微专题13：椭圆的应用问题

微专题13：椭圆的应用问题一、单选题1．如图所示，“嫦娥四号”卫星沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，给出下列式子：①1122a c a c -=-；②1122a c a c +=+；③1212c a a c >；④1212c ca a <.其中正确的是（ ）A ．②③B ．①④C ．①③D ．②④2．设函数()y f x =的图象由方程142x x y y +=确定，对于函数()f x 给出下列命题： 1P ：12,x x R ∀∈，12x x ≠，恒有()()12120f x f x x x -<-成立； 2P ：()y f x =的图象上存在一点P ，使得P；3P ：对于x R ∀∈，()20f x x +>恒成立；则下列正确的是（ ）A ．12P P ∧B ．13P P ∧C ．23P P ⌝∨D ．13P P ⌝∨3．光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出，如图①，一个光学装置由有公共焦点1F 、2F 的椭圆Γ与双曲线Ω构成，现一光线从左焦点1F 发出，依次经Ω与Γ反射，又回到了点1F ，历时1t 秒；若将装置中的Ω去掉，如图②，此光线从点1F 发出，经Γ两次反射后又回到了点1F ，历时2t 秒；若218t t =，则Γ与Ω的离心率之比为（ ）A ．3:4 B ．2:3 C ．1:2 D ．4．2020年北京时间11月24日我国嫦娥五号探月飞行器成功发射.嫦娥五号是我国探月工程“绕、落、回”三步走的收官之战，经历发射入轨、地月转移、近月制动、环月飞行、着陆下降、月面工作、月面上升、交会对接与样品转移、环月等待、月地转移、再入回收等11个关键阶段.在经过交会对接与样品转移阶段后，若嫦娥五号返回器在近月点（离月面最近的点）约为200公里，远月点（离月面最远的点）约为8600公里，以月球中心为一个焦点的椭圆形轨道上等待时间窗口和指令进行下一步动作，月球半径约为1740公里，则此椭圆轨道的离心率约为（ ）A ．0.32B ．0.48C ．0.68D ．0.825．某人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，其轨道的离心率为e ，设地球半径为R ，该卫星近地点离地面的距离为r ，则该卫星远地点离地面的距离为（ ）A ．11e e +-r +21e e -RB ．11e e +-r +1e e-R C ．11e e +-r +21e e +R D ．11e e -+r +1e e+R 6．椭圆有一条光学性质：从椭圆一个焦点出发的光线，经过椭圆反射后，一定经过另一个焦点.假设光线沿直线传播且在传播过程中不会衰减，椭圆的方程为22143x y +=，则光线从椭圆一个焦点出发，到首次回到该焦点所经过的路程不可能为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．87．已知水平地面上有一篮球，球的中心为O '，在斜平行光线的照射下，其阴影为一椭圆（如图），在平面直角坐标系中，椭圆中心O 为原点，设椭圆的方程为22142x y +=，篮球与地面的接触点为H ，则||OH 的长为（ ）AB C ．32 D 8．人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律:如图，卫星在以地球的中心为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径(卫星与地心的连线)在相同的时间内扫过的面积相等设该椭圆的长轴长、焦距分别为2a ，2c .某同学根据所学知识，得到下列结论:①卫星向径的取值范围是[],a c a c -+②卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁③卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间④卫星运行速度在近地点时最小，在远地点时最大其中正确的结论是（ ）A ．①②B ．①③C ．②④D ．①③④9．如图所示，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.根据椭圆的光学性质解决下题：已知曲线C 的方程为2244x y +=，其左、右焦点分别是1F ，2F ，直线l 与椭圆C 切于点P ，且1||1PF =，过点P 且与直线l 垂直的直线'l 与椭圆长轴交于点M ，则12:F M F M =AB ．1:C ．1:3D ．1:10．仿照“Dandelin双球”模型，人们借助圆柱内的两个内切球完美的证明了平面截圆柱的截面为椭圆面．如图，底面半径为1的圆柱内两个内切球球心距离为4，现用与两球都相切的平面截圆柱所得到的截面边缘线是一椭圆，则该椭圆的离心率为B C DA．12二、多选题11．如图所示，某探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P处变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点处第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，且轨道Ⅱ的右顶点为轨道Ⅰ的中心.设椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴长分别为1a和2a，半焦距分别为1c和2c，离心率分别为1e和2e，则下列结论正确的是（）A ．122c a c =+B ．()11222a c a c +>+C ．2121e e =-D ．椭圆Ⅱ比椭圆Ⅰ更扁12．嫦娥奔月是中华民族的千年梦想.2020年12月我国嫦娥五号“探月工程”首次实现从月球无人采样返回.某校航天兴趣小组利用计算机模拟“探月工程”，如图，飞行器在环月椭圆轨道近月点制动（俗称“踩刹车”）后，以km/s v 的速度进入距离月球表面km n 的环月圆形轨道（月球的球心为椭圆的一个焦点），环绕周期为s t ，已知远月点到月球表面的最近距离为km m ，则（ ）A ．圆形轨道的周长为()2km vt πB ．月球半径为km 2vt n π⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．近月点与远月点的距离为km tm n νπ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ D ．椭圆轨道的离心率为m n m n-+ 13．椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点1F ，2F 是它的焦点，长轴长为2a ，焦距为2c ，静放在点1F 的小球（小球的半径不计），从点1F 沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点1F 时，小球经过的路程可以是（ ）A ．4aB ．4cC ．()2a c +D ．()2a c -14．某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F 为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点A （离地面最近的点）距地面m 千米，远地点B （离地面最远的点）距地面n 千米，并且F A B 、、三点在同一直线上，地球半径约为R 千米，设该椭圈的长轴长、短轴长、焦距分别为222a b c 、、，则A ．a c m R -=+B ．a c n R +=+C ．2a m n =+D ．b =三、填空题 15．从椭圆的一个焦点1F 发出的光线射到椭圆上的点P ，反射后光线经过椭圆的另一个焦点2F ，事实上，点()00,P x y 处的切线00221xx yy a b+=垂直于12F PF ∠的角平分线，已知椭圆22:143x y C +=的两个焦点是1F ，2F ，点P 是椭圆上除长轴端点外的任意一点，12F PF ∠的角平分线PT 交椭圆C 的长轴于点(),0T t ，则t 的取值范围是__________.16．如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分，过对称轴的截口BAC 是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点1F 上，片门位于另一个焦点2F 上.由椭圆一个焦点1F 发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点2F .已知12BC F F ⊥，1163F B =，124F F =，则截口BAC 所在椭圆的离心率为______.17．如图是数学家Germinal Dandelin 用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型（称为“Dandelin 双球”）；在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，设图中球1O ，球2O 的半径分别为3和1，球心距离128OO =,截面分别与球1O ，球2O 切于点E ，F ，（E ，F 是截口椭圆的焦点），则此椭圆的离心率等于______．参考答案1．C【分析】对于①，由PF 建立联系；对于②，根据椭圆的性质及不等式的可加性可以判断；对于③，对式子1122 a c a c -=-先变形后就可以对③④作出判断.【解析】由11a c PF -=，22 a c PF -=，得1122 a c a c -=-，故①符合题意；由图可知12a a >，12c c >，1122a c a c +>+，故②不符合题意；1122a c a c -=-，12121211c c a a a a ⎛⎫⎛⎫∴-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 12a a >，121211c c a a -<-∴， 1122c c a a ∴>，故④不符合题意，③符合题意. 故选:C ．【点评】 解决本题的关键一是PF 1122a c a c =-=-；二是对1122a c a c -=-的变形.2．C【分析】分类讨论去绝对值可得函数()f x 的图象，根据图象以及椭圆和双曲线的性质可得答案.【解析】当0,0x y ≥≥时，方程142x x y y +=化为221(0,0)42x y x y +=≥≥表示椭圆的一部分；当0,0x y ><时，方程142x x y y +=化为22142x y -=(0,0)x y ><表示双曲线的一部分；当0,0x y <>时，方程142x x y y +=化为22124y x -=(0,0)x y <>表示双曲线的一部分；所以函数()y f x =的图象如图所示：1P ：12,x x R ∀∈，12x x ≠，恒有()()12120f x f x x x -<-成立，等价于函数()f x 在R 上为单调递减函数，由图可知，命题1P 正确；2P ：()y f x =的图象上存在一点P ，使得P .根据椭圆性质可知，椭圆22142x y +=短轴端点到原点的距离最小(2,0)到原点的距离的最小为2，故函数()y f x =的图象上不存在一点P ，使得P 到原点的距2P 不正确；3P ：对于x R ∀∈，()20f x x +>恒成立等价于对于x R ∀∈，1()2f x x >-. 从图象可知，直线12y x =-的斜率大于双曲线22142x y -=的渐近线2y x =-的斜率，所以直线12y x =-与曲线22142x y -=(0,0)x y ><有交点，故命题3P 不正确.所以12P P ∧、13P P ∧、13P P ⌝∨不正确，23P P ⌝∨正确.【点评】 分类讨论去绝对值，作出方程142x x y y+=所确定的图象，利用图象求解是解题关键. 3．A【分析】设122F F c =，设椭圆Γ的长轴长为12a ，双曲线Ω的实轴长为22a ，设光速为v ，推导出112a vt =，利用椭圆和双曲线的定义可得出1243a a =，由此可计算得出Γ与Ω的离心率之比.【解析】设122F F c =，设椭圆Γ的长轴长为12a ，双曲线Ω的实轴长为22a ， 在图②中，1CDF 的周长为111212124CF DF CD CF CF DF DF a vt ++=+++==，所以，1148a vt =，可得112a vt =，在图①中，由双曲线的定义可得2122AF AF a -=，由椭圆的定义可得1212BF BF a +=， 22AF BF AB =-，则2121111222AF AF BF AB AF a BF AB AF a -=--=---=，即()111222a AB AF BF a -++=，由题意可知，1ABF 的周长为111AB AF BF vt ++=，即112111322222a a a a vt a =-=-=， 所以，1243a a =.因此，Γ与Ω的离心率之比为122112:::3:4c ce e a a a a ===.【点评】 求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得a 、c 的值，根据离心率的定义求解离心率e 的值；（2）齐次式法：由已知条件得出关于a 、c 的齐次方程，然后转化为关于e 的方程求解；（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率. 4．C【分析】由题意可知2001740,86001740a c a c -=++=+，求出,a c 的值，从而可求出椭圆的离心率【解析】 由题意得200174086001740a c a c -=+⎧⎨+=+⎩，解得61404200a c =⎧⎨=⎩，所以离心率42000.686140c e a ==≈， 故选：C 5．A【分析】画出题意画出图形，结合题设条件和椭圆的离心率，求出椭圆的长半轴和半焦距，进而求得卫星远地点离地面的距离. 【解析】由题意，椭圆的离心率(0,1)ce a=∈，（c 为半焦距；a 为长半轴）地球半径为R ，卫星近地点离地面的距离为r ，可得a c R r -=+ 联立方程组1r R a e+=-，1r Rc e e +=-， 如图所示，设卫星近地点的距离为m ，远地点的距离为n ，所以远地点离地面的距离为11r R r R n a c R e R e e ++=+-=+-=--11e e +-r +21ee- 故选：A ．【点评】本题主要考查了椭圆的定义及几何性质的应用，其中解答中结合椭圆的几何性质求得椭圆的长半轴和半焦距是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 6．B【分析】先根据椭圆的标准方程求出2a =,1c =,再根据光线路径分三种情况讨论即可得出结果.【解析】解: 由题意可得24a =,23b =, 2221c a b =-=, 所以2a =,1c =.①若光线从椭圆一个焦点沿x 轴方向出发到长轴端点(较近的)再反射, 则所经过的路程为()22a c -=,②若光线从椭圆一个焦点沿x 轴方向出发到长轴端点(较远的)再反射, 则所经过的路程为()26a c +=.③若光线从椭圆一个焦点沿非x 轴方向出发, 则所经过的路程为48a = 故选:B【点评】本题考查椭圆的基本性质,考查椭圆的反光镜问题,考查长半轴与半焦距之间的基本关系,属于中档题. 7．B【分析】在平行光线照射过程中，椭圆的短半轴长是圆的半径，球心到椭圆中心的距离是椭圆的长半轴，过球心向地面做垂线，垂足是H ，得到一个直角三角形，可得要求的结果．【解析】 在照射过程中，椭圆的短半轴长是圆的半径， 由图()1101809022AB O BA A AB B BA ''''︒︒∠+∠=∠+∠=⨯=90AO B '︒∴∠=，由O 是中点故有球心到椭圆中心的距离是椭圆的长半轴，过球心向地面做垂线，垂足是H ，在构成的直角三角形中，222OH O H O O ''=+，22422OH a b ∴=-=-=，故选：B ．【点评】本题考查圆锥曲线的实际背景及作用，解决本题的关键是看清楚在平行光线的照射下，投影中和球的量中，变与不变的量． 8．B【分析】①根据椭圆的简单几何性质可知卫星向径的最小值和最大值分别为什么；②根据向径的最小值与最大值的比值，结合椭圆的性质即可得出结论； ③根据在相同的时间内扫过的面积相等，即可判断④根据题意结合椭圆的图形知卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小．【解析】 如图所示，对于①，卫星向径的最小值为11||A F a c =-，最大值为21||A F a c =+，∴①正确；对于②，卫星向径的最小值与最大值的比值为22111a c c a a c a c c-=-=-+++， a c 越小，21a e+就越大，211a c -+就越小，椭圆轨道越扁，∴②错误；对于③，根据在相同的时间内扫过的面积相等，卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间，∴③正确；对于④，卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小，∴④错误； 综上，正确结论的序号是①③，共2个． 故选B ．【点评】本题考查椭圆的相关性质，以及物理学中开普勒定律的理解，属于基础题． 9．C【解析】由椭圆的光学性质得到直线'l 平分角12F PF ，因为12111122221sin 21sin 2PMF PMF F P PM F PM S F M PF SF M PF F P PM F PM ∠===∠ 由11PF =，124PF PF +=得到23PF =，故12:F M F M = 1:3. 故答案为C. 10．D【分析】画出图形的轴截面图，则CD 为椭圆的长轴，圆柱的底面直径为椭圆的短轴，利用直角三角形的边角关系计算可得. 【解析】 画出图形的轴截面如图所示:则CD 为椭圆的长轴，圆柱的底面直径为椭圆的短轴； 依题意4AB =，2CG =，1AE BF ==， 则122AO AB == 1sin 2AE AOE AO ∴∠== 30AOE ∴∠=︒60GCO ∴∠=︒在Rt CDG ∆中有1cos 2CG GCO CD ∠== 4CD ∴=即椭圆中，24a =，22b =2a ∴=，1b =222c a b =-c ∴=2c e a ∴==故选：D【点评】本题考查了圆柱的性质、椭圆的离心率、直角三角形的边角关系，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题． 11．ABC【分析】根据已知条件得出122a a =，1122PF a c a c =-=-，结合离心率公式可判断各选项的正误.【解析】由于轨道Ⅱ的右顶点为轨道Ⅰ的中心，则122a a =，且1122PF a c a c =-=-.对于A 选项，21222a c a c -=-，122c a c ∴=+，A 选项正确；对于B 选项，122a a =，12222c a c c =+>，()112222222a c a c a c ∴+>+=+，B 选项正确；对于C 选项，122c a c =+，122221211211222c c a c a e e a a a ++∴====+，即1221e e =+，所以，2121e e =-，C 选项正确；对于D 选项，()21111211e e e e e =-=-+<，所以，椭圆Ⅱ比椭圆Ⅰ更圆，D 选项错误. 故选：ABC.【点评】 解决本题的关键在于以下两点：（1）推导出122a a =，1122a c a c -=-，并结合椭圆离心率的取值范围为()0,1求解；（2）对于椭圆，离心率越大，椭圆越扁. 12．BC【分析】根据题意结合椭圆定义和性质分别求出各量即可判断. 【解析】由题，以km/s v 的速度进入距离月球表面km n 的环月圆形轨道，环绕周期为s t ，则可得环绕的圆形轨道周长为vt km ，半径为2vtπkm ，故A 错误；则月球半径为km 2vt n π⎛⎫- ⎪⎝⎭，故B 正确；则近月点与远月点的距离为km tm n νπ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，故C 正确；设椭圆方程为22221x y a b +=，则,m R a c n R a c +=++=-（R 为月球的半径），22,2a m n R c m n ∴=++=-，故离心率为+2m nm n R-+，故D 错误.故选：BC.【点评】本题考查椭圆的应用，解题的关键是正确理解椭圆的定义. 13．ACD【分析】先由题意，不妨令椭圆的焦点在x 轴上，分三种情况讨论：（1）球从1F 沿x 轴向左直线运动；（2）球从1F 沿x 轴向右直线运动；（3）球从1F 不沿x 轴，斜向上（或向下）运动；根据椭圆的性质，以及椭圆的定义，即可分别得出结果.【解析】由题意，不妨令椭圆的焦点在x 轴上，以下分为三种情况： （1）球从1F 沿x 轴向左直线运动，碰到左顶点必然原路反弹， 这时第一次回到1F 路程是()2a c -；（2）球从1F 沿x 轴向右直线运动，碰到右顶点必然原路反弹， 这时第一次回到1F 路程是()2a c +；（3）球从1F 不沿x 轴，斜向上（或向下）运动，碰到椭圆上的点C ，反弹后经过椭圆的另一个焦点2F ，再弹到椭圆上一点D ，经D 反弹后经过点1F ．此时小球经过的路程是12214CF CF DF DF a +++=．综上所述，从点1F 沿直线出发，经椭圆壁反射后第一次回到点1F 时，小球经过的路程是4a 或()2a c +或()2a c -． 故选：ACD. 【点评】求解本题的关键在于对椭圆定义和性质的理解，根据椭圆的光学性质，当光线不沿焦点所在直线出发时，从一个焦点出发，经过反射后必过另一焦点；由此即可求解. 14．ABD【分析】根据条件数形结合可知m a c Rn a c R =--⎧⎨=+-⎩，然后变形后，逐一分析选项，得到正确答案.【解析】因为地球的中心是椭圆的一个焦点，并且根据图象可得m a c Rn a c R =--⎧⎨=+-⎩，（*）a c m R ∴-=+ ，故A 正确； a c n R +=+，故B 正确；（*）两式相加22m n a R +=-，可得22a m n R =++，故C 不正确；由（*）可得m R a cn R a c+=-⎧⎨+=+⎩ ，两式相乘可得()()22m R n R a c ++=- 222a c b -= ，()()2b m R n R b ∴=++⇒=，故D 正确.故选ABD【点评】本题考查圆锥曲线的实际应用问题，意在考查抽象，概括，化简和计算能力，本题的关键是写出近地点和远地点的方程，然后变形化简. 15．11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】利用切线方程和角的平分线垂直，结合斜率之积为1-，即可求解.【解析】由题意，椭圆C 在点()00,P x y 处的切线00221xx yy a b+=，且0(2,2)x ∈-， 所以切线的斜率为0034x y -，而角12F PF ∠的角平分线的斜率为00y x t -，又由切线垂直角12F PF ∠的角平分线，所以0000314x y y x t-⋅=--， 即0111(,)422t x =∈-.故答案为：11(,)22-.16．13【分析】取焦点在x 轴建立平面直角坐标系，由题意及椭圆性质有BC 为椭圆通径，得2163b a =，结合24c =及222a b c =+解出,,a b c 代入离心率公式计算即可.【解析】 取焦点在x 轴建立平面直角坐标系，由12BC F F ⊥及椭圆性质可得，BC 为椭圆通径， 所以21163b F B a ==，1224F Fc ==又222a b c =+，解得6,2,a c b ===所以截口BAC 所在椭圆的离心率为13故答案为：13【点评】求椭圆的离心率或其范围的方法：（1）求,,a b c 的值，由22222221c a b b a a a-==-直接求e ； （2）列出含有,,a b c 的齐次方程(或不等式)，借助于222a b c =+消去b ，然后转化成关于e 的方程(或不等式)求解．17【分析】利用已知条件和几何关系找出圆锥母线与轴的夹角为α ，截面与轴的夹角为β 的余弦值，即可得出椭圆离心率．【解析】如图，圆锥面与其内切球1O ，2O 分别相切与,A B ，连接12,O A O B ,则1O A AB ⊥，2O B AB ⊥，过2O 作21O D O A 垂直于D ，连接12,O E O F ，EF 交12O O 于点C设圆锥母线与轴的夹角为α ，截面与轴的夹角为β.在21Rt O DO 中，1312DO ，22282215O D 11221515cos 84O O O D128O O 128CO O C12EO C FO C 22128O C O C O EO F 解得2=2O C 222222213CF O FO C即23cos 2CFO C则椭圆的离心率cos 252cos 515e 【点评】“双球模型”椭圆离心率等于截面与轴的交角的余弦cos β与圆锥母线与轴的夹角的余弦 cos α之比，即coscos e ．。