简谐振动_旋转矢量法
旋转矢量法在简谐振动中的应用探讨
旋转矢量法在简谐振动中的应用探讨摘要：结合旋转矢量法的理论依据探究旋转矢量法在简谐振动中的应用，探究结果发现：旋转矢量法的理论依据是两个振幅相等，频率相同的简谐振动，相位差等于π/2，沿垂直方向的合成就是圆周运动；而旋转矢量法可计算简谐振动的矢端速度与加速度、相位与初相位、运动时间间隔及合振动。
关键词：旋转矢量法；简谐振动；应用0.旋转矢量法旋转矢量法[1]，也叫匀速圆周运动法，参考圆法，用其方法来解决简谐振动中的问题，相对来说比较简单。
如图1，做一个圆周，以O为原点，向右为正方向建立坐标轴，根据题目条件确定半径位置，要观察的是半径的端点在x轴上的投影的位置，如果速度为正，半径端点一定处于x轴下方，反之在x轴上方，比如，t＝0时，质点正经过平衡位置向正方向运动，那么这个半径端点就是在原点正下方，即端点的投影刚好在原点[2]。
而以O为原点的旋转向量A的端点与在x 轴上的投影点的运动为简谐振动。
图1 旋转矢量图2 相位差为π/2互相垂直简谐振动的合成1.简谐振动矢量法的理论依据互相垂直相同频率简谐振动的合成[3]，现将分振动的运动学方程表示为，，质点既沿Ox轴又沿Oy轴运动，实际上是在Oxy平面上运动。
从上面方程消去t，得合振动的轨迹方程：=。
当相位差为时，，表明合振动的轨迹为以x和y为轴的椭圆，如图2所示这里又可分为两种情况，时，x方向的振动比y方向的振动超前，即，当某一瞬时，则x=0，y=A2，即质点在图2(a)中的P点，经过很短时间后略大于零，y将略小于A2，为正，而略大于，x将为负，故质点运动到第二象限，即质点沿椭圆逆时针运动。
反之，时，y方向的振动比x方向的振动超前，质点沿椭圆顺时针方向运动，如图2（b）。
以上两分运动中，若=且相位差为，则其合运动轨迹方程褪化为圆。
两个振幅相等，频率相同的简谐振动，相位差等于沿互相垂直方向合成的为圆周运动；反推理可得，圆周运动亦能分解为两互相垂直的同振幅同频率的简谐振动。
大学物理-11第十一讲简谐振动、振动能量、旋转矢量法
14
例：边长l的立方体木块浮于静水中，浸入水中部分 的高度为b。今用手将木块压下去，放手让其开始运 动。忽略水的阻力，证明木块作谐振动。 解：以水面为原点建立坐标OX。
任意时刻 F浮水(bx)l2g mgF浮ma
水 b l2g水 l2(bx)gm a
力使 减小.
mgsinmldd2t2
很小，sin mg
ml
d2
dt2
l m
f mg
d 2
dt 2
g
l
0
角谐振动
解为 0cos(t)
g T 2 l
l
g
12
例：如图所示装置，轻弹簧k =50N/m，滑轮 M =1kg,
半径 R =0.2m，物体 m =1.5kg。若将物体由平衡位置
X
P
xAcos(t)
◆可用该旋转矢量末端的投影点 P 的运动来表示简 谐振动。
16
旋转矢量法的应用
1.确定初位相 ●由初始位置 x0 确定旋转矢量两个可能的位置。 （特殊情况下只有一个位置） ●根据初始速度方向，由旋转矢量两个可能的位 置中确定初始位置，从而找出初相.。
A
Ox
17
例：确定下列情况的初位相 (a) 已知 t = 0 时，x = -A。 (b) 已知 t = 0时，x = 0，且向 x 轴正方向运动。 (c) 已知 t = 0，x = -A/2，且向 x 轴负方向运动。 (d) 已知 t = 0，x = -A/2，且向 x 轴正方向运动。
13
d2x dt2
k x0 m(1/2)m
d2x dt 2
简谐振动的旋转矢量法
简谐振动的旋转矢量法
简谐振动的旋转矢量法（also known as the rotational vector method）是一种描述简谐振动运动的方法。
这种方法将简谐振动的位移表示为一个旋转矢量，该旋转矢量的大小和方向都随时间变化。
在这种方法中，假设物体在振动过程中绕一个固定轴旋转。
这个固定轴被称为挠度轴，它垂直于振动平面。
振动的位移被表示为从挠度轴指向物体的矢量。
根据简谐振动的性质，位移矢量旋转的角度随时间变化，而角度的变化速率与振动频率相关。
通过将位置矢量的旋转速率与振动频率相关联，可以得到简谐振动的动态方程。
旋转矢量法可以应用于各种简谐振动问题，包括简谐振子、摆线振动等。
通过使用该方法，可以更轻松地分析和计算简谐振动的运动特性，例如位移、速度和加速度等。
此外，该方法还可以用于解决相关问题，如相位差和共振等。
总的来说，简谐振动的旋转矢量法是一种较为直观和简便的分析简谐振动运动的方法，它通过描述位移矢量的旋转来描述振动过程，并可以得到简谐振动的动态方程。
大学物理B(Ⅱ)旋转矢量
t 0.667s
x
A
00 7.5 A 2
A v
t0
例 一简谐运动的运动
曲线如图所示，求振动周
期.
t(s) t 0
A A2 0 A x
t 7.5
2π T T
t 7.5s
T 18s
例 已知谐振动的 A 、T ，求 1）如图简谐运动方
A＇
44
因为 v0 0 ，由旋转矢量图可知 ＇ π 4
x Acos(t ) 0.0707cos(6.0t π)
4
例2 一质量为 0.01kg 的物体作简谐运动，其振
幅为 0.08m，周期为 4s ，起始时刻物体在 x 0.04m
处，向 Ox轴负方向运动（如图）.试求
（1）t 1.0s 时，物体所处的位置和所受的力；
A/2 t ta
A 0 A x
t0
π ( π) 2π
3 33
tb
T
2π
T 3
的最短时间.
v
x/m
0.08 0.04 o 0.04 0.08
法一 设由起始位置运动到 x 0.04m 处所
需要的最短时间为 t
0.04 0.08cos(π t π) 23
t 0.667s
解法二
t 时刻
t
π3 π3
0.08 0.04 o 0.04
起始时刻
x/m
0.08
t π
3
π s1
x 0.08cos(π t π ) 23
m 0.01kg
v
x/m
0.08 0.04 o 0.04 0.08
x 0.08cos(π t π ) 23
t 1.0s 代入上式得 x 0.069m
旋转矢量法求初相位例题
旋转矢量法求初相位例题
旋转矢量法是一种用来求解振动的初相位的方法，下面我们将通过一个例题来解释如何使用旋转矢量法。
假设我们有一个简谐振动的方程为:
y = 3sin(2πt + π/4)
我们需要求解这个振动的初相位。
首先，我们将振动方程转化成复数形式，令：
z = 3e^(j(2πt+π/4))
其中，j为虚数单位。
接下来，我们将振动方程中的时间t代入z中得到：
z(t) = 3e^(j2πt+π/4)
我们将e^(jπ/4)看做一个复数c，即：
c = e^(jπ/4)
c的实部为cos(π/4) = 1/√2，虚部为sin(π/4) = 1/√2。
将c代入z(t)中得到：
z(t) = 3c^2 e^(j2πt)
我们可以将c^2看做一个旋转矢量，表示将复平面上的向量逆时针旋转π/4的角度。
根据旋转矢量的性质，我们可以将z(t)看做是一个振幅为3、角频率为2π的正弦波与一个旋转矢量的乘积。
因此，我们可以得到振动的初相位为π/4。
综上所述，通过旋转矢量法，我们可以求解出简谐振动的初相位，这个方法适用于任何形式的简谐振动。
旋转矢量法简谐运动的动力学能量实例
旋转矢量与简谐运动的关联
旋转矢量与简谐运动的振动方向和速度相关联，通过旋转矢量的几何特性可以推 导出简谐运动的振动方程和能量表达式。
旋转矢量法可以直观地表示简谐运动的振动形式，帮助理解振动的合成与分解， 以及振动在不同方向上的表现。
对未来研究的展望
随着科学技术的不断发展，旋转矢量法在简谐运动研究中 的应用将更加广泛和深入。未来可以进Байду номын сангаас步探索旋转矢量 法在其他领域的应用，如量子力学、光学等。
未来研究可以进一步优化旋转矢量法的计算方法和可视化 效果，提高其精度和直观性，以更好地服务于科学研究和 技术创新。
THANKS
感谢观看
旋转矢量法简介
01
旋转矢量法是一种描述简谐运动 的直观方法，通过引入一个旋转 矢量来表示振动的状态。
02
旋转矢量具有长度和方向，分别 对应振动的振幅和相位，矢量的 旋转速度则与角频率有关。
02
旋转矢量法在简谐运动中的应用
旋转矢量表示
旋转矢量表示是一种用于描述简谐运 动的几何方法，通过引入一个旋转矢 量来表示简谐运动的相位和振幅。
简谐运动的定义
简谐运动
物体在一定力的作用下，以一定的初速度做周期 性往复运动。
描述参数
振幅、角频率、初相角、周期等。
实例
单摆、弹簧振子等。
简谐运动的数学模型
微分方程
$mfrac{d^2x}{dt^2}
+
cfrac{dx}{dt} + kx = F$
旋转矢量法
通过旋转矢量表示简谐运动的相 位和振幅，简化分析过程。
简谐振动-旋转矢量法
sin2 (2 1)
y
2） 2 1 π
y A2 x A1
3）2 1 π 2
x A2
o A1
x2 A12
பைடு நூலகம்
y2 A22
1
x A1 cost
y
A2
cos(t
π) 2
A2 y
o A1 x
用 旋 转 矢 量 描 绘 振 动 合 成 图
两
相
互 垂 直 同 频 率 不 同 相
简 谐 运 动 的 合 成 图
x
x
A1 o
o
A
A2
A A1 A2
Tt
结论
A A12 A22 2A1 A2 cos(2 1 )
若两分振动同相位：
2 1 2k k 0,1, 2,
A A1 A2
若两分振动反相位:
两分振动相互加强
2 1 (2k 1) k 0,1, 2,
A A1 A2
两分振动相互减弱
再若 A1= A2 , 则 A= 0
M
A
P
x
注意：旋转矢量在第 2 象限
速度v <0
M
PA
x
注意：旋转矢量在第 2 象限
速度v <0
M
PA
x
<
注意：旋转矢量在第 3 象限
速度v 0
P x
MA
<
注意：旋转矢量在第 3 象限
速度v 0
P x
A
M
<
注意：旋转矢量在第 3 象限
速度v 0
P x
A
M
<
注意：旋转矢量在第 3 象限
速度v 0
找到谐振动的特征量，问题就解决了。
4-1-2简谐运动旋转矢量法简谐运动的动力学讲解
-A1
的相位角来判断。
1
2
, 2
0
1
3
2
,
2
0
2-1>0 ，x2比x1超前 π/2 1-2>0 ，x1比x2超前 3π/2
位 移 ：x(t) Acos(t )
速 度 ：(t) Asin(t )
加 速 度 ：a(t) 2 x(t)
x、 、a
2A
A
A
x
o
-A
- A
dt
2
a(t)
d 2 x(t) dt 2
2 Acos(t
)
2 x(t)
m
加速度与位移成正比而反向
x、 、a
2A
A
A
x
o
-A
- A
- 2A
a < 0 a<0 加速
<0 >0 减速
o
x
x
>0 >0 加速
T t
>0 <0 减速
三. 描述简谐运动的特征量 x(t)=Acos( t+)
1.振幅A(amplitude) 偏离平衡位置的最大距离 其值与运动如何开始有关
波动与光学
第1章 振 动 (Vibration)
生活中观察的：摇曳的树枝、飘荡的小船， 人类发明中的：颤动的琴弦或鼓膜， 人类自身中的：声带、耳膜、心脏， 不易感觉的：传递声音的空气分子的振动、
传递温度的固体内原子的振动、 传递信息的天线中电子的振动…… 周期性过程：指不断有规律重复的过程或状态。
2.周期T (period) 振动往复一次所需时间 频率v (frequency) 单位时间内的振动次数
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用旋转矢量法
由图可见
2 1
例题3 ：
谐振子从 A/ 2 的位置过渡到 A 的位置， 最短历时是多少?
首先考查从 A/ 2 到 A 的相位差
从旋转矢量图上可以得出
2
1
0
(
3
)
3
由匀速运动的等时性 t T
2
所以，渡越时间为
速度v <0
M
PA
x
<
注意：旋转矢量在第 3 象限
速度v 0
P x
MA
<
注意：旋转矢量在第 3 象限
速度v 0
P x
A
M
<
注意：旋转矢量在第 3 象限
速度v 0
P x
A
M
<
注意：旋转矢量在第 3 象限
速度v 0
P x
A
M
<
注意：旋转矢量在第 3 象限
速度v 0
P x
A
M
<
注意：旋转矢量在第 3 象限
x
x
A1 o
o
A
A2
A A1 A2
Tt
结论
A A12 A22 2 A1 A2 cos(2 1 )
若两分振动同相位：
2 1 2k k 0,1, 2,
A A1 A2
若两分振动反相位:
两分振动相互加强
2 1 (2k 1) k 0,1, 2,
A A1 A2
两分振动相互减弱
再若 A1= A2 , 则 A= 0
试利用旋转矢量法求出合振动的表达式。
解：
φA11==Aπ26=A3
= 0.1
φ2 =
π
2
A´= A1+ A3
φ3
=
5π
6
A
A = A1+ A2+ A3 = A2+ A´
A = 2A1 = 0.2
φ
=
π
2
A2 A´
A 3 φ3
φ2 φA11
o
x
x = 0.2cos(10t+π/2)m
二 两个相互垂直的同频率简谐运动的合成
用旋转矢量表示相位关系
同相位
反相位
2 1
A2
A1
x
A2 x
A 1
A2
A1
x
例题1 ：
普通物理学教案
确定以下几种情况的初相位
解：
x0 A x0 A x0 A/ 2 正向运动
x0 A / 2 正向运动
0 / 4 2 / 3
作参考圆
例题2 ：
普通物理学教案
两振子 x10 A / 2 ， x20 A / 2 都指向平衡位置运动。请判定它们的相位差。
tan A1 sin 1 A2 sin 2
两个同方向同频 率简谐运动合成
A1 cos1 A2 cos2 后仍为简谐运动
讨论 A A12 A22 2A1A2 cos(2 1)
1）相位差 2 1 2kπ (k 0，1， 2,)
xx
oo
A1 A2
A
A A1 A2
T
t
A A12 A22 2A1A2 cos(2 1) 2）相位差 2 1 (2k 1)π (k 0，1, )
Acos A1 cos1 A2 cos2
合振动 x x1 x2
x＝Acos cos t Asin sin t
＝Acos t
1、应用解析法
x x1 x2
A A12 A22 2A1 A2 cos(2 1 )
＝A1 cos t 1 ＋A2 cos t 2
A1 cos1 A2 cos 2 cos t A1 sin1 A2 sin 2 sin t
速度v <0
A
P
x
注意：旋转M 矢量在第 2 象限
速度v <0
A
P
x
注意：旋转矢量在第 2 象限
M
速度v <0
A
P
x
注意：旋转矢量在第 2 象限
M
速度v <0
A
P
x
注意：旋转矢量在第 2 象限
速度v <0
M
A
P
x
注意：旋转矢量在第 2 象限
速度v <0
M
PA
x
注意：旋转矢量在第 2 象限
= arc
tg
0.05×
0.05×(
2 2
+
0.06×
2 2
2 2
)+
0.06×
2 2
= arc tg(11) = 84048´
结束 返回
(2)
φ3
3π
4
=
2kπ
φ3
=
3π
4
+
2kπ
φ3 π4 =(2k+1)π φ3 = 54π+ 2kπ
例. 三个同方向、同频率的谐振动为 x 1= 0.1cos(10t+π/6)m x 2= 0.1cos(10t+π/2)m x 3= 0.1cos(10t+5π/6)m
简谐振动的运动学函数应是复数 z 的实部
即
x Re[ Aei( t ) ]
用复数表示振动，有时在处理复杂振动过程中很方 便；最终只取实部(可观察物理量只可能是实量)。
复数法在光学、电工学等专业领域中被广泛运用
四、旋转矢量法
旋转矢量法
当t 0 时
A
o
x0 x
x0 Acos
t t 时
o
A
t
速度v 0
P x
A
M
<
注意：旋转矢量在第 4 象限
速度v 0
P x
A
M
<
注意：旋转矢量在第 4 象限
速度v 0
P x
A
M
<
注意：旋转矢量在第 4 象限速度v源自0P xAM
<
注意：旋转矢量在第 4 象限
速度v 0
P
A
x
M
<
注意：旋转矢量在第 4 象限
速度v 0
P
A
x
M
<
注意：旋转矢量在第 4 象限
t T 1 T 2 6
例题4： 简谐振动的振动曲线，写出其振动表达式．
x Acos(t 0 )
A = 5 (m); T = 2 (s),
2 (rad/s)
T
x Acos(t 0 ) t = 0 时： cos0 x0 / A 1/ 2,
0
3
初速度方向指向平衡位置，
v0 A sin 0 0,
0
3
A = 5 (m);
(rad/s)
x 5cos(t 3) (m)
例题5 ：
普通物理学教案
某振子x-t 图和v-t 图如下，写出振子的 运动学方程。
解： 由x - t 图，A = 2， x0 = -A / 2，向平衡位置移动
4
3 或 2
3
x-t 图上ω或T 信息不明确， 再看v-t 图 vmax 10m/s 由速度幅 vmax A ， vmax / A 5s-1
位
差
三 两相互垂直不同频率的简谐运动的合成
x A1 cos(1t 1)
y A2 cos(2t 2 )
1 0
李萨如图
2
0, π 8
,π 4
, 3π 8
,π 2
x y
ny nx
x达到最大的次数 y达到最大的次数
测量振动频率 和相位的方法
谢谢观看！ 2020
找到谐振动的特征量，问题就解决了。
振动方程为 x 2cos(5 t 2 )
3
16-4 简谐振动的合成
一、同方向、同频率谐振动的合成
某质点同时参与两个同频率且在同一条直线上的简谐运动
x1 A1 cos t 1 令 Asin A1 sin1 A2 sin2
x2 A2 cos t 2
sin2 (2 1)
y
2） 2 1 π
y A2 x A1
3）2 1 π 2
x A2
o A1
x2 A12
y2 A22
1
x A1 cost
y
A2
cos(t
π) 2
A2 y
o A1 x
用 旋 转 矢 量 描 绘 振 动 合 成 图
两
相
互 垂 直 同 频 率 不 同 相
简 谐 运 动 的 合 成 图
x A1 cos(t 1)
y A2 cos(t 2 )
质点运动轨迹 （椭圆方程）
x2 A12
y2 A22
2xy A1 A2
cos(2
1 )
sin2 (2
A2 y
1 )
讨论 1）2 1 0 或 2π
y A2 x A1
ox
A1
x2 A12
y2 A22
2xy A1 A2
cos(2
1 )
简谐振动的描述方法有多种∶代数法、曲线表 示法、旋转矢量法、复数法等等。
一、代数法
x Acos(t )
振幅 系统固有角频率 相位 初相位 其中，振幅、角频率、初相是简谐振动的特征量
二、图示法： （振动曲线）
x Acos(t 0 )
三、复数法
z Aei( t )
由欧拉公式 ei cos i sin
φ0为何值时x2+x3的振幅为最小。
(式中 x 以 m计; t 以 s计)
解： (1)