北师大版(2019)高中数学《向量的数乘运算》优质精选ppt1
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新教材高中数学第2章向量的数乘运算课件北师大版必修第二册ppt
2.利用数乘运算的几何意义时应注意什么问题？ [提示] 利用数乘运算的几何意义可以得到两个向量共线的判定 定理及性质定理，一定要注意，向量的共线(平行)与直线共线(或平行) 的区别；常用向量共线解决平面几何中的“平行”或“点共线”问题．
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1234 5
3．设 D，E，F 分别为△ABC 的三边 BC，CA，AB 的中点，则E→B
＋F→C等于( )
A．B→C
B．12A→D
C．A→D
D．12B→C
C
[ E→B ＋ F→C
＝ E→C
＋ C→B
＋ F→B
＋
→ BC
＝
→ EC
＋
→ FB
＝
1 2(
→ AC
＋
→ AB
)
＝
12·2A→D＝A→D.]源自[解] (1)原式＝234a－3b＋13b－23a＋74b ＝234－32a＋－3＋13＋74b ＝2352a－1112b ＝53a－1118b；
(2)原式＝13a－b－a＋23b＋2b－a ＝13－1－1a＋－1＋23＋2b ＝－53a＋53b ＝－53(3i＋2j)＋53(2i－j) ＝－5＋130i＋－130－35j ＝－53i－5j.
说明理由．
(1)2a 的方向与 a 的方向相同；
(2)|－2a|＝32|3a|；
1 (3)aa
是单位向量；
(4)a＋b 与－a－b 是一对相反向量．
[解] (1)真命题．∵2>0，
∴2a 的方向与 a 的方向相同．
(2)假命题．|－2a|＝－2|a|＝2|a|＝23|3a|.
1 1 1
(3)真命题． a a ＝ a a ＝ a a ＝1.
《向量数乘运算》课件
几何意义
要点一
总结词
向量数乘运算的几何意义是标量$k$与向量$mathbf{a}$的 模长相乘，再根据$k$的正负确定几何意义可以理解为标量$k$与向量 $mathbf{a}$的模长相乘，即新的向量的长度是原向量长 度乘以标量$k$。同时，根据标量$k$的正负来确定新向量 的方向。当$k > 0$时，新向量的方向与原向量方向相同 ；当$k < 0$时，新向量的方向与原向量方向相反；当$k = 0$时，新向量为零向量。这种几何意义有助于直观理解 向量数乘运算的过程和结果。
实数与向量的数乘的几何意义
实数与向量的数乘的几何表示
实数λ与向量a的数乘在几何上表示将向量a的长度扩大或缩小λ倍，并改变其方 向。
实数与向量的数乘在几何上的应用
在物理、工程和科学实验中，实数与向量的数乘常用于描述力的合成与分解、 速度和加速度等物理量。
实数与向量的数乘的性质
1 2 3
实数与向量的数乘的模的性质
02
向量数乘运算的性质
线性性质
总结词
线性性质是指向量数乘运算满足线性组合的特性。
详细描述
向量数乘运算具有线性性质，即对于任意向量$mathbf{a}$和标量$k_1, k_2$，有$(k_1 k_2)mathbf{a} = k_1(k_2mathbf{a}) = (k_2mathbf{a})k_1 = k_2(k_1mathbf{a})$。线性性质在向 量运算中非常重要，它使得向量数乘运算可以像标量运算一样进行简化。
乘运算来计算其合加速度。
实例三：向量的投影
向量的投影是向量数乘运算的一个重要应用
在物理和工程领域中，向量的投影是一个常见的概念 。通过向量数乘运算，可以方便地计算一个向量在另 一个向量上的投影。这有助于描述力的作用效果、速 度的方向变化等。例如，在机械工程中，当一个力作 用在物体上时，可以通过向量的投影来计算该力对物 体产生的旋转效应。在建筑学中，向量的投影可以用 来描述建筑结构在不同方向上的变形。
高中数学必修四北师大版 数乘向量ppt课件(24张)
要点三 例3
共线向量定理的应用
已知非零向量 e1，e2 不共线．
→ → → (1)如果AB＝e1＋e2， BC＝2e1＋8e2， CD＝3(e1－e2)， 求证： A， B，D 三点共线； (2)欲使 ke1＋e2 和 e1＋ke2 共线，试确定实数 k 的值． 解 → → → → (1)∵AB＝e1＋e2，BD＝BC＋CD＝2e1＋8e2＋3e1－3e2＝
1 －y＋2x＝e1， 得 x－1y＝e2， 2 1 2 －2×②＋①得2x－2x＝e1－2e2，x＝3(2e2－e1)， 2 同法得 y＝3(－2e1＋e2)， 2 4 2 → 4 → 即BC＝3e2－3e1，CD＝－3e1＋3e2.
① ②
法三 如图所示， 延长 BC 与 AL 交于点 E， 则△DLA≌△CLE， → → → → → 3→ 从而AE＝2AL，CE＝AD，KE＝2BC， 3→ → → → 由KE＝AE－AK，得 BC＝2e2－e1， 2 4 2 → 2 即BC＝3(2e2－e1)＝3e2－3e1. 4 2 → 2 同理可得CD＝3(－2e1＋e2)＝－3e1＋3e2.
要点一 数乘向量的运算 例 1 化简下列各式： (1)2(3a－2b)＋3(a＋5b)－5(4b－a)； 1 (2)6[2(2a＋8b)－4(4a－2b)]． 解 (1)原式＝6a－4b＋3a＋15b－20b＋5a＝14a－9b； 1 1 (2)原式＝6(4a＋16b－16a＋8b)＝6(－12a＋24b)＝－2a＋4b.
2．已知非零向量a，你能说明实数λ与向量a的乘积λa的几何
意义吗？
答 λa仍然是一个向量． 当λ>0时，λa与a的方向相同； 当λ<0时，λa与a的方向相反； 当λ＝0时，λa＝0，方向任意．
《向量数乘运算》课件
《向量数乘运算》ppt课件
• 向量数乘运算的基本概念 • 向量数乘运算的规则与性质 • 向量数乘运算的应用场景 • 向量数乘运算的几何解释 • 向量数乘运算的注意事项与常见错误
01
向量数乘运算的基本概念
向量的定义与表示
总结词
理解向量的定义和表示方法是学习向量数乘运算的基础。
详细描述
向量是具有大小和方向的量，通常用有向线段表示，起点为 原点。在二维平面上，向量可以用有序对（x, y）表示，在三 维空间中，向量可以用有序三元组（x, y, z）表示。
数乘运算的定义
总结词
理解数乘运算的定义是掌握向量数乘 运算的关键。
详细描述
数乘运算是指将一个标量与一个向量 相乘，结果仍为一个向量。标量可以 是实数或复数，与向量相乘时，标量 可以乘以向量的每一个分量。
向量数乘运算的意义
总结词
了解向量数乘运算的意义有助于理解其在物理和工程领域的应用。
详细描述
向量数乘运算在物理学和工程学中有着广泛的应用，如速度和加速度的计算、 力的合成与分解、交流电的相量表示等。通过向量数乘运算，可以方便地描述 和解决物理问题，简化计算过程。
分类与回归分析
在分类与回归分析中，向量数乘运算用于训练模型和预测结果。通过向量数乘运算，可以对数据进行特 征提取和变换，进而训练分类器或回归模型。同时，向量数乘运算也用于预测新数据的分类或回归结果 。
04
向量数乘运算的几何解释
向量的模与方向
总结词
描述向量的模与方向的概念。
详细描述
向量的模表示向量的大小，方向表示向量的指向。通过几何图形可以直观地表示 向量，其中箭头长度代表向量的模，箭头指向代表向量的方向。
详细描述
在进行向量数乘运算时，如果数乘的系数过 大或过小，可能会导致结果溢出或下溢。为 了避免这种情况，应选择合适的数据类型和 算法，或者采用适当的缩放因子来调整数乘 的系数，以确保结果的精度和准确性。同时 ，在编写代码时，可以使用异常处理机制来
• 向量数乘运算的基本概念 • 向量数乘运算的规则与性质 • 向量数乘运算的应用场景 • 向量数乘运算的几何解释 • 向量数乘运算的注意事项与常见错误
01
向量数乘运算的基本概念
向量的定义与表示
总结词
理解向量的定义和表示方法是学习向量数乘运算的基础。
详细描述
向量是具有大小和方向的量，通常用有向线段表示，起点为 原点。在二维平面上，向量可以用有序对（x, y）表示，在三 维空间中，向量可以用有序三元组（x, y, z）表示。
数乘运算的定义
总结词
理解数乘运算的定义是掌握向量数乘 运算的关键。
详细描述
数乘运算是指将一个标量与一个向量 相乘，结果仍为一个向量。标量可以 是实数或复数，与向量相乘时，标量 可以乘以向量的每一个分量。
向量数乘运算的意义
总结词
了解向量数乘运算的意义有助于理解其在物理和工程领域的应用。
详细描述
向量数乘运算在物理学和工程学中有着广泛的应用，如速度和加速度的计算、 力的合成与分解、交流电的相量表示等。通过向量数乘运算，可以方便地描述 和解决物理问题，简化计算过程。
分类与回归分析
在分类与回归分析中，向量数乘运算用于训练模型和预测结果。通过向量数乘运算，可以对数据进行特 征提取和变换，进而训练分类器或回归模型。同时，向量数乘运算也用于预测新数据的分类或回归结果 。
04
向量数乘运算的几何解释
向量的模与方向
总结词
描述向量的模与方向的概念。
详细描述
向量的模表示向量的大小，方向表示向量的指向。通过几何图形可以直观地表示 向量，其中箭头长度代表向量的模，箭头指向代表向量的方向。
详细描述
在进行向量数乘运算时，如果数乘的系数过 大或过小，可能会导致结果溢出或下溢。为 了避免这种情况，应选择合适的数据类型和 算法，或者采用适当的缩放因子来调整数乘 的系数，以确保结果的精度和准确性。同时 ，在编写代码时，可以使用异常处理机制来
高中数学必修四北师大版 数乘向量ppt课件(23张)
知识点 4 向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意 向量 a、b，以及任意实数 λ、μ1、μ2，恒有 λ(μ1a± μ2b)＝λμ1a± λμ2b.
讲重点 三点共线问题 (1)三点共线的判定 → 对于平面内任意三点 A，B，C，若存在一个实数 λ，使得AB → → → → → ＝λ AC(或AB＝λ BC或AC＝λ BC)，则根据共线向量基本定理，可 → → → → → → 知 AB，AC共线( 或AB，BC共线或AC，BC共线)，又由于它们具 有公共点 A(或 B 或 C)，则可知 A，B，C 三点共线．除此之外我 们又有： 对于平面内任意三点 A，B，C，O 为不同于 A，B，C 的任 → → → 意一点，设OC＝λOA＋μOB，若实数 λ，μ 满足 λ＋μ＝1，则三点 A，B，C 共线．
→ 解析：(1)证明：∵AB＝e1＋e2， → → → → BD＝BC＋CD＝2e1＋8e2＋3e1－3e2＝5(e1＋e2)＝5AB. → → ∴AB、BD共线，且有公共点 B， ∴A、B、D 三点共线． (2)∵ke1＋e2 与 e1＋ke2 共线， ∴存在 λ，使 ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)， 则(k－λ)e1＝(λk－1)e2， ∵e1 与
熟练地掌握数乘运算的结合律和分配律是解决本类题的关 键．
变式训练 1 化简下列各式： (1)3(2a－b)－2(4a－2b)； 1 1 3 (2) (4a＋3b)－ (3a－b)－ b； 3 2 2 (3)2(3a－4b＋c)－3(2a＋b－3c)．
解析：(1)原式＝6a－3b－(8a－4b)＝－2a＋b. 4 3 1 3 1 (2)原式＝3a＋b－2a＋2b－2b＝－6a. (3)原式＝6a－8b＋2c－6a－3b＋9c＝－11b＋11c.
北师大版必修4 第二章 3.1数乘向量 课件(22张)
A．0
B．1
C．2
D．3
()
解析：选 C 根据实数与向量的积满足的运算律，可知①正确； a－2b＋(2a＋2b)＝a－2b＋2a＋2b＝3a，故②正确；a＋b－(a ＋b)＝0.故③错误．
3．已知 m，n 是实数，a，b 是向量，则下列命题中正确的是 ( ) ①m(a－b)＝ma－mb； ②(m－n)a＝ma－na； ③若 ma＝mb，则 a＝b； ④若 ma＝na，则 m＝n.
A．①④ C．①③
B．①② D．③④
解析：选 B 由实数与向量的积满足的运算律，可知①②正确；
③中若 m＝0，则 a，b 的关系不确定，错误；④中若 a＝0，则 m 与 n 的关系不确定，错误．
4．已知向量 a＝2e1＋3e2，b＝－e1＋2e2，且 ma＋b 与 a－2b 共线，则实数 m＝________.
[解] (1)原式＝18a＋3b－9a－3b＝9a. (2)原式＝122a＋32b－a－34b＝a＋34b－a－34b＝0. (3)原式＝10a－8b＋2c－3a＋9b－3c－7a＝b－c.
向量线性运算的方法 向量的线性运算类似于代数多项式的运算，共 线向量可以合并，即“合并同类项”“提取公因 式”，这里的“同类项”“公因式”指的是向量．
用已知向量表示其他向量的方法
[活学活用] 如图，四边形 OADB 是以向量OA＝a，OB＝b 为边的平行四 边形．又 BM ＝13 BC ，CN ＝13CD，试用 a，b 表示OM ，ON ， MN .
解：∵ BM ＝13BC ＝16BA＝16(OA－OB)＝16(a－b)， ∴OM ＝OB＋BM ＝b＋16a－16b＝16a＋56b. ∵CN ＝13CD＝16OD， ∴ON ＝OC ＋CN ＝12OD＋16OD ＝23 OD ＝23(OA＋OB )＝23(a＋b)． ∴ MN ＝ON －OM ＝23(a＋b)－16a－56b＝12a－16b.
2019-2020高中北师版数学必修4第2章 §3 3.1 数乘向量课件PPT
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(2)向量数乘的运算律 设 a，b 为向量，λ，μ 为实数，则数乘向量满足： ①结合律：λ(μa)＝_(_λ_μ_)a_； ②分配律：(λ＋μ)a＝_λ_a_＋__μ_a_；λ(a＋b)＝_λ_a_＋__λ_b_.
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思考 1：向量 3a，－3a 与 a 从长度和方向上分析具有怎样的关系？ [提示] 3a 的长度是 a 的长度的 3 倍，它的方向与向量 a 的方向 相同． －3a 的长度是 a 的长度的 3 倍，它的方向与向量 a 的方向相反．
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1．在四边形 ABCD 中，若A→B＝－12C→D，则此四边形是(
A．平行四边形
B．菱形
C．梯形
D．矩形
C [因为A→B＝－12C→D，
所以 AB∥CD，且 AB＝12CD，
所以四边形 ABCD 为梯形．]
)
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2．下列各式计算正确的有( )
①(－7)6a＝－42a；②7(a＋b)－8b＝7a＋15b；
③a－2b＋a＋2b＝2a；④4(2a＋b)＝8a＋4b.
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
C [①③④正确．]
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3．已知向量 a 与 b 不共线，向量 c＝3a－b，d＝6a－2b，则向量 c 与 d 的关系是________．(填“共线”或“不共线”)
共线 [d＝6a－2b＝2(3a－b)＝2c， 所以向量 c 与 d 共线．]
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[解] (1)真命题．∵2a＝a＋a 与 a 方向相同， 且|2a|＝|a＋a|＝|a|＋|a|＝2|a|. (2)真命题．∵－2a＝(－a)＋(－a)与－a 同方向，3a＝a＋a＋a 与 a 同方向，由于－a 与 a 反方向，故－2a 与 3a 反方向， 又∵|－2a|＝2|a|，|3a|＝3|a|，所以－2a 的模是 3a 模的23倍．
(2)向量数乘的运算律 设 a，b 为向量，λ，μ 为实数，则数乘向量满足： ①结合律：λ(μa)＝_(_λ_μ_)a_； ②分配律：(λ＋μ)a＝_λ_a_＋__μ_a_；λ(a＋b)＝_λ_a_＋__λ_b_.
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思考 1：向量 3a，－3a 与 a 从长度和方向上分析具有怎样的关系？ [提示] 3a 的长度是 a 的长度的 3 倍，它的方向与向量 a 的方向 相同． －3a 的长度是 a 的长度的 3 倍，它的方向与向量 a 的方向相反．
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1．在四边形 ABCD 中，若A→B＝－12C→D，则此四边形是(
A．平行四边形
B．菱形
C．梯形
D．矩形
C [因为A→B＝－12C→D，
所以 AB∥CD，且 AB＝12CD，
所以四边形 ABCD 为梯形．]
)
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2．下列各式计算正确的有( )
①(－7)6a＝－42a；②7(a＋b)－8b＝7a＋15b；
③a－2b＋a＋2b＝2a；④4(2a＋b)＝8a＋4b.
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
C [①③④正确．]
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3．已知向量 a 与 b 不共线，向量 c＝3a－b，d＝6a－2b，则向量 c 与 d 的关系是________．(填“共线”或“不共线”)
共线 [d＝6a－2b＝2(3a－b)＝2c， 所以向量 c 与 d 共线．]
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[解] (1)真命题．∵2a＝a＋a 与 a 方向相同， 且|2a|＝|a＋a|＝|a|＋|a|＝2|a|. (2)真命题．∵－2a＝(－a)＋(－a)与－a 同方向，3a＝a＋a＋a 与 a 同方向，由于－a 与 a 反方向，故－2a 与 3a 反方向， 又∵|－2a|＝2|a|，|3a|＝3|a|，所以－2a 的模是 3a 模的23倍．
北师版高中数学必修第二册精品课件 第2章 平面向量及其应用 §3 3.1 向量的数乘运算
量,实数看成向量的系数.
【变式训练 1】 化简:(1) ( + ) − +
(2) ( − ) + − ( − ) .
解:(1)原式= + -a-b=a+b-a-b=0.
(2)原式= − + − +
单位向量,这一过程称为向量的单位化.
4.想一想:非零向量||与向量
a 的方向相同吗?
提示:相同,因为|a|>0,所以向量||与向量
a 的方向相同.
二、数乘向量的运算律
【问题思考】
1.类比实数的运算律,向量数乘有怎样的运算律?
提示:结合律、分配律.
2.(1)向量数乘的运算律:
设λ,μ为实数,a,b为向量,那么根据向量的数乘定义,可以得到
故
x=-a+b.
(2)把第一个方程的左、右两边同乘-2,然后与第二个方程相加,
得y=-2a+b,从而
y=-a+b.
代入原来第二个方程得
故
=
=
- + ,
- + .
x=-a+b.
反思感悟 向量也可以通过列方程(组)来解,把所求向量当作
探究一 向量的线性运算
【例1】 (1)计算(5a-4b+c)-2(3a-2b+c);
(2)设向量 a=3i+2j,b=2i-j,求
-
−
【变式训练 1】 化简:(1) ( + ) − +
(2) ( − ) + − ( − ) .
解:(1)原式= + -a-b=a+b-a-b=0.
(2)原式= − + − +
单位向量,这一过程称为向量的单位化.
4.想一想:非零向量||与向量
a 的方向相同吗?
提示:相同,因为|a|>0,所以向量||与向量
a 的方向相同.
二、数乘向量的运算律
【问题思考】
1.类比实数的运算律,向量数乘有怎样的运算律?
提示:结合律、分配律.
2.(1)向量数乘的运算律:
设λ,μ为实数,a,b为向量,那么根据向量的数乘定义,可以得到
故
x=-a+b.
(2)把第一个方程的左、右两边同乘-2,然后与第二个方程相加,
得y=-2a+b,从而
y=-a+b.
代入原来第二个方程得
故
=
=
- + ,
- + .
x=-a+b.
反思感悟 向量也可以通过列方程(组)来解,把所求向量当作
探究一 向量的线性运算
【例1】 (1)计算(5a-4b+c)-2(3a-2b+c);
(2)设向量 a=3i+2j,b=2i-j,求
-
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向量的 数乘
长度 方向
|λa|=③ |λ||a| λa
向量数 结合律 λ(μa)=⑥ (λμ)a (λ, μ∈R)
乘的运 分配律 (λ+μ)a=⑦ λa+μa (λ,μ∈R)(第一分配律);
算律
λ(a+b)=⑧ λa+λb (λ,μ∈R)(第二分配律)
判定 对于向量a(a≠0),b,如果有一个实数λ,使⑨ b=λa ,那么由向量数乘的定义可知a 共线向 定理 与b共线 量定理 性质 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是:存在唯一一个实数λ,使⑩ b=λa
北师大版（2019）高中数学《向量的 数乘运 算》优 质精选p pt1
共线向量定理的应用——三点共线问题 一般地,要判断A,B,C三点是否共线,只需看是否存在实数λ,使得 =λ (或 =λ 等).
如图所示,已知点G是△ABC的重心,过G作直线与AB,AC两边分别交于M,N两点,且
=x , =y ,则 的值为
定理
向量线性运算的常用结论 (1)在△ABC 中,D是BC的中点,则 = ( + ); (2)O是△ABC的重心的充要条件是 + + =0;
(3)与 同向的单位向量为
.
北师大版（2019）高中数学《向量的 数乘运 算》优 质精选p pt1
判断正误，正确的画“√” ，错误的画“ ✕” .
1.实数λ与向量a的积还是向量. ( √ ) 2.对于非零向量a,向量-6a与向量2a方向相反. ( √ ) 3.向量-8a(a≠0)的模是向量4a的模的2倍. ( √ ) 4.若b=λa(a≠0),则a与b方向相同或相反. ( ✕ ) 提示：当λ=0时,b=0,此时b的方向是任意的,不能得出a与b的方向相同或相反. 5.若a∥b,则存在λ∈R,使得b=λa. ( ✕ )
北师大版（2019）高中数学《向量的 数乘运 算》优 质精选p pt1
思路点拨 若存在唯一的λ∈R,使b=λa(a≠0),则a∥b,否则a,b不共线.
解析 由2a-3b=-2(a+2b)得b=-4a,故①符合;由λa-μb=0,得λa=μb,故②符合;若x=y=0, 则xa+yb=0,但b与a不一定共线,故③不符合;在梯形ABCD中,没有说明哪组对边平 行,故④不符合. 答案 A
北师大版（2019）高中数学《向量的 数乘运 算》优 质精选p pt1
共线向量定理的应用——向量共线的判定
解决向量共线的判定问题的基本方法 向量共线的判定一般是用其判定定理,即a是一个非零向量,若存在唯一一个实 数λ,使得b=λa,则向量b与非零向量a共线.解题过程中,需要把两向量用共同的已知 向量来表示,进而互相表示,由此判定两向量共线. 注意:定理中的a是非零向量,其原因是:若a=0,b≠0,虽然a与b共线,但不存在实 数λ,使b=λa成立;若a=b=0,a与b显然共线,但实数λ不唯一,任一实数λ都能使b=λa成立 .
北师大版（2019）高中数学《向量的 数乘运 算》优 质精选p pt1
已知a,b是两个非零向量,在下列四个条件中,一定能使a,b共线的是 ( A ) ①2a-3b=4e且a+2b=-2e; ②存在相异实数λ,μ,使λa-μb=0; ③xa+yb=0(其中实数x,y满足x+y=0); ④在梯形ABCD中, =a, =b. A.①② B.①③ C.② D.③④
∵ = - = ( + )-x = 又 = - =y -x ,M,G,N三点共线, ∴ =λ (λ∈R且λ≠0),即y -x =λ
+
,
+
,即
=
北师大版（2019）高中数学《向量的 数乘运 算》优 质精选p pt1
.
北师大版（2019）高中数学《向量的 数乘运 算》优 质精选p pt1
∵ 与 不共线,∴ 得x+y=3xy,∴ = . 答案
6.2.3 向量的数乘运算
1.通过实例分析,掌握平面向量的数乘运算及其运算规则,理解其几何意义. 2.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义. 3.掌握共线向量定理及其证明过程,会根据共线向量定理判断两个向量是否共 线.
向量的数乘运算
定义 一般地,我们规定实数λ与向量a的积是一个① 向量 ,这种运算叫做向量的数乘, 记作② λa .当λ=0时,λa=0
北师大版（2019）高中数学《向量的 数乘运 算》优 质精选p pt1
北师大版（2019）高中数学《向量的 数乘运 算》优 质精选p pt1
如图所示,在△ABC中,D,F分别是边BC,AC的中点,且 = 求证:B,E,F三点共线.
, =a, =b.
思路点拨 根据共线向量定理证得 =λ (b-2a),
∴=
,∴ ∥ .
又∵ 与 有公共点B,∴B,E,F三点共线.
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证明 如图,延长AD到G,使 =2 ,连接BG,CG,得到平行四边形ABGC,则
=a+b, = 2a).
= (a+b), =
= (a+b), = - = (a+b)-a= (b-
.
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解析 如图,设BC的中点为D,连接GD,由于G是△ABC的重心,则A,D,G三点共线且
=
.由向量的加法法则知 = ( + ),
∴=
= × ( + )= ( + ).