1、抽象函数解法综述+解题技巧
抽象函数题的解法与技巧
抽象函数题的解法及技巧随着高考改革的不但深入，对基本初等函数中的抽象函数部分考查又有所提高，其题型包括抽象函数的定义域值域问题，抽象函数的单调性和奇偶性问题，求解析式及对称性问题，现就结合着近几年高考出现的体型对抽象函数部分题的解法及技巧总结如下，供备考同学们参考使用。
类型一：求抽象函数的定义域。
例题1．（2013高考大纲版数学（理））已知函数f(x ）的定义域为（-1,0）,则函数f （2x-1）的定义域为 (A)（-1,1） (B)（-1，21） (C)（-1,0） (D)（21，1） 解析：因为原函数的定义域为（﹣1，0），所以﹣1＜2x ﹣1＜0，解得﹣1＜x ＜．所以则函数f （2x ﹣1）的定义域为（-1，21）．故选B ． 变式1：已知f （2x-1）定义域是[]2,1，则函数)(x f 的定义域为 答案：[1,3]变式2：已知已知f(2x-1)定义域是[]2,1，则函数)12(+x f 的定义域为 答案：[0,1] 解题技巧：抽象函数是没有解析式的函数，解决此类问题的方法是抓住这种类型题的本质，像例题1这种题型的本质是解不等式，变式1题型的本质就是求函数的值域，变式2这种题型的本质就是解不等式和求值域的结合。
解决这类问题的技巧搞清本质抓住两个小括号的范围要对应起来，是解决的技巧所在。
类型二：抽象函数的求值问题：例2.对任意实数x,y ，均满足f(2x +y)=2[f 2)(x ]+f(y)且f （1）≠0，则f2014）=_______. 解析:这种求较大自变量对应的函数值，一般从找周期或递推式着手：令x=1，y=n ，得f （n+1）=f （n ）+22)]1([f , 令x=0,y=1,得f(0+12)=f(0)+2f[(1)]2, 令x=y=0,得：f(0)=0,∴f(1)=21,即f （n+1）-f （n ）=21，f （n ）=2n，所以，f(2014)=22014=1007. 解题技巧：抽象函数的性质是用条件恒等式给出的，可通过赋特殊值法使问题得以解决。
抽象函数解题方法
抽象函数抽象函数解题方法一般形式为y=f(x)且无法用数字和字母表示出来的函数，一般出现在题目中，或许有定义域、值域等。
补充：1抽象函数常常与周期函数结合，如：f(x)=-f(x+2)f(x)=f(x+4)2解抽象函数题，通常要用赋值法，而且高考数学中，常常要先求F（0）F（1）抽象函数的经典题目！！！我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数。
由于这类问题可以全面考查学生对函数概念和性质的理解，同时抽象函数问题又将函数的定义域，值域，单调性，奇偶性，周期性和图象集于一身，所以在高考中不断出现；如2002年上海高考卷1 2题，2004年江苏高考卷22题，2004年浙江高考卷12题等。
学生在解决这类问题时，往往会感到无从下手，正确率低，本文就这类问题的解法谈一点粗浅的看法。
一．特殊值法:在处理选择题时有意想不到的效果。
例1 定义在R上的函数f(x)满足f (x + y) = f (x) + f ( y )(x，y∈R)，当x <0时，, f (x)>0，则函数f (x)在[a,b]上( )A 有最小值f (a) B有最大值f (b) C有最小值f (b) D有最大值f ( b)分析：许多抽象函数是由特殊函数抽象背景而得到的，如正比例函数f (x)= kx (k≠0)，, , ，可抽象为f (x + y) = f (x) +f (y)，与此类似的还有特殊函数抽象函数f (x)= x f (xy) =f (x) f (y)f (x)=f (x+y)= f (x) f (y)f (x)=f (xy) = f (x)+f (y)f (x)= tanx f(x+y)=此题作为选择题可采用特殊值函数f (x)= kx(k≠0)∵当x <0时f (x) > 0即kx > 0。
.∴k < 0，可得f (x)在[a,b]上单调递减，从而在[a,b]上有最小值f(b)。
二．赋值法．根据所要证明的或求解的问题使自变量取某些特殊值，从而来解决问题。
抽象函数常见题型及解法综述
是［－ １， １］； ③在其定义域上递减； ④ ｆ（ ｘ） ＋ｆ（ ｙ） ＝ ｆ（ ｘｙ） 对于
任意实数 ｘ， ｙ 都成立．解不等式 ｆ－１（ ｘ）·ｆ－１（ １ ） ≤ １ ． １－ ｘ ２
联想
因 为 ｌｏｇａ（ ｘ·ｙ） ＝ｌｏｇａｘ＋ｌｏｇａｙ， 而 ｌｏｇ １
２
１ ２
＝１， ｙ＝
ｌｏｇ １ ｘ 在其定义域内为减函数， 所以猜测它的模型函数
#!ｆ －１（ ｘ＋ １ ） ≤ｆ －１（ １） ， #ｘ＋ １ ≥１，
% １－ ｘ
% １－ ｘ
%%－ １≤ｘ＋ １ ≤１，
$
１－ ｘ
%%－ １≤ｘ＋ １ ≤１，
∴(
１－ ｘ
∴ｘ＝０．
%－ １≤ｘ≤１，
%－ １≤ｘ≤１，
&%%－ １≤
１ １－ ｘ
≤１．
&%%－ １≤
１ １－ ｘ
≤１．
故 原 不 等 式 的 解 集 为 ｛０｝．
二 、寻 觅 特 殊 函 数 的 模 型
１．指 数 函 数 模 型
例 ６ 设 ｆ（ ｘ） 定义于实数集 Ｒ 上， 当 ｘ＞０ 时， ｆ（ ｘ） ＞１，
且对于任意实数 ｘ， ｙ， 有 ｆ（ ｘ＋ｙ） ＝ ｆ（ ｘ）·ｆ（ ｙ） ， 同时 ｆ（ １） ＝２，
解不等式 ｆ（ ３ｘ－ ｘ２） ＞４．
联 想 由于 ａｘ＋ｙ＝ａ·ｘ ａｙ（ ａ＞０， ａ≠１） ， 于是猜测它的模型
ｘ－ １
ｘ－ １
ｘ－ １
①－ ②＋③并化简得 ｆ（ ｘ） ＝ ｘ３－ ｘ２－ １ ． ２ｘ（ ｘ－ １）
小 结 把 ｘ 和 ｘ－ １ 分 别 看 作 两 个 变 量 ， 怎 样 实 现 由 ｘ
高考抽象函数技巧全总结[1]
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高考抽象函数技巧全总结由于函数概念比较抽象，学生对解有关函数记号()f x 的问题感到困难，学好这部分知识，能加深学生对函数概念的理解，更好地掌握函数的性质，培养灵活性；提高解题能力，优化学生数学思维素质。
现将常见解法及意义总结如下：一、求表达式： 1.换元法：即用中间变量表示原自变量x 的代数式，从而求出()f x ，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力。
例1：已知 ()211x f x x =++,求()f x .解：设1x u x =+,则1u x u=-∴2()2111u u f u uu-=+=--∴2()1x f x x-=-2.凑合法：在已知(())()f g x h x =即可求()f x .此解法简洁，还能进一步复习代换法。
例2：已知3311()f x x xx+=+，求()f x解：∵22111()()(1)(f x x x x xxx+=+-+=11|||1||x xx =+≥∴23()(3)3f x x x x x =-=-，(|x |≥1)3.待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。
例3． 已知()f x 二次实函数，且2(1)(1)f x f x x ++-=+2x +4,求()f x . 解:设()f x =2ax bx c ++，则22(1)(1)(1)(1)(1)(1)f x f x a x b x c a x b x c ++-=+++++-+-+=22222()24ax bx a c x x +++=++比较系数得2()41321,1,2222a c a abc b +=⎧⎪=⇒===⎨⎪=⎩∴213()22f x x x =++4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式. 例4.已知y =()f x 为奇函数,当 x >0时,()lg(1)f x x =+,求()f x解:∵()f x 为奇函数，∴()f x 的定义域关于原点对称，故先求x <0时的表达式。
抽象函数解题方法与技巧
抽象函数的解题技巧1.换元法换元法包括显性换元法和隐性换元法，它是解答抽象函数问题的基本方法. 例1. 已知f(1+sinx)=2+sinx+cos 2x, 求f(x)解:令u=1+sinx,则sinx=u-1 (0≤u ≤2),则f(u)=-u 2+3u+1 (0≤u ≤2)故f(x)=-x 2+3x+1 (0≤u ≤2)2.方程组法运用方程组通过消参、消元的途径也可以解决有关抽象函数的问题。
例2..232|)x (f :|,x )x 1(f 2)x (f ),)x (f ,x ()x (f y ≥=-=求证且为实数即是实数函数设 解:02)x (xf 3 x ,x1)x (f 2)x1(f ,x x 12=++=-与已知得得代换用 .232|)x (f |,024)x (9f 02≥∴≥⨯-≥∆得由例3.f(x).1),x 0(x ,x 1)x1x (f )x (f 求且已知≠≠+=-+ 解:(1)1),x 0(x x 1)x1x (f )x (f ≠≠+=-+且 ,x1x 1)x 1x 1x 1x (f )x 1x (f :x x 1-x -+=---+-得代换用 :x )1(x-11 (2) .x 1x 2)x 11(f )x 1-x f( 得中的代换再以即-=-+ (3) .x1x 2)x (f )x -11f( ,x 111)x111x 11(f )1x 1(f --=+-+=---+-即 1)x 0(x x2x 21x x )x (f :2)2()3()1(223≠≠---=-+且得由 3.待定系数法如果抽象函数的类型是确定的，则可用待定系数法来解答有关抽象函数的问题。
例4.已知f(x)是多项式函数，且f(x+1)+f(x-1)=2x 2-4x,求f(x).解:由已知得f(x)是二次多项式，设f(x)=ax 2+bx+c (a ≠0)代入比较系数得过且过:a=1,b= -2,c= -1,f(x)=x 2-2x-1.4.赋值法有些抽象函数的性质是用条件恒等式给出的，可通过赋特殊值法使问题得以解决。
抽象函数问题求解的常用方法
抽象函数问题求解的常用方法
高中数学中，抽象函数的解题方法主要包括以下几个方面：
1.确定定义域和值域：抽象函数的定义域和值域是解题的基础，需要根据题目中给出的条件进行确定。
2.运用函数性质：抽象函数和一般的函数一样，具有诸如奇偶性、周期性、单调性等函数性质。
在解题过程中，可以根据这些性质进行分析和推导，从而得出结论。
3.运用复合函数的性质：抽象函数可能会出现复合函数的形式，运用复合函数的性质可以将抽象函数化简，从而更加方便进行分析和计算。
4.利用函数的图像特征：抽象函数的图像特征包括零点、极值、拐点等，在解题过程中可以结合图像特征进行分析，进一步确定函数的性质和变化趋势。
需要注意的是，抽象函数作为高中数学中的一个较为高级的知识点，需要学生掌握一定的数学基础和思维方法，例如函数图像的绘制、导数和微积分等知识。
因此，在学习抽象函数时，需要逐步扩充自己的数学知识面，并不断提高自己的数学思维能力和分析能力。
高一数学抽象函数常见题型解法综述 (1)
抽象函数常见题型解法综述赵春祥抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。
由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一。
本文就抽象函数常见题型及解法评析如下：一、定义域问题例1. 已知函数)(2x f 的定义域是［1，2］，求f （x ）的定义域。
解：)(2x f 的定义域是［1，2］，是指21≤≤x ，所以)(2x f 中的2x 满足412≤≤x从而函数f （x ）的定义域是［1，4］评析：一般地，已知函数))((x f ϕ的定义域是A ，求f （x ）的定义域问题，相当于已知))((x f ϕ中x 的取值范围为A ，据此求)(x ϕ的值域问题。
例2. 已知函数)(x f 的定义域是]21[，-，求函数)]3([log 21x f -的定义域。
解：)(x f 的定义域是]21[，-，意思是凡被f 作用的对象都在]21[，-中，由此可得4111)21(3)21(2)3(log 11221≤≤⇒≤-≤⇒≤-≤--x x x 所以函数)]3([log 21x f -的定义域是]4111[，评析：这类问题的一般形式是：已知函数f （x ）的定义域是A ，求函数))((x f ϕ的定义域。
正确理解函数符号及其定义域的含义是求解此类问题的关键。
这类问题实质上相当于已知)(x ϕ的值域B ，且A B ⊆，据此求x 的取值范围。
例2和例1形式上正相反。
二、求值问题例 3. 已知定义域为+R 的函数f （x ），同时满足下列条件：①51)6(1)2(==f f ，；②)()()(y f x f y x f +=⋅，求f （3），f （9）的值。
解：取32==y x ，，得)3()2()6(f f f += 因为51)6(1)2(==f f ，，所以54)3(-=f 又取3==y x 得58)3()3()9(-=+=f f f 评析：通过观察已知与未知的联系，巧妙地赋值，取32==y x ，，这样便把已知条件51)6(1)2(==f f ，与欲求的f （3）沟通了起来。
解抽象函数的常用方法
解 令 ：Ｙ＝０，则 ０）＝ｌ／ ０）＋ ０），．’． ０）＝０．
令 Ｙ＝ 一 ，则 ）＋ 一 ）：０，．。．＿厂（一Ｘ）＝ 一 ），
． ‘ ． －厂（ ）是 奇 函数 ，
设 ＸＩ＜ ２．则 厂（ｘ２）一，（ １）＝＿厂（ ２一 １），
’ ’ ．
＞０√
）＜０，．’． ２一 ｌ＞０√Ｉ ２一 Ｉ）＜０，
例 ２ 定 义 在 Ｒ 上 的 函 数 ’（Ｘ）满 足 ｆ（ ＋Ｙ）＋１＝
ｆ（ｘ）＋，（ｙ） ÷）－０，且 ＞÷时 ）＜０．
（１）设 ａ ＝ ｎ）（ｎ∈Ｎ‘），求数 列 的前 项 和 Ｓ ． （２）判 断 －厂（ ）的单 调 性 ，并 证 明． 分 析 对 于 一 次 函 数 ｆ（ ）＝ ＋６（ ≠０）有 ｆ（ ）＋ ｙ）＝ ＋Ｙ）＋６成 立 ，分 析 本 题 条 件 ，该 题 是 以 函 数 ，（ ）＝２ｘ＋１为 模 型命 制 的．
抽象 ，从抽象到具体的辩证关系．下面略举数例加 以说明．
一 、 以正 比例 函数 为 模 型 例 １ 已知 ，（ ）是 定 义在 Ｒ 上 的 函数 ，对 任 意 的 ，ｙ∈
Ｒ，都 有 ｆ（ ＋Ｙ）＝Ｉ厂（ ）＋ｆ（，，），且 当 ＞０ 时 ，ｆ（ ）＜０，
，（１）：一２．当 一３≤ ≤３时，函数 ）是 否存在最 大值？若
小 结 ：抽 象 函数 都 是 以 中 学 阶 段 所 学 的 基 本 函 数 为 背
景．解题时 ，若 能根 据题 设中抽象 函数 的性 质寻求抽 象 函数
的特殊模型 ，灵活 变通 ，便可 寻找 到解 决 『ｎ】题的 突破 口 ，其
解题策略通常是 ：（１）利用 函数 的定 义来 解题 ；（２）利用 函
ｎ）＝ 一ｌ＋（ｎ—１）·（一２）＝ 一２ｎ＋１，
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抽象函数与解题策略（一）抽象函数的定义、特征和一般解题策略（1）什么是抽象函数？那些没有给出函数的具体解析式，只给出一些特殊条件或特征的函数称为抽象函数。
（2）抽象函数与一般函数的有什么联系？抽象函数往往有它所对应的具体的函数模型。
例如，)x (f )x (f )x x (f 2121+=+对应的是指数函数2121x x x x a a a ⋅=+；)x (f )x (f )x x (f 2121+=对应的是对数函数2a 1a 21a x log x log )x x (log +=等等。
当然，也有的时候并没有我们比较熟悉的函数模型，而是新定义的一种函数。
抽象函数也可以与我们熟悉的函数，如指数函数、对数函数等一样，有自己的性质，如奇偶性、周期性、单调性等。
有自己的特殊点，有自己的对称性，能画出大致图像。
（3）抽象函数的解题策略一般有哪些？面对抽象函数数学题，我们的解题思路一般不外乎①合理赋值，化抽象为具体；②作恒等变形，找出该函数规律性、特征性特点；③分类讨论，归纳出抽象函数的实质问题。
（二）高考中的抽象函数（1）抽象函数在高考中的地位函数是高考数学中非常重要的一部分，根据上海卷命题的要求，每年函数部分的内容将占到整个卷面分值的三分之一左右，2005年高考上海卷中，函数相关的内容将近55分。
而抽象函数是函数中考核要求较高，难度较大的内容。
2000年开始，不论是全国卷还是上海卷都对学生提出了考查抽象函数的要求。
03年上海卷一年中考了两道与抽象函数有关的题目，03、04、05年连续三年上海高考试卷中均有与抽象函数有关的题目。
（2）为什么抽象函数在高考中被如此重视一般抽象函数数学题融函数单调性、周期性、奇偶性、定义域、值域、图像以及不等式、方程等知识于一体。
通过赋值整体思考，找出一个具体函数原型等方法去探究该函数的性质，能运用相关性质去解决有关问题。
在高考中加大对学生理性思维能力的考查以及主体创新能力的考查是新时期的一个重要特点。
（3）具体地来看，抽象函数在历届高考中在哪些题型中出现过？在最近五年的高考中，抽象函数可以出现在各种类型的题目中。
例如，可以考抽象函数的填空题、选择题（2002年北京卷第11、12题，2003年上海卷第16题，2004年上海卷第5题，等等），还可以考抽象函数的解答题（2001年全国卷最后一题，2002年北京卷最后一题，2003年上海卷最后一题，2003年北京卷最后一题，2005年上海卷第21题，等等）。
（4）全国卷和上海卷中的抽象函数题型有什么区别吗？有一定程度上的区别。
全国卷中（特别是北京卷）经常会在最后一个大题考抽象函数，是非常典型的抽象函数性质的讨论、计算和证明，对于解题技巧、综合运用各类知识和技能的要求非常高；上海卷中的抽象函数，特别是最近几年，以一种“定义新函数”的题型出现，突出考核学生的学习能力、应用能力和创新能力，不特别强调解题的技巧。
具体的差别，可以通过例题的练习和讲解来得以区分。
总之，关于抽象函数题的难度都是相当高的。
（三）典型例题例题1、设f(x)是定义在实数集R 上的函数，且满足下列关系：)x 10(f )x 10(f -=+；)x 20(f )x 20(f +-=-。
求证：f(x)是奇函数，又是周期函数。
证明：已知)x 10(f )x 10(f -=+)]x 10(10[f )]x 10(10[f )x 20(f --=-+=-⇒)x (f )x 20(f =-⇒（1）又)x 20(f )x 20(f +-=-)x 20(f )x (f +-=⇒（2）)x (f )x 20(f )]x 20(20[f )x 40(f =+-=++=+⇒即f(x)是以40为周期的周期函数由（1）式)x (f )x 20(f -=+⇒由（2）式)x 20(f )x (f +-=⇒)x (f )x (f --=⇒即f(x)是奇函数综上所述，f(x)是奇函数，又是周期函数。
例题2、f(x)是定义在R 上的函数，且)x (f 1)x (f 1)1x (f -+=+，（f(x)≠0，1）。
若f(1)=2，求f(2005)的值．解： 已知)x (f 1)x (f 1)x (f 11)x (f 1)x (f 11)1x (f 1)1x (f 1)2x (f -=-+--++=+-++=+⇒ )x (f )x (f 11)2x (f 1)4x (f =--=+-=+⇒ ∴f(x)是以4为周期的周函数，则2)1(f )2005(f ==例题3、已知函数f(x)对于x>0有意义，且满足条件f(2)=1,f(xy)=f(x)+f(y),f(x)是非减函数（定义：D x x 21∈<∀，)x (f )x (f 21≤，则成)x (f 是定义域在D 上的非减函数）。
（1）证明f(1)=0；（2）若f(x)+f(x －2)≥2成立，求x 的取值范围。
解：(1)令x=2,y=1，则f(2×1)=f(2)+f(1)⇒ f(1)=0(2)由已知⇒f(x)+f(x －2)=f(x 2－2x) ≥2，又2=1+1=f(2) +f(2)=f(4)⇒f(x 2－2x)≥f(4)又f(x)为非减的函数⇒x 2－2x ≥4即x 2－2x －4≥0⇒x ≥1+5或x ≤1－5已知f(x)对x>0有意义，且x －2>0⇒ x>2),51[x +∞+∈⇒例题4、设函数f(x)的定义域为R ，对于任意实数m 、n ，总有)n (f )m (f )n m (f ⋅=+，且0x > 时1)x (f 0<<。
（1）证明：f(0)=1，且x<0时f(x)>1；（2）证明：f(x)在R 上单调递减；（ 3 ）设}R a ,1)2y ax (f )y ,x ({B )},1(f )y (f )x (f )y ,x ({A 22∈=+-=>⋅=，若φ=B A ，确定a 的范围。
（1）证明：)n (f )m (f )n m (f ⋅=+令0n ,0m =>)0(f )m (f )m (f ⋅=⇒，已知0x >时，1)x (f 0<<1)0(f =⇒设0x m <=，0x n >-=，)1,0()x (f ∈-1)n (f )m (f )n m (f )0(f =⋅=+=⇒1)m (f >⇒，即当x<0时f(x)>1（2）R x x 21∈<∀，则0)x (f ,1)x x (f 0,0x x 11212><-<>-)x (f )x x x (f )x (f )x (f 111212-+-=-⇒)x (f )x (f )x x (f 1112-⋅-=0]1)x x (f )[x (f 121<--=∴f(x)在R 上单调递减。
（3）)1(f )y (f )x (f 22>⋅)1(f )y x (f 22>+⇒f(x)在R 上单调递减1y x 22<+⇒（单位圆内部分）)0(f 1)2y ax (f ==+-02y ax =+-⇒（一条直线）φ=B A 11a 22≥+⇒3a 2≤⇒]3,3[a -∈⇒例题5、对每一实数对x 、y ，函数f(t)满足1xy )y (f )x (f )y x (f +++=+。
若2)2(f -=-，试求满足t )t (f =的整数t 的个数。
解：令0y x ==，得1)0(f -=令1y x -==，得2)1(f 2)2(f +-=-，又2)2(f -=-2)1(f -=-⇒令1y ,1x -==，得1)1(f =令1x =，得2y )y (f )1y (f ++=+2y )y (f )1y (f +=-+⇒（※）即当y 为正整数时)y (f )1y (f >+，由1)1(f =N y ∈∀⇒，0)y (f >N y ∈∀⇒，1y 2y )y (f )1y (f +>++=+即对于一切大于1的正数t 恒有t )t (f >又由（※）式1)4(f ,1)3(f =--=-⇒下证明，当整数4t -≤时，恒有0)t (f >：4t -≤∀，则0)2t (>+-由（※）式0)2t ()1t (f )t (f >+-=+-⇒即0)4(f )5(f >---同理可得0)1t (f )t (f ,0)2t (f )1t (f ,,0)5(f )6(f >+->+-+>---相加01)4(f )t (f >=->⇒，即当整数4t -≤时，恒有t 0)t (f >>综上所述，满足t )t (f =的整数只有2,1t -=例题6、定义在R 上的单调函数f(x)满足f(3)=3log 2且对任意x ，y ∈R 都有f(x+y)=f(x)+f(y)。
(1)求证f(x)为奇函数；(2)若0)293(f )3k (f x x x <--+⋅对任意x ∈R 恒成立，求实数k 的取值范围。
证明：(1)已知f (x+y)=f(x)+f(y)(x ，y ∈R) ①令x=y=0，代入①式⇒f(0+0)=f(0)+f(0)，即 f(0)=0．令x y -=，代入①式⇒f(x-x)=f(x)+f(-x)，又f(0)=0，则0=f(x)+f(-x)，即f(-x)=-f(x)对任意x ∈R 成立，则f(x)是奇函数。
(2)f(3)=log 23＞0，即f(3)＞f(0)，又f(x)在R 上是单调函数⇒ f(x)在R 上是增函数，又由(1)f(x)是奇函数．)293(f )293(f )3k (f x x x x x ++-=---<⋅⇒2933k x x x ++-<⋅⇒对任意x ∈R 成立分离系数：k ·3x ＜-3x +9x +21323k xx -+<⇒ 令1221323u x x+≥-+=，即u 的最小值为122- ⇒当122k -<时，不等式1323k x x -+<对任意x ∈R 恒成立 ∴)122,(k --∞∈时，命题成立。
例题7、已知)x (f 是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意的a ，b ∈R 都满足关系式 )a (bf )b (af )b a (f +=⋅。
（1）求f （0），f （1）的值；（2）判断)x (f 的奇偶性，并证明你的结论；（3）若)N n (n)2(f u ,2)2(f n n ∈==-，求数列}u {n 的前n 项的和n S 。
解：（1）在)a (bf )b (af )b a (f +=⋅中,令,0b a ==0)0(f 0)0(f 0)00(f )0(f =⋅+⋅=⋅=⇒.在)a (bf )b (af )b a (f +=⋅中,令,1b a ==)1(f 1)1(f 1)11(f )1(f ⋅+⋅=⋅=⇒0)1(f =⇒（2）已知,0)1(f )1(f ])1[(f )1(f 2=----=-=⇒0)1(f =-⇒)x (f )1(xf )x (f )x 1(f )x (f -=-+-=⋅-=-⇒)x (f ∴为奇函数。