2020年春北师大版八年级数学下册第五章 分式与分式方程
12．2019·连云港 计算：m2m－4÷(1＋m－2 2)．
[解析] 先做括号里面的运算，再把除法转化成乘法，计算得结果．
解：原式＝（m＋2）m（m－2）÷mm－－2＋2 2 ＝（m＋2）m（m－2）÷mm－2 ＝（m＋2）m（m－2）·mm－2＝m＋1 2.
解：1－1 x÷x2x－2＋2x2＋x 1＋x＋1 2 ＝1－1 x·x（（xx－＋12））2＋x＋1 2 ＝x（1x－＋x2）＋x＋1 2 ＝x1（－xx＋＋2x） ＝x（x1＋2）.
由不等式组5x－ ＋23>x≥01，，得－3<x≤2， ∴不等式组的整数解为－2，－1，0，1，2.若使分式有意义， 则 x≠1，0，－2，∴x＝－1 或 2. 当 x＝2 时，原式＝2×（21＋2）＝18 (或当 x＝－1 时，原式＝－1×（－1 1＋2）＝－1)．
解：(1)设乙物品的单价为 x 元/件，则甲物品的单价为(x＋10)元/件． 由题意，得x5＋0010＝45x0，解得 x＝90. 经检验，x＝90 是原方程的根且符合题意． 则 x＋10＝100， 因此，甲物品的单价为 100 元/件，乙物品的单价为 90 元/件． (2)设购买甲物品 y 件，则购买乙物品(55－y)件． 由题意，得 5000≤100y＋90(55－y)≤5050， 解得 5≤y≤10. 因此，共有 6 种选购方案．
9．2019·巴中 若关于 x 的分式方程x－x 2＋22－mx＝2m 有增根， 则 m 的值为____1____．
[解析] 方程两边都乘(x－2)，得x－2m＝2m(x－2)．∵原方程有增根， ∴最简公分母x－2＝0，解得x＝2，当x＝2时，m＝1，故m的值是1. 故答案为1.
10．2019·绵阳 一艘轮船在静水中的最大航速为30 km/h，它以最 大航速沿江顺流航行120 km所用时间，与以最大航速逆流航行 60 km所用时间相同，则江水的流速为____1_0___km/h.
[解析] 原式＝x－x21－x－1 1＝（x＋1） x－（1x－1）＝x＋1.故答案为 x＋1
8．2019·滨州 方程xx－－23＋1＝2－3 x的解是__x_＝__1___．
[解析] 去分母，得x－3＋x－2＝－3，移项、合并，得2x＝2，解得x＝1. 检验：当x＝1时，x－2≠0，所以原方程的解为x＝1.故答案为x＝1.
[解析] 设江水的流速为 x km/h，根据题意可得3102＋0x＝306－0 x，解得 x＝10. 经检验，x＝10 是原方程的根且符合题意，∴江水的流速为 10 km/h.故答案 为 10.
三、解答题
11．2019·乐山 计算：x2－x22－x＋ 1 1÷xx2＋－1x.
[解析] 首先将分式的分子与分母分解因式，进而约分得出答案．
谢 谢 观 看！
13．解方程： (1) 2019·临沂 x－5 2＝3x； (2) 2019·自贡 x－x 1－2x＝1.
[解析] 分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值， 经检验即可得到分式6，解得x＝－3. 经检验，x＝－3是分式方程的解． (2)去分母，得x2－2x＋2＝x2－x，解得x＝2. 经检验，x＝2是原方程的解．
15．2019·威海 列方程解应用题： 小明和小刚约定周末到某体育公园打羽毛球，他们两家到体育 公园的距离分别是1200米，3000米，小刚骑自行车的速度是小 明步行速度的3倍，若二人同时到达，则小明需提前4分钟出发， 求小明和小刚两人的速度．
解：设小明步行的速度是 x 米/分， 则小刚骑自行车的速度是 3x 米/分． 根据题意可得12x00－4＝3300x0，解得 x＝50. 经检验，x＝50 是原方程的根且符合题意，故 3x＝150. 答：小明步行的速度是 50 米/分， 小刚骑自行车的速度是 150 米/分．
且购买科普类图书的数量比购买文学类图书的数量少 100 本．求
科普类图书平均每本的价格是多少元．若设科普类图书平均每本
的价格是 x 元，则可列方程为( B )
A.100x00－9x0－005＝100
B.9x0－005－100x00＝100
C.1x0－0050－90x00＝100
D.90x00－1x0－0050＝100
16．2019·巴中 在“扶贫攻坚”活动中，某单位计划选购甲、乙 两种物品慰问贫困户．已知甲物品的单价比乙物品的单价高10 元，若用500元单独购买甲物品与用450元单独购买乙物品的数 量相同． (1)甲、乙两种物品的单价各为多少？ (2)如果该单位计划购买甲、乙两种物品共55件，总费用不少于 5000元且不超过5050元，通过计算说明共有几种选购方案．
5．2018·德州 分式方程x－x 1－1＝（x－1）3（x＋2）的解为( D )
A．x＝1
B．x＝2
C．x＝－1
D．无解
[解析] D 去分母，得x(x＋2)－(x－1)(x＋2)＝3，解得x＝1，此时(x－ 1)(x＋2)＝0，所以原方程无解．故选D.
6．2019·遂宁 若关于 x 的方程2xk－4－1＝x－x 2的解为正数，则 k
14．2019·通辽 先化简，再求值：1－1 x÷x2x－2＋2x2＋x 1＋x＋1 2，请从不 等式组5x－ ＋23x>≥01，的整数解中选择一个你喜欢的 x 值代入求值．
[解析] 根据分式的除法和加法可以化简题目中的式子，然后由不等式组 5x－ ＋23>x≥01，，可以求得 x 的取值范围，再从中选取一个使得原分式有意义的整 数 x 代入化简后的式子即可解答本题．
[解析] B 科普类图书平均每本的价格是 x 元，则文学类图书平均每本的 价格为(x－5)元，因为购买科普类图书的数量比购买文学类图书的数量少 100 本，所以购买文学类图书的本数减去购买科普类图书的本数＝100， 即9x0－005－100x00＝100.故选 B.
4．2019·河北 如图 5－Y－1，若 x 为正整数，则表示（ x2＋x＋4x2＋）42－ x＋1 1的值的点落在( B )
B．1
C．－1 或 1
D．1 或 0
[解析] B 根据题意，得|x|－1＝0且x＋1≠0，解得x＝1.故选B.
3．2018·通辽 学校为创建“书香校园”购买了一批图书．已知购买
科普类图书花费 10000 元，购买文学类图书花费 9000 元，其中科
普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格贵 5 元，
A．段① C．段③
图 5－Y－1 B．段② D．段④
[解析] B （ x2＋x＋4x2＋）42－x＋1 1＝（ （xx＋ ＋22） ）22－x＋1 1＝1－x＋1 1＝x＋x 1.又∵x 为 正整数，∴12≤x＋x 1<1，故表示（ x2＋x＋4x2＋）42－x＋1 1的值的点落在段②.故选 B.
的取值范围是( C )
A．k＞－4
B．k＜4
C．k＞－4 且 k≠4
D．k＜4 且 k≠－4
[解析] C 分式方程去分母，得 k－(2x－4)＝2x，解得 x＝k＋4 4.根据题意， 得k＋4 4＞0，且k＋4 4≠2，解得 k＞－4 且 k≠4.故选 C.
二、填空题
7．2019·南充 计算：x－x21＋1－1 x＝___x_＋__1__．
第五章 分式与分式方程
本章中考演练
一、选择题
1．2019·宁波 若分式x－1 2有意义，则 x 的取值范围是( B )
A．x＞2
B．x≠2
C．x≠0
D．x≠－2
[解析] B依题意得x－2≠0，解得x≠2.故选B.
2．2019·聊城 如果分式|xx|＋－11的值为 0，那么 x 的值为( B )
A．－1
新北师大版八年级数学下册第5章《分式与分式方程》教案
新北师大版八年级数学下册第5章《分式与分式方程》教案教学目标学习分式及分式的概念、性质和运算法则，并掌握简单分式的变形和分式方程的解法。
教学重难点重点•分式的概念、性质和运算法则•分式的变形•分式方程的解法难点•分式方程的解法教学过程导入（10分钟）1.调查课前练习，询问学生对分式的了解和学习情况。
2.引入分式的概念，让学生举例说明分式的实际应用。
提高课堂参与度（10分钟）1.通过多项式的例子，引入分式。
2.分小组讨论分式与多项式的联系和区别，并展示讨论成果。
理论课（30分钟）1.分式的定义和性质。
2.分式的约分、通分和加减法。
3.分式与整式的加减法。
实践课（50分钟）1.分式的变形：分解、合并及简化。
2.分式方程的概念及解法。
3.通过实例让学生掌握分式方程的解法。
课堂总结（10分钟）1.小结本节课的重点内容。
2.引导学生对本节课的学习成果进行分享。
作业布置1.抄写本节课的重点内容以及实例。
2.完成课后练习。
教学方法1.演示法2.分组讨论3.实践操作4.个别指导教学资源1.教材：新北师大版八年级数学下册2.PPT：分式与分式方程参考文献1.《初中数学》2.《分式与分式方程教育同行》教学反思本节课通过实例和讨论等方式，激发了学生的学习兴趣，真正意义上实现了知识与实践相结合。
在教学过程中，我进一步提高了自己的教学能力，尤其是关注学生的理解进程，帮助学生掌握分式方程的解法，提高其数学素养。
北师大版初二数学下册5.4.2分式方程(20201017141142)
第五章分式与分式方程422分式方程（二）一、教材说明：本节是分式与分式方程的第4节，这是第二课时，本课时主要研究分式方程的解法，只要求会解可化为一元一次方程的分式方程（方程中的分式不超过两个）•解分式方程的关键是把分式方程转化为整式方程，在引导学生探索分式方程的解法时，要注意体现这种转化的思想.二、学生起点分析学生的知识技能基础：学生基本了解分式方程的概念，如何寻找最简公分母，熟悉等式的性质并能利用等式的性质解一元一次方程中，了解一般一元一次方程的解法,去分母,去括号,移项,合并同类项，化系数为1,并理解每一步的根据是什么，从而能通过观察类比的方法，探索分式方程的解法并能理解解题步骤的根据•学生活动经验基础：本节课主要采用观察、类比的方法、讨论的形式，学生比较熟悉，能在二元一次方程组转化为一元一次方程的基础上，再次体会数学转化思想. •三、教学任务分析在上一节课中，学生通过对实际问题的分析，已经感受到分式方程是刻画现实世界的有效模型，本节课安排《分式方程》第二课时，旨在学会解分式方程，能从中体会数学转化思想的深刻含义。
本节课的具体教学目标为：1. 学生掌握解分式方程的基本方法和步骤；2. 经历和体会解分式方程的必要步骤；使学生进一步了解数学思想中的“转化”思想，认识到能将分式方程转化为整式方程，从而找到解分式方程的途径3. 培养学生自觉反思求解过程和自觉检验的良好习惯，培养严谨的治学态度；运用“转化”的思想，将分式方程转化为整式方程，从而获得一种成就感和学习数学的自信四、教学过程分析本节课设计了6个教学环节：复习回顾一一探究新知一一小试牛刀一一感悟升华一—巩固练习一一自主小结第一环节复习回顾活动内容:3、分式 —与 —的最简公分母是 _________________ x -2 x —活动目的：回顾最简公分母，解一元一次方程的解法，着重复习去分母的步骤，为学生 过渡到分式方程去分母.注意事项：着重复习去分母的步骤，为学生过渡到分式方程去分母，提醒学生注意解一 元一次方程每一步易犯的错误，同时老师还应强调检验方程的根，培养学生严谨的作风 并为解分式方程的验根打下基础.第二环节探究新知活动内容：例1.解下列分式方程：1 3 x -2 x活动目的：通过观察，使学生发现可以将分式方程通过去分母转化成一元一次方程来求 解。
八年级数学北师大版初二下册--第五单元5.4《分式方程：第二课时--解分式方程》课件
知1－讲
解分式方程的一般步骤：
1、 在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母， 化成整式方程. （转化思想）
2、解这个整式方程. 3、检验 . 4、写出原方程的根.
例1 解方程
1 = 3. x- 2 x
解：方程两边都乘x(x－2)，得x＝3(x－2).
解这个方程，得x＝3.
解得x＝2.
检验：当x＝2时，( x＋2)( x－2)＝0，
所以x＝2是原方程的增根，即原方程无解．
易错总结：
分式方程转化为整式方程后，由于去分母使未 知数的取值范围发生了变化，有可能产生增根， 因此在解分式方程时一定要验根，如果不验根， 有可能误将x＝2当成原分式方程的根．
2 易错小结
2．当k为何值时，关于x的方程
综上可知，当k＜3且k≠－12时，原分式方程的
解为负数．
易错总结：
在解分式方程时，要注意出现未知数的取值使 原分式方程中的分式的分母为零，即产生增根 的情况．因此本题中要使方程的解为负数，除 了k＜3外，还必须考虑原分式方程的分母不等 于0.
请完成《典中点》 Ⅱ 、 Ⅲ板块 对应习题！
2＋ x－1
a 1－x
＝4
的解为正数，且使关于y的不等式组
ìïïïíïïïî
y＋2－ y 32
2( y－a) £
> 0
1，
的解集为y<－2，则符合条件的所有整数a的和为
( A) A．10
B．12
C．14
D．16
知识点 3 分式方程的增根
议一议
在解方程
1x-
x= 2
12- x
2 时，小亮的解法如下:
方程两边都乘 x－2,得 1－x＝－1－2(x－2 ).
2020春北师大版八年级数学下期末复习第五章 分式与分式方程
数学
知识要点 11 异分母分式的加减法
【例 11】计算:
பைடு நூலகம்(1) ������������ -x;
������-������
������ ������-������
(2)���������-��������� + ������������-+������������������.
������ ������-������
数学
知识要点 12 分式的化简求值
【例 12】先化简,再求值: ������ − ������ ÷ ������������ ,其中 x=2 020.
������-������ ������+������ ������-������
解:原式=���������(���+������+������������������-)���(���������������-+���������)��������� ·������������-������������ = ������+������������,
当
x=2
020
时,原式=������
������ ������������������+������
=
������
������������������������.
数学
12.先化简,再求值:������������-������ ÷ ������ ,其中 x= ������+1.
������+������ ������+������
北师大版八年级数学下册第五章《分式与分式方程》课件
(1) 2x
5y
(2) 3a
7b
(3)
10m 3n
解：（1）原式= 2x .
5y
（3）原式= 10m .
3n
（2）原式= 3a . 7b
探究新知
素养考点 1分式的基本性质 例1 下列等式的右边是怎样从左边得到的？
（1）
b by ( y 0) 2x 2xy
； （2）
ax a . bx b
解：（1）因为y≠0，所以
则 x2 - 1=0，
∴x = ±1， 而 x+1≠0，
∴ x ≠ -1. ∴当x = 1时，分式
x2 - 1 x +1
的值为零.
探究新知
方法总结 分式值为零的求法 (1)利用分子等于0,构建方程. (2)解方程,求出所含字母的值. (3)代入验证:将所求的值代入分母,验证是否使分 母为0,不为0此值即为所求,否则,应舍去. (4)写出答案.
注意：
（1）分式也是代数式；
（2）分式是两个整式的商，它的形式是
A B
（其中A，B都是
整式并且还要求B是含有字母的整式）；
（3）A称为分式的分子，B为分式的分母.
探究新知
思考： （1）分式与分数有何联系？
① 100 7
整数 类比思想 100 a+1
整数
整式 整式
分数
分式 (分母含有字母）
②分数是分式中的字母取某些值的结果，分式更具一般性. 特殊到一般思想
3000
3
300 a
5 5x 7
V
S
S
32
x2 xy y 2 2x 1
2x2 1 5
3x2 1
分式:
北师大版八年级数学下册第五章分式与分式方程5.1认识分式第2课时分式的基本性质及约分(教案)
难点举例：对于分式$\frac{4x^2 + 4x}{2x^2 + 2x}$，学生应先分解为$\frac{4x(x + 1)}{2x(x + 1)}$，然后约去公因式$(x + 1)$和$2$，得到最简分式$\frac{2}{1}$。
2.教学难点
（1）分式基本性质的深度理解：学生需要理解为什么分式的分子、分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。这个性质背后的数学原理需要通过实例和图形进行直观演示，帮助学生深入理解。
难点举例：解释当分式$\frac{2x}{3y}$的分子分母同时乘以不同的整式（如2x和3y）时，分式的值仍然保持不变的原因。
（2）识别并约去复杂的公因式：在分式的约分过程中，学生可能会遇到难以识别的复杂公因式，尤其是当分子分母包含多项式时。教师需要指导学生如何分解多项式，找出公因式。
难点举例：面对分式$\frac{3x^3 - 6x^2}{9x^2 - 6x}$，学生需要学会先将分子和分母分解为$3x^2(x - 2)$和$3x(3x - 2)$，再约去公因式$3x$。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了分式的基本性质、约分的技巧及其在实际中的应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对分式的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
（二）新课讲授（用时10分钟）
2020版八年级数学下册第五章分式与分式方程5.4分式方程(第1课时)课件(新版)北师大版
解:去分母得:4x-4-2x-2=m,
解得:x= m 6，
2
根据题意有 m ≤60且
2
解得:m≤-6且m≠-8.
≠m-16,
2
【变式二】(变换条件、问法)已知关于x的分式方程
x
4
1
x
2＝ 1
m x2 1
无解,求实数m的值.
解:去分母得:4x-4-2x-2=m,
解得:x= m 6，
【基础小练】
请自我检测一下预习的效果吧!
1.下列方程是分式方程的是 ( B ) A. 1 x =0
23
B. 4 =-2
x
C.x2-1=3 D.2x+1=3x
2.(2018·大庆中考)解方程: x 1＝1．
x3 x
略
知识点一 分式方程的概念及解法(P126例1拓展) 【典例1】(2018·南宁中考)解分式方程: x 1＝
★★4.若关于x的分式方程 m（x 1） 5 =m-3无解,求m
2x 1
的值.
解:分式方程去分母得:m(x+1)-5=(m-3)(2x+1), 整理得:mx+m-5=(2m-6)x+m-3,即(m-6)x=-2, 当m-6=0,即m=6时,方程无解; 由分式方程有增根,得到2x+1=0, 即x=- 1 ,
4 分式方程 第1课时
【知识再现】 1.分式的概念:有分母(分子、分母均为整式),并且分 母中含有___字__母____的式子.
2.方程的概念:含有___未__知__数____的等式叫方程,学过的 方程有:一元一次方程、二元一次方程(组)等,它们都 是___整__式____方程. 3.解一元一次方程的一般步骤:(1)去分母,(2)_去__括__ _号__,(3)移项, (4)___合__并__同__类__项____,(5)系数化为1.
2020春北师大版八年级数学下第五章分式与分式方程第3课时 分式的乘除法
=
������.
������
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数学
巩固训练3.计ຫໍສະໝຸດ ������������������������ ·������������������������������������的结果是( D )
A.��������������� ���
B.��������������� ���
C.������������
=������-������ · ������(������+������) =-1
������ (������+������)(������-������)
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1.计算:
(1)������������������������������������������
·
-
������������������ ������
;
(2)������������������+������������������������ ·���������������������������-���������������������������.
变式练习
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解:(1)原式=-������������������������������������������··������������������������=-6xy. (2)原式=������(������+������) · ������������������������������ = ������������������.
解:(1)原式=-3xy·������������������������������=-������������������������������.
北师大版八年级下册数学 第五章 分式与分式方程(知识点)
第五章分式与分式方程知识点1：分式的概念1、分式的定义：一般地，用A,B表示两个正式，A÷B可以表示成AB的形式。
如果B中含有字母，那么称AB为分式，其中A称为分式的分子，B称为分式的分母。
分式需要满足的三个条件：（1）是形如AB的式子；（2）A,B都整式；（3）分母B中必须含有字母。
分式有意义的条件：分母不能为0.分式无意义的条件：分母等于0.分式的值为0的条件：分子等于0且分母不等于0.知识点2：分式的性质2、分式的基本性质分式的基本性质：分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。
字母表示：AB =A·CB·C，AB=A÷CB÷C(C≠0，其中A,B,C均是整式)运用条件：（1）分子和分母要同时做“乘法（或除法）”运算；（2）“乘（或除以）”的对象必须是同一个不等于0的整式。
3、分式的符号法则法则内容：分式的分子、分母与分式本身的符号同时改变其中两个，分式的值不变。
字母表示：AB =−A−B=−−AB=−A−B知识点3：分式的约分与通分4、分式的约分约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分，即A·CB·C =AB（C为整式且C≠0）.约分的方法：如果分式的分子、分母都是单项式，那么直接约去分子、分母的公因式；如果分式的分子、分母中至少有一个多项式，那么先分解因式，再约去分子、分母的公因式。
最简分式：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式。
5、分式的通分通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。
用字母表示：将AB 和CD通分，AB=A·DB·D，CD=B·CB·D（分母都为B·D）。
通分的步骤：（1）将所有分式的分母化为乘积的形式，当分母为多项式时，应进行因式分解；（2）确定最简公分母，即各分母的所有因式的最高次幂的积；（3）将分子、分母同乘一个因式，使分母变为最简公分母。
北师大版八年级数学初二下册第5章《分式与分式方程》5.4分式方程优秀PPT课件
2 1.(2014· 重庆中考)关于x的方程 x 1 1 的解是
A.x=4 B.x=3 C.x=2 D.x=1 2.(2014· 湘潭中考)分式方程
检测反馈
( B )
5 3 x2 x
的解为 ( C )
A.x=1
B.x=2
C.x=3
D.x=4 的根是 x=2
3.(2015·温州中考)方程
的包装箱进行包装,已知每个B型包装箱比A型包装箱多装15件
文具,单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用12个.设 B型包装箱每个可以装x件文具,根据题意列方程为 A. 1080 1080 12 x x 15
1080 1080 12 B. x x 15
1080 1080 12 D. x x 15
[知识拓展]
1.把分式方程化为整式方程的方法是去掉分式方程中的分 母.如何去掉分式方程中的分母是解分式方程的“关键”步骤.
2.用分式方程中各式的最简公分母分别乘方程的两边,从而约 去分母.但要注意用最简公分母乘方程两边的每一项,切勿漏项.
3.解分式方程可能产生使最简公分母为零的增根,因此检 验是解分式方程必要的步骤.
(2)以往学过的方程中,分母中含有字母吗?
归纳:分式方程的重要特征:
(1)含分母; (2)分母中含有未知数. 分式方程与整式方程的区别:分式方程中的分母含 有未知数,而整式方程中的分母不含有未知数.
1 1 x ( x 1) 【想一想】方程 3 6
是分式方程吗?
不是分式方程,分母中不含有未知数.
动装所需要的时间,由题意列出等量关系.故选B.
第五 章 分式与分式方程
(教材例1)解方程
1 3 . x2 x