分别位于区间（ ）
A. a b (,)和b c (,)内
B. ∞?a ,)(和a b (,)内
复旦附中高一上学期期中数学试卷
C. (,)b c 和(),c +∞内
D. (,)a ?∞和(),c +∞内
15. 若整数集Z 的子集S 满足条件：对任何,a b S ∈，都有a S b ?∈，就称S 是封闭集.
下列命题中错误的是（ ）
A. 若S 是封闭集且{0}S ≠，则S 一定是无限集
B. 对任意整数a 、b ，{|,,}S n n ax by x y ==+∈Z 是封闭集
C. 若S 是封闭集，则存在整数k S ∈，使得S 中任何元素都是k 的整数倍
D. 存在非零整数,a b 和封闭集S ，使得,a b S ∈，但,a b 的最大公约数d S ?
16. 设()f x 是定义在R 上的函数，下列关于()f x 的单调性的说法：
（1）若存在实数a b <，使得()()f a f b <，则存在实数c d <，满足[,][,]c d a b ?，且
()f x 在[,]c d 上递增；
（2）若()f x 在R 上单调，则存在x ∈R ，使得(())f f x x ≠?；
（3）若对任意0a >，存在d ∈R ，使得0d a <<，且()()f x d f x +>对一切x ∈R 成
立，则()f x 在R 上递增；
其中正确的个数是（ ）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
三. 解答题
17. 已知命题:p 0x ≤或2x ≥，q ：x a ≤.
（1）若p 是q 的必要条件，求实数a 的取值范围；
（2）若对任意x ∈R ，p 、q 中至少有一个是真命题，求实数a 的取值范围.
18. 已知α、β是关于x 的方程2
220x kx k ?++=的两实根，且αβ<.
（1）若1αβ<<，求实数k 的取值范围；
（2）若α、[0,3]β∈，求实数k 的取值范围.
19. 对关于x 的不等式|2|3x a x ?<+.
（1）当1a =时，求解不等式；
（2）若该不等式对一切[1,1]x ∈?恒成立，求实数a 的取值范围.
20. 已知()f x 是定义在R 上不恒为0的函数，满足对任意x 、y ∈R ，
()()()f x y f x f y +=+，()()()f xy f x f y =.
（1）求()f x 的零点；
（2）判断()f x 的奇偶性和单调性，并说明理由；
（3）① 当x ∈Z 时，求()f x 的解析式；② 当x ∈R 时，求()f x 的解析式.
21. （1）设实数0t ≠、1，若关于x 的方程2
2
01t t
x tx +=?+有实根，求t 的取值范围； （2）设r ∈R ，若存在实数0t ≠、1，使得r 是（1）中方程的实根，求r 的取值范围； （3）设()f x 是定义在R 上的函数，若实数x 满足((()))f f f x x =，但()f x x ≠，则称x
是()f x 的三阶不动点，对存在三阶不动点的一切函数2
()f x x ax b =++（,a b ∈R ），及 ()f x 的一切三阶不动点x ，求|()||()(())||(())|m x f x f x f f x f f x x =?+?+?的最小
值.
参考答案
一. 填空题
1. 1
2. (,2]?∞
3. 若224x y +≤，则3x ≤或2y ≤
4. [2,)+∞
5. (2)x x ?+
6. 5(,1]3??
7. [0,2]
8. 9
9. ,1)
(2,3)(4,)(?∞+∞ 10. ①②③ 11. 3 12. 2401
二. 选择题
13. A 14. A 15. D 16. B
三. 解答题
17.（1）,](,0]([2,)0a q p a ∞??∞+∞????≤；
（2）x ∈R ，p 或q 为真,]
((,0][2,))2(a a ∞?∞+??∞=?≥R .
18. 记2()22f x x kx k =?++
（1）1(1)303f k k αβ<； （2）24(2)003(0)20
(34,[0,)1150
3]1125k k f k k k f k αβαβ??=?∈????<≤??≠?????+>≤≤=+≥=?≥. 19.（1）1a =时，|21|3(3)214323
x x x x x x ?<+??+<+??
<<
即(3)23x a x x ?+
记()3,[1,1]f x x x ∈?=?，()33,[1,1]g x x x ∈?=+
则,f g 在[1,1]?递增，所以max (1)2f f ==?，min (1)0g g =?=
对一切[1,1]x ∈?，max min ()()f x a g x f a g <
20. 记()()()f x y f x f y +=+ ① ()()()f xy f x f y = ②
（1）在①中取0y =得(0)0f =. 若存在0x ≠，使得()0f x =，则对任意y ∈R ， ()()()()0y y f x f x f x
y f x =?==，与()f x 不恒为0矛盾.
所以0x ≠时，()0f x ≠，f 的零点是0
（2）在①中取y x =?得()()(0)0f x f x f +?==，
即()(),f x f x x ?=?∈R ，所以f 是奇函数.
,,y y x x ∈时，2()()()()()(0f y f x f y f x f y x f ?=+?=?=>，
所以f 在R 上递增.
（3）②中取,1x y =得2(1)((1))f f =. 因为(1)0f ≠，所以(1)1f =
对任意正整数n ，由①，(1)()(1)1n f n f n n f +
=+=?=个，()()f n f n n ?=?=?
又因为(0)0f =，所以x ∈Z 时，()f x x = 对任意有理数m
n （,m n ∈∈*Z N ），由①，)()())((()n m m m m f f nf n n n f m f n n
=?=++=个
， 所以())(f m f m m n n n
==，即对一切x ∈Q ，()f x x = 若存在x ∈R ，使得()f x x ≠，不妨设()f x x >（否则以()f x ??代替()f x ，x ?代替x
即可），则存在有理数α，使得()x f x α<<（例如可取1)[1](f x n x
+?=，[]1m nx =+， m n
α=
）. x α<但(())f x f αα=>，与f 的递增性矛盾. 所以x ∈R 时，()f x x =. 21. （1）22403110t t t t t t ??=≥??≤?>???≠?
?或 （2）22
22001100t r t t r r r t r t rt ??==?????????≠+≠+?
+?+，所以 存在0,1t ≠，使得r 是关于x 的方程2
2
01t t x tx +=?+的解 ?0,1r ≠，且关于x 的方程2
2
01r r x rx +=?+有实数解 31r r ?≤?>或
（3）设x 是函数2
()f x x ax b =++的三阶不动点， 记()y f x = ① ()z f y = ② 则((()))()x f f f x f z == ③ 记
,,r
x y s y z t z x =?=?=?，则0r s t ++=. ①-②，②-③，③-①得
()()()r x y a s s y z a t t z x a r ++=??++=??++=?，因为()f x x ≠，即0r ≠，所以0,s t ≠，即x y a y z a z s r t s r a t x ?++=???++=???++=??
④⑤⑥
⑤-⑥得r r t t s =?，即21rs t t =?，又因为r s t +=?，所以,r s 是关于关于x 的方程 2
2
01t t
x tx +=?+两根. 由（1）（2），(,3](1),,,r s t ∈?∞??+∞. 因为0r s t ++=， 所以,,r s t 中至少有一个为负，不妨设3t ≤?，则0r s t +=?>，2
01t t rs =>?， 所以,0r s >，||||||26m r s t r s t t =++=+?=?≥ 当2294216
a a
b ??=时，f 有三阶不动点542x a =?，满足6m =，所以m 的最小值为6.
