专题七第一讲课件课件.ppt

②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边，截得的三角 形与 原三角形的对应边 成比例．
2．相似三角形 (1)相似三角形的判定 ①判定定理 a．两角对应相等的两个三角形相似． b．两边对应成比例且夹角相等的两个三角形 相似 ． c．三边对应成比例的两个三角形相似． ②推论：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成 的三角形与 原三角形 相似． ③直角三角形相似的特殊判定 斜边与一条直角边对应成 比例 的两个直角三角形相似．
5．(2011·湖南)如图，A，E是半
圆周上的两个三等分点，直径BC
＝4，AD⊥BC，垂足为D，BE与
AD 相 交 于 点 F ， 则 AF 的 长 为
_____解_析__．如图，连接 CE，AO，AB.
根据 A，E 是半圆周上的两个三等分点，
BC 为直径，可得∠CEB＝90°，∠CBE
＝30°，∠AOB＝60°，故△AOB 为等边
解析 ∵AB 为圆 O 的直径，∴AC⊥CB. 又∵CD⊥AB， ∴AC2＝AD·AB，CD2＝AD·DB. 故 AB＝AACD2＝ 152＝5， 而 BD＝AB－AD＝5－1＝4， 故 CD2＝AD·DB＝1×4＝4， ∴CD＝2.
答案 5；2
圆的切割线定理及应用
(10分)如图所示，PA为⊙O的切线，A为切点， PBC 是 过 点 O 的 割 线 ， PA ＝ 10 ， PB ＝ 5 ， ∠BAC的平分线与BC和⊙O分别交于点D和E， 求AD·AE的值．
答案
6 6
圆周角，弦切角
(2011·南京模拟)如图，AB是圆O的直径， D为圆O上一点，过D作圆O的切线交AB的延 长线于点C，若DA＝DC，求证：AB＝2BC.
【证明】 连接OD、BD. 因为AB是圆O的直径， 所以∠ADB＝90°，AB＝2OB. 因为DC是圆O的切线，所以∠CDO＝90°. 又因为DA＝DC，所以∠A＝∠C， 于是△ADB≌△CDO，从而AB＝CO， 即2OB＝OB＋BC， 得OB＝BC，故AB＝2BC.
4．(2011·广东)如图所示，过圆O外一点P分 别作圆的切线和割线交圆于A，B，且PB＝7， C是圆上一点使得BC＝5，∠BAC＝∠APB， 则AB＝________.
解析 根据圆的性质有∠PAB＝∠ACB， 而∠BAC＝∠APB，故△PAB∽△ACB，故有APBB＝BACB， 将 PB＝7，BC＝5 代入解得 AB＝ 35. 答案 35
∵DE＝12CD，∴SS△△DCEEBF＝DCEE2＝19，SS△△DABEFF＝DABE2＝14， ∵S△DEF＝2，∴S△CEB＝18，S△ABF＝8， ∴S 四边形 BCDF＝S△CEB－S△DEF＝16， ∴S▱ABCD＝S 四边形 BCDF＋S△ABF＝16＋8＝24.
∴∠EFD＝12∠POD＝15°.
(1)求证三角形相似应从边、角关系出发，探 寻证明思路；(2)由相似三角形的性质，得出 相关的结论，在解题过程中应注意相关图形 的性质．
1．如图，四边形 ABCD 是圆 O 的内接四边形，延长
AB 和 DC 相交于点 P.若PPAB＝12，PPDC＝13，则ABDC的值为 ________．
解析 由题意可知△PBC∽△PDA， 于是由DBCA＝PPDB＝PPAC， 得ABDC＝ PPDB·PPAC＝ 16＝ 66.
答案
7 2
3．(2011·陕西)如图，∠B＝∠D，AE⊥BC， ∠ACD＝90°，且AB＝6，AC＝4，AD＝12， 则BE＝________.
解析 ∵AC＝4，AD＝12，∠ACD＝90°， ∴CD2＝AD2－AC2＝128，∴CD＝8 2. 又∵AE⊥BC，∠B＝∠D，∴△ABE∽△ADC， ∴AADB＝CBDE，∴BE＝ABA·DCD＝6×182 2＝4 2. 答案 4 2
6．圆内接四边形
(1)圆内接四边形性质定理：圆内接四边形的 对角 互补．
(2)圆内接四边形判定定理：
①如果四边形的对角 互补 ，则此四边形内接 于圆．
②若两点在一条线段同侧且对该线段张角相
等，则此两点与线段两个端点共圆，特别地，
对定线段张角为直角的点
共． 圆
1．(2011·北京)如图，AD，AE，BC分别与 圆O切于点D，E，F，延长AF与圆O交于另 一点G.给出下列三个结论：
圆中问题的解决往往不是弧立的，其中必然
交汇着直线型问题，在解题中要善于根据图 中的知识分析直线型(特别是三角形)问题的一 些性质．如本例是先通过弦切角定理，弄清 楚△PAB和△PCA的一个对应角相等，又根 据半圆上的圆周角是直角求出了AC，AB的长， 最后根据圆周角相等解决了△ACE∽△ADB， 这个过程体现了分析解决圆中问题的一般思 考方法．
【 解 题 切 点 】 由 切 割 线 定 理 知 PA2 ＝ PB·PC，
可得直径BC的长，要求AD·AE，
由△【A标C准E解∽答△】AD如B图，所示得，AD·AE＝CA·BA， 只要连求接出CEC，A，BA的长即可．
∵PA 是⊙O 的切线，PBC 是⊙O 的割线， ∴PA2＝PB·PC.又 PA＝10，PB＝5， ∴PC＝20，BC＝15.(4 分) ∵PA 切⊙O 于 A，∴∠PAB＝∠ACP. 又∠P 为公共角，∴△PAB∽△PCA.
∴CABA＝PPAC＝1200＝12.(6 分)
∵BC 为⊙O 的直径，∴∠CAB＝90°. ∴AC2＋AB2＝BC2＝225. ∴AC＝6 5，AB＝3 5.(8 分) 又∠ABC＝∠E，∠CAE＝∠EAB，
∴△ACE∽△ADB.∴AABE＝AADC. ∴AD·AE＝AB·AC＝3 5×6 5＝90.(10 分)
(1)圆周角的性质非常丰富，要根据具体情况 具体分析，应特别注意圆周角、圆心角与弦 切角的特殊关系；(2)直径所对的圆周角为直 角这一结论在解题时特别重要．
2．如图所示，圆 O 上一点 C 在直径 AB 上的射影为 D， AD＝1，AC＝ 5，则 AB＝________，CD＝________.
相似三角形的判定与性质
如图，▱ABCD 中，E 是 CD 的延长线上一点，BE 与 AD 交于点 F，DE＝12CD.
(1)求证：△ABF∽△CEB； (2)若△DEF 的面积为 2，求▱ABCD 的面积．
【解析】 (1)证明 ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴∠A＝∠C，AB∥CD， ∴∠ABF＝∠CEB，∴△ABF∽△CEB. (2)∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥CD， ∴△DEF∽△CEB，△DEF∽△ABF.
3．如图所示，已知 P 是⊙O 外一点，PD 为⊙O 的切 线，D 为切点，割线 PEF 经过圆心 O，若 PF＝2＋ 3，PD ＝1，求∠EFD 的大小．
解析 由切割线定理得 PD2＝PE×PF， ∴PE＝PPDF2＝2＋12 3＝2－ 3. ∴EF＝PF－PE＝(2＋ 3)－(2－ 3)＝2 3. 故 OD＝OE＝OF＝ 3，PO＝PF－OF＝2. ∵OD⊥PD，PD＝12PO，∴sin ∠POD＝PPDO＝12. ∴∠POD＝30°. 又∵∠EFD 与∠POD 分别是同一段弧 DE 所对的圆周 角和圆心角，
(2)相似三角形的性质
相似三角形的对应线段的比等于相似比，面 积比等于相似比的 平方 ．
(3)直角三角形射影定理
直角三角形一条直角边的平方等于该直角边 在斜边上射影与斜边的 乘积 ，斜边上的高的 平方等于两条直角边在斜边上射影 的 乘积 ．
3．圆的切线 (1)切线的性质及判定 ①切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切 点的 半径．
②切线的判定定理 过半径外端且与这条半径 垂直 的直线是圆的 切线．
(2)切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线长 相等 ．
4．相交弦定理：圆的两条相交弦，被交点分 成的两段的积 相等 ．
5．切割线定理：从圆外一点引圆的一条割线 与一条切线，切线长是这点到割线与圆的两 个交点的线段的长的 等比中项 ．
① AD ＋ AE ＝ AB ＋ BC ＋ CA ； ② AF·AG ＝ AD·AE；③△AFB∽△ADG.
其中正确结论的序号是
A．①②
B．②③
C．①③
D．①②③
解析 ∵CF＝CE，BF＝BD，∴BC＝CE＋BD. ∴AB＋BC＋CA＝(AB＋BD)＋(AC＋CE)＝AD＋AE，故 结论①正确． 连接 DF，则∠FDA＝∠DGA. 又∵∠A＝∠A， ∴△ADF∽△AGD.∴AADG＝AADF. ∴AD2＝AF·AG.又 AE＝AD，∴AD·AE＝AF·AG. 故结论②正确，容易判断结论③不正确，故选 A.
第一讲 几何证明选讲
1．平行截割定理 (1)平行线等分线段4定理及其推论 ①定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段 相等 ， 那么在任一条(与这组平行线相交的)直线上截得的线段也相 等．
②推论：经过梯形一腰的中点且平行于底边的直线 平分另 一 腰．
(2)平行截割定理及其推论 ①定理：两条直线与一组平行线相交，它们被这组平行线截 得的对应线段 成比例 ．
三角形，AD＝ 3，OD＝BD＝1，∴DF
＝ 33，∴AF＝AD－DF＝233.
答案
23 3
几何证明选讲在高考中考查的重点是直角三 角形的射影定理，相似三角形的判定和性质 定理，圆的切线的判定和性质定理，圆周角 定理、弦切角定理、相交弦定理、切割线定 理，圆内接四边形的性质和判定定理，这些 题目大多以圆为背景，综合考查圆的相关性 质定理及相似形等知识，试题难度不大，属 中档题．因此在二轮复习时应多从圆中挖掘 一些相似形，多加练习．
Байду номын сангаас答案 A
2．(2011·天津)如图，已知圆中两条弦AB与
CD相交于点F，E是AB延长线上一点，且DF ＝CF＝，AF∶FB∶BE＝4∶2∶1，若CE与 圆相切，则线段CE的长为________．
解析 设 BE＝a，则 AF＝4a，FB＝2a. ∵AF·FB＝DF·FC，∴8a2＝2，∴a＝12， ∴AF＝2，FB＝1，BE＝12，∴AE＝72. 又∵CE 为圆的切线，∴CE2＝EB·EA＝12×72＝74， ∴CE＝ 27.