整理：多元线性回归过程
多元回归分析的步骤
多元回归分析的步骤1.确定研究问题和目标：在开始多元回归分析之前，需要明确研究问题和目标。
这有助于确定所需的数据、研究变量，以及模型的选择。
2.收集数据：收集包含自变量和因变量的数据样本。
通常需要收集一定量的数据，以确保模型具有足够的准确性和可靠性。
3.数据清理和准备：对数据进行清理和准备是确保多元回归分析准确性的重要步骤。
这包括检查数据是否完整、是否存在异常值、缺失值如何处理等。
4.确定模型：在多元回归分析中，需要选择适当的模型来描述自变量与因变量之间的关系。
根据问题的需求和理论背景，可以选择线性回归模型、非线性回归模型、对数线性模型等。
5.模型适合度检验：在建立模型后，需要对模型的适合度进行评估。
常见的方法包括残差分析、F检验和决定系数（R2）的计算。
6.变量选择：根据研究目标和模型的适合度，可以选择保留所有自变量或根据统计和经验的指导进行变量选择。
常见的方法包括逐步回归、前向选择和后向消元。
7.假设检验：在多元回归分析中，可以进行假设检验以确定自变量的显著性。
常见的假设包括检验系数是否为零，同时也可以检验模型整体的显著性。
8.解释结果：根据分析结果和统计显著性，解释模型中自变量对因变量的影响程度和方向。
注意要提供有关变量关系的详细解释和背景信息。
9.预测：基于建立的多元回归模型，可以使用新的自变量数据来预测因变量的值。
这可以帮助我们了解自变量的实际影响，并进行未来趋势的预测。
10.总结和报告：最后，将所有的分析结果进行总结和报告。
包括数据的清晰展示、统计显著性的解释、模型的解释力和预测能力的评估等。
总之，多元回归分析是一个复杂的过程，需要仔细的计划和执行。
它可以帮助我们了解变量之间的关系，对因变量的影响进行量化，并预测未来的趋势。
在进行多元回归分析时，需根据具体问题、数据质量和研究目标来选择合适的方法和步骤。
多元线性回归及相关分析
r12 r11 r22 r R (rij ) M M 21 r M 1 rM 2 第二步：求得其逆矩阵： c12 c11 c 22 c R 1 (c ij ) M M 21 c M M 1 c 2
一个m元线性回归方程可给定为：
ˆ y a b1 x1 b2 x2 bm xm
a是x1，x2，…，xm 都为0时y 的点估计值；b1是by1· 23…m 的 简写，它是在x2，x3，…，xm 皆保持一定时，x1 每增加一个单
位对y的效应，称为x2，x3，…，xm 不变(取常量)时x1 对y 的偏
1.多元相关分析
多元相关或复相关(multiple correlation)：在M=m+1个变量中，m个自变
量和1个依变量的总相关。
多元相关系数(multiple correlation coefficient)：在m个自变量和1个依变 量的多元相关中，多元相关系数记作 Ry/12…m ，读作依变量y和m个自变 量的多元相关系数。
Uy/12…m=b1SP1y+b2SP2y+...+bmSPmy
（2）多元线性回归方程的假设检验
建立回归方程后，须分析依变量Y与这m个自变量之间
是否确有线性回归关系，可用F检验。
(F-检验)显著性检验一般步骤：
1.提出假设:H0:β1=β2=...=βm=0;HA:β1,β2,...βm不全为0 2.选择适合检验的统计量
回归系数(partial regression coefficient) 。
a y b1x1 b2 x 2 ... bmxm
用矩阵表示为：
(整理)计量经济学 第三章 多元线性回归与最小二乘估计
第三章 多元线性回归与最小二乘估计3.1 假定条件、最小二乘估计量和高斯—马尔可夫定理1、多元线性回归模型：y t = β0 +β1x t 1 + β2x t 2 +…+ βk - 1x t k -1 + u t (3.1) 其中y t 是被解释变量（因变量），x t j 是解释变量（自变量），u t 是随机误差项，βi , i = 0, 1, … , k - 1是回归参数（通常未知）。
对经济问题的实际意义：y t 与x t j 存在线性关系，x t j , j = 0, 1, … , k - 1, 是y t 的重要解释变量。
u t 代表众多影响y t 变化的微小因素。
使y t 的变化偏离了E( y t ) = β0 +β1x t 1 + β2x t 2 +…+ βk - 1x t k -1 决定的k 维空间平面。
当给定一个样本（y t , x t 1, x t 2 ,…, x t k -1）, t = 1, 2, …, T 时, 上述模型表示为 y 1 = β0 +β1x 11 + β2x 12 +…+ βk - 1x 1 k -1 + u 1,y 2 = β0 +β1x 21 + β2x 22 +…+ βk - 1x 2 k -1 + u 2, (3.2) ………..y T = β0 +β1x T 1 + β2x T 2 +…+ βk - 1x T k -1 + u T经济意义：x t j 是y t 的重要解释变量。
代数意义：y t 与x t j 存在线性关系。
几何意义：y t 表示一个多维平面。
此时y t 与x t i 已知，βj 与 u t 未知。
)1(21)1(110)(111222111111)1(21111⨯⨯-⨯---⨯⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡T T k k k T k T TjT k j k jT T u u u x x x x x x x x x y y yβββ (3.3) Y = X β + u (3.4)2假定条件为保证得到最优估计量，回归模型（3.4）应满足如下假定条件。
多元线性回归的计算模型
多元线性回归的计算模型多元线性回归模型的数学表示可以表示为：Y=β0+β1X1+β2X2+...+βkXk+ε，其中Y表示因变量，Xi表示第i个自变量，βi表示第i个自变量的回归系数（即自变量对因变量的影响），ε表示误差项。
1.每个自变量与因变量之间是线性关系。
2.自变量之间相互独立，即不存在多重共线性。
3.误差项ε服从正态分布。
4.误差项ε具有同方差性，即方差相等。
5.误差项ε之间相互独立。
为了估计多元线性回归模型的回归系数，常常使用最小二乘法。
最小二乘法的目标是使得由回归方程预测的值与实际值之间的残差平方和最小化。
具体步骤如下：1.收集数据。
需要收集因变量和多个自变量的数据，并确保数据之间的正确对应关系。
2.建立模型。
根据实际问题和理论知识，确定多元线性回归模型的形式。
3.估计回归系数。
利用最小二乘法估计回归系数，使得预测值与实际值之间的残差平方和最小化。
4.假设检验。
对模型的回归系数进行假设检验，判断自变量对因变量是否显著。
5. 模型评价。
使用统计指标如决定系数（R2）、调整决定系数（adjusted R2）、标准误差（standard error）等对模型进行评价。
6.模型应用与预测。
通过多元线性回归模型，可以对新的自变量值进行预测，并进行决策和提出建议。
多元线性回归模型的计算可以利用统计软件进行，例如R、Python中的statsmodels库、scikit-learn库等。
这些软件包提供了多元线性回归模型的函数和方法，可以方便地进行模型的估计和评价。
在计算过程中，需要注意检验模型的假设前提是否满足，如果不满足可能会影响到模型的可靠性和解释性。
总而言之，多元线性回归模型是一种常用的预测模型，可以分析多个自变量对因变量的影响。
通过最小二乘法估计回归系数，并进行假设检验和模型评价，可以得到一个可靠的模型，并进行预测和决策。
多元线性回归模型过程
多元线性回归模型过程
多元线性回归是一种常用的回归分析模型，它可以用来分析两个或多个自变量之间的线性关系。
下面介绍多元线性回归模型的过程：
一、建立模型
1、观察原始数据：首先要收集需要分析的原始数据，从数据中观察现象背后
的规律来获取有效信息；
2、定义自变量与因变量：根据原始数据形成假设，确定要分析的自变量和因
变量，从而确定要分析的模型；
3、归纳回归方程式：运用最小二乘法解决回归方程，归纳出多元线性回归模型；
二、检验模型
1、显著性检验：检验所选变量是否对因变量有显著影响；
2、线性有效性检验：检验多元线性回归模型的线性有效性，确定拟合数据的完整性；
3、自相关性检验：检验各个自变量间的线性关系是否存在自相关现象；
4、影响因素较差检验：检验因变量的预测值与实际值之间的相对关系；
三、参数估计
1、极大似然估计：根据已建立的多元线性回归模型，可以运用极大似然估计，得出模型中未知参数的点估计值；
2、大致估计：利用已经进行检验的多元线性回归模型，对模型参数进行大致
估计，求出平均偏差平方根，从而估计模型的精确度；
四、分析模型
1、确定因子影响：根据已建立多元线性回归模型，可以求出每个自变量的系数，从而确定影响因变量的主要因素；
2、决定系数：可以利用模型求出每个自变量的决定系数，从而求得因变量对自变量的百分比影响；
3、对因变量施加假设：多元线性回归模型可以根据模型参数影响程度和数据情况，在每个自变量上施加多种假设，以确定模型最合理的假设；
4、模型检验：根据已建立的多元线性回归模型，可以运用张量分析，根据模型的指标，检验模型的被解释力水平，判断模型的有效性。
(整理)第四章 多元线性回归模型
第四章 多元线性回归模型在一元线性回归模型中，解释变量只有一个。
但在实际问题中，影响因变量的变量可能不止一个，比如根据经济学理论，人们对某种商品的需求不仅受该商品市场价格的影响，而且受其它商品价格以及人们可支配收入水平的制约；影响劳动力劳动供给意愿（用劳动参与率度量）的因素不仅包括经济形势（用失业率度量），而且包括劳动实际工资；根据凯恩斯的流动性偏好理论，影响人们货币需求的因素不仅包括人们的收入水平，而且包括利率水平等。
当解释变量的个数由一个扩展到两个或两个以上时，一元线性回归模型就扩展为多元线性回归模型。
本章在理论分析中以二元线性回归模型为例进行。
一、预备知识（一）相关概念对于一个三变量总体，若由基础理论，变量21,x x 和变量y 之间存在因果关系，或21,x x 的变异可用来解释y 的变异。
为检验变量21,x x 和变量y 之间因果关系是否存在、度量变量21,x x 对变量y 影响的强弱与显著性、以及利用解释变量21,x x 去预测因变量y ，引入多元回归分析这一工具。
将给定i i x x 21,条件下i y 的均值i i i i i x x x x y E 2211021),|(βββ++= （4.1） 定义为总体回归函数（Population Regression Function,PRF ）。
定义),|(21i i i i x x y E y -为误差项（error term ）,记为i μ，即),|(21i i i i i x x y E y -=μ，这样i i i i i x x y E y μ+=),|(21，或i i i i x x y μβββ+++=22110 （4.2）（4.2）式称为总体回归模型或者随机总体回归函数。
其中，21,x x 称为解释变量（explanatory variable ）或自变量（independent variable ）；y 称为被解释变量（explained variable ）或因变量（dependent variable ）；误差项μ解释了因变量的变动中不能完全被自变量所解释的部分。
多元线性回归分析
方程组中： lij l ji ( X i X i )(X j X j ) X i X j [(X i )(X j )]/ n
liy ( X i X i )(Y Y ) X iY [(X i )(Y )]/ n
常数项 b0 Y b1 X1 b2 X 2 ... bm X m
X3
X4
-0.27059
0.6382
-0.33948
0.39774
bj b j
l jj lYY
bj
l jj /(n 1) lYY /(n 1)
bj
Sj SY
偏回归系数
偏回归系 数标准误
标准偏回归系数
（三）计算相应指标，对模型的拟合效果进行评价
评价回归方程回归效果的优劣是回归分析的重要内容之一。
SS回归 / m SS剩余 /( n m 1 )
检验统计量为 F ： F
SS回归 为回归项的平方和，反映由于方程中 m 个自变量与因变量 Y
的线性关系而使因变量 Y 变异减小的部分；
SS回归 b1l1Y b2l2Y bmlmY bi liy
SS剩余 表示剩余平方和，说明除自变量外，其它随机因素
各变量均值分别为：
X 1 5.8126， X 2 2.8407， X 3 6.1467， X 4 9.1185， Y 11.9259，
则常数项： b0 11.9259 0.1424 5.8126 0.3515 2.8407 0.2706 6.1467 0.6382 9.1185 = 5.9433
概念： 多元线性回归分析也称复线性回归分析（ multiple linear regression analysis）,它研究一组自变量如何直接影响一个 因变量。
多元线性回归
回归分析中两个或两个以上的自变量
01 概念
03 估计方法
目录
02 公式 04 相关的软件
在回归分析中，如果有两个或两个以上的自变量，就称为多元回归。事实上，一种现象常常是与多个因素相 联系的，由多个自变量的最优组合共同来预测或估计因变量，比只用一个自变量进行预测或估计更有效，更符合 实际。因此多元线性回归比一元线性回归的实用往受到多个因素的影响，因此，一般要进行多元回归分析，我们把包括两个或两个以 上自变量的回归称为多元线性回归 。
多元线性回归的基本原理和基本计算过程与一元线性回归相同，但由于自变量个数多，计算相当麻烦，一般 在实际中应用时都要借助统计软件。这里只介绍多元线性回归的一些基本问题。
谢谢观看
估计方法
1.普通最小二乘法 普通最小二乘法(Ordinary Least Square, OLS)通过最小化误差的平方和寻找最佳函数。通过矩阵运算求 解系数矩阵： 2.广义最小二乘法 广义最小二乘法(Generalized Least Square)是普通最小二乘法的拓展，它允许在误差项存在异方差或自 相关，或二者皆有时获得有效的系数估计值。公式如右， 图1..广义最小二乘法公式 其中，Ω是残差项的协方差矩阵。
相关的软件
SPSS（Statistical Package for the Social Science）－－社会科学统计软件包是世界著名的统计分析 软件之一。20世纪60年代末，美国斯坦福大学的三位研究生研制开发了最早的统计分析软件SPSS，同时成立了 SPSS公司，并于1975年在芝加哥组建了SPSS总部。20世纪80年代以前，SPSS统计软件主要应用于企事业单位。 1984年SPSS总部首先推出了世界第一个统计分析软件微机版本SPSS/PC+，开创了SPSS微机系列产品的开发方向， 从而确立了个人用户市场第一的地位。同时SPSS公司推行本土化策略，已推出9个语种版本。SPSS/PC+的推出， 极大地扩充了它的应用范围，使其能很快地应用于自然科学、技术科学、社会科学的各个领域，世界上许多有影 响的报刊杂志纷纷就SPSS的自动统计绘图、数据的深入分析、使用方便、功能齐全等方面给予了高度的评价与称 赞。已经在国内逐渐流行起来。它使用Windows的窗口方式展示各种管理和分析数据方法的功能，使用对话框展 示出各种功能选择项，只要掌握一定的Windows操作技能，粗通统计分析原理，就可以使用该软件为特定的科研 工作服务。
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22
每个系数的检验：t检验 Sig列小等于0.05，说明对应行的变量通过 检验，可接受，对应的系数，就是B列的值； Sig列只要有一个大于0.05，则说明这个函 数还不能用，要改进
23
改进：逐个按照Sig从大到小，去掉Sig大 于0.05行对应的变量，重新建模 这个过程叫做逐步回归，这个过程用spss 自动完成
17
实际应用中：存在多重共线性，需要消除 多重共线性，不能直接建立多元线性回归 方程。
18
序列自相关 计算结果为1.956，查表，结果发现不存在 序列自相关
19
异方差检验 怀特检验
20
第三部分：多元线性回归建模过程
21
F检验：检验函数整体上是否可行，如果 sig.列小于0.05，说明函数整体上看可行。
27
确定系数：
简记为R2，即回归平方和SS回归与总离 均差平方和SS总的比例。 R2 ＝ SS回归／ SS总 可用来定量评价在Y的总变异中，由P个 X变量建立的线性回归方程所能解释的比 例。
28
残差平方和，小的好
29
二、预测的评价标准
１、平均预测误差平方和（mean squared error，简记MSE）平均预测误差绝对值 （mean absolute error,简记MAE）。
55
在matlab命令行中输入： Beta=INVXX*XY
56
中间结算结果
年份 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 合计 y 9 9.5 10 10.6 12.4 16.2 17.7 20.1 21.8 25.3 31.3 36 219.9 x2 12.1 12.9 13.8 14.8 16.4 20.9 24.2 28.1 30.1 35.8 48.5 54.8 312.4 x3 48.2 48.9 49.54 50.25 51.02 51.84 52.76 53.69 54.55 55.35 56.16 56.98 629.24 x2x3 583.22 630.81 683.65 743.7 836.73 1083.5 1276.8 1508.7 1642 1981.5 2723.8 3122.5 16817 x2平方 146.41 166.41 190.44 219.04 268.96 436.81 585.64 789.61 906.01 1281.64 2352.25 3003.04 10346.3 x3平方 2323.24 2391.21 2454.212 2525.063 2603.04 2687.386 2783.618 2882.616 2975.703 3063.623 3153.946 3246.72 33090.37 x2y 108.9 122.55 138 156.88 203.36 338.58 428.34 564.81 656.18 905.74 1518.05 1972.8 7114.19 x3y 433.8 464.55 495.4 532.65 632.65 839.81 933.85 1079.2 1189.2 1400.4 1757.8 2051.3 11811 y平方 81 90.25 100 112.36 153.76 262.44 313.29 404.01 475.24 640.09 979.69 1296 4908.13
第三章 回归分析预测法
1
第一部分：多元线性回归经典假设
2
假设 1. 解释变量 X 是确定性变量，不是随机变 量，并且不存在多重共线性；
假设2. 随机误差项具有零均值、同方差和无自 相关，不存在异方差性，序列相关性：
E(i)=0 Var (i)=2 Cov(i, j)=0 i=1,2, …,n i=1,2, …,n i≠j i,j= 1,2, …,n
（2.69）
其中y s , y , s , 分别是序列 yts 和 yt 的平均值和 标准差， 是它们的相关系数，即：
1 s T yts y s yt y
33
定义不相等比例如下：
U
M
1 T y
y
s
y
s t
解释被解释变量的变化，因此解释能力的高低
就成为衡量模型好坏的重要的标准。
4、理论一致性（theoretical consistency）
即使模型的拟合性很高，但是如果模型中某一 变量系数的估计值符号与经济理论不符，那么 这个模型就是失败的。
37
5、预测能力（predictive power） 著名经济学家弗里德曼（M.Friedman）认为： “对假设（模型）的真实性唯一有效的检验就 是将预测值与经验值相比较”。因此一个好的 模型必须有对未来的较强的预测能力。
7
假设3. 随机误差项与解释变量X之间不 相关： Cov(Xi, i)=0
i=1,2, …,n
假设4. 服从零均值、同方差、零协方 差的正态分布 i~N(0, 2 )
i=1,2, …,n
8
多重共线性
9
第二部分：多元线性回归经典假设检验
10
9 9.5 10
12.1 12.9 13.8
偏误比例U M 表示系统误差，因为它度Байду номын сангаас的是模 拟序列与实际序列之间的偏离程度。
方差比例U S 表示的是模型中的变量重复其实际 变化程度的能力。
协方差比例 U C 度量的是非系统误差，即反映的 是考虑了与平均值的离差之后剩下的误差。 理想的不相等比例的分布是 U M U S 0,U C 1。
criterion,简记为AIC）和Schwarz的信息准则
（Schwarz information criterion,简记为SC）
2k ˆ ) AIC=ln( T
2
k ˆ ) (ln T) SC ln( T
2
40
其中 ˆ 2 是方程随机误差项方差的估计值，k是 解释变量的个数，T是样本容量。
48.2 48.9 49.54
10.6
12.4 16.2 17.7 20.1 21.8 25.3 31.3 36
14.8
16.4 20.9 24.2 28.1 30.1 35.8 48.5 54.8
50.25
51.02 51.84 52.76 53.69 54.55 55.35 56.16 56.98
48.9
49.54 50.25 51.02
16.2
17.7 20.1 21.8
20.9
24.2 28.1 30.1
51.84
52.76 53.69 54.55
X=
25.3
31.3 36
35.8
48.5 54.8
55.35
56.16 56.98
X’=
49
在matlab中输入命令行，然后按回车 XX=X'*X
bj ´ = bj (sj / sy)
42
第四部分：多元线性回归手工建模过程
43
一元线性回归计算过程
1、系数估计：
ˆx ˆ yt t
ˆ
x y T xy x Tx ˆx ˆ y
t t 2 t 2
44
多元线性回归计算过程
1、系数估计：
yt 1 2 x2t 3 x3t ...... k xkt ut
38
二、用于预测的模型的选择
因为R2将随着模型解释变量的增多而不断增加，
按照此标准我们将不会得到最佳的预测模型。 因此必须对由于解释变量增多而造成自由度丢 失施加一个惩罚项，其中的一个标准就是：
T 1 2 R 1 1 R T K
2
39
对自由度丢失惩罚更为严格的标准： Akaike的信息准则（Akaike information
50
51
在matlab中输入INVXX=inv(XX),然后按回 车（注意大小写）
52
从excel中复制y这列的数据
53
在matlab命令行中 输入：Y=[]，然后鼠标移到中括号中间 然后，黏贴复制的y数据
54
在matlab中输入XY=X'*Y,然后按回车（注 意大小写）
变量的MSE定义为：
1 T s 2 MSE= yt yt T t 1
s t
（2.66）
其中 y ― yt 的预测值，yt ―实际值，T―时 段数
30
变量的MAE定义如下：
（2.67）
1 T s y y MAE= t t ，变量的定义同前 T t 1
24
到此，如果检验都通过，说明：这个模型 是可以用的 如果有多个都可以，那个更好
25
多元线性回归方程的评价
评价回归方程的优劣、好坏可用确定系 数R2和剩余标准差Sy,x1,2..p 。 Sy,x1,2. p ＝SQRT（SS误差／n-p-1） 如用于预测，重要的是组外回代结果。
26
R检验 一般接近1的好 估计标准误，小一些好
3
异方差
Y Y
0 1X
0 1X
X
X
4
随机误差项包含众多因素对因变里的影响， 如果其中某一个或多个因素随 着自变量观侧值的变化而对因变量产生不 同的影响，往往会导致异方差性。一 般情况下，用截面数据作样本时出现异方 差性的可能较大，或者说一般都存在 异方差性。而当随机误差项存在异方差性 时，它的方差往往与主要的自变量之 间存在某种联系。
35
第五节：模型选择 一、“好”模型具有的特性
1、节省性（parsimony） 一个好的模型应在相对精确反应现实的基础上 尽可能的简单。 2、可识别性（identifiability） 对于给定的一组数据，估计的参数要有唯一确 定值。