天津大学 计算物理学讲义
天津大学大学物理内部课件1
亚里士多德
大学物理电子课件
托勒密（公元一世纪）提 出地心说；哥白尼（公元 十六世纪）提出日心说。
哥白尼
大学物理电子课件
(N.Copernicus)（1743-1543）在 丹麦科学家第谷（Techo）长期 艰苦观察的基础上，经十六年的 研究，归纳出行星的三大运动定 律，代表作“天体运行论”。
开普勒
大学物理电子课件
前言
• 物理学是研究物质基本结构、物质之间相互作用、物质最 基本和最普遍的运动形式及其相互转化规律的学科。物理 学的基本原理隐藏于物质世界的方方面面，渗透在自然科 学的所有学科，应用于工程技术的各个领域。作为工科大 学生、未来科技领域的领军者和拓荒者，物理基础的厚薄、 物理兴趣的浓淡、物理意识的强弱都直接影响着未来的适 应性、创造力和发展潜力。
大学物理电子课件
三 坐标系 运动方程 一维运动(直线运动） 设一质点相对地面作直线运动。
参照物的 数学抽象
0
xt
t
x
参照物 水平面 为定量的研究物体相对参照物的位置及位置的变化，在参照 物体相对参照物运动时，其坐标也变化。 物上设一坐标（轴）系。
物体 t时刻的位置或坐标记 为
称为运动方程。 显然，运动方程是一个表述质点相对一定的参照物的瞬时位 置的数学表达式。特点是确定物体的位置，是时间的函数。为一 代数式。 通常把物体的运动方向定为坐标轴的正方向。 大学物理电子课件
• 二、运动描述的相对性 参照系
• 在自然界中，物质的运动形式是多种多样的。一物体相对于另一物体的 位置的变化或物体内各部分之间相对位置的变化，如天体的运行，车船 的行驶，机器的运转等，这种运动称为机械运动。它是一种最简单，最 基本物质的运动形式。此外，还有物质的热运动，电磁运动等。 • 由此不难看出，对一物体做机械运动的描述是相对的。一般的说，一个 物体是运动的，还是静止的，是相对哪一物体或物体群做为参考而言。 相对一物体是运动的，而相对另外的物体可能是运动的。因此，研究物 体的机械运动时，必需选定另外的一物体或物体群做参考，它们被称为 参照系（物）。 • 如果我们研究某一物体的运动，而可以忽略其大小和形状对物体运动的 影响，若不涉及物体的转动和形变，我们就可以把物体当作是一个具有 质量的点（即质点）来处理。
天津大学大学物理内部课件2
V0singt
g
V022V0gst ing2t2
o
t
V0 at
an g
V
t
t
at
an
g
Vt
x
法向加速度
可否用 a n
V2
，为什么?
V0gcos
an g2at2 V0 22V0gctosg2t2
例 1—8 求下列图中二时刻的 a n a t 。
n 式中的 0为指向圆心的单位矢量。
在很多情形下，物体沿任意曲线匀速，加速，或减速运动，此
时，物体的法向与切向加速度如何表述呢?
加速运动
t at V
轨迹
减速运动
轨迹
瞬时曲 率半径
an
a
0
瞬时曲率圆
tV
at
a
0a n
瞬时曲率圆
瞬时曲
t at V
an
a
轨迹
率半径
0
瞬时曲率圆
（听懂推导过程，而不要求掌握）
速率 V tV t t 设一质点做变速圆V周t运动
V t
r
A DVnBV
oR
Vtt
VtVtt C
A D A B V t
按加速 度V 定义 a V n l i m V V tli m V nli m V t
V
可表故为 切向加a 速t 度应a 理解 为0 加a 速度c 在速度o 方向的s 投影更为确切。
V 式中 0为速度矢量 的单位矢量；而 为加速度与速度间的夹角。
a 2 加速度
t
V
计算物理基础课件
2020/4/2
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1.1 什么是计算物理？
理论物理是分析的科学，它从一系 列的基本原理和基本假设出发，列出相 应的数学方程，运用传统的或现在的数 学方法求出问题的显式解析解，用这些 解析解的结论去解释物理现象，预见新 的现象，指导实验。
2020/4/2
Computational Physics
计算物理基础
➢ 34 学时: 24学时课堂，10学时上机 ➢ 每隔两周，上机一次，30人/组
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课程目的
计算物理是以电子计算机为工具、采用数学方 法解决物理问题的应用科学。
本课程的目的在于对计算物理进行一些入门指 导，使大家在学完本课程后，在组织一些较大 规模的计算时心中有数，少走弯路。
牛顿力学方程只有二体问题是可解得，三体以 上的问题折磨了全世界许多优秀的数学家和理论物 理学家，仍然没有解析解。
量子力学的薛定谔方程，除了氢原子和简谐振 子外没有一个真实的物理问题可以找到解析解。
2020/4/2
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1.2 计算物理的起源、形成与发展
20世纪40年代初，在由于战争的需要开始了核 武器研制。涉及的问题：流体动力学过程、核反应 过程、中子输运过程、光辐射输运过程、物态变化 过程等；都是十分复杂的非线性方程组，不可能用 传统的解析方法求解。
2020/4/2
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1.2 计算物理的起源、形成与发展
1954年11月，费米逝世，他的合作者继续工作， 于1955年5月写出Los Alamos 研究报告LA1940。这篇秘密报告历经多年、解密后被正式 收入《费米全集》。这篇具有重大意义的报告， 被许多人认为是计算物理的正式起点，因为它 提出了许多问题，带来了当时谁也未曾想到的 重大发展。
天津大学大学物理(1B)考点
大学物理（1B）复习提纲第十一章振动1、谐振动▲表达式及各参数的求法；▲证明谐振动的方法：①恢复力指向平衡点；②微分方程标准式；③谐振动表达式▲旋转矢量法、振动曲线；▲质点振动的速度、加速度；▲动能、势能、平均值及总能量；2、谐振动的合成▲同方向、同频率的合成：合振动的振幅与位相▲同方向、不同频率的合成：拍频△垂直振动的合成（频率相同或成简单整数比）第十二章波动1、一维平面简谐波▲表达式及各参数的求法；▲物理意义：x点的振动；t时刻的波形；▲如何由振动求波动；▲如何由波形求波动；2、波的能量▲波的能量、能流、能流密度、平均能流密度（波强）；▲质元能量、位移、形变三者的关系；▲声波与声强级3、惠更斯原理▲次级子波的概念；▲作图法：波的衍射、反射与折射4、波的干涉▲波的相干条件：振动方向相同、频率相同、位相差恒定；▲波的干涉：同方向、同频率谐振动的相干叠加；▲波程差与位相差的关系；5、驻波▲驻波的形成条件；▲由两个相向简谐波合成驻波的表达式；▲波腹与波节的求法；▲驻波的振幅特点、位相特点；▲波在反射中的半波损失问题：由波疏→波密反射或固定端反射：有半波损失，入射波与反射波在反射点处反位相；由波密→波疏反射或自由端反射：无半波损失，入射波与反射波在反射点处同位相；6、机械波的多普勒效应▲一个公式（波源、观察者速度趋近为正、远离为负）7、电磁波的性质▲电磁波是横波；▲E和H的表达式；▲E和H方向、位相、幅值、瞬时值的关系；▲电磁波的速度；▲电磁波的能量：能流密度：坡印廷矢量；平均能流密度（电磁波强度）；第XX章几何光学▲平面界面上的折射、反射定律；全反射▲费马原理▲单球面近轴光线下的折、反射▲薄透镜成像公式▲薄透镜作图法※显微镜与望远镜第十三章波动光学1、光的干涉▲光程与路程；光程差与位相差；▲真空中波长与媒质中波长的关系、折射率；▲双缝干涉、劈尖、牛顿环干涉；迈氏干涉仪的光路及相关计算；▲薄膜干涉的半波损失问题；▲在干涉光路中加入透明薄膜引起的附加位相差；※时间相干性与空间相干性2、光的衍射▲单缝衍射：菲涅尔半波带法；条纹位置的计算；※夫朗和费圆孔衍射；△光学仪器的分辨本领：最小分辨角；▲光栅衍射：主极大位置、最大级次、重级与缺级、△斜入射光栅公式；▲X射线的衍射：布拉格公式；▲综合题：双缝与单缝、光栅与单缝3、光的偏振▲两个定律：马吕斯定律与布儒斯特定律；▲尼科尔棱镜与偏振片的作用：振幅的投影与光强的计算；▲双折射：光轴、主平面、寻常光与非常光的偏振方向；正晶体(石英)、负晶体(方解石)中o光与e光的波面、折射率、波速；利用惠更斯原理作图：双折射晶体中o光与e光的波面、传播方向；▲椭圆、圆偏振光与波片：四分之一波片与二分之一波片的定义与作用；▲偏振光的干涉：干涉装置、振幅投影与光强的计算；第十四章狭义相对论基础1、狭义相对论的两个基本假设▲两个基本假设要会背2、洛伦兹变换▲洛伦兹变换及计算△速度变换（x方向速度变换）3、相对论时空观的几个重要结论▲“同时”的相对性▲时间延迟▲长度收缩4、相对论动力学▲质速关系式；▲质能关系式；▲能量、动量与静质量的关系式；5、光子▲光子的能量、动量、动质量第十五章量子光学1、热辐射▲单色辐出度、总辐出度及相互关系；▲黑体的概念；▲两个实验定律及计算：斯特藩--玻尔兹曼定律、维恩位移定律；△普朗克的能量子观点2、光电效应▲爱因斯坦公式：逸出电位、逸出功与截止频率；遏止电压与最大初动能；遏止电压与频率关系曲线：斜率与普朗克常数截止频率与逸出电位▲饱和光电流▲爱因斯坦光子能量与光强表达式；3、康普顿效应▲波长改变量与散射角的理论公式、康普顿波长；▲光子与电子碰撞：能量守恒与动量守恒；第十六章原子结构与半经典量子论1、氢光谱的规律性▲里德伯公式；▲五个线系??与原子能级的关系；▲光谱项与里兹并合原则；2、玻尔理论▲轨道量子化、能量量子化、对氢光谱的解释；▲里德伯公式与能级、(最长、最短)波长的计算；3、两个关键实验▲卢瑟福 粒子散射实验：证实原子由原子核与核外电子组成；▲夫朗克--赫兹实验：证实原子能级的存在；第十七章量子力学基础1、德布罗意波（物质波）▲低能粒子、高能粒子德布罗意波长的计算；2、物质波的证实：两个电子衍射实验（戴维孙—革末、汤姆孙实验）3、波函数的统计解释▲自由粒子平面波波函数▲概率密度：波函数模的平方（设：波函数已归一化）；▲粒子出现在某区间的概率：概率密度对该区间的积分；▲波函数满足两个条件：归一化条件：全空间积分等于1标准化条件：单值、有限、连续4、测不准关系（不确定原理）▲坐标与动量的测不准关系；▲能量与时间的测不准关系；5、薛定谔方程△含时间的、定态（不含时间）的薛定谔方程的基本形式6、一维无限深势阱▲波函数、能级与粒子出现的概率；7、线性谐振子▲能级公式8、电子自旋▲电子自旋的实验验证：斯特恩--盖拉赫实验；▲自旋角动量与自旋量子数；▲自旋角动量沿外磁场的分量与自旋磁量子数；▲轨道角动量与轨道磁矩；自旋角动量与自旋磁矩；9、原子的壳层结构▲描述原子中电子状态的四个量子数及相应取值范围；▲给定某些量子数求最多可容纳的电子数；▲四个量子数与相应物理量取值的关系；▲电子填充原子壳层遵循两个原理：泡利不相容原理与能量最小原理；▲原子中的电子组态。
2024年天津大学大学物理内部课件2
天津大学大学物理内部课件2一、引言天津大学作为中国近代第一所大学，有着悠久的历史和深厚的文化底蕴。
物理学科作为自然科学的基础学科，在天津大学的发展历程中占有重要地位。
本课件旨在为天津大学物理学科的教学提供一份系统、全面的内部资料，以帮助学生更好地理解和掌握物理学的基本概念、基本理论和基本方法。
二、课件内容1.物理学的定义与分类物理学是研究物质、能量及其相互作用的自然科学。
根据研究对象的不同，物理学可分为力学、热学、光学、电磁学、原子物理学等分支。
本课件将重点介绍这些分支的基本理论和实验方法。
2.物理学的基本概念（1）物质：物质是构成宇宙的基本实体，具有质量、体积和能量等属性。
（2）能量：能量是物体具有的做功能力，可分为动能、势能、内能等形式。
（3）场：场是描述物质和能量相互作用的物理量，如重力场、电磁场等。
（4）波：波是能量传播的一种方式，可分为机械波和电磁波两大类。
3.物理学的基本理论（1）经典力学：以牛顿三大定律为基础，描述宏观物体的运动规律。
（2）热力学：研究物质的热现象和热力学过程，包括热力学第一定律和第二定律。
（3）电磁学：研究电荷、电流及其相互作用，包括静电学、电磁感应和电磁波等。
（4）相对论：爱因斯坦提出的关于时空、物质和能量的基本理论，包括狭义相对论和广义相对论。
（5）量子力学：研究微观粒子的运动规律，揭示了原子、分子和凝聚态物质的性质。
4.物理学的基本方法（1）实验方法：通过实验观察和测量，揭示物质的性质和规律。
（2）理论方法：运用数学工具，建立物理模型，推导物理规律。
（3）计算方法：利用计算机模拟和数值分析，研究复杂物理现象。
三、课件特点1.系统性：本课件涵盖了物理学的基本概念、基本理论和基本方法，形成了一个完整的知识体系。
2.科学性：本课件遵循物理学的基本原理，用词严谨，逻辑清晰，确保内容的科学性。
3.实用性：本课件紧密结合天津大学物理学科的教学实际，注重理论与实践相结合，提高学生的实际操作能力。
物理化学天津大学第五版课件第三章讲解
应用热二律计算表明，常温实现这一转化所需压力为大于 1500MPa（15000atm）。即常温常压下该变化正向是非自发的。
事实表明：一定条件下，并非任何变化都能朝着人们预期的方向 进行。
提出的问题：确定条件下的方向为何？ 预期方向的实现需要何种条件？
p
A(p1,V1,T1)
●
Q1
● B(p2,V2,T1)
D(p4,V4,T2) ●
Q2
●
C(p3,V3,T2)
§3-2 卡若循环与热机效率——热转化为功的限度 过程1：恒温可逆膨胀（Ａ Ｂ）：从高温热源吸热对外做功
Q1
Q1
100%
热机 (气缸)
高温热源(T1) Q1>0
-W Q2<0 低温热源(T2)
§3-2 卡若循环与热机效率——热转化为功的限度
二、卡诺热机 理想气体为工质，经:
恒温可逆膨胀 绝热可逆压缩
绝热可逆膨胀 恒温可逆压缩
应用第一章所学求W
高温热源(T1) Q1>0
热机
(气缸)
-W
Q2<0
低温热源(T2)
➢ 热二律的提出背景 ▪ 限度问题：高炉炼铁 ▪ 3CO + Fe2O3 2Fe + 3CO2 (高温)
事实表明：一定条件下，变化是有限度的。 提出的问题：
确定条件下某变化的限度如何， 平衡位置在哪？ 影响平衡位置的因素有哪些，怎样影响？ 如何控制条件来控制平衡位置及转化率？
▪ 方向和限度两个问题是热一律所不能解决的。
自发 过程 气体 扩散
热传导
推动力 自发方向 压力差 p高→p低 温度差 T高→T低
计算物理讲义
ii
第一章 基本数学运算
本章将介绍数值计算中一些基本的运算，例如插值、拟合、数值微分、数值积分和求根等．
第一节 插 值 (Interpolation)
当我们要从一组不完全的或离散的数据中获取某些局部的信息时， 需要使用函数的插值． 也就是说， 对于函数 y = f ( x ) （通常是一个未知的或是一个较复杂的函数）， x ∈[ a , b] ，若已知 [ a , b] 上一系列点
x − x1 x − x0 ， l1 ( x ) = ， 被称为线性插值的基函数． 误差为 R( x ) = f ( x ) − ϕ 1 ( x ) = O h 2 ， x 0 − x1 x1 − x 0
( )
其中 h = x1 − x0 为步长． (2) 二次插值 已知函数表
x y
x0 y0
x1 y1
n 次插值多项式为
ϕ n ( x ) = ∑ y i li ( x )
n
( x − x 0 )( x − x1 )L ( x − xi −1 )( x − xi +1 )L ( x − x n ) ， i = 0,1,2,L , n ，被称为 n 次插值的基 ( xi − x 0 )( xi − x1 )L ( xi − xi −1 )( xi − xi +1 )L( xi − x n ) 函数．误差为 R( x ) = f ( x ) − ϕ n ( x ) = O(h n +1 ) ，其中 h 为步长．
目
录
目
录
第一章 基本数学运算 .................................................................... 1 第一节 插值 ........................................................................ 1 第二节 拟合 ........................................................................ 3 第三节 数值微分 .................................................................... 7 第四节 数值积分 .................................................................... 9 第五节 求根 ....................................................................... 15 第二章 常微分方程的初始问题 ........................................................... 23 第一节 几种简单的数值解法 ......................................................... 23 第二节 Runge-Kutta 方法 ............................................................ 28 第三节 多步法 ..................................................................... 36 第四节 稳定性 ..................................................................... 40 第五节 动力学中的有序和混沌 ....................................................... 44 第三章 边值问题和本征值问题 ........................................................... 51 第一节 物理学中出现的边值问题和本征值问题举例 ..................................... 51 第二节 Numerov 算法 ............................................................... 52 第三节 边值问题的 Green 函数法 ..................................................... 57 第四节 打靶法 ............................ ........................................ 64 第五节 一维 Schrödinger 方程的定态解 ................................................ 69 第四章 特殊函数和 Gauss 求积法 ......................................................... 74 第一节 特殊函数 ................................................................... 74 第二节 Gauss 求积法 ............................................................... 81 第三节 量子散射的 Born 近似和程函近似 .............................................. 86 第五章 矩阵中的数值计算方法 ........................................................... 96 第一节 物理学中的矩阵 ............................................................. 96 第二节 矩阵的基本运算 ............................................................. 98 第三节 一般矩阵的本征值问题 ...................................................... 104 第四节 对称矩阵的本征值问题 ...................................................... 108 第六章 椭圆型微分方程 ................................................................ 117 第一节 离散化和变分原理 .......................................................... 117 第二节 求解边值问题的一种迭代方法 ................................................ 119 第三节 关于离散化的进一步讨论 .................................................... 127 第四节 二维定态流体力学 .......................................................... 132 第七章 抛物型微分方程 ................................................................ 139 第一节 简单的离散化和条件稳定性 .................................................. 139 第二节 隐式格式和回代法 .......................................................... 143 第三节 高维扩散 .................................................................. 151 第四节 本征值问题的迭代方法 ...................................................... 155 第五节 含时间的 Schrödinger 方程 ................................................... 162
物理化学上册天津大学第二章热力学第一定律第四部分讲解
2.节流膨胀的热力学特征及焦耳 –汤姆逊系数 ：
T1 T2
H n C p,m dT nC p,m （T2 - T1）
T1
T2
实际气体分子间有相互作用力，因而不服从理想气体状态 方程，不再有 U=f (T) 和 H= f(T) 的关系，而是: U=f (T，V) 和
H=f (T，p)。焦耳—汤姆逊实验对此给予了证明。
1. 焦耳 - 汤姆逊实验
1. 标准摩尔生成焓
定义：物质B在某温度的标准摩尔生成焓是，在一定温度T ， 由热力学稳定相态单质生成化合物B，而且B的化学计量数 νB=1的反应的标准摩尔反应焓，记为 f H m 。
几点说明：
1）所谓“一定温度”，一般指 25 °C。 2）所谓“稳定相态单质”：碳指 C(石墨)；硫指 S(正交) ；磷 ，过去指白磷，近年有些文献指红磷；溴指Br2(l)；汞指Hg(l) ；稀有气体指单原子气体；氢、氟、氧、氮等指双原子气体 3） 显然，稳定相态单质本身的标准摩尔生成焓为零。
反应物 H1 c Hm
产物 H2 c Hm
反 应 物 c H m 产 物 r H m c H m
反应物
ν H 反 应 物 ν H 反应物 c m 产 物 c m 产 物
产物
B νB c H m
四、绝热可逆过程: Qr=0 理想气体绝热可逆过程方程式：
B
B r H m νB c H m
天津大学大学物理内部课件3(带附加条款)
天津大学大学物理内部课件3天津大学作为国内著名的高等学府，其大学物理课程在培养学生的科学素养、创新能力和实践能力方面起到了重要作用。
本文档将详细介绍天津大学大学物理内部课件3，包括课件的结构、内容和特点，以帮助教师和学生更好地理解和应用该课件。
一、课件结构天津大学大学物理内部课件3的结构分为三个部分：基础知识、实验指导和案例分析。
基础知识部分包括物理学的基本概念、原理和公式，旨在帮助学生建立扎实的物理基础。
实验指导部分则介绍了大学物理实验的基本原理、方法和技巧，培养学生的实验能力和科学思维。
案例分析部分则通过分析实际物理问题，引导学生运用所学知识解决实际问题，提高学生的综合应用能力。
二、课件内容1.基础知识基础知识部分包括力学、热学、电磁学、光学和原子物理学等内容。
每个部分都详细介绍了相关的基本概念、原理和公式，并通过丰富的实例和图示帮助学生理解和掌握。
例如，在力学部分，课件详细介绍了牛顿运动定律、动量守恒定律、能量守恒定律等基本原理，并通过实验数据和图示展示了这些原理在实际问题中的应用。
2.实验指导实验指导部分包括力学、热学、电磁学、光学和原子物理学等实验内容。
每个实验都详细介绍了实验目的、原理、方法和步骤，并提供了实验数据和图示。
例如，在电磁学实验中，课件详细介绍了电流的磁场、电磁感应、电容和电阻等实验，并通过实验数据和图示展示了实验结果和现象。
3.案例分析案例分析部分包括力学、热学、电磁学、光学和原子物理学等实际问题的分析和解决。
每个案例都详细介绍了问题的背景、分析和解决方法，并提供了详细的计算过程和结果。
例如，在光学案例分析中，课件详细介绍了光的干涉、衍射和偏振等现象，并通过实际问题的分析和解决展示了光学知识的应用。
三、课件特点1.系统性：天津大学大学物理内部课件3涵盖了物理学的基本概念、原理和公式，形成了完整的知识体系，有利于学生建立扎实的物理基础。
2.实践性：课件提供了丰富的实验指导和案例分析，通过实际操作和问题解决，培养学生的实验能力和科学思维。
天大考研资料 物理化学-天大物理化学课件04
Vn1V1n2V2
又如：
U n B U B
B
H n B H B
B
A n B A B
B
S n B S B
B
G n B G B
B
U
B
U ( nB
) T , p ,nc
H
B
( H nB
) T , p ,nc
AB
A ( nB
) T , p ,nc
VB
V nB
T , P,nC
nC表示，除 B 以 外，其它组分的物质
的量均不变。
除了体积，其它广度量也有偏摩尔量。
13
2.偏摩尔量：
在由组分 B, C, D…形成的混合系统中，任一广度量 X 是T, p , nB , nC , nD , …的函数，即：
X X T ,p , n B , n C , n D , . . 4 . 1 . . 4
S
SB
( nB
) T , p ,nc
G
GB
( nB
) T , p ,nc
20
3. 偏摩尔量的测定
以二组分的偏摩尔体积为例：
向一定量 nC 的液体组分 C 中不断加入组分 B, 测出不同 nB 时的 混合物的体积 V , 作 V－nB 曲线.
例1：nC固定，不断加入B的情况 曲线上某一点的切线斜率就是该浓
B
B
根据定义（4.1.5a)，在恒温恒压下有：
d X
X Bd n B
B
(4.1.7)
与上式相减得到： nBdXB 0 (4.1.9a)
B
24
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第一章 线性代数方程组的解法§1.1 电阻网络节点电压的求解如图1-1是一个电阻网络，已知AB 两点的电压和各电阻值，求节点1～6的电位值。
图1-1 电阻网络根据电学中的基尔霍夫定律，流进与流出各节点的电流的代数和为零。
得 11550041336037404302402154701112612352343452456156V V V V V V V V V V V V V V V V V V V V --=-++=-+=-+=+-+=+-=⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪-() 这样，求解电阻网络节点电位的问题就化为求解一个线性代数方程组的问题。
§1.2 三角形方程组的解法所谓三角形方程组是指如下两种形式的方程组，它们是通过其它一些方法变换得到的。
)21(221122221211111-⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+=nn nn n n b x l x l x l b x l x l b x lu x u x u x d u x u x d u x d n n n n nn n n 111122112222213+++=++==⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪- ()式(1-2)称为下三角形方程组，可以简记为： ()LX B==<l i j ij 0式(1-3)称为上三角形方程组，可以简记为：()UX D==>u i j ij 0三角形方程组的求解非常简单，对下三角方程(1-2)，从第一个方程可以解出 x b l 1111=/将其代入到第二个方程，可以解出 ()x b l x l 2221122=-/依次类推，就可解出全部待求量。
解的一般形式为：()()11111122,11/14/i i i i i i i iix b l x b l x l x l x l --=⎧⎪-⎨=----⎪⎩()2,3,,i n =对上三角方程(1-3)，从第n 个方程可以解出 x d u n n nn =/将其代入到第n -1个方程，可以解出 ()x d u x u n n n n n n n -----=-11111,,/依次类推，就可解出全部待求量。
解的一般形式为：()(),11,22,/15/n n nni i i i i i i i i n n iix d u x d u x u x u x u ++++=⎧⎪-⎨=----⎪⎩ ()1,2,,1i n n =--§1.3 高斯消元法（略）§1.4 LU 分解法LU 分解法是基于矩阵运算的一种方法，因此我们改用矩阵语言来表述。
一、基本思想将线性代数方程组AX = B 中的系数矩阵A 分解为下三角矩阵L 与上三角矩阵U 的乘积，即A = LU ，其中各量为1112111212222212n n n n nn n n a a a x b a a a x b a a a x b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦A X B11121212221210110n n n n nn u u u l u u l l u ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦L U于是原方程变为LUX = B ，令 UX = Y 则LY = B ，其中 []Y =y y y n T12,,,这里，T 表示矩阵的转置。
按照前面解三角形方程组的方法，有()()()()y b l y i n x u y u x i n n i i ik kk i i ii i ik k k i n=-=-=-⎛⎝ ⎫⎭⎪=--=-=+∑∑111121101121111,,,,,,,其中约定：()() n nnn+∑∑==101，二、矩阵A 的LU 分解1、根据矩阵U 的特点，u ij 的下标满足i j ≤，由矩阵的乘法，有 a l u l u l u u ij i j i j i i i j ij =++++--112211 ,, 所以，()u a l u i n j i i n ij ij ik kjk i =-==+⎛⎝ ⎫⎭⎪-=-∑11121112,,,,,,2、根据矩阵L 的特点，l ij 的下标满足i j >，由矩阵的乘法，有 a l u l u l u l u ij i j i j i j j j ij jj =++++--112211 ,, 所以，()l u a l u j n i j j n ij jjij ik kj k j =-⎛⎝ ⎫⎭⎪=-=++⎛⎝ ⎫⎭⎪-=-∑11211211311,,,,,,由(1-12)、(1-13)两式可见，L 与U 两矩阵的元素彼此互相交织在一起，为了便于求解，矩阵元的计算可参照下列图示顺序进行：图1-2 LU 分解法各矩阵元的计算顺序横、竖线方向及其方框内的编号分别指明计算该线的上方或左方元素的顺序。
三、LU 分解的算法现将LU 分解的算法步骤归纳如下： ①用(1-12)、(1-13)两式计算矩阵元u ij ，l ij ； ②用(1-10)式自上而下计算y i ； ③用(1-11)式自下而上计算x i 。
[例题1-2] 用LU 分解法求解方程组21343112291119123-⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⋅⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥=-⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥x x x解：由(1-12)式计算第i =1行，()u a j j j 11123==,,u u u 111213213===,,()()由式计算第列，1131231111-===j l a u i i i ,l l 213142212===, ()由式计算第行，112222211-==-i u a l u j j j u u 222332111235=-⨯==-⨯=-,()1132j -=由式计算第列，()3232311222111321122l a l u u ⎛⎫==-=⨯-⨯= ⎪⎝⎭ ()1123i -=由式计算第行，()()33333113322313235422u a l u l u ⎡⎤=-+=--⨯+⨯-=⎢⎥⎣⎦于是，对 LY = B ，即100210132191119123⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⋅⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥=-⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥y y y 由(1-10)式自上而下计算y i ：()()()1122211333113229,11292913199292022y b y b l y y b l y l y ==-=-=-⨯-=⎡⎤=-+=-⨯-+⨯=-⎢⎥⎣⎦对 UX = Y ，即21301500492920123-⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⋅⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥=--⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥x x x由(1-11)式自下而上计算x i ：()()()()()333322233221112213311205,411295541119143512y x u x y u x u x y u x u x u -===-=-=⨯---=⎡⎤⎣⎦=-+=⨯--⨯-⨯-=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦采用LU 分解法求解线性代数方程组时应该注意：当u ii 很大或很小时，会使舍入误差增大或产生溢出从而造成错误的结果。
§1.5 雅可比迭代法（J 法）迭代法的基本思想是要构成一个关于解的向量序列{}X ()k ，该序列由原方程组改写的迭代方程产生，如果该序列最终收敛至某个极限向量X *，则该极限就是原方程组的准确解。
否则，迭代方法失效，但不能就此说明，原方程组就一定无解。
雅可比迭代法是最简单的一种迭代法。
为叙述方便，先以三阶方程组为例说明雅可比迭代法的计算过程，然后给出一般结果。
a x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b111122133121122223323113223333114++=++=++=⎧⎨⎪⎩⎪-()假设：()a i ii ≠=0123,,，对式(1-14)分别“解出”三个未知量： ()()()x a b a x a x x a b a x a x x a b a x a x 111112213322222112333333311322111115=--=--=--⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪-()然后将其改写为雅可比迭代格式：()()()x a b a x a x x a b a x a x x a b a x a x k k k k k k k k k 111111221332122221123331333311322111116()()()()()()()()()()+++=--=--=--⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪- 计算过程如下：首先在求解区间内，对三个未知量任选一组初值构成零级向量，记作[]X ()()()(),,0102030=x x x T(上角标T 表示转置)，代入式(1-16)的右边，得到一级向量[]X ()()()(),,1112131=x x x T再将X ()1代入式(1-16)的右边，得到X ()2，如此往复迭代，得到一个向量序列{}X ()k ，k =012,,, 。
如果该序列随着k 的增大，最终趋向一组定值[]X **,*,*=x x x T123称为该向量序列收敛，则这组定值就是原方程的解。
而如果该向量序列没有极限，称为该向量序列发散，本迭代法失效。
但不能依此就说原方程组无解，因为前面在将原方程(1-15)改写成迭代格式(1-16)时，方程的性质已经发生变化，只有在向量序列收敛的情况下，两者才归于一致。
对于一般n 阶方程组，J 法的格式为1(1)()()111i nk k k ii ij j ij j j j i ii xb a x a x a -+==+⎛⎫=-- ⎪⎝⎭∑∑ ()1,2,,(117)i n =-计算结果的判断：设小量ε作为最大误差，当 m a x ()()()11118≤≤+-≤-i ni k i k x x ε结束计算。
§1.6 高斯--赛德尔迭代法（G - S 法） ()()()x a b a x a x x a b a x a x x a b a x a x k k k k k k k k k 111111221332122221112333133331113221111119()()()()()()()()()()++++++=--=--=--⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪-对于一般n 阶方程组，G - S 法的格式为 1(1)(1)()111i nk k k ii ij j ij j j j i ii xb a x a x a -++==+⎛⎫=-- ⎪⎝⎭∑∑ ()1,2,,(120)i n =-§1.7 超松弛迭代法（SOR 法） ∆x x x i k i k i k ()()()()=--+1121将其中的x i k ()+1用G-S 法的式(1-20)代入，得到1()(1)()()111(122)i n k k k k ii ij j ij j i j j i ii xb a x a x x a -+==+⎛⎫∆=---- ⎪⎝⎭∑∑再将式(1-21)改写成： x x x i k i k i k ()()()()+=+-1123∆∆x i k ()是迭代的“步长”。