2020-2021学年九年级上学期数学期中考试数学试题
2020-2021学年九年级上学期数学期中考试数学试题
一、选择题:（每小题3分，共30分）
1、如图，在四边形ABCD 中，AB=CD ，AC ⊥BD ，添加适当的条件使四边形ABCD 成为菱形．下列添加的条件不正确的是（ ）
2、方程x 2=3x 的根是（ ）
A 、x = 3
B 、x = 0
C 、x 1 =-3, x 2 =0
D 、x 1 =3, x 2 = 0
3、已知，在等腰△ABC 中，AB=AC ，分别延长BA ，CA 到D ，E 点，使DA=AB ，EA=CA ，则四边形BCDE 是（ ） A ．任意四边形
B ．矩形
C ．菱形
D ．正方形
4、已知12x x ,是一元二次方程122
+=x x 的两个根，则2
11
1x x +的值为（ ）
A.
2
1
-
B.2
C.
2
1
D.
5、如图所示的两个圆盘中，指针落在每一个数上 的机会均等，则两个指针同时落在偶数上的概率是（ ） Ａ.
525
Ｂ.
625
Ｃ.
1025
Ｄ.
1925
6、目前我国已建立了比较完善的经济困难学生资助体系.某校去年上半年发放给每个经济困难学生389元，今年上半年发放了438元.设每半年发放的资助金额的平均增长率为x ，则下面列出的方程中正确的是（ ） A .438
=389
B .389
=438
C .389(1+2x )=438
D .438(1+2x )=389
7、10名学生的身高如下（单位：cm ）
159 169 163 170 166 165 156 172 165 162从中任选一名学生，其身高超过
165cm 的概率是 （ ） Ａ.
12
Ｂ.
25
Ｃ.
15
Ｄ.
110
8、△ABC 中，∠C=90°，点O 为△ABC 三条角平分线的交点，OD ⊥BC 于D ，OE ⊥AC 于E ，OF ⊥AB 于F ，且AB=10cm ，BC=8cm ，AC=6cm ，则点O 到三边AB 、AC 、BC 的距离为（ ）
A ．2cm ，2cm ，2cm
B ．3cm ，3cm ，3cm
C ．4cm ，4cm ，4cm
D ．2cm ，3cm ，5cm 9、若方程02=++c bx ax )0(≠a 中，c b a ,,满足0=++c b a 和0=+-c b a ，则方程的根是（ ）
A 、1，0
B 、-1，0
C 、1，-1
D 、无法确定
10、如图，在正方形ABCD 中，点O 是对角线AC 、BD 的交点，过点O 作射线OM 、ON 分别交BC 、CD 于点E 、F ，且90EOF ∠=︒，OC 、EF 交于点G ．给出下列结论：①COE DOF ∆≅∆；②OGE FGC ∆∆∽；③四边形CEOF 的面积为正方形ABCD 面积的
1
4
；④22DF BE OG OC +=．其中正确的是( )
A ．①②③④
B ．①②③
C ．①②④
D ．③④
二、填空题（共6小题，每题3分，共18分）
11、如图，在△ABC 中，点D 是边BC 上一动点，DE ∥AC ，DF ∥AB ，对△ABC 及线段AD 添加条件 _________ 使得四边形AEFD 是正方形．
12、已知方程x 2+kx+3=0 的一个根是 - 1，则k= , 另一根为 ；
13、密码锁的密码是一个四位数字的号码,每位上的数字都可以是0到9中的任一个,某人忘
E F
G
O
M
N C D
A
B
了密码的最后一位号码, 此人开锁时,随意拔动最后一位号码正好能把锁打开的概率是______．若此人忘了中间两位号码,随意拔动中间两位号码正好能把锁打开的概率是______． 14、对于实数a ,b ,定义运算“*”:
例如:4*2,因为4＞2,所以4*2=42-4
×2=8.若x 1,x 2是一元二次方程x 2-5x +6=0的两个根,则x 1*x 2= .
15、如图，在四边形ABCD 中，∠ADC=∠ABC=90°，AD=CD ，DP ⊥AB 于P ．若四边形ABCD 的面积是18，则DP 的长是 ．
16、设b a ,是一个直角三角形两条直角边的长，且12)1)((2
222=+++b a b a ，则这个直角三角形的斜边长为 ； 三、解答题（共72分） 17、选择适当方法解下列方程：
（1）0152=+-x x （用配方法）； （2）()()2232
-=-x x x ；
（3）052222=--x x ； （4）()()2
2
132-=+y y .
18、小峰和小轩用两枚质地均匀的骰子做游戏，规则如下：每人随机掷两枚骰子一次（若掷出的两枚骰子摞在一起，则重掷），点数和大的获胜；点数和相同为平局． 依据上述规则，解答下列问题：
（1）随机掷两枚骰子一次，用列表法求点数和为2的概率；
（2）小峰先随机掷两枚骰子一次，点数和是7，求小轩随机掷两枚骰子一次，胜小峰的概率．（骰子：六个面分别刻有1、2、3、4、5、6个小圆点的立方块．点数和：两枚骰子朝上的点数之和．）
20、如图所示，▱ABCD 的对角线AC 的垂直平分线EF 与AD 、BC 、AC 分别交于点E 、F 、O ，连接AF ，EC ，则四边形AFCE 是菱形吗？为什么？
19、如图，BC 是等腰三角形BED 底边DE 上的高，四边形ABEC 是平行四边形．判断四边形ABCD 的形状，并说明理由．
21、阅读下面材料，再解方程：
解方程022
=--x x
解：（1）当x ≥0时，原方程化为x 2
– x –2=0，解得：x 1=2,x 2= - 1（不合题意，舍去） （2）当x ＜0时，原方程化为x 2
+ x –2=0，解得：x 1=1,（不合题意，舍去）x 2= -2∴原方程的根是x 1=2, x 2= - 2
（3）请参照例题解方程0112
=---x x
22、如图，有两个可以自由转动的转盘A 、B ，转盘A 被均匀分成4等份，每份标上数字1、2、3、4四个数字；转盘B 被均匀分成6等份，每份标上数字1、2、3、4、5、6六个数
字.有人为甲乙两人设计了一个游戏，其规则如下：
(1)同时转动转盘A与B；
(2)转盘停止后，指针各指向一个数字（如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向一个数字为止），用所指的两个数字作乘积，如果所得的积是偶数，那么甲胜；如果所得的积是奇数，那么乙胜.
你认为这样的规则是否公平？请你说明理由；如果不公平，请你设计一个公平的规则，并说明理由.
23、如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BD相交于点O，与BC相交于N，连接MN，DN．
（1）求证：四边形BMDN是菱形；（2）若AB=6，BC=8，求MD的长．
24、某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个；第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售
（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价），单价降低x元销售一周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出，如果这批旅游纪念品共获利1 250元，问：第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？
25、如图所示，有四个动点P，Q，E，F分别从正方形ABCD的四个顶点出发，沿着AB，BC，CD，DA以同样速度向B，C，D，A各点移动．
（1）试判断四边形PQEF是否是正方形，并证明；
（2）PE是否总过某一定点，并说明理由．。
山西省太原市2020-2021学年九年级上学期期中数学试题
山西省太原市2020-2021学年九年级上学期期中数学试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．一元二次方程()20x x -=的根为（ ）A ．0x =B ．2x =C ．10x =，22x =D ．10x =，22x =-2．如图，直线a ∥b ∥c ，点A ，B 在直线a 上，点C ，D 在直线c 上，线段AC ，BD 分别交直线b 于点E ，F ，则下列线段的比与AE AC一定相等的是（ ）A ．CE ACB ．BF BDC ．BF FD D ．AB CD 3．中国人民银行于2021年9月10日起陆续发行中华人民共和国成立70周年纪念币一套.该套纪念币共7枚，均为中华人民共和国法定货币.任意掷两枚质量均匀的纪念币，恰好都是国徽一面朝上的概率是（ ）A ．12B ．13C ．14D ．34. 4．已知四边形ABCD 中，AB BC CD DA ===，对角线AC ，BD 相交于点O.下列结论一定成立的是（ ）A ．AC BD ⊥B ．AC BD = C ．90ABC ∠=︒D ．ABC BAC ∠=∠ 5．根据中国人民政治协商会议第一届全体会议主席团1949年9月27日公布的国旗制法说明，我国五种规格的国旗旗面为相似矩形.已知一号国旗的标准尺寸是长288cm ，高192cm ，则下列国旗尺寸不符合标准的是（ ）A ．B ．C ．D ． 6．若一元二次方程220x mx ++=有两个相等的实数根，则m 的值是（ ）A ．2B ．2±C ．8±D ．± 7．如图，矩形ABCD 中，连接AC ，延长BC 至点E ，使BE AC =，连接DE ，若40BAC ∠=︒，则∠E 的度数是（ ）A ．65°B ．60°C ．50°D ．40°8．目前，支付宝平台入驻了不少的理财公司，推出了一些理财产品.李阿姨用10000元本金购买了一款理财产品，到期后自动续期，两期结束后共收回本息10926元设此款理财产品每期的平均收益率为x ，则根据题意可得方程（ ）A ．10000(12)10926x +=B ．210000(1)10926x +=C ．210000(12)10926x +=D ．10000(1)(12)10926x x ++= 9．太原是我国生活垃圾分类的46个试点城市之一，垃圾分类的强制实施也即将提上日程根据规定，我市将垃圾分为了四类可回收垃圾、餐厨垃圾有害垃圾和其他垃圾现有投放这四类垃圾的垃圾桶各1个，若将用不透明垃圾袋分类打包好的两袋不同垃圾随机投进两个不同的垃圾桶，投放正确的概率是（ ）A ．16B ．18C ．112D ．11610．如图，点E ，F 分别是正方形ABCD 内部、外部的点，四边形ADFE 与四边形BCFE 均为菱形，连接AF ，BF ，有如下四个结论：①EF AB =；②120AEF ∠=︒；③EF垂直平分DC ；④12ABF ADFE S S =菱形△；其中正确的是（ ）A ．①②④B ．①②③C ．①③④D ．①③二、填空题11．已知1(0)2019a cb d b d ==+≠，则ac bd ++的值为______. 12．对某品牌的一批酸奶进行质量检验，检验员随机抽取了200瓶该批次的酸奶，经检验有198瓶合格若在这批酸奶中任取一瓶，恰好取到合格品的概率约为_____.13．用配方法解一元二次方程2430x x +-=，配方后的方程为2(2)x n +=，则n 的值为______.14．如图，正方形EFGH 的四个顶点分别在正方形ABCD 的四条边上，若正方形EFGH与正方形ABCD AE BE （AE BE <）的值为_____.15．已知菱形纸片ABCD 中，4AB =，点E 是CD 边的中点将该纸片折叠，使点B 与点E 重合，折痕交AD ，BC 边于点M ，N ，连接ME ，NE.请从下面A ，B 两题中任选一题作答，我选择A ．如图1，若60A ∠=︒，则ME 的长为______；B ．如图2，若90A ∠=︒，则ME 的长为_____.三、解答题16．解下列方程：（1）24410x x +-=； （2）(21)2(21)x x x -=-17．“共和国勋章”是中华人民共和国的最高荣誉勋章.在2021年获得“共和国勋章”的八位杰出人物中，有于敏、孙家栋、袁隆平、黄旭华四位院士.如图是四位院士（依次记为A，B，C，D）为让同学们了解四位院士的贡献，老师设计如下活动：取四张完全相同的卡片，分别写上A，B，C，D四个标号，然后背面朝上放置，搅匀后每个同学可从中随机抽取一张，记下标号后放回，老师要求每位同学根据抽到的卡片上的标号查找相应院士的资料制作小报，求小明和小华查找同一位院士资料的概率.A．B．C．D．，延长CD到点E，使DE=CD，18．如图，已知菱形ABCD，延长AD到点F，使DF AD顺次连接点A，C，F，E，A．求证：四边形ACFE是矩形.19．方格图中的每个小方格都是边长为1小正方形，我们把小正方形的顶点称为格点，格点连线为边的四边形称为“格点四边形”，图1中的四边形ABCD就是一个格点四边形.（1）小彬在图2的方格图中画了一个格点四边形EFGH.借助方格图回答：四边形ABCD 与四边形EFGH相似吗？若相似，直接写出四边形ABCD与四边形EFGH的相似比；若不相似说明理由；（2）请在图3的方格图中画一个格点四边形，使它与四边形ABCD相似，但与四边形ABCD、四边形EFGH都不全等.20．为倡导积极健康的生活方式、丰富居民生活，区推出系列文化活动，其中的乒乓球比赛采用单循环赛制（即每两名参赛者之间都要进行一场比赛）经统计，此次乒乓球比赛男子组共要进行28场单打.（1）参加此次乒乓球男子单打比赛的选手有多少名？（2）在系列文化活动中，社区与某旅行社合作组织“丰收节”采摘活动收费标准是：如果人数不超过20人，每人收费200元；如果超过20人，每增加1人，每人费用都减少5元经统计，社区共支付“采摘活动”费用4500元求参加此次“丰收节”采摘的人数.21．阅读下列材料，完成相应的任务：我们知道，利用尺规作已知线段的垂直平分线可以得到该线段的中点、四等分点、……怎样得到线段的三等分点呢？如图，已知线段MN ，用尺规在MN 上求作点P ，使13PM MN =.小颖的作法是：①作射线MK （点K 不在直线MN 上）；②在射线MK 上依次截取线段MA ，AB ，使2AB MA =，连接BN ；③作射线AC BN ∥，交MN 于点P 点P 即为所求作的点.小颖作法的理由如下：∵AC BN ∥（作法），∴AM PM AB PN= ∵2AB MA =（已知），12AM PM AB PN ==（等量代换） ∵PM PN MN =＋（线段和差定义），∴13PM MN =（等量代换，等式性质） 数学思考：（1）小颖作法理由中所缺的依据是：________________________________. 拓展应用：（2）如图，已知线段a ，b ，c ，求作线段d ，使::a b c d =a. b. c.22．如图，已知菱形ABCD 中，5AB =，点E 是BC 边上的一点（不与B ，C 重合），以BE 为边构造菱形BEFG ，使点G 落在AB 的延长线上，连接BD ，GE ，射线FE 交BD 于点H.（1）求证：四边形BGEH 是平行四边形；（2）请从下面AB 两题中任选一题作答，我选择______题.A ．若四边形BGEH 为菱形，则BD 的长为_____.B ．连接HC ，CF ，BF ，若6BD =，且四边形BHCF 为矩形，则CF 的长为______. 23．综合与实践探究几何元素之间的关系问题情境：四边形ABCD 中，点O 是对角线AC 的中点，点E 是直线AC 上的一个动点（点E 与点C ，O ，A 都不重合），过点A ，C 分别作直线BE 的垂线，垂足分别为F ，G ，连接OF ，OG.（1）初步探究：如图1，已知四边形ABCD 是正方形，且点E 在线段OC 上，求证AF BG =； （2）深入思考：请从下面A ，B 两题中任选一题作答，我选择_______题.A ．探究图1中OF 与OG 的数量关系并说明理由；B ．如图2，已知四边形ABCD 为菱形，且点E 在AC 的延长线上，其余条件不变，探究OF 与OG 的数量关系并说明理由；（3）拓展延伸：请从下面AB 两题中任选一题作答，我选择_______题.如图3，已知四边形ABCD 为矩形，且4AB =，60BAC ∠=︒.A ．点E 在直线AC 上运动的过程中，若BF BG =，则FG 的长为________.B ．点E 在直线AC 上运动的过程中，若OF BC ∥，则FG 的长为________.参考答案1．C【解析】【分析】根据因式分解法解方程，即可得到答案.【详解】解：∵()20x x -=，∴0,20x x =-=，∴0x =或2x =；故选择：C.【点睛】本题考查了解一元二次方程，灵活运用因式分解法解方程是解题的关键.2．B【分析】 根据平行线分线段成比例，即可得到CBF BD AE A =. 【详解】解：∵a ∥b ∥c ， ∴CBF FD AE E =， ∴C BF BD AE A =； 故选择：B.【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解题的关键．3．C【分析】根据等可能事件的可能性，计算概率即可得到答案.【详解】解：掷一枚质量均匀的纪念币，恰好是国徽一面朝上的概率是12，∴掷两枚质量均匀的纪念币，恰好都是国徽一面朝上的概率是：111 224⨯=；故选择：C.【点睛】本题考查了等可能事件的概率，解题的关键是熟练掌握求概率的方法. 4．A【分析】根据菱形的判定和性质，即可得到答案.【详解】解：在四边形ABCD中，AB BC CD DA===，∴四边形ABCD是菱形，∴AC BD⊥；故选择：A.【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握菱形的判定和性质. 5．B【分析】根据相似矩形的性质，对应边之比相等即可得到答案.【详解】解：根据相似矩形的性质，对应边的比相等，则A、24016052881926==，故A符合标准；B、16051205,28891928==，故B不符合标准；C、1449612881922==，故C符合标准；D、966412881923==，故D符合标准；故选择：B.【点睛】本题考查了相似图形的性质，解题的关键是熟练掌握相似图形对应边的比相等.6．D【分析】根据一元二次方程根的判别式0∆=，即可得到答案【详解】解：∵一元二次方程220x mx ++=有两个相等的实数根，∴24120m ∆=-⨯⨯=，解得：m =±故选择：D.【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握利用根的判别式求参数的值. 7．A【分析】连接BD ，与AC 相交于点O ，则BD=AC=BE ，得△BDE 是等腰三角形，由OB=OC ，得∠OBC=50°，即可求出∠E 的度数.【详解】解：如图，连接BD ，与AC 相交于点O ，∴BD=AC=BE ，OB=OC ，∴△BDE 是等腰三角形，∠OBC=∠OCB ，∵40BAC ∠=︒，∠ABC=90°，∴∠OBC=904050︒-︒=︒，∴11(18050)13065 22E∠=⨯︒-︒=⨯︒=︒；故选择：A.【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，以及直角三角形两个锐角互余，解题的关键是正确作出辅助线，构造等腰三角形进行解题.8．B【分析】根据题意，找出等量关系列出方程，即可得到答案.【详解】解：根据题意，设此款理财产品每期的平均收益率为x，则210000(1)10926x+=；故选择：B.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用——增长率问题，解题的关键是找到等量关系，列出方程. 9．C【分析】根据题意，由列表法得到投放的所有结果，然后正确的只有1种，即可求出概率.【详解】解：由列表法，得：∴共有12种等可能的结果数，其中将两包垃圾随机投放到其中的两个垃圾箱中，能实现对应投放的结果为1种，∴投放正确的概率为：112 P=；故选择：C.【点睛】本题考查了列表法与树状图法求概率，解题的关键是正确求出所有等可能的结果数. 10．D【分析】根据菱形和正方形的性质，即可得到EF AD AB ==；由△DCF 是等边三角形，得到∠FDC=60°，则150AEF ADF ∠=∠=︒；由△CDF 是等边三角形，AD ⊥CD ，AD ∥EF ，即可得到EF 垂直平分DC ；延长FE ，交AB 于点G ，则12ABF S AB FG =•△，12ADFE S EF AG AB EF =•=•菱形，由2FG EF ≠，即可判断. 【详解】 解：根据题意，在正方形ABCD ，菱形ADFE ，菱形BCFE 中，∴EF AD AB ==，故①正确；∵AE BE AB ==，∴△ABE 是等边三角形，△DCF 是等边三角形，∴∠AEB=60°，∠FDC=60°∴∠ADF=90°+60°=150°，∴150AEF ADF ∠=∠=︒，故②错误；∵AD ⊥CD ，AD ∥EF ，∴EF ⊥CD ，∵△DCF 是等边三角形，∴EF 垂直平分DC ；故③正确；延长FE ，交AB 于点G ，∵EF ⊥CD ，AB ∥CD ，∴EF ⊥AB ，∴12ABF S AB FG =•△，12ADFE S EF AG AB EF =•=•菱形， ∵2FG EF ≠， ∴12ABF ADFE S S ≠菱形△，故④错误； ∴正确的结论有：①③.故选择：D.【点睛】本题考查了正方形的性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，垂直平分线的判定，解题的关键是熟练掌握正方形和菱形的性质.11．12019【分析】 由等比性质，(0)a c a c b d b d b d +==+≠+，即可得到答案. 【详解】 解：根据题意，∵a c b d=， ∴a c a c b d b d+==+， ∴12019a cb d +=+； 故答案为：12019. 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例的性质，解题的关键是熟练掌握等比性质.12．99100【分析】根据求概率的公式，即可得到答案.【详解】解：根据题意，随机抽取了200瓶该批次的酸奶，经检验有198瓶合格，∴198********P ==； 故答案为：99100. 【点睛】本题考查了求简单事件的概率，解题的关键是熟记求概率公式.13．7【分析】根据配方法，先移项，然后两边同时加上4，即可求出n 的值.【详解】解：∵2430x x +-=，∴243x x +=，∴2447x x ++=，∴2(2)7x +=，∴7n =；故答案为：7.【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握配方法的步骤.14．12【分析】根据题意，由AAS 证明△AEH ≌△BFE ，则BE=AH ，根据相似比为EH AB =令，AB=3k ，设AE=a ，AH=3k a -，在直角三角形AEH 中，利用勾股定理，即可求出a 的值，即可得到答案.【详解】解：在正方形EFGH 与正方形ABCD 中，∠A=∠B=90°，EF=EH ，∠FEH=90°，∴∠AEH+∠AHE=90°，∠BEF+∠AEH=90°，∴∠AHE=∠BEF ，∴△AEH ≌△BFE （AAS ），∴BE=AH ，∵3EH AB =，令，AB=3k ，在直角三角形AEH 中，设AE=a ，AH=AB-AE=3k a -，由勾股定理，得222AE AH EH +=，即222(3))a k a +-=，解得：a k =或2a k =，∵AE BE <，∴AE k =，∴2BE k =， ∴122AE k BE k ==； 故答案为：12. 【点睛】 本题考查了相似四边形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是利用勾股定理求出AE 和BE 的长度.15．A. 【分析】（1）连接BD ，BE ，则△BCD 是等边三角形，则BE ⊥CD ，由BE ⊥MN ，得到MN ∥CD ，则∠BNM=∠NCE=∠ENM=60°，得到△CNE 是等边三角形，则CN=CE=2，得到N 为BC 中点，M 为AD 中点，连接AO ，则ME=12AC CO =，由OD=2，CD=4，利用勾股定理求出CO ，即可得到答案；（2）连接BM ，由折叠性质，得到BM=EM ，在Rt △ABM 中，222AM AB BM +=，在Rt △EDM 中，222MD DE EM +=，设AM x =，则4DM x =-，根据等量关系，即可求出x ，然后求出ME 的长度.【详解】解（1）如图，连接BD，BE，AC，在菱形ABCD中，∠NCE=∠BAD=60°，BC=CD，∴△BCD是等边三角形，∵点E是CD中点，∴BE⊥CD，由折叠的性质，得到BE⊥MN，∴MN∥CD，∴∠BNM=∠NCE=∠ENM=60°，∴∠ENC=∠NCE=∠NEC=60°，∴△CNE是等边三角形，∴CN=CE=2，∴点N是BC的中点，∴点M是AD的中点，∴ME=12AC CO=，∵在Rt△ODC中，114222OD BD==⨯=，CD=4，由勾股定理，得CO=，∴ME=故答案为：（2）如图，连接BM，由折叠的性质，得BM=EM ，∵∠A=90°，则四边形ABCD 是正方形，∴∠D=∠A=90°，AB=AD=4，在Rt △ABM 和Rt △EDM 中，由勾股定理，得：222AM AB BM +=， 222MD DE EM +=，设AM x =，则4DM x =-，∴22224(4)2x x +=-+， 解得：12x =， ∴AM=12，∴BM ===，∴ME =. 【点睛】 本题考查了四边形折叠问题，正方形的判定和性质，菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理的应用，解题的关键是正确作出辅助线，得到边的关系和角的关系.本题难度较大，是中考常考题.16．（1）112x -=，212x -=；（2）112x =，22x = 【分析】（1）利用公式法解一元二次方程，即可得到答案；（2）先移项整理，然后利用因式分解法解方程，即可得到答案.【详解】（1）解：这里4a =，4b =，1c =- ，∴2444(1)1616320∆=-⨯⨯-=+=> ，∴x == ，∴1x =2x =； （2）解：(21)2(21)0x x x ---=，∴(21)(2)0x x --=，∴210x -=或20x -=， ∴112x =，22x =. 【点睛】本题考查了解一元二次方程，灵活运用公式法，因式分解法解方程是解题的关键. 17．1P 4=(抽到同一位院士). 【分析】根据题意先列出表格，得出共有16种等可能的结果数，再利用概率公式求解可得．【详解】解：所有可能的结果如下：由表格可知，一共有16种结果，每种结果出现的可能性都相同，其中小明和小华抽到同一位院士的结果有4种， ∴41P 164==(抽到同一位院士). 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，求出概率.18．见解析.【分析】由对角线互相平分的四边形为平行四边形，得ACEF 为平行四边形，再由ABCD 为菱形，得到AD=CD ，进而得到AE=CF ，利用对角线相等的平行四边形为矩形即可得证.【详解】解：∵DF AD =，DE CD = ，∴四边形ACFE 是平行四边形，∵四边形ABCD 是菱形，∴AD CD =，∴DF AD DE CD ===，∴DF AD DE CD +=+，即AF CE =，∴ACFE □是矩形.【点睛】此题考查了矩形的判定，以及菱形的性质，熟练掌握矩形的判定和菱形的性质是解本题的关键．19．（1）相似，相似比为12；（2）如图，四边形MNPQ 即为所求，见解析. 【分析】（1）分别求出四边形各边的长度，求出对应边的相似比，即可得到答案；（2）先确定相似比，然后求出个对应边的长度，即可画出图形.【详解】解：（1）相似；根据题意，四边形ABCD 中，AB =BC=1，CD=2，四边形EFGH 中，EF =FG=2，GH=4，EH=∴AB BC CD ADEF FG GH EH ===1224===， ∴四边形ABCD 与四边形EFGH 相似，相似比为：12.（2，则四边形MNPQ 的各边为：MN=2，，PQ=，如图，四边形MNPQ 即为所求..【点睛】本题考查了相似四边形的性质，以及画相似图形，解题的关键是掌握相似四边形的对应边的比相等.20．（1）参加此次乒乓球男子单打比赛的选手有8名；（2）参加此次“丰收节”采摘的人数为30人.【分析】（1）设参加此次乒乓球男子单打比赛的选手有x 名根据题意，找等量关系列出方程，解方程即可得到答案；（2）设参加此次“丰收节”采摘的人数为y 人，根据题意，先确定y>20，然后列出方程，解方程求出y 的值即可.【详解】解：（1）设参加此次乒乓球男子单打比赛的选手有x 名， 根据题意，得：1(1)282x x -=.解得：18x =，27x =-（不符合题意，舍去）；∴参加此次乒乓球男子单打比赛的选手有8名.（2）设参加此次“丰收节”采摘的人数为y 人，∵2002040004500⨯=<，∴20y > ；根据题意，得[2005(20)]4500y y --=.解得：1230y y ==.∴参加此次“丰收节”采摘的人数为30人.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找到题目的等量关系，列出方程. 21．（1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；（2）答案不唯一，如图，线段DE 即为所求作的线段，见解析.【分析】（1）根据平行线分线段成比例，即可得到答案；（2）作两条射线，在一条射线上截取AB=a ，BC=b ，在另一条射线上截取AD=c ，连接BD ，过点C 作CE ∥BD ，交点为E ，则DE=d 为所求线段.【详解】解：（1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；（2）答案不唯一；如图，线段DE 即为所求作的线段【点睛】本题考查的是作图——基本作图，熟知平行线分线段成比例的作法是解答此题的关键． 22．（1）见解析；（2）A.5 ，B.3.【分析】（1）由菱形的性质，得到()11802BGE BEG EBG ︒∠=∠=-∠，()11802ABD A ︒∠=-∠，则得到ABD BGE ∠=∠，得到BD ∥EG ，又BG ∥HE ，即可得到结论成立；（2）A 、由四边形BEFG 是菱形，则BG=BE ，由四边形BGEH 为菱形，则BG=BH=EH ，得△BEH 是等边三角形，则∠CDH=∠EHB=60°，得到△BCD 是等边三角形，则BD=CD=5； B 、如图，连接HC ，CF ，BF ，且四边形BHCF 为矩形，则CH ⊥BD ，点H 为对角线AC 与BD 的交点，此时CF=BH=12BD ，即可得到答案. 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AD BC ∥，AB AD =，∴A EBG ∠=∠，ABD ADB ∠=∠， ∴()11802ABD A ︒∠=-∠， ∵四边形BEFG 是菱形，∴BG BE =，BG EF ∥， ∴()11802BGE BEG EBG ︒∠=∠=-∠， ∴ABD BGE ∠=∠，∴BD ∥EG ，∵BG EF ∥，∴BG HE ∥，∴四边形BGEH 是平行四边形；（2）A 、解：∵四边形BEFG 是菱形，∴BG=BE ，∵四边形BGEH 为菱形，∴BG=BH=EH ，∴BH=EH=BE ，∴△BEH 是等边三角形，∠BHE=60°，∵HE ∥DC ，∴∠BDC=60°，∴△BCD 是等边三角形，∴BD=DC=AB=5；故答案为：5.B 、解：如图，连接HC ，CF ，BF ，∵四边形BFCH 是矩形，∴CH ⊥BD ，CF=BH ，∵四边形ABCD 是菱形，∴点H 是BD 的中点，∴BH=116322BD =⨯=， ∴CF=3.故答案为：3.【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，矩形的性质，平行四边形的判定，以及等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握所学特殊四边形的判定和性质，正确作出辅助线进行解题.23．（1）见解析；（2）A. OF OG =，理由见解析；B. OF OG =. 理由见解析；（3）A.B.或【分析】（1）根据题意，AF ⊥BE ，CG ⊥BE ，90ABF CBG ∠+∠=︒，90ABF BAF ∠+∠=︒，则BAF CBG ∠=∠，利用AAS 证明ABF BCG ≌△△，即可得到答案；（2）A ．由（1）知AB BC =，AF BG =，然后得到OB=OA ，由OBE EAF ∠=∠，得到OAF OBG ≌△△，即可得到OF=OG ；B ．延长GO 交FA 的延长线于点H ，找到条件，证明OAH OCG ≌△△，然后得到OH=OG=OF ； （3）A ．根据矩形的性质，得到△ABO 是等边三角形，然后得到∠ABF=30°，则122AF AB ==，由勾股定理，求出BF 和BG 的长度，即可得到FG. B ．根据题意，由OF BC ∥，由两种情况，要进行分类讨论；结合矩形的性质，得到△AFB 和△BCG 是等腰直角三角形，利用三角函数值，求出BF 和BG 的长度，然后求出FG 的长度即可.【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB BC =，90ABC ∠=︒，∴90ABF CBG ∠+∠=︒，∵AF BE ⊥，CG BE ⊥，∴90AFB BGC ∠=∠=︒，∴90ABF BAF ∠+∠=︒，∴BAF CBG ∠=∠，∴ABF BCG ≌△△，∴AF BG =；（2）A.解：OF OG = ；理由如下：如图1，连接OB ，由（1）知90ABC ∠=︒，AB BC =，AF BG =，∵点O 是AC 的中点， ∴12OB AC OA ==，BO AC ⊥， ∴90BOC ∠=°，∴90OBE OEB ∠∠=︒＋，∵90AFE ∠=︒，∴90EAF AEF ∠∠=︒＋，∴OBE EAF ∠=∠，∴OAF OBG ≌△△，∴OF OG =；B.解：OF OG =.理由如下：延长GO 交FA 的延长线于点H ，∵AF BE ⊥，CG BE ⊥，∴90AFE CGE ∠=∠=︒，∴FH CG ∥，∴OAH OCG ∠=∠，OHA OGC ∠=∠，∵点O 是AC 的中点，∴OA OC =，∴OAH OCG ≌△△，∴OH OG =， ∴12OG GH =， ∵90HFG ∠=︒， ∴12OF GH =， ∴OF OG = ；（3）A 、解：如图：连接OB ，在直角三角形ABC 中，OA=OB=OC ，∵∠BAC=60°，∴△ABO是等边三角形，∴∠ABO=60°，∵BF=BG，∴点B是FG的中点，∴OB∥AF，∴∠BAF=60°，∵∠AFB=90°，∴∠ABF=30°，∴114222AF AB==⨯=，∴BF==∴BG=∴FG==；故答案为：B．解：①如图，OF∥BC，则OF⊥AB，∵点O为AC中点，∴点H为AB的中点，即AH=BH，∴△ABF是等腰三角形，则AF=BF，∵∠AFB=90°，∴∠BAF=∠ABF=45°，∴sin 454BF AB =•︒==同理：△BCG 是等腰直角三角形，tan 60BC AB =•︒=∴sin 45BG BC =•︒==∴FG BF BG =+=；②如图，OF ∥BC ，延长OF 交AB 于点I ，由①可知，△ABF 是等腰直角三角形，BF =△BCG 是等腰直角三角形，BG =，∴FG BG BF =-=综合上述，FG 的长度为：或.故答案为：或.【点睛】本题考查了四边形综合题，正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，等腰直角三角形，等边三角形，以及勾股定理，解题的关键是正确作出辅助线，构造全等三角形，构造等腰直角三角形，构造等边三角形进行解决问题.本题是压轴题，难度很大，需要对所学知识进行融会贯通.。
2020-2021学年江苏省徐州市新沂市九年级上学期数学期中考试题及答案
2020-2021学年江苏省徐州市新沂市九年级上学期数学期中考试题及答案一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分）1. 方程x 2－4＝0的解是A. x ＝2B. x ＝－2C. x ＝±2D. x ＝±4 【答案】C【解析】【分析】方程变形为x 2=4，再把方程两边直接开方得到x=±2．【详解】解：x 2－4＝0x 2=4，∴x=±2．故选：C ．2. 用配方法解一元二次方程时应在等式两边同时加上4的是（ ）A.B. 223x x +=2-43x x =C.D. 22-43x x =2443x x +=【答案】B【解析】【分析】根据配方法的步骤，确定答案即可．【详解】解：A 、根据配方的要求，常数项等于一次项系数一半的平方，两边应加1，故本项错误；B 、两边同时加上-4的一半的平方，即同时加4，故本项正确；C 、先两边同时除2，再两边加上-2的一半的平方，即同时加上1，故本项错误；D 、．两边同时加上1，故本项错误；故选：B ．【点睛】本题考查配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程和完全平方式是解题的关键．3. 下列四个函数中，图象的顶点在轴上的函数是（ ）y A. B. C. D. 232y x x =-+25y x =-22y x x =-+244y x x =-+【答案】B【解析】【分析】根据二次函数的性质，图象的顶点在y 轴上，则顶点的横坐标x=0，根据题意，计算出即可解答．【详解】A 、二次函数y=x 2-3x+2，顶点的横坐标x=−=≠0，故本项错误； 2b a 32B 、二次函数y=5-x 2，顶点的横坐标x=−=0，故本项正确； 2b aC 、二次函数y=-x 2+2x ，顶点的横坐标x=−=1≠0，故本项错误； 2b a D 、二次函y=x 2-4x+4，顶点的横坐标x=−=2≠0，故本项错误； 2b a故选B ． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，应熟记二次函数的顶点坐标公式，本题读懂题意是关键．4. 已知⊙O 的半径为3，OA=3，直线l 经过点A ，则直线l 与⊙O 的位置关系是（ ）A. 相切B. 相交C. 相离D. 相切或相交【答案】D【解析】【分析】根据圆心到直线的距离进行判断即可．【详解】解：∵OA=3，直线l 经过点A ，∴圆心O 到直线l 的距离≤3，∵⊙O 的半径为3，∴直线l 与⊙O 的位置关系是相切或相交．故选D ．【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，根据圆心到直线的距离与半径的大小关系进行判断时注意分情况讨论．5. 如图，A 、B 、C 是⊙O 上的点，若∠AOB=50°，则∠ACB 的度数为 （ ）A. 100°B. 50°C. 25°D. 35°【解析】 【分析】根据圆周角定理∠ACB=∠AOB 计算即可．12【详解】解：∵∠ACB=∠AOB，∠AOB=50°，12∴∠ACB=25°．故选：C ．【点睛】本题考查圆周角定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．6. 如图，⊙O 的直径垂直于弦，垂足是点，，，则AB CD E 22.5CAO ∠=o 6OC =CD 的长为( )A.B. C. 6 D. 12 【答案】A【解析】【分析】先根据垂径定理得到，再根据圆周角定理得到，CE DE =245BOC A ∠=∠=o可得为等腰直角三角形，所以的长． OCE △CE ==CD 【详解】∵，AB 为直径，CD AB ⊥∴， CE DE =∵∠BOC 和∠A 分别为所对的圆心角和圆周角，∠A=22.5°， BC∴，2222.545BOC A ∠=∠=⨯=o o ∴为等腰直角三角形，OCE △∵OC=6，∴， 6CE ===∴2CD CE ==故选A ．【点睛】本题考查了垂径定理及圆周角定理．在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；垂直于弦的直径，平分这条弦且平分这条弦所对的7. 将抛物线先向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度后，所得的抛物线22y x =对应的函数关系式是 （ ）A. B. C. D. 2(2-1)-3y x =22(-1)-3y x =2(21)-3y x =+22(1)-3y x =+【答案】B【解析】【分析】先确定出原抛物线的顶点坐标，然后根据向右平移横坐标加，向下平移纵坐标减求出新图象的顶点坐标，然后写出即可．【详解】解：抛物线y= 的顶点坐标为(0，0)，22x 向右平移1个单位,再向下平移3个单位后的图象的顶点坐标为(1，−3)，所以,所得图象的解析式为y=2 -3．2(1)x -故选：B【点睛】本题考查了函数图象的平移，根据平移规律“左加右减，上加下减”利用顶点的变化确定图象的变化是解题的规律．8. 如图是二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图像，对于下列说法：①abc＞0，②，③a+b+c 240b ac ->＜0，④当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，其中正确的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】 【分析】根据抛物线的开口向上，对称轴在y 轴的右边，与y 轴的交点在y 的负半轴上即可求出a 、b 、c 的正负，即可判断①；根据抛物线与x 轴的交点坐标即可判断②；把x=1代入抛物线即可判断③；求出抛物线的对称轴，根据图象即可判断④．【详解】解：∵抛物线的开口向上，对称轴在y 轴的右边，与y 轴的交点在y 的负半轴上， ∴a＞0，-＞0，c ＜0， 2b a∴abc＞0，∴①正确；由抛物线与x 轴有两个交点，∴△=b 2-4ac ＞0，故②正确；由图象可知：x=1时，y=a+b+c ＜0，故③正确；由图象可得，当0<x<-时，y 随着x 的增大而减小，故④错误； 2b a∴正确的个数有3个．故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数与系数的关系的应用，主要考查学生对二次函数的图象与系数的关系的理解和运用，同时也考查了学生观察图象的能力．二、填空题（本大题共有10小题，每小题4分，共40分）9. 一元二次方程的一次项为___________.2320x x ++=【答案】3x【解析】【分析】根据一元二次方程一次项的定义写出该方程的一次项．【详解】解：一元二次方程的一次项是3x ．2320x x ++=故答案是：3x ．【点睛】本题考查一元二次方程的定义，解题的关键是掌握一元二次方程的定义．10. 抛物线的顶点坐标是_________．2(1)-1y x =+【答案】(-1，-1)【解析】【分析】利用顶点式直接求得交点坐标即可．【详解】解：∵抛物线，2(1)-1y x =+∴顶点坐标是（-1，-1）．故答案为：（-1，-1）．【点睛】此题考查了二次函数的性质，二次函数y=a （x-h ）2+k 的顶点坐标为（h ，k ），对称轴为x=h ．11. 若是方程的一个根，则＝____.x a =2220x x +-=2124a a --【答案】-3【解析】【分析】先把代入方程中，然后利用整体思想进行求解即可．x a =2220x x +-=【详解】解：把代入方程得：x a =2220x x +-=，即，2220a a +-=222a a +=∴；()22124122143a a a a --=-+=-=-故答案为-3．【点睛】本题主要考查一元二次方程的解，正确理解一元二次方程的解是解题的关键．12. 设、是一元二次方程的两根，则____.1x 2x 2210x x --=12x x +=【答案】2【解析】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系直接求解即可．【详解】解：∵、是一元二次方程的两根1x 2x 2210x x --=∴． 12221b x x a -+=-=-=故答案是：2【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟记两根和、两根积的公式是解题的关键．13. 若抛物线 的图像与轴有交点，那么的取值范围是________.22y x x m =++x m 【答案】1m £【解析】【分析】由抛物线 的图像与轴有交点可知，从而可求得22y x x m =++x 240b ac ∆=-≥的取值范围．m 【详解】解：∵抛物线 的图像与轴有交点22y x x m =++x ∴令，有，即该方程有实数根0y =220x x m ++=∴240b ac ∆=-≥∴．1m £故答案是：1m £【点睛】本题考查了二次函数与轴的交点情况与一元二次方程分的情况的关系、解一元一x 次不等式，能由已知条件列出关于的不等式是解题的关键．m 14. 圆锥的侧面展开图的面积为18π，母线长为6，则圆锥的底面半径为________．【答案】3【解析】【分析】圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解．【详解】解：设底面周长为C ，底面半径为r ．∵侧面展开图的面积为18π， ∴18π=C×6，C=6π=2πr，12∴r=3．故答案为：3【点睛】本题利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解．关键是根据圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2解答．15. 如图，⊙O 是△ABC 的内切圆，若∠A＝70°，则∠BOC＝________°．【答案】125【解析】【分析】根据三角形内角和性质，结合题意，可计算得的值；根据内切圆ABC ACB ∠+∠的性质分析，可计算得的值，从而完成求解．OBC OCB ∠+∠【详解】∵∠A＝70°∴180110ABC ACB A ∠+∠=-∠= ∵⊙O 是△ABC 的内切圆∴， 12OBC ABC ∠=∠12OCB ACB ∠=∠∴ 11111055222OBC OCB ABC ACB ∠+∠=∠+∠=⨯= ∴180********BOC OBC OCB ∠=-∠-∠=-= 故答案为：125．【点睛】本题考查了三角形内角和、三角形内切圆的知识；解题的关键是熟练掌握三角形内角和、三角形内切圆的性质，从而完成求解．16. 如图，直线、相交于点，半径为1cm 的⊙的圆心在直线AB CD ,30O AOC ∠=︒P AB 上，且与点的距离为8cm ，如果⊙以2cm/s 的速度，由向的方向运动，那么_________O P A B 秒后⊙与直线相切.P CD【答案】3或5【解析】【分析】分类讨论：当点P 在当点P 在射线OA 时⊙P 与CD 相切，过P 作PE⊥CD 与E ，根据切线的性质得到PE=1cm ，再利用含30°的直角三角形三边的关系得到OP=2PE=2cm ，则⊙P 的圆心在直线AB 上向右移动了（8-2）cm 后与CD 相切，即可得到⊙P 移动所用的时间；当点P 在射线OB 时⊙P 与CD 相切，过P 作PE⊥CD 与F ，同前面一样易得到此时⊙P 移动所用的时间．【详解】当点P 在射线OA 时⊙P 与CD 相切，如图，过P 作PE⊥CD 与E ，∴PE=1cm，∵∠AOC=30°，∴OP=2PE=2cm，∴⊙P 的圆心在直线AB 上向右移动了（8-2）cm 后与CD 相切，∴⊙P 移动所用的时间==3（秒）； 822-当点P 在射线OB 时⊙P 与CD 相切，如图，过P 作PE⊥CD 与F ，∴PF=1cm，∵∠AOC=∠DOB=30°，∴OP=2PF=2cm，∴⊙P 的圆心在直线AB 上向右移动了（8+2）cm 后与CD 相切，∴⊙P 移动所用的时间==5（秒）． 822+故答案为3或5．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系：直线与有三种位置关系（相切、相交、相离）．也考查了切线的性质．解题关键是熟练掌握以上性质.17. 抛物线y ＝ax 2+bx+c 经过点A （﹣3，0）、B （4，0）两点，则关于x 的一元二次方程的解是________________．()2220a x bx b c -+-+=【答案】121,6x x =-=【解析】【分析】由题意得当y=0时，则有的两个根为，进而根据同20ax bx c ++=123,4x x =-=解方程可进行求解．【详解】解：∵抛物线y ＝ax 2+bx+c 经过点A （﹣3，0）、B （4，0）两点，∴当y=0时，则有的两个根为，20ax bx c ++=123,4x x =-=∴的解为：或，()2220a x bx b c -+-+=23x -=-24x -=解得：；121,6x x =-=故答案为．121,6x x =-=【点睛】本题主要考查二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．18. 如图，已知正方形ABCD 的边长为2，点M 和N 分别从B 、C 同时出发，以相同的速度沿BC 、CD 方向向终点C 和D 运动．连接AM ，BN 交于点P ，则PC 长的最小值为____________． 【解析】【分析】根据题意和正方形的性质可利用SAS 证明△ABM≌△BCN，得出∠BAM＝∠CBN，进而可证出∠APB＝90°，于是可得点P 在以AB 为直径的圆上运动，运动路径是弧BG ，连接OC 交圆O 于P ，如图，则此时PC 最小，进一步即可求解．【详解】解：由题意得：BM ＝CN ，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ABM＝∠BCN＝90°，AB ＝BC ＝2，在△ABM 和△BCN 中，∵AB＝BC ，∠ABM＝∠BCN，MB ＝CN ，∴△ABM≌△BCN（SAS ），∴∠BAM＝∠CBN，∵∠ABP+∠CBN＝90°，∴∠ABP+∠BAM＝90°，∴∠APB＝90°，∴点P 在以AB 为直径的圆上运动，设圆心为O ，运动路径是弧，是这个圆的，如图 BG14所示：连接OC 交圆O 于P ，此时PC 最小，∵AB＝2，∴OP＝OB ＝1，由勾股定理得：OC ，=；1-．1-【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理和圆的有关性质等知识；熟练掌握上述知识，证出点P 在以AB 为直径的圆上运动是解题关键．三、解答题（本大题共有4小题，每小题6分，共24分）19. 解方程：．240x x +=【答案】x 1=0，x 2=-4【解析】【分析】利用因式分解法求解即可．【详解】解：240x x +=(4)0x x +=x 1=0，x 2=-4【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，正确选择因式分解法是解题的关键．20. 解方程：． 22520x x -+=【答案】， 112x =22x =【解析】 【分析】原式运用公式法求解即可得到答案．【详解】解：22520x x -+=这里2,5,2a b c ==-=22=4(5)422251690b ac ∆-=--⨯⨯=-=> 5322x ±∴=⨯∴， 112x =22x =【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，灵活运用解题方法是解答本题的关键．21. 已知关于的方程.x 2-3-30x x a +=（1）若此方程有两个实数根，求的取值范围；a （2）在（1）的条件下，当取满足条件的最小整数时，求此时方程的解．a 【答案】（1）；（2）， 34a ≥11x =22x =【解析】【分析】（1）因为方程有实数根，所以可得判别式大于或等于零，得到不等式后，即可求得答案；（2）由（1）结论以及取满足条件的最小整数可求得参数的取值，再代入原方程即可得a 解．【详解】解：（1）∵关于的方程有两个实数根x 2-3-30x x a +=∴()()22434130b ac a ∆=-=--⨯⋅-+≥∴； 34a ≥（2）∵有（1）可知，，取满足条件的最小整数 34a ≥a ∴1a =∴把代入原方程得：1a =2320x x -+=∴，．11x =22x =【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，解不等式、解方程等，体现了数学运算的核心素养．22. 已知：如图，AB 为⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上，且BC ＝2cm ，AC ＝4cm ，∠ABD＝45º．（1）求弦BD 的长；（2）求图中阴影部分的面积．【答案】（1）；（2） BD =5542π-【解析】 【分析】（1）先添加辅助线连接，由是的直径可得，再由勾股OD AB O 90ACB ∠=︒定理求得、，即可得到等腰直角三角形，最后根据勾股定理即可求得答案；AB OB （2）根据即可求得结论．OBD OBD S S S =- 阴影扇形【详解】解：（1）连接，如图：OD∵是的直径AB O ∴90ACB ∠=︒∵，2BC =4AC =∴ AB =∴OB =∵且45ABD ∠=︒OB OD ==∴90BOD ∠=︒∴在中，Rt BOD BD ==（2）∵，90BOD ∠=︒OB OD ==∴， 522OBD OB OD S ⋅==V 54OBD S π==扇形∴． 5542OBD OBD S S S π-=-=V 阴影扇形【点睛】本题考查了圆周角定理、勾股定理、等腰直角三角形的性质和判定、扇形的面积、三角形的面积，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．四、解答题（本大题共有3小题，每小题8分，共24分）23. 已知：二次函数过点（0，－3），（1，－4）2y x bx c =++（1）求出二次函数的表达式；（2）在给定坐标系中画出这个二次函数的图像；（3）根据图像回答：当0≤x＜3时，y 的取值范围是 ．【答案】（1）；（2）见解析；（3）－4≤y＜02-2-3y x x =【解析】【分析】（1）把已知点的坐标代入函数解析式，即可求出答案；（2）根据函数的解析式画出抛物线即可；（3）把二次函数解析式化成顶点式，再根据图形分析计算y 的取值范围即可．【详解】解：（1）将点（0，－3），（1，－4）代入二次函数得： 2y x bx c =++， 314c b c =-⎧⎨++=-⎩解得：， 23b c =-⎧⎨=-⎩所以，二次函数的表达式为：；223y x x =--（2）二次函数的图象如下：（3）∵()214y x =--∴当x ＝1时，有最小值－4，当x ＝0时，y ＝（0−1）2－4＝−3，当x ＝3时，y ＝（3−1）2－4＝0，又对称轴为x ＝1，∴当0≤x＜3时，y 的取值范围是−4＜y≤0．【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式、也考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的三种常用形式：一般式、顶点式、交点式．24. 如图，在长40m 、宽22m 的矩形地面内，修筑两条同样宽且垂直于矩形的边的道路，余下的部分铺上草坪（即阴影部分），要使草坪的面积达到760m 2，道路的宽应为多少米？【答案】道路的宽应为米2【解析】【分析】根据题意设道路的宽应为米，则种草坪部分的长为，宽为x ()40x m -，再根据题目中的等量关系建立方程即可得解．()22x m -【详解】解：设道路的宽应为米，则种草坪部分的长为，宽为，根x ()40x m -()22x m -据题意得：()()4022760x x --=2-621200x x +=()()2600x x --=，20x -=600x -=∴，（不合题意舍去）12x =260x =答：道路的宽应为米．2【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，要求学生能根据题目中的等量关系建立方程，同时也考查了学生的阅读理解能力．25. 已知△ABC，请按以下要求完成本题：（1）请作出△ABC 的外接圆⊙O（尺规作图，保留作图痕迹）；（2）若在△ABC 中，∠ABC=70°，∠ACB=40°，⊙O 的直径AD 交CB 于E ，则∠DEC = ．【答案】（1）见解析；（2）60°【解析】【分析】（1）分别作出AB 与AC 的垂直平分线，进而得出圆心的位置，再利用圆心到三角形顶点的距离为半径得出圆O 即可；（2）连接BD ．根据圆周角定理求出∠ABD=90°，∠D=∠ACB=40°，则∠DBC=∠ABD-∠ABC=20°，再利用三角形外角的性质即可求出∠DEC．【详解】解：（1）如图所示：（2）连接BD ．∵AD 是直径，∴∠ABD=90°，∴∠DBC=∠ABD-∠ABC=90°-70°=20°，又∵∠D=∠ACB=40°，∴∠DEC=∠D+∠DBC=40°+20°=60°．【点睛】本题主要考查了三角形外接圆的作法，圆周角定理，三角形外角的性质，熟练掌握相关的定理是解题关键．五、解答题（共有2小题，第26题8分，第27题10分，共18分）26. 如图，已知直线l与⊙O相离，过圆心O画OA⊥l于点A，交⊙O于点P且OA=5，点B 为⊙O上一点BP的延长线交直线l于点C且AB=AC.（1）判断AB与⊙O有怎样的位置关系，并说明理由；PC（2）若，求⊙O的半径.【答案】（1）AB与⊙O相切，理由见解析；（2）3【解析】【分析】（1）连接OB，由题意易得∠ACB=∠ABC，∠OAC=90°，则有∠APC=∠OBP，进而可证OB⊥AB，则问题可证；（2）设⊙O的半径为x，由（1）得OP = OB = x，则有PA = 5-x，然后根据勾股定理可进行求解．【详解】解：（1）AB与⊙O相切，理由：连接OB，如图所示：∵AB=AC，∴∠ACB=∠ABC，又∵OA⊥l，∴∠OAC=90°，∴∠ACB+∠APC = 90°，又∵OP=OB，∴∠OPB=∠OBP，∵∠OPB=∠APC，∴∠APC=∠OBP，∴∠OBP+∠ABC = 90°，即OB⊥AB，∵点B是半径OB的外端点，∴AB 是⊙O 的切线；(2)设⊙O 的半径为x ，∴OP = OB = x又∵OA = 5，PC =∴ PA = 5-x在Rt△ACP 中∴ AC 2 =PC 2 -PA 2 =， (()2225105x x x --=-+-在Rt△OAB 中∴ AB 2 =OA 2 -OB 2 =222525x x -=-又∵AB = AC∴，2225105x x x -=-+-解得：x =3∴⊙O 的半径为3．【点睛】本题主要考查切线的判定定理，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．27. 某片果园有果树60棵，现准备多种一些果树提高果园产量，但是如果多种树，那么树与树之间的距离和每棵树所受光照就会减少，单棵树的产量随之降低．若该果园每棵果树产果y(千克)与增种果树x(棵)之间的函数关系如图所示．（1）求每棵果树产果y(千克)与增种果树x(棵)之间的函数关系式；（2）设果园的总产量为w(千克)，求w 与x 之间的函数表达式；（3）试说明（2）中总产量w(千克)随增种果树x(棵)的变化而变化的情况，并指出增种果树x 为多少棵时获得最大产量，最大产量w 是多少？【答案】（1）；（2） ；（3）当x=50时，w 的最1802y x =-+215048002w x x =-++大值为．6050【解析】 【分析】（1）由图像可得坐标，设，然后代入求解即可；()()12,74,28,66y kx b =+（2）根据（1）及题意可直接进行求解；（3）由（2）及二次函数的性质可进行求解．【详解】解：（1））由图像可得坐标，则设，把点()()12,74,28,66y kx b =+()()12,74,28,66代入得：，解得：， 12742866k b k b +=⎧⎨+=⎩1280k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴； 1802y x =-+（2）由（1）及题意得：； ()()16060802w x y x x ⎛⎫=+⋅=+⋅-+ ⎪⎝⎭215048002x x =-++（3）由（2）得：， ()221150480050605022w x x x =-++=--+∴，开口向下，对称轴为直线， 102a =-<50x =∴当时，y 随x 的增大而增大，当时，y 随x 的增大而减小，50x ≤50x ≥∴当时，w 取最大，最大值为．50x =6050【点睛】本题主要考查二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的应用是解题的关键．六、解答题（本大题10分）28. 如图，抛物线与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，连接AC ，BC ，213-222y x x =-点M 是线段BC 下方抛物线上的任意一点，点M 的横坐标为m ，过点M 画MN⊥x 轴于点N ，交BC 于点P ．（1）填空：A （ ， ），C （ ， ）；（2）探究△ABC 的外接圆圆心的位置，并求出圆心的坐标；（3）探究当m 取何值时线段PM 的长度取得最大值，最大值为多少？【答案】（1）-1，0；0，-2；（2）；（3）当m=2时，PM 的最大值是2 3,02⎛⎫⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）利用抛物线解析式容易求得A 、C 的坐标；（2）证明△AOC∽△COD，Rt△ACB 的外接圆圆心为AB 的中点，由此求得圆心的坐标即可；（3）可求得直线BC 的解析式，利用m 可表示出PM 的长，则可利用二次函数的性质求得PM 的最大值．【详解】解：（1）当y=0，则=0，得方程的解 213-222y x x =-121,4x x =-=∴A（-1,0）B （4,0），当x=0时，y=-2∴C（0，-2）．（2）1,2,4OA OC OB ===∠AOC=∠COB=90°∴ 12OA OC OC OB ==∴△AOC∽△COB∴∠ACO=∠OBC∠ACO+∠OCB=90°∠OBC+∠OCB=90°=∠ACB∴Rt△ACB 的外接圆圆心为AB 的中点，∵A（-1,0）B （4,0），∴圆心的坐标（）． 3,02（3）C （0，-2），B （4，0） 又∵直线BC 解析式1y 22x =-，M （m, ） 1(,2)2p m m -213222m m --PM=（）-（） 122m -213222m m -- 2122PM m m =-+ 21=(2)22m --+当m=2时，PM最大值=2．【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握性质是解题的关键．。
2020-2021学年上海市松江区九年级(上)期中数学试卷 解析版
2020-2021学年上海市松江区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．下列各组线段中，能组成比例线段的（）A．2，3，4，5B．2，3，4，6C．2，3，5，7D．3，4，5，6 2．下列图形中一定相似的是（）A．两个等腰三角形B．两个菱形C．两个直角三角形D．两个正方形3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，那么下列各式中正确的是（）A．tan A＝B．cot A＝C．sin A＝D．cos A＝4．已知△ABC中，D、E分别是边AB、AC上的点，下列各式中，不能判断DE∥BC的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝5．已知、和都是非零向量，在下列选项中，不能判定∥的是（）A．＝2B．∥，∥C．||＝||D．＝，＝2 6．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD，对角线AC与BD相交于点O，把△ABO、△BCO、△COD、△DOA的面积分别记作S1、S2、S3、S4，那么下列结论中，不正确（）．A．S2＝2S1B．S1＝S3C．S2＝2S4D．S3＝2S4二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．若＝＝≠0，则＝．8．在比例尺为1：1000000的地图上，量得两地间的距离为3厘米，那么两地间的实际距离是千米．9．已知两相似三角形的对应中线的比是2：3，其中较大的三角形的面积为27，则较小的三角形的面积是．10．如果线段a＝4cm，b＝9cm，那么它们的比例中项是cm．11．已知点M是线段AB的黄金分割点（AM＞MB），如果AB＝6cm，那么AM＝cm．12．如图，G是△ABC的重心，过点G作EF∥BC，分别交AB、AC于点E、F，若BC＝6，则EF＝．13．如图，梯形ABCD中，点E、F分别在AB、DC边上，AD∥BC∥EF，BE：EA＝1：2，若FC＝2.5，则FD＝．14．在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，DE：BC＝1：3，AD＝2，则BD＝．15．在平面直角坐标系xOy中有一点A（3，4），如果OA与x轴正半轴的夹角为α，那么sinα＝．16．如图，已知在△ABC中，∠ABD＝∠C，AD＝9，CD＝7，那么AB＝．17．如图，在平行四边形ABCD中，点F是CD的中点，BF和AC交于点E．如果＝，＝，如果用、表示，那么＝．18．如图，在△ABC中，D是AC边的中点，连接BD，把△BDC沿BD翻折，得到△BDC′，联结AC′．若AD＝AC′＝2，BD＝3，则点D到BC′的距离为．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：cos245°﹣+cot230°．20．（10分）如图，已知两个不平行的向量、，先化简，再求作．2（2﹣）﹣3（+）．（不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量）21．（10分）已知：如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝8，∠B＝60°．求：（1）△ABC的面积；（2）∠C的余弦值．22．（10分）△ABC是一块直角三角形余料，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，如图将它加工成正方形零件，试说明哪种方法利用率高？（得到的正方形的面积较大）23．（12分）已知：如图，BF、CE分别是△ABC的边AC、AB上的高，BF与CE相交于点O，AN是∠BAC的角平分线，交EF于点M，交BC于点N．（1）求证；△ABF∽△ACE；（2）求证：＝．24．（12分）已知如图，D是△ABC的边AB上一点，DE∥BC，交边AC于点E，延长DE 至点F，使EF＝DE，联结BF，交边AC于点G，联结CF（1）求证：＝；（2）如果CF2＝FG•FB，求证：CG•CE＝BC•DE．25．（14分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝20，tan B＝，点D为BC边上的动点（点D 不与点B、C重合）．以D为顶点作∠ADE＝∠B，射线DE交AC边于点E．（1）如图2，当ED∥AB时，求AE的长；（2）设BD＝x，AE＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（3）当△ADE是等腰三角形时，直接写出线段BD的长．2020-2021学年上海市松江区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．下列各组线段中，能组成比例线段的（）A．2，3，4，5B．2，3，4，6C．2，3，5，7D．3，4，5，6【分析】判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可．【解答】解：A、2×5≠3×4，不成比例；B、2×6＝3×4，成比例；C、2×7≠3×5，不成比例；D、3×6≠4×5，不成比例；故选：B．2．下列图形中一定相似的是（）A．两个等腰三角形B．两个菱形C．两个直角三角形D．两个正方形【分析】根据相似图形的定义，对选项进行一一分析，排除错误答案．【解答】解：A、两个等腰三角形，属于形状不唯一确定的图形，不一定相似，故错误；B、两个菱形，属于形状不唯一确定的图形，不一定相似，故错误；C、两个直角三角形，属于形状不唯一确定的图形，不一定相似，故错误；D、两个正方形，图形的形状相同，但大小不一定相同，符合相似性的定义，故正确．故选：D．3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，那么下列各式中正确的是（）A．tan A＝B．cot A＝C．sin A＝D．cos A＝【分析】根据勾股定理求出AB，根据锐角三角函数的定义计算，判断即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，由勾股定理得，AB＝＝13，则tan A＝＝，A选项计算正确；cot A＝＝，B选项计算错误；sin A＝＝，C选项计算错误；cos A＝＝，D选项计算错误；故选：A．4．已知△ABC中，D、E分别是边AB、AC上的点，下列各式中，不能判断DE∥BC的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝【分析】若使DE∥BC，则其对应边必成比例，进而依据对应边成比例即可判定DE∥BC．【解答】解：如图，若使线段DE∥BC，则其对应边必成比例，即＝，＝，＝，故B选项答案错误；故选：B．5．已知、和都是非零向量，在下列选项中，不能判定∥的是（）A．＝2B．∥，∥C．||＝||D．＝，＝2【分析】根据平行向量的判定一一判断即可；【解答】解：A、由＝2，可以推出∥．本选项不符合题意；B、由∥，∥，可以推出∥．本选项不符合题意；C、由||＝||，不可以推出∥．本选项符合题意；D、由＝，＝2，可以推出∥．本选项不符合题意；故选：C．6．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD，对角线AC与BD相交于点O，把△ABO、△BCO、△COD、△DOA的面积分别记作S1、S2、S3、S4，那么下列结论中，不正确（）．A ．S 2＝2S 1B ．S 1＝S 3C ．S 2＝2S 4D ．S 3＝2S 4 【分析】由AD ∥BC ，推出△AOD ∽△COB ，推出＝＝＝，利用等高模型以及相似三角形的性质解决问题即可． 【解答】解：∵AD ∥BC ， ∴△AOD ∽△COB ， ∴＝＝＝，∴S △BOC ＝2S △AOB ＝2S △ODC ，S △DOC ＝2S △AOD ，＝（）2＝，∴选项A ，B ，D 正确， 故选：C ．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．若＝＝≠0，则＝．【分析】设＝＝＝k ≠0，得出x ＝2k ，y ＝5k ，z ＝4k ，再代入要求的式子进行计算即可得出答案．【解答】解：设＝＝＝k ≠0，则x ＝2k ，y ＝5k ，z ＝4k ， 则＝＝；故答案为：．8．在比例尺为1：1000000的地图上，量得两地间的距离为3厘米，那么两地间的实际距离是 30 千米．【分析】根据比例尺＝图上距离：实际距离，可知实际距离＝图上距离÷比例尺． 【解答】解：根据题意，3÷＝3000 000厘米＝30千米．即实际距离是30千米． 故答案为：30．9．已知两相似三角形的对应中线的比是2：3，其中较大的三角形的面积为27，则较小的三角形的面积是12．【分析】根据相似三角形的性质得到两相似三角形的面积比是4：9，根据题意列式计算即可．【解答】解：∵两相似三角形的对应中线的比是2：3，∴两相似三角形的相似比是2：3，∴两相似三角形的面积比是4：9，∵较大的三角形的面积为27，∴较小的三角形的面积为：27×＝12，故答案为：12．10．如果线段a＝4cm，b＝9cm，那么它们的比例中项是6cm．【分析】根据比例中项的定义，列出比例式即可得出中项，注意线段不能为负．【解答】解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积．所以c2＝4×9，x＝±6，（线段是正数，负值舍去），故答案为：6．11．已知点M是线段AB的黄金分割点（AM＞MB），如果AB＝6cm，那么AM＝（3﹣3）cm．【分析】根据黄金分割点的定义，知AM是较长线段；则AM＝AB，代入数据即可得出AM的长．【解答】解：∵M是线段AB的黄金分割点（AM＞MB），AB＝6cm，∴AM＝AB＝×6＝（3﹣3）cm，故答案为：（3﹣3）．12．如图，G是△ABC的重心，过点G作EF∥BC，分别交AB、AC于点E、F，若BC＝6，则EF＝4．【分析】如图，连接AG并延长，交BC于点P，由三角形的重心的性质可知AG＝2GP，则AG：AP＝2：3．又EF∥BC，根据相似三角形的判定可知△AGF∽△APC，得出AF：AC＝2：3，最后由EF∥BC，得出△AEF∽△ABC，从而求出EF：BC＝AF：AC＝2：3，结合BC＝6可求EF的长度．【解答】解：如图，连接AG并延长，交BC于点P．∵G为△ABC的重心，∴AG＝2GP，∴AG：AP＝2：3，∵EF过点G且EF∥BC，∴△AGF∽△APC，∴AF：AC＝AG：AP＝2：3，又∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴，∵BC＝6，∴EF＝4．13．如图，梯形ABCD中，点E、F分别在AB、DC边上，AD∥BC∥EF，BE：EA＝1：2，若FC＝2.5，则FD＝5．【分析】根据AD∥BC∥EF，BE：EA＝1：2，可得出FC：FD＝1：2，再根据FC＝2.5，即可得出FD的长度．【解答】解：∵AD∥BC∥EF，BE：EA＝1：2，∴FC：FD＝1：2，∵FC＝2.5，∴FD＝5．故答案为5．14．在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，DE：BC＝1：3，AD＝2，则BD＝4．【分析】由DE∥BC可判定△ADE∽△ABC，从而可得比例式，结合DE：BC＝1：3，可求得AB的值，最后根据BD＝AB﹣AD计算即可．【解答】解：依题意画出图形，如图：在△ABC中，DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝，∵DE：BC＝1：3，∴＝，∵AD＝2，∴AB＝6，∴BD＝AB﹣AD＝6﹣2＝4．故答案为：4．15．在平面直角坐标系xOy中有一点A（3，4），如果OA与x轴正半轴的夹角为α，那么sinα＝．【分析】根据勾股定理和A（3，4），可得OA的长，根据OA与x轴正半轴的夹角为α，可得sinα的值．【解答】解：∵A（3，4），∴OA＝＝5，∴sinα＝．故答案为：．16．如图，已知在△ABC中，∠ABD＝∠C，AD＝9，CD＝7，那么AB＝12．【分析】首先由在△ABC中，∠ABD＝∠C，可以证明△ABD∽△ACB，然后利用相似三角形的性质和已知条件即可求解．【解答】解：∵在△ABC中，∠ABD＝∠C，而∠A公共，∴△ABD∽△ACB，∴AB2＝AD•AC，而AD＝9，CD＝7，∴AC＝16，∴AB＝12．17．如图，在平行四边形ABCD中，点F是CD的中点，BF和AC交于点E．如果＝，＝，如果用、表示，那么＝（+）．【分析】根据平行四边形的性质和平行线截线段成比例求得AE线段的长度，结合平行四边形法则求得即可．【解答】解：∵点F是CD的中点，∴FC＝DC．又∵在平行四边形ABCD中，CD∥AB，CD＝AB，∴＝，即＝＝，∴AE＝AC．∵＝，＝，∴＝+＝+，∴＝＝（+），故答案是：（+）．18．如图，在△ABC中，D是AC边的中点，连接BD，把△BDC沿BD翻折，得到△BDC′，联结AC′．若AD＝AC′＝2，BD＝3，则点D到BC′的距离为．【分析】连接CC'，交BD于点M，过点D作DH⊥BC'于点H，由翻折知，△BDC≌△BDC'，BD垂直平分CC'，证△ADC'为等边三角形，利用解直角三角形求出DM＝1，C'M ＝DM＝，BM＝2，在Rt△BMC'中，利用勾股定理求出BC'的长，在△BDC'中利用面积法求出DH的长，则可得出答案．【解答】解：如图，连接CC'，交BD于点M，过点D作DH⊥BC'于点H，∵AD＝AC′＝2，D是AC边上的中点，∴DC＝AD＝2，由翻折知，△BDC≌△BDC'，BD垂直平分CC'，∴DC＝DC'＝2，BC＝BC'，CM＝C'M，∴AD＝AC′＝DC'＝2，∴△ADC'为等边三角形，∴∠ADC'＝∠AC'D＝∠C'AC＝60°，∵DC＝DC'，∴∠DCC'＝∠DC'C＝×60°＝30°，在Rt△C'DM中，∠DC'C＝30°，DC'＝2，∴DM＝1，C'M＝DM＝，∴BM＝BD﹣DM＝3﹣1＝2，在Rt△BMC'中，BC'＝＝＝，'＝BC'•DH＝BD•CM，∵S△BDC∴DH＝3×，∴DH＝，∵∠DCB＝∠DBC'，∴点D到BC的距离为．故答案为：．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：cos245°﹣+cot230°．【分析】根据特殊角三角函数值，可得实数的运算，根据实数的运算，可得答案．【解答】解：原式＝（）2﹣+（）2＝﹣+3＝．20．（10分）如图，已知两个不平行的向量、，先化简，再求作．2（2﹣）﹣3（+）．（不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量）【分析】根据平面向量的加法法则计算即可，利用三角形法则画出图形即可．【解答】解：2（2﹣）﹣3（+）＝4﹣2﹣3﹣＝﹣3．如图，即为所求．21．（10分）已知：如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝8，∠B＝60°．求：（1）△ABC的面积；（2）∠C的余弦值．【分析】（1）根据题意作AD⊥BC于点D，然后根据题目中的条件可以求得AD的长，从而可以求得△ABC的面积；（2）根据题意和（1）中的条件可以求得CD和AC的，从而可以求得∠C的余弦值．【解答】解：（1）作AD⊥BC于点D，∵在△ABC中，AB＝6，BC＝8，∠B＝60°，∴∠ADB＝90°，∠BAD＝30°，∴BD＝3，∴AD＝3，∴△ABC的面积是：；（2）由（1）知∠ADC＝90°，BD＝3，AD＝3，∵BC＝8，∴CD＝5，∴AC＝2，∴cos∠C＝．22．（10分）△ABC是一块直角三角形余料，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，如图将它加工成正方形零件，试说明哪种方法利用率高？（得到的正方形的面积较大）【分析】由勾股定理求得AB，所截的正方形的边在△ABC的直角边上，如图1，设正方形CDEF边长为x，则DE＝CD＝x，BD＝BC﹣CD＝6﹣x，先证明△BDE∽△BCA，于是可利用相似比求得x＝cm；当所截的正方形的边在△ABC的斜边上，如图2，作CH ⊥AB于H，交MQ于J，先利用面积法计算出CH＝cm，设正方形MNPQ边长为x，则QM＝x，BJ＝﹣x，证明△CMQ∽△CBA，则可利用相似比计算出x＝cm，然后比较两个正方形的边长的大小来判断哪种方法利用率高．【解答】解：当所截的正方形的边在△ABC的直角边上，如图1，设正方形CDEF边长为x，则DE＝xcm，BD＝BC﹣CD＝（6﹣x）cm，∵DE∥AC，∴△BDE∽△BCA，∴＝，即＝，解得：x＝（cm），即正方形BDEF边长为cm；当所截的正方形的边在△ABC的斜边上，如图2，作CH⊥AB于H，交MQ于J，则MN∥CH，AB＝＝＝10，∵CH•AB＝AC•BC∴CH＝＝（cm），设正方形MNPQ边长为x，则QM＝x，BJ＝﹣x，∵QM∥AB，∴△CMQ∽△CBA，∴＝，即＝，解得：x＝（cm），即正方形BDEF边长为（cm）；∵＝＞，∴图1利用率高．23．（12分）已知：如图，BF、CE分别是△ABC的边AC、AB上的高，BF与CE相交于点O，AN是∠BAC的角平分线，交EF于点M，交BC于点N．（1）求证；△ABF∽△ACE；（2）求证：＝．【分析】（1）由“有两个角分别相等的三角形相似“来判定即可；（2）由△ABF∽△ACE可得比例式＝，再结合夹角相等，可判定△EAF∽△CAB，从而可得＝①，∠AEF＝∠ACB；然后结合角平分线的定义可得∠EAM＝∠CAN，则可判定△EAM∽△CAN，进而得出比例式＝②，由①②可得结论．【解答】解：（1）证明：∵BF、CE分别是△ABC的边AC、AB上的高，∴BF⊥AC，CE⊥AB，∴∠AFB＝∠AEC＝90°，又∵∠CAE＝∠BAF，∴△ABF∽△ACE；（2）证明：∵△ABF∽△ACE，∴＝，∴＝，又∵∠EAF＝∠CAB，∴△EAF∽△CAB，∴＝①，∠AEF＝∠ACB，∵AN是∠BAC的角平分线，∴∠EAM＝∠CAN，∴△EAM∽△CAN，∴＝②，由①②可得：＝．24．（12分）已知如图，D是△ABC的边AB上一点，DE∥BC，交边AC于点E，延长DE 至点F，使EF＝DE，联结BF，交边AC于点G，联结CF（1）求证：＝；（2）如果CF2＝FG•FB，求证：CG•CE＝BC•DE．【分析】（1）首先证明△ADE∽△ABC，△EFG∽△CBG，根据相似三角形的对应边的比相等，以及DE＝EF即可证得；（2）首先证明△CFG∽△BFC，证得＝，∠FCE＝∠CBF，然后根据平行线的性质证明∠FEG＝∠CEF，即可证得△EFG∽△ECF，则＝＝，即可证得＝，则所证结论即可得到．【解答】证明：（1）∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，△EFG∽△CBG，∴＝，＝，又∵DE＝EF，∴＝，∴＝；（2）∵CF2＝FG•FB，∴＝，又∵∠CFG＝∠CFB，∴△CFG∽△BFC，∴＝，∠FCE＝∠CBF，又∵DF∥BC，∴∠EFG＝∠CBF，∴∠FCE＝∠EFG，又∵∠FEG＝∠CEF，∴△EFG∽△ECF，∴＝＝，∴＝，即CG•CE＝BC•DE．25．（14分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝20，tan B＝，点D为BC边上的动点（点D 不与点B、C重合）．以D为顶点作∠ADE＝∠B，射线DE交AC边于点E．（1）如图2，当ED∥AB时，求AE的长；（2）设BD＝x，AE＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（3）当△ADE是等腰三角形时，直接写出线段BD的长．【分析】（1）证明△ABD为等腰直角三角形，求出BD＝，利用DE∥BA，则，即，即可求解；（2）证明△ABD∽△DCE，则，即可求解；（3）分AD＝DE、AD＝DE、AE＝DE三种情况，利用解直角三角形的方法和三角形相似，分别求解即可．【解答】解：（1）如图1，故点A作AH⊥BC于点H，在Rt△ABH中，设tan B＝＝tanα，则sinα＝，cosα＝，则AH＝AB sinα＝20×＝12，BH＝16，则BC＝2BH＝32，∵ED∥AB，则∠ADE＝∠BAD＝∠B＝α，则△ABD为等腰三角形，在△ABD中，过点D作DM⊥AB于点M，则MD＝BD sin B，BM＝BD cos B＝AB，即BD＝AB＝×20，解得BD＝，∵DE∥BA，则，即，解得：AE＝；（2）如图2，在△ABD中，∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝∠BAD+∠B，∵∠ADE＝∠B，∴∠EDC＝∠BAD，∴△ABD∽△DCE，则，其中，AB＝20，CD＝32﹣x，BD＝x，CE＝20﹣y，故，化简得：y＝x2﹣x+20（0＜x＜32）；（3）①当AD＝DE时，此时点B、D重合，不符合题意；②当AD＝DE时，由（2）知则＝1，即＝1，解得x＝12，即BD＝12；③当AE＝DE时，∵AE＝DE，∴∠DAE＝∠ADE＝∠C，故△ADC为等腰三角形，则AD＝CD＝32﹣x，在△ABD中，BD＝x，AD＝32﹣x，如图1，则AH＝12，AH＝16，在△ADH中，AD＝32﹣x，DH＝16﹣x，AH＝12，由勾股定理得：（32﹣x）2＝（16﹣x）2+122，解得x＝19.5；综上，BD的长度为12或19.5．。
2020-2021学年山东省青岛市九年级(上)期中数学试卷(附答案详解)
2020-2021学年山东省青岛市九年级（上）期中数学试卷1.下列方程是一元二次方程的是()A. 2x2+y=1B. 9y=3y−1C. 2x2=1D. 3x−2x2=82.如图所示的4个三角形中，相似三角形有()A. 1对B. 2对C. 3对D. 4对3.根据表格中的信息，估计一元二次方程ax2+bx+c=10(a、b、c为常数，a≠0)的一个解x的范围为()x00.51 1.52 ax2+bx+c−15−8.75−2 5.2513A. 0<x<0.5B. 0.5<x<1C. 1<x<1.5D. 1.5<x<24.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作BD的垂线，垂足为E，已知∠EAB：∠EAD=1：3，则∠EOA的度数为()A. 30°B. 35°C. 40°D. 45°5.青岛第四届海上马拉松比赛将在2020年11月举行，小明和小刚分别从A、B、C三个组中随机选择一个组参加志愿者活动，假设每人参加这三个组的可能性都相同，小明和小刚恰好选择同一组的概率是()A. 13B. 23C. 19D. 296.如图，菱形ABCD的面积为24cm2，对角线BD长6cm，点O为BD的中点，过点A作AE⊥BC交CB的延长线于点E，连接OE，则线段OE的长度是()A. 3cmB. 4cmC. 4.8cmD. 5cm7.下列结论正确的是()A. 如果一个四边形是轴对称图形，而且有两条互相垂直的对称轴，那么这个四边形一定是菱形．B. 如果一个四边形，既是轴对称图形，又是中心对称图形，那么这个四边形一定是正方形．C. 如果一个菱形绕对角线的交点旋转90°后，所得图形与原来的图形重合，那么这个菱形是正方形．D. 一个直角三角形绕斜边的中点旋转180°后，原图形与所得的图形构成的四边形一定是正方形．8.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的角平分线交AC于点D，过点D分别作BC和AB的平行线，交AB于点E，交BC于点H，连接EH交BD于点G，在AE上截取EF=BE，连接DF.下列说法中正确的有()(1)GH：FD=1：2；(2)BD2=BF⋅BC；(3)四边形EBHD是菱形；(4)S△ADF=29S△ABC．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个9.已知x2=y4≠0，则3x+y2y=______ ．10.在一个不透明的口袋里装有黑、白两种颜色的球30个，这些球除颜色外都相同.某学习小组进行摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再把它放回袋中，不断重复上述过程，试验数据如下表：摸球的次数10020050080010001200摸到白球的次数4281201324402481根据上表数据，估算口袋中黑球有______ 个.11.如图，直线a//b//c，直线AC与DF交于点O，且与直线a、b、c分别交于点A、B、D、E、F，如果DE=2，EF=5，AC=6，那么AB的长为______ ．12.书香相伴，香满校园，某校9月份借阅图书500本，11月份借阅图书845本，该校这两个月借阅图书的月均增长率是______ ．13.如图，四边形ABCD是面积为6cm2的正方形，△ACE是等边三角形，图中阴影部分的面积是______ cm2．14.现有30张相同的菱形纸片(如图1，有一个内角为60°)，小亮用其中3张密铺成一个如图2所示的正六边形；若小芳想密铺出一个与图②相似但面积比它大的正六边形，则她至少要用______ 张菱形纸片(不得将菱形纸片剪开)．15.已知：如图，四边形ABCD是平行四边形．求作：一个菱形，使它的四个顶点分别在平行四边形ABCD的四条边上．16.解方程：x2+2x+2=8x+4(配方法)．17.解方程：8x2−2x−3=0．18.已知：关于x的一元二次方程(k−1)x2+2x−1=0有两个不相等的实数根.求：k的最小整数解．19.用如图所示的两个可以自由转动的转盘进行“配紫色“游戏：游戏者同时转动两个转盘，若其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么他就赢了．(1)利用画树状图或列表的方法表示游戏所有可能出现的结果；(2)求游戏者获胜的概率．20.如图，AF，AG分别是△ABC和△ADE的高，∠BAF=∠DAG．(1)求证：△ABC∽△ADE；(2)若DE=3，ADAB =25，求BC的长．21.有一个面积为54cm2的长方形，将它的一边剪短5cm，另一边剪短2cm，恰好变成一个正方形，求这个正方形的边长．22.已知：在△ABC中，CB=CA，点D、E分别是AB、AC的中点，连接DE并延长交外角∠ACM的平分线CN与点F．(1)求证：AD=CF；(2)连接CD，AF，当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF为正方形？请证明你的结论．23.尊老爱幼是中华民族的传统美德，九九重阳节前夕，某商店为老人推出一款特价商品，每件商品的进价为15元，促销前销售单价为25元，平均每天能售出80件；根据市场调查，销售单价每降低0.5元，平均每天可多售出20件．(1)若每件商品降价5元，则商店每天的平均销量是______ 件(直接填写结果)；(2)不考虑其他因素的影响，若商店销售这款商品的利润要平均每天达到1280元，每件商品的定价应为多少元？(3)在(2)的前提下，若商店平均每天至少要销售200件该商品，求商品的销售单价．24.古希腊数学家欧多克索斯曾提出：能否将一条线段分成不相等的两部分，使较短线段与较长线段的比等于较长线段与原线段的比？这就是黄金分割问题，这个相等的比又被称为黄金比，其比值是√5−12.古希腊很多矩形建筑中，宽与长之比都等于黄金比，在艺术领域，许多优美的曲线也与黄金比有关，黄金比在我们的生活中彰显着丰富的美学价值．【探索发现】：如图1，若点P1是线段AB靠近点B的黄金分割点，则AP1=√5−12AB，所以BP1=(1−√5−12)AB=3−√52AB．若P2是线段BP1靠近点B的黄金分割点，则BP2=3−√52BP1，所以BP2=______ AB．若P3是线段BP2靠近点B的黄金分割点，则BP3=3−√52BP2，所以BP3=______ AB．……【归纳提炼】若P n是线段BP n−1靠近点B的黄金分割点，则BP n=______ AB．【解释应用】：如图2，矩形ABCD中，宽BC与长AB的比为黄金比，则称矩形ABCD为“黄金矩形”．在课本“想一想”中我们已经知道，该矩形有如下特点：作正方形①，剩下的矩形仍是“黄金矩形”，且点P1为线段AB的黄金分割点；以此类推：作正方形②，剩下的矩形仍是“黄金矩形”，且点Q1为线段BC的黄金分割点；作正方形③，剩下的矩形仍是“黄金矩形”，且点P2为线段______ 的黄金分割点；作正方形④，剩下的矩形仍是“黄金矩形”，且点Q2为线段______ 的黄金分割点；……显然，这样变换可以无限的进行下去．借助对“BP2与AB，BQ2与BC的比例关系”的探究，写出当“黄金矩形”ABCD 的周长为a时，以BP2，BQ2为领边的“黄金矩形”的周长y与a的关系式：______ ．【拓展延伸】：(1)设图2中四个正方形①，②，③，④的边长分别为a1，a2，a3，a4，请直接写出a1+a2+a3+a4=______ .(用含有a的代数式表示)(2)如图3，将正方形③和④的位置重新排列，再分别在每个正方形中作四分之一圆弧，四段弧可以连出一条优美的曲线，称为“黄金螺旋线”．请直接写出这条曲线的长度：______ .(用含有a的代数式表示)25.已知：如图1，在矩形ABCD中，AC是对角线，AB=6cm，BC=8cm.点P从点A出发，沿AB方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点C出发，沿CA方向匀速运动，速度为2cm/s.过点Q作QE⊥AC，QE与BC相交于点E，连接PQ.设)，解答下列问题：运动时间为t(s)(0<t≤165(1)连接BQ，当t为何值时，点E在线段BQ的垂直平分线上？(2)设四边形BPQC的面积为y(cm2)，求y与t之间的函数关系式；(3)如图2，取点E关于AC的对称点F，是否存在某一时刻t，使△CDF为等腰三角形？若存在，直接写出t的值(不需提供解答过程)；若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】C【解析】解：A.是二元二次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；B.是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；C.是一元二次方程，故本选项符合题意；D.是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；故选：C．根据一元二次方程的定义逐个判断即可．本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的次数最高是2的整式方程，叫一元二次方程．2.【答案】A【解析】解：观察图象可知，图中有3个直角三角形，一个锐角三角形，其中左边的两个直角三角形的直角边的比都是1：2，所以这两个直角三角形相似．故选：A．根据相似三角形的判定方法判断即可．本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，属于中考常考题型．3.【答案】D【解析】解：由表格可知：当x=1.5时，ax2+bx+c=5.25，则ax2+bx+c−10=−4.75，当x=2时，ax2+bx+c=13，则ax2+bx+c−10=3，∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c=10(a≠0)的一个解x的范围是1.5<x<2，故选：D．根据ax2+bx+c的符号即可估算ax2+bx+c=10的解．本题考查一元二次方程，解题的关键是正确理解一元二次方程的近似解，本题属于基础题型．4.【答案】D【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OB，∠BAD=90°，∴∠OAB=∠OBA，∵∠EAB：∠EAD=1：3，∴∠EAB=22.5°，∵AE⊥BD于点E，∴∠AEB=90°，∴∠ABE=67.5°，∴∠OBA=∠OAB=67.5°，∴∠AOB=45°，即∠EOA的度数为45°，故选：D．根据∠EAB：∠EAD=1：3，∠BAD=90°，可以求得∠BAE的度数，再根据矩形的性质和三角形内角和，即可得到∠EOA的度数．本题考查矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．5.【答案】A【解析】解：画树状图得：∵共有9种等可能的结果，小明和小刚恰好选择同一组的有3种情况，∴两人恰好选择同一组的概率为39=13；故选：A．首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果以及小明和小刚选到同一组的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．本题考查了用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．6.【答案】B【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，∵BD=6cm，S菱形ABCD ═12AC×BD=24cm2，∴AC=8cm，∵AE⊥BC，∴∠AEC=90°，∴OE=12AC=4cm，故选：B．由菱形的性质得出BD=6cm，由菱形的面积得出AC=8cm，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结果．本题主要考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握菱形的性质是解题的关键．7.【答案】C【解析】解：A.若一个四边形是轴对称图形，且有两条互相垂直的对称轴，则这个四边形是菱形或矩形，故本选项不合题意；B.如果一个四边形，既是轴对称图形，又是中心对称图形，那么这个四边形可以是菱形，故本选项不合题意；C.若一个菱形绕对角线的交点旋转90°后所得图形与原图形重合，则这个菱形是正方形，本选项符合题意；D.一个直角三角形绕斜边的中点旋转180°后，原图形与所得的图形构成的四辺形一定是矩形，故本选项不合题意；故选：C．依据菱形、矩形以及正方形的判定方法，即可得出结论．本题考查了菱形、矩形、正方形的判定与性质；熟练掌握特殊平行四边形的判定和性质，并能进行推理论证是解答本题的关键．8.【答案】C【解析】解：∵DE//BC，DH//AB，∴四边形DEBH是平行四边形，∴GH=EG，BG=DG，又∵EF=BE，∴EG//DF，GE=12DF，∴GH=12DF，∴GH：DF=1：2，故①正确；∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，∵DE//BC，∴∠EDB=∠DBC，∴∠EDB=∠EBD，∴BE=DE，∴BE=DE=EF，∴∠BDF=90°=∠C，又∵∠ABD=∠DBC，∴△BDF∽△BCD，∴BDBC =BFBD，∴BD2=BC⋅BF，故②正确；∵BE=DE，四边形DEBH是平行四边形，∴四边形DEBH是菱形，故③正确；条件不足，无法证明S△ADF=29S△ABC.故④错误，故选：C．①由题意可证四边形DEBH是平行四边形，可得GH=EG，BG=DG，由三角形中位线定理可得EG//DF，GE=12DF，可得GH=12DF；②通过证明△BDF∽△BCD，可得BDBC =BFBD，可证BD2=BC⋅BF；③由菱形的判定可证四边形EBHD 是菱形；④条件不足，无法证明．本题是三角形综合题，考查了直角三角形的性质，菱形的判定和性质，三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质等知识点，数形结合并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．9.【答案】54【解析】解：∵x 2=y 4≠0， ∴y =2x ，则3x+y 2y =3x+2x 4x=54． 故答案为：54．直接利用已知得出y =2x ，即可代入化简得出答案．此题主要考查了比例的性质，得出y 与x 之间的关系是解题关键．10.【答案】18【解析】解：根据图表给出的数据可得，摸到白球的频率将会接近0.4，所以可估计口袋中白种颜色的球的个数是：30×0.4=12(个)，则口袋中黑球有30−12=18(个)．故答案为：18．根据图表给出的数据得出白球的频率，再用总球的个数乘以白球的频率，求出白球的个数，再用总个数减去白球的个数即可得出黑球的个数．本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．11.【答案】127【解析】解：∵直线a//b//c，∴DEEF =ABBC=25，∴ABAC =DEDF=22+5，∴AB6=27，解得：AB=127，故答案为：127．平行线分线段成比例定理的内容是：一组平行线截两条直线，所截的线段对应成比例，根据平行线分线段成比例解答即可．本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．12.【答案】30%【解析】解：该校这两个月借阅图书的月均增长率是x，依题意，得：500(1+x)2=845，解得：x1=0.3=30%，x2=−2.3(不合题意，舍去)．故答案为：30%．该校这两个月借阅图书的月均增长率是x，根据该校9月份及11月份借阅图书数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．13.【答案】(3√3−3)【解析】解：如图，连接BE，交AC于O，∵△ACE是等边三角形，四边形ABCD是正方形，∴EA=EC，BA=BC，∴BE垂直平分AC，∵四边形ABCD是面积为6cm2的正方形，△ACE是等边三角形，∴AB=BC=√6(cm)，∴AC=√2AB=2√3(cm)，∴AE=2√3(cm)，AO=12AC=√3(cm)，∴Rt△AOE中，EO=√AE2−AO2=3(cm)，∴阴影部分面积=S△ACE−S△ACD=12×AC×EO−12×6=12×2√3×3−3=(3√3−3)cm2，故答案为：(3√3−3).连接BE，交AC于O，依据等边三角形和正方形的性质，即可得到AO的长，依据勾股定理即可得到EO的长，最后根据阴影部分面积=S△ACE−S△ACD进行计算．本题主要考查了正方形的性质、等边三角形的性质以及勾股定理的运用，正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角．14.【答案】12【解析】解：观察图象可知，至少要用12张菱形纸片．故答案为：12．利用图象法，画出图形判断即可．本题考查相似多边形的性质，菱形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用图象法解决问题．15.【答案】解：如图，四边形EFGH即为所求．【解析】过平行四边形的对角线的交点，画两条互相垂直直线EG ，FH ，J 交平行四边形ABCD 的边于E ，G ，F ，H ，连接EF ，FG ，GH ，HE ，四边形EFGH 即为所求． 本题考查作图−复杂作图，平行四边形的性质，菱形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．16.【答案】解：x 2+2x +2=8x +4，x 2+2x −8x =−2+4，x 2−6x =2，配方得：x 2−6x +9=2+9，(x −3)2=11，开方得：x −3=±√11，解得：x 1=3+√11，x 2=3−√11．【解析】移项，合并同类项，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．17.【答案】解：8x 2−2x −3=0，b 2−4ac =(−2)2−4×8×(−3)=100，x =−b±√b 2−4ac 2a=2±√1002×8， x 1=34，x 2=−12．【解析】先求出b 2−4ac 的值，再代入公式求出即可．本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键．18.【答案】解：根据题意，得：△=22−4×(k −1)×(−1)>0且k −1≠0， 解得k >0且k ≠1，所以k 的最小整数解为2．【解析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根得出△=22−4×(k −1)×(−1)>0，结合一元二次方程的定义知k −1≠0，从而得出答案．本题主要考查根的判别式和一元二次方程的定义，解题的关键是掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2−4ac有如下关系：①当△>0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△<0时，方程无实数根．19.【答案】解：(1)根据题意画图如下：共有6种等可能的结果数；(2)∵共有6种等可能的结果数，其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色的有3种，∴游戏者获胜的概率是36=12．【解析】(1)根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数即可；(2)找出一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．20.【答案】(1)证明：∵AF，AG分别是△ABC和△ADE的高，∴AF⊥BC，AG⊥DE，∴∠AFB=90°，∠AGD=90°，∴∠BAF+∠B=90°，∠DAG+∠ADG=90°，∵∠BAF=∠DAG，∴∠B=∠ADG，又∵∠EAD=∠BAC，∴△ABC∽△ADE；(2)解：∵△ADE∽△ABC，∴ADAB =DEBC，∵ADAB =25，BC=3，∴25=3BC，∴BC=152．【解析】(1)由直角三角形的性质得出∠B=∠ADG，可证明△ABC∽△ADE；(2)由相似三角形的性质可得出答案．本题考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．21.【答案】解：设这个正方形的边长为x cm，则原长方形的长为(x+5)cm，宽为(x+ 2)cm，依题意，得：(x+5)(x+2)=54，整理，得：x2+7x−44=0，解得：x1=4，x2=−11(不合题意，舍去)．答：这个正方形的边长为4cm．【解析】设这个正方形的边长为xcm，则原长方形的长为(x+5)cm，宽为(x+2)cm，根据原长方形的面积为54cm2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．22.【答案】(1)证明：∵CB=CA，∴∠A=∠B，∵∠ACM=∠A+∠B，∴∠A=12∠ACM，∵CN平分∠ACM，∴∠ACF=12∠ACM，∴∠A=∠ACF，∵E是AC的中点，∴AE=CE，在△ADE与△CFE中，{∠A=∠ECFAE=CE∠AED=∠CEF，∴△ADE≌△CFE(ASA)，∴AD=CF；(2)解：当∠ACB=90°，四边形ADCF是正方形，理由：∵AC=BC，∠ACB=90°，∴△ACB是等腰直角三角形，∴∠BAC=45°，∵CN平分∠ACM，∴∠ACF=12∠ACM=45°，∴∠DAC=∠ACF，∴AD//CF，由(1)知AD=CF，∴四边形ADCF是平行四边形，∵点D是AB的中点，∴AD=CD，∴∠ACD=∠CAD=45°，∴∠DCF=90°，∴矩形ADCF是正方形．【解析】(1)根据等腰三角形的性质得到∠A=∠B，根据外角的性质定理得到∠A=1 2∠ACM，由角平分线的定义得到∠ACF=12∠ACM，求得∠A=∠ACF，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论；(2)由已知条件得到△ACB是等腰直角三角形，求得∠BAC=45°，推出AD//CF，由(1)知AD=CF，得到四边形ADCF是平行四边形，根据直角三角形的性质得到AD=CD，求得∠ACD=∠CAD=45°，根据正方形的判定定理得到结论．本题考差了正方形的判定，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．23.【答案】280【解析】解：(1)80+5÷0.5×20=280(件)． 故答案为：280．(2)设每件商品降价x 元，则销售每件商品的利润为(25−15−x)元，平均每天可售出80+x0.5×20=(40x +80)件，依题意，得：(25−15−x)(40x +80)=1280， 整理，得：x 2−8x +12=0， 解得：x 1=2，x 2=6， ∴25−x =23或19．答：每件商品的定价应为23元或19元．(3)当x =2时，40x +80=160<200，不合题意，舍去； 当x =6时，40x +80=320>200，符合题意， ∴25−x =19．答：商品的销售单价为19元．(1)根据每天的平均销售量=80+降低的价格÷0.5×20，即可求出结论；(2)设每件商品降价x 元，则销售每件商品的利润为(25−15−x)元，平均每天可售出80+x 0.5×20=(40x +80)件，根据每天的总利润=销售每件商品的利润×平均每天的销售量，即可得出关于x 的一元二次方程，解之即可得出结论；(3)由(2)的结论结合平均每天至少要销售200件该商品，可确定x 的值，再将其代入(40x +80)中即可求出结论．本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：(1)根据各数量之间的关系，列式计算；(2)找准等量关系，正确列出一元二次方程；(3)将x 的值代入(40x +80)中，求出平均每天的销售量．24.【答案】(3−√52)2(3−√52)3 (3−√52)n BP 1 BQ 1 y =(√5−12)4a (√5−1)223a +(√5−1)324a +(√5−1)425a +(√5−1)526a πa ⋅[(√5−1)22+(√5−1)322+(√5−1)423+(√5−1)423]【解析】解：【探索发现】：由题意可知：BP 2=(3−√52)2AB ，BP 3=(3−√52)3AB ， 故答案为：(3−√52)2，(3−√52)3．【归纳提炼】：由规律可知：BP n =(3−√52)nAB ． 故答案为：(3−√52)n．【解释应用】：且点P 2为线段P 1B 的黄金分割点，点Q 2为线段BQ 1的黄金分割点， ∵BC =√5−12AB ，BP 1=√5−12BC ，BQ 1=√5−12BP 1，BP 2=√5−12BQ 1，所有矩形相似， ∴BP 2，BQ 2为领边的“黄金矩形”的周长y 与a 的关系式：y =(√5−12)4a. 故答案为：BP 1，BQ 2，y =(√5−12)4a.【拓展延伸】：(1)设图2中四个正方形①，②，③，④的边长分别为a 1，a 2，a 3，a 4， 设AB =x ，BC =y ，则2x +2y =a ， ∴2x +2⋅√5−12x =a ， ∴x =√5−14a ，y =(√5−1)223a ， ∴a 1+a 2+a 3+a 4=(√5−1)223a +(√5−1)324a +(√5−1)425a +(√5−1)526a.(2)如图3，将正方形③和④的位置重新排列，再分别在每个正方形中作四分之一圆弧，四段弧可以连出一条优美的曲线，称为“黄金螺旋线”． 请直接写出这条曲线的长度：14⋅π(a 1+a 2+a 3+a 4)=14π⋅[(√5−1)223a +(√5−1)324a +(√5−1)425a +(√5−1)526a]=πa ⋅[(√5−1)22+(√5−1)322+(√5−1)423+(√5−1)423]. 故答案为：πa ⋅[(√5−1)22+(√5−1)322+(√5−1)423+(√5−1)423]. 【探索发现】：根据黄金分割的定义计算即可； 【归纳提炼】：探究规律，利用规律解决问题即可；【解释应用】：根据相似多边形的性质相似比等于周长比，解决问题即可； 【拓展延伸】：(1)分别求出a 1，a 2，a 3，a 4即可解决问题； (2)利用弧长公式计算即可．本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，黄金分割，解直角三角形，相似多边形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会探究规律的方法，属于中考常考题型．25.【答案】解：(1)∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=90°，∵AB=6cm，BC=9cm，∴AC=√AB2+BC2=√62+82=10，∵EQ⊥AC，∴∠EQC=∠B=90°，∵∠ECQ=∠ACB，∴△ECQ∽△ACB，∴EQAB =CQCB=ECAC，∴EQ6=2t8=EC10，∴EQ=32t，EC=52t，∵点E在BQ的垂直平分线上，∴EB=EQ，∴8−52t=32t，∴t=2．(2)如图2中，过点Q作QH⊥AB于H，则AQ=10−2t，QH=45AQ=45(10−2t)，∵AP=t，∴S△APQ=12⋅AP⋅QH=12⋅t⋅45(10−2t)=−45t2+4t，∴y=S△ABC−S△APQ=12×6×8−(−45t2+4t)=45t2−4t+24(0<t≤165).(3)①如图2−1中，当DC=DF时，连接DF，取AC的中点J，连接BJ，和点B作BH⊥AC于H，过点F作FK⊥CD于K．∵∠ABC=90°，AJ=JC，∴BJ=AJ=JC=12AC=5，∴∠JBC=∠JCB，∴∠BJH=∠BCJ+∠JCB=2∠JCB，∵E，F关于AC对称，∴∠ACE=∠ACF，CF=CE=52t ∴∠FCE=2∠ACB=∠BJH，∵FK⊥CD，CB⊥CD，∴FK//CB，∴∠CFK=∠FCE=∠BJH，∵BH⊥AC，∴S△ACB=12⋅AB⋅CB=12⋅AC⋅BH，∴BH=AB⋅BCAC =245，∵FD=FC，FK⊥CD，∴CK=KD=3，∵∠BJH=∠CFK，∴sin∠BJH=sin∠CFK，∴BHBJ =CKCF，∴2455=352t，∴t=54，②当CF=CD时，52t=6，∴t=125，综上所述，满足条件的t 的值为54或125．【解析】(1)证明△ECQ∽△ACB ，可得EQAB =CQCB =ECAC ，可得EQ6=2t 8=EC10，推出EQ =32t ，EC =52t ，由题意点E 在BQ 的垂直平分线上，推出EB =EQ ，由此构建方程，求解即可．(2)如图2中，过点Q 作QH ⊥AB 于H ，则AQ =10−2t ，QH =45AQ =45(10−2t)，根据y =S △ABC −S △APQ ，求解即可．(3)分两种情形：①如图2−1中，当DC =DF 时，连接DF ，取AC 的中点J ，连接BJ ，和点B 作BH ⊥AC 于H ，过点F 作FK ⊥CD 于K.证明∠BJH =∠CFK ，可得sin∠BJH =sin∠CFK ，由此构建方程求解．②当CF =CD 时，构建方程，求解即可．本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．。
安徽省六安市汇文中学2020-2021学年第一学期九年级数学期中考试试卷
2020—2021年度六安市汇文中学九年级期中测试数学试卷姓名：考试时间：得分：的本试卷共23题，共150分，共6页。
考试时间120分钟。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，请先将自己的答题卡卷头填写完整。
2．答题时请按要求用笔，作图可先使用铅笔画出。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是正确的）1、抛物线y=x2，y=-3x2，y=x2的共同性质是（）A．开口向上B．都有最大值C．对称轴都是x轴 D．顶点都是原点2、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，cos∠B=，则BC（）A．6 B．8 C．9 D．15第2题图第5题图第7题图3、要得到二次函数y=-x2图象，可将y=-（x-1）2+2的图象如何移动（）A．向左移动1单位，向上移动2个单位B．向右移动1单位，向上移动2个单位C．向左移动1单位，向下移动2个单位D．向右移动1单位，向下移动2个单位4、如果点C是线段AB的黄金分割点，那么下列线段的比值不可能是黄金比的是（）A．AB:BC B．BC:AC C．BC:AB D．AC:BC5、如图，在△ABC中,点D在BC边上,连接AD,点E在AC边上，过点E作EF∥BC，交AD于点F，过E作EG ∥AB,交BC于点G,则下列式子一点正确的是（）A．=B．=C．=D．=6、反比例函数y=图象上有三个点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），其中x1＜0 ＜x2＜x3，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y3＜y1C．y1＜y3＜y2D．y3＜y2＜y17、如图，在△ABC中, AB=AC,∠BAC=120°，BC=2，D为BC的中点，AE=AB，则△EBD的面积为（）A． B． C． D．8、如图，在正方形方格纸中，每个小方格边长为1，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于点O，则sin ∠BOD的值等于（）A． B．C．D．第8题图第13题图第14题图9、已知关于x的二次函数y=（x-h）2+3，当1≤x≤3时，函数有最小值2h，则h的值为（）A．B．或2 C．或6 D．或2或610、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=AC=2,CD⊥AB于点D，点R从点A出发，沿A-D-C的路径运动,运动到点C停止,过点P作PE⊥AC于点E,作PF⊥BC于点F,设点P的运动路程为x，四边形CEPF的面积为y，则能反映y与x之间函数关系的图象是（）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11、已知=，则 = _________.12、已知二次函数y=x2+x+m，当x取任意实数时，都有y＞0，则m的取值范围是________.13、如图，在△ABO的顶点A在函数y=（x＞0）的图像上∠ABO=90°，过AO边的三等分点M、N分别作x 轴的平行线交AB于点P、Q.若四边形MNQP的面积为3,则k的值为________.14、如图矩形ABCD中,AD=5,AB=7,E为DC上一个动点，把△ADE沿AE折叠，当点D的对应点D’落在∠ABC 的角平分线上，DE的长为________.15、计算求值：cos245°—sin30°tan60°+sin60°.16、已知二次函数y=-x2+bx+c与x轴的交点（-1，0）和（3，0），求其函数解析式并通过配方法求出函数的最大值。
2020-2021学年人教版第一学期九年级期中考试数学试卷(含答案)
九年级期中考试数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.观察下列图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.2.若x=1是方程x2+ax-2=0的一个根，则a的值为（）A. 0B. 1C. 2D. 33.将二次函数y=2（x-1）2+2的图象向左平移2个单位长度得到的新图象的表达式为（）A. B. C. D.4.在平面直角坐标系中，将点P(a,b)关于原点对称得到点P1，再将点P1向左平移2个单位长度得到点P2，则点P2的坐标是（）A. (b−2,−a)B. (b+2,−a)C. (−a+2,−b)D. (−a−2,−b)5.同一坐标系中，抛物线y＝(x－a)2与直线y＝a＋ax的图象可能是( )A. B. C. D.6.一元二次方程x2-6x+5=0的两根分别是x1、x2，则x1+x2的值是( )A. 6B. -6C. 5D. -57.如图，已知在△ABC中，∠ABC=90°,AB=8,BC=6，将线段AC绕点A顺时针旋转得到AD，且∠DAC=∠BAC，连接CD，且△ACD的面积为（）A. 24B. 30C. 36D. 408.有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染的人数是（）A. 5人B. 6人C. 7人D. 8人9.已知关于x的一元二次方程（k-1）x2-2x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A. B. C. D. 且10.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则在下列各式子：①abc＞0；②a+b+c＞0；③a+c ＞b；④2a+b=0；⑤△=b2-4ac＜0；⑥3a+c＞0；⑦（m2-1）a+(m-1)b≥0（m为任意实数）中成立式子（）A. ②④⑤⑥⑦B. ①②③⑥⑦C. ①③④⑤⑦D. ①③④⑥⑦二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每小题3分，第13～18题每小题3分，共30分）11.如图，已知点A(2，0)，B(0，4)，C(2，4)，D(6，6)，连接AB，CD，将线段AB绕着某一点旋转一定角度，使其与线段CD重合（点A与点C重合，点B与点D重合），则这个旋转中心的坐标为________．12.某乡村种的水稻2018年平均每公顷产3200kg ，2020年平均每公顷产5000kg ，则水稻每公顷产量的年平均增长率为________．13.一抛物线的形状，开口方向与y=3x2−3x+1相同，顶点在(-2，3)，则此抛物线的解析式为2________．14.如图，是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的一部分，已知抛物线的对称轴为x=2，与x轴的一个交点是（-1，0），则方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根是________15.如图，四边形ABCD是正方形，P在CD上，△ADP旋转后能够与△ABP′重合，若AB＝3，DP＝1，则PP′＝________．16.如图，已知AB⊥BC，AB=12cm，BC=8cm.一动点N从C点出发沿CB方向以1cm/s的速度向B 点运动，同时另一动点M由点A沿AB方向以2cm/s的速度也向B点运动，其中一点到达B点时另一点也随之停止，当△MNB的面积为24cm2时运动的时间t为________秒.17.如图，在边长为6的等边△ABC中，AD是BC边上的中线，点E是△ABC内一个动点，且DE＝2，将线段AE绕点A逆时针旋转60°得到AF，则DF的最小值是________．18.如图，抛物线y=−14x2+12x+2与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点D在抛物线上，且CD∥AB.AD与y轴相交于点E，过点E的直线PQ平行于X轴，与拋物线相交于P、Q两点，则线段PQ的长为________.三、解答题（本大题共8小题，共90分．解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明）19.如图，AC是正方形ABCD的对角线，△ABC经过旋转后到达△AEF的位置．（1）指出它的旋转中心；（2）说出它的旋转方向和旋转角是多少度；（3）分别写出点A，B，C的对应点．20.已知关于x的一元二次方程x2+(k−1)x+k−2=0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）任意写出一个k值代入方程，并求出此时方程的解．21.已知二次函数y=x2-4x+3，设其图象与x轴的交点分别是A、B（点A在点B的左边），与y轴的交点是C，求：（1）A、B、C三点的坐标；（2）△ABC的面积．22.一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件.（1）若降价3元，则平均每天销售数量为________件；（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？23.跳绳时，绳甩到最高处时的形状是抛物线. 正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距AB为6米，到地面的距离AO和BD均为0. 9米，身高为1. 4米的小丽站在距点O的水平距离为1米的点F处，绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶点E. 以点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系, 设此抛物线的解析式为y=ax2+bx+0.9.（1）求该抛物线的解析式；（2）如果身高为1. 85米的小华也想参加跳绳，问绳子能否顺利从他头顶越过？请说明理由；（3）如果一群身高在1. 4米到1. 7米之间的人站在OD之间,且离点O的距离为t米, 绳子甩到最高处时必须超过他们的头顶,请结合图像,写出t的取值范围________.24.将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图①方式摆放，其中∠ACB＝∠DEB＝90°，∠A＝∠D＝30°，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F．（1）连接BF，求证：CF＝EF．（2）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角α，且0°＜α＜60°，其他条件不变，如图②，求证：AF+EF＝DE．（3）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角β，且60°＜β＜180°，其他条件不变，如图③，你认为（2）中的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请直接写出AF、EF与DE之间的数量关系．25.如图，已知抛物线y=1x2+bx与直线y=2x交于点O（0，0），A（a，12），点B是抛物线上2O、A之间的一个动点，过点B分别作x轴和y轴的平行线与直线OA交于点C、E，（1）求抛物线的函数解析式；（2）若点C为OA的中点，求BC的长；（3）以BC、BE为边构造矩形BCDE，设点D的坐标为（m，n），求出m、n之间的关系式.26.在一-次数学研究性学习中，小兵将两个全等的直角三角形纸片ABC和DEF拼在一起，使点A与点F 重合，点C与点D重合(如图1)，其中∠ACB=∠DFE=90°，BC=EF=3cm，AC=DF=4 cm，并进行如下研究活动。
江苏省盐城市滨海县2020-2021学年九年级上学期期中考试数学试题及评分标准
江苏省盐城市滨海县2020-2021学年九年级上学期期中考试数学试题（时间：120分钟 试卷满分：150分）一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置．．．．．．．上．） 1．一元二次方程23210x x --=的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）A ．3，2，1B ．3，2，1-C ．3，2-，1-D ．3-，2，1- 2．用配方法解一元二次方程2430x x +-=时，原方程可变形为A ．2(2)1x +=B ．2(2)7x +=C ．2(2)13x +=D ．2(2)19x +=3．在一次数学测试中，小明成绩120分，超过班级半数同学的成绩，分析得出这个结论所用的统计量是（ ） A ．中位数B ．众数C ．平均数D ．方差4．用频率估计概率，可以发现抛掷硬币“正面朝上”的概率为0.5，那么掷一枚质地均匀的硬币10次，下列说法正确的是（ ）A ．每两次必有1次正面向上B ．可能有5次正面向上C ．必有5次正面向上D ．不可能有10次正面向上 5．一元二次方程0122=++x x 的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根 6．圆锥的母线长为4，底面半径为2，则此圆锥的侧面积是（ ） A ．6π B ．8π C ．12π D ．16π 7．如图，在⊙O 中， ，70C ∠=︒，则A ∠的度数为（ ） A ．30︒B ．35︒C ．40︒D ．50︒8．如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 、C 的坐标分别为(1,4),(5,4),(1,0)，则以A 、B 、C 为顶点的三角形外接圆的圆心坐标是（ ） A ．(3,2)B ．(2,3)C ．(1,3)D ．(3,1)二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．）9．一元二次方程2310x x +-=根的判别式的值为 ▲ ．10．一组数4、5、4、6、x 、5、7、3中，其唯一的众数是4，则x 的值是 ▲ ． 11．若方程2230x x +-=的两根为1x 、2x ，则1212x x x x ⋅+的值为 ▲ ．12．从甲、乙两种玉米种子中选择一种合适的推荐给某地．考虑到庄稼人对玉米的产量和产量的稳定性十分的关心．选择之前，为了解甲、乙两种玉米种子的情况，某单位各用了10块自然条件相同的试验田进行试验，得到各试验田每公顷产量（单位：t ）的数据，这两组数据的平均数分别是x 甲≈7.5，x第7题第8题O CBAO CBAy x乙≈7.5，方差分别是S 甲2＝0.1，S 乙2＝0.002，你认为应该选择的玉米种子是 ▲ ．13．如图是一个游戏转盘，自由转动转盘，当转盘停止转动后，指针落在字母“C ”所示区域内的概率是▲ ．14．如图，正六边形ABCDEF 内接于半径为5的圆，则B 、E 两点间的距离为 ▲ ．15．如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点H ，若AB ＝10，CD ＝8，则OH 的长度为 ▲ ． 16．如图，四个三角形拼成一个风车图形，若AB =3，当风车转动90°时，点B 运动路径的长度为 ▲ ．17．如图，AB 是⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，DC 切⊙O 于点C ，若25A ∠=︒，则D ∠等于 ▲ º． 18．如图是－张长6cm ，宽5cm 的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形（阴影部分），剩余部分可制成底面积是6cm 2的有盖的长方体铁盒．则剪去的正方形的边长为 ▲ cm ． 三、解答题（本大题共9小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）19．（本题满分8分）解下列方程：（1）2236x -=（） （2）23230x x -+-=（）（）20．（本题满分10分）已知m 是方程2230x x --=的一个根，求()()()2233m m m -++-的值． 21．（本题满分10分）已知关于x 的一元二次方程22120x m x m +++-=（）． （1）试说明无论m 取何值时，方程总有两个不相等的实数根；（2）若该方程有两个实数根分别为1x 和2x ，当121231x x x x ++=时，求m 的值． 22．（本题满分10分）如图，P A 、PB 是⊙O 的切线，A 、B 为切点，连接AO 并延长， 交PB 的延长线于点C ，连接PO ，交⊙O 于点D ． （1）求证：PO 平分∠APC ；（2）连接DB ，若∠C ＝30°，求证：DB ∥AC ． 23．（本题满分10分）第16题第17题第18题C BAOD CBAPOD CBA第13题 第14题第15题60°DCB A 60°120°H ODCB AFEDCBA复工复学后，为防控冠状病毒，学生进校园必须戴口罩，测体温．某校开通了两种不同类型的测温通道共三条．分别为：红外热成像测温（A通道）和人工测温（B通道和C通道）．在三条通道中，每位同学都可随机选择其中的一条通过，某天早晨，该校小明和小丽两位同学将随机通过测温通道进入校园．（1）小明从A测温通道通过的概率是▲；（2）请用列表或画树状图的方法求小明和小丽从不同类型．．．．测温通道通过的概率．24．（本题满分10分）在5月31日世界禁烟日到来之际，某校为了提高学生的禁烟意识，在七、八年级举办了“关爱健康，远离香烟”的知识竞赛，为了了解本次竞赛的成绩情况，从两个年级各随机抽取了10名同学的成绩（满分为100分），进行调查分析，过程如下：第一步：收集数据七年级：90，95，95，80，90，80，85，90，85，100；八年级：85，85，95，80，95，90，90，90，100，90.第二步：整理数据（1）请直接写出表格中的值：a＝▲；b＝▲；c＝▲；d＝▲；（2）该校七、八年级各有．．学生600人，本次竞赛成绩不低于90分的为“优秀”.估计这两个年级共有多少名学生达到“优秀”？25．（本题满分12分）某商场销售一批衬衫，平均每天可售出30件，每件盈利50元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施．经调査发现，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件．（1）若某天该衬衫每件降价5元，则当天该衬衫的销量为▲件，当天可获利▲元；（2）设每件衬衫降价x元，则商场日销售量增加▲件，每件衬衫盈利▲元（用含x的代数式表示）；（3）如果商场销售这批衬衫要保证每天盈利2000元，同时尽快减少库存，那么衬衫的单价应降多少元？26．（本题满分12分）如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，分别交BC、AC于点D、E．（1）求证：BD＝CD；（2）若∠ABC＝63°，求∠BDE的度数；（3）过点D作⊙O的切线，交AB的延长线于点F，当AO＝DF＝4时，求图中阴影部分的面积．27.（本题满分14分）OECDFBA如图1，在平面直角坐标系中，直线y x m =-+过点A (3,3)，与x 轴交于点B ，过点A 作AC ⊥y 轴于点C , 动点E 从点O 出发，以每秒1个单位长度的速度，沿O →C →A 的路线向终点A 运动，同时动点F 从点B 出发，以相同速度沿BO 的方向向终点O 运动，当点E 到达点A 时，点E 和点F 都停止运动，在运动过程中，设动点E 运动的时间为t 秒．（1）B 点的坐标为 ▲ ，C 点的坐标为 ▲ ； （2）当t 为何值时，△AEF 的面积为5？（3）如图2，当点E 在CA 上运动时，过动点F 作FH ⊥x 轴，交线段OA 于点H ．是否存在某个时刻，使得以A 、E 、H 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．（4）如图3，以点A 为圆心，2为半径作⊙A ，若M 为⊙A 上一动点，连接BM ，点N 为BM 的中点，请直接写出ON 的长度取值范围．参考答案及评分标准一、选择题（本大题共8小题，每题3分，计24分）二、填空题（本大题共10小题，每题3分，计30分）9．13 10．4 11．32 12．乙 13．1314．10 15．3 16．32π 17．40 18．1 三、解答题（本大题共9小题，计96分）19．（1）解：26x -=± ………………………………………2分 ∴18x =，24x =- ………………………………………4分 （2）()()3320x x --+= ………………………………………2分∴13x =，21x = ………………………………………4分20．解：（1）()()()2233m m m -++-22449m m m =-++-2245m m =-- ………………………………………4分 ∵m 是方程2230x x --=的一个根∴2230m m --= ………………………………………6分 ∴223m m -= ………………………………………7分 ∴原式2245m m =-- 22(2)5m m =--图3NM xy AOBC图2HFECBOAy x235=⨯-1= ……………………………………10分 21．解：（1）224(21)4(2)b ac m m -=+--249m =+ ……………………………………2分 ∵240m ≥ ……………………………………3分 ∴249m +＞0 ……………………………………4分 即24b ac -＞0∴无论m 取何值时，方程总有两个不相等的实数根……………………………………5分（2）∵x 1和x 2是该方程的两个实数根 ∴1221x x m +=-- 122x x m ⋅=- ………………………………………7分又∵121231x x x x ++=∴213(2)1m m --+-= ………………………………………8分 ∴8m = ………………………………………10分 22．解：（1）如图，连接OB∵P A ，PB 是⊙O 的切线 ∴OA ⊥P A ，OB ⊥PB …………………………3分 ∵OA ＝OB …………………………4分 ∴PO 平分∠APC …………………………5分 （2）∵OA ⊥AP ，OB ⊥BP ∴∠CAP ＝∠OBP ＝90°∵∠C ＝30°∴∠APC ＝90°－∠C ＝60° ………………………………………6分 ∵PO 平分∠APC∴∠OPC ＝12∠APC ＝1602⨯︒＝30° ………………………………………7分∴∠POB ＝90°－∠OPC ＝90°－30°＝60° 又∵OD ＝OB∴△ODB 是等边三角形 ………………………………………8分 ∴∠OBD ＝60°∴∠DBP ＝∠OBP －∠OBD ＝90°－60°＝30° ∴∠DBP ＝∠C∴DB ∥AC ………………………………………10分23．解：（1）13； ………………………………………3分（2）列表格如下：结果 A B C A （A ，A ） （B ，A ） (C ，A) B (A ，B) (B ，B) (C ，B) C(A ，C)(B ，C)(C ，C)………………………………………8分由表可知，共有9种等可能的结果，其中小明和小丽从不同类型测温通道通过的有4种可能，所以小明和小丽从不同类型测温通道通过的概率为49．…………………10分 24．解：（1）2；90；90；90 ………………………………………8分PO D CBA（2）766006007801010⨯+⨯=（人）∴估计这两个年级共有780人达到优秀………………………………………10分25．（1）40，1800 ………………………………………4分 （2）2x ；(50-x ) ………………………………………8分 （3）解：设衬衫的单价应降价x 元，根据题意得：（50-x ）（30+2x ）＝2000 ………………………………………10分x 2-35x +250＝0解得：x 1＝10，x 2＝25． ………………………………………11分 为了去库存，∴x 1＝10应舍去答：单价应降25元． ………………………………………12分26．（1）证明：连接AD∵AB 为⊙O 的直径 ∴∠ADB =90º ………………………………………2分 即AD ⊥BC又∵AB =AC∴BD =CD ………………………………………4分（2）解：∵AB =AC ∴∠ABC =∠C 又∵∠ABC =63º∴∠BAC =180º-63 º-63 º=54 º ………………………………………6分 在⊙O 中， ∠BAC +∠BDE =180º∴∠BDE =180º-54º=126º ………………………………………8分 （3）解：连接OD∵DF 为⊙O 的切线 ∴∠ODF =90º 在⊙O 中，OA =OD 而OA =DF =4 ∴OD =DF=4 ∴∠FOD =45º ………………………………………10分∴14482ODF S ∆=⨯⨯= 24542360OBD S ππ⨯==扇形 ………………………………………11分∴82S π=-阴影 ………………………………………12分27．解：（1）（6，0）；（0，3） ………………………………………2分（2）当0≤t ≤3时，点E 在OC 上运动由题意知：OE =t ；BF =t∵B （6，0）；C （0，3） ∴CE =3－t ； OF =6－t ∴1111336352222t t t t （3+6）（3）-（）- ∴2680t t -+=∴ 12t ，24t （舍去） ……………………………………4分 当3＜t ≤6时，点E 在CA 上运动OE CDFB A此时AE =6－t ∴1(62t -⨯）3=5 ∴83t （舍去）∴当t 的值为2时，△AEF 的面积为5 ………………………………………6分（3）∵A (3,3)∴∠COA =∠AOB =∠EAH =45º 又∵FH ⊥x 轴 ∴OF =FH =6-t∴OH)t -∴AH=)t -=- AE =6-t ………………………………………8分 ①若EH =AH延长FH 交AE 于点G 则HG ⊥AC∴AG =EG =12AE∵∠EAH =45º∴AG=32AH t =- ∴136)2t t -=-（∴4t ………………………………9分②若AE =AH ，则6t -=-∴t =………………………………10分③若AE =EH过点E 作EK ⊥AH则AK =12AH∵AE =6-t ∴AK=)22AE t =-1)2t -=-（ ∴92t = ………………………………………11分综上，当t 的值为4或或92时，△AEH 为等腰三角形.（41-≤ON1+ ………………………………………14分。
2020-2021学年天津市南开区九年级(上)期中数学试卷
2020-2021学年天津市南开区九年级（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选中只有一项是符合题目要求的。
1．（3分）方程（x﹣1）（x+3）＝0的解是（）A．x＝1B．x＝﹣3C．x1＝1，x2＝3D．x1＝﹣3，x2＝1 2．（3分）下列图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．3．（3分）已知⊙O中，最长的弦长为16cm，则⊙O的半径是（）A．4cm B．8cm C．16cm D．32cm4．（3分）下列各点中，在二次函数y＝x2﹣8x﹣9图象上的点是（）A．（1，﹣16）B．（﹣1，﹣16）C．（﹣3，﹣8）D．（3，24）5．（3分）如图，在圆O中，弦AB＝4，点C在AB上移动，连接OC，过点C做CD⊥OC 交圆O于点D，则CD的最大值为（）A．2B．2C．D．6．（3分）如图，AB是⊙O的弦，OD⊥AB于D交⊙O于E，则下列说法错误的是（）A．AD＝BD B．∠ACB＝∠AOE C．D．OD＝DE 7．（3分）如图，四边形ABCD内接于圆O，连接OB，OD，若∠BOD＝∠BCD，则∠BAD 的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．120°8．（3分）如图，若△ABC绕点A按逆时针方向旋转50°后与△AB1C1重合，则∠AB1B＝（）A．50°B．55°C．60°D．65°9．（3分）参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛110场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是（）A．x（x+1）＝110B．x（x﹣1）＝110C．x（x+1）＝110D．x（x﹣1）＝11010．（3分）关于二次函数y＝2x2+x﹣1，下列说法正确的是（）A．图象与y轴的交点坐标为（0，1）B．图象的对称轴在y轴的右侧C．当x＜0时，y的值随x值的增大而减小D．y的最小值为﹣11．（3分）已知点A（﹣2，y1），B（1，y2），c（5，y3）在二次函数y＝﹣3x2+k的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y3＜y1＜y2D．y1＜y3＜y2 12．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣，0），对称轴为直线x＝1，下列5个结论：①abc＜0；②a﹣2b+4c＝0；③2a+b＞0；④2c﹣3b＜0；⑤a+b≤m（am+b）．其中正确的结论有（）A．4 个B．3 个C．2 个D．1 个二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分.13．（3分）点A（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是．14．（3分）用配方法将二次函数y＝x2﹣6x+11化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，其结果为．15．（3分）如图，小正方形方格的边长都是1，点A、B、C、D、O都是小正方形的顶点．若△COD是由△AOB绕点O按顺时针方向旋转一次得到的，则至少需要旋转°．16．（3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝60°，BC＝6，则⊙O的半径是．17．（3分）已知一等腰三角形的一边长为5，另一边长为方程x2﹣8x+12＝0的根，该等腰三角形的周长为．18．（3分）当m﹣2≤x≤m时，函数y＝x2﹣4x+4的最小值为4，则m的值为．三、解答题（本大题共7小题，共66分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19．（8分）解一元二次方程：（1）（x﹣2）2＝9；（2）x2+2x﹣1＝0．20．（8分）已知，关于x的方程x2+2（2﹣k）x+3﹣6k＝0．（Ⅰ）若x＝1是方程的一个根，求k的值及方程的另一根；（Ⅱ）若k为任意实数，判断此时方程的根情况．21．（10分）如图，已知抛物线y＝﹣x2+（m﹣1）x+m的对称轴为x＝1，请你解答下列问题：（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）求出抛物线与x轴的交点；（Ⅲ）当y随x的增大而减小时x的取值范围是．（Ⅳ）当y＜0时，x的取值范围是．22．（10分）大学毕业生小李自主创业，开了一家小商品超市．已知超市中某商品的进价为每件20元，售价为每件30元，每个月可卖出180件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月就会少卖出10件，但每件售价必须低于34元，设每件商品的售价上涨x元（x为非负整数），每个月的销售利润为y元．（1）求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；（2）利用函数关系式求出每件商品的售价为多少元时，每个月可获得最大利润？最大利润是多少？（3）利用函数关系式求出每件商品的售价为多少元时，每个月的利润恰好是1920元？这时每件商品的利润率是多少？23．（10分）如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC．若AB＝8，CD＝2，求EC的长．24．（10分）已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点A，点B，与y轴负半轴交于点C，且OC＝OB，其中B点坐标为（3，0），对称轴为直线x＝．（Ⅰ）求抛物线的解析式；（Ⅱ）若在x轴上方有一点P（m，n），连接P A后满足∠P AB＝∠CAB，记△PBC的面积为S，求S与m的函数关系．25．（10分）已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CD⊥AB于D．（Ⅰ）如图1，将线段CD绕点C顺时针旋转90°得到CF，连接AF交CD于点G，求证：AG＝GF；（Ⅱ）如图2，点E是线段CB上一点（CE＜CB），连接ED，将线段ED绕点E顺时针旋转90°得到EF，连接AF交CD于点G，若AC＝BC＝7，CE＝2，求DG的长．2020-2021学年天津市南开区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选中只有一项是符合题目要求的。
河南省许昌市禹州市2020-2021学年上学期期中考试九年级数学试卷
2020-2021学年河南省许昌市禹州市九年级（上）期中数学试卷一、选择题（每题3分，共30分）1．（3分）下列古钱币图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．（3分）抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+1的顶点坐标是（）A．（﹣2，1）B．（﹣1，1）C．（1，1）D．（1，﹣2）3．（3分）如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，则∠BCD等于（）A．16°B．24°C．34°D．46°（3分）若x＝1是关于x的一元二次方程x2+ax+2b＝0的解，则2020﹣2a﹣4b的值为（）4．A．2018 B．2019 C．2020 D．20225．（3分）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点P是，则∠APB的大小是（）A．15°B．30°C．45°D．60°6．（3分）若关于x的方程x2﹣2x﹣k＝0有实数根，则k的值可能为（）A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．07．（3分）如图，⊙O的直径CD＝12，AB是⊙O的弦，垂足为P，CP：PO＝1：2（）A．B．C．16 D．88．（3分）函数y＝ax2﹣a（a≠0）与y＝ax﹣a（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC关于x轴对称，∠ABC＝90°，OA＝21B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2021次得到四边形OA2021B2021C2021，那么点B2021的坐标是（）A．B．（3，0）C．D．（﹣3，0）10．（3分）如图所示的抛物线形构件为某工业园区的新厂房骨架，为了牢固起见，构件需要每隔0.4m加设一根不锈钢的支柱，则该抛物线形构件所需不锈钢支柱的总长度为（）A．0.8m B．1.6m C．2m D．2.2m二、填空题（每题3分，共15分）（3分）若一元二次方程x2﹣c＝0的一个根为x＝，则另一个根为．11．12．（3分）将抛物线y＝（x﹣3）2﹣2向右平移1个单位长度后经过点A（2，m），则m的值为．13．（3分）某市中学生篮球联赛实行单循环制，参加的每两支球队之间都要进行一场比赛，共要比赛45场，根据题意，可列方程为．14．（3分）如图，以O为圆心的圆与直线y＝﹣x+2相交于A，B两点，则的长度为．15．（3分）如图，在Rt△ABC中，C为直角顶点，O为斜边AB的中点，将OA绕点O逆时针旋转θ（0°＜θ＜180°），当△BCP恰为以BC为腰的等腰三角形时，θ的值为．三、解答题（共8小题，满分75分）16．（8分）解方程：（x﹣3）2＝2x﹣617．（9分）如图，在单位长度为1的平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣4，5），B（﹣3，0），C（﹣2，2）．（1）若△ABC经过平移后得到△A1B1C1，已知点C1的坐标为（3，2），写出顶点A1，B1的坐标，并画出△A1B1C1．（2）将△ABC绕点O按逆时针方向旋转90°得到△A2B2C2，画出△A2B2C2．（3）若△ABC和△A3B3C3关于原点O成中心对称，画出△A3B3C3．18．（9分）如图，在半圆O中，P是直径AB上一动点，过点P作PC⊥AB交半圆O于点C，连接BC小明根据学习函数的经验，对线段AP，CP，请补充完整．对于动点P 在AB 上的不同位置，画图，测量，CP ，PD 的长度的几组值位置长度 位置1 位置2 位置3 位置4 位置5 位置6 位置7 位置8 位置9 位置10AP /cm 0.37 0.88 1.59 2.01 2.44 3.00 3.58 4.37 5.03 5.51CP /cm 1.45 2.12 2.65 2.83 2.95 3.00 2.95 2.67 2.21 1.65PD /cm1.40 1.962.27 2.31 2.27 2.13 1.87 1.39 0.89 0.48 在AP ，CP ，PD 的长度这三个量中，CP 的长度和PD 的长度都是这个自变量的函数．（1）在同一平面直角坐标系xOy 中，分别画出CP ，PD 的长度关于AP 的长度的函数图象．（2）结合函数图象，解决问题：当CP ＝2PD 时，AP 的长度约为 cm ．（精确到0.1cm ）19．（9分）地摊经济开放以来，小王以每个40元的价格购进一种玩具，计划以每个60元的价格销售（个）与每个降价x （元）（0＜x ＜20）之间满足一次函数关系（1）求y 与x 之间的函数解析式．（2）该玩具每个降价多少元时，小王获利最大？最大利润是多少元？20．（9分）如图，△ABC 为⊙O 的内接三角形，BC 为⊙O 的直径（不与端点重合），作DG ⊥BC ，分别交AC 和⊙O 于点E ，F ，已知AG ＝EG ．（1）求证：AG 为⊙O 的切线．（2）已知AG ＝2，填空：①当∠AEG ＝ 时，四边形ABOF 为菱形；②若OC ＝2DC ，当AB ＝ 时，△AGE 为等腰直角三角形．21．（10分）阅读材料：各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，一元三次方程x3﹣2x2﹣3x＝0，通过因式分解可以把它转化为x（x2﹣2x﹣3）＝0，解方程x＝0和x2﹣2x﹣3＝0，可得方程x3﹣2x2﹣3x＝0的解．问题：（1）方程x3﹣2x2﹣3x＝0的解是x1＝0，x2＝，x3＝．（2）求方程x3＝6x2+16x的解．拓展：（3）用“转化”思想求方程＝x的解．22．（10分）问题发现：（1）如图1，已知C为线段AB上一点，∠ACD＝90°，CA＝CD，连接AE、BD，则AE、BD之间的数量关系为，位置关系为；拓展探究：（2）如图2，把Rt△ACD绕点C逆时针旋转，则AE与BD之间的关系是否仍然成立？请说明理由．拓展延伸：（3）如图3，已知AC＝CD，∠ACD＝∠BCE＝90°，连接AB、AE、AD，若AB＝5，AC＝323．（11分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）交x轴于A，B两点（﹣4，0），AO＝2BO．（1）求抛物线的解析式；（2）D是抛物线位于第三象限的一动点，过点D作y轴的平行线，分别交线段AC，F两点，请问线段DE是否存在最大值？若存在；若不存在，请说明理由；（3）在抛物线的对称轴上存在点P，使得∠OPC＝∠OAC，请直接写出点P的坐标．2020-2021学年河南省许昌市禹州市九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题3分，共30分）1．（3分）下列古钱币图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A．不是轴对称图形，故本选项不符合题意；B．既是轴对称图形，故本选项符合题意；C．不是轴对称图形，故本选项不符合题意；D．不是轴对称图形，故本选项不符合题意．故选：B．2．（3分）抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+1的顶点坐标是（）A．（﹣2，1）B．（﹣1，1）C．（1，1）D．（1，﹣2）【解答】解：∵抛物线为y＝﹣2（x﹣1）7+1，∴顶点坐标（1，7）．故选：C．3．（3分）如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，则∠BCD等于（）A．16°B．24°C．34°D．46°【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠ABD＝56°，∴∠A＝90°﹣∠ABD＝90°﹣56°＝34°，∴∠BCD＝∠A＝34°，故选：C．（3分）若x＝1是关于x的一元二次方程x2+ax+2b＝0的解，则2020﹣2a﹣4b的值为（）4．A．2018 B．2019 C．2020 D．2022【解答】解：把x＝1代入方程x2+ax+4b＝0得1+a+5b＝0，∴a+2b＝﹣3，∴2020﹣2a﹣4b＝2020﹣7（a+2b）＝2020﹣2×（﹣4）＝2022．故选：D．5．（3分）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点P是，则∠APB的大小是（）A．15°B．30°C．45°D．60°【解答】解：连接OA、OB∵∠AOB＝＝60°，∴∠APC＝∠AOC＝30°，故选：B．6．（3分）若关于x的方程x2﹣2x﹣k＝0有实数根，则k的值可能为（）A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．0【解答】解：∵关于x的方程x2﹣2x﹣k＝6有实数根，∴Δ＝4+4k≥7，解得：k≥﹣1．故选：D．7．（3分）如图，⊙O的直径CD＝12，AB是⊙O的弦，垂足为P，CP：PO＝1：2（）A．B．C．16 D．8【解答】解：连接OA，如图，∵AB⊥CD，∴AP＝BP，∵CD＝12，∴OC＝6，∵CP：PO＝1：3，，∴OP＝4，在Rt△OAP中，AP＝，∴AB＝2AP＝4．故选：A．8．（3分）函数y＝ax2﹣a（a≠0）与y＝ax﹣a（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解：①当a＞0时，二次函数y＝ax2﹣a的图象开口向上、对称轴为y轴，一次函数y＝ax﹣a（a≠6）的图象经过第一、三，且两个函数的图象交于y轴同一点；②当a＜0时，二次函数y＝ax2﹣a的图象开口向下、对称轴为y轴，一次函数y＝ax﹣a（a≠2）的图象经过第一、二，且两个函数的图象交于y轴同一点．对照四个选项可知C正确．故选：C．9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC关于x轴对称，∠ABC＝90°，OA＝21B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2021次得到四边形OA2021B2021C2021，那么点B2021的坐标是（）A．B．（3，0）C．D．（﹣3，0）【解答】解：连接AC交OB于E．由题意，OA＝OC＝2，∠ABC＝90°，∵四边形AOCB关于x轴对称，∴∠AOE＝30°，∠ABE＝45°，∴OE＝OA•cos30°＝．AE＝EB＝OA•sin30°＝2，∴B（+1，B6（0，+3），B2（﹣﹣8，B3（0，﹣﹣1），观察图象可知，4次一个循环，∵2021÷4＝505…1，∴B2021的坐标与B1相同，故选：A．10．（3分）如图所示的抛物线形构件为某工业园区的新厂房骨架，为了牢固起见，构件需要每隔0.4m加设一根不锈钢的支柱，则该抛物线形构件所需不锈钢支柱的总长度为（）A．0.8m B．1.6m C．2m D．2.2m【解答】解：如图，由题意建立坐标系，0.5），8）．设抛物线的解析式为y＝ax2+c，代入得，，∴抛物线的解析式为．当x＝0.4时，y＝0.48，当x＝0.7时，y＝0.32．∴B1C2+B2C2+B4C3+B4C2＝2×（0.48+5.32）＝1.6m，故选：B．二、填空题（每题3分，共15分）11．（3分）若一元二次方程x2﹣c＝0的一个根为x＝，则另一个根为x＝﹣．【解答】解：把x＝代入方程得：c＝3，方程为x2﹣3＝0，即x2＝3，开方得：x＝或x＝﹣，则另一根为x＝﹣．故答案为：x＝﹣．12．（3分）将抛物线y＝（x﹣3）2﹣2向右平移1个单位长度后经过点A（2，m），则m的值为 2 ．【解答】解：把抛物线y＝（x﹣3）2﹣4向右平移1个单位长度后得到y＝（x﹣3﹣3）2﹣2，即y＝（x﹣6）2﹣2．∵经过A（2，m），∴m＝（2﹣4）2﹣2＝2，解得：m＝8．故答案是：2．13．（3分）某市中学生篮球联赛实行单循环制，参加的每两支球队之间都要进行一场比赛，共要比赛45场，根据题意，可列方程为x（x﹣1）＝45 ．【解答】解：设参加比赛的球队有x支，依题意得：x（x﹣6）＝45．故答案为：x（x﹣4）＝45．14．（3分）如图，以O为圆心的圆与直线y＝﹣x+2相交于A，B两点，则的长度为．【解答】解：如图，设直线y＝﹣x+2交坐标轴于点C、D，当x＝0时，y＝2，x＝2，∴点C的坐标为（0，2），0），∴CD＝2，∵S△COD＝CD•OE＝，∴OE＝，∵△OAB是等边三角形，∴OA＝＝＝，∴的长度为：＝．故答案为：．15．（3分）如图，在Rt△ABC中，C为直角顶点，O为斜边AB的中点，将OA绕点O逆时针旋转θ（0°＜θ＜180°），当△BCP恰为以BC为腰的等腰三角形时，θ的值为40°或100°．【解答】解：当BC＝BP时，如图1．∵∠ACB＝90°，O为斜边AB的中点，∴CO＝OA＝OP＝OB，∴△COB≌△POB，∴∠ABP＝∠ABC＝20°，∴θ＝2×20°＝40°；当BC＝PC时，如图8，∴∠P＝∠ABC＝∠OCB＝∠OCP＝20°，∴∠COP＝∠COB＝140°，∴θ＝140°﹣40°＝100°．故答案为：40°或100°．三、解答题（共8小题，满分75分）16．（8分）解方程：（x﹣3）2＝2x﹣6 【解答】解：∵（x﹣3）2＝4（x﹣3），∴（x﹣3）6﹣2（x﹣3）＝8，则（x﹣3）（x﹣5）＝6，∴x﹣3＝0或x﹣3＝0，解得：x1＝2，x2＝5．17．（9分）如图，在单位长度为1的平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣4，5），B（﹣3，0），C（﹣2，2）．（1）若△ABC经过平移后得到△A1B1C1，已知点C1的坐标为（3，2），写出顶点A1，B1的坐标，并画出△A1B1C1．（2）将△ABC绕点O按逆时针方向旋转90°得到△A2B2C2，画出△A2B2C2．（3）若△ABC和△A3B3C3关于原点O成中心对称，画出△A3B3C3．【解答】解：（1）如图，△A1B1C6为所作；A1（1，6），B1（2，6）；（2）如图，△A2B2C2为所作．（3）如图，△A3B3C4为所作．18．（9分）如图，在半圆O中，P是直径AB上一动点，过点P作PC⊥AB交半圆O于点C，连接BC小明根据学习函数的经验，对线段AP，CP，请补充完整．对于动点P 在AB 上的不同位置，画图，测量，CP ，PD 的长度的几组值位置长度 位置1 位置2 位置3 位置4 位置5 位置6 位置7 位置8 位置9 位置10AP /cm 0.37 0.88 1.59 2.01 2.44 3.00 3.58 4.37 5.03 5.51CP /cm 1.45 2.12 2.65 2.83 2.95 3.00 2.95 2.67 2.21 1.65PD /cm1.40 1.962.27 2.31 2.27 2.13 1.87 1.39 0.89 0.48 在AP ，CP ，PD 的长度这三个量中，CP 的长度和PD 的长度都是这个自变量的函数．（1）在同一平面直角坐标系xOy 中，分别画出CP ，PD 的长度关于AP 的长度的函数图象．（2）结合函数图象，解决问题：当CP ＝2PD 时，AP 的长度约为 4.50 cm ．（精确到0.1cm ）【解答】解：（1）作函数图象如下：（2）由图象可推断：当CP ＝2PD 时，线段AP 的长度约为4.50．故答案为：3.50．19．（9分）地摊经济开放以来，小王以每个40元的价格购进一种玩具，计划以每个60元的价格销售（个）与每个降价x （元）（0＜x ＜20）之间满足一次函数关系（1）求y 与x 之间的函数解析式．（2）该玩具每个降价多少元时，小王获利最大？最大利润是多少元？【解答】解：（1）设y与x之间的函数解析式为y＝kx+b，当x＝1时，y＝110，y＝140，∴解得∴y与x之间的函数解析式为y＝10x+100（8＜x＜20）．（2）设该玩具每个降价x元时，小王获利最大．根据题意得w＝（60﹣40﹣x）（10x+100）＝﹣10x2+100x+2000，∴w＝﹣10（x﹣5）6+2250，故该玩具每个降价5元时，小王获利最大．20．（9分）如图，△ABC为⊙O的内接三角形，BC为⊙O的直径（不与端点重合），作DG⊥BC，分别交AC和⊙O于点E，F，已知AG＝EG．（1）求证：AG为⊙O的切线．（2）已知AG＝2，填空：①当∠AEG＝60°时，四边形ABOF为菱形；②若OC＝2DC，当AB＝4时，△AGE为等腰直角三角形．【解答】（1）证明：如图，连接OA，∵AG＝GE，∴∠GAE＝∠GEA，∵DG⊥BC，∴∠GDC＝90°，∴∠ACO+∠DEC＝90°，∵∠DEC＝∠GEA，∴∠GEA+∠ACO＝90°．∵OA＝OC，∴∠CAO＝∠ACO，∴∠CAO+∠GAE＝90°，即∠GAO＝90°，∵OA为半径，∴OA⊥AG，∴AG为⊙O的切线；（2）解：①如图，连接OA，AF，∵四边形ABOF是菱形，∴AB＝BO＝OF＝AF＝OA，∴△ABO是等边三角形，∴∠B＝60°，∵BC是直径，∴∠BAC＝90°∴∠ACB＝90°﹣60°＝30°，∵ED⊥BC，∴∠DEC＝90°﹣∠ACB＝60°，∴∠AEG＝∠DEC＝60°．故答案为：60°；②如图，连接OA，∵△AGE是等腰直角三角形，∴∠AEG＝∠DEC＝∠DCE＝45°，∴△EDC，△ABC都是等腰直角三角形，∵OB＝OC，∴AO⊥OC，∴∠AOD＝∠ODG＝∠G＝90°，∴四边形AODG是矩形，∴AG＝OD＝2，∴OC＝2OD＝5，∴BC＝2OC＝8，∴AB＝AC＝6，故答案为：4．21．（10分）阅读材料：各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，一元三次方程x3﹣2x2﹣3x＝0，通过因式分解可以把它转化为x（x2﹣2x﹣3）＝0，解方程x＝0和x2﹣2x﹣3＝0，可得方程x3﹣2x2﹣3x＝0的解．问题：（1）方程x3﹣2x2﹣3x＝0的解是x1＝0，x2＝ 3 ，x3＝﹣1 ．（2）求方程x3＝6x2+16x的解．拓展：（3）用“转化”思想求方程＝x的解．【解答】解：（1）∵x2﹣2x﹣3＝0，∴（x﹣3）（x+5）＝0．∴x﹣3＝8或x+1＝0．∴x＝5或x＝﹣1．故答案为：3，﹣6；（2）方程x3＝6x3+16x，可化为x3﹣6x2﹣16x＝0，∴x（x2﹣6x﹣16）＝0，∴x（x+2）（x﹣7）＝0．∴x＝0或x+4＝0或x﹣8＝2，∴x1＝0，x4＝﹣2，x3＝2．（3），方程两边平方2，即x6+2x﹣15＝0，∴（x+5）（x﹣3）＝0，∴x+3＝0或x﹣3＝7，∴x1＝﹣5，x5＝3．当x＝﹣5时，＝＝5≠﹣5，故﹣4不是原方程的解，舍去；当x＝3时，＝＝3．∴x＝3是原方程的解．22．（10分）问题发现：（1）如图1，已知C为线段AB上一点，∠ACD＝90°，CA＝CD，连接AE、BD，则AE、BD之间的数量关系为AE＝BD，位置关系为AE⊥BD；拓展探究：（2）如图2，把Rt△ACD绕点C逆时针旋转，则AE与BD之间的关系是否仍然成立？请说明理由．拓展延伸：（3）如图3，已知AC＝CD，∠ACD＝∠BCE＝90°，连接AB、AE、AD，若AB＝5，AC＝3【解答】解：（1）如图1，延长BD交AE于H，在△ACE和△DCB中，，∴△ACE≌△DCB（SAS），∴AE＝BD，∠AEC＝∠DBC，∵∠CDB＝∠HDE，∴∠EHD＝∠DCB＝90°，即AE⊥BD，故答案为：AE＝BD；AE⊥BD；（2）AE与BD之间的关系仍然成立，理由如下：如图2，设BD，∵∠ACD＝∠BCE＝90°，∴∠ACD+∠DCE＝∠BCE+∠DCE，即∠ACE＝∠DCB，在△ACE和△DCB中，，∴△ACE≌△DCB（SAS），∴AE＝BD，∠AEC＝∠DBC，∵∠FPE＝∠CPB，∴∠EFP＝∠PCB＝90°，即AE⊥BD；（3）如图5，连接BD，由（2）的方法可得：△ACE≌△DCB，∴AE＝BD，在Rt△ACD中，AC＝CD＝3，由勾股定理得：AD＝＝3，当点A在BD上时，BD最大，∴线段AE的最大值为5+3．23．（11分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）交x轴于A，B两点（﹣4，0），AO＝2BO．（1）求抛物线的解析式；（2）D是抛物线位于第三象限的一动点，过点D作y轴的平行线，分别交线段AC，F两点，请问线段DE是否存在最大值？若存在；若不存在，请说明理由；（3）在抛物线的对称轴上存在点P，使得∠OPC＝∠OAC，请直接写出点P的坐标．【解答】解：（1）∵点A的坐标为（﹣4，0），∴点B的坐标为（4，0），设抛物线的解析式为y＝a（x+4）（x﹣4），且过点C（0，∴﹣8a＝﹣7，解得，∴抛物线的解析式为，即；（2）存在，理由如下：如图1，设直线AC的解析式为y＝kx﹣3，将点A（﹣6，0）代入y＝kx﹣3，得，∴直线AC的解析式为，设点D的坐标为（m，m2+m﹣3），﹣m﹣3），∴，∵，∴当m＝﹣2时，DE有最大值，∴点E的坐标为（﹣2，﹣）；（3）如图2，以线段AC为直径作⊙M，Q两点，MQ，垂足为N，∵点A的坐标为（﹣6，0），﹣3），∴AC中点M的坐标为（﹣8，﹣），∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣8，∴MN＝﹣1﹣（﹣2）＝6，由勾股定理得AC＝5，∴，在Rt△MNP中，，MN＝1，∴，∵点N的坐标为（﹣8，﹣）；∴点P的坐标为（﹣6，﹣+），点Q的坐标为（﹣1，﹣﹣），由圆周角定理知∠OPC＝∠OQC＝∠OAC，故点P的坐标为（﹣1，﹣﹣）或（﹣4，﹣+）．。
2020-2021学年河北省石家庄市栾城区九年级(上)期中数学试卷
2020-2021学年河北省石家庄市栾城区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题2分，共24分，把每小题的正确选项填涂在答题纸上）1．（2分）若函数y＝的图象在其所在的每一象限内，函数值y随自变量x的增大而增大，则m的取值范围是（）A．m＜﹣2B．m＜0C．m＞﹣2D．m＞02．（2分）如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么sin∠ACB的值为（）A．B．C．D．3．（2分）如图，在△ABC中，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，不一定能使△ADE 与△ABC相似的条件是（）A．∠AED＝∠B B．∠ADE＝∠C C．D．4．（2分）在一次数学测试中，小明成绩72分，超过班级半数同学的成绩，分析得出这个结论所用的统计量是（）A．中位数B．众数C．平均数D．方差5．（2分）冉冉的妈妈在网上销售装饰品．最近一周，每天销售某种装饰品的个数为：11，10，11，13，11，13，15．关于这组数据，冉冉得出如下结果，其中错误的是（）A．众数是11B．平均数是12C．方差是D．中位数是136．（2分）已知x＝1是一元二次方程（m﹣2）x2+4x﹣m2＝0的一个根，则m的值为（）A．﹣1或2B．﹣1C．2D．07．（2分）用配方法解一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0，配方正确的是（）A．（x﹣）2＝B．（x﹣）2＝C．（x﹣）2＝D．（x﹣）2＝8．（2分）已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两根，则该等腰三角形的底边长为（）A．2B．4C．8D．2或49．（2分）定义运算：m☆n＝mn2﹣mn﹣1．例如：4☆2＝4×22﹣4×2﹣1＝7，则方程1☆x ＝0的根的情况为（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．只有一个实数根10．（2分）下图中反比例函数y＝与一次函数y＝kx﹣k在同一平面直角坐标系中的大致图象是（）A．B．C．D．11．（2分）如图，小明想要测量学校操场上旗杆AB的高度，他做了如下操作：（1）在点C处放置测角仪，测得旗杆顶的仰角∠ACE＝α；（2）量得测角仪的高度CD＝a；（3）量得测角仪到旗杆的水平距离DB＝b．利用锐角三角函数解直角三角形的知识，旗杆的高度可表示为（）A．a+b tanαB．a+b sinαC．a+D．a+12．（2分）如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点E在AC边上，过点E作EF∥BC，交AD于点F，过点E作EG∥AB，交BC于点G，则下列式子一定正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分，将正确答案填写在答题纸上）13．（3分）今年某果园随机从甲、乙、丙三个品种的枇杷树中各选了5棵，每棵产量的平均数（单位：千克）及方差s2（单位：千克2）如表所示：甲乙丙454542s2 1.8 2.3 1.8明年准备从这三个品种中选出一种产量既高又稳定的枇杷树进行种植，则应选的品种是．14．（3分）如图，已知双曲线y＝上有一点A，过A作AB垂直x轴于点B，连接OA，则△AOB的面积为．15．（3分）某校在全校学生中举办了一次“交通安全知识”测试，张老师从全校学生的答卷中随机地抽取了部分学生的答卷，将测试成绩按“差”、“中”、“良”、“优”划分为四个等级，并绘制成如图所示的条形统计图．若该校学生共有2000人，则其中成绩为“良”和“优”的总人数估计为．16．（3分）如图，坡角为30°的斜坡上两树间的水平距离AC为2m，则两树间的坡面距离AB为17．（3分）方程（x+1）2＝9的根是．18．（3分）已知关于x的方程x2+2x+k＝0有两个相等的实数根，则k的值是．19．（3分）如图，EF是△ABC纸片的中位线，将△AEF沿EF所在的直线折叠，点A落在BC边上的点D处，已知△AEF的面积为7，则图中阴影部分的面积为．20．（3分）阅读下面的材料，先完成阅读填空，再按要求答题．sin230°+cos230°＝；sin245°+cos245°＝；sin260°+cos260°＝；……观察上述等式，猜想：对任意锐角A，都有sin2A+cos2A＝．三、解答题（本大题共5个小题，满分52分，解答应写出相应的文字说明、证明过程或演算步骤，将答案写在答题纸上）21．（8分）某果园有100棵桃树，一棵桃树平均结1000个桃子，现准备多种一些桃树以提高产量，试验发现，每多种一棵桃树，每棵桃树的产量就会减少2个，如果要使产量增加15.2%，且所种桃树要少于原有桃树，那么应多种多少棵桃树？22．（10分）为增强学生垃圾分类意识，推动垃圾分类进校园．某初中学校组织全校1200名学生参加了“垃圾分类知识竞赛”，为了解学生的答题情况，学校考虑采用简单随机抽样的方法抽取部分学生的成绩进行调查分析．（1）学校设计了以下三种抽样调查方案：方案一：从初一、初二、初三年级中指定部分学生成绩作为样本进行调查分析；方案二：从初一、初二年级中随机抽取部分男生成绩及在初三年级中随机抽取部分女生成绩进行调查分析；方案三：从三个年级全体学生中随机抽取部分学生成绩进行调查分析．其中抽取的样本具有代表性的方案是．（填“方案一”、“方案二”或“方案三”）（2）学校根据样本数据，绘制成下表（90分及以上为“优秀”，60分及以上为“及格”）：样本容量平均分及格率优秀率最高分最低分10093.5100%70%10080分数段统计（学生成绩记为x）分数段0≤x＜8080≤x＜8585≤x＜9090≤x＜9595≤x≤100频数05253040请结合表中信息解答下列问题：①估计该校1200名学生竞赛成绩的中位数落在哪个分数段内；②估计该校1200名学生中达到“优秀”的学生总人数．23．（10分）一次函数y1＝kx+b与反比例函数y2＝（n＞0）交于点A（1，3），B（3，m）．（1）分别求两个函数的解析式；（2）根据图象直接写出，当x为何值时，y1＜y2；（3）在x轴上找一点P，使得△OAP的面积为6，求出P点坐标．24．（12分）如图，BE、CD是△ABC的高，连接DE．（1）求证：AE•AC＝AB•AD；（2）若∠BAC＝120°，点M为BC的中点，求证：DE＝DM．25．（12分）共抓长江大保护，建设水墨丹青新岳阳，推进市中心城区污水系统综合治理项目，需要从如图A，B两地向C地新建AC，BC两条笔直的污水收集管道，现测得C地在A地北偏东45°方向上，在B地北偏西68°方向上，AB的距离为7km，求新建管道的总长度．（结果精确到0.1km，sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，≈1.41）2020-2021学年河北省石家庄市栾城区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题2分，共24分，把每小题的正确选项填涂在答题纸上）1．（2分）若函数y＝的图象在其所在的每一象限内，函数值y随自变量x的增大而增大，则m的取值范围是（）A．m＜﹣2B．m＜0C．m＞﹣2D．m＞0【解答】解：∵函数y＝的图象在其所在的每一象限内，函数值y随自变量x的增大而增大，∴m+2＜0，解得：m＜﹣2，故选：A．2．（2分）如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么sin∠ACB的值为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，过点A作AH⊥BC于H．在Rt△ACH中，∵AH＝4，CH＝3，∴AC＝＝＝5，∴sin∠ACH＝＝，故选：D．3．（2分）如图，在△ABC中，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，不一定能使△ADE 与△ABC相似的条件是（）A．∠AED＝∠B B．∠ADE＝∠C C．D．【解答】解：由题意得，∠A＝∠A，A、当∠ADE＝∠B时，△ADE∽△ABC；故本选项不符合题意；B、当∠ADE＝∠C时，△ADE∽△ACB；故本选项不符合题意；C、当时，不能推断△ADE与△ABC相似；故选项符合题意；D、当时，△ADE∽△ACB；故本选项不符合题意．故选：C．4．（2分）在一次数学测试中，小明成绩72分，超过班级半数同学的成绩，分析得出这个结论所用的统计量是（）A．中位数B．众数C．平均数D．方差【解答】解：班级数学成绩排列后，最中间一个数或最中间两个分数的平均数是这组成绩的中位数，半数同学的成绩位于中位数或中位数以下，小明成绩超过班级半数同学的成绩所用的统计量是中位数，故选：A．5．（2分）冉冉的妈妈在网上销售装饰品．最近一周，每天销售某种装饰品的个数为：11，10，11，13，11，13，15．关于这组数据，冉冉得出如下结果，其中错误的是（）A．众数是11B．平均数是12C．方差是D．中位数是13【解答】解：数据11，10，11，13，11，13，15中，11出现的次数最多是3次，因此众数是11，于是A选项不符合题意；将这7个数据从小到大排列后，处在中间位置的一个数是11，因此中位数是11，于是D 符合题意；＝（11+10+11+13+11+13+15）÷7＝12，即平均数是12，于是选项B不符合题意；S2＝[（10﹣12）2+（11﹣12）2×3+（13﹣12）2×2+（15﹣12）2]＝，因此方差为，于是选项C不符合题意；故选：D．6．（2分）已知x＝1是一元二次方程（m﹣2）x2+4x﹣m2＝0的一个根，则m的值为（）A．﹣1或2B．﹣1C．2D．0【解答】解：把x＝1代入（m﹣2）x2+4x﹣m2＝0得：m﹣2+4﹣m2＝0，﹣m2+m+2＝0，解得：m1＝2，m2＝﹣1，∵（m﹣2）x2+4x﹣m2＝0是一元二次方程，∴m﹣2≠0，∴m≠2，∴m＝﹣1，故选：B．7．（2分）用配方法解一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0，配方正确的是（）A．（x﹣）2＝B．（x﹣）2＝C．（x﹣）2＝D．（x﹣）2＝【解答】解：由原方程，得x2﹣x＝，x2﹣x+＝+，（x﹣）2＝，故选：A．8．（2分）已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两根，则该等腰三角形的底边长为（）A．2B．4C．8D．2或4【解答】解：x2﹣6x+8＝0（x﹣4）（x﹣2）＝0解得：x＝4或x＝2，当等腰三角形的三边为2，2，4时，不符合三角形三边关系定理，此时不能组成三角形；当等腰三角形的三边为2，4，4时，符合三角形三边关系定理，此时能组成三角形，此时三角形的底边长为2，故选：A．9．（2分）定义运算：m☆n＝mn2﹣mn﹣1．例如：4☆2＝4×22﹣4×2﹣1＝7，则方程1☆x ＝0的根的情况为（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．只有一个实数根【解答】解：由题意可知：1☆x＝x2﹣x﹣1＝0，∴Δ＝1﹣4×1×（﹣1）＝5＞0，∴有两个不相等的实数根故选：A．10．（2分）下图中反比例函数y＝与一次函数y＝kx﹣k在同一平面直角坐标系中的大致图象是（）A．B．C．D．【解答】解：（1）当k＞0时，一次函数y＝kx﹣k经过一、三、四象限，反比例函数经过一、三象限，如图所示：（2）当k＜0时，一次函数y＝kx﹣k经过一、二、四象限，反比例函数经过二、四象限．如图所示：故选：B．11．（2分）如图，小明想要测量学校操场上旗杆AB的高度，他做了如下操作：（1）在点C处放置测角仪，测得旗杆顶的仰角∠ACE＝α；（2）量得测角仪的高度CD＝a；（3）量得测角仪到旗杆的水平距离DB＝b．利用锐角三角函数解直角三角形的知识，旗杆的高度可表示为（）A．a+b tanαB．a+b sinαC．a+D．a+【解答】解：过C作CF⊥AB于F，则四边形BFCD是矩形，∴BF＝CD＝a，CF＝BD＝b，∵∠ACF＝α，∴tanα＝＝，∴AF＝b•tanα，∴AB＝AF+BF＝a+b tanα，故选：A．12．（2分）如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点E在AC边上，过点E作EF∥BC，交AD于点F，过点E作EG∥AB，交BC于点G，则下列式子一定正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝【解答】解：∵EF∥BC，∴，∵EG∥AB，∴，∴，故选：C．二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分，将正确答案填写在答题纸上）13．（3分）今年某果园随机从甲、乙、丙三个品种的枇杷树中各选了5棵，每棵产量的平均数（单位：千克）及方差s2（单位：千克2）如表所示：甲乙丙454542s2 1.8 2.3 1.8明年准备从这三个品种中选出一种产量既高又稳定的枇杷树进行种植，则应选的品种是甲．【解答】解：因为甲、乙的平均数比丙大，所以甲、乙的产量较高，又甲的方差比乙小，所以甲的产量比较稳定，即从这三个品种中选出一种产量既高又稳定的枇杷树进行种植，则应选的品种是甲；故答案为：甲．14．（3分）如图，已知双曲线y＝上有一点A，过A作AB垂直x轴于点B，连接OA，则△AOB的面积为2．【解答】解：根据题意得△OAB的面积＝×|4|＝2．故答案为：2．15．（3分）某校在全校学生中举办了一次“交通安全知识”测试，张老师从全校学生的答卷中随机地抽取了部分学生的答卷，将测试成绩按“差”、“中”、“良”、“优”划分为四个等级，并绘制成如图所示的条形统计图．若该校学生共有2000人，则其中成绩为“良”和“优”的总人数估计为1100人．【解答】解：根据题意得：2000×＝1100（人），答：其中成绩为“良”和“优”的总人数估计为1100人．故答案为：1100人．16．（3分）如图，坡角为30°的斜坡上两树间的水平距离AC为2m，则两树间的坡面距离AB为m【解答】解：在Rt△ABC中，cos A＝，∴AB＝＝，故答案为：m．17．（3分）方程（x+1）2＝9的根是x1＝2，x2＝﹣4．【解答】解：（x+1）2＝9，x+1＝±3，x1＝2，x2＝﹣4．故答案为：x1＝2，x2＝﹣4．18．（3分）已知关于x的方程x2+2x+k＝0有两个相等的实数根，则k的值是1．【解答】解：∵关于x的方程x2+2x+k＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝22﹣4×1×k＝0，解得：k＝1．故答案为：1．19．（3分）如图，EF是△ABC纸片的中位线，将△AEF沿EF所在的直线折叠，点A落在BC边上的点D处，已知△AEF的面积为7，则图中阴影部分的面积为14．【解答】解：∵EF是△ABC纸片的中位线，∴EF∥BC，BC＝2EF，∴△AEF∽△ABC，∴＝（）2，∴，∴S＝28，△ABC∵将△AEF沿EF所在的直线折叠，∴S＝S△DEF＝7，△AEF∴阴影部分的面积为＝28﹣7﹣7＝14，故答案为14．20．（3分）阅读下面的材料，先完成阅读填空，再按要求答题．sin230°+cos230°＝1；sin245°+cos245°＝1；sin260°+cos260°＝1；……观察上述等式，猜想：对任意锐角A，都有sin2A+cos2A＝1．【解答】解：sin230°+cos230°＝（）2+（）2＝+＝1，sin245°+cos245°＝（）2+（）2＝+＝1，sin260°+cos260°＝＝（）2+（）2＝+＝1，如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，∴sin A＝，cos A＝，a2+b2＝c2，∴sin2A+cos2A＝＝（）2+（）2＝＝＝1，故答案为：1，1，1，1；三、解答题（本大题共5个小题，满分52分，解答应写出相应的文字说明、证明过程或演算步骤，将答案写在答题纸上）21．（8分）某果园有100棵桃树，一棵桃树平均结1000个桃子，现准备多种一些桃树以提高产量，试验发现，每多种一棵桃树，每棵桃树的产量就会减少2个，如果要使产量增加15.2%，且所种桃树要少于原有桃树，那么应多种多少棵桃树？【解答】解：设应多种x棵桃树，则由题意可得：（100+x）（1000﹣2x）＝100×1000×（1+15.2%）整理，得：x2﹣400x+7600＝0，即（x﹣20）（x﹣380）＝0，解得：x1＝20，x2＝380因为所种桃树要少于原有桃树，所以x＝380不符合题意，应舍去，取x＝20，答：应多种20棵桃树．22．（10分）为增强学生垃圾分类意识，推动垃圾分类进校园．某初中学校组织全校1200名学生参加了“垃圾分类知识竞赛”，为了解学生的答题情况，学校考虑采用简单随机抽样的方法抽取部分学生的成绩进行调查分析．（1）学校设计了以下三种抽样调查方案：方案一：从初一、初二、初三年级中指定部分学生成绩作为样本进行调查分析；方案二：从初一、初二年级中随机抽取部分男生成绩及在初三年级中随机抽取部分女生成绩进行调查分析；方案三：从三个年级全体学生中随机抽取部分学生成绩进行调查分析．其中抽取的样本具有代表性的方案是方案三．（填“方案一”、“方案二”或“方案三”）（2）学校根据样本数据，绘制成下表（90分及以上为“优秀”，60分及以上为“及格”）：样本容量平均分及格率优秀率最高分最低分10093.5100%70%10080分数段统计（学生成绩记为x）分数段0≤x＜8080≤x＜8585≤x＜9090≤x＜9595≤x≤100频数05253040请结合表中信息解答下列问题：①估计该校1200名学生竞赛成绩的中位数落在哪个分数段内；②估计该校1200名学生中达到“优秀”的学生总人数．【解答】解：（1）根据抽样的代表性、普遍性和可操作性可得，方案三：从三个年级全体学生中随机抽取部分学生成绩进行调查分析，是最符合题意的．故答案为：方案三；（2）①样本100人中，成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数都在90≤x＜95，因此中位数在90≤x＜95组中；②由题意得，1200×70%＝840（人），答：该校1200名学生中达到“优秀”的有840人．23．（10分）一次函数y1＝kx+b与反比例函数y2＝（n＞0）交于点A（1，3），B（3，m）．（1）分别求两个函数的解析式；（2）根据图象直接写出，当x为何值时，y1＜y2；（3）在x轴上找一点P，使得△OAP的面积为6，求出P点坐标．【解答】解：（1）把A（1，3）代入y2＝得n＝1×3＝3，∴反比例函数解析式为y2＝，把B（3，m）代入y2＝得3m＝3，解得m＝1，则B（3，1），把A（1，3），B（3，1）代入y1＝kx+b得，解得，∴一次函数解析式为y1＝﹣x+4；（2）当0＜x＜1或x＞3时，y1＜y2；（3）设P（t，0），∵△OAP的面积为6，∴×|t|×3＝6，解得t＝4或﹣4，∴P点坐标为（﹣4，0）或（4，0）．24．（12分）如图，BE、CD是△ABC的高，连接DE．（1）求证：AE•AC＝AB•AD；（2）若∠BAC＝120°，点M为BC的中点，求证：DE＝DM．【解答】证明：（1）∵BE、CD是△ABC的高，∴∠AEB＝∠ADC＝90°，而∠EAB＝∠DAC，∴△AEB∽△ADC，∴AB：AC＝AE：AD，∴AE•AC＝AB•AD；（2）连接ME，如图，∵∠BAC＝120°，∴∠BAE＝60°，∴∠EBA＝30°，∵点M为BC的中点，∴MB＝ME＝MD＝MC，∴点B、E、D、C在以M点为圆心，MD为半径的圆上，∴∠DME＝2∠EBD＝2×30°＝60°，∴△MED为等边三角形，∴DE＝DM．25．（12分）共抓长江大保护，建设水墨丹青新岳阳，推进市中心城区污水系统综合治理项目，需要从如图A，B两地向C地新建AC，BC两条笔直的污水收集管道，现测得C地在A地北偏东45°方向上，在B地北偏西68°方向上，AB的距离为7km，求新建管道的总长度．（结果精确到0.1km，sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，≈1.41）【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，根据题意可知：AB＝7，∠ACD＝45°，∠CBD＝90°﹣68°＝22°，∴AD＝CD，∴BD＝AB﹣AD＝7﹣CD，在Rt△BCD中，∵tan∠CBD＝，∴≈0.40，∴CD≈2，∴AD＝CD＝2，∴BD≈7﹣2≈5，∴AC＝2≈2.82，BC＝≈≈5.41，∴AC+BC≈2.82+5.41≈8.2（km）．答：新建管道的总长度约为8.2km．。