八年级数学下册 1_4 第2课时 角平分线的性质定理的逆定理(小册子) 湘教版
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数学湘教版八年级下册1.4角平分线的性质第2课时课件
G C
FH⊥AD， FM⊥BC，
∴FM ＝ FH，∴FG ＝ FH.
∴点 F 在∠DAE 的平分线上.
A
M
F
┑ B HD
5. 如图，已知 AD∥BC，P 是∠BAD与 ∠ABC的平分线 的交点，PE⊥AB 于 E，且PE = 3，求 AD 与BC 之间的 距离. 解：过点 P 作MN⊥AD 于点 M，交 BC 于点 N. ∵ AD∥BC， ∴ MN⊥BC，MN 为 AD 与 BC 之间的距离. ∵ AP 平分∠BAD，PM⊥AD，PE⊥AB， ∴ PM = PE. 同理，PN = PE. ∴ PM = PN = PE =3. ∴ MN = 6. 即 AD 与 BC 之间的距离为 6.
D．140°
解析：O 到 △ABC 三边的距离相等，所以 O 是三条内角
平分线的交点，AO，BO，CO 都是角平分线，
则∠CBO＝∠ABO＝1∠ABC，∠BCO＝∠ACO＝ ∠ABC＋∠ACB＝1802°－40°＝140°，
12∠ACB，
∠OBC＋∠OCB＝70°，
∠BOC＝180°－70°＝110°.
角的平分线的性质 角的平分线的判定
图形
C
P
已知 条件
结论
OP 平分∠AOB PD ⊥ OA 于 D PE ⊥ OB 于 E PD = PE
C P
PD = PE PD⊥ OA 于 D PE ⊥ OB 于 E OP 平分 ∠AOB
动脑筋 1. 分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？
发现：三角形的三条角平分线相交于一点.
∴ AP = CP.
E
A 1
2 B
N P
FC
证法2：
思路分析：由角是轴对称图形，其对称轴是角平分线所在
湘教版八年级下册数学：1.4-角平分线的性质-课件(共15张PPT)
6
例1、如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分 ∠CAB，DE⊥AB于E，F 在AC上，BE＝FC， 求证：BD＝DF.
证明：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB于E， ∠C＝90°，∴DE＝DC. 在△BDE和△FDC中， DE=CD ,
∠DEB=∠C,
BE=FC, ∴ △BDE ≌ △FDC （SAS） ∴ BD=DF (全等三角形中对应边相等).
7
合作探究
思 考
分
逆命题
析
到一个角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.
它是真命题吗? 如果是.请你证明它.
′ 已知:如图, ∠AOB,
PD⊥OA, PE⊥OB,且PD=PE,垂足分O
A D
P C
别是D,E.
求证:点P在∠AOB的平分线上.
E
分析:要证明点P在∠AOB的平分线上,可
B
以先作出过点P的射线OC,然后证明
11
例2、 如图，BE＝CF，DF⊥AC于点F，DE⊥AB于 点E，
BF和CE相交于点D.求证：AD平分∠BAC.
证明：∵DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E，
∴∠DEB＝∠DFC＝90°.
在△BDE和△CDF中，
∠BDE＝∠CDF
∠DEB＝∠DFC
BE＝CF
∴△BDE≌△CDF(AAS)，
∴DE＝DF.
C P FB
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分 线上.∵ PF⊥OB，PE⊥OA
且PE＝PF.
∴点P在∠AOB的平分线上.
14
自我检测
1、已知:如图,P是∠AOB平分线上的一点，
PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分别C,D.
求证:(1)OC=OD;
例1、如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分 ∠CAB，DE⊥AB于E，F 在AC上，BE＝FC， 求证：BD＝DF.
证明：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB于E， ∠C＝90°，∴DE＝DC. 在△BDE和△FDC中， DE=CD ,
∠DEB=∠C,
BE=FC, ∴ △BDE ≌ △FDC （SAS） ∴ BD=DF (全等三角形中对应边相等).
7
合作探究
思 考
分
逆命题
析
到一个角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.
它是真命题吗? 如果是.请你证明它.
′ 已知:如图, ∠AOB,
PD⊥OA, PE⊥OB,且PD=PE,垂足分O
A D
P C
别是D,E.
求证:点P在∠AOB的平分线上.
E
分析:要证明点P在∠AOB的平分线上,可
B
以先作出过点P的射线OC,然后证明
11
例2、 如图，BE＝CF，DF⊥AC于点F，DE⊥AB于 点E，
BF和CE相交于点D.求证：AD平分∠BAC.
证明：∵DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E，
∴∠DEB＝∠DFC＝90°.
在△BDE和△CDF中，
∠BDE＝∠CDF
∠DEB＝∠DFC
BE＝CF
∴△BDE≌△CDF(AAS)，
∴DE＝DF.
C P FB
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分 线上.∵ PF⊥OB，PE⊥OA
且PE＝PF.
∴点P在∠AOB的平分线上.
14
自我检测
1、已知:如图,P是∠AOB平分线上的一点，
PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分别C,D.
求证:(1)OC=OD;
湘教版八年级数学下册课件 1-4 第2课时 角平分线的性质定理及其逆定理的综合应用
（2）在Rt△ECO和Rt△EDO中， ∵ EC = ED，OE为公共边， ∴ Rt△ECO ≌ Rt△EDO (HL). ∴ OC = OD.
2. 如图，在△ABC中，AD⊥DE，BE⊥DE，AC，BC分别平分 ∠BAD，∠ABE，点C在线段DE上. 求证：AB = AD + BE.
证明 过点C作CF⊥AB于点F.
又AC是∠BAD的平分线，CD⊥AD，
∴ CF = CD.
在Rt△CFA和Rt△CDA中，
F
∵ CF = CD， AC为公共边，
∴ Rt△CFA≌Rt△CDA (HL).
∴ AF = AD.
同理可得FB = BE.
AB = A F + FB = AD + BE.
四 课堂小结
三角形的三条角平分线交于一点， 并且这点到三边的距离相等.
图1-30
如图1-31，你能在△ABC 中找到一点P，使其到三边的 距离相等吗？
B
A
图1-31
C
因为角平分线上的点到角的两边的 距离相等，所以只要作△ABC任意两角 （例如∠A与∠B ）的平分线，其交点P 即为所求作的点.
A
P
B
C
证明 过点P作PD⊥AB于D，
PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，
∵ BM是∠ABC的角平分线，点P在BM上， A
∴ PD = PE.
同理，PD = PF.
P
∴ PD = PE = PF.来自BEC
即点P到三边AB、BC、CA的距离相等.
想一想，点P在∠C的平分线上 吗？这说明三角形的三条角平
分线有什么关系？
B
由此得到：
A
P
E
C
三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三 边的距离相等.
湘教版八年级数学下册1.4角平分线的性质(第2课时)
O E ②PD、PE分别是点P到OA、OB的距离；
C P B
③PD=PE.
则OC是∠AOC的平分线.
3.转化方法在几何问题中应用，往往是先通过条 件得出相等的线段或相等的角，然后把问题中的 线段或角换成与之相等的线段或角，从而将所求
或需证明的问题转化为其它的问题，完成解答或
证明.转化是一种重要的数学思想.
作法： A B P C 1.作∠A的平分线； 2.作∠B的平分线,与∠A的平分
线相交于点P.
则点P到△ABC三边的距离相等.
方 法 小 结：
转化是数学中是一种重要的数学思想.在几何问 题中，先通过条件得出相等的线段或相等的角， 然后将所求或需证明的问题转化为其它的问题，
从而一点，EC⊥OA
图1-27
如图 1-29 ，已知 EF⊥CD ， EF⊥AB ， MN⊥AC ， M是EF的中点.需添加一个什么条件，就可使CM， AM分别为∠ACD和∠CAB的平分线呢？
C N A 分析：根据角平分线的性质定理的逆 D 定理可知：已知ME⊥CD，MN⊥CA， 还需补充条件 MN=ME ，才能 M 得出CM为∠ACD的平分线. 因为MF=ME，所以 MN=MF ， F B 同理可得AM为∠ACD的平分线. E
A E
∴ ∠ECD=∠EDC.
O D B
（2） 在Rt△OCE和Rt△ODE中，
∵ EC=ED，
OE=OE， ∴ Rt△OCE≌Rt△ODE. ∴ OC=OD.
2.如图，在△ABC中，AD⊥DE，BE⊥DE，AC， BC分别平分∠BAD，∠ABE，点C在线段DE上. 求证：AB=AD+BE. A B
如图 1-29 ，已知 EF⊥CD ， EF⊥AB ， MN⊥AC ， M 是 EF 的中点 . 需添加一个什么条件，就可使 CM ， AM分别为∠ACD和∠CAB的平分线呢？
C P B
③PD=PE.
则OC是∠AOC的平分线.
3.转化方法在几何问题中应用，往往是先通过条 件得出相等的线段或相等的角，然后把问题中的 线段或角换成与之相等的线段或角，从而将所求
或需证明的问题转化为其它的问题，完成解答或
证明.转化是一种重要的数学思想.
作法： A B P C 1.作∠A的平分线； 2.作∠B的平分线,与∠A的平分
线相交于点P.
则点P到△ABC三边的距离相等.
方 法 小 结：
转化是数学中是一种重要的数学思想.在几何问 题中，先通过条件得出相等的线段或相等的角， 然后将所求或需证明的问题转化为其它的问题，
从而一点，EC⊥OA
图1-27
如图 1-29 ，已知 EF⊥CD ， EF⊥AB ， MN⊥AC ， M是EF的中点.需添加一个什么条件，就可使CM， AM分别为∠ACD和∠CAB的平分线呢？
C N A 分析：根据角平分线的性质定理的逆 D 定理可知：已知ME⊥CD，MN⊥CA， 还需补充条件 MN=ME ，才能 M 得出CM为∠ACD的平分线. 因为MF=ME，所以 MN=MF ， F B 同理可得AM为∠ACD的平分线. E
A E
∴ ∠ECD=∠EDC.
O D B
（2） 在Rt△OCE和Rt△ODE中，
∵ EC=ED，
OE=OE， ∴ Rt△OCE≌Rt△ODE. ∴ OC=OD.
2.如图，在△ABC中，AD⊥DE，BE⊥DE，AC， BC分别平分∠BAD，∠ABE，点C在线段DE上. 求证：AB=AD+BE. A B
如图 1-29 ，已知 EF⊥CD ， EF⊥AB ， MN⊥AC ， M 是 EF 的中点 . 需添加一个什么条件，就可使 CM ， AM分别为∠ACD和∠CAB的平分线呢？
优秀课件湘教版八年级数学下册教学课件 1.4.2角平分线的性质(共15张PPT)
同理可得AM是∠CAB的平分线.
2. 如图，在△ABC 中，AD⊥DE，BE⊥DE， AC，BC 分别平分∠BAD，∠ABE，点C在 线段DE上. 求证：AB=AD+BE. 证明：在作CM⊥AB，垂足为M ∵ AC平分∠BAD，AD⊥DE，CM⊥AB ∴ CD = CM， ∵ BC平分∠ABE，AD⊥DE，CM⊥AB ∴ CE = CM. M 在Rt△ACD和Rt△ACM中， ∵ CM = CD，AC = AC， ∴ Rt△ACD ≌Rt△ACM (HL) ∴ AD = AM 又 AB=AM+BM， ∴ AB=AD+BE. 同理， BE = BM.
（1）求证：点B在∠ADC的平分线上；
证明： ∵ ∠1=∠2
∴ BA = BC 又 BA⊥AD， BC⊥CD ∴ 点B在∠ADC的平分线上
(到角的两边距离相等的点在角的平分线上)
（1）求证：BD是∠ABC的平分线. 证明： 在Rt△BAD和Rt△BCD中 ∵ BA = BC， BD = BD， ∴ Rt△BAD≌Rt△BCD（HL）
证明：过点O，P 作射线OP ∵ PD⊥OA， PE⊥OB ∴ ∠PDO =∠PEO = 90° 在Rt△PDO和Rt△PEO中， O ∵ OP = OP PD = PE ∴ Rt△PDO≌Rt△PEO（H L） ∴ ∠AOC =∠BOC ∴ OC是∠AOB的平分线， 即点P在∠AOB的平分线OC上
B
解决问题
如图，你能在△ABC 中 找到一点P，使其到三边的 距离相等吗？ 思考交流：
(1)由题意可知点P到BA，BC两边的距离相等 _____， ∠ABC的平分线上 由此说明点P在_________________________. (2)同理点P到CA，CB两边的距离相等 _____， ∠ACB的平分线上 由此说明点P又在_______________________. (3)由（1）（2）可见点P是∠ABC的平分线与 交点 ∠ACB的平分线的______你能在△ABC 中找到一点P， 使其到三边的距离相等吗？
2. 如图，在△ABC 中，AD⊥DE，BE⊥DE， AC，BC 分别平分∠BAD，∠ABE，点C在 线段DE上. 求证：AB=AD+BE. 证明：在作CM⊥AB，垂足为M ∵ AC平分∠BAD，AD⊥DE，CM⊥AB ∴ CD = CM， ∵ BC平分∠ABE，AD⊥DE，CM⊥AB ∴ CE = CM. M 在Rt△ACD和Rt△ACM中， ∵ CM = CD，AC = AC， ∴ Rt△ACD ≌Rt△ACM (HL) ∴ AD = AM 又 AB=AM+BM， ∴ AB=AD+BE. 同理， BE = BM.
（1）求证：点B在∠ADC的平分线上；
证明： ∵ ∠1=∠2
∴ BA = BC 又 BA⊥AD， BC⊥CD ∴ 点B在∠ADC的平分线上
(到角的两边距离相等的点在角的平分线上)
（1）求证：BD是∠ABC的平分线. 证明： 在Rt△BAD和Rt△BCD中 ∵ BA = BC， BD = BD， ∴ Rt△BAD≌Rt△BCD（HL）
证明：过点O，P 作射线OP ∵ PD⊥OA， PE⊥OB ∴ ∠PDO =∠PEO = 90° 在Rt△PDO和Rt△PEO中， O ∵ OP = OP PD = PE ∴ Rt△PDO≌Rt△PEO（H L） ∴ ∠AOC =∠BOC ∴ OC是∠AOB的平分线， 即点P在∠AOB的平分线OC上
B
解决问题
如图，你能在△ABC 中 找到一点P，使其到三边的 距离相等吗？ 思考交流：
(1)由题意可知点P到BA，BC两边的距离相等 _____， ∠ABC的平分线上 由此说明点P在_________________________. (2)同理点P到CA，CB两边的距离相等 _____， ∠ACB的平分线上 由此说明点P又在_______________________. (3)由（1）（2）可见点P是∠ABC的平分线与 交点 ∠ACB的平分线的______你能在△ABC 中找到一点P， 使其到三边的距离相等吗？
《角平分线的性质》PPT课件 湘教版
A D
PC
EB
图1-26
探究新知
角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上吗? 如图1-27， 点P在∠AOB的内部，作PD⊥OA，PE⊥OB.垂足分别为点 D，E.若PD=PE，那么点P在∠AOB的平分线上吗?
证明：如图1-27，过点O, P作射线OC.
∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO= ∠PEO= 90°.
由此得到角平分线性质定理的逆定理：
A D角的内部到角的两边距离等的C点在角的平分线上.
O P
符号语言： ∵ PD⊥OA，PE⊥OB，
PD＝PE． ∴ OP平分∠AOB．
E B
图1-27
图名 形称
性 质 定 角理 平 分 线逆 定 理
归纳小结
图形语言
文字语言
符号语言
关键词
角的平分线 ∵OP平分∠AOB 一平分，
将∠AOB沿OC对折，我发现PD与PE重 合，即PD与PE相等.
A D
PC
O
你能证明吗？
EB
图1-26
探究新知
如图1-26，在∠AOB的平分线OC.上任取一点P，作PD⊥OA，
PE⊥OB，垂足分别为点D，E，试问PD与PE相等吗?
证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB. ∴∠PDO=∠PEO= 90°. 在△PDO和△PEO中，∵∠PDO=∠PEO， ∠DOP=∠EOP，OP=OP， ∴△PDO≌△PEO. ∴PD= PE.
P C
图1-31
探究新知
如图1-31，你能在△ABC中找到一点P，使其到三边的距离 相等吗?
求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.
A
证明：过点P作PD⊥AB于D，
PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，
初中数学湘教版八年级下册1.4 第2课时 角平分线的性质定理的逆定理课件
O
解：作夹角的角平分线OC，
截取OD=2.5cm ,D即为所求.
D S
C
方法点拨：根据角平分线的判定定理，要求作的点到 两边的距离相等，一般需作这两边直线形成的角的平 分线，再在这条角平分线上根据要求取点.
二 三角形的内角平分线
活动1 分别画出下列三角形三个内角的平分线，你 发现了什么？
发现：三角形的三条角平分线相交于一点
OP平分∠AOB
1. 如图，某个居民小区C附近有三条两两相交的道路 MN、OA、OB，拟在MN上建造一个大型超市，使得 它到OA、OB的距离相等，请确定该超市的位置P.
A
M
小区C
P
O
N
B
2. 如图所示，已知△ABC中，PE∥AB交BC于点E，
PF∥AC交BC于点F，点P是AD上一点，且点D到
PE的距离与到PF的距离相等，判断AD是否平分
1.应用角平分线性质： 存在角平分线 条件 涉及距离问题
2.联系角平分线性质：
距离
面积 s 1 ch
周长
2
例2 如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O 到△ABC三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠BOC的 度数为( A ) A．110° B．120° C．130° D．140°
解析：由已知，O到三角形三边的距离 相等，所以O是三条内角平分线 的交点，AO，BO，CO都是角平分线， 所以有∠CBO＝∠ABO＝ 1∠ABC， ∠BCO＝∠ACO＝ 12∠ACB2 ， ∠ABC＋∠ACB＝180°－40°＝140°， ∠OBC＋∠OCB＝70°， ∠BOC＝180°－70°＝110°.
∠BAC，并说明理由．
解：AD平分∠BAC．理由如下： ∵D到PE的距离与到PF的距离相等， ∴点D在∠EPF的平分线上． ∴∠1＝∠2．
解：作夹角的角平分线OC，
截取OD=2.5cm ,D即为所求.
D S
C
方法点拨：根据角平分线的判定定理，要求作的点到 两边的距离相等，一般需作这两边直线形成的角的平 分线，再在这条角平分线上根据要求取点.
二 三角形的内角平分线
活动1 分别画出下列三角形三个内角的平分线，你 发现了什么？
发现：三角形的三条角平分线相交于一点
OP平分∠AOB
1. 如图，某个居民小区C附近有三条两两相交的道路 MN、OA、OB，拟在MN上建造一个大型超市，使得 它到OA、OB的距离相等，请确定该超市的位置P.
A
M
小区C
P
O
N
B
2. 如图所示，已知△ABC中，PE∥AB交BC于点E，
PF∥AC交BC于点F，点P是AD上一点，且点D到
PE的距离与到PF的距离相等，判断AD是否平分
1.应用角平分线性质： 存在角平分线 条件 涉及距离问题
2.联系角平分线性质：
距离
面积 s 1 ch
周长
2
例2 如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O 到△ABC三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠BOC的 度数为( A ) A．110° B．120° C．130° D．140°
解析：由已知，O到三角形三边的距离 相等，所以O是三条内角平分线 的交点，AO，BO，CO都是角平分线， 所以有∠CBO＝∠ABO＝ 1∠ABC， ∠BCO＝∠ACO＝ 12∠ACB2 ， ∠ABC＋∠ACB＝180°－40°＝140°， ∠OBC＋∠OCB＝70°， ∠BOC＝180°－70°＝110°.
∠BAC，并说明理由．
解：AD平分∠BAC．理由如下： ∵D到PE的距离与到PF的距离相等， ∴点D在∠EPF的平分线上． ∴∠1＝∠2．
八年级数学下册1.4.2角平分线的性质二湘教版
B
A
E
F
D P
C
例3、如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE 的平分线相交于点F， 求证：点F在∠DAE的平分线上．
证明：过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H， FM⊥BC于M
∵点F在∠BCE的平分线上， FG⊥AE， FM⊥BC ∴FG＝FM
又∵点F在∠CBD的平分线上， FH⊥AD， FM⊥BC ∴FM＝FH ∴FG＝FH
在确定超市的位置时,一定要画出三个 角的平分线吗?你是怎样思考的?你是如 何证明的? 若把限制条件去掉，修建超市的地址有几处？
角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 用数学语言表示为： ∵ QD⊥OA，QE⊥OB， 点Q在∠AOB的平分线上 ∴ QD＝QE 到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。 ∵ QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE． ∴点Q在∠AOB的平分线上． 作业：P25 练习 P26 习题 3、5
用符号语言表述： ∵ PD⊥OA，PE⊥OB PD＝PE O ∴ ∠1= ∠2 即：OC是∠AOB的平分线
D
1 2 E B P C
角的平分线是到角的两边距离相等的所有 点的集合.
动脑筋
你能在∆ABC中找到一点P，使其到三 边的距离相等吗？
如图，在△ABC中，作点P，使点P到三边 AB、BC、CA的距离相等。
A
C N
E M F
D
B
同理：可得AM是∠CAB的平分线。
例2、 如图，在△ABC的外角∠DAC的平分线上 任取一点P，作PE⊥DB，PF⊥AC，垂足分别为 点E、F。试探索BE+PF与PB的大小关系。 解：∵AP是∠DAC的平分线。 又 PE⊥DB PF⊥AC ∴ PE=PF 在∆EBP中，BE+PE>PB ∴ BE+PF>PB
A
E
F
D P
C
例3、如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE 的平分线相交于点F， 求证：点F在∠DAE的平分线上．
证明：过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H， FM⊥BC于M
∵点F在∠BCE的平分线上， FG⊥AE， FM⊥BC ∴FG＝FM
又∵点F在∠CBD的平分线上， FH⊥AD， FM⊥BC ∴FM＝FH ∴FG＝FH
在确定超市的位置时,一定要画出三个 角的平分线吗?你是怎样思考的?你是如 何证明的? 若把限制条件去掉，修建超市的地址有几处？
角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 用数学语言表示为： ∵ QD⊥OA，QE⊥OB， 点Q在∠AOB的平分线上 ∴ QD＝QE 到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。 ∵ QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE． ∴点Q在∠AOB的平分线上． 作业：P25 练习 P26 习题 3、5
用符号语言表述： ∵ PD⊥OA，PE⊥OB PD＝PE O ∴ ∠1= ∠2 即：OC是∠AOB的平分线
D
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角的平分线是到角的两边距离相等的所有 点的集合.
动脑筋
你能在∆ABC中找到一点P，使其到三 边的距离相等吗？
如图，在△ABC中，作点P，使点P到三边 AB、BC、CA的距离相等。
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C N
E M F
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同理：可得AM是∠CAB的平分线。
例2、 如图，在△ABC的外角∠DAC的平分线上 任取一点P，作PE⊥DB，PF⊥AC，垂足分别为 点E、F。试探索BE+PF与PB的大小关系。 解：∵AP是∠DAC的平分线。 又 PE⊥DB PF⊥AC ∴ PE=PF 在∆EBP中，BE+PE>PB ∴ BE+PF>PB