大学《数学分析论文》原创
数学分析(3)论文
云南大学数学分析习作课（3）论文题目：利用幂级数求和函数问题的探究学院：数学与统计学院专业：数学与应用数学姓名、学号：王茂银 *********** 任课教师：黄辉老师时间： 2012年12月14日摘要如何对幂级数进行求和？幂级数是一种较简单的函数项级数，在幂级数理论中，对给定幂级数讨论其收敛性，求收敛幂级数的和函数是重要内容之一，幂级数求和的求解是一类难度较大技巧性较高的问题，更好地了解和掌握幂级数求和的方法和技巧对于学习幂级数具有更好的指导意义和学习价值，求幂级数和函数的方法与技巧是多种多样的，一般要综合运用求导、拼凑、分解等来求解，因此它是一个难度较大、技巧较高的有趣的数学问题。
关键词：幂级数；和函数；收敛；级数。
一、幂级数的基本概念1、幂级数的定义 设()(1,2,3)n u x n =是定义在数集X 上的一个函数列，则称12()()(),n u x u x u x x X ++++∈为定义在X 上的函数项级数，记为1()n n u x ∞=∑。
具有形如200102000()()()()n nn n n a x x a a x x a x x a x x ∞=-=+-+-++-+∑的函数项级数称为在点0x 处的幂级数。
特别地，在00()nn n a x x ∞=-∑中，令0x x x -=，即上述形式化为20120n n n n n a x a a x a x a x ∞==+++++∑称为在0点的幂级数。
2、幂级数的和函数若对幂级数中的x ∀都有230123()a a x a x a x s x ++++=，则称()s x 为幂级数的和函数。
幂级数的部分和记为230123()nn n s x a a x a x a x a x =+++++且部分和()n s x 有如下性质lim ()()nn s x s x →∞=二、幂级数收敛的判别幂级数求和是建立在级数收敛的基础上的，所以需先判断一个级数是否收 敛，可以通过以下定理判断级数收敛性。
大学数学论文(5篇)
大学数学论文(5篇)高校数学论文(5篇)高校数学论文范文第1篇参与全国高校生数学竞赛除了上述的必要条件之外，还需具备四个充分条件:如何稳固参与预赛的人数、制定合理有效的培训内容、师资队伍的建设以及经费来源等。
首先，如何有效地组织高校生参与竞赛，可谓是四个条件中最重要的一项，也是下一节笔者所讨论的重点;另外，作为数学竞赛的主要内容:《高等数学》是工科类同学必修的基础理论课，《数学分析》、《高等代数》、《解析几何》等课程是数学专业的专业基础课。
这些是数学竞赛得以顺当开展的基础。
第三，调动部分高校专任的数学老师组成竞赛培训团队也是一项重要的环节，笔者将会在第三节做具体的讨论。
最终是竞赛活动经费，笔者认为可以从以下三个方面获得:第一方面，每所高校都会有专项的创新活经费，可以从今项经费中申请一部分;其次方面，各赛区的主办方会拔给每个学校一些经费;第三方面，适当地向参与培训的同学收取(或变相地收取)一部分。
这些经费主要用于:参与竞赛的同学报名费、培训老师的课时费和同学竞赛时的考试相关费用等。
基于上述分析，在一般高校开展数学竞赛培训以及组织同学参与全国高校生数学竞赛是完全可行的并具有实际意义的。
2一般高校同学现状分析为了吸引、鼓舞更多的同学参加数学竞赛活动，必需先了解现在一般高校本科生的生源现状及其学习状态。
不得不承认，全国高校自扩招以来，一般高校高校生的质量普遍下降。
主要缘由有两个:一是高校的教育已由精英式转为大众式;二是随着扩招的进行，大多数优质生源进入了985或211这样的重点高校，这样就导致一般高校中的优质生源比例相对削减。
限于优质生源比例小的问题，再加上数学理论繁杂与浅显，学习起来困难重重，多数同学在学习数学时会产生犯难心情从而心生畏惧。
还有小部分的同学在进校时数学基础就比较差，(或由此产生的)学习数学的乐观性很低。
还有一部分同学认为数学无实际用途，从主观上学习数学的爱好消极。
基于以上几点缘由加上一些来自一般高校教学条件的限制，许多高校生的实际数学水平较低，所引发的直接结果就是学习成果下降、考试分数偏低、补考人数增多，更有甚者一些同学由于数学不及格而无法毕业。
学年论文-数学分析七大定理的相互证明
云南大学课题名称：数学分析七大定理的相互证明学院：数学与统计专业：信息与计算科学指导教师：何清海学生姓名：段飞龙学生学号：20101910050目录摘要………………………………………………………………………………………关键词……………………………………………………………………………………前言………………………………………………………………………………………结论………………………………………………………………………………………参考文献…………………………………………………………………………………摘要：数学分析中的单调有界性定理、闭区间套定理、确界存在性定理、有限覆盖定理、Weierstrass聚点定理、致密性定理以及柯西收敛准则，虽然他们的数学形式不同，但他们都描述了实数集的连续性，在数学分析中有着举足轻重的作用。
关键词：单调有界性定理闭区间套定理确界存在性定理有限覆盖定理Weierstrass聚点定理致密性定理柯西收敛准则前言：一、七大定理定理 1 单调有界性定理（1）、上确界上确界的定义“上确界”的概念是数学分析中最基本的概念。
考虑一个实数集合M. 如果有一个实数S ，使得M 中任何数都不超过S,那么就称S 是M 的一个上界。
在所有那些上界中如果有一个最小的上界，就称为M 的上确界。
一个有界数集有无数个上界和下界，但是上确界却只有一个。
上确界的数学定义有界集合S ，如果β满足以下条件①对一切S x ∈，有β≤X ，即β是S 的上界；②对任意βα<，存在S x ∈，使得α>x ，即β又是S 的最小上界， 则称β为集合S 的上确界，记作S sup =β（同理可知下确界的定义）在实数理论中最基本的一条公理就是所谓的确界原理：“任何有上界(下界）的非空数集必存在上确界（下确界）”。
上确界的证明(1)每一个 X x ∈满足不等式m x ≤ ;(2) 对于任何的 0>ε, 存在有X x ∈', 使ε->M x ' 则数{}x M sup = 称为集合X 的上确界。
大学数学分析-关于无穷小量的研究王杰
大学数学分析-关于无穷小量的研究王杰学士学位论文关于无穷小量的研究目录1 引言...................................................................... .. (1)2 无穷小思想的由来...................................................................... ......................................2 3 无穷小量的性质...................................................................... ..........................................3 3.1 无穷小量的运算...................................................................... .. (3)3.2 无穷小量阶的比较...................................................................... . (6)3.2.1 高阶无穷小...................................................................... (6)3.2.2 等价无穷小...................................................................... (7)3.2.3 同阶无穷小...................................................................... .................................8 4 无穷小量的应用...................................................................... .........................................9 4.1 极限中的无穷小量...................................................................... ...............................9 4.2 微分中的无穷小量...................................................................... .............................11 4.3 积分中的无穷小量...................................................................... .............................13 4.4 级数中的无穷小量...................................................................... .............................14 5 结束语...................................................................... .. (18)参考文献...................................................................... .. (19)致谢...................................................................... . (20)关于无穷小量的研究关于无穷小量的研究摘要:无穷小量在数学分析中占有举足轻重的地位，无穷小量具有很好的性质，它使得一些复杂的极限问题、微积分问题、级数问题简单化(从无穷小的思想出发，追述历史发展过程到分析学中的应用(全文主要分为三个部分:第一部分是对无穷小量的发展过程进行概述;第二部分给出无穷小量的相关性质，其中主要对无穷个无穷小量的和与积运算后未必是无穷小量进行了详细证明;第三部分应用无穷小量的等价性、可加性、可乘性解决函数极限、微分、积分、级数问题;这些问题的解决对加深无穷小量概念的理解有很大的帮助(关键词:无穷小量;极限;微分;积分;正项级数Research on the InfinitesimalInfinitesimal in mathematical analysis in a pivotal position,the :Abstractnature of infinitesimals good, it makes the limits of some of the complexproblem of calculus problems, series simplification of the problem. From theinfinitely small idea, goes back to the analysis of the historical development ofscience. Full-text is divided into three parts, the first part of the infinite processof the development of a small overview, the second part gives the relevantproperties of infinitesimals, mainly on the infinitely infinitesimal and withproduct operation carried out after a small amount may not be infinite full proof.The third part of the application of the equivalence of infinitesimal, additive,multiplicative function to solve the limit, differentiation, integration, positiveseries problems the solution of the concept of deepening the understanding ofinfinitesimals of great help.Key words:Infinitesimal;Limit;Differential;Integration;Series1 引言无穷小思想历史悠久，源远流长， M.克莱因曾说过:“数学史上最使人惊奇的实事之一是实数系的逻辑基础竞迟至19世纪后叶才建立起来”(而这明显是由于人[7]们在理解无穷这个概念上所遇到的巨大困难造成的(二千多年来，人们一直没有放弃对无穷概念的思考探索，企图明白无穷思想的真谛，然而，诚如希尔伯特所说:“无穷是一个永恒的谜”要揭开这个谜底还有待时日(本文试图从无穷小的几个性质及其作用做一点探索(本文从无穷小的思想出发，首先给出无穷小数列的相关定义和关于函数为无穷小量的定义，明确在什么前提下才能谈无穷小量.其次谈无穷小量的性质，无穷小量是- 1 -关于无穷小量的研究有极限变量中最简单而且是最重要的一类，有其自身特殊的性质，两个(相同类型的)无穷小量之和、差、积仍为无穷小量，无穷小量与有界量的乘积为无穷小量，本文重点论证了无穷个无穷小量的和与积不一定是无穷小量(无穷小量是以0为极限的函数，而不同的无穷小量收敛于0的速度有快有慢(为此，本文考察两个无穷小量的比，以便对他们的收敛速度作出判断即无穷小量阶的比较(再次，无穷小量在高等数学中有着非常重要的地位，他是解决极限问题的基础，而且技巧性很强，掌握并充分利用好它的性质，往往会使一些复杂的问题简单化，可起到事半功倍的效果(最后本文运用无穷小量性质来解决求极限问题、微积分的证明、求级数的敛散性判别、级数的收敛域问题(2 无穷小思想的由来无穷小思想最初是在哲学范围内提出的，无论是在古希腊还是在中国都是如此，哲学家们对“无穷小”都进行了一定程度的论述(中国就曾有“一尺之棰，日取其半，万世不竭” ，并且我国第一个创造性地将无穷小思想运用到数学中的人是魏晋时期的著名数学家刘徽，他天才地提出了用增加圆内接正多边形的边数来逼近圆的“割圆术”，并阐述道:“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体,7,而无所失矣”(可见刘徽对无穷小的认识已相当深刻(到17世纪六七十年代，牛顿和莱布尼茨以无穷小思想为依据，成功运用无限过程的运算，创立了微积分学，无穷小量才有一席之地(数学不再由几何学独占，而是支撑在几何学与微积分这两根支柱上(古希腊时期，哲学家，数学家就注意了无穷概念(达哥拉斯学派发现了无理数的存在，引起了古希腊数学的危机(稍后埃利亚学派的芝诺提出了四个悖论:二分说，阿基里斯追龟说，飞箭静止说，运动场悖论，使危机更加加深(这些悖论显然违背人们的常识，迫使更多哲学家和数学家思考无穷小的问题(亚里士多德考虑过无穷的问题，但他只承认潜无穷(阿基米德发明的“穷竭法”中引进了无穷小，无限分割的思想，他的这种类似今天求极限的方法被公认为微积分计算的鼻祖，正是芝诺提出的悖论使人们对无穷小有了最初的认识(人们从无穷小思想出发，进而想到无穷小量的问题(首先由无界单调增加数列引入无穷小概念，下面给出几个相关定义.xy定义1 设有数列，如果有一无界单调增加数列使 ,,,,nn1x,， nyn,2,x则称是无穷小数列( ,,nxa定义2 设有数列，如果有一个实数和一无穷小数列使得 a,,,,nn- 2 -关于无穷小量的研究， xaa,，nn,2,limxa,x则称以为极限，记作 ( a,,nn,,nx,,0N定义3 设有数列，是常数，若对于任意给定的，总存在一个整数，a,,n nN,使当一切时，都有xa,,,， n[14]limxa,x则称为数列的极限，记为( a,,nn,,nlim0a,定义4 若则称a为无穷小数列( ,,nnn,,与无穷小数列的概念相类似，我们给出关于函数为无穷小量的定义(0fUx定义5 设在某内有定义，若，，n， lim0fx,，，xx,0ff则称为当时的无穷小量(则称为当时的无穷小量( xx,xx,003 无穷小量的性质穷小量是有极限变量中最简单而且是最重要的一类，有其自身特殊的性质(下面通过所给无的定义和例题进一步剖析无穷小量理论(3.1 无穷小量的运算1. 两个(相同类型的)无穷小量之和、差、积仍为无穷小量(2. 无穷小量与有界量的乘积为无穷小量(12xx,0下面看这个例子，当时，是无穷小量，为有界量，故 sinx12. x,limsin0x,0x由函数极限与无穷小量的定义可立即推出如下结论:limfxAfxA,,,,,，，，，xx,0是当时的无穷小量( xx,03. 下面来研究一下无穷个无穷小量作和、作积运算后是否仍为无穷小量(在数学分析中，无穷小量及其运算起着非常重要的作用，由定义5可得，任意有限个无穷小量的积均为无穷小量，在接下来的例题中我们将证明，无限个无穷小量的乘积未必收敛即使收敛，也未必是无穷小量(Unk假设对每一个固定的，当时，为无穷小量，即 n,,，，k- 3 -关于无穷小量的研究k,1,2,3？， lim0Un,，，k,,n无限个无穷小量的乘积应理解为,mUnUnUnUn,,,limlim ，，，，，，，，,,kkmmm,,,,11kk,,mUnUn,其中，当时，的极限存在(否则，无限个无穷小量的乘积无m,,，，，，,kmk,1[5]意义(Un我们的问题是，当时，是否为无穷小量，即 n,,，，，，limlimlim0UnUn,, ，，，，m,,,,,,nnm，，是否成立(其实无限个无穷小量的乘积不一定是无穷小量，举一个“无限个无穷小量的乘积不是无穷小量”的例子(例1 设,,1,nk,,n,1 Unnnkk,1,2,3,,,,？，，,k,1,,nk,n,因为1 UnUn,,,limlimlim0，，，，kk,,,,,,nnnn,nkk,1,2,3,？Un所以，对于当时，为无穷小量( n,,，，k为了看出,mUnUnUnUn,,,limlim ，，，，，，，，,,kkmmm,,,,11kk,,Un我们将写成如下形式，，k11111Un:1，，，，，，…，，，1246351111Un:1，2，，，，，…，，，24635111Un:1，1， 9，，，，…，，，345611Un:1，1，1，64，，，…，，，456因为- 4 -关于无穷小量的研究mm111,1n UnUnUnn,,,,,,,,？？limlimlim1111，，，，，，,,Kk,,,,,,mnmnnn,,11kk,mn所以， lim1Un,，，n,,[5]Un即无限个无穷小量的乘积不是无穷小量( ，，不仅如此，还可以举出无限个无穷小量的乘积为无穷大量的例子(只要将上例改写一下即可(例2 设,,1,nk,,n Unnnkk,,,,1,2,3,？，，,k,1,,nk,n,这里，k,1,2,3？， lim0Un,，，k,,k而mUnUnn,,lim, ，，，，,k,,m1,klimUn,,，，n,,Un即无限个无穷小量的乘积为无穷大量( ，，例1和例2表明，无穷小量的无穷乘积运算是非常复杂的，类似的计算也发生在无穷小量的无限求和运算中(,,1tt,0ftt,例如时的无穷小量，但并不收敛，下面的例子ft,为，，，，,,nnnn11nn,,表明，即使无限求和收敛，也未必是无穷小量( 例3 设1,0,1,,t,n,11,ftt,,,1, ，，,nnn，1,1,0,0,,t,n，1,,nftt,,2,0为t,0ft则对每个时的无穷小量(另一方面，不再是时的无，，，，,nn,n2穷小量(- 5 -关于无穷小量的研究 3.2 无穷小量阶的比较无穷小量是以0为极限的函数，而不同的无穷小量收敛于0的速度有快有慢(为此，我们考察两个无穷小量的比，以便对他们的收敛速度作出判断(3.2.1 高阶无穷小量fxgx与定义6 设均为无穷小量，若，，，，fx，，， lim0,xx,0gx，，时，则称当xx,fg为的高阶无穷小量。
数分论文
数学分析论文412114000216 景薇方正文引言在刚开始学习数学分析的时候，很容易急躁，急躁的原因是我们很难掌握数学分析这门知识。
数学分析的特点就是枯燥，尤其是在深入挖掘的情况下。
但是，数学分析却是我们学期其他知识的基础。
南无我们必须学好这门知识，而学习数学分析者们知识并不是索然无趣的，实际掌握这门学科，就不能眉毛胡子一把抓，而应该掌握一些学习数学分析的基本的方法，形成一种分析性的思维方式。
深入了解之后，加上一些必要的习题，相信就会对数学分析产生一些相应的兴趣。
毕竟，数学分析是一种体现分析的理性之美的学科，是一门很锻炼思维的理性学科。
下面我将浅谈几个微分中值定理的之间联系摘要了解几个微分中值定理，及他们之间的联系；掌握这几个中值定理的推导过程，能够熟练的辨别他们区别。
关键词：微分；中值定理；罗尔定理；拉格朗日中值定理；柯西中值定理；联系一、几个微分中值定理1、罗尔（Rolle）中值定理若函数f 满足如下条件：（i ）f 在闭区间[],a b 上连续；（ii ）f 在开区间(),a b 内可导；（iii ）()()f a f b =则在(),a b 内至少存在一点，使得ξ'()0f ξ=几何意义：罗尔定理的条件表示，曲线弧 （方程为 ）是一条连续的曲线弧 ，除端点外处处有不垂直于x 轴的切线，且两端点的纵坐标相等。
而定理结论表明， 弧上至少有一点 ，曲线在该点切线是水平的.[注意]：（1）定理中的条件是充分的，但非必要的。
（2）导数等于零的点为函数的驻点（或稳定点，临界点）2、拉格朗日（Lagrange ）中值定理若函数f 满足如下条件： （i ）f 在闭区间[],a b 上连续；（ii ）f 在开区间(),a b 内可导； （iii ）()()f a f b =，则在(),a b 内至少存在一点，使得ξ ()()'()f b f a b a f ξ--=.拉格朗日定理是罗尔定理的推广。
数学分析反证法的应用论文
丽水学院2012届学生毕业论文数学分析中反证法的应用理学院数学082 董泽刚指导师：胡亚红摘要：本文研究了数学分析中不同问题的反证法。
对数学分析中的反证法进行总结研究，共分为数列极限的唯一性和收敛性，函数的连续、有界、极限和单调性，导数和积分，级数等四个部分，各部分之间并非完全独立。
本文对理解数学分析的基本概念，掌握数学分析的基本理论和技巧很有好处。
关键词：反证法；命题；应用在数学解题中经常使用反证法，牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一”。
具体、简单的命题；或者直接证明难以下手的命题，改变其思维方向，从结论入手进行反面思考，问题可能解决得十分干脆。
它不仅是解决问题的有力手段，而且推动了数学的发展，开辟了数学领域的新天地.数学是在归纳、发现、推广中发展的。
反证法在数学的发展中功不可没。
反证法不但在数学的发展和证明中有同等重要的作用，而且，在学习、领会和深入钻研数学的时候，也离不开反证法.因为条件的强弱，使用范围的宽窄，都需要用反证法作对比，才能加深理解，如果命题有错误，证明有漏洞，也只有靠反证法去证实，并从反证法中得到修补的启示。
反证法是一种重要的反证手段，往往会成为数学殿堂的基石。
学会构造反证法是一种重要的数学技能。
反证法的重要性要想充分的发挥出来，关键还在于具体的作出所需的反证法。
至于反证法的作法，也如证明一样，因题而异，方式多变。
1 反证法的基本思想反证法是一种间接的证明方法，它的基本思想是“否定-推理-矛盾-肯定”，这种证明方法之所以令学生难以理解，是因为在证明过程中，每一步的结论到下一步完全符合逻辑，但每一步的结论却其实不能发生，从逻辑的观点来看，反证法实际上是通过证明与命题A→，显然这个等价命题的条件中含A→逻辑等价的命题为真，从而间接证明了命题BBA→的结论的否定B，反证法历史悠久，曾被用来解决数学中许多重要结论. 有命题B所谓反证法是指通过证明论题的否定论题不真实而肯定论题真实的方法.通常包括以下三个步骤:(l)反设—假定原命题的结论不成立；(2)归谬—根据反设进行严密推理，直到得出矛盾；(3)结论—肯定原命题正确。
毕设论文-数学分析中的问题与反例
北 京 航 空 航 天 大 学 毕 业 设 计 (论 文 )
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目录
1 绪论…………………………………………………………………………………1
1.1 课题背景及目的……………………………………………………………….1
摘要
学 生：李 蕾 指导老师：孙玉泉
数学分析是一门很重要的基础课程，对学生数学思想的形成，后继课程的 学习都有着重要的意义。而在数学分析中存在很多定理命题，运用恰当的反例从 另一个侧面抓住概念或规则的本质，进而更容易加深对知识的理解。反例思想是 数学分析中的重要思想，在概念、性质的理解，问题的研究与论证中都具有不可 替代的独特作用。恰当地运用反例，对于正确理解概念、巩固和掌握定理、公式、 法则等，培养学生的逻辑思维能力，预防和纠正错误，将起着十分重要的作用。 本文针对这个问题，深入细致研究了数学分析中的很多问题的反例。系统的对数 学分析中的反例进行总结研究，共分为数列、函数、微积分、级数、多元函数五 个部分，各部分之间并非完全独立。针对多数定理及命题，用逆向思维方法从问 题的反面出发，如果有问题，举出反例证实。本文所选的问题和反例比较典型， 难度适中，解法精巧，富有启发性。本文对理解数学分析的基本概念，掌握数学 分析的基本理论和技巧很有好处。
1.3 课题研究方法
数学分析中有许多重要的典型反例,这些反例是数学分析理论不可缺少的重 要组成部分。对于数学分析中的一些重要问题寻找反例，加深对概念等的理解， 以及学习构造反例的方法。
32515151数项级数数项级数数项级数525252函数列与函数列级数及其一致收敛性函数列与函数列级数及其一致收敛性函数列与函数列级数及其一致收敛性多元函数多元函数多元函数616161多元函数的极限与连续及其微分学多元函数的极限与连续及其微分学多元函数的极限与连续及其微分学626262重积分与参变量积分重积分与参变量积分重积分与参变量积分结论结论结论
《数学分析》范文
《数学分析》范文《数学分析》主要研究实数域上的函数和它们的性质。
它首先介绍了实数的基本性质，包括实数的有序性、稠密性以及实数的最大和最小界等等。
接着，《数学分析》引入了函数的概念，学习了实数到实数的映射关系。
函数是数学中非常重要的概念，它可以描述现实世界中的各种关系，如时间与距离的关系、温度与压力的关系等等。
在函数的基础上，《数学分析》引入了极限的概念。
极限是数学分析中非常关键的一个概念，它可以用来描述函数在其中一点的局部行为。
通过极限的研究，我们可以了解到函数的趋势、变化率等等重要的性质。
比如，当自变量趋向于一些值时，函数的取值是否有界、是否趋向于一些特定的值等等。
极限的研究是数学分析的核心内容之一微分和积分则是数学分析中的两个重要操作。
微分是研究函数的局部变化率的工具，它可以用来求得函数的导数。
导数可以告诉我们函数在其中一点的斜率或变化率，从而帮助我们描述函数的几何特征。
而积分则是计算函数在其中一区间上的总量的工具，它可以用来求得函数的原函数。
原函数可以帮助我们计算函数在其中一区间上的面积、体积等等。
除了以上的基础概念之外，数学分析还涉及到级数、微分方程等更深入的内容。
级数是无穷多项相加的运算，它可以用来研究数列的和、函数的展开式等等。
微分方程则是研究函数与其导数之间的关系的数学方程，它在自然科学、工程学等领域中具有广泛的应用。
总之，《数学分析》是一门重要的数学学科，其内容涵盖了函数、极限、微分、积分等各个方面。
通过学习《数学分析》，我们可以掌握一些基本的数学工具，如函数的性质、函数的极限、函数的导数等等。
同时，我们还可以学到一些基本的数学思维方法，如严密的证明思路、逻辑推理等等。
通过《数学分析》的学习，我们可以提高自己的数学分析能力，并且为将来的数学研究打下坚实的基础。
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《函数极限的求法和技巧》论文摘要: 本文就关于求函数极限的方法和技巧作了一个比较全面的概括、综合。
在数学分析与微积分学中,极限的概念占有主要的地位并以各种形式出现而贯穿全部内容,因此掌握好极限的求解方法是学习数学分析和微积分的关键一环。
本文就关于求函数极限的方法和技巧作一个比较全面的概括、综合,力图在方法的正确灵活运用方面,对读者有所助益。
关键词：函数极限正文一、求函数极限的方法1、运用极限的定义lim ()0,0,:,x f x b A x x A ε→∞=⇔∀>∃>∀>有()f x b ε-<lim ()0,0,,x f x b A x A ε→-∞=⇔∀>∃>∀<-有()f x b ε-<lim ()0,0,,x f x b A x A ε→+∞=⇔∀>∃>∀>有()f x b ε-<lim ()0,0,:0,x a f x b x x a εδδ→=⇔∀>∃>∀<-<有()f x b ε-<lim ()0,0,:,x af x b x a x a εδδ→+=⇔∀>∃>∀<<+有()f x b ε-<lim ()0,0,:,x af x b x a x a εδδ→-=⇔∀>∃>∀-<<有()f x b ε-<例1： 用极限定义证明111lim x x x →+∞-=+ 证明：不妨设想x>-1,∀ ε>0 ,要使不等式12111x x x ε--=<++成立.解得x>21ε-(限定0< ε<2)取A= 21ε-.于是，20,1,,A x A εε∀>∃=-∀>有111x x --+< ε,即111lim x x x →+∞-=+ 例2: 用极限定义证明:1223lim 22=-+-→x x x x 证: 由244122322-+-=--+-x x x x x x ()2222-=--=x x x0>∀ε 取εδ= 则当δ<-<20x 时,就有ε<--+-12232x x x由函数极限δε-定义有:1223lim 22=-+-→x x x x 2、利用极限的四则运算性质若 A x f x x =→)(lim 0B x g x x =→)(lim 0(I)[]=±→)()(lim 0x g x f x x )(lim 0x f x x →±B A x g x x ±=→)(lim 0(II)[]B A x g x f x g x f x x x x x x ⋅=⋅=⋅→→→)(lim )(lim )()(lim 0(III)若 B ≠0 则：BAx g x f x g x f x x x x x x ==→→→)(lim )(lim )()(lim 000（IV ）cA x f c x f c x x x x =⋅=⋅→→)(lim )(lim 0（c 为常数）上述性质对于时也同样成立-∞→+∞→∞→x x x ,,例1：求 453lim 22+++→x x x x解: 453lim 22+++→x x x x =254252322=++⋅+ 例2：求22232lim 1x n n n →∞+-+ 解：22222232322lim(2)232lim lim 1111lim(1)x x x x n n n n n n n n n→∞→∞→∞→∞+-+-+-==+++ 2232lim 2lim lim 2211lim1lim x x x x x n nn→∞→∞→∞→∞→∞+-===+3、利用无穷小量性质法（特别是利用无穷小量与有界量之乘积仍为无穷小量的性质）设函数f(x)、g(x) 满足： （I ）0)(lim 0=→x f x x(II) M x g ≤)( (M 为正整数) 则：0)()(lim 0=→x f x g x x例: 求 xx x 1sinlim 0⋅→ 解: 由 0lim 0=→x x 而 11sin≤x故 原式 =01sinlim 0=⋅→xx x4、利用无穷小量与无穷大量的关系。
（I ）若：∞=)(lim x f 则 0)(1lim=x f (II) 若: 0)(lim =x f 且 f(x)≠0 则 ∞=)(1lim x f 例: 求下列极限 ① 51lim+∞→x x ②11lim 1-→x x解: 由 ∞=+∞→)5(lim x x 故 051lim =+∞→x x由 0)1(lim 1=-→x x 故 11lim 1-→x x =∞5、等价无穷小代换法定义:设'',,,ββαα 都是同一极限过程中的无穷小量，且有： ''~,~ββαα，''lim βα 存在，则 βαlim 也存在，且有βαlim = ''lim βα常见等量代换(当x →0时):sin ~x x ,ln(1)~x +x ,tan ~x x ,arcsin ~x xarctan ~x x ,1~x e -x ,1cos ~x -212x 例1：求极限0ln(1)lim1cos x x x x →+-解： 002ln(1)lim lim 211cos 2x x x x x xx x →→+⋅==-例2:求极限2220sin cos 1lim x x x x -→解: ,~sin 22x x 2)(~cos 1222x x -∴ 2220sin cos 1lim x x x x -→=212)(2222=x x x 注： 在利用等价无穷小做代换时，一般只在以乘积形式出现时可以互换，若以和、差出现时，不要轻易代换，因为此时经过代换后，往往改变了它的无穷小量之比的“阶数”6、利用两个重要的极限。
1sin lim)(0=→x x A x e xB x x =+∞→)11(lim )(但我们经常使用的是它们的变形：))((,))(11lim()()0)((,1)()(sin lim)()(''∞→=+→=x e x B x x x A x ϕϕϕϕϕϕ例：求下列函数极限xa x x 1lim )1(0-→、 bx ax x cos ln cos ln lim)2(0→、 （3）0sin 2lim sin 3x x x →)1ln(ln 1 ln )1ln( ,11 u a u x a a u x u a x x+=-+==-于是则）令解：（a u auu a u a u x a u x uu u u x x ln )1ln(ln lim )1ln(ln lim )1ln(ln lim 1lim 010000=+=+=+=-→→→→→→故有：时，又当)]1(cos 1ln[)]1(cos 1ln[(lim)2(0-+-+=→bx ax x 、原式1cos 1cos 1cos )]1(cos 1ln[1cos )]1(cos 1ln[(lim0--⋅--+--+=→ax bx bx bx ax ax x1cos 1cos lim0--=→ax bx x 222222220220)2()2()2(2sin )2(2sin lim 2sin 22sin 2lim ab x a x bx b x b x a xa xb x x x =⋅=--=→→α（3）、原式=0sin 2lim sin 3x x x →=000sin 2sin 22lim2222lim sin 3sin 3333lim33x x x x xx x x x x x x x→→→==7、利用函数的连续性（适用于求函数在连续点处的极限）。
)()](lim [))((lim )()(lim )]([)()()(lim )()(000a f x f x f a u u f a x x f ii x f x f x x x f i x x x x x x x x ======→→→→ϕϕϕϕ处连续，则在且是复合函数，又若处连续，则在若例：求下列函数的极限)1ln(15cos lim)1(20x x x e x x -+++→、 （2） xx x )1ln(lim0+→()1ln ))1(lim ln()1ln(lim )1ln(lim )1()1ln()1ln()2(6)0()1ln(15cos lim )1ln(15cos )(0)1(1010011202==+=+=++=+=+==-+++-+++==→→→→e x x xx x x x x x f x x x e x x x e x f x x x x x x xxx x x 故有：令、由有：故由函数的连续性定义的定义域之内。
属于初等函数由于解：ϕ8、变量替换法注：本方法适用于分子、分母的根指数不相同的极限类型，特别地有：nkmlx x mn kl x =--→11lim1m 、n 、k 、l 为正整数。
例：求下列函数极限 ① m xx m n x (11lim1--→ 、n )N ∈ ②1)1232(lim +∞→++x x x x 解: ①令 t=mn x 则当1→x 时 1→t ,于是原式=nmt t t t t t t t t t n m t n m t =++++-++++-=----→→)1)(1()1)(1(lim 11lim 121211②由于1)1232(lim +∞→++x x x x =1)1221(lim +∞→++x x x令：t x 1212=+ 则 2111+=+t x ∴1)1232(lim +∞→++x x x x =1)1221(lim +∞→++x x x =2110)1(lim +→+t t t=e e t t t tt =⋅=+⋅+→→1)1(lim )1(lim 21019、 利用函数极限的存在性定理定理: 设在0x 的某空心邻域内恒有 g(x)≤f(x)≤h(x) 且有: A x h x g x x x x ==→→)(lim )(lim 0则极限 )(lim 0x f x x → 存在, 且有A x f x x =→)(lim 0例: 求 x nx ax +∞→lim (a>1,n>0)解: 当 x ≥1 时,存在唯一的正整数k,使 k ≤x ≤k+1于是当 n>0 时有:knx n a k a x )1(+<及 aa k a k a x k n k n x n 11⋅=>+又 当x +∞→时,k +∞→ 有=++∞→k n k a k )1(lim00)1(lim 1=⋅=⋅+++∞→a a a k k n k 及 =++∞→1lim k n k a k 0101lim =⋅=⋅+∞→aa a k k n k∴xnx a x +∞→lim =010、用左右极限与极限关系(适用于分段函数求分段点处的极限，以及用定义求极限等情形)。