10：马尔可夫链-数学建模教程文件
合集下载
马尔可夫链模型讲解
马尔可夫链模型（Markov Chain Model）目录[隐藏]1 马尔可夫链模型概述2 马尔可夫链模型的性质3 离散状态空间中的马尔可夫链模型4 马尔可夫链模型的应用o 4.1 科学中的应用o 4.2 人力资源中的应用5 马尔可夫模型案例分析[1]o 5.1 马尔可夫模型的建立o 5.2 马尔可夫模型的应用6 参考文献[编辑]马尔可夫链模型概述马尔可夫链因安德烈·马尔可夫（Andrey Markov，1856－1922）得名，是数学中具有马尔可夫性质的离散时间随机过程。
该过程中，在给定当前知识或信息的情况下，过去（即当期以前的历史状态）对于预测将来（即当期以后的未来状态）是无关的。
时间和状态都是离散的马尔可夫过程称为马尔可夫链, 简记为。
马尔可夫链是随机变量的一个数列。
这些变量的范围，即他们所有可能取值的集合，被称为“状态空间”，而Xn的值则是在时间n的状态。
如果Xn + 1对于过去状态的条件概率分布仅是Xn的一个函数，则这里x为过程中的某个状态。
上面这个恒等式可以被看作是马尔可夫性质。
马尔可夫在1906年首先做出了这类过程。
而将此一般化到可数无限状态空间是由柯尔莫果洛夫在1936年给出的。
马尔可夫链与布朗运动以及遍历假说这两个二十世纪初期物理学重要课题是相联系的，但马尔可夫寻求的似乎不仅于数学动机，名义上是对于纵属事件大数法则的扩张。
马尔可夫链是满足下面两个假设的一种随机过程：1、t+l时刻系统状态的概率分布只与t时刻的状态有关，与t时刻以前的状态无关；2、从t时刻到t+l时刻的状态转移与t的值无关。
一个马尔可夫链模型可表示为=(S，P，Q)，其中各元的含义如下：1）S是系统所有可能的状态所组成的非空的状态集，有时也称之为系统的状态空间，它可以是有限的、可列的集合或任意非空集。
本文中假定S是可数集(即有限或可列)。
用小写字母i,j(或S i,S j)等来表示状态。
2）是系统的状态转移概率矩阵，其中P ij表示系统在时刻t处于状态i，在下一时刻t+l处于状态i的概率，N是系统所有可能的状态的个数。
演示文稿第六章马尔可夫链
(n)
p(m) lj
(n
k
),
n, m, k 0,i, j S
l
或矩阵形式 P(km) (n) P(k) (n)P(m) (n k)
证明
p(km) ij
(n)
P{X
nk m
j
Xn
i)
第十三页，共123页。
P{( X nk l), X nkm j X n i)
l
P{ ( X nk l, X nkm j) X n i)
l
或矩阵形式 P(km) (n) P(k) (n)P(m) (n k)
证明 P( X nk l, X nkm j) X n i)
l
P( X nk l X n i) P( X nkm j X n i, X nk l) l
第十四页，共123页。
P( X nk l X n i) P( X nkm j X nk l)
第二十七页，共123页。
qa
a-1
a
ra
第一节 基本概念
５.马尔可夫链举例 例2(有限制随机游动问题)
阵
P
(k
)
(n)
(
p(k ij
)
(n))
为系统{X n , n 0}在 n时的k步转移概率矩阵.
第十页，共123页。
第一节 基本概念
1. 转移概率
特别 当k=1时，
p (1) ij
(n
)为
系
统
在
n时
的
一步
转
移
概
率
,
记为 pij (n)
P
(1)
(n)
(
p (1) ij
(n))为系统的一步转移概率矩阵
马尔可夫链课件
1的概率向左或向右移动一 3
格，或以
Q现在处于1(或5)这 1的概率留在原处；如果 3
一点上，则下一时刻就以概率1移动到2(或4)这点上，1 和5这两点称为反射壁，这种游动称为带有两个反射壁的
随机游动。以Xn表示时刻n时Q的位置，说明{Xn,n =
0,1,2 …}是一齐次马氏链，并写出它的一步转移概率矩 阵。
二、转移概率
定义3 设 { X n，n 0} 是齐次马尔可夫链，其一步 矩阵的每一行都 转移概率为 pij (i, j S )，记 是一条件分布律
p00 p10 P ( pij ) p 20 pi 0
.
p 01 p 02 p11 p12 p 21 p 22 pi1 pi 2
1 2 3 4 5
三、马氏链的例子
解：它的一步转移概率矩阵为： 0 1 0 0 0
1 3 P 0 0 0
1 3 1 3 1 3 1 3 1 3
0
1 3 1 3
0 0
0
1
0 0 1 3 0
如果把1这点改为吸收壁，即Q一旦到达1这一点，则永远 留在点1时，此时的转移概率矩阵为：
• 第一节 基本概念 • 第二节 状态的分类及性质 • 第三节 极限性态及平稳分布
• 第四节 Markov链的应用
第一节
基本概念
一、Markov链的定义 二、转移概率 三、Markov链的例子 四、n步转移概率，C-K方程
第一节
基本概念
一、Markov链的定义
马尔可夫性(无后效性 )过程(或系统)在时刻t 所处的状态为已知的条件下，过程在时
1 1 3 P 0 0 0 0
1 3 1 3
0
格，或以
Q现在处于1(或5)这 1的概率留在原处；如果 3
一点上，则下一时刻就以概率1移动到2(或4)这点上，1 和5这两点称为反射壁，这种游动称为带有两个反射壁的
随机游动。以Xn表示时刻n时Q的位置，说明{Xn,n =
0,1,2 …}是一齐次马氏链，并写出它的一步转移概率矩 阵。
二、转移概率
定义3 设 { X n，n 0} 是齐次马尔可夫链，其一步 矩阵的每一行都 转移概率为 pij (i, j S )，记 是一条件分布律
p00 p10 P ( pij ) p 20 pi 0
.
p 01 p 02 p11 p12 p 21 p 22 pi1 pi 2
1 2 3 4 5
三、马氏链的例子
解：它的一步转移概率矩阵为： 0 1 0 0 0
1 3 P 0 0 0
1 3 1 3 1 3 1 3 1 3
0
1 3 1 3
0 0
0
1
0 0 1 3 0
如果把1这点改为吸收壁，即Q一旦到达1这一点，则永远 留在点1时，此时的转移概率矩阵为：
• 第一节 基本概念 • 第二节 状态的分类及性质 • 第三节 极限性态及平稳分布
• 第四节 Markov链的应用
第一节
基本概念
一、Markov链的定义 二、转移概率 三、Markov链的例子 四、n步转移概率，C-K方程
第一节
基本概念
一、Markov链的定义
马尔可夫性(无后效性 )过程(或系统)在时刻t 所处的状态为已知的条件下，过程在时
1 1 3 P 0 0 0 0
1 3 1 3
0
马尔可夫链
2020年5月21日星期四
例7 设马氏链{Xn}的状态空间为 I={1, 2, 3, 4, 5}， 转移概率矩阵为
1 2
1
2
0 0
0
1 2
1 2
0
0
0
P 0 0 1 0 0
3 / 16 . 1/ 4
于是: (1) P{X0 0, X2 1}
P{ X0 0}P{ X2 1 | X0 0} 1 5 5 ;
3 16 48
2020年5月21日星期四
(2)P{X2 1}
P{X0 0}P{X2 1 | X0 0} P{X0 1}P{X2 1 | X0 1}
显然有
p(n) 11
p(n) 21
P(n)
p(n j1
)
L
p(n) 12
p(n) 22
p(n) 1j
L
p(n) 2j
L
p(n) j2
p(n) jj
L
LL
L
(1)
0
p(n) ij
1
(2)
p(n) ij
1,
i
1,
2,L
j
2020年5月21日星期四
切普曼-柯尔莫哥洛夫方程(C-K方程): 对任意的m,n≥0,有
的矩阵
p11 p21
P
L
pj1 L
p12 L p22 L LL pj2 L LL
p1 j L
p2 j L
L
L
p jj L
L L
称为一步转移概率矩阵. 显然有
(1) 0 pij 1
(2)
pij 1, i 1, 2,L
j
2020年5月21日星期四
3、马尔可夫链举例
例7 设马氏链{Xn}的状态空间为 I={1, 2, 3, 4, 5}， 转移概率矩阵为
1 2
1
2
0 0
0
1 2
1 2
0
0
0
P 0 0 1 0 0
3 / 16 . 1/ 4
于是: (1) P{X0 0, X2 1}
P{ X0 0}P{ X2 1 | X0 0} 1 5 5 ;
3 16 48
2020年5月21日星期四
(2)P{X2 1}
P{X0 0}P{X2 1 | X0 0} P{X0 1}P{X2 1 | X0 1}
显然有
p(n) 11
p(n) 21
P(n)
p(n j1
)
L
p(n) 12
p(n) 22
p(n) 1j
L
p(n) 2j
L
p(n) j2
p(n) jj
L
LL
L
(1)
0
p(n) ij
1
(2)
p(n) ij
1,
i
1,
2,L
j
2020年5月21日星期四
切普曼-柯尔莫哥洛夫方程(C-K方程): 对任意的m,n≥0,有
的矩阵
p11 p21
P
L
pj1 L
p12 L p22 L LL pj2 L LL
p1 j L
p2 j L
L
L
p jj L
L L
称为一步转移概率矩阵. 显然有
(1) 0 pij 1
(2)
pij 1, i 1, 2,L
j
2020年5月21日星期四
3、马尔可夫链举例
建模马尔科夫链
离散时间的马尔可夫链
1/31
设随机过程 {ξ (n),n = 0，，， } 的状态空间为： 1 2 L 的状态空间为： S = {0，，，， } 1 2 3L 若对任意的 k ≥ 1 ，及 i0，， ， ， ， +1 ∈ S有 i1 i2 L ik ik P{ξ (k + 1) = ik +1 | ξ (k ) = ik， (k −1) = ik −1， ， (0) = i0 } ξ L ξ
步转移概率.
当 i，n 固定时，一步转移概率 pij (n) 实质上就是 固定时， 的条件下， 在 ξ (n) = i 的条件下，随机变量 ξ (n + 1) 的条件分 布律，所以条件分布律满足： 布律，所以条件分布律满足： pij (n) ≥ 0，∀i，j ∈ S，n > 0；
∑ pij (n) = 1，∀i ∈ S，n > 0.
乘法公式
L⋅ P {ξ (k ) = ik |ξ (k −1) = ik −1}
离散时间的马尔可夫链
马尔可夫链的一步转移概率
设 {ξ (n)，n ≥ 0} 是马尔可夫链，记 是马尔可夫链，
pij (n) P{ξ (n + 1) = j | ξ (n) = i}
7/31
称 pij (n)为马尔可夫链 {ξ (n)，n ≥ 0}在时刻 n 时的一
= P{ξ (tk＋ ) = ik +1 | ξ (tk ) = ik } LL 3.1.2） （ 1
P{ξ (k + 1) = ik +1 | ξ (k ) = ik， (k −1) = ik −1， ， (0) = i0 } ξ L ξ
= P{ξ (k + 1) = ik +1 | ξ (k ) = ik } LL 3.1.1） （
1/31
设随机过程 {ξ (n),n = 0，，， } 的状态空间为： 1 2 L 的状态空间为： S = {0，，，， } 1 2 3L 若对任意的 k ≥ 1 ，及 i0，， ， ， ， +1 ∈ S有 i1 i2 L ik ik P{ξ (k + 1) = ik +1 | ξ (k ) = ik， (k −1) = ik −1， ， (0) = i0 } ξ L ξ
步转移概率.
当 i，n 固定时，一步转移概率 pij (n) 实质上就是 固定时， 的条件下， 在 ξ (n) = i 的条件下，随机变量 ξ (n + 1) 的条件分 布律，所以条件分布律满足： 布律，所以条件分布律满足： pij (n) ≥ 0，∀i，j ∈ S，n > 0；
∑ pij (n) = 1，∀i ∈ S，n > 0.
乘法公式
L⋅ P {ξ (k ) = ik |ξ (k −1) = ik −1}
离散时间的马尔可夫链
马尔可夫链的一步转移概率
设 {ξ (n)，n ≥ 0} 是马尔可夫链，记 是马尔可夫链，
pij (n) P{ξ (n + 1) = j | ξ (n) = i}
7/31
称 pij (n)为马尔可夫链 {ξ (n)，n ≥ 0}在时刻 n 时的一
= P{ξ (tk＋ ) = ik +1 | ξ (tk ) = ik } LL 3.1.2） （ 1
P{ξ (k + 1) = ik +1 | ξ (k ) = ik， (k −1) = ik −1， ， (0) = i0 } ξ L ξ
= P{ξ (k + 1) = ik +1 | ξ (k ) = ik } LL 3.1.1） （
10第四章马尔可夫链精品PPT课件
P(4) 00
0.5749
定义： 称 pj(n )P {X nj}(,j I)为n时刻马尔 可夫链的绝对概率；
称 P T (n ) { p 1 (n ),p 2 (n ), } , n 0为n时刻的 绝对概率向量。
定义： 称 pj(0 )P {X 0j} ,(j I)为马尔可夫链的 初始概率；简记为 p j
j i 1,i-1, i 1
1 0 0 0 0 . .
q
0
p
0
0
.
.
0 q 0 p 0 . .
P
0
0
q
0
p
.
.
0 0 0 q 0 . . . . . . . . .
例题：带2个吸收壁的随机游动
质点在数轴上移动，规律同上例。随机游动的状态 空间I={0,1,2…a}, 其中0和a为吸收态 。求一步转移 概率。
解：
P(2) 00
P{Xm2
0|
Xm
0}
P{Xm2 0, Xm P{Xm 0}
0}
P{Xm2 0, Xm1 0,Xm 0} P{Xm2 0, Xm1 1,Xm 0}
P{Xm 0}
P{Xm 0}
P{Xm2 0, Xm1 0,Xm 0}P{Xm1 0,Xm 0} P{Xm1 0,Xm 0}P{Xm 0}
p(n) 21
p(n) 12
p(n) 22
p(n) 1m
p(n) 2m
为马尔可夫链的n步转移矩阵。规定
p(0) ij
0, 1,
i j i j
例题
设马尔可夫链{Xn,n∈T}有状态空间I={0,1}， 其一步转移概率矩阵为
P
p00 p10
第5章 马尔可夫链PPT课件
状态.
精选PPT课件
18
马尔可夫链
一般,一个特定的参保人年理赔要求的次数是参数为λ 的泊松随机变量,那么此参保人相继的状态将构成一个马 尔可夫链,并具有转移概率
但昨天没下雨,那么明天下雨的概率为0.5;如果昨天下雨
但今天没下雨,那么明天下雨的概率为0.4;如果昨、今两
天都没下雨,那么明天下雨的概率为0.2.
假设在时间n的状态只依赖于在时间n-1是否下雨,那么
上述模型就不是一个马尔可夫链.
但是,当假定在任意时间的状态是由这天与前一天两者
的天气条件所决定时,上面的模型就可以转变为一个马尔
令Xn为第n天结束时的存货量,则
XSX-nYn-nY++n1+1=,1,
若Xn≥s, 若Xn＜s.
构成的{Xn,n≥1}是Markov链.
例5.11 以Sn表示保险公司在时刻n的盈余,这里的时间以
适当的单位来计算(如天,月等), 初始盈余S0=x显然为
已知,但未来的盈余S1,S2,…却必须视为随机变量,增量
参保人的状态随着参保人要求理赔的次数而一年一年
地变化.低的状态对应于低的年保险金. 如果参保人在上
一年没有理赔要求,他的状态就将降低; 如果参保人在上
一年至少有一次理赔要求,他的状态一般会增加(可见,无
理赔是好的,并且会导致低保险金;而要求理赔是坏的,一
般会导致更高的保险金).
对于给定的一个好-坏系统, 以si(k)记一个在上一年 处在状态i,且在该年有k次理赔要求的参保人在下一年的
矩阵为
p11 p12 p13 p14
P=
p21 p22 p23 p24 0010
0001
例5.5(赌徒的破产或称带吸收壁的随机游动)系统的状态
Markov Chain(马尔科夫链)
状态转换矩阵：
1 0 0 1 − ������ 0 ������ 0 1 − ������ 0 0 0 1 − ������ 0 0 0
0 0 ������ 0 0
0 0 0 ������ 1
0
赌徒问题（续）
• ������ =
0 ������ 1 − ������ 0 0 1 − ������ 0 0 0 0 0 ������ 0 0 0 0 1 − ������ 0 0 ������ 0 1 阵������的元素������������������ 等于从状态������������ 出发到达稳定时经过������������ 的次数的期望值。 推论：马尔可夫过程中，从非稳定状态������������ 出发，到达稳定状态时的步数期望值 等于矩阵������的������行元素的和。
赌徒问题
• 一个赌徒，假设拿两元钱，一次赌一美元，赢的概率是������，输的概率是1 − ������，当赢够4元，或者全部输光就不赌了。 • 状态转换图：
1 − ������ 1 1 − ������ 1 ������ 2 ������ 3 ������ 1 − ������ 1 4 ������ =
������
������������
.此矩阵
������������������ = 1, ������ = 1,2, … , ������.
������=1
重新标记这些状态的序号，把对角线是1的元素调整到右下角，也就是变成 ������������×������ ������������× ������−������ ������������×������ → ������ ������−������ × ������ ������(������−������)×(������−������) 矩阵������ = ������ − ������������×������
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
j的概率为
p
，即转移概率。
ij
如果
X
n
的取值只取决于
1
X
的取值及转移概率，
n
而与 X n1 , X n2 ....的取值无关，那麽这种 离散状
态按照离散时间的随机 转移过程称为马氏链
由状态转移的无后效性和全概率公式可以写出马氏链的基本方程
k
a i (n 1) a j (n ) p ij , i 1,2,......... .. (3) j 1
马氏链及其基本方程
按照系统的发展，时间 离散化为 n 1,2,3.......... ,
对于每一个 n，系统的状态用一个随 机变量 X n
表示，设 X n可以取 k个离散值 X n 1,2,....... k , 且
X n i的概率记作 ai (n)，即状态概率，从
Xn
i到X n1
满足
wp w
(10)a(n 1) a(n)p两边同时取极限
k
wi 1
i1
(11)
引入状态概率向量和转移概率矩阵
a(n){a1(n)a ,2(n)a ,2(n)......a ..k.(.n ..).}.
P{pi} jkk
（7）
则基本方程（3）可表为
a (n 1) a (n) P （8） 由此还可以得到
Xn1表示销X路 n2表 好示 ，销
,n=0,1,2,……….. X n 称为这个经营系统的状态
用 ai(n)表示 n月 第 处于 i的状 概 (i 态 1 率 ,2)即 , ai(n)P(Xni), pij表示本月 i， 处 下 于 月 状 转 态 j概 为 (率 i状 1,2,,态 j1,2的 ) 即 pijP(Xn1j|Xni)
a1 (0) 1, a 2 (0) 0时，用式（ 1）立即可算出 a1 (n), a 2 (n), n 1,2,......... ...
如表所示，由数字变化规律可以看出
当 n 时，
a1 (n )
4, 9
a 2 (n )
5 9
开始销路好时状态概率的变化
n
01
a 1 ( n ) 1 0.5
E={1,2,…….m}
例3：
某商店每月考察一次经营情况，其结果用销路好或坏这 两种状况中的一种表示。已知若果本月销路好，下月任 保只这种状况的概率为0.5；如果本月销路坏，下月转变 为销路好的概率为0.4，试分析假若开始时商店处于销路 好的状态，过若干月后能保持销路好的概率有多大？如果 开始是处于销路坏呢？
并且 a i (n )和 p ij 应满足
k a i (n ) 1,
i 1
n 0,1,2,...... (4)
p ij 0,
i, j 1,2,3,.....( 5)
k
p ij 1
j 1
i 1,2,3,........( 6)
定理一：若马移 氏矩 链阵 P的 ， 为 转 则它是 正则链的充要存 条在 件正 是 N整 使 ： P数 N 0
a i(n )称为,状 p i称 j 态 为 概 ,这 转 X 率 n 里 移 1 只概 取 X n 和 率 p 决 i,j 和 X n 1,X n 2.无 .. 关
称为无后效性，由此，更椐全概率公式容易得到
a1 (n 1) a1 (n) p11 a 2 (n) p12 a 2 (n 1) a1 (n) p12 a 2 (n) p 22 因为知道 p11 0.5, p 21 0.4 , 所以显然有 p12 1 p11 0.5 p 22 1 p12 0.6 当商店开始销路好，即
a(n) a(0)P n
（9）
(5)式表明转移矩P是 阵非负阵，6） （式表明 P
的行和1为 ，称为随机矩阵。例 对3的 于转移矩阵 为
0.5 0.5 0.4 0.6
因此对于马氏链模型最基本的问题是：构造状态xn及写出转移 矩阵p，一旦有了P，则给定初始状态a(0)就可以用（9）或（8） 计算任意时间n的状态概率a(n)
定义 2：转移Pi概 i1的 率状态称为,如 吸果 收状态 马氏链至少包括一个吸收状态，并且从每一个非吸收状 态出发，能以正的概率经有限次转移达到某个吸收状态 则称此马氏链为吸收链。
定理2：正则链存在唯一的极限状态概率
w (w1, w2, w3.......w. k ),使得当 n 时状态概率 a(n) w, w与初始状态概率无又 关称 ，稳定概率
马尔可夫链建模法
1 马尔可夫链基本理论和结论 2 服务网点的设置问题 3 常染色体遗传模型
4 常染体隐性疾病模型
马尔可夫链的应用
预备知识：马尔可夫链
随机过程：设 {t,tT}是一族随机变量，T是一个实数集合，
若对任意的 实数t T， t 是一个随机变量，则称
{t ,t T}为随机过程。
正则。
定义1：一个有k个状态的马氏链，如果存在正整数N，使从任意 状态i经N次转移，都以大于0的概率达到状态j(I,j=1,2,…k) 称此马氏链为正则链。
马尔可夫链的应用
模型六：服务网点的设置问题
为适应日益扩大的旅游事业的需要，某城市的甲乙丙三个 照相馆组成一个联营部，联合经营出租相机的业务。游客 可由甲乙丙三处任一处租出相机，用完后，还到三处中的 任一处即可。估计其转移概率为：
a 2 ( n ) 0 0.5
2
3
0.45 0.445
0.55 0.555
………
4/9 5/9
表2 开始销路坏时的状态概率的变化
n
a1 (n ) a 2 (n)
01
2
0 0.4 0.44 1 0.6 0.56
3 0.444
0.556
………
4/9 5/9
马尔可夫链的定义：
设 {n,n1,2,...是.}一个随机序列，状态空间E为有限或可列
对于任意的正整数m,n，若i,j, ikE(k1,2....n. .1 .)有,
P { n m j |n i ,n 1 i n 1 ,.1 . i 1 } .P { . n m .j |.n . i }
则称 {n,n1,2,....}为一个 马尔可夫链
还
相
甲
乙