图像变换2离散余弦变换
-02离散余弦变换
数字电视信号的压缩
压缩编码的几种常用方法----变换编码： 压缩编码的几种常用方法----变换编码： ----变换编码 （3）空间频率系数按 一定规律分布。 低频空间频率系数 很大，能量主要集中在 直流和低频空间频率的 系数上，高频空间频率 系数很小。
数字电视信号的压缩
压缩编码的几种常用方法----变换编码： 压缩编码的几种常用方法----变换编码： ----变换编码 4.离散余弦变换编码的例子 ：
1 , u, v = 0 C (u ), C (v ) = 2 1, u , v = 1,2,...., N − 1
数字电视信号的压缩
压缩编码的几种常用方法----变换编码： 压缩编码的几种常用方法----变换编码： ----变换编码 2.二维离散余弦变换 可以看出，DCT和 IDCT的变换是可分离的， 即二维变换可以分解成串联的两次一维变换。
Tm TH
m=3,n=0 m=4,n=0
m=7,n=0
图像的空间频率与行频的关系:
TH Tm = m
f m = mf H
数字电视信号的压缩
压缩编码的几种常用方法----变换编码： 压缩编码的几种常用方法----变换编码： ----变换编码 空间频率和场频
Tn Tv
m=0,n=3
m=0,n=4
图像的空间频率与场频的关系:
数字电视信号的压缩
压缩编码的几种常用方法----变换编码： 压缩编码的几种常用方法----变换编码： ----变换编码
量化表(Quantization Tables)
每个F[u,v]分别除以一个常数Q(u,v)。 Q(u,v)组成的矩阵称为量化表。 每个F[u,v]分别除以一个常数Q(u,v)。由Q(u,v)组成的矩阵称为量化表 F[u,v]分别除以一个常数Q(u,v) 组成的矩阵称为量化表 16 12 14 14 18 24 49 72 11 12 13 17 22 35 64 92 10 14 16 22 37 55 78 95 16 19 24 29 56 64 24 26 40 51 40 58 57 87 51 60 69 80 103 61 55 56 62 77
Python实现图像快速傅里叶变换和离散余弦变换
Python实现图像快速傅里叶变换和离散余弦变换图像的正交变换在数字图像的处理与分析中起着很重要的作用，被广泛应用于图像增强、去噪、压缩编码等众多领域。
本文手工实现了二维离散傅里叶变换和二维离散余弦变换算法，并在多个图像样本上进行测试，以探究二者的变换效果。
1. 傅里叶变换实验原理对一幅图像进行离散傅里叶变换（DFT），可以得到图像信号的傅里叶频谱。
二维 DFT 的变换及逆变换公式如下：DFT 尽管解决了频域离散化的问题，但运算量太大。
从公式中可以看到，有两个嵌套的求和符号，显然直接计算的复杂度为\(O(n^2)\) 。
为了加快傅里叶变换的运算速度，后人提出快速傅里叶变换（FFT），即蝶形算法，将计算DFT 的复杂度降低到了\(O(n\log n)\) 。
FFT 利用傅里叶变换的数学性质，采用分治的思想，将一个 \(N\) 点的 FFT，变成两个 \(N/2\) 点的 FFT。
以一维 FFT 为例，可以表示如下：其中， \(G(k)\) 是 \(x(k)\) 的偶数点的 \(N/2\) 点的 FFT， \(H(k)\) 是 \(x(k)\) 的奇数点的 \(N/2\) 点的 FFT。
这样，通过将原问题不断分解为两个一半规模的子问题，然后计算相应的蝶形运算单元，最终得以完成整个 FFT。
算法步骤本次实验中，一维 FFT 采用递归实现，且仅支持长度为 2 的整数幂的情况。
算法步骤如下：1.检查图像的尺寸，如果不是 2 的整数幂则直接退出。
2.对图像的灰度值进行归一化。
3.对图像的每一行执行一维 FFT，并保存为中间结果。
4.对上一步结果中的每一列执行一维 FFT，返回变换结果。
5.将零频分量移到频谱中心，并求绝对值进行可视化。
6.对中心化后的结果进行对数变换，以改善视觉效果。
主要代码一维 FFTdef fft(x): n = len(x) if n == 2: return [x[0] + x[1], x[0] - x[1]] G = fft(x[::2]) H = fft(x[1::2]) W = np.exp(-2j * np.pi * np.arange(n//2) / n) WH = W * H X = np.concatenate([G + WH, G - WH]) return X 二维 FFTdef fft2(img): h, w = img.shape if ((h-1) & h) or ((w-1) & w): print('Image size not a power of 2') return img img = normalize(img) res = np.zeros([h, w], 'complex128') for i in range(h): res[i, :] = fft(img[i, :]) for j in range(w): res[:, j] = fft(res[:, j]) return res零频分量中心化def fftshift(img): # swap the first and third quadrants, and the second and fourth quadrants h, w = img.shape h_mid, w_mid = h//2, w//2 res = np.zeros([h, w], 'complex128') res[:h_mid, :w_mid] = img[h_mid:, w_mid:] res[:h_mid, w_mid:] = img[h_mid:, :w_mid] res[h_mid:, :w_mid] = img[:h_mid, w_mid:] res[h_mid:, w_mid:] = img[:h_mid, :w_mid] return res运行结果2. 余弦变换实验原理当一个函数为偶函数时，其傅立叶变换的虚部为零，因而不需要计算，只计算余弦项变换，这就是余弦变换。
离散余弦变换
可逆性
DCT是可逆的，意味着经过变换和压缩后的图像可以通过 反变换和反压缩完全恢复到原始状态，不会产生任何失真 或损失。
广泛的应用
由于DCT的高效性和可逆性，它在图像处理、视频压缩、 信号处理等领域得到了广泛的应用，为各种实际应用提供 领域， 因为它能够有效地去除信号中的冗余信息，减小数据量，提 高存储和传输效率。
离散余弦变换的历史与发展
离散余弦变换的起源可以追溯到1974年，由Ahmed和 Rao提出。起初，它被用于信号处理领域，后来逐渐扩展 到图像和视频处理领域。
随着数字信号处理技术的发展，DCT在图像和视频压缩标 准中得到了广泛应用。JPEG和MPEG等国际标准中采用了 DCT技术，使得图像和视频数据的压缩成为可能。
图像增强
离散余弦变换可以用于图像增强， 通过对图像的频率域进行分析和 操作，改善图像的清晰度和对比 度。
图像去噪
离散余弦变换在图像去噪方面具 有较好的效果，通过去除噪声干 扰，提高图像质量。
在信号处理领域的应用前景
音频处理
离散余弦变换可以用于音频信号的处理，如音频 压缩、音频去噪等。
雷达信号处理
雷达信号处理中，离散余弦变换可以用于信号的 频域分析、目标检测和跟踪等。
理想的压缩效果。
对动态范围 有限制
虽然DCT算法相对简单，但对于大规模的高分辨率图 像，其计算复杂度和时间成本仍然较高，需要更高效 的算法和硬件支持。
06 离散余弦变换的前景与展 望
在图像处理领域的应用前景
图像压缩
离散余弦变换在图像压缩领域具 有广泛应用，通过减少图像数据 的冗余信息，实现高效的图像存 储和传输。
实验二图像变换(FT DCT)
图像变换图像变换是图像预处理中常用技术手段，在图像增强、复原、编码里有着非常广泛的应用。
实验目的：1、学习傅立叶变换2、学习离散余弦变换实验时间：2－4个小时实验结果：写成电子文档，保存在服务器上实验内容：1．傅立叶变换熟悉其概念和原理,实现对一幅灰度图像的快速傅立叶变换,并求其变换后的系数分布.2．离散余弦变换熟悉其概念和原理,实现对一幅灰度和彩色图像作的离散余弦变换,选择适当的DCT系数阈值对其进行DCT反变换.1、傅立叶变换步骤如下：clcI=imread('ibm.bmp');subplot(2,3,1)imshow(I);title('原图');subplot(2,3,2)imhist(I);colorbar;title('原图直方图');J=fft2(I);subplot(2,3,3)imshow(J);title('fft变换图');%figure;K=fftshift(J);subplot(2,3,4)imshow(K);title('原点移至频谱中心');%figure;subplot(2,3,5)imshow(log(abs(K)),[]),colormap(jet(64)),colorbar;title('彩色频谱');结果如下：2．离散余弦变换熟悉其概念和原理,实现对一幅灰度和彩色图像作的离散余弦变换,选择适当的DCT 系数阈值对其进行DCT反变换.步骤如下：clcload imdemos;i=imread('tank.jpg');subplot(2,2,1);imshow(i);title('原始图象');j=rgb2gray(i);subplot(2,2,2);imshow(j);title('黑白化后的图像');% 图象的DCT变换b=dct2(j);subplot(2,2,3)imshow(log(abs(b)),[]),colormap(jet(64)),colorbar;title('DCT变换结果');%figure;b(abs(b)<10)=0;% idctc=idct2(b)/255;subplot(2,2,4)imshow(c);title('IDCT变换结果');结果如下：。
二维离散余弦变换解法
二维离散余弦变换（2D-DCT）是一种在图像处理中常用的技术，尤其在图像压缩领域，如JPEG压缩算法中。
其基本思想是将二维信号（如图像）分解为不同频率的余弦函数的叠加。
二维离散余弦变换的数学表达式通常如下：X(u,v) = C(u)C(v) ∑∑ x(m,n)cos((2m+1)uπ/(2M))cos((2n+1)vπ/(2N))其中，X(u,v)表示变换后的系数，x(m,n)表示原始信号的像素值，C(u)和C(v)是归一化因子，M和N分别表示原始信号的宽度和高度，u和v表示频域的坐标。
但是，上述公式并没有提供具体的解法步骤，因为它本身就是定义了二维离散余弦变换的计算方式。
在实际应用中，我们通常会使用特定的算法或库函数（如Python中的numpy.fft.dct2）来计算二维离散余弦变换。
对于具体的计算步骤，以下是一种可能的简化描述：1.获取输入图像（或二维信号）的所有像素值，即x(m,n)。
2.初始化输出矩阵X(u,v)为零矩阵，其大小与输入图像相同。
3.对输入图像的每一个像素位置(m,n)，计算其对应的余弦项cos((2m+1)uπ/(2M))cos((2n+1)vπ/(2N))。
4.将步骤3中计算得到的余弦项乘以该像素位置的像素值x(m,n)。
5.对步骤4中得到的乘积进行累加，累加到输出矩阵X(u,v)的对应位置。
6.对输出矩阵X(u,v)的每一个元素，乘以对应的归一化因子C(u)C(v)。
以上步骤描述了如何计算二维离散余弦变换的一种可能方法，但请注意这并非唯一的实现方式。
具体的实现可能会根据具体的应用场景和优化需求进行调整。
另外，对于二维离散余弦变换的逆变换（即从频域系数恢复原始图像），其计算过程与上述过程类似，但方向相反。
具体来说，就是将频域系数乘以对应的归一化因子，然后进行反余弦变换，最后得到恢复后的图像。
离散余弦变换是图像处理中常用的正交变换
离散余弦变换是图像处理中常用的正交变换
，
如今，离散余弦变换在生活娱乐中也越来越受到重视。
离散余弦变换（DCT）
是一种从图像或音频信号中提取特征的强大手段，也是图像处理中经常使用的正交变换。
用来压缩静帧、图像及其它信号，使其二进制变小，不仅可以显著地提高数据传输速率，而且可以有效地提高图像质量。
离散余弦变换可以将多维输入数据转换为更理想的高维特征表示，从而获得更
有效的结果。
它把由八个及以上的样点组成的抽样二维信号拆分为基本元素，其特征表示更加紧凑。
换句话说，离散余弦变换可以以有效的方式提取图像的主要特征，从而有效地提高图像压缩和传输的质量。
另外，离散余弦变换还是探究图像匹配，特征提取，图像分类和图像融合等图
像处理方面重要的工具。
它可以将一幅图像分解成基本特征因子，使得图像内部的内容变得清晰可见，并且可以有效地用来检测图像的细节信息。
因此，离散余弦变换技术能够帮助人们解决视觉工程中的很多棘手问题，同时也拓宽了人们探索生活娱乐方面的视野。
离散余弦变换不仅对图像处理有着重要的意义，还可以用于媒体处理，消费类
电子类等方面。
许多消费电子设备都利用离散余弦变换来实现图像压缩、视频抽帧等，使多媒体设备更加具有可持续性及具有更优质的性能。
总之，离散余弦变换技术在图像处理、媒体处理、消费电子等领域的重要性越
来越受到人们的重视。
它能够抓住图像的主要特征以及其内部信息，这正是当今技术发展最需要突破的关键。
它可以使生活更加便利，进一步提高娱乐质量，这正是离散余弦变换无可比拟的价值所在。
数字图像处理数字图像处理第二章(第五讲)离散余弦变换、KL变换
国家级精品资源共享课
第二章 常用的数学变换
2.4 离散余弦变换（DCT）
国家级精品资源共享课
第二章 常用的数学变换
2.4 离散余弦变换（DCT）
通常根据可分离性，二维DCT可用两次一维DCT来完成，其算法流程 与DFT类似，即：
f(x ,y ) F行[f(x ,y )] F(x ,v )
转置
X 0.57
0.82
0
0
0
0
0
0
2.28 4.1 5.23 5.7 3.89 2.75 1.58 2.84 3.64 3.96 2.7 1.91
第二章 常用的数学变换
2.5 K-L变换
2020/8/21
第二章 常用的数学变换
2.5 K-L变换
2020/8/21
2020/8/21
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2.5 K-L变换
2020/8/21
第二章 常用的数学变换
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第二章 常用的数学变换
2.5 K-L变换
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第二章 常用的数学变换
2.5 K-L变换
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第二章 常用的数学变换
2.5 K-L变换
N
2N
c
os
Байду номын сангаас
(
N 1)
2N
1
2
cos 3
2N
cos 3(N 1)
2N
1
2
cos (2N 1)
2N
cos
(2N
1)(N 2N
1)
N=4时
0.5 0.653 0.5 0.271
二维离散余弦变换matlab
一、前言在数字图像处理领域，二维离散余弦变换（2D DCT）是一种常用的技术，它可以将图像转换到频域，进而进行压缩、特征提取等操作。
而在Matlab中，二维离散余弦变换也是比较容易实现的，下面将介绍如何在Matlab中进行2D DCT的实现。
二、二维离散余弦变换（2D DCT）的原理二维离散余弦变换是一种基于余弦函数的变换方法，它可以将一个N×N的二维矩阵转换成另一个N×N的二维矩阵。
在图像处理中，通常将图像看作一个灰度矩阵，然后对这个灰度矩阵进行二维离散余弦变换，得到图像的频域表示。
三、Matlab中的二维离散余弦变换函数在Matlab中，可以使用dct2函数来实现二维离散余弦变换。
其调用形式为：```Y = dct2(X)```其中，X为输入的N×N的二维矩阵，Y为变换后的N×N的二维矩阵。
需要注意的是，dct2函数默认对输入矩阵X进行两次一维离散余弦变换，即先对X的每一行进行一维离散余弦变换，然后再对得到的矩阵的每一列进行一维离散余弦变换，得到最终的结果Y。
四、二维离散余弦变换的实现步骤在Matlab中，可以通过以下步骤来实现二维离散余弦变换：1. 读取图像需要使用imread函数读取待处理的图像，将其转换为灰度图像。
假设读取的图像矩阵为X。
2. 进行二维离散余弦变换接下来，可以直接调用dct2函数对图像矩阵X进行二维离散余弦变换，得到变换后的矩阵Y。
3. 可视化变换后的图像可以使用imshow函数来显示变换后的图像矩阵Y，观察二维离散余弦变换的效果。
五、实例演示下面通过一个具体的实例来演示在Matlab中如何实现二维离散余弦变换。
读取一张灰度图像“lena.jpg”：```I = imread('lena.jpg');I = rgb2gray(I);```对图像矩阵I进行二维离散余弦变换：```J = dct2(I);```可视化变换后的图像：```imshow(log(1 + abs(J)), []);```运行上述代码，就可以得到图像经过二维离散余弦变换后的效果。
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2 cos (2x 1)u
N
2N
(3—88)
显然，这与一维DCT的基向量是一致的。因为 切比雪夫多项式是正交的，所以DCT也是正交 的。另外，离散余弦变换的正交性也可以通过 实例看出。如前所示，当N＝４时，
18
0.500 [ A] 0.653
0.500 0.271
0.500 [ A] 0.500
5
二维离散余弦反变换由下式表示
1
2 N 1
(2 y 1)v
f (x, y) F(0,0)
F(0, v) cos
N
N v1
2N
2 N1 F (u,0) cos (2x 1)u
N u1
2N
2 N1 N1 F (u, v) cos (2x 1)u cos (2 y 1)v
N u1 v1
2N
2N
(3—78)
6
7
8
9
• 余弦变换与傅里叶变换有什么关系？
10
式中的符号意义同正变换式一样。式(3—77)和式 (3—78)是离散余弦变换的解析式定义。更为简洁 的定义方法是采用矩阵式定义。如果令N＝4，那 么由一维解析式定义可得如下展开式
F(0) 0.500 f (0) 0.500 f (1) 0.500 f (2) 0.500 f (3) F (1) 0.653 f (0) 0.271f (1) 0.271f (2) 0.653 f (3) F (2) 0.500 f (0) 0.500 f (1) 0.500 f (2) 0.500 f (3) F (3) 0.271f (0) 0.653 f (1) 0.653 f (2) 0.271f (3)
N x0
2N
(3—75)
2
式中 F(u) 是第 u 个余弦变换系数，u 是广义频率
变量， u 1,2,3, , N 1 ；f (x) 是时域N点序列，
x 0,1, , N 1
一维离散余弦反变换由下式表示
f (x)
1 F(0)
2 N 1
(2x 1)u
F (u) c os
N
N u1
2N
(3—76)
N x0 y0
2N
F (u, v) 2 N1 N1 N x0 y0
f
(x,
y) cos(2x 1)u
2N
cos(2y 1)v
2N
(3—77)
4
式(3—77)是正变换公式。其中 f (x, y)是空间域二 维向量之元素。 x, y 0,1,2,....N 1, ， F(u,v) 是变换系 数阵列之元素。式中表示的阵列为N ×N
(3—79)
11
写成矩阵式
F (0) 0.500
F
(1)
0.653
F (2) 0.500
F
(3)
0.271
0.500 0.271 0.500 0.653
0.500 0.271 0.500 0.653
0.500 f (0)
0.653
f
(1)
0.500 f (2)
0.271
[F (u, v)] [ A][ f (x, y)][ A] [ f (x, y)] [ A] [F (u, v)][ A] (3—85)
式中 [ f (x, y)] 是空间数据阵列，[F(u, v)]是变换系
数阵列，[A] 是变换矩阵，[A] 是 [A] 的转置。
14
3.2.2 离散余弦变换的正交性
f (1) 0.500F(0) 0.271F(1) 0.500F(2) 0.653F(3)
f
(2)
0.500F
(0)
0.271F
(1)
0.500F
(2)
0.653F
(3)
f (3) 0.500F(0) 0.653F(1) 0.500F(2) 0.271F(3)
写成矩阵式
f (0) 0.500 0.653 0.500 0.271 F(0)
f
(1)
0.500
0.271
0.500
0.653
F
(1)
f (2) 0.500 0.271 0.500 0.653 F(2)
f
(3)
0.500 0.653
0.500
0.271 F(3)
(3—82)
13
即 [ f (x)] [ A]' [F(u)] (3—84)
当然，二维离散余弦变换也可以写成矩阵式
显然，式(3—74)式(3—75)和式(3—76)构成了一维
离散余弦变换对。
3
二维离散余弦变换的定义由下式表示
1 N1 N1
F(0,0)
f (x, y)
N x0 y0
F(0,v) 2 N1 N1 f (x, y) cos (2y 1)v
N x0 y0
2N
F(u,0) 2 N1 N1 f (x, y) cos (2x 1)u
由一维DCT的定义可知
F (0)
1
N 1
f (x)
N x0
F(u)
2
N 1
f
(
x)
cos
(2
x
1)u
N x0
2N
它的基向量是
1, N
2 N
cos (2x 1)u
2N
(3—86)
15
在高等数学中，切比雪夫多项式的定义为
T0 ( p)
1 N
Tu (z x )
2 N
cosu arccos(z x )
0.500 0.500
0.500 0.271 0.500 0.653 0.635 0.271 0.271 0.653
f
(3)
(3—80)
若定义 [A] 为变换矩阵，[F(u)]为变换系数矩阵，[ f (x, y)]
为时域数据矩阵，则一维离散余弦变换的矩阵定义 式可写成如下形式
[F(u)] [ A] [ f (x)]
(3—81)
12
同理，可得到反变换展开式
f (0) 0.500F(0) 0.653F(1) 0.500F(2) 0.271F(3)
3. 2 离散余弦变换
图像处理中常用的正交变换除了傅里叶变换外， 还有其他一些有用的正交变换。其中离散余弦就 是一种。离散余弦变换表示为DCT。
1
3.2.1 离散余弦变换的定义 一维离散余弦变换的定义由下式表示
F (0)
1
N 1
f (x)
N x0
(3—74)
2 N1
(2x 1)u
F(u)
f (x)cos
(3—87)
16
式中 Tu(zx) 是 u 和 zx 的多项式。它的第N个
多项式为
TN (zx )
பைடு நூலகம்
2 N
cos
N
arccos(zx )
如果 那么
TN (zx ) 0 (2x 1)
zx cos 2 N
将此式代入 TN ( z x )
17
则
TN
2 N
c osu
arc
c osc
os
(2
x 1)