数学模型 航空机票超订票问题
数学建模例题题
数学建模试题一、传染病模型医学科学的发展已经能够有效地预防和控制许多传染病，但是仍然有一些传染病暴发或流行，危害人们的健康和生命。
社会、经济、文化、风俗习惯等因素都会影响传染病的传播，而最直接的因素是：传染者的数量及其在人群中的分布、被传染者的数量、传播形式、传播能力、免疫能力等。
一般把传染病流行范围内的人群分成三类：S类，易感者(Susceptible)，指未得病者，但缺乏免疫能力，与感染者接触后容易受到感染；I类，感病者(Infective)，指染上传染病的人，它可以传播给S类成员；R类，移出者(Removal)，指被隔离或因病愈而具有免疫力的人。
要求：请建立传染病模型，并分析被传染的人数与哪些因素有关？如何预报传染病高潮的到来?为什么同一地区一种传染病每次流行时，被传染的人数大致不变？二、线性规划模型—销售计划问题某商店拟制定某种商品7—12月的进货、售货计划，已知商店仓库最大容量为1500件，6月底已存货300件，年底的库存以不少于300件为宜，以后每月初进货一次，假设各月份该商品买进、售出单价如下表。
要求：若每件每月的库存费用为0.5元，问各月进货、售货各为多少件，才能使净收益最多？建立数学模型，并用软件求解。
【注】线性规划在MATLAB的库函数为：linprog。
语法为：x = linprog(f,A,b)x = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)[x,fval,exitflag,output,lambda] = linprog(...)例如：线性规划目标函数的系数：f = [-5; -4; -6]约束方程的系数及右端项：A = [1 -1 13 2 43 2 0];b = [20; 42; 30];lb = zeros(3,1);调用线性规划程序linprog求解，得：[x,fval,exitflag,output,lambda] = linprog(f,A,b,[],[],lb);x= 0.000015.00003.0000三、一阶常微分方程模型—人口模型与预测 下表列出了中国1982-1998年的人口统计数据，取1982年为起始年（0=t ），1016540=N 万人，200000=m N 万人。
数学建模(航空公司的预定票策略).
数学建模竞赛承诺书我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B中选择一项填写）： B我们的队号为：11参赛队员：1. 电子0903 徐路源2. 数学0901 王璐璐3. 数学0901 张乐孝指导教师或指导教师组负责人：数模组日期： 2010 年 8 月 10 日评阅编号（由评阅老师评阅前进行编号）：.数学建模竞赛编号专用页评阅编号：预测机票价格和预定数量限额最优问题摘要本文所要讨论的问题可以归结为一个趋势拟合和基于二项分布求最优决策的问题。
建立了两个模型：分别用来预测机票的未来价格和求机票的预定限额。
首先我们根据所给的2005年10月～2010年3月期间，每月经济舱机票平均价格(单位:元)数据，通过Matlab 软件用函数去拟合，所得函数即为机票预订价格的数学模型。
可表示为：f(x)=a1*exp(-((x-b1)/c1)^2)+a2*exp(-((x-b2)/c2)^2)+a3*exp(-((x-b3)/c3)^2)+a4*exp(-((x-b4)/c4)^2) +a5*exp(-((x-b5)/c5)^2) + a6*exp(-((x-b6)/c6)^2)但在预测中发现，由模型所得参考价格不合实际。
单方面拟合出的模型并不具有实际价值。
之后我们采用趋势外推法中最小二乘法的周期波动模型来解题。
通过与实际价格的比较，发现其误差较小且置信度较高。
所以我们得到的机票预定价格的数学模型即为)122sin(*4632.0)122cos(*9938.0)122sin(0239.58)122cos(*9355.492690.73877.638~xx x x xx ytππππ-+-++=价格随时间呈周期性变化，每过一个周期价格略有上升。
概率论在数模竞赛中的应用-3
三、（2002年国际数模竞赛B 题）飞机票超额预订问题航空公司通常可以让乘客免费预订机票。
预订了机票的乘客，有可能会因为种种原因，不来乘飞机，这样，当飞机起飞时，就会有一些空位子白白浪费掉。
为了减少损失，航空公司往往采取超额预订飞机票的办法，即：允许乘客预订的机票数超过飞机上的座位数。
但是，这样做，又会发生预订了机票的乘客乘不上飞机，被“挤掉”的情况。
对于被“挤掉”的乘客，航空公司必须给予一定的赔偿。
现在的问题是：航空公司应该采取怎样的超额预订策略，才能使自己损失最小，利润最大？一次飞行的费用，包括飞到目的地的燃料费，机组人员、地勤人员的工资，机场的管理费，飞机的保养费等等，这些几乎都与乘客数无关，因此，作为近似，我们可以假定，每次飞行的费用是一个常数。
由于航空公司的利润等于（扣除赔偿金后）机票费的收入减去飞行费用，当飞行费用为常数时，航空公司的利润要达到最大，可以不必考虑飞行费用，只要（扣除赔偿金后）机票费的收入达到最大就可以了。
设g ——每张机票的价格（作为近似，我们不考虑座位的等级，认为g 是一个常数）。
b ——给每个被“挤掉”的乘客的赔偿金。
M ——飞机上的座位总数。
N ——让乘客预订的机票数（由于是超额预订，所以必有M N ≥）。
ξ——实际来乘飞机的乘客数（ξ是一个随机变量，N ≤≤ξ0）。
η——（扣除赔偿金后）机票费的收入（η与ξ有关，是ξ的函数，也是一个随机变量）。
⎩⎨⎧≤<--≤≤==时当时当N M M b gM M g f ξξξξξη)(0)( 。
设ξ的概率分布为}{k P =ξ，N k ,,2,1,0 =。
这时，可以求出η的数学期望，即航空公司（扣除赔偿金后）机票费的平均收入为)(ξηEf E =∑===Nk k P k f 0}{)(ξ∑∑+===--+==NM k M k k P M k b gMk gkP 1}{)]([}{ξξ。
以每张机票的价格g 为单位计算的（扣除赔偿金后）机票费平均收入为gE η∑∑+===--+==NM k Mk k P M k gb M k kP 10}{)]([}{ξξ。
论文 2
航空公司超员订票摘要机票超售是航空公司在日趋激烈的竞争环境下采取的使收益最大化的举措。
本文分析了三种模型中，使收益最大的预售票数。
在模型一（抱怨系数模型）中，我们通过ma t h e m a t i c a计算得到最佳售票数为314时，收益最大，且抱怨系数小于最大抱怨系数；在模型二（打折模型）中，我们通过m a t l a b计算得到，对于经济舱座位数n=300，票价为正常时的票价的d倍，d=0.7，乘客不登机的概率为p=0.05，取m=314，若d=0.4，取m=318，可使的收益最大；在模型三（动态分析模型）中，我们得到在超售11%的机票时，收益最大。
关键词抱怨系数打折 Mathematica MATLAB 动态分析超售是航空公司收益管理的一项重要内容。
所谓超售,英文为Overbooking,即航空公司的某一航班实际订座大于飞机客舱内可利用座位,以保证对航班座位百分之百地利用。
合理的设计最佳售票数对航空公司实现利益最大化和座位利用最大化有重要意义。
一、问题重述你备好行装准备去旅行，访问北京的一位挚友。
在检票处登记之后，航空公司职员告诉说，你的航班已经超员订票。
乘客们应当马上登记以便确定他们是否还有一个座位。
航空公司一向清楚，预订一个特定航班的乘客们只有一定的百分比将实际乘坐那个航班。
因而，大多数航空公司超员订票?也就是，他们办理超过飞机定员的订票手续。
而有时，需要乘坐一个航班的乘客是飞机容纳不下的，导致一位或多位乘客被挤出而不能乘坐他们预订的航班。
航空公司安排延误乘客的方式各有不同。
有些得不到任何补偿，有些改订到其他航线的稍后航班，而有些给予某种现金或者机票折扣。
根据当前情况，考虑超员订票问题：航空公司安排较少的从A地到B地航班机场及其外围加强安全性乘客的恐惧航空公司的收入迄今损失达数千万美元建立数学模型，用来检验各种超员订票方案对于航空公司收入的影响，以求找到一个最优订票策略，就是说，航空公司对一个特定的航班订票应当超员的人数，要有妥善处理延误乘客的办法，从而达到最大的利润。
数学建模 航空机票超票订票问题
摘要当今是一个经济发展迅猛的时代，做任何事情都要有超前意识，为赢得时间，快速的交通工具成为现代生活的必需品。
飞机成为我们生活当中日益重要的交通工具，订购机票也自然成为我们需要关心的一个问题。
本文基于“航空机票超票订票的问题”运用数学建模所学知识建立数学模型，运用MATLAB软件，通过计算解决以下问题：（1）假设两地的机票价为1500元，每位旅客有0.04的概率发生有事、误机或退票的情况，问航空公司多售出多少张票，使该公司的预期损失达到最小？（2）上述参数不变的情况下，问航空公司多售出多少张票，使该公司的预期利润达到最大，最大利润为多少？关键词：航空机票；数学建模；MATLAB软件；最大利润1 概述1.1 问题背景描述随着社会的不断进步，经济的不断发展，人们生活节奏也越来越快，对效率的要求也越来越高，为了出行的效率，飞机成了人们通常的选择。
航空公司会针对社会现象推出相应的营运模式，从而使公司赢得最大的利润。
针对此种现象，航空公司一般都采用超量订票的运营模式，即每班售出票数大于飞机载客数。
按民用航空管理有关规定：旅客因有事或误机，机票可免费改签一次，此外也可在飞机起飞前退票。
航空公司为了避免由此发生的损失，采用超量订票的方法，即每班售出票数大于飞机载客数。
但由此会发生持票登机旅客多于座位数的情况，在这种情况下，航空公司让超员旅客改乘其它航班，并给旅客机票价的20%作为补偿。
为了减少发生持票登机旅客多于座位数的情况，航空公司需要对乘客数量进行统计，从而对机票预售量做出一定估算，从而获得最大的利润。
1.2 问题的提出某航空公司执行两地的飞行任务。
已知飞机的有效载客量为150人。
按民用航空管理有关规定：旅客因有事或误机，机票可免费改签一次，此外也可在飞机起飞前退票。
航空公司为了避免由此发生的损失，采用超量订票的方法，即每班售出票数大于飞机载客数。
但由此会发生持票登机旅客多于座位数的情况，在这种情况下，航空公司让超员旅客改乘其它航班，并给旅客机票价的20%作为补偿。
数学建模案例分析-“航空公司的预订票策略”
主讲：薛震中北大学数学系全国大学生数学建模竞赛系列讲座随机因素影响必须考虑,随机模型随机性模型:随机因素可以忽略,或随机因素影响可以简单地以平均值的作用出现.确定性模型:主要包括概率模型、统计回归模型和马氏链模型.1.概率模型:概率论的基本理论是建立随机性模型的基础,主要思路是在随机变量的概率分布已知或已经被估计出来的情况下,运用相关的定义和性质,计算某些事件的概率,或者得到有用的数字特征,按照研究对象的目的以及客观规律来建立模型.例如:报童的诀窍,随机存储策略等.2.统计回归模型:如果由于客观事物内部规律的复杂性及人们认识程度的限制,无法分析实际对象内在的因果关系,建立合乎机理规律的模型,那么通常要搜集大量的数据,通过对数据的统计分析,找出与数据拟合最好的回归模型是用统计分析方法建立的最常用的一类模型.例如:牙膏的销售量,基金或股票的投资等.3.马氏链模型:随机过程研究客观世界中随机演变过程的规律性.马氏链是时间、状态均为离散的马氏过程,其特点为:①系统在每个时期所处的状态是随机的;②从一时期到下时期的状态按一定概率转移;③时期状态只取决于本时期状态和转移概率.马氏过程是一种特殊的随机过程,建模中应用非常广泛.它在数学例如:健康与疾病,基因遗传等.p =0.9,m =323,max( / f )=0.45/S fmp =1,m =300,max( / f )=0.53p =0.95,m =311,max( / f )=0.493003103203300.350.450.55S S Sb /g =0.2,m =314,max( / f )=0.494b /g =0.5,m =312,max( / f )=0.490b /g =0.8,m =311,max( / f )=0.487/S f m 3000.410.503103203300.45S S S谢谢! NORTH UNIVERSITY OF CHINA大学。
航空公司定票策略(数学建模相关习题)
m n 1
(4 )
P j (m ) =
m n j 1
∑
k =0
pk
(5 )
(4)和(5)是两个目标,双目标最优问题 模型求解 化为单目标求解.先将(4)式除以r,变为J(m) g=r/nλ
1 b mn 1 J (m ) = S (m ) / r = qm 1 + ∑ (m k n ) pk 1 λn g k =0
模型建立经济效益平均经济效益sm每次航班的效益s不能按时登机的乘客数k随机变量社会效益考虑到社会声誉最多只能挤掉j个顾客超过j人会给公司带来损m表示
航空公司的预订票策略
问题的提出 略 问题的分析 经济收益：机票收入-飞行费用和赔偿金
社会声誉：订票而来但不能登机的乘客数。需要限制 预订票而能登机的乘客数——随机变量 目标应当是数学期望—双目标优化问题 决策变量——预定票数
模型假设 H1：飞机容量是n，机票价格是g。飞行费用r。均为常数 机票价格按g=r/nλ制定， λ <1表示利润调节因子， λ =0.6意义? H2: 预定票数量限制为m(m>n). 每位乘客不能按时前来乘机的概率为p,且相互独立 H3: 每位被挤掉的乘客的赔偿金为常数b.
模型建立 经济效益
不能按时登机的乘客数k 平均经济效益S(m),每次航班的效益s
社会效益
(4 )
考虑到社会声誉,最多只能挤掉j个顾客, 超过j人会给公司带来损 失. 目标用超过j人的概率Pj(m)表示.等价于不能前来登机的乘客 数不能超过m-n-j-1人
P j (m ) =
m n j 1
∑
k =0
pk
(5 )
m Pj(m)
S (m ) = qmg r (g + b ) ∑ (m k n ) pk
航空公司为什么要超订机票
航空公司为什么要超订机票建模示例引导一、问题的提出我们有时会在刊物上看到旅客们抱怨，他们本已订上了某田某次航班的机票，但当到达机场时却被告知：您的航班现已满员，您不得不乘坐下次班机。
这种事情常会引起旅客诸多不便甚至怨愤。
在计算机辅助订票的当今时代，如何设计一个可行的订票系统以降低这种错误出现的概率？本文的目的在于介绍并让大家理解为什么(为了盈利，)航空公司有时订给旅客某次航班的票数要多于那次航班所能容纳的旅客数。
二、变量与记号显然，在建立模型之前，有必要先定义变量，解释所使用的记号。
f——某次班机的固定飞行费用n——飞行中飞机所载的旅客数g——每一旅客所付旅行费(票价)N——飞机载客的容量k——某次班机未到旅客的人数P——k人未到的概率km——某次班机订票的人数S——某次飞行产生的利润;b——留下一名已订票旅客的补偿费p——每一订票旅客到达的概率;q——每一订票旅客未到的概率，p=1q-三、建模过程建模时，我发现通过阶段性建模与查证对理解问题很自然，也很有益。
而在每一阶段，模型特性军事与我对所要构建模型的真实系统的直觉相一致。
我们下面开始着手建立一个航空公司来源于不足订票的简单效益模型。
1 初始模型与某次飞行有关的费用不依赖于飞机的实际载客数。
不管飞机是否满员，航空公司都必须付钱给飞行员、导航员，工程师以及客舱工作人员。
满载飞行与半载飞行所消耗的燃油量的差别是非常小的，起飞、降落或机场索要的管理费以及飞机的维修和保养费用也不与飞机的实际载客数有关。
因此，一定精度下，我们可以忽略飞行的各种费用差别，而假定进行一次飞行的固定费用为常数f.若一次飞行载有n 个旅客，显然一次飞行的利润为f ng -. 十分明显，这个简单的模型由我们所期望的那种特性：当所载的旅客数增加时，利润相应增加，能够取得的最大利润时f Ng -, 这里N 是飞机的载客容量。
这里有一个临界点，在临界点处，正好由所载的旅客支付的费用抵消了飞行的固定费用，此时的载客量gfn =0称为临界载荷。
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4MATELABE运算过程
（1）假设两地的机票价为1500元，每位旅客 有0.04的概率发生有事、误机或退票的情况，问航空公司多售出多少张票，使该公司的预期损失达到最小？
Matlab软件中提供二项分布函数
要求：（1）假设两地的机票价为1500元，每位旅客 有0.04的概率发生有事、误机或退票的情况，问航空公司多售出多少张票，使该公司的预期损失达到最小？
（2）上述参数不变的情况下，问航空公司多售出多少张票，使该公司的预期利润达到最大，最大利润为多少？
3 分析与建立模型
（1）假设两地的机票价为1500元，每位旅客 有0.04的概率发生有事、误机或退票的情况，问航空公司多售出多少张票，使该公司的预期损失达到最小？
（1）假设两地的机票价为1500元，每位旅客 有0.04的概率发生有事、误机或退票的情况，问航空公司多售出多少张票，使该公司的预期损失达到最小？
（2）上述参数不变的情况下，问航空公司多售出多少张票，使该公司的预期利Байду номын сангаас达到最大，最大利润为多少？
关键词：航空机票；数学建模；MATLAB软件；最大利润
1 问题背景描述
辽宁工程技术大学
数 学 建 模 课 程 成 绩 评 定 表
学 期
2014-2015学年1学期
姓 名
专 业
班 级
课程名称
数学建模
论文题目
航空机票超订票问题
评
定
标
准
评定指标
分值
得分
知识创新性
20
理论正确性
20
内容难易性
15
结合实际性
10
知识掌握程度
15
书写规范性
10
工作量
10
总成绩
100
评语:
任课教师
时 间
MATLAB 的名称源自 Matrix Laboratory ，它是一种科学计算软件，专门以矩阵的形式处理数据。 MATLAB 将高性能的数值计算和可视化集成在一起，并提供了大量的内置函数，从而被广泛地应用于科学计算、控制系统、信息处理等领域的分析、仿真和设计工作，而且利用 MATLAB 产品的开放式结构，可以非常容易地对 MATLAB 的功能进行扩充，从而在不断深化对问题认识的同时，不断完善 MATLAB 产品以提高产品自身的竞争能力。
end
EPROFIT(x)
结果如下：
EPROFIT =
217436.2218849.7220194.6221400.4222393.5223124.5223584.7
223803.4223832.6223728.7223540.1223302.3223038.1222760.7
222477.2
答案:比较EPROFIT数组中的结果得 超订票数为 9 张时，航空公司获利润最大，预期的期望值达到 223832.6 元。
根据题意N=300，p=0.04，k=1500。假设机票价就是航空公司的盈利，h=1500*0.2=300。
Matlab中相应的程序:
N=150;
p=0.04;
k=1500;
h=300;
S=0;
while binopdf(S,N+S,p)<k/(k+h)
S=S+1;
end
S
结果
S=9
答案：超订票数在8-9张之间，即每班售出的票数在158-159之间。
满足方程的S是函数E[L(S)]的极小值点，使航空公司的损失达最小。
设每位旅客购票未登机的概率为p，共有m个旅客，则恰有x旅客未登机的概率 ，即x服从二项分布。因此,积分 即用二项分布计算。
（2）上述参数不变的情况下，问航空公司多售出多少张票，使该公司的预期利润达到最大，最大利润为多少？
设飞机的有效载客数为N，超订票数为S(即售出票数为N + S)，k为每个座位的盈利值，h为改乘其他航班旅客的补偿值．
随着社会的不断进步，经济的不断发展，人们生活节奏也越来越快，对效率的要求也越来越高，为了出行的效率，飞机成了人们通常的选择。航空公司会针对社会现象推出相应的营运模式，从而使公司赢得最大的利润。针对此种现象，航空公司一般都采用超量订票的运营模式，即每班售出票数大于飞机载客数。按民用航空管理有关规定：旅客因有事或误机，机票可免费改签一次，此外也可在飞机起飞前退票。航空公司为了避免由此发生的损失，采用超量订票的方法，即每班售出票数大于飞机载客数。但由此会发生持票登机旅客多于座位数的情况，在这种情况下，航空公司让超员旅客改乘其它航班，并给旅客机票价的20%作为补偿。为了减少发生持票登机旅客多于座位数的情况，航空公司需要对乘客数量进行统计，从而对机票预售量做出一定估算，从而获得最大的利润。
若不超订票（即S=0），则盈利的期望值为
E0 = 每个座位的盈利×飞机座位有乘客的期望值 =k N (1–p).
若超订票数为1 (即S=1 )，盈利的期望值为
E1 = 不超订票时盈利的期望值 +P{该旅客乘机}×P{该旅客有座位}×每个座位的盈利-P{该旅客乘机}×P｛该旅客无座位｝×该旅客的补偿= E0 + (1–p) · P { N个旅客至少有1 人不乘机}· k –(1–p) · P { N个旅客至多有0人不乘机}· h= E0 +(1-p)[1- binopdf (0,N,p)]·k - (1-p)·binopdf (0,N,p)·h= E0 +(1-p)[k-(k+h) binopdf (0,N,p)].
程序截图如下：
程序结果如下
（2）上述参数不变的情况下，问航空公司多售出多少张票，使该公司的预期利润达到最大，最大利润为多少？
matlab程序设计如下:
seats=1:150;
extra=1:15;
EPROFIT=linspace(0,0,15);
k = 1500;
h = 300;
p = 0.04;
N=15;
设飞机的有效载客数为N，超订票数为S(即售出票数为N＋S)，k为每个座位的盈利值，h为改乘其他航班旅客的补偿值．设x是购票末登机的人数，是一随机变量，其概率密度为f(x). 当时，有S-x个人购后，不能登机，航空公司要为这部分旅客进行补偿。当x＞S时，有x - S个座位没有人坐，航空公司损失的是座位应得的利润，因此，航空公司的损失函数为
2问题的提出
某航空公司执行两地的飞行任务。已知飞机的有效载客量为150人。按民用航空管理有关规定：旅客因有事或误机，机票可免费改签一次，此外也可在飞机起飞前退票。航空公司为了避免由此发生的损失，采用超量订票的方法，即每班售出票数大于飞机载客数。但由此会发生持票登机旅客多于座位数的情况，在这种情况下，航空公司让超员旅客改乘其它航班，并给旅客机票价的20%作为补偿。
EPROFIT0 =k*N*(1-p);
EPROFIT(1) = EPROFIT0+(1-p)*(k-(k+h)* binopdf (0,N,p));
while extra(i)||i >1
EPROFIT(i) = EPROFIT(i-1)+ (1-p)*(k-(k+h)* binopdf (i-1,N+i-1, p));
程序截图如下：
程序结果截图如下：
5 建模的应用与推广
模型的应用与推广，在高速发展的社会，再快节奏的生活中，飞机的必然成了既舒适又高效的交通工具，随着机票打折飞机成了越来越多人的出行选择，该模型可在实际情况中得到应用，不仅可以保证每次航班的使用效率，提高运载能力，同时也可以使航空公司获得更高的利润。所以在众多的机场中，订票管理部门皆可使用本模型。也可在火车或长途客运的售票中运用该模型，以做到利润最大。但是现实中还有好多实际问题有待解决，模型只提供了理论上支持。
6 参考文献
[1]理学院应用数学系.数学建模简介及其MATLAB的实现[M].阜新：辽宁工程技术大学理学院应用数学系，2008
[2]谢金星, 薛毅.51单片机C语言程序设计快速入门[M].北京:清华大学出版社，2005
[3]
[4]李尚志等，《数学实验》，高等教育出版社，1999
7附录MATLAB的用途
2014年月日
备 注
航空机票超订票问题
摘要
当今是一个经济发展迅猛的时代，做任何事情都要有超前意识，为赢得时间，快速的交通工具成为现代生活的必需品。飞机成为我们生活当中日益重要的交通工具，订购机票也自然成为我们需要关心的一个问题。
本文基于“航空机票超票订票的问题”运用数学建模所学知识建立数学模型，运用MATLAB软件，通过计算解决以下问题：