然后取平均值即可。
3. 计算速度和加速度平均变化率在物理学中也有着广泛的应用。
例如，我们可以用平均变化率来计算物体在某段时间内的平均速度和平均加速度。
四、总结高中数学中的平均变化率是一个重要的概念，它可以帮助我们更好地理解函数的性质和变化规律。
本文从定义、计算方法、应用等方面介绍了平均变化率的相关知识。
希望读者能够通过本文的介绍，更好地掌握平均变化率的概念和应用。
人教新课标版数学高二人教A选修2-2素材 1.1 解读平均变化率的意义
解读平均变化率的意义变化率问题在生活或学习中经常遇到，这类问题经常借助于函数求解，而对函数平均变化率理解显得尤为重要，下面我们据其定义浅析函数平均变化率的几何意义和物理意义．1．平均变化率的几何意义：如右图：由图可知，设函数()x f y =在10,x x 处对应函数图象上的两点()()1100,,,y x B y x A ，不妨设10x x <，则此函数在区间[]10,x x率xy∆∆()()01010101x x y y x x x f x f --=--=就是经过函数图象上两点()()1100,,,y x B y x A 的割线斜率．注意点：⑴自变量的改变量0≠∆x ，但可正可负；⑵函数()x f 在0x 处有定义，1x 是函数定义域内0x 附近的一点； ⑶xy ∆∆()()01010101x x y y x x x f x f --=--=中自变量的改变量与函数值的改变量，二者差值顺序上对应要一致．如：若01x x x -=∆，则=∆y ()()01x f x f -，而不是=∆y ()()10x f x f -；⑷直线斜率有正有负有零，平均变化率也有正有负有零．例1：分别求函数2x y =在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-021，、⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,0和⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,21的平均变化率，并说明图像的变化情况．分析：根据平均变化率的几何意义可直接求相应割线斜率． 解：设()2x x f y ==，如下图：据平均变化率的几何意义知，函数在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-021，内的平均变化率为： ()2121041021021-=--=---⎪⎭⎫⎝⎛-=∆∆f f x y ；y21１21-２xyＯＡＢ1x 0x 0y 1y函数在⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,0内的平均变化率为：()2121041021021=-=--⎪⎭⎫⎝⎛=∆∆f f x y ； 函数在⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,21内的平均变化率为：()2321411211211=-=-⎪⎭⎫⎝⎛-=∆∆f f x y ； 由上面所求结果可以看出，函数在⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,21内的平均变化率大于在⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,0内的平均变化率，所以函数图像在⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,21内的比在⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,0的要陡一些；函数在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-021，内与在⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,0的平均变化率符号相反，但绝对值相等，函数在这两段内的图像升降变化快慢相同，但平均变化率为正时图像从左向右上升，平均变化率为负时，图像从左向右下降．评注：函数平均变化率的绝对值大，图像相对要陡一些，平均变化率绝对值小，图像相对要平缓，平均变化率能近似刻画图像的升降快慢．在较小范围内，平均变化率为正，图像从左向右上升，反之下降．２.平均变化率的的物理意义设()t s S =表示物体运动路程S 关于时间t 的函数，设(),11S t s =()22S t s =，其中210t t <≤，则()t s S =在[]21,t t 内的平均变化率为1212t t S S t S --=∆∆，它表示从1t 到2t 这段时间内，物体的平均速度．说明：平均变化率大，说明物体运动的相对快一些，反之较慢.平均变化率能近似反应物体在某短时间内运动的快慢.例2：自由落体的方程为221gt s =,s m g /10=，一物体从t=1状态下开始自由落下，01.0秒后，物体运动路程的增量为 米，在1=t 附近的平均变化率为 ，这01.0秒内物体的平均速度为 ．分析：物体运动路程的增量就是函数值的差值，物体01.0秒内的平均速度就是在[]01.01，内的平均变化率；可借助于割线斜率求解．解：⑴因为物体自由落体的方程为221gt s =,s m g /10=，则25t s =，所以1=t 时，5=s ；01.1=t 时，1005.5=s ，则物体运动路程的增量为=∆s 1005.051005.5=-()m ． ⑵t=1附近的平均变化率为为()10455152+∆-∆=∆-∆+=∆∆tt t t t s ()0≠∆t ． ⑶根据平均变化率的物理意义知，这01.0秒内物体的平均速度为：05.1001.01005.0==∆∆t s )/(s m ． 评注：路程关于时间的函数的平均变化率是物体在某短时间内的平均速度，掌握这一物理意义，可用于解决一些实际问题．以上是对函数平均变化率的定义及意义的浅析．理解平均变化率的意义，并能熟练应用是后面理解导数的基础．。
高二数学平均变化率1
法国《队报》网站的文章称刘翔以不可思议的速度统治 了赛场。这名21岁的中国人跑的几乎比炮弹还快，赛道 上显示的12.94秒的成绩已经打破了12.95奥运会记录,但 经过验证他是以12.91秒平了世界纪录，他的平均速度
达到8.52m/s。
平均速度的数学意义是什么 ?
现有南京市某年3月和4月某天日最高气温记载
例3、已知函数 f ( x) 2 x 1, g ( x) 2 x, 分别计算在区间[-3，-1]，[0，5] 上 f ( x)及 g ( x) 的平均变化率。
由本例得到什么结论?
一次函数y=kx+b在区间[m,n]上的 平均变化率就等于k.
2、已知函数 f ( x) 3x 1，分 别计算 f ( x ) 在下列区间上的平 均变化率：
普通高中课程标准实验教科书《数学》(选修)1-1、2-2导数及其应用江苏教育出版社
到2万元，如何比较和评价甲、乙
两人的经营成果？
10 1 2 1 2 解 :甲 : ,乙 : , 12 5 6 5 6 5 乙的经营效果较好 .
1、某婴儿从出生到第12个月的体重变化如 图所示，试分别计算从出生到第3个月与第 6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率
W(kg) 11 8.6 6.5 3.5 3 6 9
时间 日最高气 温
3月18 日 3.5℃
4月18 4月20 日 日 18.6℃ 33.4℃
温差15.1℃ 温差14.8℃
“气温陡增”这一句生活用语，用数学方法如何刻画
?
联想 直线
T (℃ ) C (34, 33.4)
30
B (32, 18.6) 20
K=7.4
10 A (1, 3.5)
高二数学函数的平均变化率
你看过高台跳水比赛吗? 照片中锁定了运动员比
赛的瞬间.已知起跳1s后, 运动员相对于水面的高
度 h 单位 : m可用函数
ht 4.9t2 6.5t 10表
示.如何求他在某时刻的 速 度 ?他距水面的最大 高度是多少?
1.1变化率与导数
丰富多彩的变化率问题随处可见. 让我们从其中的两个问题, 开始变 化率与导数的学习吧!
x
x2 x1
表示什么?
；苹果应用 /?s=down-show-id-5.html ；
定不怕？”临走前,何玲颇担心她.“没关系,赶紧回去吧.”以为她担心自己一个女生晚上怕黑,陆羽笑着将她一家送出院门,看着周家人绕到自家屋后往村里走.屋子周围种着许多桉树,村里风大,吹得叶子沙沙响.院门前有一大片空地被屋主铺了一层水泥,不管下多大雨,地面永远是平坦干净 の,没有泥坑.离开一段距离,周国兵悄声问妻子,“那房子の事你跟她说过了？”“有什么好说の,那是迷信,是谣言,不知真假能到处乱传吗？”何玲瞪他一眼,“况且她是租,又不是买,房子再怎样都扯不上她.”“啊？不好吧？我看她人挺娇气の,万一...”男人前怕虎后怕狼の怂样,女人最 看不惯,何玲没好气道：“万一什么？你爸整天去打扫卫生也不见怎样.难得现在没人传了,定康家搞成那样赚得一分算一分,你散播谣言撵客不是落井下石吗？别忘了他以前怎么帮咱们の...”瞧这出息,啐,就一送货の命.男人被说得耳根发热,忙讪笑岔开话题.怼完男人,何玲小心背着孩子, 走着走着,回头看了一眼.发现那女孩仍站在门口,一个人孤伶伶の,夜深人静,明亮の灯光把她单薄の身影拉得老长...村里人家少,天一黑,四周立马伸手不见五指.除非皓月当头,星辰遍布夜空,否则,偌大一个村子仅剩周叔家一盏半坏の灯若明若暗,鬼火似の有点吓人.老人迷信,叮嘱陆羽今 晚要亮着家中所有の灯.这是
高二数学平均变化率
高二数学平均变化率课题平均变化率课型新授时间09/ 9 /学习目标1．理解平均变化率的意义，为后续建立瞬时变化率和导数的数学模型提供丰富的背景；2．会求平均变化率。
学习重点平均变化率的实际意义与数学意义一、自主学习一．问题情境某人走路的第1秒到第34秒的位移时间图象如图所示：问题1："从A到B的位移是？从B到C的位移是？"问题2："AB段与BC段哪一段速度较快？"速度快慢是生活用语，怎样将它数学化？从图形看，曲线上BC之间一段几乎成了直线，由此联想到如何量化直线的倾斜程度？问题3：由点B上升到C点仅考察的大小，能否精确量化BC段陡峭的程度？还应该考察什么？这两部分结合在一起实际上就是研究，进而反映了速度快慢。
（函数的本质在于一个量的改变本身就隐含着这种改变必定相对于另一个量的改变而言。
）由此，上图中，位移在区间上的平均变化率为与位移在区间上的平均变化率。
通过两者的比较，就可以感知曲线陡峭程度的量化。
二．数学构建一般地，给出函数在区间上的平均变化率为：请回到位移曲线图中，从数和形两方面对平均变化率进行意义解释：数：；形：。
说明：用平均变化率来量化一段曲线的陡峭程度是"粗糙不精确的"，但应注意当很小时，这种量化便由"粗糙"逼迫"精确"。
三．自学检测：1.课本（文）P59（理）P7练习1，结论是。
2.甲、乙两汽车，速度从分别加速到和，如何评判两车的性能？。
二、问题探究问题1．课本（文）P58（理）P7页例1、例2，并注意小结（1）如何解释例1中从出生到第3个月，婴儿体重平均变化率为1（月）？（2）例1中两个不同的平均变化率的实际意义是什么？（3）例2中是一个随时间变化而变化的量，（）是否表示10秒内每一时刻容器甲中水的体积减少的速度？问题2．课本（文）P58（理）P7例3、例4，并注意小结（1）例3、例4均为数学内部的例子，是例1、例2的深化。
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倾听簌簌丹枫流韵，俯首落叶轻轻滑落脸颊，可似倦鸟归巢羽翼轻抚。万物有情，远方人儿，断鸿声里捎来一缕佳音。也让遥远企盼，收获秋实充盈喜悦。hg0088 中秋时节，醉人月色，映衬如此宁静，轩窗清寂更显得格外安详，踱步阶下，环顾月拢中天，满眼都是蔚蓝明丽颜色，稻花香里，片片蛙鸣抛一串快乐音符。 人生若只如初见，那么，我又该向你如何倾诉？也是在秋盈枫染之际，曾经月圆时分，凝睇过你姣好容颜，而未知我当时怦然心动，以及现在百感交集。 秋风渐，光阴荏苒，不能忘怀，你临别馈赠，那册娟秀工楷诗稿还未读完；拈花一笑那面凤鸟纹青铜镜映照倩影，历经春秋余温尚存。 谁寂寞了缘聚，散尽一身芳华？不忍离去你我相遇中秋，就是为了与你下一次擦肩。独自在月色中挥毫，洒金宣渐渐洇开往日情怀，既然在流年中际遇了纯真，就该在爱恋中感悟青春美好眷顾。 月到中秋分外明，人至月圆倍思亲，难以忘怀那倾城一笑，铭记于此刻骨铭心依依守望。 丹枫柏翠，此际韶华，设若沈园偶遇，终其一生亦不会朝朝暮暮，但心有所属，那份默契却可以终生厮守，一如月色溶溶近在咫尺，却又高悬远天，总是那么脉脉温情。 惜缘，珍重情意，稍纵即逝流光，转身就是过往。 秋色蕴藉，撩拨万籁俱寂，似有歌吟，袅袅不绝如缕，月的歌在梦里清丽婉转，梦的歌在季节里曼妙婀娜，揽一段Байду номын сангаас洁做弦琴瑟和鸣，重拾往日那份简朴宁静。 心随天籁，诺允在那份秋意浓郁。