第三章导数及其应用导数概念及运算
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高考数学一轮总复习第三章导数及应用1导数的概念及运算课件理
(2)求过点 P 的曲线的切线方程的步骤为： 第一步，设出切点坐标 P′(x1，f(x1))； 第二步，写出过 P′(x1，f(x1))的切线方程为 y－f(x1)＝f′ (x1)(x－x1)； 第三步，将点 P 的坐标(x0，y0)代入切线方程，求出 x1； 第四步，将 x1 的值代入方程 y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)可得过 点 P(x0，y0)的切线方程．
第二十五页，共46页。
(5)y＝－lnx＋e－2x,∴y′＝－1x＋e－2x·(－2x)′＝－1x－2e－2x. 【答案】 (1)y′＝24x3＋9x2－16x－4 (2)y′＝(ln3＋1)·(3e)x－2xln2 (3)y′＝x2＋x（1－x2＋2x12·）l2nx (4)y′＝2sin(4x＋23π) (5)y′＝－1x－2e－2x
第十二页，共46页。
2．计算： (1)(x4－3x3＋1)′＝________； (2)(ln1x)′＝________； (3)(xex)′＝______； (4)(sinx·cosx)′＝______． 答案 (1)4x3－9x2 (2)－xln12x (3)ex＋xex (4)cos2x
第十三页，共46页。
为 k1，k2，则 k1，k2 的大小关系为( )
A．k1>k2
B．k1<k2
C．k1＝k2
D．不确定
答案 A
解析 ∵y＝sinx，∴y′＝(sinx)′＝cosx.
π k1＝cos0＝1，k2＝cos 2 ＝0，∴k1>k2.
第十五页，共46页。
5．(2018·陕西检测)已知直线 y＝－x＋m 是曲线 y＝x2－3lnx
第二十二页，共46页。
题型二 导数的基本运算
求下列函数的导数： (1)y＝(3x3－4x)(2x＋1)； (3)y＝x2ln＋x1； (5)y＝ln1x＋e－2x.
高考数学一轮复习第三章导数及其应用3.1导数的概念及运算
小题速解 由题意得y'=2cos x-sin x,则y'|x=π=-2.计算A、B、C、D选项中直线的斜率,可知只有 C符合.故选C.
3.(2018课标全国Ⅰ,6,5分)设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax.若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的 切线方程为 ( ) A.y=-2x B.y=-x C.y=2x D.y=x
2
ln
x
.
当0<x<1时,x2-1<0,ln x<0,所以g'(x)<0,故g(x)单调递减;
当x>1时,x2-1>0,ln x>0,所以g'(x)>0,故g(x)单调递增.
所以,g(x)>g(1)=0(∀x>0,x≠1). 所以除切点之外,曲线C在直线L的下方.
思路分析 (1)先求导,再求切线斜率,进而得出切线方程; (2)令g(x)=x-1-f(x),待证等价于g(x)>0(∀x>0,x≠1),再利用函数单调性和最值解决问题.
又g(e)=0,∴ln x= ex 有唯一解x=e.∴x0=e.
∴点A的坐标为(e,1).
方法总结 求曲线y=f(x)过点(x1,y1)的切线问题的一般步骤: ①设切点为(x0, f(x0)); ②求k=f '(x0); ③得出切线的方程为y-f(x0)=f '(x0)(x-x0); ④由切线经过已知点(x1,y1)求得x0,进而得出切线方程.
= 2
.
(2)设过点P(1,t)的直线与曲线y=f(x)相切于点(x0,y0),
则y0=2 x03 -3x0,且切线斜率为k=6 x02-3,所以切线方程为y-y0=(6 -3)(x-x0), 因此t-y0=(6 x02 -3)(1-x0).整x理02 得4 x03 -6 x02 +t+3=0. 设g(x)=4x3-6x2+t+3,则“过点P(1,t)存在3条直线与曲线y=f(x)相切”等价于“g(x)有3个不同零点”.
3.(2018课标全国Ⅰ,6,5分)设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax.若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的 切线方程为 ( ) A.y=-2x B.y=-x C.y=2x D.y=x
2
ln
x
.
当0<x<1时,x2-1<0,ln x<0,所以g'(x)<0,故g(x)单调递减;
当x>1时,x2-1>0,ln x>0,所以g'(x)>0,故g(x)单调递增.
所以,g(x)>g(1)=0(∀x>0,x≠1). 所以除切点之外,曲线C在直线L的下方.
思路分析 (1)先求导,再求切线斜率,进而得出切线方程; (2)令g(x)=x-1-f(x),待证等价于g(x)>0(∀x>0,x≠1),再利用函数单调性和最值解决问题.
又g(e)=0,∴ln x= ex 有唯一解x=e.∴x0=e.
∴点A的坐标为(e,1).
方法总结 求曲线y=f(x)过点(x1,y1)的切线问题的一般步骤: ①设切点为(x0, f(x0)); ②求k=f '(x0); ③得出切线的方程为y-f(x0)=f '(x0)(x-x0); ④由切线经过已知点(x1,y1)求得x0,进而得出切线方程.
= 2
.
(2)设过点P(1,t)的直线与曲线y=f(x)相切于点(x0,y0),
则y0=2 x03 -3x0,且切线斜率为k=6 x02-3,所以切线方程为y-y0=(6 -3)(x-x0), 因此t-y0=(6 x02 -3)(1-x0).整x理02 得4 x03 -6 x02 +t+3=0. 设g(x)=4x3-6x2+t+3,则“过点P(1,t)存在3条直线与曲线y=f(x)相切”等价于“g(x)有3个不同零点”.
导数的定义及其应用
导数的定义及其应用导数是微积分中一个非常重要的概念，它在自然科学、工程学、经济学等多个领域都有广泛的应用。
本文将从导数的定义、导数的计算方法和导数的应用三个方面进行论述。
一、导数的定义导数是函数在某个点上的变化率，它描述了函数在一点附近的斜率，可以表示为函数在该点的极限。
具体地说，如果函数$f(x)$在点$x_0$处可导，那么它的导数为：$$f'(x_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$$其中$h$为趋近于$0$的实数。
如果这个极限存在，则称$f(x)$在$x_0$处可导。
例如，求函数$f(x)=x^2$在$x=2$处的导数，我们可以将$x_0=2$代入上式，得到：$$f'(2)=\lim_{h\to0}\frac{(2+h)^2-2^2}{h}=\lim_{h\to0}(4+4h+h^2)/h=4$$因此，$f(x)=x^2$在$x=2$处的导数为$4$。
二、导数的计算方法导数的计算方法有很多种，这里介绍三种常用的方法。
1. 用定义式计算。
根据导数的定义，我们可以将函数在某个点的导数表示为极限，通过计算该极限来求出导数的值。
这种方法往往比较繁琐，适用于简单函数或需要进行特殊推导的函数。
2. 利用导数的性质计算。
导数具有很多有用的性质，如加减法、乘法、链式法则等，可以帮助我们快速计算导数。
例如，对于两个函数$f(x)$和$g(x)$，它们的和函数$(f+g)(x)$的导数为$f'(x)+g'(x)$，积函数$(f\cdot g)(x)$的导数为$f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$，以及由复合函数$u(x)=f(g(x))$构成的函数$v(x)=u'(x)=f'(g(x))g'(x)$的导数等等。
3. 利用数值计算方法计算。
数值计算方法是一种近似计算导数的方法，常用的方法有差分法、牛顿-莱布尼茨公式、微分方程法等等。
高中数学第三章导数及其应用3.2导数的计算课件新人教A版选修1_1
④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、语 文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面的 内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
x2
-
1
1
x2
.
22
(2)y′=(
ln
x
)′=
(ln
x)x
x ln
x
=
1 x
x
ln
x
x
x2
x2
= 1 ln x . x2
(3)y=tan x; (4)y=3xex-2x+e.
解:(3)y′=( sin x )′= (sin x)cos x sin x(cos x)
cos x
cos2 x
课堂探究 素养提升
题型一 利用导数公式求函数的导数
【例 1】 求下列函数的导数:
(1)y=x8;(2)y=
5
x2
;(3)y=4x;(4)y= log1
2
x;(5)y=sin(x+
π 2
);(6)y=sin
π 3
.
解:(1)y′=(x8)′=8x8-1=8x7.
(2)y′=(
5
x2
)′=(
2
x 5 )′=
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面的 内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
x2
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22
(2)y′=(
ln
x
)′=
(ln
x)x
x ln
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=
1 x
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x
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= 1 ln x . x2
(3)y=tan x; (4)y=3xex-2x+e.
解:(3)y′=( sin x )′= (sin x)cos x sin x(cos x)
cos x
cos2 x
课堂探究 素养提升
题型一 利用导数公式求函数的导数
【例 1】 求下列函数的导数:
(1)y=x8;(2)y=
5
x2
;(3)y=4x;(4)y= log1
2
x;(5)y=sin(x+
π 2
);(6)y=sin
π 3
.
解:(1)y′=(x8)′=8x8-1=8x7.
(2)y′=(
5
x2
)′=(
2
x 5 )′=
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
《导数的概念及应用》课件
以判断函数的单调性。
极值与导数的关系
总结词
导数的零点通常是函数的极值点，但需 满足一定的条件。在极值点处，导数的 符号发生变化。
VS
详细描述
如果一个函数在某一点的导数为零，且在 这一点的一阶导数存在，那么这个点可能 是函数的极值点。为了确定这一点是否为 极值点，需要检查该点两侧的导数符号是 否发生变化。如果导数的符号在这一点从 正变为负或从负变为正，则该点为极值点 。
曲线的凹凸性与导数的关系
总结词
二阶导数可以判断曲线的凹凸性。二阶导数 大于零的区间内，曲线是凹的；二阶导数小 于零的区间内，曲线是凸的。
详细描述
二阶导数描述了函数值随自变量变化的加速 度。当二阶导数大于零时，表示函数在该区 间内单调递增；当二阶导数小于零时，表示 函数在该区间内单调递减。因此，通过分析 二阶导数的正负，可以判断曲线的凹凸性。
详细描述
在流体动力学中，导数可以用来描述流体速度和压强的变化规律，以及流体流动的稳定性分析。在结构分析中， 导数可以用来计算结构的应力和应变，评估结构的强度和稳定性。在控制理论中，导数可以用来分析系统的动态 响应和稳定性，优化系统的性能和稳定性。
THANKS
感谢观看
极值的概念
函数在某点的极值表示该点附近函数值的大小变化情 况，极值可以是极大值或极小值。
导数与极值的关系
函数在极值点的导数等于零，通过求导可以找到极值 点。
极值问题的求解方法
利用导数等于零的条件，结合函数单调性判断，确定 极值点并计算出极值。
曲线的长度计算
曲线长度的概念
01
曲线长度表示曲线本身的长度，是几何学中的一个基本概念。
导数的几何意义
总结词
导数在几何上表示函数图像在某一点的切线斜率。
极值与导数的关系
总结词
导数的零点通常是函数的极值点，但需 满足一定的条件。在极值点处，导数的 符号发生变化。
VS
详细描述
如果一个函数在某一点的导数为零，且在 这一点的一阶导数存在，那么这个点可能 是函数的极值点。为了确定这一点是否为 极值点，需要检查该点两侧的导数符号是 否发生变化。如果导数的符号在这一点从 正变为负或从负变为正，则该点为极值点 。
曲线的凹凸性与导数的关系
总结词
二阶导数可以判断曲线的凹凸性。二阶导数 大于零的区间内，曲线是凹的；二阶导数小 于零的区间内，曲线是凸的。
详细描述
二阶导数描述了函数值随自变量变化的加速 度。当二阶导数大于零时，表示函数在该区 间内单调递增；当二阶导数小于零时，表示 函数在该区间内单调递减。因此，通过分析 二阶导数的正负，可以判断曲线的凹凸性。
详细描述
在流体动力学中，导数可以用来描述流体速度和压强的变化规律，以及流体流动的稳定性分析。在结构分析中， 导数可以用来计算结构的应力和应变，评估结构的强度和稳定性。在控制理论中，导数可以用来分析系统的动态 响应和稳定性，优化系统的性能和稳定性。
THANKS
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极值的概念
函数在某点的极值表示该点附近函数值的大小变化情 况，极值可以是极大值或极小值。
导数与极值的关系
函数在极值点的导数等于零，通过求导可以找到极值 点。
极值问题的求解方法
利用导数等于零的条件，结合函数单调性判断，确定 极值点并计算出极值。
曲线的长度计算
曲线长度的概念
01
曲线长度表示曲线本身的长度，是几何学中的一个基本概念。
导数的几何意义
总结词
导数在几何上表示函数图像在某一点的切线斜率。
导数的概念及其运算
第10页 共 45 页
5.(2010·新课标全国)曲线y=x3-2x+1在点(1,0)处的切线方程为
()
A.y=x-1
B.y=-x+1
C.y=2x-2
D.y=-2x+2
解析:由题可知,点(1,0)在曲线y=x3-2x+1上,求导可得y′=3x2-2, 因此在点(1,0)处的切线的斜率k=1,切线过点(1,0),根据直线 的点斜式可得切线方程为y=x-1,故选A.
第16页 共 45 页
3
y
(lnx)( x 2
1) (x2
lnxo(x2 1)2
1)
1 (x2 1) lnx 2x x (x2 1)2
x2 1 2x2 lnx x(x2 1)2 ;
4 y 3sin2x 2 ?sin2x 6sin2 2xcos2x.
第17页 共 45 页
类型三
导数的几何意义及应用
式求导. (2)以根式或分式形式出现的函数求导问题,先化成指数的形
式再运用公式求导. (3)比较复杂的函数,往往需要先化简再求导. (4)对于某些没有给出求导公式的函数,能够先化为有求导公
式的函数表达再求导.
第30页 共 45 页
补充作业：
1.求下列函数的导数 :
(1) y 1 1 ;(2) y sin x (1 2 cos2 x );(3) y e x 1.
解题准备:求曲线切线方程的环节是:
①求导数f′(x);
②求斜率k=f′(x0);
③写出切线方程y-y0=f′(x0)(x-x0).但是要注意,当函数 f(x)在x=x0处不可导时,曲线在该点处并不一定没有切 线,同时还必须明确P(x0,y0)为切点.
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5.(2010·新课标全国)曲线y=x3-2x+1在点(1,0)处的切线方程为
()
A.y=x-1
B.y=-x+1
C.y=2x-2
D.y=-2x+2
解析:由题可知,点(1,0)在曲线y=x3-2x+1上,求导可得y′=3x2-2, 因此在点(1,0)处的切线的斜率k=1,切线过点(1,0),根据直线 的点斜式可得切线方程为y=x-1,故选A.
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3
y
(lnx)( x 2
1) (x2
lnxo(x2 1)2
1)
1 (x2 1) lnx 2x x (x2 1)2
x2 1 2x2 lnx x(x2 1)2 ;
4 y 3sin2x 2 ?sin2x 6sin2 2xcos2x.
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类型三
导数的几何意义及应用
式求导. (2)以根式或分式形式出现的函数求导问题,先化成指数的形
式再运用公式求导. (3)比较复杂的函数,往往需要先化简再求导. (4)对于某些没有给出求导公式的函数,能够先化为有求导公
式的函数表达再求导.
第30页 共 45 页
补充作业：
1.求下列函数的导数 :
(1) y 1 1 ;(2) y sin x (1 2 cos2 x );(3) y e x 1.
解题准备:求曲线切线方程的环节是:
①求导数f′(x);
②求斜率k=f′(x0);
③写出切线方程y-y0=f′(x0)(x-x0).但是要注意,当函数 f(x)在x=x0处不可导时,曲线在该点处并不一定没有切 线,同时还必须明确P(x0,y0)为切点.
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旧教材适用2023高考数学一轮总复习第三章导数及其应用第1讲导数的概念及运算课件
1．(2021·江苏沭阳高级中学模拟)2020 年 12 月 1 日 22 时 57 分，嫦娥 五号探测器从距离月球表面 1500 m 处开始实施动力下降，7500 牛变推力发 动机开机，逐步将探测器相对月球纵向速度从约 1500 m/s 降为零.12 分钟后， 探测器成功在月球预选地着陆，记与月球表面距离的平均变化率为 v，相对 月球纵向速度的平均变化率为 a，则( )
复合函数 y＝f(g(x))的导数和函数 y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系
为
□18 y′x＝y′u·u′x
，即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对
x 的导数的乘积．
1．f′(x0)与 x0 的值有关，不同的 x0，其导数值一般也不同. 2．f′(x0)不一定为 0，但[f(x0)]′一定为 0. 3．可导奇函数的导数是偶函数，可导偶函数的导数是奇函数，可导周 期函数的导数还是周期函数． 4．函数 y＝f(x)的导数 f′(x)反映了函数 f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反 映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这 点处的切线越“陡”.
(c 为常数).
(3)gf（（xx））′＝ □16 f′（x）g（[xg）（－x）f（]2x）g′（x）
(g(x)≠0)．
5．复合函数的导数
一般地，对于两个函数 y＝f(u)和 u＝g(x)，如果通过变量 u，y 可以表示
成 x 的函数，那么称这个函数为函数 y＝f(u)和 u＝g(x)的复合函数，记 作 □17 y＝f(g(x)) ．
A．v＝2152 m/s，a＝2152 m/s2 B．v＝－2152 m/s，a＝－2152 m/s2 C．v＝－2152 m/s，a＝2152 m/s2 D．v＝2152 m/s，a＝－2152 m/s2
2025年高考数学总复习课件19第三章第一节导数的概念及运算
(1)f ′(x0)是函数y＝f (x)在x＝x0附近的平均变化率．( × )
(2)求f ′(x0)时，可先求f (x0)，再求f ′(x0)．( × )
(3)曲线y＝f (x)在点P(x0，y0)处的切线与过点P(x0，y0)的切线相同．( × )
第一节
导数的概念及运算
必备知识
落实“四基”
2．已知函数f (x)在x＝x0处的导数为12，则 lim
变化的方向，其大小|f ′(x)|反映了变化的快慢，|f ′(x)|越大，曲线在这点处的切线
越“陡峭”．
第一节
导数的概念及运算
必备知识
落实“四基”
核心考点
提升“四能”
自查自测
知识点二 导数的运算
1．(多选题)(教材改编题)下列导数的运算中正确的是( ABD )
A．(3x)′＝3x ln 3
x sin x－ cos x
导数的概念及运算
考向3
必备知识
落实“四基”
核心考点
提升“四能”
课时质量评价
求参数的值或取值范围
【例3】(1)(2024·江门模拟)若曲线y＝e2ax在点(0，1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0
－sin x
f ′(x)＝_________
f (x)＝cos x
f (x)＝ex
f (x)＝ax(a>0，且a≠1)
f (x)＝ln x
f (x)＝log x(a>0，且a≠1)
ex
f ′(x)＝____
ax ln a
f ′(x)＝_________
1
f ′(x)＝____
x
1
x ln a
f ′(x)＝____
在点(0，f (0))处的切线方程为y－1＝x，即y＝x＋1.
(2)求f ′(x0)时，可先求f (x0)，再求f ′(x0)．( × )
(3)曲线y＝f (x)在点P(x0，y0)处的切线与过点P(x0，y0)的切线相同．( × )
第一节
导数的概念及运算
必备知识
落实“四基”
2．已知函数f (x)在x＝x0处的导数为12，则 lim
变化的方向，其大小|f ′(x)|反映了变化的快慢，|f ′(x)|越大，曲线在这点处的切线
越“陡峭”．
第一节
导数的概念及运算
必备知识
落实“四基”
核心考点
提升“四能”
自查自测
知识点二 导数的运算
1．(多选题)(教材改编题)下列导数的运算中正确的是( ABD )
A．(3x)′＝3x ln 3
x sin x－ cos x
导数的概念及运算
考向3
必备知识
落实“四基”
核心考点
提升“四能”
课时质量评价
求参数的值或取值范围
【例3】(1)(2024·江门模拟)若曲线y＝e2ax在点(0，1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0
－sin x
f ′(x)＝_________
f (x)＝cos x
f (x)＝ex
f (x)＝ax(a>0，且a≠1)
f (x)＝ln x
f (x)＝log x(a>0，且a≠1)
ex
f ′(x)＝____
ax ln a
f ′(x)＝_________
1
f ′(x)＝____
x
1
x ln a
f ′(x)＝____
在点(0，f (0))处的切线方程为y－1＝x，即y＝x＋1.
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第三章导数及其应用导数概念及运算
误区警示 1．导数公式 (1)要注意公式的适用范围．如(xn)′＝nxn－1 中，n∈ N＋，若 n∈Q 且 n≠0，则应有 x>0. (2)注意公式不要用混，如(ax)′＝axlna，而不是(ax)′＝ xax－1.还要特别注意(uv)′≠u′v′，uv′≠uv′ ′
第三章导数及其应用导数概念及运算
第三章导数及其应用导数概念及运算
第三章导数及其应用导数概念及运算
二、常见函数的导数 1．常用的导数公式 C′＝0(C为常数)； (xm)′＝mxm－1(x>0，m≠0且m∈Q)； (xn)′＝nxn－1(n∈N＋) (sinx)′＝cosx； (cosx)′＝－sinx； (ex)′＝ex，
第三章导数及其应用导数概念及运算
第三章导数及其应用导数概念及运算
●课程标准 1．导数概念及其几何意义 (1)通过对大量实例的分析，经历由平均变
化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概 念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数， 体会导数的思想及其内涵． (2)通过函数图象直观地理解导数的几何意 义．
第三章导数及其应用导数概念及运算
3．(理)掌握定积分的概念、性质，掌握微 积分基本定理，会用定积分解决一些平面曲 线围成的平面图形的面积和变速运动的路程 及变力作功等几何与物理问题．
第三章导数及其应用导数概念及运算
第三章导数及其应用导数概念及运算
第三章导数及其应用导数概念及运算
重点难点 重点：导数的概念、公式及运算法则，导数
的应用 难点：①导数的定义 ②复合函数的导数及积商的导数公式
第三章导数及其应用导数概念及运算
知识归纳 一、导数及有关概念
第三章导数及其应用导数概念及运算
第三章导数及其应用导数概念及运算
(2)瞬时速度 设物体运动路程与时间的关系是 s＝f(t)，当 Δt 趋近 于 0 时，函数 f(t)在 t0 到 t0＋Δt 这段时间内的平均变化率 ΔΔst＝ft0＋ΔΔtt－ft0趋近于常数，我们把这个常数称为 t0 时刻的瞬时速度．
(2)通过实例(如变速运动物体在某段时间内 的速度与路程的关系)，直观了解微积分基 本定理的含义．第三章导数及其应用导数概念及运算
●命题趋势 (1)求导数及切线方程． (2)用导数研究函数的单调性，求函数的极
值与最值． (3)导数的综合应用． (4)(理)定积分与微积分基本定理的应用．
第三章导数及其应用导数概念及运算
4．生活中的优化问题举例．
例如，通过使利润最大、用料最省、效率最 高等优化问题，体会导数在解决实际问题中 的作用．
5．(理)定积分与微积分基本定理
(1)通过实例(如求曲边梯形的面积、变力做 功等)，从问题情境中了解定积分的实际背 景；借助几何直观体会定积分的基本思想， 初步了解定积分的概念．
第三章导数及其应用导数概念及运算
(ax)′＝axlna；(lnx)′＝1x； (logax)′＝xl1na. 特别 f(x)＝1x时，f ′(x)＝－x12， f(x)＝ x时，f ′(x)＝21 x .
第三章导数及其应用导数概念及运算
2．两个函数的四则运算的导数 (f±g)′＝f ′±g′； (fg)′＝f ′g＋fg′，特别(cf)′＝cf ′(c 为常数)； (gf )′＝f ′gg－2 fg′(g≠0)． 3．复合函数的导数 y′x＝y′u·ux′(其中 u 是 x 的函数)
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2．导数的运算 (1)能根据导数定义，求函数 y＝c，y＝x，y＝x2， y＝1x，(理)y＝ x的导数． (2)能利用给出的基本初等函数的导数公式和导 数的四则运算法则求简单函数的导数，(理)能求简单 的复合函数(仅限于形如 f(ax＋b))的导数．
(3)会使用导数公式表．
第三章导数及其应用导数概念及运算
2．深刻理解“函数在一点处的导数”、 “导函数”、“导数”的区别与联系
(1)函数在一点处的导数f ′(x0)是一个常数， 不是变量．
(2)函数的导数，是针对某一区间内任意点x 而言的．函数f(x)在区间(a，b)内每一点都 可导，是指对于区间(a，b)内的每一个确定 的值x0，都对应着一个确定的导数f ′(x0)．根 据函数的定义，在开区间(a，b)内就构成了 一个新的函数，就是函数f(x)的导函数f ′(x)．
第三章导数及其应用导数概念及运算
●备考指南 1．熟练掌握导数的定义及运算法则 主要包括理解导数的定义，熟记求导公式、
导数的四则运算法则、复合函数求导法则， 并能运用上述公式与法则进行求导计算. 2．熟练掌握导数的应用 主要包括利用导数确定函数的单调性、求函 数的极值与最值. 特别要注意能用导数的方 法解决一些函数性质的综合性问题.
第三章导数及其应用导数概念及运算
3．导数在研究函数中的应用
(1)结合实例，借助几何直观探索并了解函 数的单调性与导数的关系；能利用导数研究 函数的单调性，会求不超过三次的多项式函 数的单调区间．
(2)结合函数的图象，了解函数在某点取得 极值的必要条件和充分条件；会用导数求不 超过三次的多项式函数的极大值、极小值， 以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大 值、最小值；体会导数方法在研究函数性质 中的一般性和有效性．
(3)函数y＝f(x)在点x0处的导数f ′(x0)就是导 函数f ′(x)在点x第＝三章导x数0及处其应用的导数函概念及数运算值，即f ′(x0)＝f
第三章导数及其应用导数概念及运算
3．导数 设函数 y＝f(x)在 x0 处及其附近有定义，当自变量在 x＝x0 附近改变量为 Δx 时，函数值相应地改变量 Δx 趋近于 0 时，平均变化率ΔΔyx＝ fx0＋ΔΔxx－fx0趋近于一个常数 l，那么常数 l 称为函数 f(x) 在点 x0 处的瞬时变化率．函数在点 x0 处的瞬时变化率通 常称为 f(x)在 x＝x0 处的导数，又称函数 f(x)在 x＝x0 处可 导．
误区警示 1．导数公式 (1)要注意公式的适用范围．如(xn)′＝nxn－1 中，n∈ N＋，若 n∈Q 且 n≠0，则应有 x>0. (2)注意公式不要用混，如(ax)′＝axlna，而不是(ax)′＝ xax－1.还要特别注意(uv)′≠u′v′，uv′≠uv′ ′
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二、常见函数的导数 1．常用的导数公式 C′＝0(C为常数)； (xm)′＝mxm－1(x>0，m≠0且m∈Q)； (xn)′＝nxn－1(n∈N＋) (sinx)′＝cosx； (cosx)′＝－sinx； (ex)′＝ex，
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●课程标准 1．导数概念及其几何意义 (1)通过对大量实例的分析，经历由平均变
化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概 念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数， 体会导数的思想及其内涵． (2)通过函数图象直观地理解导数的几何意 义．
第三章导数及其应用导数概念及运算
3．(理)掌握定积分的概念、性质，掌握微 积分基本定理，会用定积分解决一些平面曲 线围成的平面图形的面积和变速运动的路程 及变力作功等几何与物理问题．
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重点难点 重点：导数的概念、公式及运算法则，导数
的应用 难点：①导数的定义 ②复合函数的导数及积商的导数公式
第三章导数及其应用导数概念及运算
知识归纳 一、导数及有关概念
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(2)瞬时速度 设物体运动路程与时间的关系是 s＝f(t)，当 Δt 趋近 于 0 时，函数 f(t)在 t0 到 t0＋Δt 这段时间内的平均变化率 ΔΔst＝ft0＋ΔΔtt－ft0趋近于常数，我们把这个常数称为 t0 时刻的瞬时速度．
(2)通过实例(如变速运动物体在某段时间内 的速度与路程的关系)，直观了解微积分基 本定理的含义．第三章导数及其应用导数概念及运算
●命题趋势 (1)求导数及切线方程． (2)用导数研究函数的单调性，求函数的极
值与最值． (3)导数的综合应用． (4)(理)定积分与微积分基本定理的应用．
第三章导数及其应用导数概念及运算
4．生活中的优化问题举例．
例如，通过使利润最大、用料最省、效率最 高等优化问题，体会导数在解决实际问题中 的作用．
5．(理)定积分与微积分基本定理
(1)通过实例(如求曲边梯形的面积、变力做 功等)，从问题情境中了解定积分的实际背 景；借助几何直观体会定积分的基本思想， 初步了解定积分的概念．
第三章导数及其应用导数概念及运算
(ax)′＝axlna；(lnx)′＝1x； (logax)′＝xl1na. 特别 f(x)＝1x时，f ′(x)＝－x12， f(x)＝ x时，f ′(x)＝21 x .
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2．两个函数的四则运算的导数 (f±g)′＝f ′±g′； (fg)′＝f ′g＋fg′，特别(cf)′＝cf ′(c 为常数)； (gf )′＝f ′gg－2 fg′(g≠0)． 3．复合函数的导数 y′x＝y′u·ux′(其中 u 是 x 的函数)
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2．导数的运算 (1)能根据导数定义，求函数 y＝c，y＝x，y＝x2， y＝1x，(理)y＝ x的导数． (2)能利用给出的基本初等函数的导数公式和导 数的四则运算法则求简单函数的导数，(理)能求简单 的复合函数(仅限于形如 f(ax＋b))的导数．
(3)会使用导数公式表．
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2．深刻理解“函数在一点处的导数”、 “导函数”、“导数”的区别与联系
(1)函数在一点处的导数f ′(x0)是一个常数， 不是变量．
(2)函数的导数，是针对某一区间内任意点x 而言的．函数f(x)在区间(a，b)内每一点都 可导，是指对于区间(a，b)内的每一个确定 的值x0，都对应着一个确定的导数f ′(x0)．根 据函数的定义，在开区间(a，b)内就构成了 一个新的函数，就是函数f(x)的导函数f ′(x)．
第三章导数及其应用导数概念及运算
●备考指南 1．熟练掌握导数的定义及运算法则 主要包括理解导数的定义，熟记求导公式、
导数的四则运算法则、复合函数求导法则， 并能运用上述公式与法则进行求导计算. 2．熟练掌握导数的应用 主要包括利用导数确定函数的单调性、求函 数的极值与最值. 特别要注意能用导数的方 法解决一些函数性质的综合性问题.
第三章导数及其应用导数概念及运算
3．导数在研究函数中的应用
(1)结合实例，借助几何直观探索并了解函 数的单调性与导数的关系；能利用导数研究 函数的单调性，会求不超过三次的多项式函 数的单调区间．
(2)结合函数的图象，了解函数在某点取得 极值的必要条件和充分条件；会用导数求不 超过三次的多项式函数的极大值、极小值， 以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大 值、最小值；体会导数方法在研究函数性质 中的一般性和有效性．
(3)函数y＝f(x)在点x0处的导数f ′(x0)就是导 函数f ′(x)在点x第＝三章导x数0及处其应用的导数函概念及数运算值，即f ′(x0)＝f
第三章导数及其应用导数概念及运算
3．导数 设函数 y＝f(x)在 x0 处及其附近有定义，当自变量在 x＝x0 附近改变量为 Δx 时，函数值相应地改变量 Δx 趋近于 0 时，平均变化率ΔΔyx＝ fx0＋ΔΔxx－fx0趋近于一个常数 l，那么常数 l 称为函数 f(x) 在点 x0 处的瞬时变化率．函数在点 x0 处的瞬时变化率通 常称为 f(x)在 x＝x0 处的导数，又称函数 f(x)在 x＝x0 处可 导．