2021北师大版数学必修1课时跟踪训练：第二章 5 简单的幂函数(一)

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高中数学第二章函数5简单的幂函数二课时跟踪训练含解析北师大版必修1

5 简单的幂函数[A 组学业达标]1．函数y ＝x 2(x ＋4)x ＋4( ) A ．是奇函数B ．是偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数又不是偶函数解析：由题易知定义域是(－∞，－4)∪(－4，＋∞)，不关于原点对称，所以该函数既不是奇函数又不是偶函数．答案：D2．函数f (x )＝1x－x 的图像关于( ) A ．坐标原点对称B ．x 轴对称C ．y 轴对称D ．直线y ＝x 对称解析：∵函数f (x )的定义域关于原点对称，又f (－x )＝1－x＋x ＝－⎝⎛⎭⎫1x －x ＝－f (x )， ∴f (x )为奇函数．故其图像关于坐标原点对称．答案：A3．已知偶函数f (x )的定义域为R ，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )是增函数，则f (－2)，f (π)，f (－3)的大小关系是( )A ．f (π)＞f (－3)＞f (－2)B ．f (π)＞f (－2)＞f (－3)C ．f (π)＜f (－3)＜f (－2)D ．f (π)＜f (－2)＜f (－3)解析：∵f (x )在R 上是偶函数，∴f (－2)＝f (2)，f (－3)＝f (3)．而2＜3＜π，且f (x )在[0，＋∞)上为增函数，∴f (2)＜f (3)＜f (π)．∴f (－2)＜f (－3)＜f (π)．故选A 、答案：A4．已知当x ＞0时，f (x )＝x －2 015，且知f (x )在定义域上是奇函数，则当x ＜0时，f (x )的解析式是( )A ．f (x )＝x ＋2 015B ．f (x )＝－x ＋2 015C ．f (x )＝－x －2 015D ．f (x )＝x －2 015解析：若x ＜0，则－x ＞0，所以f (－x )＝－x －2 015、因为f (x )是奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝x ＋2 015、故选A 、答案：A5．已知f (x )＝x 5＋ax 3＋bx －8，且f (－2)＝10，那么f (2)＝________、解析：f (－2)＝(－2)5＋a ·(－2)3＋b ·(－2)－8＝10，∴25＋a ·23＋2b ＝－18、∴f (2)＝25＋a ·23＋2b －8＝－26、答案：－266．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，则f (6)＝________、解析：f (6)＝f (4＋2)＝－f (4)＝－f (2＋2)＝f (2)＝f (0＋2)＝－f (0)．又f (x )是定义在R 上的奇函数， ∴f (－0)＝－f (0)．∴f (0)＝0、∴f (6)＝0、答案：07．设奇函数f (x )的定义域为[－5,5]，当x ∈[0,5]时，函数y ＝f (x )的图像如图，则使函数值y ＜0的x 的取值集合为________．解析：利用奇函数图像的性质，画出函数在[－5,0]上的图像，直接从图像中读出信息．则原函数是奇函数，所以y ＝f (x )在[－5,5]上的图像关于坐标原点对称，由y ＝f (x )在[0,5]上的图像，知它在[－5,0]上的图像，如图所示，由图像知，使函数值y ＜0的x 的取值集合为(－2,0)∪(2,5)．答案：(－2,0)∪(2,5)8．已知函数f (x )＝ax 2＋1bx ＋c(a ，b ，c ∈Z)是奇函数，又f (1)＝2，f (2)＜3，求a ，b ，c 的值．解析：∵函数f (x )＝ax 2＋1bx ＋c是奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )．因此，有ax 2＋1－bx ＋c ＝－ax 2＋1bx ＋c，∴c ＝－c ，即c ＝0、又f (1)＝2，∴a ＋1＝2b 、由f (2)＜3，得4a ＋1a ＋1＜3，即a －2a ＋1＜0，解得－1＜a ＜2、∵ a ，b ，c ∈Z ，∴a ＝0或a ＝1、当a ＝0时，b ＝12∉Z(舍去)．当a ＝1时，b ＝1、综上可知，a ＝1，b ＝1，c ＝0、9．已知f (x )为奇函数，且当x ＜0时，f (x )＝x 2＋3x ＋2、若当x ∈[1,3]时，f (x )的最大值为m ，最小值为n ，求m －n 的值．解析：∵当x ＜0时，f (x )＝x 2＋3x ＋2，且f (x )是奇函数，∴当x ＞0时，－x ＜0，则f (－x )＝x 2－3x ＋2、故当x ＞0时，f (x )＝－f (－x )＝3x －x 2－2、∴当x ∈⎣⎡⎦⎤1，32时，f (x )是增函数; 当x ∈⎝⎛⎦⎤32，3时，f (x )是减函数．因此当x ∈[1,3]时，f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫32＝14，f (x )min ＝f (3)＝－2、∴m ＝14，n ＝－2，从而m －n ＝94、 [B 组能力提升]10．若f (x )是偶函数，其定义域为(－∞，＋∞)，且在[0，＋∞)上是减函数，则f ⎝⎛⎭⎫－32与f ⎝⎛⎭⎫a 2＋2a ＋52的大小关系是( ) A ．f ⎝⎛⎭⎫－32＞f ⎝⎛⎭⎫a 2＋2a ＋52 B ．f ⎝⎛⎭⎫－32＜f ⎝⎛⎭⎫a 2＋2a ＋52 C ．f ⎝⎛⎭⎫－32≥f ⎝⎛⎭⎫a 2＋2a ＋52 D ．f ⎝⎛⎭⎫－32≤f ⎝⎛⎭⎫a 2＋2a ＋52 解析：因为a 2＋2a ＋52＝(a ＋1)2＋32≥32，又f (x )为偶函数，且在[0，＋∞)上是减函数，所以f ⎝⎛⎭⎫－32＝f ⎝⎛⎭⎫32≥f ⎝⎛⎭⎫a 2＋2a ＋52、答案：C11．已知定义域为R 的函数f (x )在区间(8，＋∞)上为减函数，且函数y ＝f (x ＋8)为偶函数，则( )A ．f (6)＞f (7)B ．f (6)＞f (9)C ．f (7)＞f (9)D ．f (7)＞f (10)解析：由题易知y ＝f (x ＋8)为偶函数，则f (－x ＋8)＝f (x ＋8)，则f (x )的图像的对称轴为x ＝8、不妨画出符合已知条件的一个函数的大致图像(如图)，则有f (6)＜f (7)，f (6)＝f (10)＜f (9)，f (7)＝f (9)＞f (10)．故选D 、答案：D12．已知函数f (x )和g (x )均为奇函数，h (x )＝af (x )＋bg (x )＋2在区间(0，＋∞)上有最大值5，那么h (x )在(－∞，0)上的最小值为________．解析：法一：令F (x )＝h (x )－2＝af (x )＋bg (x )，则F (x )为奇函数．∵当x ∈(0，＋∞)时，h (x )≤5，F (x )＝h (x )－2≤3、当x ∈(－∞，0)时，－x ∈(0，＋∞)，∴F (－x )≤3⇔－F (x )≤3⇔F (x )≥－3、∴h (x )≥－3＋2＝－1、法二：由题意知af (x )＋bg (x )在(0，＋∞)上有最大值3，根据奇函数的图像关于原点的对称性，知af (x )＋bg (x )在(－∞，0)上有最小值－3，∴af (x )＋bg (x )＋2在(－∞，0)上有最小值－1、答案：－113．设函数f (x )在R 上是偶函数，在区间(－∞，0)上递增，且f (2a 2＋a ＋1)＜f (2a 2－2a ＋3)，求a 的取值范围．解析：由f (x )在R 上是偶函数，在区间(－∞，0)上递增，可知f (x )在(0，＋∞)上递减．∵2a 2＋a ＋1＝2⎝⎛⎭⎫a ＋142＋78＞0， 2a 2－2a ＋3＝2⎝⎛⎭⎫a －122＋52＞0，且f (2a 2＋a ＋1)＜f (2a 2－2a ＋3)，∴2a 2＋a ＋1＞2a 2－2a ＋3，即3a －2＞0，解得a ＞23， ∴a 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫aa ＞23、 14．函数f (x )＝ax ＋b x 2＋1是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，且f ⎝⎛⎭⎫12＝25、 (1)求实数a ，b ，并确定函数f (x )的解析式;(2)判断f (x )在(－1,1)上的单调性，并且用定义证明你的结论．解析：(1)根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝0，f ⎝⎛⎭⎫12＝25，即⎩⎪⎨⎪⎧ a ×0＋b 1＋02＝0，a 2＋b 1＋14＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0，∴f (x )＝x 1＋x 2、 (2)任取－1＜x 1＜x 2＜1，f (x 1)－f (x 2)＝x 11＋x 21－x 21＋x 22 ＝(x 1－x 2)(1－x 1x 2)(1＋x 21)(1＋x 22)、 ∵－1＜x 1＜x 2＜1，∴x 1－x 2＜0， 1＋x 21＞0， 1＋x 22＞0、又∵－1＜x 1x 2＜1，∴1－x 1x 2＞0， ∴f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)， ∴f (x )在(－1,1)上是增函数．。

北师大版高中数学必修一同步练习检测简单的幂函数

2-5 简单的幂函数基础巩固一、选择题1．下列说法中不正确的是( )A ．图像关于原点成中心对称的函数一定是奇函数B ．奇函数的图像一定过原点C ．偶函数的图像若不经过原点，则它与x 轴交点的个数一定是偶数个D ．图像关于y 轴呈轴对称的函数一定是偶函数 [答案] B[解析] ∵奇函数的图像不一定过原点，如y ＝1x，故应选B.2．已知函数f (x )是奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝x 2＋2x ，则当x <0时，f (x )＝( )A ．x 2＋2xB ．x 2－2xC ．－x 2－2xD ．－x 2＋2x [答案] D[解析] 令x <0，则－x >0，∴f (－x )＝(－x )2＋2(－x )＝x 2－2x ，又∵f (x )为奇函数，∴f (x )＝－f (－x )＝－(x 2－2x )＝－x 2＋2x .3．下列函数中，在(－∞，0)上是增函数的是( ) A ．y ＝x 3B ．y ＝x 2C ．y ＝1xD ．y ＝x 32[答案] A[解析] 结合函数图像，易知y ＝x 3在(－∞，0)上为增函数，故选A. 4．函数y ＝(m 2－m －1)x－5m －3为幂函数，则实数m 的值为( )A ．m ＝2B ．m ＝－1C ．m ＝－1或m ＝2D ．m ＝0 [答案] C[解析] 由幂函数的定义可得m 2－m －1＝1， ∴m 2－m －2＝0，解得m ＝－1或m ＝2. 5．给定下列命题：①当α＝0时，函数y＝xα的图像是一条直线②幂函数的图像都经过(0,0)，(1,1)两点③幂函数y＝xα的图像不可能在第四象限内④若幂函数y＝xα为奇函数，则y＝xα为定义域内的增函数其中正确命题的个数是( )A．0 B．1 C．2 D．3[答案] B[解析] 由幂函数的图像和性质知只有③是正确的．6．(2012·济宁高一检测)设f(x)是奇函数，且在(0，＋∞)内是增函数，又f(－3)＝0，则f(x)<0的解集是( )A．{x|－3<x<0或x>3}B．{x|x<－3或0<x<3}C．{x|x<－3或x>3}D．{x|－3<x<0或0<x<3}[答案] B[解析] x>0时f(3)＝－f(－3)＝0，又∵f(x)在(0，＋∞)内是增函数，∴x∈(0,3)时f(x)<0，又∵f(x)为奇函数．当x<0时，只有x∈(－∞，－3)时，f(x)<0，故选B.二、填空题7．已知定义在R上的偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上是增函数，则f(－2)、f(1)、f(－3)的大小关系是____________．[答案] f(1)<f(－2)<f(－3)[解析] ∵f(x)是定义在R上的偶函数，∴f(－2)＝f(2)，f(－3)＝f(3)，∵f(x)在[0，＋∞)上是增函数，且1<2<3，∴f(1)<f(2)<f(3)，即f(1)<f(－2)<f(－3)．8．函数f(x)＝(m2－m－1)xm2＋m－3是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(x)的解析式为________．[答案] f(x)＝x3[解析] 根据幂函数定义，得m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1.当m＝2时，f(x)＝x3在(0，＋∞)上是增函数；当m ＝－1时，f (x )＝x －3在(0，＋∞)上是减函数，不合题意．故f (x )＝x 3. 三、解答题9．判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝x 3＋x 2； (2)f (x )＝0；(3)f (x )＝(1＋x )3－3(1＋x 2)＋2；(4)f (x )＝⎩⎨⎧x －x x x＋xx；(5)f (x )＝1＋x 2＋x －11＋x 2＋x ＋1. [解析] (1)函数的定义域为R ，它关于原点对称，但f (－x )＝－x 3＋x 2与－f (x )和f (x )都不相等，所以f (x )＝x 3＋x 2为非奇非偶函数． (2)函数的定义域为R ，它关于原点对称，因为f (－x )＝0，f (x )＝0，即f (－x )＝f (x )，f (－x )＝－f (x )同时成立．所以f (x )＝0既是奇函数又是偶函数． (3)函数的定义域为R ，f (x )＝(1＋x )3－3(1＋x 2)＋2＝x 3＋3x ， f (－x )＝－x 3－3x ＝－f (x )．故f (x )是奇函数．(4)定义域为{x ∈R ，x ≠0}，而当x >0时，－x <0，f (－x )＝－x (1－x )＝－f (x )；当x <0时，－x >0，f (－x )＝－x (1＋x )＝－f (x )； ∴f (－x )＝－f (x )．故f (x )是奇函数． (5)法一：函数的定义域为实数集R ，且 f (－x )＋f (x )＝1＋x 2－x －11＋x 2－x ＋1＋1＋x 2＋x －11＋x 2＋x ＋1＝1＋x22－x ＋2]＋1＋x 22－x －2]1＋x 2＋2－x 2＝－2x ＋2x 21＋x 2＋2＝0， ∴f (－x )＝－f (x )，故f (x )在R 上是奇函数．法二：当x ≠0时，f (x )≠0，此时f －x f x ＝1＋x 2－x －11＋x 2－x ＋11＋x 2＋x －11＋x 2＋x ＋1＝1＋x 2－x －1＋x 2＋x ＋1＋x 2－x ＋1＋x 2＋x －＝1＋x 22－x ＋21＋x 22－x －2＝－2x 2x＝－1，即f (－x )＝－f (x )．当x ＝0时，f (－0)＝0＝－f (0)． ∴f (x )在R 上为奇函数.能力提升一、选择题1．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是( )A ．y ＝x 3B ．y ＝x 12C ．y ＝|x |＋1D ．y ＝－x 2＋1 [答案] C[解析] 对于A ，y ＝x 3是奇函数，A 错误；对于B ，定义域为[0，＋∞)，因此不是偶函数，B 错误；对于C ，在(0，＋∞)上单调递增，且为偶函数，故C 正确；对于D ，在(0，＋∞)上为减函数，D 错误．2．(2012·泰安模拟)已知定义域为R 的函数f (x )在(2，＋∞)上为增函数，且函数y ＝f (x ＋2)为偶函数，则下列结论不成立的是( )A ．f (0)>f (1)B ．f (0)>f (2)C ．f (1)>f (2)D ．f (1)>f (3) [答案] D[解析] ∵函数y ＝f (x ＋2)为偶函数，令g (x )＝f (x ＋2)，∴g (－x )＝f (－x ＋2)＝g (x )＝f (x ＋2)， ∴f (x ＋2)＝f (2－x )，∴函数f (x )的图像关于直线x ＝2对称，又∵函数f (x )在(2，＋∞)上为增函数，∴在(－∞，2)上为减函数，利用距对称轴x ＝2的远近可知，f (0)>f (1)、f (0)>f (2)、f (1)>f (2)，f (1)＝f (3)．二、填空题3．已知f (x )是偶函数，g (x )为奇函数，且f (x )＋g (x )＝1x ＋1，则f (x )＝__________；g (x )＝______.[答案]11－x 2 －x 1－x 2[解析] ∵f (x )＋g (x )＝1x ＋1， ∴f (－x )＋g (－x )＝1－x ＋1.又∵f (x )为偶函数，g (x )为奇函数， ∴f (－x )＝f (x )，g (－x )＝－g (x )． ∴f (x )－g (x )＝1－x ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧f x ＋g x ＝1x ＋1fx－g x ＝1－x ＋1，解之得⎩⎪⎨⎪⎧fx ＝11－x 2gx＝－x 1－x2.[答案] ⑥④③②⑦①⑤[解析] 由第一、二、三个图像在第一象限的单调性知，a<0，而第一个图像关于原点对称，为奇函数，第二个图像关于y轴对称，为偶函数；第三个在y轴左侧无图像，故这三个图像分别填⑥④③.由第四、五、六个图像在第一象限的特征知，0<α<1，再由其奇偶性及定义域知这三个图像应依次填②⑦①.第七个图像对应的幂指数大于1，故填⑤.三、解答题5．比较下列各组数的大小：[分析] 比较幂值的大小，可借助幂函数的单调性或取中间量进行比较．对于(1)，(2)，(3)可利用同指数或转化为同指数的幂函数进行比较，而(4)可找中间量进行比较．[解析] <3.1，6．已知函数f (x )＝ax 2＋1bx ＋c (a 、b 、c ∈Z )是奇函数，并且f (1)＝2，f (2)<3，求a 、b 、c .[分析] 根据定义，应使f (x )＋f (－x )＝0对定义域内的任意x 恒成立的式子即为恒等式．[解析] ∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，即ax 2＋1－bx ＋c ＝－ax 2＋1bx ＋c， ∴ax 2＋bx ＋c －bx ＋c－bx ＋c bx ＋c＝0，即2c ax 2＋－bx ＋c bx ＋c＝0.∵ax 2＋1不恒为0，∴c ＝0. 又∵f (1)＝2， ∴a ＋1b＝2.∴a ＋1＝2b . 又∵f (2)<3，∴4a ＋12b ＋0<3.将2b ＝a ＋1代入上式4a ＋1a ＋1<3，得a －2a ＋1<0.∴－1<a <2，∵a ∈Z ，∴a ＝0，或a ＝1.而a ＝0，b ＝12与b ∈Z 矛盾，故舍之．∴a ＝1，b ＝1，c ＝0.7．(1)定义在(－1,1)上的奇函数f (x )为减函数，且f (1－a )＋f (1－a 2)>0，求实数a 的取值范围．(2)定义在[－2,2]上的偶函数g (x )，当x ≥0时，g (x )为减函数，若g (1－m )<g (m )成立，求m 的取值范围．[解析] (1)∵f (1－a )＋f (1－a 2)>0， ∴f (1－a )>－f (1－a 2)． ∵f (x )是奇函数， ∴f (1－a )>f (a 2－1)．又∵f (x )在(－1,1)上为减函数，∴⎩⎨⎧1－a <a 2－1，－1<1－a <1，－1<1－a 2<1，解得1<a < 2.(2)因为函数g (x )在[－2,2]上是偶函数，则由g (1－m )<g (m )可得g (|1－m |)<g (|m |)．又当x ≥0时，g (x )为减函数，得到⎩⎨⎧|1－m |≤2，|m |≤2，|1－m |>|m |，即⎩⎨⎧－1≤m ≤3，－2≤m ≤2，－m 2>m 2，解之得－1≤m <12.。

高中数学第二章第5节简单的幂函数课时作业北师大版必修1

§5简单的幕函数11. 掌握幕函数的概念.2.熟悉a = 2,1时幕函数y=x "的图像与性质3理解奇、偶函数的定义及图像的性质.1,2,3 ,1•如果一个函数，底数是自变量X,指数是常量a,即y = x",这样的函数称为______________ •2 •—般地，图像关于_______ 对称的函数叫作奇函数，图像关于y轴对称的函数叫作偶函数.3. ____________________________________________ ⑴一般地，如果对于函数f(x)的定义域内 ___________________________________________ 一个x,都有 _________ ,那么函数f(x) —定是偶函数.⑵一般地，如果对于函数f(x)的定义域内_________ 一个x,都有__________ ，那么函数f(x)一定是奇函数.4. _____________________________________________ 幕函数y = x"，当a = 2k(k € Z)时，y= x"是________________________________________ 函数，当a = 2k—1 (k € Z)时, y= x "是______ 函数.(填“奇”或“偶”)一、选择题1. 下列函数中不是幕函数的是()A. y =B . y = x3C. y = 2x D . y= x—112. 幕函数f (x)的图像过点(4 , 2)，那么f(8)的值为()B. 64 D.丄642 -3 X=y是列卜的图像的是()4. 已知y= f(x) , x € ( —a, a), F(x) = f(x) + f ( —x)，贝U F(x)是()A. 奇函数B. 偶函数C. 既是奇函数又是偶函数D. 非奇非偶函数5. f(x)是定义在R上的奇函数，下列结论中，不正确的是A. f ( —x) + f (x) = 0B. f ( —x) —f (x) =—2f (x)C. f(x) • f ( —x) <0D.=—16•下面四个结论：①偶函数的图像一定与y轴相交；②奇函数的图像一定过原点；③偶函数的图像关于y轴对称；④没有一个函数既是奇函数，又是偶函数.其中正确的命题个数是()A. 1 B . 2C. 3 D . 4题号123456、填空题7•已知函数y= x「22的图像过原点，则实数m的取值范围是______________________ . & 偶函数y = f(x)的定义域为[t —4, t]，则t = ______________________ .9. __________________ 已知奇函数f(x)的定义域为R,且对于任意实数x都有f(x + 4) =f(x)，又f (1) = 4, 那么f[f(7)] = .三、解答题10. 判断下列函数的奇偶性：(1) f(x) = 3, x€ R;42⑵ f (x) = 5x —4x + 7, x€ [ —3,3];⑶ f (x) = |2x —1| —|2x+ 1| ;1—x2, x>0,⑷ f(x) = 0, x= 0, x2— 1 , x<0.211. 已知函数f(x) =(m+ 2m) • x m m, m为何值时，函数f(x)是：⑴ 正比例函数;(2) 反比例函数；(3) 二次函数; (4) 幂函数.能力提升12. 如图，幕函数y = X3" 7(m€ N)的图像关于y轴对称，且与x轴、y轴均无交点，求此函数的解析式．—X2+ 2x x>013. 已知奇函数f(x) = 0 x= 0 .2x + mx x<0(1) 求实数m的值，并在给出的直角坐标系中画出y= f (x)的图像；⑵若函数f (x)在区间［—1，a—2］上单调递增，试确定a的取值范围.轴对称，则其必为偶函数.§5简单的幕函数知识梳理 1. 幕函数 2.原点 3.(1)任意 f ( — x ) = f (x ) (2)任意f ( — x ) =— f (x )4•偶奇作业设计 1.C [根据幕函数的定义：形如 y = x "的函数称为幕函数，选项C 中自变量x 的系数是2，不符合幕函数的定义，所以C 不是幕函数.]12. A [设幕函数为y = x "，依题意，2= 4 “，4. B [ F ( — x ) = f ( — x ) + f (x ) = F (x ). 又x € ( — a , a )关于原点对称， • F (x )是偶函数.]5. D [ T f ( — x ) =— f (x ) , A 、B 显然正确，因为 f (x ) • f ( — x ) =— [f (x )] w 0,故 C 正确. 当x = 0时，由题意知f (0) = 0，故D 错误.]16. A [函数y = -2是偶函数，但不与 y 轴相交，故①错;x1函数y = -是奇函数，但不过原点，故②错；x函数f (x ) = 0既是奇函数又是偶函数，故④错.]37. m r —解析由幕函数的性质知一2 m — 3>0, 故 m r — |.& 2解析偶函数的定义域应当关于原点对称，故 t — 4= — t ，得t = 2. 9. 0解析 ••• f (7) = f (3 + 4) = f (3) = f ( — 1 + 4) = f ( — 1) =—f (1) =— 4,二 f [ f (7)] = f ( — 4) =— f (4) = — f (0 + 4) =— f (0) = 0. 10. 解(1) f ( — x ) = 3 = f (x ), • f (x )是偶函数.(2) T x € [ — 3,3] , f ( — x ) = 5( — x )4— 4( — x )2+ 7 =5x 4— 4x 2 + 7 = f (x ) , • f (x )是偶函数.(3) f ( — x ) = | — 2x — 1| — | — 2x + 1| =— (|2 x — 1| — |2x + 1|) = — f (x ), • f (x )是奇函数.2(4) 当 x >0 时，f (x ) = 1 — x ,此时—x <0,2 2即 22"= 2—1,1 2.•••幕函数为 3. B [y ==f (x )，即x -2• f ⑻=82 = 1 = 1 =述]x，…f(8) = 8「8 = 2：2=4.]=犢，.・.x € R , y >0, f ( — x ) = —— x 23 2 y = x 3是偶函数，又••• 3<1,二图像上凸.]2x 3•f( —x) = ( —x) — 1 = x —1, • f ( —x) =—f (x);2当x<0 时f (x) = x —1,2 2此时—x>0, f (- x) = 1 —( - x) = 1—x ,••• f( —x) =—f(x)；当x = 0 时，f (—0) =—f(0) = 0.综上，对x € R,总有f( —x) =—f (x),•f(x)为R上的奇函数.11. 解(1)若f (x)为正比例函数，2 ““m+ m- 1 = 1,则 2 ? m= 1.m+ 2m^0⑵若f (x)为反比例函数，2 “ “m+ m- 1 = —1,则 2 ? m= — 1.m+ 2m^0(3) 若f(x)为二次函数，则m+ m- 1= 2, —1 ± 13m+ 2m^0 2⑷若f(x)为幕函数，则吊+ 2m= 1,• m= — 1 ±2.12. 解由题意，得3m- 7<0.7•临■/ n€ N,「. m= 0,1 或2,•••幕函数的图像关于y轴对称，• 3m- 7为偶数.•/ m= 0 时，3m- 7=—7,m= 1 时，3m- 7=—4,m= 2 时，3 m- 7=—1.故当m= 1时，y= x—4符合题意.即y = x—4.13•解(1)当x<0 时，一x>0, f( —x) = —( —x)2+ 2( —x) 2=—x —2x.又f (x)为奇函数，2•f ( —x) =—f (x) =—x —2x,2•f(x) = x =2.y= f (x)的图像如图所示.⑵由⑴知f(x)—X2+ 2x x>0=0 x = 0 ,2x + 2x x<0由图像可知，f(x)在［—1,1］上单调递增，要使f(x)在［—1, a—2］上单调递增，只需解得l<a w 3. a—2>—1a—2<1。

北师大版必修一《2.5简单的幂函数》课时训练及答案

课时提能演练(十二) / 课后巩固作业(十二)(30分钟 50分)一、选择题（每小题4分，共16分）1.(2018·安溪高一检测）若幂函数y=f(x)的图像过点（4，2），则f(12)=( )22.函数f(x)=x3∈R),若f(a)=2,则f(-a)的值为( )(A)4 (B)-4 (C)-1 (D)-23.(2018·福州高一检测）已知偶函数f(x)在区间［0,+∞）上是增加的，则满足f(2x-1)＜f(13)的x的取值范围是( )(A)(13,23) (B)［13,23)(C)(12,23) (D)［12,23)4.(易错题)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x）=x2-2x，则f(x)在R上的表达式是( )[:(A)f(x)=x(x-2) (B)f(x)=|x|(|x|-2)(C)f(x)=|x|(x-2) (D)f(x)=x(|x|-2)二、填空题（每小题4分，共8分）5.若函数f(x)=x2+(b-2)x在［1-3a,2a］上是偶函数，则a=________,b=________.6.（2018·上海高考）已知y=f(x)是奇函数，若g(x)=f(x)+2且g(1)=1,则g(-1)=_____________.6.(易错题)幂函数y=(m2-4m+1)2m2m3x--的图像过原点，则实数m的值等于____________.三、解答题（每小题8分，共16分）7.(2018·上饶高一检测）已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=x(1+x).（1）求f(x)的解析式；(2)画出f(x)的图像.8.已知幂函数y=x p-3(p∈N+)的图像关于y轴对称，且在(0,+∞)上是减少的，求满足()p p3 3a1(32a)+-＜的a的取值范围.【挑战能力】（10分）已知函数f(x)的定义域是（-∞,0)∪(0,+∞),对定义域内的任意x1,x2都有f(x1x2)=f(x1)+f(x2),且当x＞1时,f(x)＞0.(1)求证:f(x)是偶函数;(2)求证:f(x)在(0,+∞)上是增加的;(3)试比较f(52-)与f(74)的大小.答案解析1.【解析】选C.设幂函数的解析式为f(x)=x α.∵点（4，2）在图像上，∴2=4α,∴()1122111,f x x ,f()()222α=∴=∴==2.【解析】选B.令g(x)=x 3+g(x)为奇函数， f(-a)=g(-a)-1,∵f(a)=g(a)-1=2,∴g(a)=3,∴f(-a)=-g(a)-1=-3-1=-4，故选B.3.【解析】选A.当2x-1≥0时，据题意知2x-1＜13, 此时解得12x 23≤＜;当2x-1＜0时，则1-2x ＞0, 又f(x)是偶函数,所以f(2x-1)=f(1-2x),所以f(2x-1)＜f(13),即f(1-2x)＜f (13), 所以1-2x ＜13,解得13＜x ＜12. 综上可知13＜x ＜23. 4.【解析】选D.设x ＜0，则-x ＞0，∴f(-x)=x 2+2x.又∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x),∴f(x)=-x 2-2x,x ＜0.∴f(x)=x(|x|-2),x ∈R ，故选D.【变式训练】已知函数f(x)是奇函数,当x ＞0时求当x ＜0时,f(x)的表达式.【解析】设x ＜0,则-x ＞0,∴又∵函数f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x),∴因此,当x ＜0时,f(x)的表达式为5.【解析】∵函数f(x)是偶函数,∴f(-x)=f(x)，解得b=2.又函数的定义域关于原点对称，故1-3a+2a=0,解得a=1.答案：1 2【变式训练】已知函数f(x)=ax 2+bx+3a+b 为偶函数，其定义域为［a-1,2a ］，求f(x)的值域.【解析】∵f(x)=ax 2+bx+3a+b 为［a-1,2a ］上的偶函数, 1a 12a 0,a ,3b 0,b 0,⎧-+==⎧⎪∴∴⎨⎨=⎩⎪=⎩ 即f(x)=13x 2+1. ∴f(x)=13x 2+1在［22,33-］上的值域为［1,3127］. 6.【解析】由已知条件得g(1)=f(1)+2=1,得f(1)=-1,而函数y=f(x)是奇函数，所以f(-1)=-f(1)=1，故g(-1)=f(-1)+2=1+2=3.答案:36.【解析】∵函数y=22m 2m 3(m 4m 1)x ---+是幂函数，∴m 2-4m+1=1,∴m=0或m=4,当m=0时y=x -3与图像过原点相矛盾；当m=4时y=x 5,图像过原点，∴m=4.答案：4【误区警示】本题易忽视“图像过原点”这一条件而导致错解.7.【解析】（1）因为x ≥0时，f(x)=x(1+x),所以当x<0时，-x>0,∴f(-x)=-x(1-x),又因为f(x)为奇函数，所以f(-x)=-f(x),∴-f(x)=-x(1-x),∴f(x)=x(1-x), 综上()x 1x ,x 0,f x x 1x ,x 0.+ ≥⎧=⎨- <⎩（）（） (2)f(x)的图像如图所示.8.【解题指南】根据幂函数的性质确定p 的取值，然后再根据幂函数的单调性求a 的取值范围.【解析】∵函数y=x p-3在(0,+∞)上是减少的,∴p-3＜0，即p ＜3.又∵p ∈N +,∴p=1或p=2.∵函数y=x p-3的图像关于y 轴对称,∴p-3是偶数，∴取p=1,即y=x -2,∵()1133a 1(32a)+-＜，函数y=13x 在(-∞,+∞)上是增加的,[:∴由()1133a 1(32a)+-＜，得a+1＜3-2a,即a ＜23. ∴所求a 的取值范围是(-∞,23). 【挑战能力】【解题指南】(1)利用赋值法证明f(-x)=f(x);(2)利用定义法证明单调性;(3)利用函数的单调性比较它们的大小.【解析】（1）由题意知函数f(x)的定义域关于原点对称，因为对定义域内的任意x 1,x 2都有f(x 1x 2)=f(x 1)+f(x 2). 令x 1=x 2=1,得f(1)=2f(1),∴f(1)=0;令x 1=x 2=-1,得f((-1)×(-1))=f(-1)+f(-1),即f(1)=2f(-1),即2f(-1)=0,∴f(-1)=0.∵f(-x)=f((-1)·x)=f(-1)+f(x)=f(x),∴f(x)是偶函数.(2)设0＜x 1＜x 2，则f(x 2)-f(x 1)=f(x 1·21x x )-f(x 1)=f(x 1)+f(21x x )-f(x 1)=f(21x x ). ∵x 2＞x 1＞0，∴21x x ＞1, ∴f(21x x )＞0，即f(x 2)-f(x 1)＞0, ∴f(x 1)＜f(x 2)，∴f(x)在(0,+∞)上是增加的.(3)由（1）知f(x)是偶函数,则有f 55()f ().22-=由(2)知f(x)在(0,+∞)上是增加的,则5757f()f(),f()f().2424∴-＞＞。

北师大版数学高一必修1课后训练简单的幂函数 (1)

课时训练12 简单的幂函数1．已知函数f (x )＝(a ＋2)x －2是幂函数，则f (a )的值为( )．A ．1B ．－1C ．±1D ．02．已知函数f (x )＝x 4，则其图像( )．A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．关于直线y ＝x 对称3．下列表示具有奇偶性的函数的图像可能是( )．4．函数()1f x x =-，若f (a )＝2，则f (－a )＝( )．A ．－2B ．2C ．1D ．－45．设函数f (x )和g (x )分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( )．A ．f (x )＋|g (x )|是偶函数B ．f (x )－|g (x )|是奇函数C ．|f (x )|＋g (x )是偶函数D ．|f (x )|－g (x )是奇函数6．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，在(－∞，0]上是减少的，且f (3)＝0，则使f (x )＜0的x 的范围为( )．A ．(－3,0)∪(3，＋∞)B ．(3，＋∞)C ．(－∞，3)∪(3，＋∞)D ．(－3,3)7．若函数f (x )＝ax 3在[3－a,5]上是奇函数，则a ＝______.8．若幂函数f (x )的图像过点2,2⎛ ⎝⎭，则f (9)＝__________.9．已知f (x )是奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝x |x －2|，求当x ＜0时的解析式．10．(1)函数y＝f(x)是偶函数，且在(－∞，0]上是增加的，试比较78f⎛⎫- ⎪⎝⎭与f(1)的大小；(2)已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，求f(x)，g(x)的表达式．参考答案1答案：A 解析：由于f (x )是幂函数，所以a ＋2＝1，即a ＝－1.于是f (x )＝x －2，故f (－1)＝(－1)－2＝1.2答案：B 解析：∵f (－x )＝x 4＝f (x )，∴函数f (x )为偶函数，其图像关于y 轴对称．3答案：B4答案：D 解析：令g(x x ，则g (x )为奇函数．∵f (a )＝g (a )－1＝2，∴g (a )＝3.∴f (－a )＝g (－a )－1＝－g (a )－1＝－4，故选D.5答案：A 解析：∵函数f (x )和g (x )分别是R 上的偶函数和奇函数，∴f (－x )＝f (x )，g (－x )＝－g (x )．令F (x )＝f (x )＋|g (x )|，F (－x )＝f (－x )＋|g (－x )|＝f (x )＋|－g (x )|＝f (x )＋|g (x )|＝F (x )．故F (x )为偶函数．即f (x )＋|g (x )|是偶函数．6答案：D 解析：由已知可得f (－3)＝f (3)＝0，结合函数的奇偶性和单调性可画出函数f (x )的大致图像(如图)．由图像可知f (x )＜0时，x 的取值范围是(－3,3)． 7答案：8 解析：由奇函数定义域的特点知3－a ＝－5，得a ＝8.8答案：13 解析：设f (x )＝x α，则有22α=，解得1=2α-，即f (x )＝12x -，于是f (9)＝129-＝13. 9答案：解：∵当x ＜0时，－x ＞0，∴f (－x )＝－x |(－x )－2|＝－x |x ＋2|.∵函数f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )．∴－f (x )＝－x |x ＋2|.∴f (x )＝x |x ＋2|.10答案：解：(1)∵71<8--，且函数y ＝f (x )在(－∞，0]上是增加的，∴7(1)<8f f ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 又∵y ＝f (x )是偶函数，∴f (－1)＝f (1)．∴f (1)＜78f ⎛⎫- ⎪⎝⎭.(2)由f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，①得f(－x)＋g(－x)＝x2－x－2.∵f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，∴f(x)－g(x)＝x2－x－2.②①＋②得2f(x)＝2x2－4，∴f(x)＝x2－2.①－②得2g(x)＝2x，∴g(x)＝x.。

高中数学第二章函数 2.5 简单的幂函数学案(含解析)北师大版必修1-北师大版高一必修1数学学案

§5简单的幂函数知识点一幂函数性质与图像[填一填]1．幂函数如果一个函数，底数是自变量x，指数是常数α，即y＝xα，这样的函数称为幂函数．2．幂函数性质与图像所有的幂函数在(0，＋∞)上有定义，并且图像都过点(1,1)，如果α>0，则幂函数的图像还过(0,0)，并在区间[0，＋∞)上递增；如果α<0，则幂函数在区间(0，＋∞)上递减，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图像与y轴无限接近；当x趋向于＋∞时，图像与x轴无限接近．[答一答]1．幂函数y＝xα的图像在第一象限内有何特征？提示：幂函数y＝xα的图像在第一象限内具有如下特征：直线x＝1，y＝1，y＝x将直角坐标平面在第一象限的直线x＝1的右侧分为三个区域(Ⅰ)、(Ⅱ)、(Ⅲ)如图：则α∈(1，＋∞)⇔y＝xα的图像经过区域(Ⅰ) ，如y＝x2；α∈(0,1)⇔y＝xα的图像经过区域(Ⅱ)，如y＝x；α∈(－∞，0)⇔y＝xα的图像经过区域(Ⅲ)，如y＝1x.并且在直线x＝1的右侧，从x轴起，幂函数y＝xα的指数α由小到大递增，即“指大图高”、“指小图低”，在直线x＝1的左侧，图像从下到上，相应的指数由大变小．知识点二奇函数与偶函数[填一填]3．奇函数与偶函数(1)一般地，图像关于原点对称的函数叫作奇函数．在奇函数f(x)中，f(x)与f(－x)绝对值相等，符号相反，即f(－x)＝－f(x)；反之，满足f(－x)＝－f(x)的函数y＝f(x)一定是奇函数．(2)一般地，图像关于y轴对称的函数叫作偶函数．在偶函数f(x)中，f(x)与f(－x)的值相等，即f(－x)＝f(x)；反之，满足f(－x)＝f(x)的函数y＝f(x)一定是偶函数．(3)当函数f(x)是奇函数或偶函数时，称函数f(x)具有奇偶性．[答一答]2．(1)若奇函数y＝f(x)在x＝0处有定义，则f(0)的值是否唯一确定？提示：若奇函数y＝f(x)在x＝0处有定义，由f(0)＝－f(0)可知，f(0)＝0，故f(0)的值是唯一确定的，即一定有f(0)＝0.(2)偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反，最值相反吗？奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，最值相同吗？提示：偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反，最值相同；奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，最值不同．1．幂函数图像的分布特点和规律幂函数在第一象限内的图像，在经过点(1,1)且平行于y轴的直线的右侧，按幂指数由小到大的关系幂函数的图像从下到上的分布．2．幂函数y＝xα(α∈R)的图像和性质(1)当α>0时，图像过点(1,1)，(0,0)且在第一象限随x的增大而上升，函数在区间[0，＋∞)上是单调增函数．(2)当α<0时，幂函数y＝xα图像的基本特征：过点(1,1)，且在第一象限随x的增大而下降，函数在区间(0，＋∞)上是单调减函数，且向右无限接近x轴，向上无限接近y轴．(3)当α为奇数时，幂函数为奇函数；当α为偶数时，幂函数为偶函数．3．奇、偶函数图像对称性的缘由若函数f(x)是奇函数，对函数f(x)图像上任一点M(x，f(x))，则点M关于原点的对称点为M′(－x，－f(x))．又f(－x)＝－f(x)，则有M′(－x，f(－x))，所以点M′也在函数f(x)的图像上，所以奇函数的图像关于原点对称．同理可证偶函数的图像关于y轴对称．4．奇、偶函数图像的几点说明(1)一个函数为偶函数，其图像一定关于y轴对称，但是却不一定与y轴相交．(2)既是奇函数又是偶函数的函数图像在x轴上．如y＝0，x∈[－1,1]既是奇函数又是偶函数．(3)从图像上看：函数的奇偶性体现的是对称性，单调性体现的是升降性．(4)根据以上奇、偶函数图像对称性的特点可以解决已知奇、偶函数在某区间的部分图像，画出其关于原点或y轴对称的另一部分的图像问题.类型一幂函数的概念【例1】已知函数y＝(m2－m－5)x m＋1是幂函数，求m的值，并写出函数解析式．【思路探究】幂函数的解析式形如y＝xα(α∈R)，幂值前面的系数为1，底数为x，α∈R为常数．【解】∵y＝(m2－m－5)x m＋1为幂函数，∴y可以写成y＝xα(α为常数)的形式，∴m2－m－5＝1，解得m＝3或m＝－2.当m＝3时，m＋1＝4，此时y＝x4；当m＝－2时，m＋1＝－1，此时y＝x－1.规律方法判断一个函数是否为幂函数，依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式．幂函数的解析式为一个幂的形式，且满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1.反过来，若一个函数为幂函数，则该函数也必具有上述形式，这是我们解决某些问题的一个隐含条件．(1)以下四个函数：y ＝x 0；y ＝x －2；y ＝(x ＋1)2；y ＝2·x 13 中，是幂函数的有( B ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：形如y ＝x α(α为常数)的函数为幂函数，所以只有y ＝x 0，y ＝x －2为幂函数． (2)f (x )＝(m 2－m －1)x m 2－2m －1是幂函数，则实数m ＝2或－1.解析：f (x )＝(m 2－m －1)x m 2－2m －1是幂函数，所以m 2－m －1＝1，解得m ＝－1或2. 类型二幂函数的性质【例2】幂函数y ＝x α中α的取值集合C 是{－1,0，12，1,2,3}的子集，当幂函数的值域与定义域相同时，集合C 为( )A ．{－1,0，12}B ．{12，1,2}C ．{－1，12，1,3}D ．{12，1,2,3}【思路探究】根据常见的幂函数的图像与性质进行逐一判断．【解析】根据幂函数y ＝x －1，y ＝x 0，y ＝x 12，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3的图像和解析式可知，当α＝－1，12，1,3时，相应幂函数的值域与定义域相同．【答案】 C规律方法 1.画幂函数的图像时，可先画出其在第一象限内的图像，再由定义域、单调性、奇偶性得出在其他象限内的图像．2．幂函数图像的特征：(1)在第一象限内，直线x ＝1的右侧，y ＝x α的图像由上到下，指数α由大变小；在第一象限内，直线x ＝1的左侧，y ＝x α的图像由上到下，指数α由小变大．(2)当α>0时，幂函数的图像都经过(0,0)和(1,1)点，在第一象限内，当0<α≤1时，曲线上凸；当α≥1时，曲线下凸；当α<0时，幂函数的图像都经过(1,1)点，在第一象限内，曲线下凸．如图，图中曲线是幂函数y ＝x α在第一象限的大致图像．已知α取－2，－12，12，2四个值，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的α的值依次为( B )A ．－2，－12，12，2B ．2，12，－12，－2C ．－12，－2,2，12D ．2，12，－2，－12解析：解法1：在第一象限内，在直线x ＝1的右侧，y ＝x α的图像由上到下，指数α由大变小，故选B.解法2：赋值法．令x ＝4，则4－2＝116，4－12＝12，412＝2,42＝16，易知选B.类型三幂函数性质的应用【思路探究】注意分情况讨论要做到不重不漏．先根据条件确定m 的值，再利用幂函数的增减性求实数a 的取值范围．【解】因为函数在(0，＋∞)上递减，所以m 2－2m －3<0，解得－1<m <3. 又因为m ∈N ＋，所以m ＝1或2，由函数图像关于y 轴对称知，m 2－2m －3为偶数，所以m ＝1.把m ＝1代入不等式得(a ＋1)－ 13<(3－2a )－ 13.因为y ＝x － 13在(－∞，0)和(0，＋∞)上均递减，所以有a ＋1>3－2a >0或0>a ＋1>3－2a 或a ＋1<0<3－2a ，解得23<a <32或a <－1.即a 的取值范围是(－∞，－1)∪(23，32)．规律方法作直线x ＝m (m >1)，它与若干个幂函数的图像相交，交点从上到下的排列顺序正是幂指数的降序排列，故可利用其比较指数α的大小．(1)已知(0.71.3)m <(1.30.7)m ，则m 的取值范围是m >0.解析：根据幂函数y ＝x 1.3的图像，当0<x <1时，0<y <1，所以0<0.71.3<1，又根据幂函数y ＝x 0.7的图像，当x >1时y >1，所以1.30.7>1，于是有0.71.3<1.30.7，又(0.71.3)m <(1.30.7)m ，所以m >0. (2)已知幂函数y ＝f (x )的图像过点(2，22)，试求出此函数的解析式，并作出图像，判断奇偶性、单调性．解：设幂函数解析式为y ＝x α，将点(2，22)的坐标代入，得2α＝22，解得α＝－12，所以函数的解析式y ＝x － 12.定义域为(0，＋∞)，它不关于原点对称，所以，y ＝f (x )是非奇非偶函数．当x >0时，f (x )是单调减函数，函数的图像如图．下面用定义证明y ＝x － 12 ＝1x 在(0，＋∞)上为减函数：设x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1<x 2，则Δx ＝x 2－x 1>0， Δy ＝y 2－y 1＝1x 2－1x 1＝x 1－x 2x 1x 2＝(x 1－x 2)x 1x 2(x 1＋x 2)＝－Δxx 1x 2(x 1＋x 2)<0，所以y ＝x － 12 ＝1x 在(0，＋∞)上为减函数．类型四函数奇偶性的判断【例4】判断下列函数的奇偶性． (1)f (x )＝x 4＋3x 2； (2)f (x )＝x －1x ；(3)f (x )＝0，x ∈(－1,1]； (4)f (x )＝－2x ＋1.【思路探究】先确定函数的定义域是否关于原点对称，再看f (－x )与f (x )之间的关系．【解】 (1)函数f (x )的定义域为R ，关于原点对称． ∵f (－x )＝(－x )4＋3(－x )2＝x 4＋3x 2＝f (x )， ∴函数f (x )为偶函数．(2)函数f (x )的定义域为{x |x ≠0}，关于原点对称． ∵f (－x )＝－x －1－x ＝－⎝⎛⎭⎫x －1x ＝－f (x )， ∴函数f (x )为奇函数．(3)函数f (x )的定义域为(－1,1]，不关于原点对称，故函数f (x )既不是奇函数也不是偶函数． (4)函数f (x )的定义域为R ，关于原点对称． ∵f (－x )＝－2(－x )＋1＝2x ＋1≠±f (x )， ∴函数f (x )既不是奇函数也不是偶函数．规律方法 1.用定义判断函数奇偶性的步骤是：2．在客观题中，多个函数有公共定义域时也可以利用如下性质判断函数的奇偶性： (1)偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数； (2)奇函数的和、差仍为奇函数；(3)两个奇函数的积为偶函数，两个奇函数的商(分母不为零)也为偶函数； (4)一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数．判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝x 3＋1x 3；(2)f (x )＝x － 53； (3)f (x )＝x 4＋1x 2＋1；(4)f (x )＝2－x ＋x －2.解：(1)函数f (x )＝x 3＋1x 3的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．又∵f (－x )＝－x 3＋1－x 3＝－⎝⎛⎭⎫x 3＋1x 3＝－f (x )， ∴函数f (x )＝x 3＋1x3是奇函数．(2)函数f (x )＝x － 53的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．又∵f (－x )＝(－x ) － 53＝13(－x )5＝－13x 5＝－x － 53＝－f (x )，∴函数f (x )＝x － 53是奇函数．(3)函数f (x )＝x 4＋1x 2＋1的定义域是R ，关于原点对称．又∵f (－x )＝(－x )4＋1(－x )2＋1＝x 4＋1x 2＋1＝f (x )，∴函数f (x )＝x 4＋1x 2＋1是偶函数．(4)函数f (x )＝2－x ＋x －2的定义域为{2}，不关于原点对称，∴该函数既不是奇函数也不是偶函数．类型五利用函数奇偶性求函数的解析式【例5】若f (x )是定义在R 上的奇函数，当x <0时，f (x )＝x (1－x )，求当x ≥0时，函数f (x )的解析式．【思路探究】解决本题的关键是利用奇函数的关系式f (－x )＝－f (x )将x <0时f (x )的解析式转化到x >0上．同时要注意f (0)＝0.【解】 ∵f (x )是奇函数，∴当x >0时，f (x )＝－f (－x )＝－{(－x )[1－(－x )]}＝x (1＋x )，当x ＝0时，f (0)＝－f (0)，即f (0)＝0.∴当x ≥0时，f (x )＝x (1＋x )．规律方法 1.解答本题时，很容易遗漏x ＝0的情况，在区间转化时要细心．2．利用函数的奇偶性求解函数的解析式，主要利用函数奇偶性的定义．求解一般分以下三个步骤：(1)设所求函数解析式中所给的区间上任一个x ，即求哪个区间上的解析式，就设x 在哪个区间上．(2)把所求区间内的变量转化到已知区间内．(3)利用函数奇偶性的定义f (x )＝－f (－x )或f (x )＝f (－x )求解所求区间内的解析式．(1)已知f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 为偶函数，其定义域为[a －1,2a ]，则a ＝13，b ＝0.解析：因为f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，且定义域为[a －1,2a ]，所以a －1＋2a ＝0，a ＝13，所以f (－x )＝f (x )恒成立．所以－bx ＝bx ，所以b ＝0. (2)函数f (x )为R 上的奇函数，且当x <0时，f (x )＝x (x －1)，则当x >0时，f (x )＝－x (x ＋1)．解析：当x >0时，－x <0，所以f (－x )＝－x (－x －1)＝x (x ＋1)，又因为f (x )为R 上的奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，所以－f (x )＝x (x ＋1)，所以f (x )＝－x (x ＋1)．——易错误区—— 函数奇偶性判断中的误区【例6】以下说法中：(1)函数f (x )＝5x 2，x ∈(－3,3]是偶函数．(2)f (x )＝x 3＋1x 是奇函数．(3)函数f (x )＝|x －2|是偶函数．(4)函数f (x )＝0，x ∈[－2,2]既是奇函数，又是偶函数．正确的有( )A ．(1)(2)B ．(1)(4)C ．(2)(4)D ．(3)(4)【错解】选B 或选D【正解】 C 对于(1)，函数f (x )＝5x 2，x ∈(－3,3]的定义域不关于原点对称①，故该函数是非奇非偶函数，故(1)错误．对于(2)，函数f(x)＝x3＋1的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且能满足f(－x)＝－f(x)，x所以是奇函数，故(2)正确．对于(3)，函数f(x)＝|x－2|是由f(x)＝|x|的图像向右平移了两个单位得到的②，图像不关于y轴对称，所以(3)错误．对于(4)，函数f(x)＝0，x∈[－2,2]图像既关于原点对称又关于y轴对称，所以(4)正确，因此正确的只有(2)(4)．【错因分析】 1.忽视了①处函数的定义域x∈(－3,3]不关于原点对称，出现只是根据f(－x)＝f(x)而判定为偶函数的错误；2．忽视了②处函数f(x)＝|x－2|的图像不关于y轴对称，出现只看到绝对值，就认为是偶函数的错误．【防范措施】 1.定义域优先的原则由奇偶函数的定义，“对于函数定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)”可知，具有奇偶性的函数的定义域必是关于原点对称．如本例中(1)函数f(x)＝5x2，x∈(－3,3]的定义域不关于原点对称，所以不具有奇偶性．2．注意图像的变换一些常用的图像平移、变换要牢记，如本例中函数f(x)＝|x－2|，就是要根据y＝|x|的图像特征来平移得到，因为函数y＝|x|的图像关于y轴对称，而向右平移2个单位后图像就不再关于y轴对称，故可得结论．函数f(x)＝|x－2|－|x＋1|是(C)A．偶函数B．奇函数C．非奇非偶函数D．既奇又偶函数解析：f(x)＝|x－2|－|x＋1|当x≥2时，f(x)＝x－2－x－1＝－3，当x≤－1时，f(x)＝2－x＋x＋1＝3，当－1<x<2时，f(x)＝2－x－x－1＝1－2x.画出图像如图．由图知f(x)为非奇非偶函数．一、选择题1．下列所给函数中，是幂函数的是(C)A．y＝－x3B．y＝3xC．y＝x 12D．y＝x2－1解析：幂函数的形式为y＝xα，只有C符合．2．幂函数y＝xα(α∈R)的图像一定不经过(A)A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限解析：∵α∈R，x>0，∴y＝xα>0，∴图像不可能经过第四象限，故选A.3．已知函数f(x)是奇函数，且当x≥0时，f(x)＝x2＋2x，则当x<0时，f(x)＝(D) A．x2＋2x B．x2－2xC．－x2－2x D．－x2＋2x解析：令x<0，则－x>0，∴f(－x)＝(－x)2＋2(－x)＝x2－2x，又∵f(x)为奇函数，∴f(x)＝－f(－x)＝－(x2－2x)＝－x2＋2x.二、填空题4．已知幂函数f (x )的图像经过点(2，2)，则f (4)＝2. 解析：设f (x )＝x α，∴α＝12，∴f (4)＝4 12 ＝2.5．已知函数f (x )＝a (x ＋1)－2|x |＋1的图像关于原点对称，则实数a ＝2.解析：由题意可知f (x )为奇函数，且奇函数f (x )＝a (x ＋1)－2|x |＋1在x ＝0处有意义，∴f (0)＝0，∴a －21＝0，∴a ＝2. 三、解答题6．已知f (x )＝(m 2－2m －2)x m －1是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递增．(1)求m 的值；(2)求函数g (x )＝f (x )－2ax ＋1在区间[2,3]上的最小值h (a )．解：(1)∵f (x )＝(m 2－2m －2)x m －1是幂函数， ∴m 2－2m －2＝1，解得m ＝3或m ＝－1；又f (x )在(0，＋∞)上单调递增，∴m －1>0，∴m 的值为3.(2)函数g (x )＝f (x )－2ax ＋1＝x 2－2ax ＋1＝(x －a )2＋1－a 2，当a <2时，g (x )在区间[2,3]上单调递增，最小值为h (a )＝g (2)＝5－4a ；当2≤a ≤3时，g (x )在区间[2,3]上先减后增，最小值为h (a )＝g (a )＝1－a 2；当a >3时，g (x )在区间[2,3]上单调递减，最小值为h (a )＝g (3)＝10－6a .。

高中数学第二章函数 2.5 简单的幂函数练习北师大版必修1

§5 简单的幂函数A组1.下列函数为幂函数的是()①y=k·x5(k≠0);②y=x2+x-2;③y=x2;④y=(x-2)3.A.①③B.①②C.①③④D.③解析:形如y=xα(α是常数)才是幂函数,根据这一定义可知,只有y=x2是幂函数,故选D.答案:D2.对定义在R上的任意奇函数f(x),都有()A.f(x)-f(-x)>0(x∈R)B.f(x)f(-x)≤0(x∈R)C.f(x)-f(-x)≤0(x∈R)D.f(x)f(-x)>0(x∈R)解析:由奇函数的定义知,f(-x)=-f(x),当x=0时f(-x)=-f(x)=0,当x≠0时,f(-x)与f(x)互为相反数,所以f(x)·f(-x)≤0,故选B.答案:B3.函数y=(k2-k-5)x2是幂函数,则实数k的值是()A.k=3B.k=-2C.k=3或k=-2D.k≠3且k≠-2解析:由题意,得k2-k-5=1,即k2-k-6=0,解得k=-2或k=3,故选C.答案:C4.已知函数f(x)是[-5,5]上的偶函数,f(x)在[0,5]上具有单调性,且f(-3)<f(-1),则下列不等式一定成立的是()A.f(-1)<f(3)B.f(2)<f(3)C.f(-3)<f(5)D.f(0)>f(1)解析:由于函数f(x)是[-5,5]上的偶函数,因此f(x)=f(|x|),于是f(-3)=f(3),f(-1)=f(1),则f(3)<f(1).又f(x)在[0,5]上具有单调性,从而函数f(x)在[0,5]上是减少的,观察各选项,并注意到f(x)=f(|x|),只有D正确.答案:D5.已知f(x)是定义在R上的偶函数,在(-∞,0]上是减少的,且f(3)=0,则使f(x)<0的x的取值范围为()A.(-3,0)∪(3,+∞)B.(3,+∞)C.(-∞,3)∪(3,+∞)D.(-3,3)解析:由已知可得f(-3)=f(3)=0,结合函数的奇偶性和单调性可画出函数f(x)的大致图像(如图所示).由图像可知f(x)<0时,x的取值范围是(-3,3).答案:D6.设f(x)是定义在R上的奇函数,当x≤0时,f(x)=2x2+x+1,则f(1)=.解析:∵f(x)是R上的奇函数,∴f(1)=-f(-1)=-[2×(-1)2+(-1)+1]=-2.答案:-27.若函数f(x)=4x2+bx-1是偶函数,则实数b=.解析:由已知得f(-x)=f(x)对任意x∈R恒成立,即4(-x)2-bx-1=4x2+bx-1,于是bx=-bx,故b=0.答案:08.已知f(x)是定义域为R的偶函数,当x>0时,f(x)=x2+x,则当x<0时,f(x)=.解析:设x<0,则-x>0,∴f(-x)=(-x)2-x=x2-x.∵f(x)是定义域为R的偶函数,∴f(x)=f(-x)=x2-x,∴当x<0时,f(x)=x2-x.答案:x2-x9.导学号91000079已知函数f(x)=(2m-3)x m+1是幂函数.(1)求m的值;(2)判断f(x)的奇偶性.解:(1)因为f(x)是幂函数,所以2m-3=1,即m=2.(2)由(1)得f(x)=x3,其定义域为R,且f(-x)=(-x)3=-x3=-f(x),故f(x)是奇函数.10.导学号91000080(拓展探究)已知函数f(x)=x+,且f(1)=2.(1)求m;(2)判断f(x)的奇偶性;(3)函数f(x)在(1,+∞)上是增函数还是减函数?并说明.解:(1)因为f(1)=2,所以1+m=2,即m=1.(2)由(1)知f(x)=x+,显然函数定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,又f(-x)=(-x)+=-x-=-=-f(x),所以,函数f(x)=x+是奇函数.(3)函数f(x)在(1,+∞)上是增函数,设x1,x2是(1,+∞)上的任意两个实数,且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=x1+=x1-x2+=x1-x2-=(x1-x2),当1<x1<x2时,x1x2>1,x1x2-1>0,从而f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),所以函数f(x)=x+在(1,+∞)上为增函数.B组1.已知f(x)=ax7-bx5+cx3+2,且f(-5)=m,则f(5)+f(-5)的值为()A.4B.0C.2mD.-m+4解析:设g(x)=ax7-bx5+cx3,则g(x)在R上为奇函数,f(-5)=g(-5)+2=m,∴g(-5)=m-2.∴g(5)=2-m.∴f(5)=g(5)+2=4-m.∴f(5)+f(-5)=4-m+m=4.答案:A2.若函数f(x)=为奇函数,则a=()A. B. C. D.1解析:由已知得f(x)=定义域关于原点对称,其定义域为,由f(-x)+f(x)=0化简得(2a-1)x2=0,所以a=,故选A.答案:A3.若函数f(x)是定义在R上的偶函数,在(-∞,0]上是减少的,且f(-2)=0,如图所示,则使得f(x)<0的x的取值范围是()A.(-∞,2)B.(2,+∞)C.(-∞,-2)∪(2,+∞)D.(-2,2)解析:由图可得在(-∞,0)上,f(x)<0的解集为(-2,0].因为f(x)为偶函数,所以x的取值范围为(-2,2).答案:D4.已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)上是增加的,则满足f(2x-1)<f的x的取值范围是()A. B.C. D.解析:作出示意图如图所示.由图可知,f(2x-1)<f,则-<2x-1<,即<x<.答案:A5.导学号91000081已知幂函数f(x)=(t3-t+1)(t∈Z)是偶函数,且在(0,+∞)上是增加的,则函数的解析式为.解析:∵f(x)是幂函数,∴t3-t+1=1,解得t=-1或t=0或t=1.当t=0时,f(x)=是非奇非偶函数,不满足题意;当t=1时,f(x)=是偶函数,但在(0,+∞)上是减少的,不满足题意;当t=-1时,f(x)=x2,满足题意.综上所述,实数t的值为-1,所求解析式为f(x)=x2.答案:f(x)=x26.(创新题)已知f(x),g(x)均为奇函数,且F(x)=af(x)+bg(x)+2在(0,+∞)上的最大值是5,则F(x)在(-∞,0)上的最小值为.解析:∵F(x)=af(x)+bg(x)+2在(0,+∞)上的最大值是5,且f(x),g(x)均为奇函数, ∴F(x)-2=af(x)+bg(x)在(0,+∞)上的最大值是3.根据函数的性质可知F(x)-2=af(x)+bg(x)在(-∞,0)上的最小值是-3,∴F(x)=af(x)+bg(x)+2在(-∞,0)上的最小值为-1.答案:-17.导学号91000082已知f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,且f(x)+g(x)=x2+x-2,求f(x),g(x)的解析式.解:由f(x)+g(x)=x2+x-2,①得f(-x)+g(-x)=x2-x-2.∵f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,∴f(x)-g(x)=x2-x-2.②①+②得2f(x)=2x2-4,∴f(x)=x2-2.①-②得2g(x)=2x,∴g(x)=x.8.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x2-2x+m.(1)求m及f(-3)的值;(2)求f(x)的解析式,并画出简图;(3)写出f(x)的单调区间(不用证明).解:(1)∵f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(0)=0,∴m=0,∴当x≥0时,f(x)=x2-2x,∴f(-3)=-f(3)=-3.故m=0,f(-3)=-3.(2)当x<0时,-x>0,∴f(-x)=(-x)2-2(-x)=x2+2x.∵f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(-x)=-f(x),∴-f(x)=x2+2x,即f(x)=-x2-2x(x<0).∴f(x)=画出f(x)的图像如图所示.(3)由f(x)的图像,可知f(x)在(-∞,-1]和[1,+∞)上是增加的,在[-1,1]上是减少的.。

北师大版高中数学必修一简单的幂函数同步练习

第二章函数§5 简单的幂函数(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．函数f (x )＝|x |＋1是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数【解析】函数定义域为R ，f (－x )＝|－x |＋1＝f (x )，∴f (x )是偶函数，故选B.【答案】 B2．下列函数中，定义域为R 的是( )A ．y ＝x －2B ．12y x =C ．y ＝x 2D ．y ＝x －1 【解析】对A ，由y ＝x －2＝1x 2知x ≠0；对B ，12y x =＝x ，知x ≥0；对D ，由y ＝x －1＝1x知x ≠0，故A 、B 、D 中函数定义域均不为R ，从而选C. 【答案】 C3．函数y ＝(x ＋2)(x －a )是偶函数，则a ＝( )A ．2B ．－2C ．1D ．－1【解析】结合选项，a ＝2时，f (x )＝x 2－4是偶函数，故选A.【答案】 A4．设α∈{－1,1，12，3}，则使函数y ＝x α的定义域为R 且为奇函数的所有α的值为( ) A ．1,3 B ．－1,1C ．－1,3D ．－1,1,3【解析】 α＝1,3时，定义域为R ，α＝－1,1,3时为奇函数，∴α＝1,3时符合题意．【答案】 A二、填空题(每小题5分，共10分)5．设f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，且x ＞0时，f (x )＝x 2＋1，则f (－2)＝________.【解析】因为f (x )是定义在R 上的奇函数，故f (－x )＝－f (x )，所以f (－2)＝－f (2)＝－(22＋1)＝－5.【答案】－56．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ (12)x －3 (x ≤0)x 12 (x ＞0)，已知f (a )＞1，则实数a 的取值范围是________．【解析】若(12)a －3＞1，则a ＜－2；若a 12＞1，则a ＞1. 综上所述，a ＜－2或a ＞1.【答案】 a ＜－2或a ＞1 三、解答题(每小题10分，共20分)7．判断函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3 (x >0)0 (x ＝0)2x －3 (x <0)的奇偶性．【解析】 ①当x >0时，－x <0，则f (－x )＝2·(－x )－3＝－(2x ＋3)＝－f (x )②当x <0时，－x >0f (－x )＝－2x ＋3＝－(2x －3)＝－f (x )③当x ＝0时，f (0)＝0即f (－x )＝－f (x )．∴f (x )是奇函数．8．已知幂函数2223(1)m m y m m x --=--，当x ∈(0，＋∞)时为减函数，则该幂函数的解析式是什么？奇偶性如何？单调性如何？【解析】由于2223(1)mm y m m x --=--为幂函数，所以m 2－m －1＝1，解得m ＝2，或m ＝－1.当m ＝2时，m 2－2m －3＝－3，y ＝x －3，在(0，＋∞)上为减函数；当m ＝－1时，m 2－2m －3＝0，y ＝x 0＝1(x ≠0)在(0，＋∞)上为常函数，不合题意，舍去．故所求幂函数为y ＝x －3.这个函数是奇函数，其定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，根据函数在x ∈(0，＋∞)上为减函数，推知函数在(－∞，0)上也为减函数．9．(10分)已知f (x )是R 上的奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝－x 2＋2x ＋2.(1)求f (x )的解析式；(2)画出f (x )的图象，并指出f (x )的单调区间．【解析】 (1)设x ＜0，则－x ＞0，所以f (－x )＝－(－x )2－2x ＋2＝－x 2－2x ＋2，又∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝x 2＋2x －2，又f (0)＝0，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋2x －2 (x ＜0)0 (x ＝0)－x 2＋2x ＋2 (x ＞0).(2)先画出y ＝f (x )(x ＞0)的图象，利用奇函数的对称性可得到相应y ＝f (x )(x ＜0)的图象，其图象如图所示：由图可知，其增区间为[－1,0)及(0,1]，减区间为(－∞，－1]及[1，＋∞)．。

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[A组学业达标] 1．下列函数为幂函数的是()
①y＝－x2；②y＝2x；③y＝xπ；④y＝(x－1)3；⑤y＝1
x2；⑥y＝x
2＋
1
x.
A．①③⑤B．①②⑤C．③⑤D．只有⑤
解析：①y＝－x2的系数是－1而不是1，故不是幂函数；②y＝2x不是幂函数；④y
＝(x－1)3的底数是x－1而不是x，故不是幂函数；⑥y＝x2＋1
x
是两个幂函数和的形式，也不是幂函数．很明显③⑤是幂函数．
答案：C
2．函数y＝的图像大致是()
解析：因为函数y＝在(0,0)处有定义，且该函数为奇函数，排除选项A，D；又5
3
＞1，排除选项C，故选B.
答案：B
3．下列命题正确的是()
A．当α＝0时，函数y＝xα的图像是一条直线
B．幂函数的图像只在第一象限出现
C．若幂函数y＝xα的图像关于原点对称，则y＝xα在定义域上是增函数
D．幂函数的图像不可能在第四象限
解析：当α＝0时，函数y＝xα的定义域为{x|x≠0，x∈R}，其图像为两条射线，故A选项不正确；易知选项B不正确；幂函数y＝x－1的图像关于原点对称，但其在定义域内不是增函数，故选项C不正确；当x＞0，α∈R时，y＝xα＞0，则幂函数的图像都不在第四象限，故选项D正确．
答案：D 4．已知
则( )
A ．c ＜b ＜a
B ．c ＜a ＜b
C ．b ＜a ＜c
D ．a ＜c ＜b
答案：A
5．当x ∈(1，＋∞)时函数y ＝x α的图像恒在直线y ＝x 的下方，则α的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(－∞，0) C ．(－∞，1)
D ．(1，＋∞)
解析：由幂函数的图像知α＜1. 答案：C
6．幂函数y ＝(m 2－m －1)x －m 在x ∈(0，＋∞)上为减函数，则m 的值为________．解析：由m 2－m －1＝1，得m ＝2或m ＝－1.
又当m ＝2时，y ＝x －2在x ∈(0，＋∞)上为减函数，符合题意；当m ＝－1时，y ＝x 在x ∈(0，＋∞)上为增函数，不符合题意．答案：2
7．已知幂函数y ＝f (x )的图像过点⎝
⎛⎭⎪⎫3，33，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
14＝________.
答案：2 8．若
则实数a 的取值范围是________．
答案：(3，＋∞)
9．已知函数f (x )＝(m 2＋2m )·xm 2＋m －1，m 为何值时，f (x )是：(1)正比例函数；(2)幂函数？
解析：(1)若f (x )为正比例函数，
则⎩⎪⎨⎪⎧
m 2＋m －1＝1，m 2＋2m ≠0，
⇒m ＝1.
(2)若f (x )为幂函数，则m 2＋2m ＝1，∴m ＝－1±2.
[B 组能力提升]
10．已知幂函数f (x )＝(n 2＋2n －2)x n 2－3n
(n ∈Z)在(0，＋∞)上是减函数，则n 的值为
( )
A ．－3
B ．1
C ．2
D ．1或2
解析：依据题意有⎩⎪⎨⎪⎧
n 2＋2n －2＝1，n 2－3n ＜0，
解得n ＝1.
答案：B
11．如图是幂函数y ＝x m 和y ＝x n 在第一象限内的图像，则( )
A ．－1＜n ＜0,0＜m ＜1
B ．n ＜－1,0＜m ＜1
C ．－1＜n ＜0，m ＞1
D ．n ＜－1，m ＞1
解析：结合幂函数的图像和性质知，n ＜－1,0＜m ＜1. 答案：B
12．已知幂函数f (x )＝x m 2－1
(m ∈Z)的图像与x 轴，y 轴都无交点，则函数f (x )的解
析式是________．
解析：由幂函数性质知m2－1＜0，解得－1＜m＜1，
又m∈Z，所以m＝0，∴f(x)＝x－1.
答案：f(x)＝x－1
13．已知,则x的取值范围是________．
解析：由幂函数的图像可知：当时，x＜0或x＞1.
答案：(－∞，0)∪(1，＋∞)
14．已知幂函数f(x)＝(m∈N＋)．
(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；
(2)若函数还经过(2，2)，试确定m的值，并求满足f(2－a)＞f(a－1)的实数a的取值范围．
解析：(1)∵m∈N＋，∴m2＋m＝m(m＋1)为偶数．
令m2＋m＝2k，k∈N＋，则f(x)＝2k x，
∴定义域为[0，＋∞)，在[0，＋∞)上f(x)为增函数．
解得m＝1或m＝－2(舍去)，∴f(x)＝，
由(1)知f(x)在定义域[0，＋∞)上为增函数．
∴f(2－a)＞f(a－1)等价于2－a＞a－1≥0，
解得1≤a＜3
2.
15．已知函数f(x)＝mx2－2mx＋m－1
x2－2x＋1
(m∈R)，试比较f(5)与f(－π)的大小．
解析：f(x)＝mx2－2mx＋m－1
x2－2x＋1
＝
m(x－1)2－1
(x－1)2
＝m－1
(x－1)2
＝m－(x－1)
－2.
f(x)的图像可由y＝x－2的图像首先作关于x轴的对称变换，然后向右平移1个单位长度，再向上(m≥0)(或向下(m＜0))平移|m|个单位长度而得(如图所示)．
显然，图像关于x＝1对称且在(1，＋∞)上单调递增，
∴f(－π)＝f(2＋π)，而2＋π＞5，
∴f(－π)＝f(2＋π)＞f(5)．。