【智博教育原创专题】抽象函数常见题型解法
抽象函数常见题型解法
抽象函数常见题型解法一、定义域问题例1. 已知函数的定义域是［1，2］，求f(x)的定义域。
解：的定义域是［1，2］，是指，所以中的满足从而函数f(x)的定义域是［1，4］评析：一般地，已知函数的定义域是A，求f(x)的定义域问题，相当于已知中x的取值范围为A，据此求的值域问题。
例2. 已知函数的定义域是，求函数的定义域。
解：的定义域是，意思是凡被f作用的对象都在中，由此可得所以函数的定义域是评析：这类问题的一般形式是：已知函数f(x)的定义域是A，求函数的定义域。
正确理解函数符号及其定义域的含义是求解此类问题的关键。
这类问题实质上相当于已知的值域B，且，据此求x的取值范围。
例2和例1形式上正相反。
二、求值问题例3. 已知定义域为的函数f(x)，同时满足下列条件：①；②，求f(3)，f(9)的值。
解：取，得因为，所以又取得评析：通过观察已知与未知的联系，巧妙地赋值，取，这样便把已知条件与欲求的f(3)沟通了起来。
赋值法是解此类问题的常用技巧。
三、值域问题例4. 设函数f(x)定义于实数集上，对于任意实数x、y，总成立，且存在，使得，求函数的值域。
解：令，得，即有或。
若，则，对任意均成立，这与存在实数，使得成立矛盾，故，必有。
由于对任意均成立，因此，对任意，有下面来证明，对任意设存在，使得，则这与上面已证的矛盾，因此，对任意所以评析：在处理抽象函数的问题时，往往需要对某些变量进行适当的赋值，这是一般向特殊转化的必要手段。
四、解析式问题例5. 设对满足的所有实数x，函数满足，求f(x)的解析式。
解：在中以代换其中x，得：再在(1)中以代换x，得化简得：评析：如果把x和分别看作两个变量，怎样实现由两个变量向一个变量的转化是解题关键。
通常情况下，给某些变量适当赋值，使之在关系中“消失”，进而保留一个变量，是实现这种转化的重要策略。
五、单调性问题例6. 设f(x)定义于实数集上，当时，，且对于任意实数x、y，有，求证：在R上为增函数。
【智博教育原创专题】一类常见的抽象函数问题释疑(20130920)
一类常见的抽象函数问题释疑邓冬华 20130920抽象函数是高中数学的难点，其难点主要集中在没有明确的表达式，具有普遍适用性。
下面这两个问题很多同学弄不清楚，经常混淆出错，先将其简单初略地整理如下：1Question ：已知()f x 是奇函数，则对(1)f x -有（ ）.(1)(1)A f x f x -=-- .(1)(1)B f x f x +=--2Question ：已知(1)f x -是奇函数，则对(1)f x -有（ ）.(1)(1)A f x f x -=-- .(1)(1)B f x f x +=--这两个问题有没有区别呢？答案是肯定的！看似简单的两个问题蕴含了很多处理函数问题的基本思想方法。
对于1Q ，正确答案应该选A .理由如下：因()f x 是奇函数，在处理(1)f x -的时候需要将括号里面的1x -看成一个整体，即[(1)](1)f x f x --=--，也即是选项A 。
对于2Q ，正确答案应该选B .可以令()(1)g x f x =-，则()g x 是奇函数，因此(1)()()(1)f x g x g x f x +=-=-=--，即选B .事实上，在1Q 的处理过程中用到了整体思想。
整体思想在数学中几乎无处不在，尤其是在复合函数问题中。
在三角函数问题中也有同样的思维方式，比如求sin(2)6y x π=+的单调递增区间，需要类比sin y x =的单调递增区间，然后将26x π+视为一个整体；2Q 还常常出现在图形的平移等问题中，也即是我们常说的“针对x 的变化”。
比如，将sin(2)y x =向左边移动6π个单位，结果应该是sin(2)3y x π=+，而不是2sin(2)6y x π=+。
这也只需令()sin(2)f x x =，向左边移动6π个单位，即()sin[2()]sin(2)663y f x x x πππ=+=+=+.。
抽象函数常见题型及解法综述
是［－ １， １］； ③在其定义域上递减； ④ ｆ（ ｘ） ＋ｆ（ ｙ） ＝ ｆ（ ｘｙ） 对于
任意实数 ｘ， ｙ 都成立．解不等式 ｆ－１（ ｘ）·ｆ－１（ １ ） ≤ １ ． １－ ｘ ２
联想
因 为 ｌｏｇａ（ ｘ·ｙ） ＝ｌｏｇａｘ＋ｌｏｇａｙ， 而 ｌｏｇ １
２
１ ２
＝１， ｙ＝
ｌｏｇ １ ｘ 在其定义域内为减函数， 所以猜测它的模型函数
#!ｆ －１（ ｘ＋ １ ） ≤ｆ －１（ １） ， #ｘ＋ １ ≥１，
% １－ ｘ
% １－ ｘ
%%－ １≤ｘ＋ １ ≤１，
$
１－ ｘ
%%－ １≤ｘ＋ １ ≤１，
∴(
１－ ｘ
∴ｘ＝０．
%－ １≤ｘ≤１，
%－ １≤ｘ≤１，
&%%－ １≤
１ １－ ｘ
≤１．
&%%－ １≤
１ １－ ｘ
≤１．
故 原 不 等 式 的 解 集 为 ｛０｝．
二 、寻 觅 特 殊 函 数 的 模 型
１．指 数 函 数 模 型
例 ６ 设 ｆ（ ｘ） 定义于实数集 Ｒ 上， 当 ｘ＞０ 时， ｆ（ ｘ） ＞１，
且对于任意实数 ｘ， ｙ， 有 ｆ（ ｘ＋ｙ） ＝ ｆ（ ｘ）·ｆ（ ｙ） ， 同时 ｆ（ １） ＝２，
解不等式 ｆ（ ３ｘ－ ｘ２） ＞４．
联 想 由于 ａｘ＋ｙ＝ａ·ｘ ａｙ（ ａ＞０， ａ≠１） ， 于是猜测它的模型
ｘ－ １
ｘ－ １
ｘ－ １
①－ ②＋③并化简得 ｆ（ ｘ） ＝ ｘ３－ ｘ２－ １ ． ２ｘ（ ｘ－ １）
小 结 把 ｘ 和 ｘ－ １ 分 别 看 作 两 个 变 量 ， 怎 样 实 现 由 ｘ
抽象函数解题题型大全(例题含标准答案)
高考抽象函数技巧总结由于函数概念比较抽象，学生对解有关函数记号()f x 的问题感到困难，学好这部分知识，能加深学生对函数概念的理解，更好地掌握函数的性质，培养灵活性；提高解题能力，优化学生数学思维素质。
现将常见解法及意义总结如下： 一、求表达式： 1.换元法：即用中间变量表示原自变量x 的代数式，从而求出()f x ，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力。
例1：已知 ()211xf x x =++,求()f x . 解：设1x u x =+,则1u x u =-∴2()2111u u f u u u -=+=--∴2()1xf x x-=- 2.凑合法：在已知(())()f g x h x =的条件下，把()h x 并凑成以()g u 表示的代数式，再利用代换即可求()f x .此解法简洁，还能进一步复习代换法。
例2：已知3311()f x x xx+=+，求()f x 解：∵22211111()()(1)()(()3)f x x x x x xx x x x+=+-+=++-又∵11||||1||x x x x +=+≥ ∴23()(3)3f x x x x x =-=-，(|x |≥1)3.待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。
例3． 已知()f x 二次实函数，且2(1)(1)f x f x x ++-=+2x +4,求()f x .解:设()f x =2ax bx c ++，则22(1)(1)(1)(1)(1)(1)f x f x a x b x c a x b x c ++-=+++++-+-+=22222()24ax bx a c x x +++=++比较系数得2()41321,1,2222a c a abc b +=⎧⎪=⇒===⎨⎪=⎩∴213()22f x x x =++ 4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式.例4.已知y =()f x 为奇函数,当 x >0时,()lg(1)f x x =+,求()f x解:∵()f x 为奇函数，∴()f x 的定义域关于原点对称，故先求x <0时的表达式。
抽象函数常见题型解法
高考数学总复习第十讲：抽象函数问题的题型综述抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式，只是给出一些特殊关系式的函数，它是中学数学中的一个难点，因为抽象，学生解题时思维常常受阻，思路难以展开，教师对教材也难以处理，而高考中又出现过这一题型，有鉴于此，本文对这一问题进行了初步整理、归类，大概有以下几种题型：一. 求某些特殊值这类抽象函数一般给出定义域，某些性质及运算式而求特殊值。
其解法常用“特殊值法”，即在其定义域内令变量取某特殊值而获解，关键是抽象问题具体化。
例1 定义在R 上的函数f x ()满足：f x f x ()()=-4且f x f x ()()220-+-=，求f ()2000的值。
解：由f x f x ()()220-+-=，以t x =-2代入，有f t f t ()()-=，∴f x ()为奇函数且有f ()00=又由f x f x ()[()]+=--44=-=-∴+=-+=f x f x f x f x f x ()()()()()84故f x ()是周期为8的周期函数，∴==f f ()()200000例2 已知函数f x ()对任意实数x y ，都有f x y f x f y ()()()+=+，且当x >0时，f x f ()()>-=-012，，求f x ()在[]-21，上的值域。
解：设x x 12<且x x R 12，∈，则x x 210->，由条件当x >0时，f x ()>0∴->f x x ()210又f x f x x x ()[()]2211=-+=-+>f x x f x f x ()()()2111∴f x ()为增函数，令y x =-，则f f x f x ()()()0=+-又令x y ==0得f ()00=∴-=-f x f x ()()，故f x ()为奇函数，∴=-=f f ()()112，f f ()()-=-=-2214∴-f x ()[]在，21上的值域为[]-42，二. 求参数范围这类参数隐含在抽象函数给出的运算式中，关键是利用函数的奇偶性和它在定义域内的增减性，去掉“f ”符号，转化为代数不等式组求解，但要特别注意函数定义域的作用。
抽象函数常见题型解法
抽象函数常见题型解法抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。
由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一.抽象性较强，灵活性大,解抽象函数重要的一点要抓住函数中的某些性质，通过局部性质或图象的局部特征，利用常规数学思想方法（如化归法、数形结合法等），这样就能突破“抽象”带来的困难，做到胸有成竹.另外还要通过对题目的特征进行观察、分析、类比和联想，寻找具体的函数模型，再由具体函数模型的图象和性质来指导我们解决抽象函数问题的方法。
常见的特殊模型:目录：一.定义域问题 二、求值问题 三、值域问题 四、解析式问题 五、单调性问题 六、奇偶性问题七、周期性与对称性问题 八、综合问题一.定义域问题 --------多为简单函数与复合函数的定义域互求。
例1.若函数y = f （x ）的定义域是[－2，2]，则函数y = f （x+1）+f （x －1）的定义域为 。
解：f(x)的定义域是[]2,2-，意思是凡被f 作用的对象都在[]2,2- 中。
评析：已知f(x)的定义域是A ，求()()x f ϕ的定义域问题，相当于解内函数()x ϕ的不等式问题。
练习：已知函数f(x)的定义域是[]2,1- ，求函数()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x f 3log 21 的定义域。
例2：已知函数()x f 3log 的定义域为[3，11]，求函数f(x)的定义域 。
[]11log ,13 评析： 已知函数()()x f ϕ的定义域是A ，求函数f(x)的定义域。
相当于求内函数()x ϕ的值域。
11≤≤-x练习：定义在(]8,3上的函数f(x)的值域为[]2,2-，若它的反函数为f -1(x)，则y=f -1(2-3x)的定义域为，值域为 。
(]8,3,34,0⎥⎦⎤⎢⎣⎡二、求值问题-----抽象函数的性质是用条件恒等式给出的，可通过赋特殊值法使问题得以解决。
怎样赋值?需要明确目标,细心研究,反复试验;例3.①对任意实数x,y ，均满足f(x+y 2)=f(x)+2[f(y)]2且f(1)≠0,则f(2001)=_______. 解析:这种求较大自变量对应的函数值，一般从找周期或递推式着手：,)]1([2)()1(,1,2f n f n f y n x +=+==得令 令x=0,y=1,得f(0+12)=f(0)+2f[(1)]2, 令x=y=0,得：f(0)=0,∴f(1)=21,.22001)2001(f ,2n )n (f ,21f(n)-1)f(n =∴==+故即②R 上的奇函数y=f(x)有反函数y=f -1(x),由y=f(x+1)与y=f -1(x+2)互为反函数，则f(2009)= . 解析：由于求的是f(2009)，可由y=f -1(x+2)求其反函数y=f(x)-2,所以f(x+1)= f(x)-2，又f(0)=0,通过递推可得f(2009)=-4918.例4.已知f(x)是定义在R 上的函数，f(1)=1,且对任意x ∈R 都有f(x+5)≥f(x)+5,f(x+1)≤f(x)+1.若g(x)=f(x)+1-x,则g(2002)=_________.1解:由g(x)=f(x)+1-x,得f(x)=g(x)+x-1. 而f(x+5)≥f(x)+5，所以g(x+5)+(x+5)-1≥g(x)+x-1+5 , 又f(x+1)≤f(x)+1，所以 g(x+1)+(x+1)-1≤g(x)+x-1+1即 g(x+5)≥g(x), g(x+1)≤g(x). 所以g(x)≤g(x+5)≤g(x+4)≤g(x+3)≤g(x+2)≤g(x+1), 故g(x)=g(x+1) 又g(1)=1, 故g(2002)=1.练习： 1. f(x)的定义域为(0,)+∞，对任意正实数x,y 都有f(xy)=f(x)+f(y) 且f(4)=2 ，则f = （12）2.的值是则且如果)2001(f )2000(f )5(f )6(f )3(f )4(f )1(f )2(f ,2)1(f ),y (f )x (f )y x (f ++++==+ 。
如何解答抽象函数问题
解题宝典抽象函数问题的难度一般不大.常见的抽象函数问题有求抽象函数的值域，求抽象函数的定义域，判断抽象函数的周期性、单调性、奇偶性等.下面结合实例，谈一谈三类常见的抽象函数问题的解法.一、求抽象函数的值域求抽象函数的值域问题，往往要求根据已知关系式和定义域来求函数的值域.解答此类问题，需对已知关系式进行赋值，以便根据函数单调性的定义，判断出函数的单调性，然后根据函数的单调性求得函数在定义域内的最值，即可确定函数的值域.若定义域包含了多个单调区间，则需在每个区间内讨论函数的单调性，再比较各个区间上的最大、最小值，即可解题.例1.若对任意实数x ，y 都有f ()x +y =f ()x +f ()y ，当x >0时恒有f ()x >0，且f ()-1=-2，求函数f ()x 在区间[]-2,1上的值域.解:令x 1=y ，x 2=x +y ，可得x 2-x 1>0，∵f ()x 2-f ()x 1=f ()()x 2-x 1+x 1-f ()x 1=f ()x 2-x 1+f ()x 1-f ()x 1>0，∴f ()x 1<f ()x 2，可得f ()x 在R 上单调递增，∴当x ∈[]-2,1时，f ()-2≤f ()x ≤f ()1，∵f ()-2=f ()-1-1=f ()-1+f ()-1=-4，f ()1=f ()-1+2=f ()-1+f ()2=f ()-1+f ()1+f ()1=2，∴f ()x 在区间[]-2,1上的值域为[]-4,2.解答本题，需对已知关系式f ()x +y =f ()x +f ()y 进行赋值，令x 1=y ，x 2=x +y ，通过等量代换判断出f ()x 2-f ()x 1的符号，便可判断出函数f ()x 的单调性.再根据函数的单调性，即可求得抽象函数的值域.二、抽象函数的单调性问题抽象函数的单调性问题通常要求根据已知关系式或函数的性质判断函数的单调性，求得函数的单调区间.解答此类问题，需灵活运用单调性的定义.解题的基本思路为：①在定义域内任选两个数x 1、x 2，且使x 1＜x 2，②结合已知条件，化简f ()x 2-f ()x 1或f ()x 2f ()x 1，并将其与0、1比较，③得出结论.若f ()x 2>f ()x 1，则函数在定义域上单调递增；若f ()x 2<f ()x 1，则函数f ()x 单调递减.例2.已知对任意x ∈R ，恒有f ()x >0，当x >0时，f ()x >1.对任意x ,y ∈R ，均有f ()x +y =f ()x f ()y ，试证明：f ()x 在R 上单调递增.分析：我们需先设出x 1，x 2，然后通过等量代换，判断出f ()x 2f ()x 1与1的大小关系，以便根据函数单调性的定义证明抽象函数f ()x 在R 上单调递增.证明：令x 1<x 2，则f ()x 2>0，f ()x 1>0，x 2-x 1>0，f ()x 2f ()x 1=f ()x 2-x 1+x 1f ()x 1=f ()x 2-x 1f ()x 1f ()x 1=f ()x 2-x 1>1,所以f ()x 2>f ()x 1，故函数f ()x 在R 上单调递增.三、抽象函数的奇偶性问题对于抽象函数的奇偶性问题，通常需根据奇偶函数的定义来求解.在解题时，要首先对已知关系式进行赋值，如令x =0、1、-1、-x 等，并将其代入式子中，以便判断出f ()-x 与f ()x 之间的关系.若f ()-x =f ()x ，则函数为偶函数；若f ()-x =-f ()x ，则该函数为奇函数.例3.若函数f ()x ，g ()x 的定义域为R ，对于任意x ,y ∈R ，均有f (x +y )+f ()x -y =2f ()x f ()y ，且f ()0≠0，试判断函数f ()x 的奇偶性.解:令x =y =0，由f (x +y )+f ()x -y =2f ()x f ()y 可得2f 2()0=2f ()0，因为f ()0≠0，所以f ()0=1，令x =0，可得f ()0+y +f ()0-y =2f ()0f ()y =2f ()y ，则f ()y =f ()-y ，故函数f ()x 为偶函数.要判断出函数的奇偶性，需令x =y =0，通过多次赋值，才能判断出f ()-x 与f ()x 之间的关系.总之，抽象函数是一类较为特殊的函数，它没有具体的解析式和图象，因而在解答抽象函数问题时，需重点研究已知关系式和抽象函数的性质，从中找到解题的突破口.（作者单位：云南省曲靖市会泽县实验高级中学）方琼41。
抽象函数常见解法及意义总结
含有函数记号“()f x ”有关问题解法由于函数概念比较抽象，学生对解有关函数记号()f x 的问题感到困难，学好这部分知识，能加深学生对函数概念的理解，更好地掌握函数的性质，培养灵活性；提高解题能力，优化学生数学思维素质。
现将常见解法及意义总结如下：一、求表达式： 1.换元法：即用中间变量表示原自变量x 的代数式，从而求出()f x ，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力。
例1：已知()211xf x x =++,求()f x . 解：设1x u x =+,则1u x u =-∴2()2111u uf u u u-=+=--∴2()1xf x x-=- 2.凑合法：在已知(())()f g x h x =的条件下，把()h x 并凑成以()g u 表示的代数式，再利用代换即可求()f x .此解法简洁，还能进一步复习代换法。
例2：已知3311()f x x x x+=+，求()f x解：∵22211111()()(1)()(()3)f x x x x x x x x x x+=+-+=++-又∵11||||1||x x x x +=+≥ ∴23()(3)3f x x x x x =-=-，(|x |≥1)3.待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。
例3． 已知()f x 二次实函数，且2(1)(1)f x f x x ++-=+2x +4,求()f x .解:设()f x =2ax bx c ++，则22(1)(1)(1)(1)(1)(1)f x f x a x b x c a x b x c ++-=+++++-+-+=22222()24ax bx a c x x +++=++比较系数得2()41321,1,2222a c a abc b +=⎧⎪=⇒===⎨⎪=⎩∴213()22f x x x =++ 4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式. 例4.已知y =()f x 为奇函数,当 x >0时,()lg(1)f x x =+,求()f x解:∵()f x 为奇函数，∴()f x 的定义域关于原点对称，故先求x <0时的表达式。
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抽象函数解题策略抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。
由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一.抽象性较强，灵活性大,解抽象函数重要的一点要抓住函数中的某些性质，通过局部性质或图象的局部特征，利用常规数学思想方法（如化归法、数形结合法等），这样就能突破“抽象”带来的困难，做到胸有成竹.另外还要通过对题目的特征进行观察、分析、类比和联想，寻找具体的函数模型，再由具体函数模型的图象和性【题型1】定义域问题 --------多为简单函数与复合函数的定义域互求。
【例1】⑴若函数(21)f x -的定义域为{}|13x x ≤<，则函数()f x 的定义域为 ⑵若函数()f x 的定义域为{}|13x x ≤<，则函数(21)f x -的定义域为【题型2】求值问题-----抽象函数的性质是用条件恒等式给出的，可通过赋特殊值法使问题得以解决。
怎样赋值?需要明确目标,细心研究,反复试验。
紧扣已知条件进行迭代变换，经有限次迭代可直接求出结果，或者在迭代过程中发现函数具有周期性，利用周期性使问题巧妙获解。
【例2】已知()f x 的定义域为R +，且()()()f x y f x f y +=+对一切正实数,x y 都成立，若(8)4f =，则(2)_____f =【分析】在条件()()()f x y f x f y +=+中，令4x y ==，得(8)(4)(4)2(4)4f f f f =+==，(4)2f ∴=，又令2x y ==，得(4)(2)(2)2,(2)1f f f f =+=∴=。
1.()f x 的定义域为(0,)+∞，对任意正实数,x y 都有()()()f xy f x f y =+且(4)2f =，则_____f =122.若()()()f x y f x f y +=且(1)2f =，则 (2)(4)(6)(2000)______(1)(3)(5)(1999)f f f f f f f f ++++= 20002222(1)(2)(2)(4)(3)(6)(4)(8)______(1)(3)(5)(7)f f f f f f f f f f f f +++++++=16【提示】()2n f n =3.对任意整数,x y 函数()y f x =满足()()()1f x y f x f y xy +=+++，若(1)1f =，则(8)_____f -=194.函数()y f x =为R 上的偶函数，对x R ∈都有(6)()(3)f x f x f +=+成立，若(1)2f =，则(2005)______f =25.已知a 为实数，且01,()a f x <<是定义在[]0,1上的函数，满足(0)0,(1)1f f ==，对所有的x y≤均有()(1)()()2x y f a f x af y +=-+，则____a =；1()_____7f =。
【解析】2113()(),()(1)244f a f a f a a a =∴==-+ ，又213144()()(1)[(1)]22f f a a a a a a +==-++-，解得12a =；设1()7f b =，则2011227()()(),()272277f f f f b +==∴=，同理311()3,,(1)7,()777f b f b f b ==∴== 。
【题型3】判断奇偶性根据已知条件，通过恰当的赋值代换，寻求()f x 与()f x -的关系。
【例3】已知()f x 的定义域为R ，且对任意实数,x y 满足()()()f xy f x f y =+，求证：()f x 是偶函数。
【分析】在()()()f xy f x f y =+中，令1x y ==，得(1)(1)(1)(1)0f f f f =+⇒=，令1x y ==-，得(1)(1)(1)(1)0f f f f =-+-⇒-=，于是()(1)(1)()()f x f x f f x f x -=-⋅=-+=，故()f x 是偶函数。
【题型4】判断单调性根据函数的奇偶性、单调性等有关性质，多用定义法解决。
【例4】函数()()f x x R ∈，当0x >时，0()1f x <<，且对任何实数,x y 恒有()()()f x y f x f y +=，试判断函数()f x 的单调性。
【解析】令0x y ==，则有2(0)(0)f f =，故有(0)0f =或(0)1f =又有(1)(0)(1)0f f f =>而(1)0,(0)1f f ≠=。
①当0x >时，0()1f x <<，当0x <时，0x ->，故有0()1f x <-<，而()()(0)1f x f x f -==，故有1()10()f x f x =>>-。
又当0x =时，(0)10f =>，故对于任何x R ∈，有()0f x >。
令122121,0,0()1x x x x f x x -∞<<<+∞->∴<-< ，故21211211()[()]()()()f x f x x x f x f x x f x =+-=⋅-<，所以函数()f x 是减函数。
【例5】已知函数()f x 对任何正数,x y 都有()()()f xy f x f y =,且()0f x ≠,当1x >时,()1f x <。
试判断()f x 在(0,)+∞上的单调性,并说明理由。
【解析】对x R +∈有2()0f x f f ==≥，又()0f x ≠，故()0f x >，设12,x x R +∈，且12x x <，则211xx >，则221121121111()()()()()1()()()x xf x f f x f x x x x f f x f x f x x ⋅⋅===<，所以12()()f x f x >,故()f x 在x R +∈上为减函数。
1.如果奇函数()f x 在区间[3,7]上是增函数且有最小值为5，那么f x ()在区间[7,3]--上是【B 】 A. 增函数且最小值为5- B. 增函数且最大值为5- C. 减函数且最小值为5- D. 减函数且最大值为5-2.设函数()f x 对任意实数,x y ，都有()()()f x y f x f y +=+,若0x >时()0f x <,且(1)2f =-,求()f x 在[]3,3-上的值域为 []6,6-3.已知函数()f x 对任意实数,x y 均有()()()f x y f x f y +=+，且当0x >时，()0,(1)2f x f >-=-，则函数()f x 在区间[]2,1-上的值域为4.设()f x 定义于实数集上，当0x >时，()1f x >,且对于任意实数,x y ，有()()()f x y f x f y +=， 求证：()f x 在R 上为增函数。
【证明】设R 上12x x <，则[][]21212111211()1,()()()()()1()f x x f x f x f x x x f x f x x f x ->-=-+-=--(注意此处不能直接得大于1()f x ，因为1()f x 的正负还没确定) 。
取0x y ==得(0)0f =或(0)1f =;若(0)0f =,令0,0x y >=，则()0f x =与0x >时，()1f x >矛盾，所以(0)1,0f x =>时，()10,0f x x >><时，0,()1,x f x ->->∴由1(0)()()1()0()f f x f x f x f x =-=⇒=>-，故()0f x >，从而21()()f x f x >，即()f x 在R 上是增函数。
5.已知函数()f x 的定义域为R ，且对,m n R ∈,恒有()()()1f m n f m f n +=+-,且1()02f -=,当12x >-时，()0f x >。
求证：()f x 是单调递增函数。
【证明】设12x x <,则211122x x -->-,由题意2111()()022f x x f -->-=,[]212111211121()()()()()()1()()1f x f x f x x x f x f x x f x f x f x x -=-+-=-+--=-- 212111()()1()0,()22f x x f f x x f x =-+--=-->∴是单调递增函数。
6.已知偶函数()f x 的定义域是0x ≠的一切实数，对定义域内的任意12,x x 都有1212()()()f x x f x f x ⋅=+，且当1x >时()0,(2)1f x f >=，⑴()f x 在(0,)+∞上是增函数；⑵解不等式2(21)2f x -< 【解析】⑴设210x x >>，则222211111111()()()()()()()()x x x f x f x f x f x f x f f x f x x x -=⋅-=+-= 2221110,1,()0x xx x f x x >>∴>∴> ，即2121()()0,()(),()f x f x f x f x f x ->∴>∴在(0,)+∞上是增函数；⑵(2)1,(4)(2)(2)2,()f f f f f x =∴=+= 是偶函数，∴不等式2(21)2f x -<可化为2(21)(4)f x f -<，又 函数在(0,)+∞上是增函数，20214x ∴≠-<，解得{|x x x <<≠。
7.定义在R 上的单调函数()f x 满足2(3)log 3f =且对任意,x y R ∈都有()()()f x y f x f y +=+。
⑴求证：()f x 为奇函数； ⑵若(3)(392)0x x x f k f ⋅+--<对任意x R ∈恒成立，求实数k 的取值范围。
【证明】()()()f x y f x f y +=+，①令y x =-，代入①式，得()()()(0)f x x f x f x f -=+-=，令0x y ==，代入①式，得(00)(0)(0)(0)0f f f f +=+⇒=，即()()f x f x =--对任意x R ∈成立，()f x ∴是奇函数。