高等数学练习题(附答案)
《高等数学》
专业年级学号姓名
一、判断题. 将√或×填入相应的括号内.（每题2分，共20分）
（ ）1. 收敛的数列必有界.
（ ）2. 无穷大量与有界量之积是无穷大量.
（ ）3. 闭区间上的间断函数必无界.
（ ）4. 单调函数的导函数也是单调函数.
（ ）5. 若)(x f 在0x 点可导，则)(x f 也在0x 点可导.
（ ）6. 若连续函数)(x f y =在0x 点不可导，则曲线)(x f y =在))(,(00x f x 点没有切线.
（ ）7. 若)(x f 在[b a ,]上可积，则)(x f 在[b a ,]上连续.
（ ）8. 若),(y x f z =在（00,y x ）处的两个一阶偏导数存在，则函数),(y x f z =在（00,y x ）处可微.
（ ）9. 微分方程的含有任意常数的解是该微分方程的通解.
（ ）10. 设偶函数)(x f 在区间)1,1(-内具有二阶导数，且 1)0()0(+'=''f f , 则)0(f 为)(x f 的一个极小值.
二、填空题.（每题2分，共20分）
1. 设2
)1(x x f =-，则=+)1(x f . 2. 若1
21
2)(1
1+-=x x x f ，则=+→0lim x . 3. 设单调可微函数)(x f 的反函数为)(x g , 6)3(,2)1(,3)1(=''='=f f f 则=')3(g .
4. 设y x xy u +
=, 则=du . 5. 曲线326y y x -=在)2,2(-点切线的斜率为.
6. 设)(x f 为可导函数,)()1()(,1)1(2x f x
f x F f +==',则=')1(F . 7. 若),1(2)
(02x x dt t x f +=?则=)2(f . 8. x x x f 2)(+=在[0,4]上的最大值为.
9. 广义积分=-+∞
?dx e x 20.
10. 设D 为圆形区域=+≤+??dxdy x y y x D 5221,
1. 三、计算题（每题5分，共40分）
1. 计算))2(1)1(11(lim 2
22n n n n ++++∞→ . 2. 求10
32)10()3()2)(1(++++=x x x x y 在（0，+∞）内的导数. 3. 求不定积分dx x x ?-)1(1
.
4. 计算定积分dx x x ?-π
053sin sin .
5. 求函数22324),(y xy x x y x f -+-=的极值.
6. 设平面区域D 是由x y x y ==,围成，计算dxdy y
y D ??sin . 7. 计算由曲线x y x y xy xy 3,,2,1=
===围成的平面图形在第一象限的面积. 8. 求微分方程y
x y y 2-='的通解. 四、证明题（每题10分，共20分）
1.
证明：tan arc x =)(+∞<<-∞x .
2. 设)(x f 在闭区间[],b a 上连续，且,0)(>x f
dt t f dt t f x F x x b ??+=0)
(1)()( 证明：方程0)(=x F 在区间),(b a 内有且仅有一个实根.
《高等数学》参考答案
一、判断题. 将√或×填入相应的括号内（每题2分，共20分）
1.√ ；
2.× ；
3.×；
4.× ；
5.×；
6.× ；
7.× ；
8.× ；
9.√ ；10.√.
二、 填空题.（每题2分，共20分）
1.442++x x ；
2. 1；
3. 1/2；
4.dy y x x dx y y )/()/1(2
-++； 5. 2/3 ； 6. 1 ； 7. 336 ； 8. 8 ； 9. 1/2 ； 10. 0.
三、计算题（每题5分，共40分）
1.解：因为 21(2)
n n +222111(1)(2)n n n <+++<+21n n + 且 21lim
0(2)n n n →∞+=，21lim n n n →∞+=0 由迫敛性定理知： ))2(1)1(11(lim 2
22n n n n ++++∞→ =0 2.解：先求对数)10ln(10)2ln(2)1ln(ln +++++=x x x y
10
1022111++++++='∴x x x y y )(
10()1(++='∴x x y )10102211++++++x x x 3.解：原式=?-x d x 11
2
=?-x d x 2)(112
=2c x +arcsin
4.解：原式=dx x x ?π
023cos sin
=?
-2023sin cos π
xdx x ?ππ223sin cos xdx x =?-2
023sin sin π
x xd ?ππ
22
3sin sin x xd =2025][sin 52πx π
π2
25
][sin 52x - =4/5
5.解：02832=--='y x x f x 022=-='y x f y 故 ???==00y x 或???==2
2y x
当 ???==0
0y x 时8)0,0(-=''xx f ，2)0,0(-=''yy f ，2)0,0(=''xy f 02)2()8(2>--?-=? 且A=08<-
∴（0，0）为极大值点 且0)0,0(=f
当 ???==2
2y x 时4)2,2(=''xx f ， 2)2,2(-=''yy f ，2)2,2(=''xy f 02)2(42<--?=? ∴无法判断
6.解：D={}
y x y y y x ≤≤≤≤2,10),( ????=∴102sin sin y y D dx y y dy dxdy y y =dy x y
y y y 2][sin 10? =dy y y y )sin (sin 10
?- =?+-1
010cos ]cos [y yd y