数学--单调性与最大(小)值 教案

第2课时 函数的最值

导入新课

思路1.某工厂为了扩大生产规模,计划重新建造一个面积为10 000 m 2的矩形新厂址,新厂址的长为x m ，则宽为

x

10000

m ，所建围墙ym ，假如你是这个工厂的厂长,你会选择一个长和宽各为多少米的矩形土地,使得新厂址的围墙y 最短?

学生先思考或讨论，教师指出此题意在求函数y=2(x+

x

10000

),x>0的最小值.引出本节课题：在生产和生活中，我们非常关心花费最少、用料最省、用时最省等最值问题，这些最值对我们的生产和生活是很有帮助的.那么什么是函数的最值呢?这就是我们今天学习的课题.用函数知识解决实际问题，将实际问题转化为求函数的最值，这就是函数的思想，用函数解决问题.

思路2.画出下列函数的图象，指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？ ①f(x)=-x+3；②f(x)=-x+3,x ∈［-1,2］；

③f(x)=x 2+2x+1;④f(x)=x 2+2x+1,x ∈［-2,2］. 学生回答后，教师引出课题：函数的最值. 推进新课 新知探究 提出问题

①如图1-3-1-11所示，是函数y=-x 2-2x 、y=-2x+1,x ∈［-1,+∞)、y=f(x)的图象.观察这三个图象的共同特征.

图1-3-1-11

②函数图象上任意点P(x,y)的坐标与函数有什么关系？ ③你是怎样理解函数图象最高点的?

④问题1中，在函数y=f(x)的图象上任取一点A(x,y)，如图1-3-1-12所示，设点C 的坐标为(x 0,y 0)，谁能用数学符号解释：函数y=f(x)的图象有最高点C ？

图1-3-1-12

⑤在数学中，形如问题1中函数y=f(x)的图象上最高点C 的纵坐标就称为函数y=f(x)的最大值.谁能给出函数最大值的定义？

⑥函数最大值的定义中f(x)≤M 即f(x)≤f(x 0)，这个不等式反映了函数y=f(x)的函数值具有什么特点？其图象又具有什么特征？

⑦函数最大值的几何意义是什么？

⑧函数y=-2x+1,x ∈(-1,+∞)有最大值吗？为什么？ ⑨点(-1,3)是不是函数y=-2x+1,x ∈(-1,+∞)的最高点？ ⑩由这个问题你发现了什么值得注意的地方？ 讨论结果:

①函数y=-x 2-2x 图象有最高点A ，函数y=-2x+1,x ∈［-1,+∞)图象有最高点B ，函数y=f(x)图象有最高点C.也就是说,这三个函数的图象的共同特征是都有最高点.

②函数图象上任意点P 的坐标(x,y)的意义:横坐标x 是自变量的取值,纵坐标y 是自变量为x 时对应的函数值的大小.

③图象最高点的纵坐标是所有函数值中的最大值,即函数的最大值. ④由于点C 是函数y=f(x)图象的最高点，则点A 在点C 的下方，即对定义域内任意x ，都有y≤y 0，即f(x)≤f(x 0)，也就是对函数y=f(x)的定义域内任意x ，均有f(x)≤f(x 0)成立. ⑤一般地，设函数y=f(x)的定义域为I ，如果存在实数M 满足： （1）对于任意的x ∈I ，都有f(x)≤M ； （2）存在x 0∈I ，使得f(x 0)=M. 那么，称M 是函数y=f(x)的最大值.

⑥f(x)≤M 反映了函数y=f(x)的所有函数值不大于实数M ；这个函数的特征是图象有最高点，并且最高点的纵坐标是M.

⑦函数图象上最高点的纵坐标.

⑧函数y=-2x+1,x ∈(-1,+∞)没有最大值，因为函数y=-2x+1,x ∈(-1,+∞)的图象没有最高点. ⑨不是，因为该函数的定义域中没有－1.

⑩讨论函数的最大值，要坚持定义域优先的原则；函数图象有最高点时，这个函数才存在最大值，最高点必须是函数图象上的点. 提出问题

①类比函数的最大值，请你给出函数的最小值的定义及其几何意义. ②类比问题9，你认为讨论函数最小值应注意什么？

活动：让学生思考函数最大值的定义，利用定义来类比定义.最高点类比最低点，符号不等号“≤”类比不等号“≥”.函数的最大值和最小值统称为函数的最值. 讨论结果：①函数最小值的定义是:

一般地，设函数y=f(x)的定义域为I ，如果存在实数M 满足： （1）对于任意的x ∈I ，都有f(x)≥M ； （2）存在x 0∈I ，使得f(x 0)=M. 那么，称M 是函数y=f(x)的最小值.

函数最小值的几何意义：函数图象上最低点的纵坐标.

②讨论函数的最小值，也要坚持定义域优先的原则；函数图象有最低点时，这个函数才存在最小值，最低点必须是函数图象上的点. 应用示例

思路1 例1求函数y=

1

2

-x 在区间［2，6］上的最大值和最小值. 活动：先思考或讨论，再到黑板上书写.当学生没有证明思路时，才提示：图象最高点的纵坐标就是函数的最大值，图象最低点的纵坐标就是函数的最小值.根据函数的图象观察其单调性，再利用函数单调性的定义证明，最后利用函数的单调性求得最大值和最小值.利用变换法画出函数y=1

2

-x 的图象，只取在区间［2，6］上的部分.观察可得函数的图象是上升的. 解：设2≤x 1

1

2

1221---x x =)1)(1()]1()1[(22112-----x x x x =)1)(1()(22112---x x x x

∵2≤x 10,(x 1-1)(x 2-1)>0. ∴f(x 1)>f(x 2),即函数y=

1

2

-x 在区间［2，6］上是减函数.

所以，当x=2时，函数y=

12

-x 在区间［2，6］上取得最大值f(2)=2； 当x=6时，函数y=12-x 在区间［2，6］上取得最小值f(6)= 5

2

.

变式训练

1.求函数y=x 2-2x(x ∈［-3,2］)的最大值和最小值_______. 答案：最大值是f(-3)=15，最小值是f(1)=-1.

2.函数f(x)=x 4+2x 2-1的最小值是. 分析：（换元法）转化为求二次函数的最小值. 设x 2=t ，y=t 2+2t-1(t≥0)，

又当t≥0时，函数y=t 2+2t-1是增函数，

则当t=0时，函数y=t 2+2t-1(t≥0)取最小值－1. 所以函数f(x)=x 4+2x 2-1的最小值是－1. 答案：-1

3.画出函数y=－x 2＋2|x|＋3的图象，指出函数的单调区间和最大值.

分析：函数的图象关于y 轴对称，先画出y 轴右侧的图象，再对称到y 轴左侧合起来得函数的图象；借助图象，根据单调性的几何意义写出单调区间. 解：函数图象如图1-3-1-13所示.

图1-3-1-13

由图象得，函数的图象在区间（－∞，－1）和［0，1］上是上升的，在［－1，0］和（1，＋∞）上是下降的，最高点是(±1,4)， 故函数在（－∞，－1），［0，1］上是增函数；函数在［－1，0］，（1，＋∞）上是减函数，最大值是4. 点评：本题主要考查函数的单调性和最值，以及最值的求法.求函数的最值时，先画函数的图象，确定函数的单调区间，再用定义法证明，最后借助单调性写出最值，这种方法适用于做解答题.

单调法求函数最值：先判断函数的单调性,再利用其单调性求最值；常用到下面的结论：①如果函数y=f(x)在区间(a,b ］上单调递增，在区间［b,c)上单调递减，则函数y=f(x)在x=b 处有最大值f(b)；②如果函数y=f(x)在区间(a,b ］上单调递减，在区间［b,c)上单调递增，则函数y=f(x)在x=b 处有最小值f(b).

例2“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度h m 与时间t s 之间的关系为h(t)=-4.9t 2+14.7t+18，那么烟花冲出去后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少（精确到1m ）？

活动：可以指定一位学生到黑板上书写，教师在下面巡视，并及时帮助做错的学生改错.并对学生的板书及时评价.将实际问题最终转化为求函数的最值，画出函数的图象，利用函数的图象求出最大值.“烟花冲出去后什么时候是它爆裂的最佳时刻”就是当t 取什么值时函数h(t)=-4.9t 2+14.7t+18取得最大值；“这时距地面的高度是多少（精确到1 m ）”就是函数h(t)=-4.9t 2+14.7t+18的最大值；转化为求函数h(t)=-4.9t 2+14.7t+18的最大值及此时自变量t 的值.

解：画出函数h(t)=-4.9t 2+14.7t+18的图象，如图1-3-1-14所示，

显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆炸的最佳时刻，纵坐标就是这时距离地面的高度.

图1-3-1-14

由二次函数的知识，对于函数h(t)=-4.9t 2+14.7t+18，我们有： 当t=)

9.4(27

.14-?-

=1.5时，函数有最大值,

即烟花冲出去后1.5s 是它爆裂的最佳时刻，这时距地面的高度约是29m.

点评：本题主要考查二次函数的最值问题，以及应用二次函数解决实际问题的能力.解应用题步骤是①审清题意读懂题；②将实际问题转化为数学问题来解决；③归纳结论.

注意：要坚持定义域优先的原则；求二次函数的最值要借助于图象即数形结合. 变式训练

1.2006山东菏泽二模，文10把长为12厘米的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是( ) A.

2

33cm 2 B.4cm 2 C.32cm 2 D.23cm 2

解析：设一个三角形的边长为x cm ，则另一个三角形的边长为(4-x) cm ，两个三角形的面积和为S ，则S=

43x 2+43(4-x)2=2

3(x-2)2+23≥23. 当x=2时，S 取最小值23m 2.故选D.

答案：D

2.某超市为了获取最大利润做了一番试验，若将进货单价为8元的商品按10元一件的价格出售时，每天可销售60件，现在采用提高销售价格减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每涨1元，其销售量就要减少10件，问该商品售价定为多少时才能赚取利润最大，并求出最大利润.

分析：设未知数，引进数学符号，建立函数关系式，再研究函数关系式的定义域，并结合问题的实际意义作出回答.利润＝（售价－进价）×销售量. 解：设商品售价定为x 元时，利润为y 元，则 y=(x-8)［60-(x-10)·10］

=-10［(x-12)2-16］=-10(x-12)2+160(10＜x ＜16). 当且仅当x=12时，y 有最大值160元， 即售价定为12元时可获最大利润160元.

思路2 例1已知函数f(x)=x+

x

1

,x>0， （1）证明当0

x

1

,x>0的最小值. 活动：学生思考判断函数单调性的方法，以及函数最小值的含义.（1）利用定义法证明函数的单调性；（2）应用函数的单调性得函数的最小值.

（1

）解：任取x 1、x 2∈（0，+∞）且x 1＜x 2，则 f （x 1）－f （x 2）=（x 1＋

11x ）－（x 2+2

1

x ）=（x 1－x 2）+2112x x x x -=212121)1)((x x x x x x --，

∵x 1＜x 2，∴x 1－x 2<0，x 1x 2>0.

当0＜x 1＜x 2＜1时，x 1x 2-1<0， ∴f （x 1）－f （x 2）＞0. ∴f （x 1）＞f （x 2），即当00， ∴f （x 1）－f （x 2）＜0.

∴f （x 1）＜f （x 2）,即当x≥1时，函数f(x)是增函数. （2）解法一：由（1）得当x=1时，函数f(x)=x+x

1

,x>0取最小值. 又f(1)=2，则函数f(x)=x+

x

1

,x>0取最小值是2. 解法二：借助于计算机软件画出函数f(x)=x+x

1

,x>0的图象，如图1-3-1-15所示，

图1-3-1-15

由图象知，当x=1时，函数f(x)=x+

x

1

,x>0取最小值f(1)=2. 点评：本题主要考查函数的单调性和最值.定义法证明函数的单调性的步骤是“去比赛”；三个步骤缺一不可. 利用函数的单调性求函数的最值的步骤：①先判断函数的单调性,再利用其单调性求最值；常用到下面的结论：①如果函数y=f(x)在区间(a,b ］上单调递增，在区间［b,c)上单调递减，则函数y=f(x)在x=b 处有最大值f(b)；②如果函数y=f(x)在区间(a,b ］上单调递减，在区间［b,c)上单调递增，则函数y=f(x)在x=b 处有最小值f(b).这种求函数最值的方法称为单调法.

图象法求函数的最值的步骤：画出函数的图象，依据函数最值的几何意义，借助图象写出最值. 变式训练

1.求函数y=

x

x

213+-（x≥0）的最大值. 解析:可证明函数y=x

x

213+-（x≥0）是减函数，

∴函数y=x

x

213+-（x≥0）的最大值是f(0)=3.

2.求函数y=|x+1|+|x-1|的最大值和最小值.

解法一：（图象法）y ＝|x+1|+|x-1|=??

?

??≥<<--≤-,1,2,11,

2,1,2x x x x x 其图象如图1-3-1-16所示.

图1-3-1-16

由图象得，函数的最小值是2，无最大值. 解法二：（数形结合）函数的解析式y=|x+1|+|x-1|的几何意义是：y 是数轴上任意一点P 到±1的对应点A 、B 的距离的和，即y=|PA|+|PB|,如图1-3-1-17所示，

图1-3-1-17

观察数轴,可得|PA|+|PB|≥|AB|=2，即函数有最小值2，无最大值. 3.2007天利高考第一次全国大联考（江苏卷），11设0

x 1+x

-11

的最小值是. 分析：y=

)1(1x x -,当0

1

,

∴y≥4.

答案：4

例2将进货单价40元的商品按50元一个售出时，能卖出500个，若此商品每个涨价1元，其销售量减少10个，为了赚到最大利润，售价应定为多少？

活动：让学生思考利润的意义，以及利润和售价之间的函数关系.设出一般情况，转化为求二次函数的最值.解决此类应用题，通常是建立函数模型，这是解题的关键. 解：设每个售价为x 元时，获得利润为y 元，

则每个涨（x-50）元，从而销售量减少10(x-50)个,共售出500-10(x-50)=1000-10x(个). ∴y=(x-40)(1000-10x)=-10(x-70)2+9 000(50≤x ＜100）. ∴当x=70时,y max =9000,

即为了赚取最大利润，售价应定为70元.

点评：本题主要考查二次函数的最值问题，以及应用二次函数解决实际问题的能力.解应用题步骤是：①审清题意读懂题；②将实际问题转化为数学问题来解决；③归纳结论.

注意：要坚持定义域优先的原则；求二次函数的最值要借助于图象即数形结合. 变式训练

1.已知某商品的价格每上涨x%，销售的数量就减少mx%，其中m 为正常数.当m=2

1

时，该商品的价格上涨多少，就能使销售的总金额最大？

解：设商品现在定价a 元，卖出的数量为b 个,当价格上涨x%时，销售总额为y 元. 由题意得y=a(1+x%)·b(1-mx%),

即y=

10000ab

［-mx 2+100(1-m)x+10 000］.

当m=21时,y=20000

ab ［-(x-50)2+22 500］，

则当x=50时，y max =

8

9ab. 即该商品的价格上涨50%时，销售总金额最大.

2.2007天利第一次全国大联考江苏卷，18某军工企业生产一种精密电子仪器的固定成本为20 000元，每生

产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R(x)=?????>≤≤-,400,

80000,

4000,2

14002x x x x 其中x 是仪器的月产量.

（1）将利润表示为月产量的函数.

（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润是多少元？（总收益＝总成本＋利润）.

分析：本题主要考查二次函数及其最值，以及应用二次函数解决实际问题的能力.（1）利润＝总收益－总成本；（2）转化为求函数的最值，由于此函数是分段函数，则要求出各段上的最大值，再从中找出函数的最大值. 解：（1）设月产量为x 台，则总成本为20 000+100x ，

从而f(x)=?????>-≤≤-+-.400,

10060000,4000,20000300212x x x x x

（2）当0≤x≤400时，f(x)=2

1

-(x-300)2+25000;

当x=300时，有最大值25000；

当x>400时，f(x)=60000-100x 是减函数; 又f(x)<60000-100×400<25000,

所以，当x=300时，有最大值25000,

即当月产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润是25000元. 知能训练

课本P 32练习5. ［补充练习］

2007上海市闵行五校联合调研，20某厂2007年拟举行促销活动，经调查测算，该厂产品的年销售量（即该厂的年产量）x 万件与去年促销费m （万元）（m≥0）满足x=31

2

+-

m .已知2007年生产的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）.

（1）将2007年该产品的利润y 万元表示为年促销费m （万元）的函数； （2）求2007年该产品利润的最大值，此时促销费为多少万元？ 分析：（1）年利润＝销售价格×年销售量－固定投入－促销费－再投入，销售价格＝1.5×每件产品平均成本；（2）利用单调法求函数的最大值.

解：（1）每件产品的成本为x

x

168+元，故2007年的利润 y=1.5×x x 168+×x-(8+16x+m)=4+8x-m=4+8(312+-m )-m=281

16+-m -m （万元）（m≥0）.

（2）可以证明当0≤m≤3时，函数y=28116+-m -m 是增函数，当m>3时，函数y=281

16

+-m -m 是减函数，

所以当m=3时，函数y=281

16

+-m -m 取最大值21（万元）.

拓展提升

问题：求函数y=

1

1

2

++x x 的最大值. 探究：(方法一)利用计算机软件画出函数的图象，如图1-3-1-18所示，

图1-3-1-18

故图象最高点是(21-,3

4). 则函数y=

1

12++x x 的最大值是34

.

(方法二)函数的定义域是R ，

可以证明当x<21-

时，函数y=1

1

2++x x 是增函数； 当x≥21-时，函数y=112++x x 是减函数.

则当x=21-时，函数y=1

12++x x 取最大值34

,

即函数y=1

12++x x 的最大值是34

.

(方法三)函数的定义域是R ， 由y=

1

1

2

++x x ,得yx 2+yx+y-1=0. ∵x ∈R ，∴关于x 的方程yx 2+yx+y-1=0必有实数根，

当y=0时，关于x 的方程yx 2+yx+y-1=0无实数根，即y=0不属于函数的值域. 当y≠0时，则关于x 的方程yx 2+yx+y-1=0是一元二次方程， 则有Δ=(-y)2-4×y(y-1)≥0.∴0

4. ∴函数y=

4

32+x x 的最大值是34

.

点评：方法三称为判别式法，形如函数y=f

ex dx c

bx ax ++++22(d≠0)，当函数的定义域是R （此时e 2-4df<0）时，

常用判别式法求最值，其步骤是①把y 看成常数，将函数解析式整理为关于x 的方程的形式mx 2+nx+k=0；②分类讨论m=0是否符合题意；③当m≠0时，关于x 的方程mx 2+nx+k=0中有x ∈R ，则此一元二次方程

必有实数根，得n 2-4mk≥0,即关于y 的不等式，解不等式组???≠≥-.

0,

042m mk n

m≠0.此不等式组的解集与②中y 的值取并集得函数的值域，从而得函数的最大值和最小值. 课堂小结

本节课学习了：(1)函数的最值；(2)求函数最值的方法：①图象法，②单调法，③判别式法；(3)求函数最值时，要注意函数的定义域. 作业

课本P 39习题1.3A 组5、6.

设计感想

为达到本节课的教学目标，突出重点，突破难点，教学上采取了以下的措施：

（1）在探索概念阶段,让学生经历从直观到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程，完成对函数最值定义的三次认识,使得学生对概念的认识不断深入.

（2）在应用概念阶段,通过对证明过程的分析，帮助学生掌握用图象和单调法求函数最值的方法和步骤. 备课资料

基本初等函数的最值

1.正比例函数：y=kx(k≠0)在定义域R 上不存在最值.在闭区间［a,b ］上存在最值，当k>0时，函数y=kx 的最大值为f(b)＝kb ，最小值为f(a)＝ka ；当k<0时，函数y=kx 的最大值为f(a)＝ka ，最小值为f(b)＝kb.

2.反比例函数：y=

x k

(k≠0)在定义域(-∞,0)∪(0,+∞)上不存在最值.在闭区间［a,b ］（ab>0）上存在最值，当k>0时，函数y=x k 的最大值为f(a)＝a k ，最小值为f(b)＝b k ；当k<0时，函数y=x k 的最大值为f(b)＝b k

，最小

值为f(a)＝a

k

.

3.一次函数：y=kx+b(k≠0)在定义域R 上不存在最值.在闭区间［m,n ］上存在最值，当k>0时，函数y=kx+b 的最大值为f(n)=kn+b ，最小值为f(m)＝km+b ；当k<0时，函数y=kx+b 的最大值为f(m)＝km+b ，最小值为f(n)＝kn+b.

4.二次函数：y=ax 2+bx+c(a≠0): 当a>0时，函数

y=ax 2+bx+c

在定义域R 上有最小值f(a

b

2-)=a ac b 442+-，无最大值；

当a<0时，函数y=ax 2+bx+c 在定义域R 上有最大值f(a

b

2-)=a ac b 442+-，无最小值.

二次函数在闭区间上的最值问题是高考考查的重点和热点内容之一.二次函数f(x)=ax 2+bx+c(a ＞0)在闭区间

［p ，q ］上的最值可能出现以下三种情况：

(1)若a b

2-

＜p ，则f(x)在区间［p ，q ］上是增函数，则f(x)min =f(p)，f(x)max =f(q). (2)若p≤a b 2-≤q ，则f(x)min =f(a b

2-),此时f(x)的最大值视对称轴与区间端点的远近而定：

①当p≤a b 2-＜2q

p +时，则f(x)max =f(q);

②当2q p +＝a b 2-时，则f(x)max =f(p)＝f(q);

③当2q p +＜a b 2-＜q 时，则f(x)max =f(p).

(3)若a

b

2-≥q ，则f(x)在区间［p ，q ］上是减函数，则f(x)min =f(q)，f(x)max =f(p).

由此可见,当a

b

2-∈［p,q ］时,二次函数f(x)=ax 2+bx+c(a ＞0)在闭区间［p ，q ］上的最大值是f(p)和f(q)中的

最大值,最小值是f(a b 2-)；当a

b

2-?［p,q ］时,二次函数f(x)=ax 2+bx+c(a ＞0)在闭区间［p ，q ］上的最大

值是f(p)和f(q)中的最大值,最小值是f(p)和f(q)中的最小值.