自动控制原理第五章

5.一阶微分环节
传递函数: G ( s ) 1 s
频率特性: G(j ) 1 j
幅频特性 A 及相频特性
A 1
2
( ) arctan( )
Im

幅相频率特性

0
0
90 0
1
Re
6. 振荡环节（二阶系统）
n
n
n
可见：当频率接近 时，将产生谐振 峰值。谐振峰值的幅值取决于阻尼比的大 小。通过计算：
谐振频率：
谐振峰值：
7. 二阶微分环节
幅频特性
相频特性
8. 延迟环节
幅频特性 相频特性
开环对数频率特性的绘制：
可见，当开环系统由若干典型环节串联组成时， 其对数幅频特性和相频特性分列为各典型环节的对 数幅频特性和相频特性之和。因此绘制系统开环对 数频率特性的方法之一，就是画出各环节的对数频 率特性，然后相加。
G (j ) 1 jT 1
1. 幅频特性 A 及相频特性
A 1
T 1
2 2
( ) arctan T
Im Re 0
当
1 T
A( ) 0.707 A(0) 时 4
2.幅相频率特性
Bode图的优点： 1.可将幅值相乘转化为对数相加运算； 2.可以在较大频段范围内表示系统频率特性；
典型环节的bode图
1. 放大环节
G(jω)=K
2. 积分环节
3. 微分环节
4. 惯性环节
低频段
高频段
分析表明：惯性环节具有低通特性，对低频输入能 精确地复现，而对高频输入要衰减，且产生相位迟 后。因此，它只能复现定常或缓慢变化的信号。
开环频率特性绘制的基本步骤：
1. 将开环传函写成基本环节相乘的形式； 2. 计算各基本环节的转折频率，并标在横轴上； 3. 设最小的转折频率为 ，先绘制 的低频 区域图形，在此频段范围内，只有积分（微分） 或比例环节起作用，直线或其延长线过（1， 20lgk），斜率为-20vdB/dec； 4. 按由低频到高频的顺序将已画好的低频部分的 直线或折线延长，每遇到一个转折频率，折线 斜率在原来的基础上加上对应的转折频率所对 应的斜率； 5. 如有必要，对上述折线渐近线加以修正。
π j 2
1. 幅频特性 A 及相频特性 ( ) A 2 2.幅相频率特性

Im
G j j 0 j
0
900
Re
4.惯性环节（一阶系统）
传递函数: G( s )
1 频率特性: Ts 1
用MATLAB画出上面例子中的乃氏图, num=[10];den=conv([0.2 1 0],[0.05 1]); nyquist(num,den)
虚轴交点附近的放大图
二、对数频率特性图（bode图）：
1. 幅频特性图： 纵坐标：幅值的对数20lg（dB），采用线性分度； 横坐标：用频率ω的对数lgω分度。 2.相频特性图 纵坐标：频率特性的相移，以度为单位，采用线性 分度； 横坐标：用频率ω的对数lgω分度。
频率特性是一种重要的数学模型；
表征了系统或元件对不同频率正弦输入的响应特
性。
由开环的频率特性方便的得到关于闭环系统的稳、
准、快性能；
在校正方法中，频率法校正最为方便。
四、频率特性的图形表示方法
1)幅相频率特性曲线（又称极坐标图或Nyquist奈 氏图）
在直角坐标或极坐标平面上，以ω为参变量，当ω由
或 ωg G jωg k



k 0, 1,
求出 代入实部，即得到与实轴的交点 （２）与虚轴交点的求取：
令实部等于0，求出 代入虚部，得到与虚 轴的交点。
例：开环系统的频率特性为
试绘制该系统的极坐标图
解: (1)本系统中n=3,m=0,n-m=3.v=1 (2)确定起点和终点 起点处:相角为-90°，幅值为∞； 终点处:相角为-90°×3=-270 °，幅值为0；
例：已知系统的开环传递函数为 绘制系统的开环对数频率特性图（Bode图） 解：
在绘制对数幅频特性图时，总是用基本环节的 直线或折线渐近线代替精确幅频特性，然后求和， 得到折线形式的对数幅频特性图，这样可明显减小 计算和绘图量，必要时可对折线进行修正。在求直 线渐近线的和时用到下述规则：在平面坐标上，几 条直线相加的结果和仍为一条直线，和的斜率等于 各个直线斜率的和
延迟环节
一、极坐标图
1.比例环节
传递函数: G s K 频率特性: G j K
幅相频率特性
G j K j0
Im
K , j0
0 Re
2.积分环节
传递函数: G s 1
s
频率特性: G(j )
1 1 e j
π j 2
（ （1）起点（低频段）： １ K ） G( j 0 ) H ( j 0 ) lim v 0 ( j) 起 点 可得低频段乃氏图： ： 此 时
0
(２) 终点（高频段）：此时 ，这时频率特性 与分子分母多项式阶次之差 n m有关。分析可得如 下结论：
lim G jω 0 终点处幅值： ω
2 j j 1 j2 1 j0.05 8
解: (1)写出系统的开环频率特性(标准的时间常数形式)
G j 4 1 j0.5
n
n n

7.延迟环节
传递函数: 频率特性:
=0
绘制一般系统的极坐标图步骤：
1、确定幅相曲线的起点和终点，方法如下：
K ( 1 s 1)( 2 s 1) ( m s 1) G( s) H ( s) v ,( n m ) s (T1 s 1)(T2 s 1) (Tn s 1)
例5-1 绘制图5-24所示系统的开环Bode图
R s


E s
4 1 0.5 s
2 s s 1 2 s 1 0.05 s 8
Y s
解: (1) 写出系统的开环频率特性(标准的时间常数形式)
G j 4 1 j0.5
第5章
5-1 5-2 5-3 5-4 5-5 5-6 频率特性
频率特性法
典型环节的频率特性 Nyquist稳定判据 控制系统的相对稳定性 闭环频率特性图 开环频率特性与闭环控制系统性能的关系
基本思想：
通过开环频率特性的图形对系统进行分析。 数学模型——频率特性。 主要优点： （1）不需要求解微分方程，同时物理意义明确；
（2）采用绘图的方式，形象直观、计算量少；
（3）可方便设计出能有效抑制噪声的系统 。
5-1
频率特性的概念
一、频率特性的基本概念
频率响应：系统对正弦输入的稳态响应。 已知：
当t→∞时,
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
结论：对稳定的线性定常系统，当输入为正弦信号 时，其稳态响应是与输入同一频率的正弦信号。
幅频特性：稳态响应的幅值B与输入信号的幅值A 之比 相频特性：稳态响应与输入信号的相位移
Im
lim G j ω n m 终点处相角： ω 2
nm 2
v3
GH 平面
nm3
v2
v0
K
Re
n m 1
v 1
2、确定乃氏图与实轴、虚轴交点
（１）与实轴交点的求取：令虚部为０，
Im G j ω g 0
传递函数:
2 n 1 G( s ) 2 2 s 2n s n s n 2 2 s n 1
频率特性:
G (j )
1
j
2
n 2 j n 1
2
1. 幅相频率特性
1 2 n n G (j ) j U jV 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 n n n n
0→∞时，频率特性G(jω)的轨迹。
2）对数频率特性曲线（Bode图）
幅频特性和相频特性分别与角 频率ω之间的关系
纵轴： L( ) 20lg A( )
横轴：以ω对数等分
半对数坐标系
5-2
典型环节的频率特性
比例环节 积分环节 微分环节 惯性环节（一阶系统） 一阶微分环节
振荡环节（二阶系统）
特征点——起始点、中间点、终止点
当ω=0时，U(ω)=1,V(ω)=0.起始点在实轴上的（1，j0）处。 A 1, 0o 当ω=ωn时，U(ω)=0,V(ω)=-1/2ζ。
1 π A , 2 2 当ω=∞时，U(ω)=0,V(ω)=0。
幅频特性和相频特性统称为频率特性
幅频特性 相频特性 实频特性 虚频特性
二、频率特性的求取
已知系统的运动方程，输入正弦函数求其稳态解， 取输出稳态分量和输入正弦的复数比； 根椐传递函数G(s)来求取，令s=jω即得G(jω)； 输出的傅立叶变换与输入的傅立叶变换之比； 通过实验测得。
三、频率特性的意义
1. 幅频特性 A 及相频特性 1 A ( ) 2 2.幅相频率特性 G j
1 j 1
Im 0 Re

j

1
0

0 j
3.微分环节
传递函数: 频率特性:
G s s
G(j ) j e
Im
0

1 n 1 2
0
Re
A 0, π
由幅相特性曲线可得: n , 0 ~ 90o
大
A
小
n , 90o n , 90o ~ 180o
5. 一阶微分环节
6. 二阶振荡环节
幅频特性：
相频特性：
2 n arctan 2 1 n 2 2 n arctan 2 1 n
• 相频特性
2
2. 幅频特性 A 及相频特性 1 A G j 2 2 2 1 2 n n
2 n 1 2 arctan n 2 n G(j ) j 2 2 2 2 2 2 1 n 1 2 2 1 2 2 n n n n 2 n , 0 ~ 90o 2 n arctan 2 o n , 90 1 n o o n , 90 ~ 180
(3)确定乃氏曲线与实轴、虚轴交点； 曲线与实轴交点：
令 Im[G(j)H(j)]=0 求出=10 代入频率特性的实部得Re[G(j10)H(j10)]=-0.4， 乃氏图与负实轴的交点为(-0.4,j0)。
曲线与虚轴交点：
令Re[G(j)H(j)]=0，求出=∞。 表明幅相特性曲线只在坐标原点处与虚轴相交。