北师大八年级数学上册第一章《勾股定理》测试卷(含答案) (20)
第一章勾股定理检测题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题
1．以下列各组数据为边长作三角形，其中能组成直角三角形的是（）.
A．3，5，3 B．4，6，8 C．7，24，25 D．6，12，13
2．一个直角三角形的两直角边长分别为3和4，那么它斜边上的高线长为（）
A、5
B、2.5
C、2.4
D、2
3．如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC=6cm、BC=8cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长为（）
A．4cm B．5cm C．6cm D．10cm
4．如图所示，一圆柱高8cm，底面半径为2cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程（π取3）是（）
A．20cm B．10cm C．14cm D．无法确定
5．如图，在△ABC中，AC=10，DC=6，AD=8，BC=21，则AB的长为（）.
A．15 B．16 C．14 D．17
6．如图，△ABD 和△BCE 都是等腰直角三角形，如果CD ＝17，BE ＝5，那么AC 的长为( )
A ．13
B ．12
C ．7
D ．5
7．若等腰三角形腰长为10cm ，底边长为16 cm ,那么它的面积为( )
A 、48 cm 2
B 、36 cm 2
C 、24 cm 2
D 、12 cm 2
8．已知△ABC 的三边分别长为a 、b 、c ，
且满足2)17(-a ＋15-b +64162
+-c c ＝0，则△ABC 是（ ）．
A ．以a 为斜边的直角三角形
B ．以b 为斜边的直角三角形
C ．以c 为斜边的直角三角形
D ．不是直角三角形
9．已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若14=+b a cm ，10=c cm ，则S △ABC 为（ ）．
A .24cm 2
B .36cm 2
C .48cm 2
D .60cm 2
10．已知一个Rt △的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ）
A.25
B.14
C.7
D.7或25
11．如图，有两颗树，一颗高10米，另一颗高5米，两树相距12米．一只
鸟从一颗树的树梢飞到另一颗树的树梢，问小鸟至少飞行（ ）
A ．8米
B ．10米
C ．13米
D ．14米
12．如图,图中有一长、宽、高分别为5cm ,4cm ,3cm 的木箱,在它里面放入一根细木条(木
条的粗细、变形忽略不计),要求木条不能露出木箱,请你算一算,能放入的细木条的最大长度是( )
A.41cm
B.34cm
C.52cm
D.53cm
13．三角形的三边长满足关系：(a+b)2=c2+2ab，则这个三角形是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形14．如图，矩形ABCD的对角线AC=10，BC=8，则图中五个小矩形的周长之和为（）
A．14 B．16 C．20 D．28
15．如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON=30°.公路上处距点米．如果火车行驶时，周围米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路上沿方向以千米/时的速度行驶时，处受噪音影响的时间为（）
A．秒, B．秒, C．秒, D．秒
16．一艘轮船和一艘渔船同时沿各自的航向从港口O出发，如图所示，轮船从港口O 沿北偏西20°的方向行60海里到达点M处，同一时刻渔船已航行到与港口O相距80海里的点N处，若M、N两点相距100海里，则∠NOF的度数为（）
A．50°B．60°C．70°D．80°
17．如图，所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，已知S1=4，S2=9，S3=8，S4=10，则S=（）
A．25 B．31 C．32 D．40
18．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B都是格点，则线段AB的长度为（）
A．5 B．6 C．7 D．25
二、填空题
19．如图，从电线杆离地面3米处向地面拉一条长为5米的拉线，这条拉线在地面的固定点距离电线杆底部有___________米。
20．在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4= ．
21．学校有一块矩形的花圃如图所示，有少数的同学为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了__步（假设1米=2步），却踩伤了花草，所谓“花草无辜，踩之何忍”！
22．在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =1，则AB 2+BC 2+AC 2=__．
23．如图，正方形ABCD 中，AE ⊥BE 于E ，且AE =3，BE =4，则阴影部分的面积是_______．
三、解答题
24．如图，在梯形ABCD 中，。
90D C =∠=∠利用面积法证明勾股定理．
25．如图，在四边形ABCD 中，已知AB =3，BC =4，CD =12，AD =13，∠B =90°．求四边形ABCD 的面积．
26．有一块直角三角形纸片，两直角边分别为：AC =6cm ，BC =8cm ，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，求CD 的长。
27．如图，铁路上A，B两点相距25 km，C，D为两村庄，DA⊥AB于点A，CB⊥AB 于点B，已知DA＝15 km，CB＝10 km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？
28．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力。
如图，有一台风中心沿东西方向AB由点A行驶向点B，已知点C为一海港，且点C与直线AB上两点A,B的距离分别为300km和400km，又AB=500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域。
（1）海港C受台风影响吗？为什么？
（2）若台风的速度为20km/h，台风影响该海港持续的时间有多长？
29．如图，方格纸中小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点都在小正方形的格点上，求：
(1) △ABC的面积;
(2)边AC的长;
(3)点B到AC边的距离.
30．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30m的C处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m，这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：1m/s=3.6km/h）
参考答案
一、选择题
1．C．2．C3．B4．B5．D．6．A7．A8．A9．A10．D11．C12．C13．B14．D15．B16．C．17．B18．A
二、填空题
19．4
20．4．
21．4
22．2
23．19
三、解答题
24．证明见解析
25．36．
26．3cm
27．E站应建在离A站10 km处．
28．（1）海港C受台风影响.理由见解析.(2) 7小时.
【答案】（6分）解（1）7
2
；（2
（3）h
30．超速；理由见解析
答案第1页，总1页。
北师大八年级数学上《第1章勾股定理》单元检测试题（含答案）
八年级数学上册第1章勾股定理单元检测试题班级：__________姓名：__________一、单选题（共10题；共30分）1.下列各组数中，能构成直角三角形的是（）A. 4，5，6B. 6，8，11C. 1，1，D. 5，12，22.已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（）A. 25B. 14,C. 7D. 7或253.已知a、b、c是三角形的三边长，如果满足(a－6)2＋＝0，则三角形的形状是( )A. 底与腰不相等的等腰三角形B. 等边三角形C. 钝角三角形D. 直角三角形4.一座建筑物发生了火灾，消防车到达现场后，发现最多只能靠近建筑物底端5m，消防车的云梯最大升长为13m，则云梯可以达到该建筑物的最大高度是（）A. 12mB. 13mC. 14mD. 15m5.一块木板如图所示，已知AB＝4，BC＝3，DC＝12，AD＝13，∠B＝90°，木板的面积为（）A. 60B. 30C. 24D. 126.如图，在5×5的正方形网格中，从在格点上的点A，B，C，D中任取三点，所构成的三角形恰好是直角三角形的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 47.一个三角形的三边的长分别是3、4、5，则这个三角形最长边上的高是（）A. 4B.C.D.8.如图，在△ABD中，∠D=90°，CD=6，AD=8，∠ACD=2∠B，则BD的长是（）A. 12B. 14C. 16D. 189.图1是边长为1的六个小正方形组成的图形，它可以围成图2的正方体，则图1中正方形顶点A、B在围成的正方体中的距离是（）A. 0B. 1C.D.10.△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（）A. ∠A+∠B=∠CB. ∠A：∠B：∠C=1：2：3C. a2=c2﹣b2D. a：b：c=3：4：6二、填空题（共8题；共24分）11.如图为某楼梯的侧面，测得楼梯的斜长AB为13米，高BC为5米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要________米．12.在直角三角形ABC中，斜边AB=2，则AB2+AC2+BC2=________．13.一直角三角形的一条斜边和一直角边的长度分别是4和3，则它的另一直角边长是________.14.已知直角三角形的两边的长分别是3和4，则第三边长为________．15.将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为hcm，则h的取值范围是________ ．16.在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4=________17.要在一个长方体中放入一细直木条，现知长方体的长为2，宽为，高为，则放入木盒的细木条最大长度为________ ．18.如图，一根旗杆在离地面9米处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处，则旗杆折断之前有________米．三、解答题（共66分）19.已知：如图，在△ABC 中，∠C=90°，D 是BC 的中点，AB=10，A C=6．求AD 的长度．20.求如图的Rt△ABC的面积．21.如图，∠AOB=90°，OA=90cm，OB=30cm，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球．如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是多少?22.一个25米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AO上，这时的AO距离为24米，如果梯子的顶端A沿墙下滑4米，那么梯子底端B也外移4米，对吗？为什么？23.铁路上A，B两站（视为直线上的两点）相距50km，C，D为两村庄（视为两个点），DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B（如图）.已知DA=20km，CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产收购站E，使得C，D 两村庄到收购站E的直线距离相等，请你设计出收购站的位置，并计算出收购站E到A站的距离.24.如图，南北向MN为我国领海线，即MN以西为我国领海，以东为公海，上午9时50分，我国反走私A艇发现正东方有一走私艇以13海里/时的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在MN线上巡逻的我国反走私艇B密切注意．反走私艇A和走私艇C的距离是13海里，A、B两艇的距离是5海里；反走私艇B 测得距离C艇12海里，若走私艇C的速度不变，最早会在什么时候进入我国领海？25.已知在中，，，．（1）判断△ABC的形状，并说明理由；（2）试在下面的方格纸上补全△ABC，使它的顶点都在方格的顶点上。
北师大版八年级上册数学第一章 勾股定理含答案【参考答案】
北师大版八年级上册数学第一章勾股定理含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，如果AB=5，BC=3，那么AC等于（）A. B.3 C.4 D.52、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以其三边为边向外作正方形，过点C作CR⊥FG于点R，再过点C作PQ⊥CR分别交边DE，BH于点P，Q。
若QH=2PE，PQ=15，则CR的长为（)A.14B.15C.8D.63、如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，点P在AD上，PE⊥AC于E，PF⊥BD 于F，则PE+PF等于（）A. B. C. D.4、直角三角形的两条直角边长分别为4和6，那么斜边长是（）A.2B.2C.52D.5、如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，在图中找出若干个图形，使得它们的面积之和恰好等于最大正方形①的面积．下列方案中，错误的是( )A. B. C. D.6、⊙O的弦AB的长为8cm，弦AB的弦心距为3 cm，则⊙O的直径为（）A.4 cmB.5 cmC.8 cmD.10 cm7、⊙o的半径是13，弦AB∥CD，AB=24，CD=10，则AB与CD的距离是（）A.7B.17C.7或17D.48、如图，矩形ABCD中，点E在边AB上，将矩形ABCD沿直线DE折叠，点A恰好落在边BC的点F处．若AE=5，BF=3，则CD的长是（）A.7B.8C.9D.109、若一直角三角形两边长分别为12和5，则第三边长的平方为（）A.169B.169或119C.169或225D.22510、如图所示，在矩形ABCD中，AD=8，DC=4，将△ADC按逆时针方向绕点A旋转到△AEF（点,A,B,E在同一直线上），连接CF，则CF=( )A.10B.12C.D.11、五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是（）A. B. C. D.12、如图，在边长为2的正方形中，点为对角线上一动点，于点，于点，连接，则的最小值为（）A.1B.C.D.13、如图，在△ABC中， AB＝3，AC＝2．当∠B最大时，BC的长是（）A.1B.5C.D.14、以下列各数为边长，不能组成直角三角形的是（）A.3，4，5B.4，5，6C.5，12，13D.6，8，1015、如图，O是正△ABC内一点，OA＝3，OB＝4，OC＝5，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，下列结论：①△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；②点O与O′的距离为4；③∠AOB＝150°；④S四边＝6＋3 ．其中正确的结论有（）形AOBO′A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题(共10题，共计30分)16、如果一个直角二角形的两条直角边的长分别是5和12，那么这个直角三角形斜边长是________。
北师大版八年级上册数学《勾股定理》单元测试卷含答案
第一章《勾股定理》单元测试卷班别：姓名：__________一、选择题（本题共10小题，每小题3分，满分30分）1．一直角三角形的斜边长比一直角边长大2，另一直角边长为6，则斜边长为（）A．4 B．8 C．10 D．122．已知a=3，b=4，若a，b，c能组成直角三角形，则c=（）A.5B.7C.5或7D.5或63．如图中字母A所代表的正方形的面积为（）A．4 B．8 C．16 D．644．将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数，得到的三角形是（）A．钝角三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．等腰三角形5．直角三角形的一直角边长是7cm，另一直角边与斜边长的和是49cm，则斜边的长（）A．18cm B．20cm C．24cm D．25cm6．适合下列条件的△ABC中，直角三角形的个数为（）①a=，b=，c=②a=6，∠A=45°；③∠A=32°，∠B=58°；④a=7，b=24，c=25 ⑤a=2，b=2，c=4A．2个B．3个C．4个D．5个7．在△ABC中，若a=n2﹣1，b=2n，c=n2+1，则△ABC是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．直角三角形8．直角三角形斜边的平方等于两条直角边乘积的2倍，这个三角形有一个锐角是（）A．15°B．30°C．45°D．60°9．已知，如图长方形ABCD 中，AB=3cm ，AD=9cm ，将此长方形折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，则△ABE 的面积为（ ）A ．3cm 2B ．4cm 2C ．6cm 2 D.12cm 210．已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A 出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港 口A 出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（ ）A ．25海里B ．30海里C ．35海里D ． 40海里二、填空题（本题共8小题，每小题3分，满分24分）11．一个三角形三边长度之比为1∶2∶3 ，则这个三角形的最大角为_______度．12．如图，等腰△ABC 的底边BC 为16，底边上的高AD 为6，则腰长AB 的长为 ．13．如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C 偏离欲到达点B200m ，结果他在水中实际游了520m ，求该河流的宽度为 m ．14．小华和小红都从同一点O 出发，小华向北走了9米到A 点，小红向东走到B 点时,当两人相距为15米，则小红向东走了 米．15．一个三角形三边满足22()2a b c ab +-=,则这个三角形是 三角形．16．木工做一个长方形桌面，量得桌面的长为60cm ，宽为32cm ，对角线为68cm ，这个桌面 （填”合格”或”不合格”）．17．直角三角形一直角边为12cm，斜边长为13cm，则它的面积为cm2．18．如图，一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20、3、2，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是．三、解答题（共46分）19．在RtΔABC中，∠A CB=90°，AB=5，AC=3，CD⊥AB于D，求CD的长．21．（7分）如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，AB=3，BD=2，DC=1，求AC 的值．22．（8分）如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？小河23．如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向320km的B处，以每小时40km的速度向北偏东60°的BF方向移动，距离台风中心200km的范围内是受台风影响的区域．（1）A城是否受到这次台风的影响？为什么？（2）若A城受到这次台风影响，那么A城遭受这次台风影响有多长时间？《勾股定理》单元测试卷答案一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1． C ．2． C ．3． D ．4． C ．5． D ．6． A ．7． D ．8． C ．9． C ．10． D ．二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）11． 900 ． 12． 10 ． 13． 480 m ． 14． 12 米．15． 直角 ． 16． 合格 ． 17． 30 cm 2． 18． 25 ．三、解答题（共46分）19．略20．解：∵∠ACB=90°，AB=5，AC=3，∴BC 2 = AB 2 -AC 2 =42，∴BC=4，∵CD ⊥AB ，∴21AB·CD=21AC·BC，∴5CD=12，∴CD=512． ．21．解：∵AD ⊥BC 于D ，∴∠ADB=∠ADC=90°∵AB=3，BD=2∴AD 2=AB 2﹣BD 2=5∵DC=1，∴AC 2=AD 2+DC 2=5+1=6．∴AC= 22．解：设矩形的长是a ，宽是b ，根据题意，得：， （2）+（1）×2，得（a+b ）2=196，即a+b=14，所以矩形的周长是14×2=28m ．23. 如图，作出A点关于MN的对称点A′，则A′A=8 km,连接A′B交MN 于点P，则A′B就是最短路线.在Rt△A′DB中，A′D=15 km,BD=8 km由勾股定理得A′B2= A′D 2+BD2=289∴A′D =17km24．解：（1）由A点向BF作垂线，垂足为C，在Rt△ABC中，∠ABC=30°，AB=320km，则AC=160km，因为160＜200，所以A城要受台风影响；（2）设BF上点D，DA=200千米，则还有一点G，。
北师大版八年级数学上册 第一章勾股定理 测试卷含答案
第一章勾股定理综合测试卷(时间90分钟，满分120分)一、选择题（共10小题，3*10=30）1．下列各组数，是勾股数的一组是( )A ．1.5，2，3B ．8，9，10C ．7，24，25D ．1.5，2，2.52．下列几组数，能组成直角三角形的是( )A ．13，14，15B ．3，4，6C ．5，12，13D ．0.8，1.2，1.53．两只小鼹鼠在地下打洞，一只朝前方挖，每分钟挖8 cm ，另一只朝左挖，每分钟挖6 cm ，10分钟后，两只小鼹鼠相距( )A ．50 cmB ．80 cmC ．100 cmD ．140 cm4．满足下列条件的△ABC ，不是直角三角形的是( )A ．a ∶b ∶c ＝3∶4∶6B ．a ∶b ∶c ＝3∶4∶5C ．a ∶b ∶c ＝5∶12∶13D ．b 2＝c 2－a 25．已知一轮船以18 n mile/h 的速度从港口A 出发向西南方向航行，另一轮船以24 n mile/h 的速度同时从港口A 出发向东南方向航行，离开港口1.5 h 后，两轮船相距( )A ．30 n mileB ．35 n mileC ．40 n mileD ．45 n mile6. 如图，若圆柱的底面周长是30 cm ，高是40 cm ，从圆柱底部A 处沿侧面缠绕一圈丝线到顶点B 处做装饰，则这条丝线的最小长度是( )A．80 cm B．70 cm C．60 cm D．50 cm7．如图，长方形ABCD的对角线AC＝10，BC＝8，则图中五个小长方形的周长之和为()A．14 B．16 C．20 D．288．如图，在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，点D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为点E，则DE等于()A.1013 B.1513 C.6013 D.75139．若△ABC的三边长a，b，c满足(a－b)(a2＋b2－c2)＝0，则△ABC是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰三角形或直角三角形10．如图，分别以直角三角形的三条边为边向外作正方形，然后分别以三个正方形的中心为圆心，正方形边长的一半为半径作圆，记三个圆的面积分别为S1，S2，S3，则S1，S2，S3之间的关系是()A．S1＋S2＞S3B．S1＋S2＝S3C．S1＋S2＜S3D．无法确定二．填空题（共8小题，3*8=24）11．如图，一架长为4 m的梯子，一端放在离墙脚2.4 m处，另一端靠墙，则梯子顶端离墙脚________m.12. 如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达点B 300 m，结果他在水中实际游了500 m，则该河流的宽度为________．13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，则BD＝________．14．已知直角三角形的两边长分别为3和4，若第三边的长为c，则c2＝________．15．如图是“赵爽弦图”，△ABH，△BCG，△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形．如果AB＝10，且AH∶AE＝3∶4.那么AH等于________．16．如图，有一圆柱形物体高18 cm，底面圆的周长为60 cm，在外侧距下底1 cm的点S 处有一只蜘蛛，与蜘蛛相对的上端外侧距上底1 cm的点F处有一只苍蝇，则蜘蛛捕获苍蝇的最短路线长为_____________．17．在△ABC中，若AC＝15，BC＝13，AB边上的高CD＝12，则△ABC的周长为______________．18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，正方形ABDE的面积为10，则正方形ACFG的面积是_______．三．解答题（共7小题，66分）19．(8分) 如图，长方体的底面相邻的两边长分别为1 cm和3 cm，高为6 cm.如果用一根细线从点A开始经过四个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要多长？20．(8分) 将一架5 m长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯足距墙脚3 m．若梯子的下端下滑1 m，则梯足将滑动多少米？21．(8分) 已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且a∶b∶c＝9∶15∶12，试判断△ABC 是否为直角三角形，请说明理由．22．(10分) 如图，在四边形ABCD中，已知AB∶BC∶CD∶DA＝2∶2∶3∶1，且∠B ＝90°，求∠DAB的度数．23．(10分) 如图，在△ABC中，AB＝15 cm，AC＝13 cm，BC＝14 cm.求△ABC的面积．24．(10分) 如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝135°，∠ABC＝∠ADC＝90°，DC＝6，AD＝2，求四边形ABCD的面积．25．(12分) 如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地(如图中的四边形ABCD)，经测量，在四边形ABCD中，AB＝3 m，BC＝4 m，CD＝12 m，DA＝13 m，∠B＝90°，连接AC.(1)△ACD是直角三角形吗？为什么？(2)小区为了美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米100元，试问：铺满这块空地共需花费多少元？参考答案1-5CCCAD 6-10DDCDB11. 3.212. 400 m13. 414. 25或715. 616. 3417. 32或4218. 619. 解：展开长方体的四个侧面，铺平得到一个长方形，其中长为(3＋1)×2＝8(cm)，宽为6 cm.设对角线的长为x cm.由勾股定理，得x2＝82＋62＝100，所以x＝10.故所用细线最短需要10 cm.20. 解：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5 m，BC＝3 m，由勾股定理，得AC2＝AB2－BC2＝52－32＝16，所以AC＝4(m)．在Rt△A1B1C中，∠C＝90°，A1C＝4－1＝3(m)，A1B1＝5 m，由勾股定理，得B1C2＝A1B21－A1C 2＝52－32＝16，所以B1C＝4(m)．所以B1B＝4－3＝1(m)．答：梯足将滑动1 m.21. 解：△ABC是直角三角形．理由如下：因为a∶b∶c＝9∶15∶12，所以设a＝9x，则b＝15x，c＝12x.因为a2＋c2＝(9x)2＋(12x)2＝225x2，b2＝(15x)2＝225x2，所以a2＋c2＝b2，所以△ABC是直角三角形．22. 解：连接AC.因为AB∶BC∶CD∶DA＝2∶2∶3∶1，所以设AB＝2x，则BC＝2x，CD＝3x，DA＝x.因为在Rt△ABC中，AB＝BC＝2x，所以∠BAC＝45°，AC2＝AB2＋BC2＝8x2.所以DA 2＋AC 2＝9x 2.因为CD 2＝9x 2，所以DA 2＋AC 2＝CD 2，所以∠DAC ＝90°.所以∠DAB ＝90°＋45°＝135°.23. 解：过点A 作AD ⊥BC 于点D ，则∠ADB ＝∠ADC ＝90°.设BD ＝x cm ，则CD ＝(14－x)cm.在Rt △ABD 中，由勾股定理，得AD 2＝AB 2－BD 2.在Rt △ACD 中，由勾股定理，得AD 2＝AC 2－CD 2.所以152－x 2＝132－(14－x)2，解得x ＝9.所以AD 2＝152－92＝144，所以AD ＝12(cm)．所以S △ABC ＝12AD·BC ＝12×12×14＝84(cm 2)．24. 解：延长BA ，CD 交于点E ，则∠EAD ＝180°－135°＝45°，∠EDA ＝90°， ∴DE ＝AD ＝2，CE ＝DE ＋DC ＝2＋6＝8.由题可知∠C ＝45°，∴BE ＝BC.在Rt △CBE 中，由勾股定理，得BE 2＋BC 2＝CE 2，即2BC 2＝82＝64，BC 2＝32.∴S 四边形ABCD ＝S △CBE －S △ADE ＝12BC 2－12AD 2＝12×32－12×22＝1425. 解：(1)△ACD 是直角三角形．理由如下：在Rt △ABC 中，因为AB ＝3 m ，BC ＝4 m ，∠B ＝90°，AB 2＋CB 2＝AC 2， 所以AC ＝5 m.在△ACD 中，AC ＝5 m ，CD ＝12 m ，DA ＝13 m ，所以AC 2＋CD 2＝AD 2，所以△ACD 是直角三角形，且∠ACD ＝90°.(2)因为S △ABC ＝12×3×4＝6(m 2)，S △ACD ＝12×5×12＝30(m 2)，所以S 四边形ABCD ＝6＋30＝36(m 2)．所以费用为36×100＝3 600(元)．故铺满这块空地共需花费3 600元．。
初中数学北师大版八年级上册 第一章 勾股定理单元测试(含答案)
第一章勾股定理一、选择题1. 若a，b，c为△ABC的三边长，则下列条件中不能判定△ABC是直角三角形的是( )A．a=1.5，b=2，c=2.5B．a:b:c=3:4:5C．∠A+∠B=∠C D．∠A:∠B:∠C=3:4:52. 在Rt△ABC中，若∠C=90∘，AC=3，BC=4，则点C到直线AB的距离为( )A．3B．4C．5D．2.43. 如图，四边形ABCD中，∠B=90∘，且AB=BC=2，CD=3，DA=1，则∠DAB的度数为( )A．90∘B．120∘C．135∘D．150∘4. 如图，在高为5 m，坡面长为13 m的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要( )A．17 m B．18 m C．25 m D．26 m5. 如图是一株美丽的勾股树，其中所有四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的面积分别为3，5，2，3，则最大正方形E的面积是( )A．47B．13C．11D．86. 如图，将一根长度为8 cm，自然伸直的弹性皮筋AB两端固定在水平的桌面上，然后把皮筋中点C竖直向上拉升3 cm到点D，则此时该弹性皮筋被拉长了( )A．6 cm B．5 cm C．4 cm D．2 cm7. 如图，为了测得湖两岸A点和B点之间的距离，一个观测者在C点设桩，使∠ABC=90∘，并测得BC长为16 m，若已知AC比AB长8 m，则A点和B点之间的距离为( )A．25 m B．12 m C．13 m D．43 m8. 如图，在三角形纸片ABC中，∠ACB=90∘，AC=4，BC=3，点D，E分别在AB，AC上，连接DE，将△ADE沿DE翻折，使点A的对应点F落在BC的延长线上．若FD平分∠EFB，则AD的长为( )A．259B．258C．157D．207二、填空题9. 在△ABC中，∠C=90∘．（1）已知a=10，b=24，那么c=．（2）已知b:c=4:5，a=9，那么b=，c=．10. 如图是“赵爽弦图”，△ABH，△BCG，△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果AH=6，EF=2，那么AB等于．11. 《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为．12. 如图，一个长方体长4 cm，宽3 cm，高12 cm，则它上下两底面的对角线MN的长为cm．13. 已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，则可以判断△ABC的形状为．14. 如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB+∠PBA=∘（点A，B，P是网格线的交点）．15. 对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O．若AD=2，BC=4，则AB2+CD2=．三、解答题16. 在Rt△ABC中，∠C=90∘．(1) 已知a=8，c=17，求b．(2) 已知b=40，c=41，求a．17. 如图，在四边形ABCD中，∠DBC=90∘，AB=9，AD=12，BC=8，DC=17，求四边形ABCD的面积．18. 如图，滑竿在机械槽内运动，∠C=90∘，AB=2.5 m，BC=1.5 m，当底端B向右移动0.5 m时，顶端A下滑了多少米？19. 假期中，王强和同学到某海岛上去旅游．他们按照如图所示路线．在点A登陆后租借了自行车，骑车往东走8千米，又往北走2千米；遇到障碍后往西走3千米，再折向北走到6千米处往东拐，走了1千米到达景点B．登陆点A到景点B的直线距离是多少千米？20. 若正整数a，b，c（a<b<c）满足a2+b2=c2，则称（a，b，c）为一组“勾股数”．观察下列两类“勾股数”：第一类（a是奇数）：(3,4,5)，(5,12,13)，(7,24,25)，⋯⋯第二类（a是偶数）：(6,8,10)，(8,15,17)，(10,24,26)，⋯⋯(1) 请再写出两组勾股数，每类各写一组；(2) 分别就a为奇数、偶数两种情形，用a表示b和c，并选择其中一种情形证明(a,b,c)是“勾股数”．答案一、选择题1. D2. D3. C4. A5. B6. D7. B8. D二、填空题9. 26；12；1510. 1011. x2+62=(10−x)212. 1313. 直角三角形14. 4515. 20三、解答题16.(1) 15．(2) 9．17. ∵∠DBC=90∘，DC=17，BC=8，∴BD2=CD2−BC2=172−82=225=152，∴BD=15．∵AD2+AB2=122+92=144+81=225，BD 2=225， ∴AD 2+AB 2=BD 2，∴△ABD 是直角三角形，且 ∠A =90∘，∴ 四边形 ABCD 的面积 =△ABD 的面积 +∠CBD 的面积 =12×9×12+12×15×8=54+60=114．18. 依题意得 AB =DE =2.5 m ，BC =1.5 m ，∠C =90∘，∴AC 2+BC 2=AB 2，即 AC 2+1.52=2.52，解得 AC =2 m ． ∵BD =0.5 m ， ∴CD =2 m ．在 Rt △ECD 中，CE 2+CD 2=DE 2， ∴CE =1.5 m ， ∴AE =0.5 m ．答：顶端 A 下滑了 0.5 m ．19. 10 千米．20.(1) 第一组（a 是奇数）：9,40,41（答案不唯一）；第二组（a 是偶数）：12,35,37（答案不唯一）．(2) 当 a 为奇数时，b =a 2−12，c =a 2+12；当 a 为偶数时，b =a 24−1，c =a 24+1．证明：当 a 为奇数时，a 2+b 2=a 2+(a 2−12)2=(a 2+12)2=c 2，∴(a,b,c ) 是“勾股数”．当 a 为偶数时，a 2+b 2=a 2+(a 24−1)2=(a 24+1)2=c 2，∴(a,b,c ) 是“勾股数”．。
北师大版八年级数学上册第一章《勾股定理》章末复习题含答案解析 (20)
一、选择题1.下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是( )A．5，12，13B．5，6，7C．1，4，9D．5，11，122.如图，圆锥的底面半径OB=6cm，高OC=8cm．则这个圆锥的侧面积是( )A．30cm2B．30πcm2C．60πcm2D．120cm23.中国数学史上最先完成勾股定理证明的数学家是公元3世纪三国时期的赵爽，他为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图 2 由“弦图”变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．将图中正方形MNKT，正方形EFGH，正方形ABCD的面积分别记为S1，S2，S3，若S1+S2+S3=18，则正方形EFGH的面积为( )A．9B．6C．5D．924.如图，A，B两点在直线l的两侧，点A到直线l的距离AC=2，点B到直线l的距离BD=1，且CD=3，P为直线CD上的动点，则∣PA−PB∣的最大值是( )A．2B．√2C．√10D．35.如图，△ABD≌△EBC，AB=12，BC=5，则下列结论中：① CD⊥AE；② AD⊥CE；③ CDAE =513；④ ∠EAD=∠ECD．正确的是( )A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④6.在锐角等腰△ABC中，AB=AC，sinA=45，则cosC的值是( )A．12B．2C．2√55D．√557.在Rt△ABC中，∠C=90∘，ACAB =23，则cosB的值为( )A．23B．35C．3√55D．√538.如图：有一圆柱，它的高等于8cm，底面直径等于4cm(π=3)，在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面与A相对的B点处的食物，需要爬行的最短路程大约( )A．10cm B．12cm C．19cm D．20cm9.如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是( )A．20B．25C．30D．3210.如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，AC=8cm，BC=6cm，点D从点A出发以每秒1cm的速度向点C运动，当点D运动到线段AB的中垂线与线段AC的交点处时，运动时间是( )A．252秒B．254秒C．132秒D．72秒二、填空题11.在一张边长为8，宽为6的矩形纸片上剪下一个腰长为5的等腰三角形（要求：等腰三角形的一个点与矩形的一个顶点重合，其余两个顶点在矩形的边上），则剪下的等腰三角形的面积是．12.已知在Rt△ABC中，∠C=90∘，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C所对的边．（1）若b=0.3，c=0.5，则a=；（2）若a=40，b=9，则c=；（3）若a=6，c=10，则b=；（4）若c=25，b=15，则a=．13.已知Rt△ABC中，∠C=90∘，AC=BC，直线m经过点C，分别过点A，B作直线m的垂线，垂足分别为点E，F，若AE=3，AC=5，则线段EF的长为．14.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠C=∠D=60∘，AB=4，AD=2√3，点P为CD边上一动点，若∠APB=45∘，则DP的长为．15.如图1是一种广场三联漫步机，其侧面示意图，如图2所示，其中AB=AC=120 cm，BC=80 cm，AD=30 cm，∠DAC=90∘．（1）A到地面的高度是cm．（2）点D到地面的高度是cm．16.在直线上依次摆着七个正方形（如图），已知斜放置的三个正方形的面积分别为1，2，3，正放置的四个正方形的面积是S1，S2，S3，S4，则S1+S2−S3−S4=．17.如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，AB=10，AC=8，点D是AC的中点，点E在边AB上，将△ADE沿DE翻折，使得点A落在点Aʹ处，当AʹE⊥AB时，那么AʹA的长为．三、解答题18.如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AC=8，BC=16，D是AC上的一点，CD=3，点P从B点出发沿射线BC方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点P的运动时间为t．连接AP．(1) 当t=3秒时，求AP的长度（结果保留根号）；(2) 当△ABP为等腰三角形时，求t的值；(3) 过点D做DE⊥AP于点E．在点P的运动过程中，当t为何值时，能使DE=CD？19.《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，在△ABC 中，∠ACB=90∘，AC+AB=10，BC=3，求AC的长．20.如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形．（不需要写画法）(1) 在图1中，画一个正方形，使它的面积是10．(2) 在图2中，画一个三角形ABC，使它的三边长分别为：AB=√2，BC=2√2，AC=√10，并计算AC边上的高为．（直接写出结果）21.如图，在△ABC中，∠C=90∘，AC=BC，点D为AC边中点，求cos∠DBC，sin∠ABD的值．22.如图，已知△ABC和△DBE都是等腰直角三角形，∠ABC=∠DBE=90∘，点D在线段AC上．(1) 求∠DCE的度数；(2) 当点D在线段AC上运动时（D不与A重合），请写出一个反映DA，DC，DB之间关系的等式，并加以证明．⏜为半圆，C是BE⏜上一动点，连接CA，CB，已知23.如图，点E在弦AB所对的优弧上，且BEAB=4cm，设B，C两点间的距离为x cm，点C到弦AB所在直线的距离为y1cm，A，C 两点间的距离为y2cm．小明根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整：(1) 按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值：x/cm0123456y1/cm00.78 1.76 2.85 3.98 4.95 4.47y2/cm4 4.69 5.26 5.96 5.94 4.47(2) 在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点(x,y1)，(x,y2)，并画出函数y1，y2的图象．(3) 解决问题：①连接BE，则BE的长约为cm．②当以A，B，C为顶点的三角形是直角三角形时，BC的长度约为cm．24.如图，四边形ABCD中，∠ADC=90∘，AD=4cm，CD=3cm，AB=13cm，BC=12cm，求这个四边形的面积？25.小霞和爸爸，妈妈到人民公园玩，回家后，她利用平面直角坐标系画出了公园的景区图（横轴和纵轴均为小正方形的边所在的直线，每个小正方形边长为1个单位长度）．(1) 若小霞建立的平面直角坐标系中，游乐园D的坐标为(2,−1)，请你在图中画出这个平面直角坐标系．(2) 根据（1）中建立的平面直角坐标系，写出景点A，B的坐标．A，B；(3) 在图中，位于原点西北方向的是哪个景区？并求出表示该景区的点到原点的距离．答案一、选择题1. 【答案】A【知识点】勾股逆定理2. 【答案】C【解析】∵它的底面半径OB=6cm，高OC=8cm．∴BC=√82+62=10(cm)，∴这个圆锥漏斗的侧面积是：πrl=π×6×10=60π(cm2)．【知识点】勾股定理、圆锥的计算3. 【答案】B【知识点】勾股定理4. 【答案】C【解析】作点B于直线I的对称点Bʹ，连ABʹ并延长交直线I于P．则BʹD=BD=1．∵AB∥BʹD，∴PDPC =BʹDAC．即PDPD+3=12，解得PD=3，PC=3+3=6，∴PA=√PC2+AC2=√62+22=2√10，PBʹ=√PD2+BʹD2=√32+12=√10，∴∣PA−PB∣的最大值=2√10−√10=√10．【知识点】勾股定理5. 【答案】B【解析】延长CD交AE于点F，∵△ABD≌△EBC∴∠ABD=∠EBC=90∘，BD=BC，AB=EB，∴∠EDF=∠BDC=∠BCD=45∘，∠AEB=∠EAB=45∘，∴∠EFD=180∘−45∘−45∘=90∘，∴CD⊥AE，故①正确；延长AD交CE于点M，∵△ABD≌△EBC，∴∠BAD=∠BEC，∵∠BEC+∠BCE=180∘−∠EBC=180∘−90∘=90∘，∴∠BAD+∠BCE=90∘，∴∠AMC=90∘，即：AD⊥CE，故②正确；∵在等腰Rt△BCD中，BC2+BD2=CD2，∴CD=√BC2+BD2=√52+52=5√2．同理：AE=√AB2+EB2=√122+122=12√2．∴CDAE =512，故③错误；∵在等腰Rt△ABE中，∠EAD+∠BAD=45∘，又∵∠BEC+∠ECD=∠BDC=45∘，∠BAD=∠BEC，∴∠EAD=∠ECD，故④正确．【知识点】勾股定理、全等形的概念及性质6. 【答案】D【解析】如图，过B作BD⊥AC于D，∵sinA=BDAB =45，设BD=4k，AB=5k，∴AD=√AB2−BD2=3k，∵AB=AC=5k，∴.CD=2k，∴BC=√BD2+CD2=2√5k，∴cosC=CDBC =2√5k=√55．【知识点】等腰直角三角形的性质、锐角三角函数的概念、勾股定理7. 【答案】D【解析】设AC=2x，∵ACAB =23，∴AB=3x，由勾股定理得，BC=√AB2−AC2=√(3x)2−(2x)2=√5x,则cos=BCAB =√53．【知识点】余弦、勾股定理8. 【答案】A【知识点】平面展开-最短路径问题9. 【答案】B【解析】只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第1个图：∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，∴BD=CD+BC=10+5=15，AD=20，在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：∴AB=√BD2+AD2=√152+202=25；只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第2个图：∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，∴BD=CD+BC=20+5=25，AD=10，在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：∴AB=√BD2+AD2=√102+252=5√29；只要把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第3个图：∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，∴AC=CD+AD=20+10=30，在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：∴AB=√AC2+BC2=√302+52=5√37；∵25<5√29<5√37，∴蚂蚁爬行的最短距离是25．【知识点】勾股定理的实际应用10. 【答案】B【解析】如图所示：∵在Rt△ABC中，∠C=90∘，AC=8cm，BC=6cm，∴AB=√AC2+BC2=10cm∵EDʹ是AB的中垂线，∴BE=5，连接BDʹ，∴BDʹ=ADʹ，在Rt△CBDʹ中，BDʹ2=CDʹ2+BC2，即ADʹ2=62+(8−ADʹ)2，解得：ADʹ=254，∴当点D运动到线段AB的中垂线上时，运动时间为254秒．【知识点】勾股定理二、填空题11. 【答案】252或5√6或10【解析】分三种情况计算：（1）当AE=AF=5时，如图：∴S△AEF=12AE⋅AF=12×5×5=252．（2）当AE=EF=5时，如图：则BE=6−5=1，BF=√EF2−BE2=√52−12=2√6，∴S△AEF=12⋅AE⋅BF=52×2√6=5√6．（3）当AE=EF=5时，如图：则DE=8−5=3，DF=√EF2−DE2=√52−32=4，∴S△AEF=12AE⋅DF=12×5×4=10．【知识点】勾股定理12. 【答案】0.4；41；8；20【知识点】勾股定理13. 【答案】1或7【解析】分两种情况：①如图1所示：∵∠ACB=90∘，∴∠1+∠2=90∘，∵BF⊥m，∴∠BFC=90∘，∴∠2+∠3=90∘，∴∠1=∠3，∵AE⊥m，∴∠AEC=90∘，∴CE=√AC2−AE2=√52−32=4，在△BCF和△CAE中，{∠3=∠1,∠BFC=∠AEC=90∘, BC=AC,∴△BCF≌△CAE(AAS)，∴CF=AE=3，∴EF=CE−CF=4−3=1．②如图2所示：∵△ACB=90∘，∴∠1+∠2=90∘，∵BF⊥m，∴∠BFC=90∘，∴∠2+∠3=90∘，∴∠1=∠3，∵AE⊥m，∴∠AEC=90∘，∴CE=√AC2−AE2=√52−32=4，在△BCF和△CAE中，{∠3=∠1,∠BFC=∠AEC=90∘, BC=AC,∴△BCF≌△CAE(AAS)，∴CF=AE=3，∴EF=CE+CF=4+3=7．综上所述：线段EF的长为：1或7．故答案为：1或7．【知识点】勾股定理14. 【答案】2+√3−√7或2+√3+√7【解析】如图，作AH⊥CD于H，以AB为底边向下作等腰直角△AOB，以O为圆心OA为半径作⊙O交CD于P1，P2，连接AP1，BP1，AP2，BP2，OP1，OP2，作OE⊥AB于E交CD于F．则∠AP1B=∠AP2B=45∘，OE=AE=EB=OP1=OP2=2√2，在Rt△ADH中，∵AD=2√3，∠D=60∘，AD=√3，AH=EF=3，OF=EF−OE=1，∴DH=12∴FP1=FP2=√22−12√(2√2)2−12=√7，∵DF=DH+FH=√3+2，∴DP1=2+√3−√7，DP2=2+√3+√7．【知识点】等腰直角三角形、勾股定理15. 【答案】80√2；(10+80√2)【解析】（1）过A作AF⊥BC，垂足为F，过点D作DH⊥AF，垂足为H，∵AF⊥BC，垂足为F，∴BF=FC=12BC=40 cm，根据勾股定理，得AF=√AB2−BF2=√1202−402=80√2(cm)．（2）∵∠DHA=∠DAC=∠AFC=90∘，∴∠DAH+∠FAC=90∘，∠C+∠FAC=90∘，∴∠DAH=∠C，∴△DAH∽△ACF，∴AHFC =ADAC，∴AH40=30120，∴AH=10 cm，∴HF=(10+80√2)cm．【知识点】相似三角形的性质与判定、勾股定理、等腰三角形的性质16. 【答案】−2【解析】由勾股定理的几何意义可知：S1+S2=1，S3+S4=3，故S1+S2−S3−S4=(S1+S2)−(S3+S4)=1−3=−2，故答案为−2．【知识点】勾股定理17. 【答案】285√2或45√2【知识点】勾股定理之折叠问题三、解答题18. 【答案】(1) 根据题意，得BP=2t，PC=16−2t=16−2×3=10，AC=8，在Rt△APC中，根据勾股定理，得AP=√AC2+PC2=√164=2√41．答：AP的长为2√41．(2) 在Rt△ABC中，AC=8，BC=16，根据勾股定理，得AB=√64+256=√320=8√5若BA=BP，则2t=8√5，解得t=4√5；若AB=AP，则BP=32，2t=32，解得t=16；若PA=PB，则(2t)2=(16−2t)2+82，解得t=5．答：当△ABP为等腰三角形时，t的值为4√5，16，5．(3) 若P在C点的左侧，CP=16−2t，AP=20−2t，(20−2t)2=(16−2t)2+82，解得：t=5；若P在C点的右侧，CP=2t−16，AP=2t−12，(2t−12)2=(2t−16)2+82，解得：t=11．答：当t为5或11时，能使DE=CD．【知识点】几何问题、勾股定理19. 【答案】∵AC+AB=10，∴AB=10−AC．在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，即AC2+32=(10−AC)2，解得AC=4.55．【知识点】勾股定理的实际应用20. 【答案】(1) 画一个正方形，它的面积为10，如图所示．(2) △ABC如图所示；2√105【解析】(2) ∵AB=√2，BC=2√2，AC=√10，∴AB2+BC2=AC2，∴∠ABC=90∘，设AC边上的高为ℎ，∴S△ABC=12AB⋅BC=12AC⋅ℎ，∴√2×2√2=√10 h，∴AC边上的高为2√105．【知识点】勾股逆定理、勾股定理21. 【答案】如图，作DE⊥AB于E，∵∠C=90∘，AC=BC，∴∠A=45∘．设AE=DE=1，则AD=√2，∵D为AC中点，∴CD=√2，AC=BC=2√2，∴BD=√DC2+BC2=√(√2)2+(2√2)2=√10．∴cos∠DBC=BCBD =√2√10=25√5．∴sin∠ABD=DEBD =√10=√1010．【知识点】特殊角的三角函数值、勾股定理22. 【答案】(1) ∵△ABC是等腰直角三角形，∴AB=BC，∠ABC=90∘，∠A=∠ACB=45∘，同理可得：DB=BE，∠DBE=90∘，∠BDE=∠BED=45∘，∴∠ABD=∠CBE．在△ABD与△CBE中，{AB=AC,∠ABD=∠CBE, AD=CE,∴△ABD≌△CBE．∴∠A=∠BCE=45∘，∴∠DCE=∠ACB＋∠BCE=90∘．(2) 2BD2=DA2+DC2．证明如下：∵△BDE是等腰直角三角形，∴DE=√2BD．∵△ABD≌△CBE，∴AD=CE，∴DE2=DC2+CE2=AD2+CD2，故2BD2=AD2＋CD2．【知识点】等腰直角三角形、全等三角形的性质与判定、勾股定理23. 【答案】(1) 由表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值知：BC=3cm时，CD=2.85cm，从点C与点B重合开始，一直到BC=4，CD，AC随着BC 的增大而增大，则CD一直与AB的延长线相交，如图所示：∵CD⊥AB，∴BD=√BC2−CD2≈0.9367(cm)，得出AD=AB+BD=4.9367(cm)，∴AC=√CD2+AD2=√2.852+4.93672≈5.70(cm)．补充完成如下表：x/cm0123456y1/cm00.78 1.76 2.85 3.98 4.95 4.47y2/cm4 4.69 5.26 5.70 5.96 5.94 4.47(2) 描出补全后的表中各组数值所对应的点(x,y1)，(x,y2)，并画出函数为y1，y2的图象．如图所示：(3) ① 6② 6或4.47【解析】(3) ① ∵BC=6cm时，CD=AC=4.47cm，即点C与点E重合，CD与AC重合，BC为直径．∴BE=BC=6cm．②以A，B，C为顶点组成的三角形是直角三角形时，分两种情况：当∠CAB=90∘时，AC=CD，即图象y1与y2的交点，由图象可得：BC=6cm；当∠CBA=90∘时，BC=AD，由圆的对称性与∠CAB=90∘时对称，AC=6cm，由图象可得：BC=4.47cm．综上所述：BC的长度约为6cm或4.47cm．【知识点】图像法、勾股定理24. 【答案】连接AC．∵AD=4cm，CD=3cm，∠ADC=90∘，∴AC=√CD2+AD2=√32+42=5(cm)，CD⋅AD=6(cm2)．∴S△ACD=12在△ABC中，∵52+122=132，即AC2+BC2=AB2，∴△ABC为直角三角形，即∠ACB=90∘，AC⋅BC=30(cm2)．∴S△ABC=12=S△ABC−S△ACD=30−6=24(cm2)．∴S四边形ABCD答：四边形ABCD的面积为24cm2．【知识点】勾股逆定理25. 【答案】(1) 如图1所示：(2) (0,5)；(3,4)(3) ∵图的方向为上北下南，左西右东，∴位于原点西北方向的是湖心亭，连接OC，作CH⊥OA于H，如图2所示：则∠OHC=90∘，在Rt△OHC中，CH=3，HO=3∴CO=√CH2+OH2−√32+32=3√2，∴湖心亭景区的点到原点的距离为：3√2．【解析】(2) 由（1）建立的平面直角坐标系，则A点的坐标为：(0,5)，B点的坐标为：(3,4)，故答案为：(0,5)，(3,4)．【知识点】建立坐标系，描述物体的位置、勾股定理、由点的位置写出它的坐标。
北师大版 八年级上册数学 第1章 勾股定理 单元测试卷 (解析版)
八年级（上）数学第1章勾股定理单元测试卷一．选择题（共10小题）1．下列四组线段中，不能作为直角三角形三条边的是A．3，4，5B．2，2，C．2，5，6D．5，12，132．在中，若，则A．B．C．D．3．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图，分别以的三条边为边向外作正方形，面积分别记为，，．若，则A．25B．36C．40D．494．的三边分别为、、，满足，，则这个三角形有一个角的度数为A．B．C．D．5．如图，每个小正方形的边长为1，四边形的顶点，，，都在格点上，则下面4条线段长度为的是A．B．C．D．6．两个边长分别为，，的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成如图所示的图形，用两种不同的计算方法计算这个图形的面积，则可得等式为A．B．C．D．7．为了迎接新年的到来，同学们做了许多拉花布置教室，准备举办新年晚会，大林搬来一架高为2.5米的木梯，准备把拉花挂到2.4米的墙上，开始梯脚与墙角的距离为1.5米，但高度不够．要想正好挂好拉花，梯脚应向前移动（人的高度忽略不计）A．0.7米B．0.8米C．0.9米D．1.0米8．如图，在行距、列距都是1的的方格网中，将任意连接两个格点的线段称作“格点线”，则“格点线”的长度不可能等于A．B．C．D．9．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，小正方形的面积为9，则大正方形的边长为A．9B．6C．5D．410．如图，一根长5米的竹竿斜靠在竖直的墙上，这时为4米，若竹竿的顶端沿墙下滑2米至处，则竹竿底端外移的距离A．小于2米B．等于2米C．大于2米D．以上都不对二．填空题（共8小题）11．在中，，若，，则的长是．12．有一个三角形的两边长是9和12，要使这个三角形成为直角三角形，则第三条边长的平方是．13．如图，阴影部分是一个正方形，则这个正方形的面积为．14．两人从同一地点同时出发，一人以的速度向北直行，一人以的速度向东直行，后他们相距．15．如图，中，，是边上一点，，，，则的长为．16．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线、交于点．若，，则．17．如图，圆柱的底面半径为24，高为，蚂蚁在圆柱表面爬行，从点爬到点的最短路程是．18．“赵爽弦图”巧妙的利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”，，，和是四个全等的直角三角形，四边形和都是正方形，若，，则．三．解答题（共7小题）19．如图，已知，，，，，试求阴影部分的面积．20．老李家有一块草坪如图所示，家里想整理它，需要知道其面积．老李测量了草坪各边得知：米，米，米，米，且．请同学们帮老李家计算一下这块草坪的面积．21．如图，小明将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端9米处，发现此时绳子底端距离打结处约3米，请算出旗杆的高度．22．如图，某电信公司计划在，两乡镇间的处修建一座信号塔，且使，两个村庄到的距离相等．已知于点，于点，，，，求信号塔应该建在离乡镇多少千米的地方？23．某条道路限速，如图，一辆小汽车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方的处，过了，小汽车到达处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为，这辆小汽车超速了吗？24．已知：整式，整式．尝试化简整式．发现．求整式．联想由上可知，，当时，，，为直角三角形的三边长，如图，填写下表中的值；直角三角形三边勾股数组Ⅰ8勾股数组Ⅱ3525．如图，将直角三角形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，直角三角形中，，，，，正方形中，（1）小明发明了求正方形边长的方法：由题意可得，因为，所以，解得（2）小亮也发现了另一种求正方形边长的方法：利用可以得到与、、的关系，请根据小亮的思路完成他的求解过程：（3）请结合小明和小亮得到的结论验证勾股定理．参考答案一．选择题（共10小题）1．下列四组线段中，不能作为直角三角形三条边的是A．3，4，5B．2，2，C．2，5，6D．5，12，13解：，，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；，，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；，，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形；、，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形．故选：．2．在中，若，则A．B．C．D．解：在中，若，，，故选：．3．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图，分别以的三条边为边向外作正方形，面积分别记为，，．若，则A．25B．36C．40D．49解：在中，，又由正方形面积公式得，，，．故选：．4．的三边分别为、、，满足，，则这个三角形有一个角的度数为A．B．C．D．解：的三边分别为、、，满足，为直角三角形，且，，，，，，又，．故选：．5．如图，每个小正方形的边长为1，四边形的顶点，，，都在格点上，则下面4条线段长度为的是A．B．C．D．解：，，，，故长度为的线段是，故选：．6．两个边长分别为，，的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成如图所示的图形，用两种不同的计算方法计算这个图形的面积，则可得等式为A．B．C．D．解：根据题意得：，，，即，整理得：．故选：．7．为了迎接新年的到来，同学们做了许多拉花布置教室，准备举办新年晚会，大林搬来一架高为2.5米的木梯，准备把拉花挂到2.4米的墙上，开始梯脚与墙角的距离为1.5米，但高度不够．要想正好挂好拉花，梯脚应向前移动（人的高度忽略不计）A．0.7米B．0.8米C．0.9米D．1.0米解：梯脚与墙角距离：（米，开始梯脚与墙角的距离为1.5米，要想正好挂好拉花，梯脚应向前移动：（米．故选：．8．如图，在行距、列距都是1的的方格网中，将任意连接两个格点的线段称作“格点线”，则“格点线”的长度不可能等于A．B．C．D．解：，故可能是“格点线”的长度，故选项不符合题意；，故可能是“格点线”的长度，故选项不符合题意；，故不可能是“格点线”的长度，故选项符合题意；，故可能是“格点线”的长度，故选项不符合题意；故选：．9．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，小正方形的面积为9，则大正方形的边长为A．9B．6C．5D．4解：由题意可知：中间小正方形的边长为：，每一个直角三角形的面积为：，大正方形的面积为：，大正方形的边长为5．故选：．10．如图，一根长5米的竹竿斜靠在竖直的墙上，这时为4米，若竹竿的顶端沿墙下滑2米至处，则竹竿底端外移的距离A．小于2米B．等于2米C．大于2米D．以上都不对解：由题意得：在中，米，米，米，在中，米，米，米，（米．故选：．二．填空题（共8小题）11．在中，，若，，则的长是17．解：在中，，，，，即，解得．故答案为：17．12．有一个三角形的两边长是9和12，要使这个三角形成为直角三角形，则第三条边长的平方是225或63．解：当第三边是斜边时，第三边的长的平方是：；当第三边是直角边时，第三边长的平方是：；故答案是：225或63．13．如图，阴影部分是一个正方形，则这个正方形的面积为36．解：由图可知直角三角形的一个直角边长为，斜边长为，正方形的边长，这个正方形的面积为：．故答案为：36．14．两人从同一地点同时出发，一人以的速度向北直行，一人以的速度向东直行，后他们相距．解：设后，，甲乙两人相距．答：后，甲乙两人相距，故答案为：．15．如图，中，，是边上一点，，，，则的长为．解：中，，，，，，，，故答案为：．16．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线、交于点．若，，则20．解：，，由勾股定理得，，，，，，．故答案为：20．17．如图，圆柱的底面半径为24，高为，蚂蚁在圆柱表面爬行，从点爬到点的最短路程是．解：如图所示：沿过点和过点的母线剪开，展成平面，连接，则的长是蚂蚁在圆柱表面从点爬到点的最短路程，，，，由勾股定理得：．故答案为：．18．“赵爽弦图”巧妙的利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”，，，和是四个全等的直角三角形，四边形和都是正方形，若，，则6．解：，，大正方形的面积是100，小正方形的面积是4，四个直角三角形面积和为，设为，为，即，，，，，，解得：，，，，．故答案为：6．三．解答题（共7小题）19．如图，已知，，，，，试求阴影部分的面积．解：由勾股定理可知：，又，是直角三角形故所求面积，答：阴影部分的面积为24．20．老李家有一块草坪如图所示，家里想整理它，需要知道其面积．老李测量了草坪各边得知：米，米，米，米，且．请同学们帮老李家计算一下这块草坪的面积．解：连接，如图，，，米，米，米，米，米，，为直角三角形，这块草坪的面积（米．21．如图，小明将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端9米处，发现此时绳子底端距离打结处约3米，请算出旗杆的高度．解：设旗杆的高度为米，根据勾股定理，得，解得：；答：旗杆的高度为12米22．如图，某电信公司计划在，两乡镇间的处修建一座信号塔，且使，两个村庄到的距离相等．已知于点，于点，，，，求信号塔应该建在离乡镇多少千米的地方？解：设，则，，，和都是直角三角形，，，又，，，，解得．答：信号塔应该建在离乡镇30千米的地方．23．某条道路限速，如图，一辆小汽车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方的处，过了，小汽车到达处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为，这辆小汽车超速了吗？解：在中，，；据勾股定理可得：小汽车的速度为；；这辆小汽车超速行驶．答：这辆小汽车超速了．24．已知：整式，整式．尝试化简整式．发现．求整式．联想由上可知，，当时，，，为直角三角形的三边长，如图，填写下表中的值；直角三角形三边勾股数组Ⅰ158勾股数组Ⅱ35解：，，，，当时，，，；当时，（负值舍去），，．直角三角形三边勾股数组Ⅰ15817勾股数组Ⅱ351237故答案为：15，17；12，37．25．如图，将直角三角形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，直角三角形中，，，，，正方形中，（1）小明发明了求正方形边长的方法：由题意可得，因为，所以，解得（2）小亮也发现了另一种求正方形边长的方法：利用可以得到与、、的关系，请根据小亮的思路完成他的求解过程：（3）请结合小明和小亮得到的结论验证勾股定理．解：（2）因为所以．答：与、、的关系为．（3）根据（1）和（2）得：．即化简得．。
北师大版八年级数学上册各章测试题带答案(全册)
第一章勾股定理测试题一．填空题（每题3分，共24分）1． 如图, 在△ABC 中，∠C=︒90，已知两直角边 A b Ca 和b ，求斜边c 的关系式是__________________;已知斜边c 和一条直角边b （或a ），求另一直角边 a a （或b ）的关系式是________________ 或_______________. B 2．在△ABC 中，若222BC AB AC =+，则∠B+∠C=_____°. 第1题图 3．在Rt △ABC 中，∠C=︒90,若a=40，b=9，则c=__________; Ａ 4．如图，△ABC 中，AB=AC ，BC=16，高AD=6，则腰长AB=________________.Ｂ Ｄ Ｃ 第４题图5．木工师傅做一个宽60cm ，高80cm 的矩形木柜，为稳固起见，制作时需在对角顶点间加一根木条，则木条长为___________________cm . 6．一艘轮船以16Km ／h 的速度离开港口向东北方向航行，另一艘轮船同时离开港口以12Km ／h 的速度向东南方向航行，它们离开港口1小时后相距_________________Km .7．如图，已知△ABC 中，∠ACB=︒90，以△ABC 各边为边向三角形外作三个正方形， Ａ 3S1S 、2S 、3S 分别表示这三个正方形的面积， 1S1S =81，3S =225，则2S =__________________. Ｃ 2S Ｂ8．等腰三角形的腰长为13cm ，底边上的高为5cm ，则它的面积为_____________.二．选择题（每题3分，共21分）9． 在△ABC 中，已知AB=12cm ,AC=9cm ,BC=15,cm 则△ABC 的面积等于 ( )A.1082cm B.542cm C.1802cm D.902cm1０．以下列各组数为三边的三角形中不是直角三角形的是 ( ) A ．9、12、15 B ．41、40、9 C ．25、7、24 D ．6、5、411．如图,一圆柱高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点A 爬到点B 处吃食, 要爬行的最短路程(π取3)是( )A.20cm;B.10cm;C.14cm;D.无法确定.12．一个三角形三边之比为3∶4∶5,则这个三角形三边上的高之比为 ( )A.3：4：5B.5：4：3C.20：15：12D.10：8：2 13． 一个三角形的三边长为a 、b 、c,且满足等式ab c b a 2)(22=-+,则此三角形是 ( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形 14. 如图，为求出湖两岸的A 、B 两点之间的距离,一个观测者在点C 设桩,使△ABC 恰好为直角三角形,且∠B=︒90,测得AC=160米,BC=128米,则A 、B 两点间的距离为 ( )B A ．96米 B ．100米C ．86米D ．90米C A 15．一直角三角形的斜边长比直角边长大2，另一直角边长为6，则斜边长为 （ ） （A ）4 （B ）8 （C ）10 （D ）12三．解答题16．已知：如图，⊿ABC 中，∠ACB =︒90，AB = 5cm ，BC = 3 cm ，CD ⊥AB 于D ， 求CD 的长及三角形的面积.（16分）17．在图中所示的长方形零件示意图中，根据所给的部分尺寸，求两孔中心Ａ和Ｂ的距离（单位：mm ）（10分）B C A D18．小强到某海岛上去探宝，登陆后先往东走10千米，又往北走2千米，遇到障碍后又往西走3千米，再折向北走到4千米处往东拐，仅走1千米便找到宝藏，问登陆点到宝藏埋藏点的直线距离是多少千米？（10分）19．八（2）班数学课外活动小组的同学测量学校旗杆的高度时，发现升旗的绳子垂到地面要多1米，当他们把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面。
北师大版八年级上册数学第一章《勾股定理》单元试卷(含答案)
北师大版八年级上册数学第一章《勾股定理》单元试卷时间：100分钟 满分：120分班级____________姓名____________成绩________________题号 一二三总分得分一．选择题（本大题共12小题，共36分，每小题只有一个正确选项）1.“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形较长直角边长为a,较短直角边长为b,若ab=8，大正方形的面积为25,则小正方形的边长为（ ）A. 9B.6C. 4D.32.如图，点E 在正方形ABCD 内，满足∠AEB=90°，AE=6，BE=8，则阴影部分的面积是（ ）A ．48B ．60C ．76D ．803.我国南宋著名数学家秦久韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题目：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中的“里”是我国市制长度单位，1里=500米，则该沙田的面积为（ ）A.7.5平方千米B.15平方千米C.75平方千米D.750平方千米 4.如图，三角形纸片ABC ，AB=AC ，∠BAC=90°，点E 为AB 中点．沿过点E 的直线折叠，使点B 与点A 重合，折痕EF 交BC 于点F ．已知23EF ，则BC 的长是（ ） A ．223 B ． 23 C ．3 D ． 33 5.如图满足下列条件的△ABC ，不是直角三角形的是（ ）A.b 2=c 2－a 2B.a ∶b ∶c=3∶4∶5C.∠C=∠A －∠BD.∠A ∶∠B ∶∠C=12∶13∶15 6. 如果△ABC 的三边分别为m 2－1，2 m ，m 2+1(m ＞1)那么A.△ABC 是直角三角形，且斜边长为m 2+1B.△ABC是直角三角形，且斜边长2mC.△ABC是直角三角形，但斜边长需由m的大小确定D.△ABC不是直角三角形7.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，CE为AB边上的中线，AD=2，CE=5，则CD=（）A.2B.3C.4D.238.如图所示，圆柱的高AB=3，底面直径BC=3，现在有一只蚂蚁想要从A处沿圆柱表面爬到对角C处捕食，则它爬行的最短距离是（）A．B． C．D．9.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当AC＝4，BC＝2时，则阴影部分的面积为（）A．4 B．4πC．8πD．810.我国是最早了解勾股定理的国家之一．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（）A．B．C．D．11.如图，将△ABC放在正方形网格图中（图中每个小正方形的边长均为1），点A，B，C 恰好在网格图中的格点上，那么△ABC中BC的高是（）A ．210 B ．410 C ．510 D ．5 12.在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”译文：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺（水平距离）时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？”．设这个人的身高是5尺，秋千的绳索始终拉的很直，则绳索长为（ ）A ．12.5尺B ．13.5尺C ．14.5尺D ．15.5尺二．填空题（本大题共6小题，每题4分，共24分）13. 如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，分别以BC 、AB 、AC 为边向外作正方形，面积分别记为S 1、S 2、S 3，若S 2=4，S 3=6，则S 1=______．14.如图，在Rt △ABC 中，∠ B ＝90°，AB ＝3 cm ，AC ＝5 cm ，将△ABC 折叠，使点C 与点A 重合，得折痕DE ，则△ABE 的周长等于________．15.有两根木棒，分别长6cm 、5cm ，要再在7cm 的木棒上取一段，用这三根木棒为边做成直角三角形，这第三根木棒要取的长度是 ．16．如图，在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，AD 是底边上的高，若AB ＝5 cm ，BC ＝6 cm ，则AD ＝__________．17．如图，圆柱形玻璃杯高为14cm，底面周长为32cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A 处到内壁B处的最短距离为cm（杯壁厚度不计）．18．勾股定理a2+b2＝c2本身就是一个关于a，b，c的方程，满足这个方程的正整数解（a，b，c）通常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），…．分析上面勾股数组可以发现，4＝1×（3+1），12＝2×（5+1），24＝3×（7+1），…分析上面规律，第5个勾股数组为．三．解答题（共7小题共60分）19．（6分）某消防部队进行消防演练．在模拟现场，有一建筑物发生了火灾，消防车到达后，发现离建筑物的水平距离最近为12 m，如图，即AD＝BC＝12 m，此时建筑物中距地面12.8 m高的P处有一被困人员需要救援．已知消防云梯车的车身高AB是3.8 m，问此消防车的云梯至少应伸长多少米？20.（6分）某广场内有一块空地ABCD如图所示，现计划在空地上种草皮，经测量，∠B＝90°，AB＝6m，BC＝8m，CD＝26m，AD＝24m．求四边形ABCD空地的面积．21.（8分）如图，一根12 m的电线杆AB用铁丝AC，AD固定，现已知用去的铁丝AC＝15 m，AD＝13 m，又测得地面上B，C两点之间的距离是9 m，B，D两点之间的距离是5 m，则电线杆和地面是否垂直，为什么？22.（8分）若△ABC的三边长为a，b，c，根据下列条件判断△ABC的形状．（1）a2+b2+c2+200=12a+16b+20c（2）a3－a2b+ab2－ac2+bc2－b3=023. （8分)在甲村至乙村的公路有一块山地正在开发，现有一C处需要爆破．已知点C与公路上的停靠站A的距离为300米，与公路上的另一停靠站B的距离为400米，且CA⊥CB，如图所示．为了安全起见，爆破点C周围半径250米范围内不得进入，问在进行爆破时，公路AB段是否有危险而需要暂时封锁？请通过计算进行说明．24．（12分）有一个如图所示的长方体透明玻璃水缸，其长AD＝8 cm，高AB＝6 cm，水深为AE＝4 cm，在水面线EF上紧贴内壁G处有一粒食物，且EG＝6 cm，一只小虫想从水缸外的A处沿水缸壁爬进水缸内的G处吃掉食物．(1)小虫应该沿怎样的路线爬才能使爬的路线最短呢？请你画出它爬行的最短路线，并用箭头标注．(2)求小虫爬行的最短路线长(不计缸壁厚度)．25.（12分）如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90。
2023-2024学年八年级数学上册《第一章 勾股定理的应用》同步练习题附带答案-北师大版
2023-2024学年八年级数学上册《第一章勾股定理的应用》同步练习题附带答案-北师大版学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题1．梯子的底端离建筑物6米，10米长的梯子可以到达建筑物的高度是（）A．6米B．7米C．8米D．9米2．一个长方形抽屉长3cm，宽4cm，贴抽屉底面放一根木棒，那么这根木棒最长（不计木棒粗细）可以是（）A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm3．由于台风的影响，一棵树在离地面6m处折断，树顶落在离树干底部8m处，则这棵树在折断前（不包括树根）长度是（）A．8m B．10m C．16m D．18m4．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高丈，末折抵地，问折者高几何？”意思是：一根竹子，原来高一丈（一丈为十尺），虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部三尺远，问：原处还有多高的竹子？（）A．4尺B．4.55尺C．5尺D．5.55尺5．如图是我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积41，小正方形的面积是1，直角三角形的短直角边为a，较长的直角边为b，那么（a+b）2的值为（）A．25 B．41 C．62 D．816．如图，斜坡BC的长度为4米．为了安全，决定降低坡度，将点C沿水平距离向外移动4米到点A，使得斜坡AB的长度为4√3米，则原来斜坡的水平距离CD的长度是（）米．A．2 B．4 C．2√3D．67．国庆假期中，小华与同学去玩探宝游戏，按照探宝图，他们从门口A处出发先往东走8km，又往北走2km，遇到障碍后又往西走3km，再向北走到6km处往东拐，仅走了1km，就找到了宝藏，则门口A到藏宝点B的直线距离是（）A．20km B．14km C．11km D．10km8．如图，OP=1，过点P作PP1⊥OP且PP1=1，得OP1=√2；再过点P，作P1P2⊥OP1且P1P2=1，得OP2=√3；又过点P2作P2P3⊥OP2且P2P3=1，得OP3=2…依此法继续作下去，得OP2021=（）A．√2023B．√2022C．√2021D．√2020二、填空题9．一轮船以16海里/时的速度从A港向东北方向航行，另一艘船同时以12海里/时的速度从A港向西北方向航行，经过1.5小时后，它们相距海里．10．如图是某路口处草坪的一角，当行走路线是A→C→B时，有人为了抄近道而避开路的拐角∠ACB(∠ACB=90°)，于是在草坪内走出了一条不该有的捷径路AB.某学习实践小组通过测量可知，AC的长约为6米，BC的长约为8米，为了提醒居民爱护草坪，他们想在A，B处设立“踏破青白可惜，多行数步无妨”的提示牌．则提示牌上的“多行数步”是指多行米．11．在平静的湖面上，有一朵荷花高出水面半尺，忽然一阵强风吹来把荷花垂直拉到水里且荷花恰好落在水面．花在水平方向上离开原来的位置2尺远，则这个湖的水深是尺．12．如图，一个长方体铁盒的长，宽，高分别是8 cm，6 cm，24 cm，-根长28 cm的木棒完全装进这个盒子里.（填“能”或“不能”）13．如图，山坡上，树甲从点A处折断，其树顶恰好落在另一棵树乙的根部C处，已知AB＝4m，BC ＝10m，已知两棵树的水平距离为6m，则树甲原来高．三、解答题14．如图，小旭放风筝时，风筝挂在了树上，他先拉住风筝线，垂直于地面，发现风筝线多出1米；把风筝线沿直线BC向后拉5米，风筝线末端刚好接触地面，求风筝距离地面的高度AB.15．如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m，请你求出旗杆的高度（滑轮上方的部分忽略不计）．16．某地一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人如图（1）.如图（2），已知云梯最多只能伸长到15m（即AB=CD=15m），消防车高3m，救人时云梯伸长至最长，在完成从12m（即BE=12m）高的B处救人后，还要从15m（即DE=15m）高的D处救人，这时消防车从A处向着火的楼房靠近的距离AC为多少米？（延长AC交DE于点O，AO⊥DE点B在DE上，OE的长即为消防车的高3m）17．如图，在笔直的公路AB旁有一座山，为方便运输货物现要从公路AB上的D处开凿隧道修通一条公路到C处，已知点C与公路上的停靠站A的距离为15km，与公路上另一停靠站B的距离为20km，停靠站A、B之间的距离为25km，且CD⊥AB．（1）求修建的公路CD的长；（2）若公路CD修通后，一辆货车从C处经过D点到B处的路程是多少？18．台风是一种自然灾害，它在以台风中心为圆心，一定长度为半径的圆形区域内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，监测中心监测到一台风中心沿监测点B与监测点A所在的直线由东向西移动，已知点C为一海港，且点C与A，B两点的距离分别为300km、400km，且∠ACB=90°，过点C作CE⊥AB于点E，以台风中心为圆心，半径为260km的圆形区域内为受影响区域，台风的速度为25km/h．（1）求监测点A与监测点B之间的距离；（2）请判断海港C是否会受此次台风的影响，若受影响，则台风影响该海港多长时间？若不受影响，请说明理由．参考答案1．C2．B3．C4．B5．D6．A7．D8．B9．3010．411．3.7512．不能13．(4+6√5)m14．解：设AB＝x米，则AC＝（x＋1）米由图可得，∠ABC＝90°，BC＝5米在Rt△ABC中AB2+BC2=AC2即x2+52=(x+1)2解得x＝12答：风筝距离地面的高度AB为12米.15．解：如图设旗杆高度为x米，则AC=AD=x(m)，AB=(x−2)(m)而BC=8m 在Rt△ABC中AB2+BC2=AC2，即(x−2)2+82=x2解得：x=17(m)即旗杆的高度为17m．16．解：在 Rt △ABO 中∵∠AOB =90° AB =15m ，OB =12−3=9 （m ） ∴AO =√AB 2−OB 2=√152−92=12 （m ）在 Rt △COD 中∵∠COD =90°，CD =15m ，OD =15−3=12 （m ） ∴OC =√CD 2−OD 2=√152−122=9 （m ）∴AC =OA −OC =3 （m ）答：消防车从原处向着火的楼房靠近的距离 AC 为 3m .17．（1）解：∵AC=15km ，BC=20km ，AB=25km152+202=252∴△ACB 是直角三角形，∠ACB=90°∵12AC ×BC=12AB ×CD∴CD=AC ×BC ÷AB=12（km ）．故修建的公路CD 的长是12km ；（2）解：在Rt △BDC 中，BD= √BC 2−CD 2=16（km ）一辆货车从C 处经过D 点到B 处的路程=CD+BD=12+16=28（km ）． 故一辆货车从C 处经过D 点到B 处的路程是28km ．18．（1）解：在RtΔABC 中，AC =300km ，BC =400km ∴AB =√AC 2+BC 2=√3002+4002=500（km ）答：监测点A 与监测点B 之间的距离为500km ；（2）解：海港C 受台风影响理由：∵∠ACB =90°，CE ⊥AB∴S ΔABC =12AC ⋅BC =12CE ⋅AB ∴300×400=500CE∴CE =240km∵以台风中心为圆心周围260km 以内为受影响区域∴海港C 会受到此次台风的影响以C 为圆心，260km 长为半径画弧，交AB 于D ，F则DE =EF =260km 时，正好影响C 港口在RtΔCDE 中∵ED =√CD 2−CE 2=√2602−2402=100（km ）∴DF =200km∵台风的速度为25千米/小时∴200÷25=8（小时）．答：台风影响该海港持续的时间为8小时．。