中考数学专题训练：定值和最值问题解析版解析

定值问题解

1、如图，在平面直角坐标系x O y 中，矩形AOCD 的顶点A 的坐标是（0,4），现有两动点P 、Q ，点P 从点O 出发沿线段OC （不

包括端点O ，C ）以每秒2个单位长度的速度，匀速向点C 运动，点Q 从点C 出发沿线段CD （不包括端点C ，D ）以每秒1个单位长度的速度匀速向点D 运动.点P ，Q 同时出发，同时停止，设运动时间为t 秒，当t=2秒时PQ=52. （1）求点D 的坐标，并直接写出t 的取值范围；

（2）连接AQ 并延长交x 轴于点E,把AE 沿AD 翻折交CD 延长线于点F,连接EF ，则△A EF 的面积S 是否随t 的变化而变化？若变化，求出S 与t 的函数关系式；若不变化，求出S 的值. （3）在（2）的条件下，t 为何值时，四边形APQF 是梯形？

【答案】解：（1）由题意可知，当t=2（秒）时，OP=4，CQ=2，

在Rt△PCQ 中，由勾股定理得：PC=(

)

2

222PQ CQ 25

2-=-=4，

∴OC=OP+P C=4+4=8。

又∵矩形AOCD ，A （0，4），∴D（8，4）。 t 的取值范围为：0＜t ＜4。 （2）结论：△AEF 的面积S 不变化。

∵AOCD 是矩形，∴AD∥OE，∴△AQD∽△EQC。 ∴

CE CQ AD DQ =，即CE t 84t =-，解得CE=8t

4t

-。 由翻折变换的性质可知：DF=DQ=4－t ，则CF=CD+DF=8－t 。 S=S 梯形AOCF ＋S △FCE －S △AOE =

12（OA+CF ）•OC+12CF•CE－1

2

OA•OE =12 [4＋（8－t ）]×8+12（8－t ）•8t 4t -－12×4×（8＋8t 4t

-）。 化简得：S=32为定值。

所以△AEF 的面积S 不变化，S=32。

（3）若四边形APQF 是梯形，因为AP 与CF 不平行，所以只有PQ∥AF。

由PQ∥AF 可得：△CPQ∽△DAF。

∴CP：AD=CQ ：DF ，即8－2t ：8= t ：4－t ，化简得t 2

－12t ＋16=0， 解得：t 1=6+25，t 2=625-。

由（1）可知，0＜t ＜4，∴t 1=6+25不符合题意，舍去。

∴当t=625-秒时，四边形APQF 是梯形。

2、如图所示，在菱形ABCD 中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF 为正三角形，点E 、F 分别在菱形的边BC ．CD 上滑动，且E 、F 不与B ．C ．D 重合．

（1）证明不论E 、F 在BC ．CD 上如何滑动，总有BE=CF ；

（2）当点E 、F 在BC ．CD 上滑动时，分别探讨四边形AECF 和△CEF 的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．

【答案】解：（1）证明：如图，连接AC

∵四边形ABCD 为菱形，∠BAD=120°， ∠BAE+∠EAC=60°，∠FAC+∠EAC=60°， ∴∠BAE=∠FAC。

∵∠BAD=120°，∴∠ABF=60°。 ∴△ABC 和△ACD 为等边三角形。 ∴∠ACF=60°，AC=AB 。∴∠ABE=∠AFC。

∴在△ABE 和△ACF 中，∵∠BAE=∠FAC，AB=AC ，∠ABE=∠AFC， ∴△ABE≌△ACF（ASA ）。∴BE=CF。

（2）四边形AECF 的面积不变，△CEF 的面积发生变化。理由如下：

由（1）得△ABE≌△AC F ，则S △ABE =S △ACF 。 ∴S 四边形AECF =S △AEC +S △ACF =S △AEC +S △ABE =S △ABC ，是定值。 作AH⊥BC 于H 点，则BH=2，

22AECF ABC 11

S S BC AH BC AB BH 4322

∆==⋅⋅=⋅-=四形边。

由“垂线段最短”可知：当正三角形AEF 的边AE 与BC 垂直时，边AE 最短．故△AEF 的面积会随着AE 的变化而变化，且当AE 最短时，正三

角形AEF 的

面积会最小，

又S △CEF =S 四边形AECF ﹣S △AEF ，则此时△CEF 的面积就会最大．

∴S △CEF =S 四边形AECF ﹣S △AEF

(

)()

22

1

432323

3

32

=-⋅⋅

-

=。

∴△CEF 的面积的最大值是3。

（二）由运动产生的线段和差问题（最值问题）

1、如图所示，已知A 11(,y )2，B 2(2,y )为反比例函数1

y x

=

图像上的两点，动 点P (x,0)在x 正半轴上运动，当线段AP 与线段BP 之差达到最大时，点P 的坐标是【 】

A. 1(,0)2

B. (1,0)

C. 3(,0)2

D. 5(,0)2

【答案】D 。

【考点】反比例函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，三角形三边关系。 【分析】∵把A 11(,y )2，B 2(2,y )分别代入反比例函数1y x =

得：y 1=2，y 2=1

2

， ∴A（

12 ，2），B （2，1

2

）。 ∵在△ABP 中，由三角形的三边关系定理得：|AP －BP|＜AB ， ∴延长AB 交x 轴于P′，当P 在P′点时，PA －PB=AB ， 即此时线段AP 与线段BP 之差达到最大。

设直线AB 的解析式是y=kx+b ，把A 、B 的坐标代入得：

12=k+b 21=2k+b 2

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，解得：k=15b=2-⎧⎪⎨⎪⎩。∴直线AB 的解析式是5y x 2=-+。

当y=0时，x= 52，即P （5

2

，0）。故选D 。

2、如图，抛物线l 交x 轴于点A （﹣3，0）、B （1，0），交y 轴于点C （0，﹣3）．将抛物线l 沿y 轴翻折得抛物线l 1． （1）求l 1的解析式；

（2）在l 1的对称轴上找出点P ，使点P 到点A 的对称点A 1及C 两点的距离差最大，并说出理由；