2011届高考数学第二轮重点特破专题复习7
2011届高考数学二轮复习考点突破课件：第13讲 空间向量与立体几何
即 B1D⊥EG，B1D⊥EF，因此 B1D⊥平面 EGF. 结合(1)可知平面 EGF∥平面 ABD.
题型二
利用空间向量求线线角、线面角
【例 2】(2010· 课标全国)如图，已知四棱椎 P－ABCD 的底 面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为 H，PH 是四棱锥的高，E 为 AD 中点． (1)证明：PE⊥BC； (2)若∠APB＝∠ADB＝60° ，求直线 PA 与平面 PEH 所成角的正弦值． 解：以 H 为原点，HA，HB，HP 分别为 x，y，z 轴， 线段 HA 的长为单位长，建立空间直角坐标系如图， 则 A(1,0,0)B(0,1,0)． (1)证明：设 C(m,0,0)， P(0,0，n)(m<0，n>0)，
3．模、夹角和距离公式 (1)设 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)， 则|a|＝ a· a＝ a2＋a2＋a2， 1 2 3 a1b1＋a2b2＋a3b3 a· b cos 〈a，b〉＝ ＝ 2 . 2 |a||b| a1＋a2＋a2· b2＋b2＋b2 3 1 2 3 (2)距离公式 设 A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)， 则 dAB＝ x1－x22＋y1－y22＋z1－z22. (3)平面的法向量 如果表示向量 a 的有向线段所在直线垂直于平面 α，则称这个 向量垂直于平面 α，记作 a⊥α. 如果 a⊥α，那么向量 a 叫做平面 α 的法向量．
(2)在棱 C1D1 上存在点 F，使 B1F∥平面 A1BE. 事实上，如图(b)所示，分别取 C1D1 和 CD 的中点 F，G，连结 EG，BG，CD1，FG.因 A1D1∥B1C1∥BC，且 A1D1＝BC，所以 四边形 A1BCD1 是平行四边形，因此 D1C∥A1B.又 E，G 分别为 D1D，CD 的中点，所以 EG∥D1C，从而 EG∥A1B.这说明 A1，B， G，E 共面．所以 BG⊂平面 A1BE. 因四边形 C1CDD1 与 B1BCC1 皆为正方形，F，G 分别为 C1D1 和 CD 的中点，所以 FG∥C1C∥B1B，且 FG＝C1C＝B1B，因此四边 形 B1BGF 是平行四边形，所以 B1F∥BG.而 B1F⊄平面 A1BE，BG⊂ 平面 A1BE，故 B1F∥平面 A1BE.
2011届高考数学二轮复习考点突破课件：第11讲 直线与圆锥曲线的位置关系
此时①也成立， 此时①也成立， 故直线 l 斜率的取值范围是－
3－1 － 3－1 － ， 2 . 2
题型二 圆锥曲线中的探索性问题
福建)已知中心在坐标原点 【例 2】 (2010·福建 已知中心在坐标原点 O 的椭圆 C 经过点 】 福建 A(2,3)，且点 F(2,0)为其右焦点． ， 为其右焦点． 为其右焦点 (1)求椭圆 C 的方程； 求椭圆 的方程； (2)是否存在平行于 OA 的直线 l，使得直线 l 与椭圆 C 有 是否存在平行于 ， 公共点， 公共点，且直线 OA 与 l 的距离等于 4？若存在，求出直 ？若存在， 的方程；若不存在，说明理由． 线 l 的方程；若不存在，说明理由． x2 y2 解法一： 依题意 依题意， 解：解法一：(1)依题意，可设椭圆 C 的方程为 2＋ 2＝1 a b (a>b>0)，且可知左焦点为 F′(－2,0)． ， ′－ ．
次方程 Ax2＋Bx＋C＝0(A≠0)．判别式 ∆＝B2－4AC，应用 ∆>0， ＋ ＝ ≠ ． ＝ ， ， 所以 x1、x2 是方程 Ax2＋Bx＋C＝0 的解．由根与系数的关系 韦达 ＋ ＝ 的解．由根与系数的关系(韦达 B C 定理)求出 定理 求出 x1＋x2＝－A，x1x2＝A，所以 A、B 两点间距离为 、 两点间距离为|AB|＝ ＝ B2－4AC 的斜率)，即弦长公式． (1＋k ) A2 (其中 k 为 l 的斜率 ，即弦长公式．也可以写成 ＋ 其中
0
题型一 直线与圆锥曲线的位置关系
x2 y2 6 【例 1】 已知椭圆 C：a2＋b2＝1(a>b>0)的离心率为 3 ，短轴 】 ： 的离心率为 一个端点到右焦点的距离为 3. (1)求椭圆 C 的方程； 求椭圆 的方程； (2)设直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点，坐标原点 O 到直线 l 的 设直线 、 两点， 3 面积的最大值． 距离为 2 ，求△AOB 面积的最大值． 6 c ＝ ， 解：(1)设椭圆的半焦距为 c，依题意a 3 设椭圆的半焦距为 ， a＝ 3， ＝ ， x2 2 ∴b＝1，∴所求椭圆方程为 3 ＋y ＝1. ＝ ，
2011届高考数学二轮复习课件：填空题的解题方法与技巧
已知方程(x 例 4 已知方程 2－ 2x＋m)(x2－2x＋n)＝0的四个根组成一个 ＋ ＋ ＝ 的四个根组成一个 1 1 的等差数列， 的值等于________． 首项为 的等差数列，则|m－n|的值等于 － 的值等于 ． 2 4 思维启迪
考虑到原方程的四个根，其实是抛物线y＝x2
－2x＋m与y＝x2－2x＋n和x轴四个交点的横坐标，所以可 以利用图象进行求解． 解析 如图所示，易知抛物线y＝x2－2x
＋m与y＝x2－2x＋n有相同的对称轴x＝ 1，它们与x轴的四个交点依次为A、B、 C、D. 1 7 因为xA＝ 4，则xD＝4. 3 5 又|AB|＝|BC|＝|CD|，所以xB＝ 4，xC＝4. 1 7 3 5 1 故|m－n|＝|4×4－4×4|＝ 2.
方法二
π 1 取特殊角A＝B＝C＝ ，cos A＝cos C＝ ， 3 2
cos A＋cos C 4 ＝ . 1＋cos Acos C 5
例 3 如图所示，在△ ABC中,AO是BC边上 如图所示， 中 是 边上
→ 的中线，K为AO上一点，且OA＝2AK, 的中线， 为 上一点， → 上一点
过点K的直线分别交直线 、 于不同 过点 的直线分别交直线AB、AC于不同 的直线分别交直线 的两点M、 ， 的两点 、 N，若AB＝mAM，AC＝nAN，则 m＋n ＋ ＝________. 思维启迪
→ →
→
题型三
图象分析法(数形结合法 图象分析法 数形结合法) 数形结合法
依据特殊数量关系所对应的图形位置、特征， 依据特殊数量关系所对应的图形位置、 特征，利用图形直 观性求解的填空题，称为图象分析型填空题， 观性求解的填空题，称为图象分析型填空题，这类问题的 几何意义一般较为明显． 几何意义一般较为明显 ．由于填空题不要求写出解答过 程，因而有些问题可以借助于图形，然后参照图形的形 因而有些问题可以借助于图形， 状、位置、性质，综合图象的特征，进行直观地分析，加 位置、性质，综合图象的特征，进行直观地分析， 上简单的运算，一般就可以得出正确的答案． 上简单的运算，一般就可以得出正确的答案．事实上许多 问题都可以转化为数与形的结合， 问题都可以转化为数与形的结合，利用数形结合法解题既 浅显易懂，又能节省时间． 浅显易懂，又能节省时间．利用数形结合的思想解决问题 能很好地考查考生对基础知识的掌握程度及灵活处理问题 能很好地考查考生对基础知识的掌握程度及灵活处理问题 的能力，此类问题为近年来高考考查的热点内容． 的能力 ，此类问题为近年来高考考查的热点内容．
2011年高考数学冲刺复习资料(共分五大专题)
2011年高考数学冲刺复习资料（共分五大专题）专题一：三角与向量的交汇题型分析及解题策略【命题趋向】三角函数与平面的向量的综合主要体现为交汇型，在高考中，主要出现在解答题的第一个试题位置上，其难度中等偏下，分值一般为12分，交汇性主要体现在：三角函数恒等变换公式、性质与图象与平面的向量的数量积及平面向量的平行、垂直、夹角及模之间都有着不同程度的交汇，在高考中是一个热点.根据2011年考纲预计在高考中解答题仍会涉及三角函数的基本恒等变换公式、诱导公式的运用、三角函数的图像和性质、向量的数量积、共线(平行)与垂直的充要条件条件．主要考查题型：(1)考查纯三角函数函数知识，即一般先通过三角恒等变换公式化简三角函数式，再求三角函数的值或研究三角函数的图象及性质；(2)考查三角函数与向量的交汇，一般是先利用向量知识建立三角函数关系式，再利用三角函数知识求解；(3)考查三角函数知识与解三角形的交汇，也就是将三角变换公式与正余弦定理交织在一起. 【考试要求】1．理解任意角的正弦、余弦、正切的定义．了解余切、正割、余割的定义．掌握同角三角函数的基本关系式．掌握正弦、余弦的诱导公式．了解周期函数与最小正周期的意义．2．掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式．掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式． 3．能正确运用三角公式进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明． 4．理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+φ)的简图，理解A ，ω，φ的物理意义．5．掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形．6．掌握向量的加法和减法．掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件． 7．了解平面向量的基本定理.理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算．8．掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件．9．掌握平面两点间的距离公式以及线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用．掌握平移公式． 【考点透视】向量具有代数运算性与几何直观性的“双重身份”，即可以象数一样满足“运算性质”进行代数形式的运算，又可以利用它的几何意义进行几何形式的变换.而三角函数是以“角”为自变量的函数，函数值体现为实数，因此平面向量与三角函数在“角”之间存在着密切的联系.同时在平面向量与三角函数的交汇处设计考题，其形式多样，解法灵活，极富思维性和挑战性.主要考点如下：1．考查三角式化简、求值、证明及求角问题.2．考查三角函数的性质与图像，特别是y=Asin(ωx+ϕ)的性质和图像及其图像变换.3．考查平面向量的基本概念，向量的加减运算及几何意义，此类题一般难度不大，主要用以解决有关长度、夹角、垂直、平行问题等.4．考查向量的坐标表示，向量的线性运算，并能正确地进行运算.5．考查平面向量的数量积及运算律(包括坐标形式及非坐标形式)，两向量平行与垂直的充要条件等问题. 6．考查利用正弦定理、余弦定理解三角形问题. 【典例分析】题型一 三角函数平移与向量平移的综合 三角函数与平面向量中都涉及到平移问题，虽然平移在两个知识系统中讲法不尽相同，但它们实质是一样的，它们都统一于同一坐标系的变化前后的两个图象中.解答平移问题主要注意两个方面的确定：(1)平移的方向；(2)平移的单位.这两个方面就是体现为在平移过程中对应的向量坐标.【例1】 把函数y ＝sin2x 的图象按向量→a ＝(－π6，－3)平移后，得到函数y ＝Asin(ωx ＋ϕ)(A ＞0，ω＞0，|ϕ|＝π2)的图象，则ϕ和B 的值依次为（ ） A ．π12，－3B ．π3，3C ．π3，－3D ．－π12，3【分析】 根据向量的坐标确定平行公式为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x '＋π6y ＝y '＋3，再代入已知解析式可得.还可以由向量的坐标得图象的两个平移过程，由此确定平移后的函数解析式，经对照即可作出选择.【解析1】 由平移向量知向量平移公式⎩⎪⎨⎪⎧x '＝x －π6y '＝y －3，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x '＋π6y ＝y '＋3，代入y ＝sin2x 得y '＋3＝sin2(x '＋π6)，即到y ＝sin(2x ＋π3)－3，由此知ϕ＝π3，B ＝－3，故选C.【解析2】 由向量→a ＝(－π6，－3)，知图象平移的两个过程，即将原函数的图象整体向左平移π6个单位，再向下平移3个单位，由此可得函数的图象为y ＝sin2(x ＋π6)－3，即y ＝sin(2x ＋π3)－3，由此知ϕ＝π3，B ＝－3，故选C.【点评】 此类题型将三角函数平移与向量平移有机地结合在一起，主要考查分析问题、解决问题的综合应用能力，同时考查方程的思想及转化的思想.本题解答的关键，也是易出错的地方是确定平移的方向及平移的大小.题型二 三角函数与平面向量平行(共线)的综合此题型的解答一般是从向量平行(共线)条件入手，将向量问题转化为三角问题，然后再利用三角函数的相关知识再对三角式进行化简，或结合三角函数的图象与民性质进行求解.此类试题综合性相对较强，有利于考查学生的基础掌握情况，因此在高考中常有考查.【例2】 已知A 、B 、C 为三个锐角，且A ＋B ＋C ＝π.若向量→p ＝(2－2sinA ，cosA ＋sinA)与向量→q ＝(cosA －sinA ，1＋sinA)是共线向量. （Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）求函数y ＝2sin 2B ＋cosC －3B2的最大值. 【分析】 首先利用向量共线的充要条件建立三角函数等式，由于可求得A 角的正弦值，再根据角的范围即可解决第(Ⅰ)小题；而第(Ⅱ)小题根据第(Ⅰ)小题的结果及A 、B 、C 三个角的关系，结合三角民恒等变换公式将函数转化为关于角B 的表达式，再根据B 的范围求最值.【解】 （Ⅰ）∵→p 、→q 共线，∴(2－2sinA)(1＋sinA)＝(cosA ＋sinA)(cosA －sinA)，则sin 2A ＝34，又A 为锐角，所以sinA ＝32，则A ＝π3. （Ⅱ）y ＝2sin 2B ＋cos C －3B2＝2sin 2B ＋cos (π－π3－B)－3B2＝2sin 2B ＋cos(π3－2B)＝1－cos2B ＋12cos2B ＋32sin2B＝32sin2B －12cos2B ＋1＝sin(2B －π6)＋1. ∵B ∈(0，π2)，∴2B －π6∈(－π6，5π6)，∴2B －π6＝π2，解得B ＝π3，y max ＝2.【点评】 本题主要考查向量共线(平行)的充要条件、三角恒等变换公式及三角函数的有界性.本题解答有两个关键：（1）利用向量共线的充要条件将向量问题转化为三角函数问题；（2）根据条件确定B 角的范围.一般地，由于在三角函数中角是自变量，因此解决三角函数问题确定角的范围就显得至关重要了.题型三 三角函数与平面向量垂直的综合此题型在高考中是一个热点问题，解答时与题型二的解法差不多，也是首先利用向量垂直的充要条件将向量问题转化为三角问题，再利用三角函数的相关知识进行求解.此类题型解答主要体现函数与方程的思想、转化的思想等.【例3】 已知向量→a ＝(3sinα,cosα)，→b ＝(2sinα，5sinα－4cosα)，α∈(3π2，2π)，且→a ⊥→b ．（Ⅰ）求tanα的值； （Ⅱ）求cos(α2＋π3)的值．【分析】 第(Ⅰ)小题从向量垂直条件入手，建立关于α的三角方程，再利用同角三角函数的基本关系可求得tanα的值；第(Ⅱ)小题根据所求得的tanα的结果，利用二倍角公式求得tan α2的值，再利用两角和与差的三角公式求得最后的结果．【解】 （Ⅰ）∵→a ⊥→b ，∴→a ·→b ＝0．而→a ＝（3sinα，cosα），→b ＝(2sinα, 5sinα－4cosα)，故→a ·→b ＝6sin 2α＋5sinαcosα－4cos 2α＝0．由于cosα≠0，∴6tan 2α＋5tanα－4＝0．解之，得tanα＝－43，或tanα＝12．∵α∈（3π2，2π），tanα＜0，故tanα＝12（舍去）．∴tanα＝－43．（Ⅱ）∵α∈（3π2，2π），∴α2∈（3π4，π）．由tanα＝－43，求得tan α2＝－12，tan α2＝2（舍去）．∴sin α2＝55，cos α2＝－255，∴cos(α2＋π3)＝cos α2cos π3－sin α2sin π3＝－255×12－55×32＝－25＋1510【点评】 本题主要考查向量垂直的充要条件、同角三角函数的基本关系、二倍角公式及两角和与差的三角函数.同时本题两个小题的解答都涉及到角的范围的确定，再一次说明了在解答三角函数问题中确定角的范围的重要性.同时还可以看到第（Ⅰ）小题的解答中用到“弦化切”的思想方法，这是解决在一道试题中同时出现“切函数与弦函数”关系问题常用方法.题型四 三角函数与平面向量的模的综合此类题型主要是利用向量模的性质|→a |2＝→a 2，如果涉及到向量的坐标解答时可利用两种方法：（1）先进行向量运算，再代入向量的坐标进行求解；（2）先将向量的坐标代入向量的坐标，再利用向量的坐标运算进行求解.【例3】 已知向量→a ＝(cosα,sinα)，→b ＝(cosβ,sinβ)，|→a －→b |＝25 5.(Ⅰ)求cos(α－β)的值；(Ⅱ)若－π2＜β＜0＜α＜π2，且sinβ＝－513，求sinα的值.【分析】 利用向量的模的计算与数量积的坐标运算可解决第(Ⅰ)小题；而第(Ⅱ)小题则可变角α＝(α－β)＋β，然后就须求sin(α－β)与cos β即可.【解】 (Ⅰ)∵|→a －→b |＝255，∴→a 2－2→a ·→b ＋→b 2＝45， 将向量→a ＝(cosα,sinα)，→b ＝(cosβ,sinβ)代入上式得 12－2(cos αcos β＋sin αsin β)＋12＝45，∴cos(α－β)＝－35.(Ⅱ)∵－π2＜β＜0＜α＜π2，∴0＜α－β＜π，由cos(α－β)＝－35，得sin(α－β)＝45，又sin β＝－513，∴cos β＝1213，∴sin α＝sin ［(α－β)＋β］＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β＝3365.点评：本题主要考查向量的模、数量积的坐标运算、和角公式、同角三角函数的基本关系.本题解答中要注意两点：(1)化|→a －→b |为向量运算|→a －→b |2＝(→a －→b )2；(2)注意解α－β的范围.整个解答过程体现方程的思想及转化的思想.题型五 三角函数与平面向量数量积的综合此类题型主要表现为两种综合方式：(1)三角函数与向量的积直接联系；(2)利用三角函数与向量的夹角交汇，达到与数量积的综合.解答时也主要是利用向量首先进行转化，再利用三角函数知识求解.【例5】 设函数f(x)＝→a ·→b .其中向量→a ＝(m ，cosx)，→b ＝(1＋sinx ，1)，x ∈R ，且f(π2)＝2.（Ⅰ）求实数m 的值；（Ⅱ）求函数f(x)的最小值.分析：利用向量内积公式的坐标形式，将题设条件中所涉及的向量内积转化为三角函数中的“数量关系”，从而，建立函数f(x)关系式，第（Ⅰ）小题直接利用条件f(π2)＝2可以求得，而第(Ⅱ)小题利用三角函数函数的有界性就可以求解.解：（Ⅰ）f(x)＝→a ·→b ＝m(1＋sinx)＋cosx ， 由f(π2)＝2，得m(1＋sin π2)＋cos π2＝2，解得m ＝1.(Ⅱ)由（Ⅰ）得f(x)＝sinx ＋cosx ＋1＝2sin(x ＋π4)＋1，当sin(x ＋π4)＝－1时，f(x)的最小值为1－ 2.点评：平面向量与三角函数交汇点较多，向量的平行、垂直、夹角、数量积等知识都可以与三角函数进行交汇.不论是哪类向量知识与三角函数的交汇试题，其解法都差不多，首先都是利用向量的知识将条件转化为三角函数中的“数量关系”，再利用三角函数的相关知识进行求解．六、解斜三角形与向量的综合在三角形的正弦定理与余弦定理在教材中是利用向量知识来推导的，说明正弦定理、余弦定理与向量有着密切的联系.解斜三角形与向量的综合主要体现为以三角形的角对应的三角函数值为向量的坐标，要求根据向量的关系解答相关的问题.【例6】 已知角A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，其对边分别为a 、b 、c ，若→m ＝(－cos A 2，sin A 2)，→n ＝(cos A2，sin A 2)，a ＝23，且→m·→n ＝12．（Ⅰ）若△ABC 的面积S ＝3，求b ＋c 的值． （Ⅱ）求b ＋c 的取值范围．【分析】 第(Ⅰ)小题利用数量积公式建立关于角A 的三角函数方程，再利用二倍角公式求得A 角，然后通过三角形的面积公式及余弦定理建立关于b 、c 的方程组求取b ＋c 的值；第(Ⅱ)小题正弦定理及三角形内角和定理建立关于B 的三角函数式，进而求得b ＋c 的范围.【解】 （Ⅰ）∵→m ＝(－cos A 2，sin A 2)，→n ＝(cos A 2，sin A 2)，且→m·→n ＝12， ∴－cos 2A 2＋sin 2A 2＝12，即－cosA ＝12，又A ∈(0，π)，∴A ＝2π3.又由S △ABC ＝12bcsinA ＝3，所以bc ＝4，由余弦定理得：a 2＝b 2＋c 2－2bc·cos 2π3＝b 2＋c 2＋bc ，∴16＝(b ＋c)2，故b ＋c ＝4.（Ⅱ）由正弦定理得：b sinB ＝c sinC ＝a sinA ＝23sin 2π3＝4，又B ＋C ＝π－A ＝π3，∴b ＋c ＝4sinB ＋4sinC ＝4sinB ＋4sin(π3－B)＝4sin(B ＋π3)，∵0＜B ＜π3，则π3＜B ＋π3＜2π3，则32＜sin(B ＋π3)≤1，即b ＋c 的取值范围是(23，4].[点评] 本题解答主要考查平面向量的数量积、三角恒等变换及三角形中的正弦定理、余弦定理、面积公式、三角形内角和定理等.解答本题主要有两处要注意：第(Ⅰ)小题中求b ＋c 没有利用分别求出b 、c 的值为解，而是利用整体的思想，使问题得到简捷的解答；(2)第(Ⅱ)小题的求解中特别要注意确定角B 的范围.【专题训练】 一、选择题1．已知→a ＝(cos40︒，sin40︒)，→b ＝(cos20︒，sin20︒)，则→a ·→b ＝ （ ）A ．1B ．32C ．12D ．222．将函数y ＝2sin2x －π2的图象按向量(π2，π2)平移后得到图象对应的解析式是（ ）A ．2cos2xB ．－2cos2xC ．2sin2xD ．－2sin2x3．已知△ABC 中，＝，＝，若·＜0，则△ABC 是 （ ） A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．任意三角形 4．设→a ＝(32,sin α)，→b ＝(cos α,13)，且→a ∥→b ，则锐角α为（ ）A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．75︒5．已知→a ＝(sin θ，1＋cosθ)，→b ＝(1，1－cosθ)，其中θ∈(π，3π2)，则一定有 （ ）A ．→a ∥→bB ．→a ⊥→bC ．→a 与→b 夹角为45°D ．|→a |＝|→b |6．已知向量a →＝(6，－4)，b →＝(0，2),c →＝a →＋λb →，若C 点在函数y ＝sin π12x 的图象上,实数λ＝（ ） A ．52B ．32C ．－52D ．－327．由向量把函数y ＝sin(x ＋5π6)的图象按向量→a ＝(m ，0)(m ＞0)平移所得的图象关于y 轴对称，则m 的最小值为（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π68．设0≤θ≤2π时，已知两个向量＝(cos θ，sin θ)，＝(2＋sin θ，2－cos θ)，则向量长度的最大值是（ ）A ． 2B ． 3C ．3 2D ．2 39．若向量→a ＝(cos α,sin α)，→b ＝(cos β,sin β)，则→a 与→b 一定满足（ ）A ．→a 与→b 的夹角等于α－βB ．→a ⊥→bC ．→a ∥→bD ．(→a ＋→b )⊥(→a －→b )10．已知向量→a ＝(cos25︒,sin25︒)，→b ＝(sin20︒,cos20︒)，若t 是实数，且→u ＝→a ＋t →b ，则|→u |的最小值为 （ ） A ． 2B ．1C ．22D ．1211．O 是平面上一定点，A 、B 、C 是该平面上不共线的3个点，一动点P 满足：→OP＝→OA ＋λ(→AB ＋→AC)，λ∈(0,＋∞)，则直线AP 一定通过△ABC 的（ ） A ．外心 B ．内心C ．重心D ．垂心12．对于非零向量→a 我们可以用它与直角坐标轴的夹角α,β(0≤α≤π,0≤β≤π)来表示它的方向，称α,β为非零向量→a 的方向角，称cos α,cos β为向量→a 的方向余弦，则cos 2α＋cos 2β＝（ ） A ．1 B ．32C ．12D ．0二、填空题13．已知向量→m ＝(sin θ，2cos θ)，→n ＝(3,－12).若→m ∥→n ，则sin2θ的值为____________．14．已知在△OAB(O 为原点)中，→OA ＝(2cos α，2sin α)，→OB ＝(5cos β，5sin β)，若→OA·→OB ＝－5，则S △AOB的值为_____________.15．将函数f (x )＝tan(2x ＋π3)＋1按向量a 平移得到奇函数g(x )，要使|a |最小，则a ＝____________.16．已知向量＝(1，1)向量与向量夹角为3π4，且·＝－1.则向量＝__________．三、解答题17．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若→AB·→AC ＝→BA·→BC ＝k(k ∈R). （Ⅰ）判断△ABC 的形状； （Ⅱ）若c ＝2，求k 的值．18．已知向量→m ＝(sinA,cosA)，→n ＝(3,－1)，→m·→n ＝1，且A 为锐角.(Ⅰ)求角A 的大小；(Ⅱ)求函数f(x)＝cos2x＋4cosAsinx(x ∈R)的值域．19．在△ABC 中，A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，已知向量→m ＝(1，2sinA)，→n ＝(sinA ，1＋cosA)，满足→m∥→n ，b ＋c ＝3a.(Ⅰ)求A 的大小；(Ⅱ)求sin(B ＋π6)的值．20．已知A 、B 、C 的坐标分别为A （4，0），B （0，4），C （3cosα，3sinα）.（Ⅰ）若α∈(－π，0)，且|→AC|＝|→BC|，求角α的大小； （Ⅱ）若→AC ⊥→BC ，求2sin 2α＋sin2α1＋tanα的值．21．△ABC 的角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，→m ＝(2b －c ，a)，→n ＝(cosA ，－cosC)，且→m ⊥→n ．(Ⅰ)求角A 的大小；(Ⅱ)当y ＝2sin 2B ＋sin(2B ＋π6)取最大值时，求角B 的大小.22．已知→a ＝(cosx ＋sinx ，sinx)，→b ＝(cosx －sinx ，2cosx)，（Ⅰ）求证：向量→a 与向量→b 不可能平行；（Ⅱ）若f(x)＝→a ·→b ，且x ∈[－π4,π4]时，求函数f(x)的最大值及最小值．【专题训练】参考答案 一、选择题1．B 解析：由数量积的坐标表示知→a ·→b ＝cos40︒sin20︒＋sin40︒cos20︒＝sin60︒＝32. 2．D 【解析】y ＝2sin2x －π2→y ＝2sin2（x ＋π2）－π2＋π2，即y ＝－2sin2x.3．A 【解析】因为cos ∠BAC ＝＝＜0，∴∠BAC 为钝角.4．B 【解析】由平行的充要条件得32×13－sin αcos α＝0，sin2α＝1，2α＝90︒，α＝45︒.5．B 【解析】→a ·→b ＝sin θ＋|sin θ|，∵θ∈(π，3π2)，∴|sin θ|＝－sin θ，∴→a ·→b ＝0，∴→a ⊥→b ． 6．A 【解析】c →＝a →＋λb →＝(6，－4＋2λ)，代入y ＝sin π12x 得，－4＋2λ＝sin π2＝1，解得λ＝52. 7．B 【解析】考虑把函数y ＝sin(x ＋5π6)的图象变换为y ＝cosx 的图象，而y ＝sin(x ＋5π6)＝cos(x ＋π3)，即把y ＝cos(x ＋π3)的图象变换为y ＝cosx 的图象，只须向右平行π3个单位，所以m ＝π3，故选B.8．C 【解析】||＝(2＋sin θ－cos θ)2＋(2－cos θ－sin θ)2＝10－8cosθ≤3 2.9．D 【解析】→a ＋→b ＝(cos α＋cos β,sin α＋sin β)，→a －→b ＝(cos α＋cos β,sin α－sin β)，∴(→a ＋→b )·(→a －→b )＝cos 2α－cos 2β＋sin 2α－sin 2β＝0，∴(→a ＋→b )⊥(→a －→b )．10．C 【解析】|→u |2＝|→a |2＋t 2|→b |2＋2t →a ·→b ＝1＋t 2＋2t(sin20︒cos25︒＋cos20︒sin25︒)＝t 2＋2t ＋1＝(t ＋22)2＋12，|→u |2 min ＝12，∴|→u |min ＝22. 11．C 【解析】设BC 的中点为D ，则→AB＋→AC ＝2→AD ，又由→OP ＝→OA ＋λ(→AB ＋→AC)，→AP ＝2λ→AD ，所以→AP 与→AD 共线，即有直线AP 与直线AD 重合，即直线AP 一定通过△ABC 的重心．12．A 【解析】设→a ＝(x,y)，x 轴、y 轴、z 轴方向的单位向量分别为→i ＝(1,0)，→j ＝(0,1)，由向量知识得cos α＝→i ·→a |→i |·|→a |＝x x 2＋y 2，cos β＝→j ·→a |→j |·|→a |＝y x 2＋y 2，则cos 2α＋cos 2β＝1.二、填空题13．－8349 【解析】由→m ∥→n ，得－12sin θ＝23cos θ,∴tan θ＝－43，∴sin2θ＝2sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝2tan θtan 2θ＋1＝－8349． 14．532 【解析】→OA·→OB ＝－5⇒10cos αco βs ＋10sin αsin β＝－5⇒10cos(α－β)＝－5⇒cos(α－β)＝－12，∴sin ∠AOB ＝32，又|→OA|＝2，|→OB|＝5，∴S △AOB＝12×2×5×32＝532． 15．（π6，－1） 【解析】要经过平移得到奇函数g(x)，应将函数f(x)＝tan(2x ＋π3)＋1的图象向下平移1个单位，再向右平移－kπ2＋π6(k ∈Z)个单位．即应按照向量→a ＝(－kπ2＋π6，－1) (k ∈Z)进行平移．要使|a|最小，16．(－1，0)或(0，－1) 【解析】设＝(x ，y)，由·＝－1，有x ＋y ＝－1 ①，由与夹角为3π4，有·＝||·||cos 3π4，∴||＝1，则x 2＋y 2＝1 ②，由①②解得⎩⎨⎧ x=﹣1y=0或⎩⎨⎧ x ＝0y ＝－1∴即＝(－1，0)或＝(0，－1) ．三、解答题17．【解】（Ⅰ）∵→AB·→AC ＝bccosA ，→BA·→BC ＝cacosB ， 又→AB·→AC ＝→BA·→BC ，∴bccosA ＝cacosB ， ∴由正弦定理，得sinBcosA ＝sinAcosB ，即sinAcosB －sinBcosA ＝0，∴sin(A －B)＝0 ∵－π＜A －B ＜π，∴A －B ＝0，即A ＝B ，∴△ABC 为等腰三角形.（Ⅱ）由（Ⅰ）知b a =，∴→AB·→AC ＝bccosA ＝bc·b 2＋c 2－a 22bc ＝c 22， ∵c ＝2，∴k ＝1.18．【解】(Ⅰ)由题意得→m·→n ＝3sinA －cosA ＝1，2sin(A －π6)＝1，sin(A －π6)＝12， 由A 为锐角得A －π6＝π6，A ＝π3.(Ⅱ)由（Ⅰ）知cosA ＝12，所以f(x)＝cos2x ＋2sinx ＝1－2sin 2x ＋2sinx ＝－2(sinx －12)2＋32，因为x ∈R ，所以sinx ∈[－1,1]，因此，当sinx ＝12时，f (x )有最大值32．当sinx ＝－1时，f(x)有最小值－3，所以所求函数f(x)的值域是[－3，32]．19．【解】(Ⅰ)由→m ∥→n ，得2sin 2A －1－cosA ＝0，即2cos 2A ＋cosA －1＝0，∴cosA ＝12或cosA ＝－1.∵A 是△ABC 内角，cosA ＝－1舍去，∴A ＝π3.(Ⅱ)∵b ＋c ＝3a ，由正弦定理，sinB ＋sinC ＝3sinA ＝32，∵B ＋C ＝2π3，sinB ＋sin(2π3－B)＝32，∴32cosB ＋32sinB ＝32，即sin(B ＋π6)＝32． 20．【解】（Ⅰ）由已知得：(3cosα－4)2＋9sin 2α＝9cos 2α＋(3sinα－4) 2，则sinα＝co sα，因为α∈(－π，0)，∴α＝－3π4.（Ⅱ）由(3cosα－4)·3cosα＋3sinα·(3sinα－4)＝0，得sinα＋cosα＝34，平方，得sin2α＝－716.而2sin 2α＋sin2α1＋tanα＝2sin 2αcosα＋2sinαcos 2αsinα＋cosα＝2sinαcosα＝sin2α＝－716．21．【解】(Ⅰ)由→m ⊥→n ，得→m·→n ＝0，从而(2b －c)cosA －acosC ＝0，由正弦定理得2sinBcosA －sinCcosA －sinAcosC ＝0 ∴2sinBcosA －sin(A ＋C)＝0，2sinBcosA －sinB ＝0，∵A 、B ∈(0，π)，∴sinB≠0，cosA ＝12，故A ＝π3.(Ⅱ)y ＝2sin 2B ＋2sin(2B ＋π6)＝(1－cos2B)＋sin2Bcos π6＋cos2Bsin π6＝1＋32sin2B －12 cos2B ＝1＋sin(2B －π6).由(Ⅰ)得，0＜B ＜2π3，－π6＜2B －π6＜7π6，∴当2B －π6＝π2，即B ＝π3时，y 取最大值2.22．【解】（Ⅰ）假设→a ∥→b ，则2cosx(cosx ＋sinx)－sinx(cosx －sinx)＝0，∴2cos 2x ＋sinxcosx ＋sin 2x ＝0，2·1＋cos2x 2＋12sin2x ＋1－cos2x2＝0，即sin2x ＋cos2x ＝－3，∴2(sin2x ＋π4)＝－3，与|2(sin2x ＋π4)|≤2矛盾，故向量→a 与向量→b 不可能平行．（Ⅱ）∵f(x)＝→a ·→b ＝(cosx ＋sinx)·(cosx －sinx)＋sinx·2cosx ＝cos 2x －sin 2x ＋2sinxcosx ＝cos2x ＋sin2x ＝2(22cos2x ＋22sin2x)＝2(sin2x ＋π4)， ∵－π4≤x≤π4，∴－π4≤2x ＋π4≤3π4，∴当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时，f(x)有最大值2；当2x ＋π4＝－π4，即x ＝－π4时，f(x)有最小值－1．。
2011届高考数学总复习的对策与思考
验进 行 归 纳和 总 结 ，看 看 得 到哪 些感 悟 与 启 发 。 同时教 是 否 定一 切 ，它是 指 在科 学 理 论 的指 导 下 ，面对 新 的 问 师 还可 以进一 步 引 导学 生 探索 该 问题 更 深 刻 的发 生 、发 题 敢 于提 出新 的观 点 与新 的方法 ，它 是对 一 切 落后 的 、 展 变化 ，如适 当改变 问题 的 背景 ，将 条 件 与 结论 倒 置 ，
学计 划落 实 的情 况及 下 一 周教 学 工作 的要 点 ，做到 “ 五 课 ，精 选 习题 外 ，关 键 是要 提 高课 堂 效率 ，在 课堂 上做 统 一 ” “五 细 ” “ 加 强 ” ， 即 ： 统 一 思 想 ，统 一 认 到三 到位 。 五
识 ，统一 进 度 ，统 一方 案 ，统 一 行动 ；考 纲 、 教材 要钻 研 得 细 ，复 习计 划 要制 订得 细 ，复 习 内容 要 研 究得 细 ，
２ ｔ 年２ ０ １ 月上 第 ４ （ 期 总第 ２ ６ ） ２期
墓
一
６一
／ 教学研究 ／
仿 阶段 必 须 依赖 学 生 自己 的感 悟 、摸 索 、探 究 、反 思 和 将 起 到事 半功 倍 的作用 。一 些做 法 ：１ ）不在 乎 多讲一 套 ） 总结 。 这 样 就 要 求 教 师 在 精 选 习题 时 一 定 要 选 针 对 性 题 或 少讲 一套 题 ，应根 据实 际情 况 ，做到 快慢 有致 ；２ 强 、思维 力 度适 当、有 一 定挑 战性 和 一 定钻 研价 值 的 问 在 学 生 中 组建 一 个数 学 问题讲 解 组 ，教 师可 以指定 部 分 题 。教 师 在 导时 ，既要 按 常 规方 式 讲清 怎样 审题 、常 规 问题 由讲解 组 来讲 解 ；３ ）遇 到较好 的题 材 ，教师 要 引导 思路 、方 法 和技 巧 、 关键 步 骤及 常 见 的主 要 错误 等 ，同 学 生 多 反 思 ，努 力扩 大 解题 成 果 ，总 结 解题 经 验 ，逐渐
2011届高考数学二轮复习考点突破课件：第20讲 数形结合思想
4．在运用数形结合思想分析问题和解决问题时，需做到以下四点： ．在运用数形结合思想分析问题和解决问题时，需做到以下四点： (1)要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征； 要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征； 要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征 (2)要恰当设参，合理用参，建立关系，做好转化； 要恰当设参，合理用参，建立关系，做好转化； 要恰当设参 (3)要正确确定参数的取值范围，以防重复和遗漏； 要正确确定参数的取值范围，以防重复和遗漏； 要正确确定参数的取值范围 (4)精心联想“数”与“形”，使一些较难解决的代数问题几何化，几 精心联想“ 精心联想 使一些较难解决的代数问题几何化， 何问 题代数化，以便于问题求解． 题代数化，以便于问题求解． 很多数学概念都具有明显的几何意义，善于利用这些几何意义， 很多数学概念都具有明显的几何意义，善于利用这些几何意义，往往 能收到事半功倍的效果． 能收到事半功倍的效果．
题型一 函数与不等式问题中的数形结合
已知： 满足下面关系． 【例 1】 (1)已知：函数 f(x)满足下面关系． 】 已知 满足下面关系 ①f(x＋1)＝f(x－1)； ＋ ＝ － ； ②当 x∈[－1,1]时，f(x)＝x2. ∈－ 时 ＝ 则方程 f(x)＝lg x 解的个数是 ＝ A．5 ． B．7 ． C．9 ． D．10 ． ( )
2．数形结合思想解决的问题常有以下几种： ．数形结合思想解决的问题常有以下几种： (1)构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围； 构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围； 构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围 (2)构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围； 构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围； 构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围 (3)构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系； 构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系； 构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系 (4)构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等 构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等 式； (5)构建立体几何模型研究代数问题； 构建立体几何模型研究代数问题； 构建立体几何模型研究代数问题 (6)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题； 构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题； 构建解析几何中的斜率 (7)构建方程模型，求根的个数； 构建方程模型，求根的个数； 构建方程模型 (8)研究图形的形状、位置关系、性质等． 研究图形的形状、位置关系、性质等． 研究图形的形，－1 B.－2，－ ∪(0,1)∪2 ，3 ∪
2011届高考数学二轮复习考点突破课件：第6讲 平面向量
当 b＝λa 时，a，b 一定共线；但 a，b 共线时，若 b≠0，a＝0，则 b＝λa 就不成立，从而 C 也不是充要条件. λ2 对于 D，假设 λ1≠0，则 a＝－ b，因此 a，b 共线；反之，若 a，b λ1 n 共线，则 a＝mb，即 ma－nb＝0. 令 λ1＝m，λ2＝－n，则 λ1a＋λ2b＝0. 答案：D
拓展提升——开阔思路
提炼方法
向量的有关概念及运算要注意以下几点： (1)正确理解向量的基本概念； (2)正确理解平面向量的基本运算律，a＋b＝b＋a，a· b＝ b· a，λa· b＝λ(a· b)与 a(b· c)≠(a· b)c； (3)相等向量、相反向量、单位向量、零向量，在概念考查中 一定要重视，如有遗漏，则会出现错误．
3．两非零向量平行、垂直的充要条件 若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， 则 a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0. a⊥b⇔a· b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. 4．距离公式与定比分点坐标公式 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点间的距离为 → |AB|＝ x2－x12＋y2－y12. → 若 P1 (x1，y1)，P2(x2，y2)，P (x，y)，且P1P＝λ PP2 ，
(2)解析：A 项，a 与 b 共线，则∃λ∈R，使得 a＝λb，则有 m＝λp，n＝λq，a⊙b＝λpq－λpq＝0；B 项，b⊙a＝np－mq＝ －(a⊙b)；C 项，(λa)⊙b＝(λm，λn)⊙(p，q)＝λmq－λnp＝ λ(mq－np)＝λ(a⊙b)；D 项，(a⊙b)2＋(a· 2＝(mq－np)2＋(mp＋ b) nq)2＝m2q2＋n2p2＋m2p2＋n2q2＝(m2＋n2)(p2＋q2)＝|a|2|b|2. 答案：B
故 cos φ＝cos[θ－(θ－φ)] ＝cos θcos(θ－φ)＋sin θsin(θ－φ) ＝ 5 3 10 2 5 10 2 × ＋ × ＝ . 5 10 5 10 2
2011届高考数学总复习测评课件17
Q1=AC·l,
∴S侧=4al= 2 Q12 + Q22.
学后反思 (1)在多面体或旋转体中，要正确识别和判断某截面 图形的形状和特征. （2）用已知量来表示侧面积公式中的未知量，利用平面几何知 识（菱形的对角线互相垂直平分），采用整体代入，设而不求， 减少运算量，简化运算过程.
举一反三
2. 三棱柱 ABC − A1 B1C1 的底面是等腰三角形(AB=AC),∠BAC=2α, 上底面的顶点 A1 在下底面的射影是下底面三角形外接圆圆心O, 下底面△ABC外接圆半径为R,侧棱 AA1 和AB成2α角,求三棱柱的 侧面积.
3 1 由S侧=S上+S下,得 (20+30)×3×DD1= (202+302), 2 4 13 ∴DD1= 3 . 3 2 在直角梯形O1ODD1中,O1O= DD 2 −(OD − O D ) = 4 3,
1 1 1
∴棱台的高为 4 3 cm. 学后反思 (1)求解有关多面体表面积的问题,关键是找到其特 征几何图形,解决旋转体的表面积问题,要利用好旋转体的轴截 面及侧面展开图. （2）借助于平面几何知识,利用已知条件求得所需几何要素.
1
∴S
ABCD
= bc sin 600 =
39 2 3 3 ∴ V = a = a 正三棱锥侧 4 12
3 , a 6
3 39 SD = a 2 + a = a 6 6
2
12. 在一个平行六面体中，一个顶点上三条棱长分别为 a,b,c,这三条棱中，每两条所成的角为60°，求这个平行 六面体的体积.
解析: 如图所示，作 A1O ⊥平面ABCD， ∵ ∠A1 AB = ∠A1 AD = 600 ∴
高三数学二轮复习重点
高三数学二轮复习重点高三数学第二轮重点复习内容专题一：函数与不等式，以函数为主线，不等式和函数综合题型是考点函数的性质：着重掌握函数的单调性，奇偶性，周期性，对称性。
这些性质通常会综合起来一起考察，并且有时会考察具体函数的这些性质，有时会考察抽象函数的这些性质。
一元二次函数：一元二次函数是贯穿中学阶段的一大函数，初中阶段主要对它的一些基础性质进行了了解，高中阶段更多的是将它与导数进行衔接，根据抛物线的开口方向，与x轴的交点位置，进而讨论与定义域在x轴上的摆放顺序，这样可以判断导数的正负，最终达到求出单调区间的目的，求出极值及最值。
不等式：这一类问题常常出现在恒成立，或存在性问题中，其实质是求函数的最值。
当然关于不等式的解法，均值不等式，这些不等式的基础知识点需掌握，还有一类较难的综合性问题为不等式与数列的结合问题，掌握几种不等式的放缩技巧是非常必要的。
专题二：数列。
以等差等比数列为载体，考察等差等比数列的通项公式，求和公式，通项公式和求和公式的关系，求通项公式的几种常用方法，求前n项和的几种常用方法，这些知识点需要掌握。
专题三：三角函数，平面向量，解三角形。
三角函数是每年必考的知识点，难度较小，选择，填空，解答题中都有涉及，有时候考察三角函数的公式之间的互相转化，进而求单调区间或值域;有时候考察三角函数与解三角形，向量的综合性问题，当然正弦，余弦定理是很好的工具。
向量可以很好得实现数与形的转化，是一个很重要的知识衔接点，它还可以和数学的一大难点解析几何整合。
专题四：立体几何。
立体几何中，三视图是每年必考点，主要出现在选择，填空题中。
大题中的立体几何主要考察建立空间直角坐标系，通过向量这一手段求空间距离，线面角，二面角等。
另外，需要掌握棱锥，棱柱的性质，在棱锥中，着重掌握三棱锥，四棱锥，棱柱中，应该掌握三棱柱，长方体。
空间直线与平面的位置关系应以证明垂直为重点，当然常考察的方法为间接证明。
专题五：解析几何。
2011届高考数学二轮复习考点突破课件：第18讲 转化与化归思想
1 解得log2x<－1或log2x>3.∴0<x< 或x>8， 2
0，1∪(8，＋∞)． ∴x的取值范围是 2
题型三பைடு நூலகம்
利用换元转化、化归
【例3】 已知a∈R，求函数y＝(a－sin x)(a－cos x)的最小值． 解：函数可化为y＝sin x· x－a(sin x＋cos x)＋a2 cos 设t＝sin x＋cos x， π 则t＝ 2sinx＋4，故t∈[－ 2， 2]．
转化与化归思想使用的根本目的，是为了能更加有效地解答我们所遇到
的问题．转化与化归，不是盲目地转化给出的条件，无论是哪种转化， 都是为了使问题更好地获解，以下几条原则我们在解题中常要遵循，可
对使用这一思想方法起到提示的作用．
(1)熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知 的知识、经验来解决问题．
(2)简单化原则：将复杂问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达 到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据． (3)和谐化原则：化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部 所表示的和谐统一的形式，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方 法或符合人们的思维规律． (4)直观化原则：将比较抽象的问题化为比较直观的问题来解决． (5)正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法 从问题的反面去探求，使问题获解． 此外，我们在转化的每一步变形中，会出现三种可能：①与上一步等价；② 是上一步的充分条件；③是上一步的必要条件．这就要因问题而异，如解不
(1)直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问
题．
(2)换元法：运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂 的 函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题． (3)数形结合法：研究原问题中数量关系(解析式)与空间形式(图形)关系，通
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解析
由题设知
1 (1 10 %) , 3
3
即0.9 x 1 , x log 1 10.4. ∴至少需11块，选D. 0.9
3
4.某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一 单位产品，成本增加10万元.又知总收入K是单位产品数Q
的函数，
1 2 则总利润L(Q)的最大值是 K (Q) 40Q Q , 20
1 (t 20) 2(t 20) t 2 70t 550 . 2
2 3 t∈［0，10］， 2t , 综上可知 s t∈（10，20］， 30t 150, t 2 70t 550, t∈（20，35］，
函数模型可以求出函数的最值，解决实际中的最优化问题，
值得注意的是：一定要注意自变量的取值范围,根据图象的对
称轴与定义域在数轴上表示的区间之间的位置关系讨论求解.
题型二
分段函数模型
据气象中心观察和预测：发生于M地 的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度 v（km/h）与时间t（h）的函数图象如图所示， 过线段OC上一点T（t，0）作横轴的垂线L，
s
（1）由图象可知：当t=4时，v=3×4=12,
1 4 12 24. 2
2 2
1 3 （2）当0≤t≤10时， s t 3t t 2 ,
1 当10＜t≤20时， s 10 30 30(t 10) 30t 150；
2 1 当20＜t≤35时， s 10 30 10 30 (t 20 ) 30 2
2.我国为了加强对烟酒生产的宏观调控，除了应征税外还要
征收附加税，已知某种酒每瓶售价为70元，不收附加税
时，每年大约销售100万瓶，若每销售100元国家要征附加
税为x元（税率x%），则每年销售量减少10x万瓶，为了要
使每年在此项经营中收取的附加税额不少于112万元，则x 的最小值为 A.2 解析 B.6 C.8
a b 2 ( a b) 2 2(b ) ab b2 , 4 8 综上可知，当a≤3b时，x a b) 2 , 8
当a>3b时，当x=b时，四边形面积Smax=ab-b2. 探究拓展 二次函数是我们比较熟悉的基本函数，建立二次
3.函数建模的基本程序 答 读题 建模 求解 馈. （1）读题：深刻理解题意，正确审 题，正确审题，弄清已知什么，求取 什么，需要什么.
（2）建模“通过设元，将实际问题 转化为数学关系式或建立数学模型.
（3）求解：通过数学运算将数学模 型中的未知量求出.
（4）反馈：根据题意检验所求结果 是否符合实际情况并正确作答.
梯形OABC在直线L左侧部分的面积即为t（h）内沙尘暴所
经过的路程s（km）. （1）当t=4时，求s
（2）将s随t
（3）若N城位于M地正南方向，且距M地650 km，试判断这 场沙尘暴是否会侵袭到N城，如果会，在沙尘暴发生后多 长时间它将侵袭到N城？如果不会，请说明理由.
【思维启迪】 本题用一次函数、二次函数模型来考查生活中 的行程问题,要分析出每段的速度随时间的关系式,再求距离. 解
2
由图形知函数的定义域为{x|0<x≤b}. 又0<b<a, b, 即a≤3b时， ab 若 0 b , 4 2 2 ab ( a b ) 则当 x 时，S有最大值 ; 4 8 ab 若 b, 即a＞3b时， S（x）在（0,b］上是增函数，
ab
4
此时当x=b时，S有最大值为
2 500 万元. 解析 总利润L（Q）=K（Q）-10Q-2 000
1 2 1 Q 10Q 2 000 (Q 300 ) 2 2 500 . 20 20
40Q
故当Q=300时，总利润L（Q）的最大值为2 500万元.
题型一
二次函数模型
如图所示，在矩形ABCD中，已知 AB=a，BC=b（b<a）,在AB，AD，CD， CB 上分别截取AE，AH，CG,CF都等于x， 当x为何值时，四边形EFGH的面积最大？ 并求出最大面积. 【思维启迪】依据图形建立四边形EFGH的面积S关于自变 量x的目标函数，然后利用解决二次函数的最值问题求出S 的最大值.
100
（A D.10
依题意(100 10 x) 70 x 112 ,
解得2≤x≤8,则x的最小值为2.
3.已知光线每通过一块玻璃板，光线的强度要损失10%，要使
通过玻璃板的光线的强度减弱到原来强度的 1 以下，则至
3
少需要重叠玻璃板数为 A.8块 B.9块 C.10块
x
（D D.11
§ 2.9
函数模型及其应用
要点梳理
1. （1）一次函数型y=kx+b（k≠0 （2）反比例函数 k （x≠0 y x 2+bx+c（a≠0 （3）二次函数型y=ax （4）指数函数型y=N（1+p）x（增长率问题）（x>0 a （5） y x x （6）分段函数型 . 2.函数模型的应用实例的基本题型: (1)给定函数模型解决实际问题; (2)建立确定性的函数模型解决问题; (3)建立拟合函数模型解决实际问题.
基础自测 1.一等腰三角形的周长是20，底边y是关于腰长x的函数，它
的解析式为
A.y=20-2x(x≤10)
（D
B.y=20-2x(x<10)
C.y=20-2x(5≤x≤10) D.y=20-2x(5<x<10) 解析 ∵20=y+2x，∴y=20-2x,
又y=20-2x>0且2x>y=20-2x, ∴5<x<10.
解
设四边形EFGH的面积为S，
S AEH S CFG
1 2 x , 2
1 S BEF S DGH (a x)( b x), 2 1 2 1 S ab 2 x (a x)(b x) 2 2
a b 2 ( a b) 2 2 x (a b) x 2( x ) , 4 8