福建省厦门市2017-2018学年高二上学期质量检测数学(理)试题.docx
2017-2018学年福建省厦门市高二下学期期末质量检测理科数学答案
厦门市2017—2018学年度第二学期高二年级质量检测理科数学试题参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.1—5：BBCCA 6—10：CDABB 11-12：DC11.解析：法一：由222b y xa x y c ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，得2222x a y b =⎧⎨=⎩，即(),P a b ， 由b PF PF 221=-，得点P 在双曲线右支上22221x y b a-=，所以，22221a b b a-=，化简得42240c a c a --=，即0124=--e e ，故选D .法二：由222b y xa x y c ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，得2222x a y b =⎧⎨=⎩，即(),P a b ， ∵1290F PF ∠=，∴222212124PF PF F F c +==，122PF PF bc ⋅=，又∵122PF PF b -=，∴222112224PF PF PF PF b +⋅+=，∴2a bc =，化简得42240c a c a --=，即0124=--e e ， 故选D .12.解析：法一：()2'222122212e e x xax x f x a x x x +-⎛⎫=-++=⎪⎝⎭， 令()'0f x =，得22210ax x +-=，令()2221g x ax x =+-当0a =时，不合题意，当0a >时，()g x 对称轴为10,2x a=-<()010g =-<， 则()f x 在()0,+∞先减后增，不合题意当0a <时，480a ∆=+>，即12a >-，则102a -<<，设()2221g x ax x =+-的两个零点为12,x x ， 则()f x 在()()12,,,x x -∞+∞单调递增，在()12,x x 单调递减， 所以，()f x 在2x x =处取到极大值，（I ） 当()12,2,x x ∈+∞时，()20122g a⎧<⎪⎨->⎪⎩，解得a φ∈，（II ）当()()12,2,2,x x ∈-∞∈+∞时，()20,g ->38a >-， ∴308a -<<，（III ）当12x =时，()20g =，∴38a =-，此时221422,233x x a =-==， 此时，12x x <矛盾，不合题意．综上所述，a 的取值范围为308a -<<．故选C ．法二：令()'0f x =，得22210ax x +-=，()2,x ∈+∞，整理得2112a x x=-，令1t x =，则10,2t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则22a t t =-令()212g t t t =-，则()g t 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，∴()3,08g t ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，∴3,08a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. [)0,+∞ 14. 12 15. 34π16. 6-解析：()'''1211PM PF PC PF PC a PF PF PF CF -=-=---=+-≥三、解答题：本大题共6小题，共70分.17. 本小题考查古典概型、排列组合、二项分布等基础知识；考查运算求解能力和应用意识；考查统计与概率思想．本小题满分10分． 解法一：（1）设“从100户中任意抽取2户，至少1户月用电量为第二阶梯”为事件A ，则2402100139()1165C P A C =-=； ·························································· 4分 （2）从全市任取1户，抽到用电量为第二阶梯的概率63105P ==， ·············· 5分 所以X ～3(3,)5B ， 3332()()(),0,1,2,355k k kP X k C k -===，X ··························· 9分39()355E X =⨯=． ································································· 10分解法二：（1）设“从100户中任意抽取2户，至少1户月用电量为第二阶梯”为事件A ，则1124060602100139()165C C C P A C +==． ··················································· 4分 （2）同解法一．18. 本小题考查导数与函数的单调性、极值，函数的零点等基础知识；考查运算求解能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想，分类与整合思想等．本小题满分12分．解：（1）若2a =，则3()261f x x x =-+，2'()66f x x =-， ······························· 1分所以，当1x <-或1x >时，'()0f x >；当11x -<<时，'()0f x <； 所以()f x 在(,1)-∞-单调递增，在()1,1-单调递减，在(1,)+∞单调递增， ···································································································· 3分所以()f x 的极大值为(1)5f -=，()f x 的极小值为(1)3f =-. ················ 5分（2）2'()36f x ax =-， ············································································ 6分当0a ≤时，2'()360f x ax =-≤恒成立，()f x 在R 上单调递减，()f x 至多一个零点，不合题意； ···················································· 7分当0a >时，令'()0f x =，则x = ··········································· 8分 所以，当x <x >'()0f x >；当x <<'()0f x <； 所以()f x 在(,-∞和)+∞单调递增，在⎛ ⎝单调递减， ······························································································· 9分所以()f x的极大值为(1f =， ()f x的极小值为1f =-. ··········································· 10分 ()f x恰有三个零点，所以(1010f f ⎧=>⎪⎪⎨⎪=-<⎪⎩， ······················· 11分 所以32a <，即032a <<；综上，a 的取值范围为032a <<. ·················································· 12分19. 本题考查直线与直线，直线与平面，平面与平面垂直等基础知识；考查空间想象能力，推理论证能力，运算求解能力；考查数学结合思想，化归与转化思想。
2016-2017学年福建省厦门市高二上学期期末质量检测数学（文）试题（word版含答案）
2016-2017学年福建省厦门市高二上学期期末质量检测数学（文）试题（word版含答案）厦门市2016~2017学年度第一学期高二年级质量检测数学（文科）试题注意事项：1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答，答题前，请在答题卷内填写学校、班级、学号、姓名；2．本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知{}n a 是等比数列，142,16a a ==，则数列{}n a 的公比q 等于 A. 2 B. 2- C.12 D.12- 2.设x ∈R ，则“1x >”是“31x >”的A ．充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 3.已知抛物线x y 122=上一点M 到焦点的距离为8，则点M 的横坐标为A.2 B.3 C.4 D.5 4.设实数x 、y 满足,4,2.y x x y y ≤??+≤??≥-?则2zx y =+的最小值为A ．6B ．10C ．-6D ．-85.在△ABC 中，角A B C 、、所对的边分别为a 、b 、c ，且c o s c o s 2c b C c B +=，则角C 为 A.6π B.4π C. 3π D. 2π6.已知{}n a 是等差数列，181326,5a a a =-+=，当{}n a 的前n 项和n S 取最小值时，n 等于 A.8 B.9 C.10 D.117.若双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的14倍，则该双曲线的渐近线方程是A．0x =B0y ±=C ．20x y ±=D ．20x y ±=8.已知{}n a 是等比数列，{}n b 是等差数列，若21484a a a ?=，88b a =，则数列{}n b 的前15 项和等于A. 30B. 40C. 60D. 1209.若关于x 的一元二次方程022=-+ax x 有两个不相等的实根21,x x ，且1,121>-<="" ，则实数a="">A ．1a <- B. 1a > C ．11a -<< D．a a ><-10.在△ABC 中，角A B C 、、所对的边分别为a 、b 、c ，且a b c ，2，成等比数列，则cos B 的最小值为A.14 B. 13 C. 12 D. 7811.已知函数t e x f x-=2)(，1)(-=x te x g ，对任意x ∈R ，()()f x g x ≥恒成立，则实数t的取值范围为A ．1t ≤B. 2t ≤ C ．2t ≤ D．2t ≤ 12.从一块短轴长为2m 的椭圆形板材中截取一块面积最大的矩形，若椭圆的离心率为e,且e 5∈,则该矩形面积的取值范围是 A.[m 2，2m 2] B.[2m 2，3m 2] C.[3m 2，4m 2] D.[4m 2，5m 2]第II 卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.命题x ?∈R ，1≥xe .写出命题p 的否定：_________________.14.已知方程11222=-++my m x 表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围为_______.15.已知函数210,7,()1,7.(2)x x f x x f x -≤??=?>?-?若()n a f n =（n ∈N *），则数列{}n a 的前50项和等于__________.16.一个三角形的三边是连续的三个自然数，且最大角是最小角的2倍，则这个三角形的周长等于__________.:p三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.(本小题满分10分）关于x 的不等式20x ax b -+<的解集为{|23}x x << （Ⅰ）求a b +；（Ⅱ）若不等式20x bx c -++>的解集为空集，求c 的取值范围.18.(本小题满分12分）如图，在梯形ABCD 中，CD AB //，?=∠30DAC ，?=∠45CAB ，26-=CD . （Ⅰ）求AD 的长；（Ⅱ）若10=BC ,求△ABC 的面积．19.(本小题满分12分）已知数列{}n a 满足513a =，13n n a a +-=（n ∈N *）；数列{}n b 的前n 项和112n nS =-（n ∈N *）.（Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）记n n n b a b a b a b a T ++++= 332211，比较n T 与4的大小．20.(本小题满分12分）已知直线l 与抛物线2y x =-相交于A,B 两点．A,B 在准线上的射影分别为11,B A . （Ⅰ）若线段AB 的中点坐标为（-4,1），求直线l 的方程；（Ⅱ）若直线l 方程为∈-=m my x ,1R ，求梯形B B AA 11的面积（用m 表示）.A21.(本小题满分12分）某公司要招聘甲、乙两类员工共150人，该公司员工的工资由基础工资和绩效工资组成.其中甲、乙两类员工每人每月的基础工资分别为2千元和3千元，甲类员工每月的人均绩效工资与公司月利润成正比，比例系数为)0(>a a ，乙类员工每月的人均绩效工资与公司月利润的平方成正比，比例系数为)0(>b b .（Ⅰ）若要求甲类员工的人数不超过乙类员工人数的2倍，问甲、乙两类员工各招聘多少人时，公司每月所付基础工资总额最少？（Ⅱ）若该公司某月的利润为)0(>x x 千元，记甲、乙两类员工该月人均工资分别为甲w 千元和乙w 千元，试比较甲w 和乙w 的大小.（月工资=月基础工资+月绩效工资）22.(本小题满分12分）在圆22:4O x y +=上任取一点P ，过点P 作y 轴的垂线段PQ ,Q 为垂足.当P 在圆上运动时，线段PQ 中点G 的轨迹为C ．（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）直线l 与圆O 交于,M N 两点，与曲线C 交于,E F 两点，若||MN =EOF ∠是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.厦门市2016—2017学年度第一学期高二年级质量检测数学（文科）参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1~6 ACDCBB 7~12 ACCDBD二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．∈?0x R ，10<="" p="">（答案“∈?x R ，1<="">14.112m -<< 15.225416.15三、解答题：本大题共6小题，共70分．17．本题主要考查一元二次不等式的基本解法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合的数学思想方法．解：（Ⅰ）由题意得：方程20x ax b -+=的两根为2和3 ...........................……....2分所以2323a b+=??=?，即56a b =??=? (4)分所以11a b +=………............................................................……....5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知6b =因为不等式260x x c -++>的解集为空集所以2640c ?=+≤………............................................................…....8分即9c ≤-，所以c 的取值范围为](,9-∞-………....................…....10分18. 本题考查三角函数、解三角形等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合的数学思想方法．解：（Ⅰ）因为//AB CD ,所以45DCA CAB ?∠=∠=………................ 1分因为sin sin AD DCACD DAC=∠∠……….......................................................... 2分所以2AD =………...............................................................4分（Ⅱ）180(3045)105ADC ?∠=?-?+?=所以sin sin(4560)sin 45cos60cos 45sin 60ADC ∠=+=+=分 sin sin AC DCADC DAC=∠∠,所以2AC = ...................................................…… 7分设AB x =因为2222cos BC AC AB AC AB CAB =+-?∠260x --=,所以AB =..........................................……. 10分所以1sin 32ABC S AC AB CAB ?=∠=……….............................................................12分解法2：180(3045)105ADC ?∠=?-?+?=所以sin sin(4560)sin 45cos60cos 45sin 60ADC ∠=+=+=分 sin sin AC DCADC DAC=∠∠,所以2AC =……….......................................……....7分因为sin sin AC BC B CAB =∠,所以sin B =因为AC BC <, 所以045B ?<所以cos B =,因为sin sin(135)sin135cos cos135sin 10ACB B B B ∠=-=-=sin sin AB BCACB CAB=∠∠，所以AB =..................................... 10分所以1sin 32ABC S AC AB CAB ?=∠=………...........................................................12分19．本题考查数列通项公式与数列求和等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查分类讨论的数学思想方法．解：（Ⅰ）因为*13()n n a a n N +-=∈，所以数列{}n a 为等差数列，公差3d =，又51413a a d =+=，得11=a ，所以1(1)13(1)32n a a n d n n =+-=+-=-.......…2分又因为数列{}n b 的前n 项和为*11()2n n S n N =-∈，当1n =时，1112b S ==，................................................................................................3分。
2017-2018学年福建省厦门市高二下学期期中考试数学(理)试题Word版含答案
2017-2018学年福建省厦门市高二下学期期中考试数学（理）试题（考试时间：120分钟 总分：150分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请把答案填在答题卷相应的位置上． 1．复数131ii-++=（ ）A ．2+iB ．2-iC ．1+2iD ．1- 2i2. 二项式5)12(x x -的展开式中含21x项的系数为（ ）A ．10B ．10-C ．40D ．40-3．用反证法证明命题：“若整数系数的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有有理根，则,,a b c 中至少有一个是偶数”时，下列假设正确的是（ ）A.假设,,a b c 都是偶数B.假设,,a b c 都不是偶数C.假设,,a b c 至多有一个是偶数D.假设,,a b c 至多有两个是偶数 4．函数x x x f ln 21)(2-=的单调递减区间为（ ） A ．(0,1] B ．(-1,1） C ．[1,+∞) D ．(-∞,-1)∪(0,1]5．三段论：“○1雅安人一定坚强不屈○2雅安人是中国人○3所有的中国人都坚强不屈”中，其中“大前提”和“小前提”分别是等于（ ）A. ○1○2B.○3○1C. ○3○2D. ○2○36．编号为1、2、3、4、5的五个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位，其中有且只有两个人的编号与座位号一致的坐法有（ ）种.A ．10种B ．20种C ．60种D ．90种7. 曲线3y x =在点2x =处的切线方程是（ ）A. 12160x y --=B. 12320x y +-=C.40x y -=D.4160x y +-=8．学校开设美术、舞蹈、计算机三门选修课，现有四名同学参与选课，且每人限选一门课程，那么不同的选课方法的种数是 A ．12B ．24C ． 64D ．819. 根据条件：,,a b c 满足c b a <<，且0a b c ++=，有如下推理：(1).()0ac a c -> (2).()0c b a -< (3).22cb ab ≤ (4).ab ac >其中正确的是 10． A. (1) (2)B. (2) (4)C.(1) (3)D. (3) (4)若（x ＋1）5＝a 0＋a 1（x －1）＋a 2（x －1）2＋…＋a 5（x －1）5，则a 0＝（ ）A ．32B ．1 C-1D ．－3211．对命题“*(1)(2)()213(21),nn n n n n n N ++⋅⋅⋅+=⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯-∈” 利用数学归纳法证明时，从“n k =”变到“1n k =+”时，左边应增乘的因式是( ) A ．21k + B ．211k k ++ C ． (21)(22)1k k k +++ D ． 231k k ++ 12．设定义在R 上的函数()f x 是最小正周期为2π的偶函数,()f x '是()f x 的导函数,当[]0,x π∈时,0()1f x <<;当(0,)x π∈且2x π≠时 ,()()02x f x π'->,则函数()sin y f x x =-在[2,2]ππ-上的零点个数为（ ）A ．2B ．4C ．5D ．8第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题:本大题共5小题，每小题4分，满分20分.请把答案填在答题纸的相应位置. 13．已知i 是虚数单位，则=2014i 14. 67+22515.甲、乙、丙，丁四人站成一排照相，甲不站在最左端，且乙不站在最右端的不同站法有 种 16.已知双曲线的中心在坐标原点，焦点在x 轴上， A 是右顶点，B 是虚轴的上端点，F 是左焦点， 当BF ⊥AB 时，此类双曲线称为“黄金双曲线”， 其离心率为51e +=，类比“黄金双曲线”，推算出“黄金椭圆”（如图）的离心率e =_________；三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）已知a 为实数，复数z 1＝2－i ，z 2＝a ＋i(i 为虚数单位)． （1）若a ＝1，指出12z z +在复平面内对应的点所在的象限； （2）若z 1·z 2为纯虚数，求a 的值．已知7722107)21(x a x a x a a x ++++=-Λ，求（Ⅰ）710a a a +++Λ的值（Ⅱ）6420a a a a +++及7531a a a a +++的值； （Ⅲ）各项二项式系数和。
厦门市-学年第一学期高二期末质量检测-理科数学
厦门市２0１5－2016学年（上)高二质量检测数学(理科）试卷一、选择题:本题共１２个小题,每小题５分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的．在答题卷上相应题目的答题区域内作答. 1.抛物线22x y =的焦点坐标为A.(1,0)B.(0,1)C.1(,0)2D.1(0,)22.命题“2000(0,),1x x x ∃∈+∞=-”的否定是（ )A.2(0,),1x x x ∀∈+∞≠-B.2(0,),1x x x ∀∈+∞=-C.2000(0,),1x x x ∃∉+∞≠-D.2000(0,),1x x x ∃∈+∞≠- 3.已知数列{}n a 满足:423a =,*121()n n a a n N +=+∈,则2a 等于 A.５ﻩﻩ Ｂ.112 C. 6 D.1324.已知向量(1,0,1)AB =，(0,1,1)AC =--，则AB 与AC 的夹角为A.30︒B.60︒ Ｃ．120︒ D.150︒ 5.下列命题中,真命题的是Ａ. 若a b >,c d >,则a c b d ->- Ｂ. 若a b >,c d >，则ac bd > C. 若110a b <<,则2ab b < Ｄ. 若11b b a a ->-，则a b > ６．命题p ：若1sin 2α=,则30α=︒；命题q ：若点(,)m n 在直线10x y ++=的上方，则10m n ++>.则下列是真命题的是Ａ．p q ∨⌝ B . p q ⌝∧ C . p q ⌝∧⌝ D .p q ∧ 7.已知a ，b ,c 分别为ABC ∆的三内角A ，B ，C 的对边,且cos ,cos ,cos a C b B c A 成等差 数列,则角B 等于A.30︒B.60︒C. 90︒D.120︒ 8.在正方体1111ABCD A B C D -中,若111AC xAC yAB z AD =++,则x y z ++等于A.3 Ｂ.2 C.32D.1９.已知直线l :1(0)x ya b a b+=>>，直线l 过点(14)P ，,则a b +的最小值为A ．6B ． 8 Ｃ. 9 D. １010.已知正项等比数列{}n a ,其前n 项和为n S ,12k a -=,22564k k a a a +⋅== ,则10S 等于A.1041-ﻩB.10413- Ｃ.1021-D.10212-11.长方体1111ABCD A B C D -中,1AB =，2AD =，13AA =,E 为对角线1A C 上的动点，则满足1ED ED ⊥的点E 的个数为Ａ.0 B ．1 C ．2 D.无数个1２．已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的焦点,过F 作直线l 与双曲线C相交于,A B 两点,若满足||2AB =的直线l 有且仅有两条,则双曲线C 的方程可以是A.2241x y -= B ．2212yx -= Ｃ.22221x y -= D.221x y -=二、填空题:本大题共４小题，每小题5分,共20分．在答题卷上的相应题目的答题区域内作答.１３．若“220x x +-≤”是“x k ≤”的充分不必要条件,则k 的取值范围是 ．14.已知点(0,1)P 到双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线的距离为13,则双曲线C 的离心率为 ．15.如图,某人在山脚P 处测得甲山山顶A 的仰角为30︒ ，乙山山顶B 的仰角为45︒,角APB 的大小为45︒ ，山脚P 到山顶A 的直线距离为2km ,在A 处测得山顶B 的仰角为30︒,则乙山的高度为 km ．１6.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，且11n n n a S S λ++=-，其中λ是常数．若{}n a 是递增数列,则λ的取值范围是 .三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤,在答题卷上相应题目的答题区域内作答. 17.（本题满分10分)C 11A 1E已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，3722a a +=，424S =. (Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ,求证34n T <．１8（本题满分１2分）在ABC ∆中，4AB =,6AC =，1cos 8B =.（Ⅰ)求ABC ∆面积;(Ⅱ)求AC 边上的中线BD 的长度.19．(本题满分1２分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中,1AA ⊥底面ABC ,2AB =,2AC =,22BC =, 12AA =,点D ，E 分别为棱BC ,11A C 的中点.(Ⅰ）求证：//DE 平面11A B BA ； (Ⅱ)求二面角1B AB D --的余弦值.２０.（本题满分１２分)在平面直角坐标系xoy 中,点(1,0)F ，直线1x =-与动直线y n =的交点为M ，线段MF 的中垂线与动直线y n =的交点为P . （Ⅰ）求点P 的轨迹Γ的方程;(Ⅱ）过动点M 作曲线Γ的两条切线，切点分别为,A B ，证明:AMB ∠的E1A B 1大小为定值．21(本题满分12分)甲、乙两个粮库要向A ，B 两镇运送大米，已知甲库将调出１00吨大米,乙库将调出８0吨大米,A 镇至少需要6０吨大米，B 镇至少需要1０0吨大米,且甲往B 镇运送的大米的吨数不．少于．．乙往A 镇运送的吨数的２倍，两库到两镇运费如下表：（其中a 为常数,02a <<且12a ≠）为了满足上述要求,同时使总运费最省，试问甲、乙粮库应运往A 镇各多少吨大米？２２（本题满分１2分)如图，已知12(0,1),(0,1)F F -为椭圆2222:1(0)y x a b a bΓ+=>>的两个焦点. 过1F 作两条倾斜角互补的直线12,l l ,12,l l 分别与椭圆Γ相交于,,,A B C D 四点，且2ABF ∆的周长为8. (Ⅰ）求椭圆Γ的方程;(Ⅱ）求阴影部分面积S 的最大值;（Ⅲ)求证：直线AD 与直线BC 的交点是定点.。
【全国市级联考Word】福建省厦门市2017-2018学年高二下学期期末质量检测数学(文)试题(无答案)
厦门市2017-2018学年度第二学期高二年级质量检测文科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.i 是虚数单位，复数52i=+（ ） A ．2i -+ B ．2i -- C ．2i + D ．2i -2.某同学做了如下推理：“对数函数log a y x =（0a >且1a ≠）在定义域内单调递增，0.5log y x =是对数函数，因此0.5log y x =在定义域内单调递增.”（ ）A ．该结论错误，因为大前提错误B ．该结论错误，因为小前提错误C ．该结论错误，因为推理形式错误D ．该结论正确 3.已知函数()xf x x e =+，则'(0)f =（ ）A ．0B ．1C ．2D ．e 4.设p ：0x >，q ：22x >，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5.椭圆C ：2221(1)x y a a+=>的左、右焦点为1F ，2F ，过1F 的直线l 交C 于A ，B 两点，且2ABF ∆的周长为8，则a 为（ ）A B ．2 C ． D ．4 6.函数2sin y x x =的部分图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ． 7.观察下列等式：1=3=6=10=，……的值为（ ）A ．37B ．45C ．55D ．668.已知函数2()()f x x x m =-在1x =-处有极小值，则实数m 的值为（ ） A ．3 B ．1 C ．-1 D ．-3 9.已知命题p ：(0,)2x π∀∈，sin x x <；命题q ：0(0,)x ∃∈+∞，2000x x -<.则下列命题正确的是（ ） A ．p q ∧ B ．p q ⌝∧ C ．p q ∧⌝ D ．p q ⌝∨⌝10.已知函数2()()xf x x a e =-在区间[1,2]上单调递增，则a 的取值范围是（ ） A ．(,3]-∞ B ．(,8]-∞ C ．[3,)+∞ D ．[8,)+∞ 11.抛物线1C ：24y x =的焦点，圆2C ：221(1)4x y -+=，过1C 焦点的直线l 与1C ，2C 有四个交点，按纵坐标从大到小依次记为A ，C ，D ，B ，则AC BD +的取值范围是（ ） A ．[1,)+∞ B ．[2,)+∞ C ．[3,)+∞ D ．[4,)+∞ 12.当(0,)x ∈+∞时，(ln )()0xax x ax e --≤，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,1]-∞ B ．1[,]e eC ．[1,]eD ．[,)e +∞二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.写出命题“x R ∀∈，210x+>”的否定： ．14.如图，在复平面内，向量OA 对应的复数12z i =+，OA 绕点O 逆时针旋转90︒后对应的复数为2z ，则1z +15.已知函数2ln ,0()2,0x x x f x x x x ->⎧=⎨+≤⎩，则函数()()2g x f x =-的零点个数为 ．16.已知双曲线E ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过点F 的直线交E 的右支于A ，B 两点，点C 与点A 关于原点对称.CF AB ⊥，CF BF =，则E 的离心率为 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数321()43f x x ax bx =+-+在1x =处的切线方程为1033y x =-+. （1）求实数a 和b 的值；（2）求函数()f x 在[0,3]上的最大值和最小值.18.为推动更多人阅读和写作，联合国教科文组织确定每年的4月23日为“世界读书日”.近年来，随着新媒体的迅猛发展，知识传播的途径增多，人们的阅读方式从传统阅读向数字阅读转变.为了解不同年龄段成年居民的主要阅读方式，某校兴趣小组在全市随机调查了100名成年居民，结果显示有75人的主要阅读方式是数字阅读，25人的主要阅读方式是传统阅读.该小组将调查结果绘制成如图所示的等高条形图.（1）根据已知条件与等高条形图，完成22⨯列联表；（2）能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为成年居民的主要阅读方式与年龄段有关系？参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++（其中n a b c d =+++）.临界值表：19.已知抛物线C ：24y x =的顶点为O ，焦点为F ，过点F 的直线l 与C 交于A ，B 两点. （1）当l 与x 轴垂直时，求AOB ∆的面积；（2）若线段AB 的垂直平分线过点(5,0)P ，求直线l 的方程.20.随着时代的发展，移动支付给人们的生活带来了极大的变化和便捷.据统计，如图是某市2013年至2017年各年移动支付普及率y （移动支付使用人数占总人口数的比重）与年份x 的折线图.例如，2013年，该市移动支付普及率为0.415.（1）记年份代码2010t x =-，由折线图可知，可用线性回归模型模拟y 与t 的关系，求y 与t 的相关系数（精确到0.001）；（2）建立y 关于年份代码t 的线性回归方程，并预测2018年该市移动支付普及率.参考公式：线性回归方程y bx a =+中，1221ni ii nii x y nx yb xnx==-=-∑∑，a y bx =-.相关系数r =.参考数据：512.5ii y==∑，5112.82i i it y ==∑，521()0.0114i i y y =-=∑0.3376≈.21.已知椭圆E：22221(0)x y a b a b +=>>的焦距为2，点M ⎛ ⎝在E 上. （1）求椭圆E 的标准方程； （2）已知圆O ：2212x y +=，直线l ：y kx m =+与圆O 相切，交E 于A ，B 两点，求AB 的取值范围.22.已知函数2()(1)ln 2a f x x a x x =---. （1）当2a =时，求()f x 的单调区间；（2）若()f x 恰有两个零点，求实数a 的取值范围.。
厦门市2016-2017学年度第一学期高二年级质量检测数学(理科)试题参考答案及评分标准(完全可编辑
厦门市2016-2017学年度第一学期高二年级质量检测数学（理科）试题参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1~5：ADCDB 6~10：CBCAC 11~12：BD 第12题解析：连结1PF ，∵122OF OF OP PF c ====，260OF P ∠=o ， ∴1290F PF ∠=o，2PF =， 又∵22PF a c =-，∴2a c -=，1c a==，∴22222111)3b ca a=-=-=， 设00(,)P x y ，00(,)M x y --，(,)N x y 为椭圆C 上的点，则2200221x y a b +=，22221x y a b+=，即2222002()b y a x a=-，22222()b y a x a =-，22222222222200222000222222200000()()()3)NP NMb b b a x a x x x y y y y y y b a a a k K x x x x x x x x x x a-----+-⋅=⋅====-=--+---∵NP k =∴2NM K =-（另解：取PN 中点Q ，22NP NM NP OQb k K k K a⋅=⋅=-，转化为中点弦问题，使用点差法即可）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．若0mn ≠，则220m n +≠ 14．127 1516．2第16题解析：2ABD ACD S S ∆∆=Q 2BD CD ∴=AD Q 是BAC ∠的角平分线，由角平分线定理，得2AB AC ∴=在Rt AHD ∆中，2AD AH =，则30ADH ∠=o设CD x =，AC y =，在Rt AHB ∆中，17．本小题考查正、余弦定理、三角形面积公式、两角和三角公式；考查计算求解能力、推理论证····························· 1分 ····························· 2分 ····························· 3分 ····························· 4分····························· 6分····························· 7分····························· 8分 ····························· 9分 ···························· 10分···························· 1分····························· 3分····························· 4分18．本小题主要考查通过递推关系求数列通项以及数列求和等基础知识；考查运算求解能力；考查化归与转化思想．本小题满分12分. 解：（Ⅰ）当1=n 时，1122S a =-又11a S = 21=∴a ···················································································· 1分 当时2≥n ，11122(22)22n n n n n n n a S S a a a a ---=-=---=-，12-=n n a a 得 ···························································································· 3分{}为公比的等比数列为首项，是以22n a ∴ ··················································· 4分则n n n a 2221=⋅=- ···················································································· 5分（Ⅱ）Q {}为公差的等差数列为首项，是以31n n a b - 233)1(1-=⋅-+=-∴n n a b n n ······································································· 6分 又n n a 2=Θ 232-+=∴n b n n ······································································ 7分则()()232222147(32)nn T n =+++++++++-L L ·········································· 9分2)231(21)21(2-++--=n n n ． ··································································· 11分12312222n n n +=+--． ··········································································· 12分19．本小题考查线面垂直的判定与性质，考查利用空间向量求二面角的大小；考查逻辑推理与空间想象能力，运算求解能力；考查数形结合、化归转化思想．本小题满分12分.（Ⅰ）证明：PAD ∆中：∵P A=PD ，且O 为AD 的中点，∴PO ⊥AD ； ····························· 1分∵ CD ⊥平面P AD ，OP ⊂平面P AD ，∴CD ⊥PO ；········································ 2分 ∵AD ⊂平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，AD CD D =I ， ························· 3分∴PO ⊥平面ABCD ． ·········································································································· 4分（Ⅱ）解： ∵ CD ⊥平面P AD ，AD ⊂平面P AD ，∴CD ⊥AD ；连接OB ，∵BC ∥OD 且BC =OD =4， ∴OB ∥AD ，∴OB ⊥AD ； ······························· 5分 以O 为坐标原点，OB ，OD ，OP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则()0,4,0A - ，()3,0,0B ，()3,4,0C ()0,4,0D ，()0,0,3P ， ····························· 6分()3,4,0AB =u u u r ，()0,4,3AP =u u u r ，()3,0,0CD =u u u r ，(DP =u u u r设平面PCD 的法向量为(,,)m x y z =u r，则 0,0,m CD m DP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r u u u rur u u u r 即30,430.x y z =⎧⎨-+=⎩ 令3y =， 4z =，∴(0,3,4)m =u r； ···························设平面ABP 的法向量为(,,)n x y z =r，则 0,0,n AB n AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u ur 即340,430.x y y z +=⎧⎨+=⎩ 令4x =，则3y =-， 4z =，∴(4,3,4)n =-r； ················································· 10分5,41,7m n m n ∴==⋅=u r r u r r设平面PAB 与平面PCD 所成的锐二面角为α，7741cos 541α∴==⨯ ···································································· 11分 ∴平面PAB 与平面PCD 所成的锐二面角的余弦值为741205. ···································· 12分20．本小题考查直线与抛物线的位置关系等基础知识；考查学生基本运算能力，推理论证能力，运算求解能力；考查学生函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想. 本小题满分12分. 解：（Ⅰ）∵点(2,2)C 在抛物线E 上，∴44p =，1p =，∴抛物线E 的方程为22y x =， ············································································· 1分∵20223CD k -==--，且AB CD ⊥， ∴1AB CD k k ⋅=-，∴12AB k =，又∵直线AB 过点(3,0)H ， ∴直线AB 方程为1(3)2y x =-，·················································································································· 2分设11(,)A x y ，22(,)Bx y ， 联立221(3)2y x y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，化简得2460y y --=；所以400∆=>，且12124,6y y y y +==-， ······· 3分 此时2(12)(1624)102AB =++=，22(23)(20)5CH =-+-=， ····························· 4分 ∴11102551022ABC S AB CH ∆=⋅⋅=⨯⨯=. ···························································· 5分（Ⅱ）设3344(,),(,)C x y D x y ，则2233(3,),(3,)HB x y HC x y =-=-u u u r u u u r，∵AB CD ⊥， ∴2323232323(3)(3)3()90(1)HB HC x x y y x x x x y y =--+=-+++=⋅⋅⋅⋅⋅⋅u u u r u u u rg ······························ 7分 ∵直线BC 过焦点(1,0)F ，且直线BC 不与x 轴平行，∴设直线BC 的方程为1x ty =+，联立241y x x ty ⎧=⎨=+⎩，得2440(2)y ty --=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，216160t ∆=+>，且23234,4y y t y y +==-， ······ 8分∴223232311()242x x ty ty t y y t +=+++=++=+，222323223()14416y y y y x x =⋅==； ················· 9分 代入(1)式得：213(42)940t -++-=，解得0t =， ··················································· 10分代入(2)式解得232,2y y =-=，此时231x x ==；∴C 点坐标为(1,2)， ·························· 11分 ∴23110CD k -==--，∴直线CD 的方程为3y x =-+． ············································· 12分21．本题考查椭圆的定义，函数的表达式及基本不等式等知识；考查学生运算求解能力、应用数学文字语言转化为图形语言及符号语言解决问题的能力；考查数形结合思想与数学应用意识． 本小题满分12分. 解：（Ⅰ）解法一：连接AP ，BP ，由已知得AP x =，10BP x =-， ··················································· 1分 ∴110ky x x=+-， ··························································································· 3分在直角三角形MAB 中，22210,AM BM AM AB BM+=⎧⎨+=⎩，解得95MA =， ································································································· 4分∴415AN MB ==，∴94155x ≤≤. ······································································ 5分 当点P 在曲线段MN 的中点即5AP x ==时，1155k+=，4k =，所求函数为14941()1055y x x x =+≤≤-. ······························································· 6分（Ⅱ）114()(10)1010y x x x x =++-- ········································································ 8分 1104(5)1010x x x x -=++- ············································································ 9分 910≥. ······································································································ 10分 当且仅当10410x x x x -=-，即103x =941[,]55∈时， ·········································· 11分 答：“总噪音度”y 的最小值为910. ··································································· 12分解法二：（Ⅰ）连接AP ，BP ，由已知得AP x =，10BP x =-， ····································· 1分∴110ky x x=+-， ··························································································· 3分以AB 为X 轴，以O 点为坐标原点， 建立如图所示的直角坐标系.由椭圆定义可得，曲线段MN 的方程：221(44)259X Y X +=-≤≤， ··············································································· 4分 由已知得29||5b MA a ==，41||5AN ===， ∴94155x ≤≤. ·································································································· 5分 当点P 在曲线段MN 的中点即5AP x ==时，1155k+=，4k =，所求函数为14941()1055y x x x =+≤≤-. ······························································· 6分 （Ⅱ）14941()1055y x x x =+≤≤-，可化为310(10)x y x x +=-， ·········································· 7分 设310t x =+，77183[,]55t ∈， ········································································ 8分 ∴29994005040010()50t y t t t t==≥-+--++， ················································ 10分 当且仅当400t t =，即7718320[,]55t =∈， 即103x =941[,]55∈时， ··············································································· 11分 答：“总噪音度”y 的最小值为910. ······································································ 12分22．本小题考查相关点法求轨迹方程、三角形面积公式、点到直线的距离公式、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合、化归与转化等数学思想．本小题满分12分．解：（Ⅰ）设点G 的坐标为(,)x y ，点P 的坐标为00(,)x y ，则002200,2,4,x x y y x y ⎧=⎪⎪=⎨⎪+=⎪⎩························ 2分消去00,x y 得2214y x +=，即为所求轨迹C 的方程． ················································· 4分 （Ⅱ）设O 到直线l 的距离为d，则AB =，1825OMN S d ∆=⨯=，解得2165d =或245d =，············································· 5分 ∵OMN ∆为钝角三角形（d <）， ∴245d =，即d = ······················································································ 6分设1122(,),(,)E x y F x y ，（1）当l x ⊥轴时，1x =，代入C方程，得1y =11x y =，∴90EOF ∠=o ； ····················································································································· 7分 （2）当l 不垂直于x 轴时，设直线:l y kx m =+，原点到直线l的距离5d ==，即22544m k =+（*） ································ 8分 联立22,14y kx m y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 可得222(4)240k x kmx m +++-=，∴1222122222,44,416(4)0km x x k m x x k k m ⎧+=-⎪+⎪-⎪=⎨+⎪⎪∆=+->⎪⎩ ················································································ 9分 ∵1212OE OF x x y y ⋅=+u u u r u u u r121222121222222222()()(1)()42(1)()445444x x kx m kx m k x x km x x m m kmk km m k k m k k =+++=++++-=++-+++--=+ ···················································································································· 10分将（*）式代入上式，得12120x x y y +=，即OE OF ⊥u u u r u u u r ，即90EOF ∠=o． ················ 11分由（1）、（2）可得，EOF ∠是定值，且90EOF ∠=o． ·········································· 12分。
2017-2018学年福建省厦门市高二(下)期末数学试卷(理科)(解析版)
2017-2018学年福建省厦门市高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知复数z满足z•（1+i）＝2，则|z|＝（）A．1B．C．2D．32．（5分）已知M（2，m）是抛物线y2＝4x上一点，则M到抛物线焦点的距离是（）A．2B．3C．4D．63．（5分）已知函数f（x）＝xlnx，则f（x）在x＝e处的切线方程为（）A．x﹣y＝0B．x﹣y﹣1＝0C．2x﹣y﹣e＝0D．（e+1）x﹣ey﹣e＝04．（5分）2018年6月14日，世界杯足球赛在俄罗斯拉开帷幕．通过随机调查某小区100名性别不同的居民是否观看世界杯比赛，得到以下列联表：经计算K2的观测值k≈8.249．附表：参照附表，所得结论正确的是（）A．有99.9%以上的把握认为“该小区居民是否观看世界杯与性别有关”B．有99.9%以上的把握认为“该小区居民是否观看世界杯与性别无关”C．在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为“该小区居民是否观看世界杯与性别有关”D．在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为“该小区居民是否观看世界杯与性别无关”5．（5分）期末考试结束后，甲、乙、丙、丁四位同学预测数学成绩甲：我不能及格．乙：丁肯定能及格．丙：我们四人都能及格．丁：要是我能及格，大家都能及格．成绩公布后，四人中恰有一人的预测是错误的，则预测错误的同学是（）A．甲B．乙C．丙D．丁6．（5分）空间四边形OABC中，，，，点M在线段AC上，且AM＝2MC，点N是OB的中点，则＝（）A．B．C．D．7．（5分）已知X～N（1，σ2），P（0＜X≤3）＝0.7，P（0＜X≤2）＝0.6，则P（X≤3）＝（）A．0.6B．0.7C．0.8D．0.98．（5分）“k＞1”是“函数f（x）＝kx﹣lnx在（1，+∞）单调递增”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件9．（5分）（x2+x﹣2）5的展开式中含x3项的系数为（）A．﹣160B．﹣120C．40D．20010．（5分）《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》是我国古代数学的重要文献．现拟把这4部著作分给甲、乙、丙3位同学阅读，每人至少1本，则甲没分到《周髀算经》的分配方法共有（）A．18种B．24种C．30种D．36种11．（5分）已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，以线段F1F2为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为P，且P满足|PF1|﹣|PF2|＝2b，则C的离心率e满足（）A．e2﹣3e+1＝0B．e4﹣3e2+1＝0C．e2﹣e﹣1＝0D．e4﹣e2﹣1＝0 12．（5分）已知函数在（2，+∞）有极大值点，则a的取值范围为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知命题p：∃x∈R，x2﹣m≤0为真命题，则实数m的取值范围为．14．（5分）甲、乙、丙、丁四名同学和一名老师站成一排合影留念，要求老师必须站在正中间，甲同学与老师相邻，则不同站法种数为．15．（5分）如图，阴影部分为曲线y＝sin x（﹣π≤x≤π）与x轴围成的图形，在圆O：x2+y2＝π2内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率为．16．（5分）已知点M在圆（x﹣6）2+（y﹣4）2＝1上，点P在椭圆上，F（﹣3，0），则|PM|﹣|PF|的最小值为．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）为了实现绿色发展，避免能源浪费，某市计划对居民用电实行阶梯收费．阶梯电价原则上以住宅（一套住宅为一户）的月用电量为基准定价，具体划分标准如表：从本市随机抽取了100户，统计了今年6月份的用电量，这100户中用电量为第一阶梯的有20户，第二阶梯的有60户，第三阶梯的有20户．（1）现从这100户中任意选取2户，求至少1户用电量为第二阶梯的概率；（2）以这100户作为样本估计全市居民的用电情况，从全市随机抽取3户，X表示用电量为第二阶梯的户数，求X的概率分布列和数学期望．18．（12分）已知函数f（x）＝ax3﹣6x+1，a∈R．（1）若a＝2，求f（x）的极值；（2）若f（x）恰有三个零点，求a的取值范围．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为直角梯形，∠ABC＝90°，P A⊥BD，，P A＝PD．（1）求证：平面P AD⊥平面ABCD；（2）若直线P A与平面ABCD所成角为45°，求直线PC与平面PBD所成角的正弦值．20．（12分）《厉害了，我的国》这部电影记录：到2017年底，我国高铁营运里程达2.5万公里，位居世界第一位，超过第二名至第十名的总和，约占世界高铁总量的三分之二．如图是我国2009年至2017年高铁营运里程（单位：万公里）的折线图．根据这9年的高铁营运里程，甲、乙两位同学分别选择了y与时间变量t的两个回归模型①：；②．（1）求a，b（精确到0.01）；（2）乙求得模型②的回归方程为（2）＝0.51e0.18t，你认为哪个模型的拟合效果更好？并说明理由．附：参考公式：，，．参考数据：21．（12分）已知椭圆C：的离心率是，以C的长轴和短轴为对角线的四边形的面积是．（1）求C的方程；（2）直线y＝2x+m与C交于A，B两点，M是C上一点，N（﹣4，1），若四边形AMBN 是平行四边形，求M的坐标．22．（12分）已知函数f（x）＝（ax﹣1）e x，a∈R．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若a＝1，求证：当x＞﹣1时，f（x）≥e x ln（x+1）﹣x﹣1．2017-2018学年福建省厦门市高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知复数z满足z•（1+i）＝2，则|z|＝（）A．1B．C．2D．3【解答】解：z＝＝1﹣i，故|z|＝，故选：B．2．（5分）已知M（2，m）是抛物线y2＝4x上一点，则M到抛物线焦点的距离是（）A．2B．3C．4D．6【解答】解：M（2，m）是抛物线y2＝4x上一点，则点M到抛物线焦点的距离2+1＝3．故选：B．3．（5分）已知函数f（x）＝xlnx，则f（x）在x＝e处的切线方程为（）A．x﹣y＝0B．x﹣y﹣1＝0C．2x﹣y﹣e＝0D．（e+1）x﹣ey﹣e＝0【解答】解：根据题意，函数f（x）＝xlnx，其导数f′（x）＝lnx+1，则切线的斜率k＝f′（e）＝lne+1＝2，且f（e）＝elne＝e，即切点的坐标为（e，e）；则切线的方程为y﹣e＝2（x﹣e），变形可得：2x﹣y﹣e＝0，故选：C．4．（5分）2018年6月14日，世界杯足球赛在俄罗斯拉开帷幕．通过随机调查某小区100名性别不同的居民是否观看世界杯比赛，得到以下列联表：经计算K2的观测值k≈8.249．附表：参照附表，所得结论正确的是（）A．有99.9%以上的把握认为“该小区居民是否观看世界杯与性别有关”B．有99.9%以上的把握认为“该小区居民是否观看世界杯与性别无关”C．在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为“该小区居民是否观看世界杯与性别有关”D．在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为“该小区居民是否观看世界杯与性别无关”【解答】解：由题意得出观测值K2≈8.249＞7.879，且8.249＜10.828，所以在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为“该小区居民是否观看世界杯与性别有关”．故选：C．5．（5分）期末考试结束后，甲、乙、丙、丁四位同学预测数学成绩甲：我不能及格．乙：丁肯定能及格．丙：我们四人都能及格．丁：要是我能及格，大家都能及格．成绩公布后，四人中恰有一人的预测是错误的，则预测错误的同学是（）A．甲B．乙C．丙D．丁【解答】解：①当甲、乙、丙、丁都及格时，甲预测是错误的，乙、丙、丁预测是正确的，与题设相符，故预测错误的同学是甲；②当预测错误的同学是乙，则丙同学预测错误，与题设矛盾，故预测错误的同学不是乙；③当预测错误的同学是丙，则乙、丁二位同学互为矛盾，即乙、丁必有一人预测错误，与题设矛盾，故预测错误的同学不是丙；④当预测错误的同学是丁，则甲、乙、丙三位同学预测错误，与题设矛盾，故预测错误的同学不是丁；故选：A．6．（5分）空间四边形OABC中，，，，点M在线段AC上，且AM＝2MC，点N是OB的中点，则＝（）A．B．C．D．【解答】解：如图所示，空间四边形OABC中，，，，则＝﹣＝﹣（+）＝﹣﹣＝﹣﹣（﹣）＝﹣+﹣＝﹣+﹣．故选：C．7．（5分）已知X～N（1，σ2），P（0＜X≤3）＝0.7，P（0＜X≤2）＝0.6，则P（X≤3）＝（）A．0.6B．0.7C．0.8D．0.9【解答】解：根据正态分布N（1，σ2）的密度函数的图象的对称性可得，∵X～N（1，σ2），∴图象关于x＝1对称∴P（﹣1＜X≤0）＝P（2＜X≤3）＝P（0＜X≤3）﹣P（0＜X≤2）＝0.1．∴P（1＜X≤3）＝P（﹣1＜X≤3）＝（0.1+0.7）＝0.4．∴则P（X≤3）＝0.9．故选：D．8．（5分）“k＞1”是“函数f（x）＝kx﹣lnx在（1，+∞）单调递增”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：f′（x）＝k﹣，∵函数f（x）＝kx﹣lnx在区间（1，+∞）单调递增，∴f′（x）≥0在区间（1，+∞）上恒成立．∴k≥，而y＝在区间（1，+∞）上单调递减，∴k≥1．故k＞1”是“函数f（x）＝kx﹣lnx在（1，+∞）单调递增充分不必要条件故选：A．9．（5分）（x2+x﹣2）5的展开式中含x3项的系数为（）A．﹣160B．﹣120C．40D．200【解答】解：（x2+x﹣2）5＝（x+2）5•（x﹣1）5＝（x5+10x4+40x3+80x2+80x+32）•（x5﹣5x4+10x3﹣10x2+5x﹣1），∴展开式中含x3项的系数为40•（﹣1）+80•5+80•（﹣10）+32•10＝﹣120，故选：B．10．（5分）《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》是我国古代数学的重要文献．现拟把这4部著作分给甲、乙、丙3位同学阅读，每人至少1本，则甲没分到《周髀算经》的分配方法共有（）A．18种B．24种C．30种D．36种【解答】解：将4本书分成（1，1，2），再分配到3个人中，故有•A33＝36种，若甲分到一本，只有《周髀算经》，则有C32A22＝6种，若甲分到两本，其中一本是《周髀算经》，则有C31A22＝6种，故甲没分到《周髀算经》的分配方法共有36﹣（6+6）＝24故选：B．11．（5分）已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，以线段F1F2为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为P，且P满足|PF1|﹣|PF2|＝2b，则C的离心率e满足（）A．e2﹣3e+1＝0B．e4﹣3e2+1＝0C．e2﹣e﹣1＝0D．e4﹣e2﹣1＝0【解答】解：可设|PF1|＝m，|PF2|＝n，可得m﹣n＝2b，①在直角三角形PF1F2中，m2+n2＝4c2，②由①②可得mn＝2c2﹣2b2，由渐近线方程y＝x和圆x2+y2＝c2，可得P（a，b），由三角形的面积公式可得：mn＝•2cb，即c2﹣b2＝cb，可得a2＝cb，即有a4＝c2（c2﹣a2）＝c4﹣c2a2，由离心率e＝可得1＝e4﹣e2，即有e4﹣e2﹣1＝0．故选：D．12．（5分）已知函数在（2，+∞）有极大值点，则a的取值范围为（）A．B．C．D．【解答】解：f′（x）＝（﹣+2a）e2x＝e2x，若f（x）在（2，+∞）有极大值点，则f′（x）在（2，+∞）有2相异零点，或有1个零点且f′（2）＞0，令g（x）＝2ax2+2x﹣1，a＝0时，显然不合题意，a≠0时，由g（x）＝0，△＝4+8a，得：x1＝，x2＝，结合题意只需或或，解得：﹣＜a＜0，故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知命题p：∃x∈R，x2﹣m≤0为真命题，则实数m的取值范围为m≥0．【解答】解：由题知∃x∈R，m≥x2∴m≥（x2）min∴m≥0故答案为：m≥0．14．（5分）甲、乙、丙、丁四名同学和一名老师站成一排合影留念，要求老师必须站在正中间，甲同学与老师相邻，则不同站法种数为12．【解答】解：根据题意，分3步进行分析：①，要求老师必须站在正中间，则老师的站法有1种，②，甲同学与老师相邻，则甲的站法有2种，③，将其他三人全排列，安排在剩下的3个位置，有A33＝6种站法，则不同站法种数有2×6＝12种；故答案为：12．15．（5分）如图，阴影部分为曲线y＝sin x（﹣π≤x≤π）与x轴围成的图形，在圆O：x2+y2＝π2内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率为．【解答】解：由图形的对称性知，阴影部分的面积为S阴影＝2sin dx＝2（﹣cos x）＝2×[﹣（cosπ﹣cos0）]＝4，圆O：x2+y2＝π2的面积为π2，则所求的概率值是P＝．故答案为：．16．（5分）已知点M在圆（x﹣6）2+（y﹣4）2＝1上，点P在椭圆上，F（﹣3，0），则|PM|﹣|PF|的最小值为﹣6．【解答】解：取椭圆的右焦点F'（3，0），由圆的对称性可得要使|PM|﹣|PF|取得最小值，M必须在PC直线上，可得|PM|＝|PC|﹣1，即求|PC|﹣|PF|的最小值，可得|PC|﹣（2a﹣|PF'|）＝|PC|+|PF'|﹣10，当C，P，F'三点共线时，|PC|+|PF'|取得最小值|CF'|＝＝5，可得|PM|﹣|PF|的最小值为5﹣10﹣1＝﹣6，故答案为：﹣6．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）为了实现绿色发展，避免能源浪费，某市计划对居民用电实行阶梯收费．阶梯电价原则上以住宅（一套住宅为一户）的月用电量为基准定价，具体划分标准如表：从本市随机抽取了100户，统计了今年6月份的用电量，这100户中用电量为第一阶梯的有20户，第二阶梯的有60户，第三阶梯的有20户．（1）现从这100户中任意选取2户，求至少1户用电量为第二阶梯的概率；（2）以这100户作为样本估计全市居民的用电情况，从全市随机抽取3户，X表示用电量为第二阶梯的户数，求X的概率分布列和数学期望．【解答】解：（1）从这100户中任意选取2户，基本事件总数n＝＝4950，至少1户用电量为第二阶梯的概率：p＝1﹣＝．（2）以这100户作为样本估计全市居民的用电情况，从全市随机抽取3户，X表示用电量为第二阶梯的户数，则X的可能取值为0，1，2，3，P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，∴X的概率分布列为：数学期望E（X）＝+3×＝．18．（12分）已知函数f（x）＝ax3﹣6x+1，a∈R．（1）若a＝2，求f（x）的极值；（2）若f（x）恰有三个零点，求a的取值范围．【解答】解：（1）a＝2，f′（x）＝6x2﹣6＝6（x+1）（x﹣1）．令f′（x）＝0，解得x＝﹣1或x＝1．可得：x＝﹣1，函数f（x）取得极大值，f（﹣1）＝5．x＝1，函数f（x）取得极小值，f（1）＝﹣3．（2）f′（x）＝3ax2﹣6．a≤0时，可得f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，不符合题意，舍去．a＞0时，f′（x）＝3a（x2﹣）＝3a．令f′（x）＝0，解得x＝．可得函数f（x）在x＝﹣取得极大值，在x＝﹣处取得极小值．∵f（x）恰有三个零点，∴f（﹣）＞0，且f（）＜0．联立解得：0＜a＜32．∴a的取值范围是（0，32）．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为直角梯形，∠ABC＝90°，P A⊥BD，，P A＝PD．（1）求证：平面P AD⊥平面ABCD；（2）若直线P A与平面ABCD所成角为45°，求直线PC与平面PBD所成角的正弦值．【解答】解：（1）证明：四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC＝90°，设＝1，则BD＝，AD＝，AB＝2，∴BD2+AD2＝AB2，∴AD⊥BD；又P A⊥BD，且P A∩AD＝A，∴BD⊥平面P AD；又BD⊂平面ABCD，∴平面ABCD⊥平面P AD，即平面P AD⊥平面ABCD；（2）过点P作PM⊥AD，垂足为M，由平面P AD⊥平面ABCD，得PM⊥平面ABCD；又P A＝PD，∴M为AD的中点；过M作MN∥DB，交AB于点N，∴NM⊥AD；分别以MA、MN、MP为x、y、z轴建立空间直角坐标系，如图所示；设BC＝CD＝AB＝1，则A（，0，0），B（﹣，，0），C（﹣，，0），D （﹣，0，0），由PM⊥平面ABCD，∴∠P AM为直线P A与平面ABCD所成的角，∴∠P AM＝45°，∴P（0，0，），∴＝（﹣，，﹣），＝（0，﹣，0），＝（﹣，0，﹣）；设平面PBD的法向量为＝（x，y，z），则，即，∴，令x＝1，则z＝﹣1，∴＝（1，0，﹣1）；∴直线PC与平面PBD所成角的正弦值为sinθ＝|cos＜，＞|＝||＝||＝．20．（12分）《厉害了，我的国》这部电影记录：到2017年底，我国高铁营运里程达2.5万公里，位居世界第一位，超过第二名至第十名的总和，约占世界高铁总量的三分之二．如图是我国2009年至2017年高铁营运里程（单位：万公里）的折线图．根据这9年的高铁营运里程，甲、乙两位同学分别选择了y与时间变量t的两个回归模型①：；②．（1）求a，b（精确到0.01）；（2）乙求得模型②的回归方程为（2）＝0.51e0.18t，你认为哪个模型的拟合效果更好？并说明理由．附：参考公式：，，．参考数据：【解答】解：（1）由题意知，＝5，＝1.39；b＝＝≈0.24，a＝﹣b＝1.39﹣0.24×5＝0.19；（2）甲模型求得相关指数为＝1﹣＝1﹣0.059＝0.941，乙模型求得相关指数为＝1﹣＝1﹣0.024＝0.976，且＜，∴乙模型的拟合效果更好．21．（12分）已知椭圆C：的离心率是，以C的长轴和短轴为对角线的四边形的面积是．（1）求C的方程；（2）直线y＝2x+m与C交于A，B两点，M是C上一点，N（﹣4，1），若四边形AMBN 是平行四边形，求M的坐标．【解答】解：（1）由题意可得：＝，＝4，a2＝b2+c2，联立解得：a＝2，b＝＝c．∴椭圆C的方程为：＝1．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0）．∵四边形AMBN是平行四边形，∴＝，∴＝+＝（x1+x2+4，y1+y2﹣1），联立，化为：9x2+8mx+2m2﹣4＝0，△＝64m2﹣36（2m2﹣4）＞0，化为：m2＜18．∴x1+x2＝﹣，y1+y2＝2（x1+x2）+2m＝，∴＝（4﹣，﹣1），代入椭圆方程可得：+2＝4，化为：（2m﹣9）2＝18．又m2＜18．解得m＝．∴M（，）．22．（12分）已知函数f（x）＝（ax﹣1）e x，a∈R．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若a＝1，求证：当x＞﹣1时，f（x）≥e x ln（x+1）﹣x﹣1．【解答】解：（1）依题意，f（x）的定义域为（﹣∞，+∞），f′（x）＝（ax+a﹣1）e x，①当a＝0时，f′（x）＝﹣e x＜0，f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减；②当a＞0时，当时，f′（x）＜0，当时，f′（x）＞0，∴f（x）在（﹣∞，）单调递减，在（，+∞）单调递增；③当a＜0时，当时，f′（x）＞0，当时，f′（x）＜0，∴f（x）在（﹣∞，）单调递增，在（，+∞）单调递减；综上，当a＝0时，f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减；当a＞0时，f（x）在（﹣∞，）单调递减，在（，+∞）单调递增；当a＜0时，f（x）在（﹣∞，）单调递增，在（，+∞）单调递减；（2）当a＝1，要证明f（x）≥e x ln（x+1）﹣x﹣1，即证明（x﹣1）e x≥e x ln（x+1）﹣x﹣1，∵e x＞0，∴只需证明（x﹣1）≥ln（x+1）﹣（x+1）e﹣x，即（x+1）e﹣x﹣ln（x+1）+x﹣1≥0，设g（x）＝（x+1）e﹣x﹣ln（x+1）+x﹣1，则g′（x）＝＝，设h（x）＝e x﹣x﹣1，则h′（x）＝e x﹣1，∴当﹣1＜x＜0时，h′（x）＜0；当x＞0时，h′（x）＞0；∴h（x）在（﹣1，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增；∴h（x）≥h（0）＝0，当﹣1＜x＜0时，g′（x）＜0；当x＞0时，g′（x）＞0；∴g（x）在（﹣1，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增；∴g（x）≥g（0）＝0，∴当x＞﹣1时，f（x）≥e x ln（x+1）﹣x﹣1．。
厦门市20162017学年第二学期高二年级理科数学质量检测答案纯word可编辑
厦门市2021-2021学年度第二学期高二年级质量检测数学〔理科〕试题参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分．1~5：ABBAD 6~10：DBCCD 11~12：CA 第12题参考解答：解法1：由题意知()f x 关于1x =对称，且1x ≥时，'()ln 10f x x =+>， ()f x ∴在[1,)+∞上单调递增，从而在(,1)-∞上单调递减； 由(1)(1)x f e f ax +≥+知：〔ⅰ〕当0a ≥时，11ax +≥，11x e ax +≥+(*)，0x =时，21>，(*)式成立；(0,3]x ∈时，xe a x≤，令()xe h x x=，2(1)'()x e x h x x -=，令'()0h x ≤，得[0,1]x ∈；'()0h x ≥，得[1,3]x ∈， ()f x ∴在[0,1]单调递减，[1,3]单调递增；()f x ∴的最小值为(1)f e =,a e ∴≤ 0a e ∴≤≤.〔ⅱ〕当0a ≤时，11ax +<，2(1)11ax ax -+=->， 由()f x 关于1x =对称，知(1)(1)f ax f ax +=-，(1)(1)(1)x f e f ax f ax ∴+≥+=-，11x e ax +≥-，x e ax ∴≥-， 及〔ⅰ〕同理，可得0a e ≤-≤，0e a ∴-≤≤. 综上，[,]a e e ∈-.解法2：令()(1)F x f x =+，那么()F x 为偶函数且在[0,)+∞单调递增，故原不等式可化为()()xF e F ax ≥对任意[0,3]x ∈恒成立，从而xe ax ≥，结合图像转化为切线问题求解即可.二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分．13．40 14．2 15．1m < 16．2y x =± 第16题参考解答： 解法一〔几何法〕：设左焦点为E及NF 的交点.ON OF =,所以FON ∆为等腰三角形；OM 为FON ∠的角平分线，所以M 为焦点(,0)F c 到渐近线0bx ay -=的距离d =从而在Rt FMO ∆中，OF c =，OM a =所以2NE a =，2NF b =2NF NE a -=222b a a -=所以2b a=，从而渐近线方程为：2y x =±解法二〔参数法〕：tan b aθ=由角平分线，可设(cos 2,sin 2)N c c θθ其中222222222222222cos sin 1tan cos 2cos sin 1tan 2sin cos 2tan 2sin 2cos sin 1tan a b a b ab a b θθθθθθθθθθθθθθ⎧---===⎪⎪+++⎨⎪====⎪+++⎩化简可得222(,)a b ab N c c -满足双曲线方程22221x y a b-=代入可得 所以2ba=，从而渐近线方程为：2y x =±解法三〔坐标法〕：设过第一象限的渐近线的倾斜角为θ，那么tan baθ=那么2222tan 2tan 21tan ONab k a b θθθ===--，所以直线ON方程为：222aby x a b =- 及双曲线联立可得222(,)a b abN c c-以下同上.三、解答题：本大题共6小题，共70分．17．本小题考察最小二乘法、相关指数2R 、拟合效果比拟等统计学知识；考察数学阅读、数据分析及处理、运算求解等数学能力；考察统计概率思想。