中考数学之定值探究(通用版)
初三中考复习专题：定值问题
初三数学讲义 专题探究：定值类问题教学过程：一、教学衔接（课前环节）1、回收上次课的教案，了解家长的反馈意见；2、检查学生的作业，及时指点3、捕捉学生的思想动态和了解学生的本周学校的学习内容二、知识点解析在几何问题中，当一些几何元素按照一定的规律在确定的范围内变化时,与它相关另一些几何元素的某些量或其数量关系保持不变，这种几何问题称之为几何定值问题. 定值问题由于所求证的问题不明确、具体,而使人难已下手,给问题解决带来困难.近年来,该类问题在各省市中考试题中频频出现,为便于广大师生复习教学,现对其归类例析.一、线段长度为定值例1如图，在半径为6，圆心角为90°的扇形OAB 的弧AB 上，有一个动点P ，PH ⊥OA ，垂足为H ，△OPH 的重心为G 。
（1）当点P 在弧AB 上运动时，线段GO 、GP 、GH 中，有无长度保持不变的线段？如果有，请指出这样的线段，并求出相应的长度；（2）设PH ＝，GP ＝，求关于的函数解析式，并写出函数的定义域； （3）如果△PGH 是等腰三角形，试求出线段PH 的长。
分析:解决此题时,首先要根据线段GH 的特征,添出辅助线,找出与其有关的长度为定值的线段间的联系,从而获得问题的解决.图一BOAGPHE二、线段长度为定值例 在给定的梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 是AB 边上的动点，点1O 、2O 分别是AED ∆和BEC ∆的外心。
求证：21O O 的长为一定值。
变式练习 如图，在ABC ∆中，A ∠与底边BC 为一定值，BD ⊥AC ，CE ⊥AB ，D 、E 为垂足，连结DE 。
求证：DE 为定长。
三、角的度数为定值例 如图，定长的弦ST 在一个以AB 为直径的半圆上滑动，M 是ST 的中点，P 是S 对AB 作垂线的垂足。
求证：不管ST 滑到什么位置，SPM ∠是一定角。
ACB DEEDABCPM A O BS T例题．（2010广东广州，24，14分）如图，⊙O 的半径为1，点P 是⊙O 上一点，弦AB 垂直平分线段OP ，点D 是 APB 上任一点（与端点A 、B 不重合），DE ⊥AB 于点E ，以点D 为圆心、DE 长为半径作⊙D ，分别过点A 、B 作⊙D 的切线，两条切线相交于点C ．（1）求弦AB 的长；（2）判断∠ACB 是否为定值，若是，求出∠ACB 的大小；否则，请说明理由； （3）记△ABC 的面积为S ，若2SDE ＝43，求△ABC 的周长.四、面积为定值例. 如图7(1),正方形ABCD 的对角线相交于点O ，O 是正方形A'B'C'O 的一个顶点,如果两个正方形的边长为a,求证：正方形A'B'C'O 绕点O 无论怎样转动，两个正方形重叠部分的面积总是一个定值.CP DOBAEFE 图10图9C'B'A'C'B'A'OBDBDAC C A真题练习1．（2011•广州）已知关于x的二次函数y=ax2＋bx＋c（a＞0）的图象经过点C（0，1），且与x轴交于不同的两点A、B，点A的坐标是（1，0）（1）求c的值；（2）求a的取值范围；（3）该二次函数的图象与直线y=1交于C、D两点，设A、B、C、D四点构成的四边形的对角线相交于点P，记△PCD的面积为S1，△PAB的面积为S2，当0＜a＜1时，求证：S1－S2为常数，并求出该常数．2．（2011•河北）如图，在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，沿x轴向右以毎秒1个单位长的速度运动t秒（t＞0），抛物线y=x2+bx+c经过点O和点P，已知矩形ABCD的三个顶点为 A（1，0），B（1，－5），D（4，0）．（1）求c，b（用含t的代数式表示）：（2）当4＜t＜5时，设抛物线分别与线段AB，CD交于点M，N．①在点P的运动过程中，你认为∠AMP的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出∠AMP 的值；②求△MPN的面积S与t的函数关系式，并求t为何值时，要S=218错误！未找到引用源。
中考数学 定值问题 ppt课件
A
E4 2 B
1 O
F3
D
在以AB为直径的半圆上任意取一点C，过C 点作切线CP交AB的延长线于点P，∠APC的 平分线交AC于点D 求证：∠PDC为定值.
C
D
A
O
×
×
B
P
或最短时点P的位置；如果不发生变化，请给
出你的证明．
C’
C
A P
O1
O2
P
B D’ D
已知，如图10(甲)，正方形ABCD的边长为2,
点M是BC的中点,P是线段MC上的一个动点,
P不运动到M和C,以AB为直径做⊙O，过点P
作⊙O的切线交AD于点F,切点为E.
（1）求四边形CDFP的 D 周长；
C P
A( 2,0)
B
CAO45
AO
Mx
C 第25题图①
（2）⊙B以每秒1个单位长度的速度沿x轴 负方向平移，同时，直线l绕点A顺时针匀速 旋转。当⊙B第一次与⊙O相切时，直线l也 恰好与⊙B第一次相切。问：直线AC绕点A 每秒旋转多少度？
y
B
B
1
AOD
( 2,0)
Mx
C 第25题图①
（3）如图②，过A、O、C三点作⊙O1，点E为劣弧AO上 一点，连接EC、EA、EO，当点E在劣弧AO上运动时(不 与A、O两点重合)， E C E A 的值是否发生变化？如果不
M
E
F
AO
B
已知，如图10(甲)，正方形ABCD的边长为2, 点M是BC的中点,P是线段MC上的一个动点, P不运动到M和C,以AB为直径做⊙O，过点P 作⊙O的切线交AD于点F,切点为E.
（2）试探索P在线段 D
2024年中考数学常见几何模型(全国通用)圆中的重要模型之定角定高模型、米勒最大角模型(原卷版)
专题35圆中的重要模型之定角定高模型、米勒最大角模型圆在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就圆形中的重要模型（米勒最大视角（张角）模型、定角定高（探照灯）模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
近几年一些中考几何问题涉及了“最大视角”与“定角定高”模型，问题往往以动点为背景，与最值相结合，综合性较强，解析难度较大，学生难以找到问题的切入点，不能合理构造辅助圆来求解。
实际上，这样的问题中隐含了几何的“最大视角”与“定角定高”模型，需要对其中的动点轨迹加以剖析，借助圆的特性来探究最值情形。
而轨迹问题是近些年中考压轴题的热点和难点，既可以与最值结合考查，也可以与轨迹长结合考查，综合性较强、难度较大。
模型1.米勒最大张角（视角）模型【模型解读】已知点A ，B 是∠MON 的边ON 上的两个定点，点C 是边OM 上的动点，则当C 在何处时，∠ACB 最大？对米勒问题在初中最值的考察过程中，也成为最大张角或最大视角问题。
米勒定理：已知点AB 是∠MON 的边ON 上的两个定点，点C 是边OM 上的一动点，则当且仅当三角形ABC 的外圆与边OM 相切于点C 时，∠ACB 最大。
【模型证明】如图1，设C’是边OM 上不同于点C 的任意一点，连结A ，B ，因为∠AC ’B 是圆外角，∠ACB 是圆周角，易证∠AC ’B 小于∠ACB ，故∠ACB 最大。
在三角形AC’D 中，’’=+ADB AC D DAC’ADB AC D 又=ACB ADB ∵’ACB AC D【解题关键】常常以解析几何、平面几何和实际应用为背景进行考查。
若能从题设中挖出隐含其中的米勒问题模型，并能直接运用米勒定理解题，这将会突破思维瓶颈、大大减少运算量、降低思维难度、缩短解题长度，从而使问题顺利解决。
否则这类问题将成为考生的一道难题甚至一筹莫展，即使解出也费时化力。
A． 2,0B．例3．（2023·江苏南京·九年级统考期中）如图，在矩形是BC上一个动点，若∠DPM(1)如图，O 的半径为1，①已知点(1,1)A ，直接写出点已知直线2y ，直接写出直线2y 关于O 的“视角”；合条件的B 点坐标；(2)C 的半径为1，①点C 的坐标为若直线关于C 的“视角”为60 ，求k 的值；②圆心C 在模型2.定角定高模型（探照灯模型）定角定高模型：如图，直线BC外一点A，A到直线BC距离为定值（定高），∠BAC为定角，则AD有最小值，即△ABC的面积有最小值。
浙江专版中考数学专题8最值与定值问题精讲本课
最值与定值问题
专题解读
最值问题是初中数学的重要内容，具有较大的灵活性，也 是一类综合性较强的问题，它贯穿初中数学的始终，是中 考的热点问题，它主要考查学生对平时所学内容的综合运 用能力，关键要用数学思想方法为指导，找准问题的切入 点，建立合适的解决问题的数学模型，寻找解决问题的捷 径，从而把问题由难转化为易，由复杂转化为简单，使问 题得到解决．
类型四 运用三边之间的关系求最值
例 4.(2021·凉山州)如图，等边三角形 ABC 的边长为 4， ⊙C 的半径为 3 ，P 为 AB 边上一动点，过点 P 作⊙C 的切线 PQ，切点为 Q，则 PQ 的最小值为____3________．
【解析】连结 CP，CQ，作 CH⊥AB 于 H，如图，∵等边三角
C．5 3 2
D．6 5 5
【解析】作 QM⊥x 轴于点 M，Q′N⊥x 轴于 N，设 Q(m，－
1 2
m ＋ 2) ， 则
PM
＝
m
－
1
，
QM
＝
－
1 2
m＋2，可证
△PQM≌△Q′PN(AAS)，∴PN＝QM＝－12 m＋2，Q′N＝PM
＝m－1，∴ON＝1＋PN＝3－12 m，
∴Q′(3－12 m，1－m)，∴OQ′2＝(3－12 m)2
(2)小明在研究的过程中发现PPEC 是一个确定的值．回答这个确 定的值是多少？并对小明发现的结论加以证明．
解：(1)连结 OD，DB，∵点 E 是线段 OB 的中点，DE⊥ AB 交⊙O 于点 D，∴DE 垂直平分 OB，∴DB＝DO.可证 ∠BCD＝∠BDC＝12 ∠DBO.∴∠DBO＝60°，∴∠CDB＝ 30°.∴∠ODC＝∠BDO＋∠BDC＝60°＋30°＝90°，∴CD 是⊙O 的切线；
中考数学专题训练：定值和最值问题解析版
定值问题解析版1、如图，在平面直角坐标系x O y 中，矩形AOCD 的顶点A 的坐标是（0,4），现有两动点P 、Q ，点P 从点O 出发沿线段OC （不包括端点O ，C ）以每秒2个单位长度的速度，匀速向点C 运动，点Q 从点C 出发沿线段CD （不包括端点C ，D ）以每秒1个单位长度的速度匀速向点D 运动.点P ，Q 同时出发，同时停止，设运动时间为t 秒，当t=2秒时PQ=52. （1）求点D 的坐标，并直接写出t 的取值范围；（2）连接AQ 并延长交x 轴于点E,把AE 沿AD 翻折交CD 延长线于点F,连接EF ，则△A EF 的面积S 是否随t 的变化而变化？若变化，求出S 与t 的函数关系式；若不变化，求出S 的值. （3）在（2）的条件下，t 为何值时，四边形APQF 是梯形？【答案】解：（1）由题意可知，当t=2（秒）时，OP=4，CQ=2，在Rt△PCQ 中，由勾股定理得：PC=()2222PQ CQ 252-=-=4，∴OC=OP+P C=4+4=8。
又∵矩形AOCD ，A （0，4），∴D（8，4）。
t 的取值范围为：0＜t ＜4。
（2）结论：△AEF 的面积S 不变化。
∵AOCD 是矩形，∴AD∥OE，∴△AQD∽△EQC。
∴CE CQ AD DQ =，即CE t 84t =-，解得CE=8t4t-。
由翻折变换的性质可知：DF=DQ=4－t ，则CF=CD+DF=8－t 。
S=S 梯形AOCF ＋S △FCE －S △AOE =12（OA+CF ）•OC+12CF•CE－12OA•OE =12 [4＋（8－t ）]×8+12（8－t ）•8t 4t -－12×4×（8＋8t 4t-）。
化简得：S=32为定值。
所以△AEF 的面积S 不变化，S=32。
（3）若四边形APQF 是梯形，因为AP 与CF 不平行，所以只有PQ∥AF。
2020年中考数学压轴题专题9 动态几何定值问题学案(原版+解析)
专题九动态几何定值问题【考题研究】数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈。
动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等，就问题类型而言，有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。
解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。
以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射。
【解题攻略】动态几何形成的定值和恒等问题是动态几何中的常见问题，其考点包括线段（和差）为定值问题；角度（和差）为定值问题；面积（和差）为定值问题；其它定值问题。
解答动态几何定值问题的方法，一般有两种：第一种是分两步完成：先探求定值. 它要用题中固有的几何量表示.再证明它能成立.探求的方法，常用特殊位置定值法，即把动点放在特殊的位置，找出定值的表达式，然后写出证明.第二种是采用综合法，直接写出证明.【解题类型及其思路】在中考中，动态几何形成的定值和恒等问题命题形式主要为解答题。
在中考压轴题中，动态几何之定值（恒等）问题的重点是线段（和差）为定值问题，问题的难点在于准确应用适当的定理和方法进行探究。
【典例指引】类型一【线段及线段的和差为定值】【典例指引1】已知：△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，将△ABC绕点C顺时针方向旋转得到△A′B′C，记旋转角为α，当90°＜α＜180°时，作A′D⊥AC，垂足为D，A′D与B′C交于点E．（1）如图1，当∠CA ′D ＝15°时，作∠A ′EC 的平分线EF 交BC 于点F ．①写出旋转角α的度数；②求证：EA ′+EC ＝EF ；（2）如图2，在（1）的条件下，设P 是直线A ′D 上的一个动点，连接PA ，PF ，若AB ＝2，求线段PA +PF 的最小值．（结果保留根号）【举一反三】如图（1），已知∠=90MON o ,点P 为射线ON 上一点，且=4OP ，B 、C 为射线OM 和ON 上的两个动点（OC OP >），过点P 作PA ⊥BC ，垂足为点A ，且=2PA ，联结BP ．（1）若12PACABOP S S ∆=四边形时，求tan BPO ∠的值； （2）设PC x =，AB y BC=求y 与x 之间的函数解析式，并写出定义域； （3）如图(2)，过点A 作BP 的垂线，垂足为点H ，交射线ON 于点Q ，点B 、C 在射线OM 和ON 上运动时，探索线段OQ 的长是否发生变化？若不发生变化，求出它的值。
中考数学动态几何题中的定值型问题赏析
中考数学动态几何题中的“定值型”问题赏析在动态几何问题中，当一些元素按照一定的规律在确定的范围内变化时，与它相关的另一些几何元素的某些量或其数量关系保持不变，这类问题称为几何定值问题。
定值问题由于有时甚至不知道定值的结果，而使人难以下手，给问题解决带来困难。
解决这类问题时，要善于运用辩证的观点去思考分析，在“可变”的元素中寻求“不变”的量．一般可采用特殊值或特殊的位置，探得定值，如果需要的话再考虑证明；或直接推理、计算，并在计算中消去变量，从而得到定值。
以下以2010年中考题为例说明具体的求解策略 一、长度定值 例1．（2010山东聊城）如图，点P 是矩形ABCD 的边AD 的一个动点，矩形的两条边AB 、BC 的长分别为3和4，那么点P 到矩形的两条对角线AC 和BD 的距离之和是（ ）A ．125B ．65C ．245D ．不确定解析：因为四边形ABCD 是矩形，由勾股定理得AC =BD =5.过点P 分别作AC 、BD 的垂线PE 、PF ，容易得△PDF ∽△BDA ， ∴PD PF BD AB =，即53PD PF =，∴35PF PD =， 同理35PE PA =，∴PE +PF ＝312()55PA PD +=．故答案为A 。
点评：本题属于矩形中动点定值问题，在选择题中，可以采取特殊点法求解，譬如P 与A 重合、P 与B 重合或P 为AD 的中点等特殊情形下，求出PE ＋PF 的值探求答案． 二、角度定值 例2．（2010年广东广州）如图，⊙O 的半径为1，点P 是⊙O 上一点，弦AB 垂直平分线段OP ，点D 是APB 上任一点（与端点A 、B 不重合），DE ⊥AB 于点E ，以点D 为圆心、DE 长为半径作⊙D ，分别过点A 、B 作⊙D 的切线，两条切线相交于点C ．（1）求弦AB 的长；（2）判断∠ACB 是否为定值，若是，求出∠ACB 的大小；否则，请说明理由； （3）略分析：（1）连接OA ，OP 与AB 的交点为F ，则△OAF 为直角三角形，且OA ＝1，OF ＝12，借助勾股定理可求得AF 的长，根据垂径定理求得AB ；（2）要判断∠ACB 是否为定值，只需判定∠CAB ＋∠ABC 的值是否是定值，由于⊙D 是△ABC 的内切圆，所以AD 和BD 分别为∠CAB 和∠ABC 的角平分线，因此只要∠DAE ＋∠DBA 是定值，而∠DAE ＋∠DBA 等于弧AB 所对的圆周角，这个值等于∠AOB 值的一半，只需看∠AOB 值即可。
2020年九年级中考数学专题-定点定值问题(无答案)
中考数学复习提纲—定点定值问题班级 姓名 号数_______一、定点问题——由字母参数产生的定点 例1．阅读以下内容，然后解决问题 无论m 为任何实数，函数的图像总会经过的点是（ ）.A. （1，3）B. （1，0）C. （－1，3）D. （－1，0）方法1：变换主元法①x x x y x y -=+-=⎧⎨⎩==⎧⎨⎩1020132，解得 这类问题一般解法是根据直线或抛物线的动因，先选择适当的参数，用参数表示出直线或抛物线方程，然后按参数整理，并令参数的系数为0得方程组，解方程或方程组求出定点坐标。
方法2：特殊值法任意给m 赋予两个特殊值，不妨设m=0和m=2。
y x x y x =+=+⎧⎨⎪⎩⎪2222，解得所以，无论m 为何值时，该二次函数的图像恒过定点（1，3）。
故应选A 。
练习． 一次函数33(0)y kx k k =+-≠的图象一定过定点________________ 抛物线y=(k-1)x 2+(2-2k)x+1，那么此抛物线必定经过______和____ 二、定值问题1.线段长度为定值例2．若直线y=8k 与二次函数L ：y=kx 2﹣4kx+3k （k ≠0）交于E 、F 两点。
（1）直接抛物线的对称轴直线__________；（2对于不同的k 的值，线段EF 的长度是否发生变化？如果不会， 请求出EF 的长度；如果会，请说明理由．练习2．如图，扇形OAB 的半径OA=3，圆心角∠AOB=90°.点C 是AB⌒上异于A ，B 的动点，过点C 作CD ⊥OA 于点D ，作CE ⊥OB 于点E.连接DE ，点G ，H 在线段DE 上，且DG=GH=HE.在CD ，CG ，DG 中，是否存在长度不变的线段？若存在，请写出出该线段的长度. 2. 角度为定值例3．如图二次函数y ＝x 2+bx ﹣3的图象与x 轴分别相交于A 、B 两点，点B 的坐标为（3，0），与y 轴的交点为C ，动点T 在射线AB 上运动，在抛物线的对称轴l 上有一定点D ，其纵坐标为2，l 与x 轴的交点为E ，经过A 、T 、D 三点作⊙M ．（1）求二次函数的表达式；y ＝x 2﹣2x ﹣3＝（x ﹣1）2﹣4． D （1，BOACE HG D2）．（2）在点T的运动过程中，∠DMT的度数是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由。
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中考数学之定值探究（通用版）
近年来，我们经常遇到求线段的和、差、积、商是一个定值的问题，也会遇到在图形的变换过程中，面积是一个定值的问题.这类问题的提出，往往是询问的语气，不能说一定是定值或一定不是定值，需要探讨后才能作出结论.这类题型难度大，运用的知识点多，计算量大，对综合运用知识的能力有较高要求.
本文档将此类型的题目分为几个类型，供各位老师进行探究：
一、α为定值
例1 已知抛物线21y x mx m =-+++与x 轴交于,A B 两点(点A 在点B 的左侧)。
如图1，若点M 为抛物线位于x 轴上方图象上一动点，过点M 作MN x ⊥轴，垂足为N ，直线MN 上有一点H ，满足HBA ∠与MAB ∠互余，试判断HN 的长是否变化，若变化?请说明理由，若不变，请求出HN 长.
分析△AMN 的三边随点M 的变化而变化，但因为HBA ∠与MAB ∠互余，所以△AMN ∽△HBN ，从而可以建立比例关系，求出HN 的长.
解 令210y x mx m =-+++=，得
11x =-，21x m =+，
∴(1,0)A -，(1,0)B m +.
设(,0)N t ，则
2(,1)M t t mt m -+++，
∴1NA t =+，
1BN m t =+-，
21MN t mt m =-+++.
∵90HBA MAB ∠+∠=︒，
90ANM MNB ∠=∠=︒，
∴△AMN ∽△HBN ， ∴MN AN NB HN
= 即2111t mt m t m t HN
-++++=+-， 解得1HN =.
评析本题以二次函数为背景，结合相似三角形，找出等量关系(注意避免使用,AM BH ).其中含有参数的代数式的因式分解是本题难点，合理使用有关线段是解决本题的关键. 二、a b
为定值 例2 如图2，在平面直角坐标系中，点M 在x 轴的正半轴上，⊙M 交x 轴于,A B 两点，交y 轴于,C D 两点，且C 为AE 的中点，AE 交y 轴于点G ，若A 点的坐标为(2,0)-，8CD =.
(1)求⊙M 的半径.
(2)求AE 的长.
(3)如图3，过点D 作⊙M 的切线，交x 轴于点P .动点F 在⊙M 上运动时，
OF PF
的比值是否发生变化?若不变，求出比值;若变化，请说明变化规律.
解：
(1)易得⊙M的半径为5.
(2)如图2，连结CM交AE于点H.∵C为AE的中点，
∴CM AE
⊥.
又∵90
COM
∠=︒，
∴COM AHM
≅，
∴4
AH CO
==，
故8
AE=.
(3)如图3，连结,
MF MD.
∵PD与⊙M相切于点D，
∴△ODM∽DPM，
∴
25
3
DM DM
PM
OM
•
==.
∵
3
5
OM
FM
=，
53
255
3
FM
PM
==，
且OMF FMP ∠=∠，∴△OMF∽△FMP，
∴
3
5 OF OM
PF FM
==.
评析第(3)小题，求OF
PF
的比值，难度较大.此时，我们可以考虑F运动的特殊情况。
比如，F运动到A点时，2
OF=，
10
3
PF=，得
3
5
OF
PF
=，而
3
5
OM
FM
=，这样自然联想到相似
三角形(△OMF∽△FMP)，进而求得比值OF PF
.
三、m n a b
+(,m n 为常数)为定值 例3 如图4，直线3y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点,B C ，抛物线2(1)y a x k =-+经过点,B C ，并与x 轴交于另一点A .
(1)求此抛物线及直线AC 的函数表达式.
(2)经过点(0,1)D 的直线m 与射线AC ，射线OB 分别交于点,M N .当直线m 绕点D
旋转时，2AM AN
+是否为定值?若是，求出这个值;若不是，说明理由.
解：
(1)易得33AC y x =+，以及抛物线的函数表达式: 2(1)4y x =--+.
(2)如图5，过点M 作MP x ⊥轴于点P . 设直线m 的解析式为1y kx =+，则直线m 与射线AC 和OB 分别交于点233(,)33
k M k k ---，1(,0)N k
-.
∵AC =
AC AM
=. 而AC CO AM MP
=，
∴22CO AM AN MP AN +=+ 3233113k k k
=
+--+- 32311k k k k -=+=--. 评析第 (1)小题是常见题型，学生很容易解决.第(2)小题需要学生有一定的数感.
往往是直角边为3和1构成的直角三角形的斜边长，
这样AM 转化成AC AM ，进一步转化成CO MP
.
四、角度为定值
例4 如图6，抛物线1l ：21(2)y a x =-与直线2l ：2(2)y am x b =--+ (,,a m b 为常数，0a ≠，
0m <)交于,A B 两点，直线2l 交x 轴于点C ，点A 的坐标为(2,)m n +.
(1)如图6，求证:3AB AC =.
(2)如图7，设抛物线顶点为F ，直线2l 交抛物线的对称轴于点D ，直线3l ：32(2)y am x d =-+(d 为常数，0d ≠)经过点A ，并交抛物线的对称轴于点E .若BFD p AED ∠=∠(p 为常数)，则p 的值是否发生变化?若不变，请求出p 的值;若变化，请说明理由.
解：(1)将(2,)A m n +代入21(2)y a x =-，得2n am =，再将2(2,)A m am +代入2(2)y am x b =--+，得22b am =，
∴22(2)2y am x am =--+，
由此得(22,0)C m +.
令12y y =，得2(22,4)B m am -+.
如图8，分别过点,A B 作x 轴的垂线,AM BN ，垂足为,M N ，则
AB MN AC CM =(22)(2)3(2)(22)m m m m -+-+==+-+， ∴3AB AC =.
(2)不变，1p =.
将2(2,)A m am +代入32(2)y am x d =-+，得2d am =-，
∴232(2)y am x am =--.
易得3l 与抛物线对称轴的交点2(2,)E am -.
如图9，过点,A B 作抛物线对称轴的垂线,AG BH ，垂足为,G H ， 则1tan 2BH BFD FH am
∠==， 1tan 2AG AED EG am
∠==， ∴tan tan BFD AED ∠=∠，
∴BFD AED ∠=∠，
即1p =.
评析 第(2)小题以二次函数为背景，通过构造直角三角形并借助相关点的坐标，用代数式表示tan BFD ∠及tan AED ∠，得出BFD AED ∠=∠，从而求出1p =.
五、面积为定值
例5 如图10，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC BC =，D 是AB 的中点，点E 是边AC 上的一动点，点F 是边BC 上的一动点.
(1)若AE CF =，试证明DE DF =.
(2)在点E 、点F 的运动过程中，若DE DF ⊥，试判断DE 与DF 是否一定相等?并加以说明.
(3)在(2)的条件下，若2AC =，四边形ECFD 的面积是一个定值吗?若不是，请说明理由;若是，请直接写出它的面积.
解 (1)易证DE DF =.
(2)∵90ACB ∠=︒，AC BC =，D 是AB 中点，
∴AD CD =，且90ADC ∠=︒.
∵90EDF ∠=︒，
∴ADE CDF ∠=∠
又∵45A DCB ∠=∠=︒，
∴△AED ≌△CFD ，
∴DE DF =.
(3)由(2)，知△AED ≌△CFD ，
∴CDF AED S S ∆∆=，
∴CDE CDF ECFD S S S ∆∆=+四边形
1CDE AED ACD S S S ∆∆∆=+==.
评析 不规则图形的面积往往通过割补转化成规则图形来解决.
综观上述几例，定值问题往往与函数及图形变换有关，需要有综合分析问题的能力.通过观察、操作、猜想、探究，找出题目中的“变”与“不变”，以寻求问题突破口.。