高中数列练习题
1．若复数3i z =-，则z 在复平面内对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限2． 计算1i1i -+的结果是 A ．i B ．i -C ．2D ．2-3．计算1ii+的结果是（ ） A ．1i -- B ．1i -+ C ．1i + D ．1i - 4.复数9-的平方根是（ ）A ．i 3B ．i 3-C ．i 3±D ．不存在5.若复数i m m m m z )23(23222+-+--=是纯虚数，则实数m 的值为（ ）A ．21或B ．221或-C ．21- D ．26．=+-2)3(31i i （ ）A ．431i + B ．431i +- C ．231i+ D ．231i +-7.适合方程02=--i z z 的复数z 是（ ）A ．i 2163+ B ．i 2163- C ．i 2163-- D ．i 2163+±8．复数()()221345+-i i 等于 （ ）A ．13+iB ．－13+iC ．13-iD ．－13-i9．10032i i i i …··…··=（ ）A ．1B ．－1C ．ID ．－i10．复数的共轭复数是（ ） A ．34-i B ．3545+i C ．34+i D ．3545-i 11．在复平面内，复数2(1)1ii+-+对应的点位于（ ） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限）12．复数32(1)i i =+ A ．12 B ．12- C ．2i - D ．2i 13.若实数y x ,，满足2)1()1(=-++y i x i ，则xy 的值是（ ）A. 1B. 2C.－2D.－3 14．已知复数z 满足,11i zz=+-则z +1=（ ） A ．1 B. 0 C. 2 D. 215．=-+2008)11(ii （ ） A ．1 B ． 1- C ．i D ．i - 16．如果复数3z ai =+满足条件22z -<，那么实数a 的取值范围为（ ）Ａ．(-Ｂ．(22)-，Ｃ．(11)-， Ｄ．(17．复数2(1)1i i-=+（ ）．A ．22i -B ．1i --C ．1i -D ．2i18．36(1)2(1)12i i i--++++的值是( ). A ．0 B ．1 C ．i D ．2i19．若复数z 满足)1z z i +=,则2z z +的值等于( )A ．1B ．0C ．1-D ．122-+20．已知 3()z =⋅- ,那么复数z 在平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ． 第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 二、填空题：1、复数z=3-2i 的共轭复数为_________________。
2、若z= a+bi ，则z z -=____________，z z ⋅=____________.3、21,(1)____________i i=±= 4、11,11____________i ii i+-==-+ 5、设,2321i w +-=则.1,,_____________________232=++==w w w w 6、已知复数z 1=3+4i ，z 2=t+i ，且21z z ⋅是实数，则实数t 等于___________. 7、已知z 1=2+i ，z 2=1+2i ，则复数z=z 2-z 1对应的点在________象限。
8、若22(1)(32)x x x i -+++是纯虚数，则实数x 的值是___________9、2006)11(ii -+=___________ 10、已知复数ii Z +-=11，则4321Z Z Z Z ++++的值是___________11、已知复数122,13z i z i =-=-，则复数215z i z + = 。
12、*(),()n n f n i i n N -=+∈的值域中，元素的个数是___________个。
13．41()i i+=_______________ 14．已知,x y ∈R ，若23xi i y i +-=-，则x y -= ．17. 已知复数z 与（z +2）2 – 8 i 都是纯虚数，则z =_________。
18. 已知=+=-=+=.111431052121z z z zi z i z ，则，， 。
19．若(2)a i i b i -=-，其中a 、b R ∈，i 使虚数单位，则22a b +=_________。
20．若 12z a i =+, 234z i =-，且12z z 为纯虚数，则实数a 的值为 ． 21．复数11z i=-的共轭复数是_________。
22．计算=++-ii i 1)21)(1(__________。
23．复数234z i i i i =+++的值是___________。
24．复数.111-++-=iiz 在复平面内，z 所对应的点在第________象限。
25．已知复数032,z i =+复数003,z z z z z +=+满足则复数z =__________.26．计算()()221111iii i -++=+-______________。
27．若复数ii a 213++（a R ∈，i 为虚数单位位）是纯虚数，则实数a 的值为___________。
28．设复数121,2(),z i z x i x R =+=+∈若12z z 为实数，则x =_____________29. 若 12z a i =+, 234z i =-，且12z z 为纯虚数，则实数a 的值为 1、已知x 、y R ∈，|1|20y x y x x ≥-⎧⎪≤-+⎨⎪≥⎩, 则目标函数y x S -=2的最大值是 .2.（2007重庆文）已知y x z y y x y x +=⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+300-632则，的最大值为。
7. 已知变量,x y 满足约束条件20170x y x x y -+≤⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，则y x 的取值范围是______.9. 设x 、y 满足条件310x y y x y +⎧⎪-⎨⎪⎩≤≤≥，则22(1)z x y =++的最小值 ．13. 设D 是不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤≥+≤+14032102y x y x y x 表示的平面区域，则D 中的点),(y x P 到直线10=+y x 距离的最大值是._________15 设,x y 满足约束条件04312x y x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则231x y x +++取值范围是（）.A [1,5] .B [2,6] .C [3,10] .D [3,11]16. 已知点(,)P x y 的坐标满足条件41x y y x x +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，点O 为坐标原点，那么||PO 的最大值等于_______,最小值等于____________.17、已知点(),P x y 的坐标满足条件4,,1.x y y x x +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩则22x y +的最大值为.B. 8C. 16D. 1031（湖南卷）已知点P （x ，y ）在不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤-≤-022,01,02y x y x 表示的平面区域上运动，则z ＝x －y 的取值范围是 （ ）A ．[－2，－1]B ．[－2，1]C ．[－1，2]D ．[1，2]32.(山东卷）设x 、y 满足约束条件5,3212,03,0 4.x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≤≤⎪⎪≤≤⎩则使得目标函数65z x y =+的最大的点(,)x y 是().33（08年安徽理）如果实数x y 、满足条件101010x y y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪++≤⎩，那么2x y -的最大值为（ B ）A ．2B ．1C ．2-D ．3-37.(2007安徽理)如果点P 在平面区域⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤+-≥+-02012022y x y x y x 上，点Q 在曲线1)2(22=++y x 上，那么Q P 的最小值为（ A ）（A ）15-（B ）154-（C ）122- （D ）12-38(2007安徽文)如果点P 在平面区域⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤-+≥+-01202022y y x y x 上,点O 在曲线的那么上||,1)2(22PQ y x =++最小值为（ ）(A)23(B)154- (C)122- (D)12- 46.（2007天津理）设变量x y ，满足约束条件1133x y x y x y ⎧--⎪+⎨⎪-<⎩，，．≥≥则目标函数4z x y =+的最大值为（）Ａ．4Ｂ．11Ｃ．12Ｄ．14二.填空题:1.（2007福建文、理)已知实数x 、y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤-≥+,30,2,2y y x y x 则z ＝2x －y 的取值范围是 .2.（2007湖北文、理）设变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≥+≥+-.32,0,03x y x y x 则目标函数2x+y 的最小值为3.（2007陕西理）已知实数x 、y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-+≥+-,033,022,042y x y x y x ，则z =x+2y 的最大值为 .4.（2007陕西文）已知实数x 、y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤--≥+-,0,0,033,042y x y x y x 则y x z 2+=的最大值为 .6.（2007浙江文）y 2x z +=中的x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≥-≥+-0y x 0x 3052y x ,则z 的最小值是。
高中数学数列练习题
高中数学数列练习题一、选择题：1. 已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1=1，Sn=n2an，求a5的值。
A. 1B. 5C. 10D. 202. 等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3+a7=16，S8=64，则公差d的值为：A. 2B. 4C. 6D. 83. 等比数列{bn}的公比q≠1，若b3b4=b5b2，则公比q为：A. 1/2B. 1/3C. 2/3D. 3/2二、填空题：1. 已知数列{an}满足an+1=2an-1，a1=2，求a4的值。
2. 若等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5=15，S10=55，求公差d。
3. 已知等比数列{bn}的前n项和为Tn，若T3=21，b1=1，求b2的值。
三、解答题：1. 已知数列{an}的通项公式为an=3n-2，求数列的前10项和。
2. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1=2，d=3，求S20。
3. 已知等比数列{bn}的通项公式为bn=2n-1，求数列的前8项和。
四、证明题：1. 证明：若数列{an}为等差数列，且a1=2，d=3，则数列的前n项和Sn=3n2-n。
2. 证明：若数列{bn}为等比数列，且b1=1，q=2，则数列的前n项和Tn=2n-1。
五、应用题：1. 某工厂生产的产品，每件产品的生产成本构成一个等差数列，首项为10元，公差为2元。
若生产第10件产品的成本为32元，求生产第20件产品的成本。
2. 某银行的存款利息构成一个等比数列，首项为100元，公比为1.05。
若存入第3个月时的利息为157.625元，求存入第6个月时的利息。
3. 某公司销售的电脑，其销售价格构成一个等比数列，首项为5000元，公比为0.9。
若第3个月的销售价格为3430.5元，求第6个月的销售价格。
注意：以上题目仅供参考，具体答案需要根据题目中给出的公式和条件进行计算。
高中数学_数列练习题
数列经典解题思路求通项公式一、观察法 例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式： （1）9，99，999，9999， (2),17164,1093,542,211（3）,52,21,32,1解：（1）110-=nn a （2）;122++=n nn a n （3）;12+=n a n 二、公式法 例1. 等差数列{}na 是递减数列，且432a a a⋅⋅=48，432a a a++=12，则数列的通项公式是（ D ） (A) 122-=n a n(B) 42+=n a n(C) 122+-=n an(D) 102+-=n an例2. 已知等比数列{}na 的首项11=a ，公比10<<q ，设数列{}n b 的通项为21+++=n n n a a b ，求数列{}n b 的通项公式。
)1()1(1+=⋅+=-q q qq q b nn n当已知数列为等差或等比数列时，可直接利用等差或等比数列的通项公式，只需求得首项及公差公比。
三、 叠加法 例3：已知数列6，9，14，21，30，…求此数列的一个通项。
)(52N n na n ∈+=点评：一般地，对于型如)(1n f a an n +=+类的通项公式，只要)()2()1(n f f f +++能进行求和，则宜采用此方法求解。
例4. 若在数列{}n a 中，31=a ，na a n n +=+1，求通项n a 。
na =32)1(+-n n四、叠乘法 例：在数列｛n a ｝中，1a =1, (n+1)·1+n a =n ·n a ，求n a 的表达式。
na n 1=点评：一般地，对于型如1+n a =f (n)·n a 类的通项公式，当)()2()1(n f f f ⋅⋅ 的值可以求得时，宜采用此方法。
五、Sn 法利用1--=n n nS S a(n ≥2)例5：已知下列两数列}{na 的前n 项和sn 的公式，求}{na 的通项公式。
数列练习题高中
数列练习题高中一、等差数列1. 已知等差数列的前三项分别为3，5，7，求第10项的值。
2. 在等差数列{an}中，若a1=1，公差d=2，求前10项的和。
3. 已知等差数列的通项公式为an=3n2，求前n项和的表达式。
4. 在等差数列{an}中，若a5+a8=34，a3+a6=26，求首项a1和公差d。
二、等比数列1. 已知等比数列的前三项分别为2，6，18，求第6项的值。
2. 在等比数列{bn}中，若b1=3，公比q=3，求前5项的和。
3. 已知等比数列的通项公式为bn=2^n，求前n项和的表达式。
4. 在等比数列{bn}中，若b3•b6=144，b4•b5=108，求首项b1和公比q。
三、数列的综合应用1. 已知数列{cn}的通项公式为cn=n^2+n，求前n项和。
2. 在数列{dn}中，若d1=1，d2=3，dn=dn1+dn2（n≥3），求第10项的值。
3. 已知数列{en}的前n项和为Sn=2^n1，求通项公式。
4. 设数列{fn}的通项公式为fn=3n+2，求证：数列{fn+1 fn}是等差数列。
四、数列的极限1. 求极限：lim(n→∞) (1+1/n)^n。
2. 求极限：lim(n→∞) (n^2 n) / (2n^2 + 3n + 1)。
3. 求极限：lim(n→∞) (sqrt(n^2+1) sqrt(n^21))。
五、数列的应用题1. 一等差数列的前5项和为35，前10项和为110，求前15项和。
2. 一等比数列的第3项为12，第6项为48，求首项和公比。
3. 一数列的前n项和为2^n 1，求第10项的值。
4. 一数列的通项公式为an=n^2+n，求证：该数列的前n项和为(n+1)(n+2)/2。
六、数列的性质与判定3. 已知数列{gn}的通项公式为gn=2n1，判断数列{gn+1 gn}是否为等差数列。
4. 已知数列{hn}的通项公式为hn=n^3，判断数列{hn+1 / hn}是否为等比数列。
2023年苏教版新教材高中数学选择性必修第一册4.1数列 同步练习题含答案解析
4.1 数列一、单选题1．已知数列{}n a 的前n 项和22n S n n m =-++，且对任意*1,0n n n a a +∈-<N ，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()2,-+∞ B ．(),2-∞- C ．()2,+∞ D ．(),2-∞【答案】A【分析】根据数列为递减数列，结合n a 与n S 的关系即可求解. 【详解】因为10n n a a +-<，所以数列{}n a 为递减数列，当2n ≥时，()2212(1)2123n n n a S S n n m n n m n -⎡⎤=-=-++---+-+=-+⎣⎦，故可知当2n ≥时，{}n a 单调递减， 故{}n a 为递减数列，只需满足21a a <， 因为1211,1a a S m =-==+, 所以11m -<+,解得2m >-，2．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =+,那么它的通项公式n a =（ ） A ．n B ．2nC ．2n ＋1D ．n ＋1【答案】B【分析】根据111,1,2n n n a S n a S S n -==⎧⎨=-≥⎩即可求n a ．【详解】11112a S ==+=，()()()()221112,2n n n a S S n n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=≥⎣⎦,当1n =时，122n a ==， 2n a n ∴=.3．已知数列{}n a 满足111n n a a ++=，若502a =，则1a =（ ） A ．1- B ．12C ．32D ．24．在数列{}n a 中，12a =，11n n a a -=-（2n ≥，N n +∈），则2023a =（ ）A ．12 B ．1C ．1-D ．25．已知数列n 满足17n n +，则2（ ） A ．1- B ．12C ．2D ．526．已知数列{}n a 满足*1120222022,,N 20232023nn a a n +⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭，则下列结论成立的是（ ） A ．202120222020a a a << B ．202220212020a a a << C ．202120202022a a a << D ．202020212022a a a <<【答案】A【分析】根据指数函数的性质判断1342a a a a <<<，即可猜想数列{}n a 的奇数项递增，偶数项递减，且奇数项小于偶数项，再证明即可，从而可得答案.7．已知数列n a 满足12111,3,N ,2n n n a a a a a n n *-+===+∈≥，则2022a =（ ）A ．2-B ．1C ．4043D ．4044【答案】A【分析】由递推式得到21n n a a +-=-，从而得到6n n a a +=，由此再结合11n n n a a a -+=+即可求得2022a 的值.【详解】由11n n n a a a -+=+得12n n n a a a ++=+， 两式相加得21n n a a +-=-，即3n n a a +=-，故6n n a a +=， 所以20226321()2a a a a a ==-=--=-.8．已知数列{}n a 的前n 项和221n S n =-+，则这个数列的通项公式为（ ） A ．42n a n =-+B ．32n a n =-+C ．1,1,4 2.2n n a n n -=⎧=⎨-+≥⎩D ．1,1,32,2n n a n n -=⎧=⎨+≥⎩【答案】C【分析】已知和求通项公式：11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩进行计算.【详解】当1n =时，11211;a S ==-+=-当2n ≥时，()2212121142;n n n a S S n n n -=-=-++--=-+ 二、多选题9．已知数列{}n a 的通项公式为31,22,n n n a n n +⎧=⎨-⎩为奇数为偶数，则下列正确的是（ ）A ．619a =B ．76a a >C ．522S =D ．68S S >【答案】BC【分析】根据通项公式即可作出判断.【详解】对于A ，6是偶数，则621210a =-=-，A 错误； 对于B ，7622a a =>，B 正确；对于C ，54(2)10(6)1622S =+-++-+=，C 正确；对于D ，56612S S a =+=，86781222(14)20S S a a =++=++-=，68S S <，D 错误.10．下列数列{}n a 是单调递增数列的有（ ） A ．231n a n n =-+ B ．12nn a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．2n a n n=+D ．ln1n n a n =+55,89,144,233,⋯，在现代生物及化学等领域有着广泛的应用，它可以表述为数列{}n a 满足()12211,n n n a a a a a n +++===+∈N .若此数列各项被3除后的余数构成一个新数列{}n b ，记{}n b 的前n 项和为n S ，则以下结论正确的是（ ） A ．910n n b b ++-= B ．1029n n S S ++=+ C ．20222b = D ．20222696S =【答案】ABC【分析】根据数列{}n a 可得出数列{}n b 是以8为周期的周期数列，依次分析即可判断. 【详解】数列{}n a 为1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，…， 被3除后的余数构成一个新数列{}n b ，∴数列{}n b 为1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，2，0，2，2，1，0，…，观察可得数列{}n b 是以8为周期的周期数列，故910n n b b ++-=，A 正确；。
高中数学数列经典题型专题训练试题(含答案)
高中数学数列经典题型专题训练试题学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________说明：１、本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
满分100分。
考试时间120分钟。
２、考生请将第Ⅰ卷选择题的正确选项填在答题框内，第Ⅱ卷直接答在试卷上。
考试结束后，只收第Ⅱ卷第Ⅰ卷（选择题）一．单选题（共15小题，每题2分，共30分）1．数列{a n}，已知对任意正整数n，a1+a2+a3+…+a n=2n-1，则a12+a22+a32+…+a n2等于（）A．（2n-1）2B．C．D．4n-12．若{a n}为等比数列a5•a11=3，a3+a13=4，则=（）A．3B．C．3或D．-3或-3．已知各项均为正数的等比数列{a n}，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则a4a5a6=（）A．B．7C．6D．4．等差数列{a n}中，a1=1，a3=4，则公差d等于（）A．1B．2C．D．5．数列的前n项和为S n，a n=，则S n≥0的最小正整数n的值为（）6．若数列{a n}的前n项和S n=2n2-2n，则数列{a n}是（）A．公差为4的等差数列B．公差为2的等差数列C．公比为4的等比数列D．公比为2的等比数列7．已知数列{a n}的前n项和S n=2n-1，则此数列奇数项的前n项和为（）A．B．C．D．8．在等比数列{a n} 中，a1=4，公比为q，前n项和为S n，若数列{S n+2}也是等比数列，则q 等于（）A．2B．-2C．3D．-39．在数列{a n}中，a1=2，a2=2，a n+2-a n=1+（-1）n，n∈N*，则S60的值为（）A．990B．1000C．1100D．9910．若数列{a n}是公差为2的等差数列，则数列是（）A．公比为4的等比数列B．公比为2的等比数列C．公比为的等比数列D．公比为的等比数列11．在数列{a n}中，a1=0，a n=4a n-1+3，则此数列的第5项是（）A．252B．255C．215D．52212．数列{a n}、{b n}满足a n•b n=1，a n=n2+3n+2，则{b n}的前10项之和等于（）A．B．C．D．13．等比数列{a n}中，a1+a2=8，a3-a1=16，则a3等于（）14．已知在等比数列{a n}中，S n为其前n项和，且a4=2S3+3，a5=2S4+3，则此数列的公比q为（）A．2B．C．3D．15．数列{a n}的通项，则数列{a n}中的最大项是（）A．第9项B．第8项和第9项C．第10项D．第9项和第10项二．填空题（共10小题，每题2分，共20分）16．已知等差数列{a n}，有a1+a2+a3=8，a4+a5+a6=-4，则a13+a14+a15=______．17．在等差数列{a n}中，a3+a5+a7+a9+a11=20，则a1+a13=______．18．数列{a n}的通项公式为a n=2n+2n-1，则数列a n的前n项和为______．19．数列{a n}中，a1=1，a n+1=2a n+1，则通项a n=______．20．数列{a n}是公差不为0的等差数列，且a2+a6=a8，则=______．21．已知数列{a n}，a n+1=2a n+1，且a1=1，则a10=______．22．设正项等比数列{an}的公比为q，且，则公比q=______．23．已知数列{a n}满足a1=3，a n+1=2a n+1，则数列{a n}的通项公式a n=______．24．数列{a n}为等差数列，已知a3+2a8+a9=20，则a7______．25．设数列{a n}为正项等比数列，且a n+2=a n+1+a n，则其公比q=______．第Ⅱ卷（非选择题）三．简答题（共5小题,50分）26．（10分）已知等差数列{a n}，前n项和为S n=n2+Bn，a7=14．（1）求B、a n；（2）设c n=n•，求T n=c1+c2+…+c n．27．（8分）已知等差数列{a n}满足：a5=11，a2+a6=18（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=a n+3n，求数列{b n}的前n项和S n．28．（7分）已知数列{a n}是公差不为0的等差数列，a1=2，且a2，a3，a4+1成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，求数列{b n}的前n项和S n．29．（12分）已知数列{a n}满足．（1）求a2，a3，a4的值；（2）求证：数列{a n-2}是等比数列；（3）求a n，并求{a n}前n项和S n．30．（12分）在数列{a n}中，a1=16，数列{b n}是公差为-1的等差数列，且b n=log2a n（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）在数列{b n}中，若存在正整数p，q使b p=q，b q=p（p＞q），求p，q得值；（Ⅲ）若记c n=a n•b n，求数列{c n}的前n项的和S n．参考答案一．单选题（共__小题）1．数列{a n}，已知对任意正整数n，a1+a2+a3+…+a n=2n-1，则a12+a22+a32+…+a n2等于（）A．（2n-1）2B．C．D．4n-1答案：C解析：解：∵a1+a2+a3+…+a n=2n-1…①∴a1+a2+a3+…+a n-1=2n-1-1…②，①-②得a n=2n-1，∴a n2=22n-2，∴数列{a n2}是以1为首项，4为公比的等比数列，∴a12+a22+a32+…+a n2==，故选C．2．若{a n}为等比数列a5•a11=3，a3+a13=4，则=（）A．3B．C．3或D．-3或-答案：C解析：解：∵{a n}为等比数列a5•a11=3，∴a3•a13=3①∵a3+a13=4②由①②得a3=3，a13=1或a3=1，a13=3∴q10=或3，∴=或3，故选C．3．已知各项均为正数的等比数列{a n}，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则a4a5a6=（）A．B．7C．6D．答案：A解析：解：a1a2a3=5⇒a23=5；a7a8a9=10⇒a83=10，a52=a2a8，∴，∴，故选A．4．等差数列{a n}中，a1=1，a3=4，则公差d等于（）A．1B．2C．D．答案：D解析：解：∵数列{a n}是等差数列，a1=1，a3=4，∴a3=a1+2d，即4=1+2d，解得d=．故选：D．5．数列的前n项和为S n，a n=，则S n≥0的最小正整数n的值为（）A．12B．13C．14D．15答案：A解析：解：令a n=＜0，解得n≤6，当n＞7时，a n＞0，且a6+a7=a5+a8=a4+a9=a3+a10=a2+a11=a1+a12=0，所以S12=0，S13＞0，即使S n≥0的最小正整数n=12．故选A．6．若数列{a n}的前n项和S n=2n2-2n，则数列{a n}是（）A．公差为4的等差数列B．公差为2的等差数列C．公比为4的等比数列D．公比为2的等比数列答案：A解析：解：∵S n=2n2-2n，则S n-S n-1=a n=2n2-2n-[2（n-1）2-2（n-1）]=4n-4故数列{a n}是公差为4的等差数列故选A．7．已知数列{a n}的前n项和S n=2n-1，则此数列奇数项的前n项和为（）A．B．C．D．答案：C解析：解：当n=1时，a1=S1=21-1=1，当n≥2时，a n=Sn-Sn-1=2n-1-（2n-1-1）=2•2n-1-2n-1=2n-1，对n=1也适合∴a n=2n-1，∴数列{a n}是等比数列，此数列奇数项也构成等比数列，且首项为1，公比为4．∴此数列奇数项的前n项和为==故选C8．在等比数列{a n} 中，a1=4，公比为q，前n项和为S n，若数列{S n+2}也是等比数列，则q 等于（）A．2B．-2C．3D．-3答案：C解析：解：由题意可得q≠1由数列{S n+2}也是等比数列可得s1+2，s2+2，s3+2成等比数列则（s2+2）2=（S1+2）（S3+2）代入等比数列的前n项和公式整理可得（6+4q）2=24（1+q+q2）+12解可得q=3故选C．9．在数列{a n}中，a1=2，a2=2，a n+2-a n=1+（-1）n，n∈N*，则S60的值为（）A．990B．1000C．1100D．99答案：A解析：解：当n为奇数时，a n+2-a n=1+（-1）n=0，可得a1=a3=…=a59=2．当n为偶数时，a n+2-a n=1+（-1）n=2，∴数列{a2n}为等差数列，首项为2，公差为2，∴a2+a4+…+a60=30×2+=930．∴S60=（a1+a3+…+a59）+（a2+a4+…+a60）=30×2+930=990．故选：A．10．若数列{a n}是公差为2的等差数列，则数列是（）A．公比为4的等比数列B．公比为2的等比数列C．公比为的等比数列D．公比为的等比数列答案：A解析：解：∵数列{a n}是公差为2的等差数列∴a n=a1+2（n-1）∴∴数列是公比为4的等比数列故选A11．在数列{a n}中，a1=0，a n=4a n-1+3，则此数列的第5项是（）A．252B．255C．215D．522答案：B解析：解：由a n=4a n-1+3可得a n+1=4a n-1+4=4（a n-1+1），故可得=4，由题意可得a1+1=1即数列{a n+1}为首项为1，公比为4的等比数列，故可得a5+1=44=256，故a5=255故选B12．数列{a n}、{b n}满足a n•b n=1，a n=n2+3n+2，则{b n}的前10项之和等于（）A．B．C．D．答案：B解析：解：∵a n•b n=1∴b n==∴s10==（-）+=-=故选项为B．13．等比数列{a n}中，a1+a2=8，a3-a1=16，则a3等于（）A．20B．18C．10D．8答案：B解析：解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a1+a2=8，a3-a1=16，∴，解得，∴=2×32=18．故选：B．14．已知在等比数列{a n}中，S n为其前n项和，且a4=2S3+3，a5=2S4+3，则此数列的公比q为（）A．2B．C．3D．答案：C解析：解：∵a4=2S3+3，a5=2S4+3，即2S4=a5-3，2S3=a4-3∴2S4-2S3=a5-3-（a4-3）=a5-a4=2a4，即3a4=a5∴3a4=a4q解得q=3，故选C15．数列{a n}的通项，则数列{a n}中的最大项是（）A．第9项B．第8项和第9项C．第10项D．第9项和第10项答案：D解析：解：由题意得=，∵n是正整数，∴=当且仅当时取等号，此时，∵当n=9时，=19；当n=9时，=19，则当n=9或10时，取到最小值是19，而取到最大值．故选D．二．填空题（共__小题）16．已知等差数列{a n}，有a1+a2+a3=8，a4+a5+a6=-4，则a13+a14+a15=______．答案：-40解析：解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a1+a2+a3=8，a4+a5+a6=-4，∵a4+a5+a6=（a1+3d）+（a2+3d）+（a3+3d）=a1+a2+a3+9d，∴-4=8+9d，解得d=-，∴a13+a14+a15=a1+a2+a3+36d=8-×36=-40，故答案为：-4017．在等差数列{a n}中，a3+a5+a7+a9+a11=20，则a1+a13=______．答案：8解析：解：由等差数列的性质可得a3+a5+a7+a9+a11=（a3+a11）+a7+（a5+a9）=2a7+a7+2a7=5a7=20∴a7=4∴a1+a13=2a7=8故答案为：818．（2015秋•岳阳校级月考）数列{a n}的通项公式为a n=2n+2n-1，则数列a n的前n项和为______．答案：2n+n2-1解析：解：数列a n的前n项和S n=（2+22+23+…+2n）+[1+3+5+…+（2n-1）]=+=2n-1+n2．故答案为：2n-1+n2．19．数列{a n}中，a1=1，a n+1=2a n+1，则通项a n=______．答案：2n-1解析：解：由题可得，a n+1+1=2（a n+1），则=2，又a1=1，则a1+1=2，所以数列{a n+1}是以2为首项、公比的等比数列，所以a n+1=2•2n-1=2n，则a n=2n-1．故答案为：2n-1．20．数列{a n}是公差不为0的等差数列，且a2+a6=a8，则=______．答案：3解析：解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由a2+a6=a8，得a1+d+a1+5d=a1+7d，即a1=d，所以==．故答案为3．21．已知数列{a n}，a n+1=2a n+1，且a1=1，则a10=______．答案：1023解析：解：由题意，两边同加1得：a n+1+1=2（a n+1），∵a1+1=2∴{a n+1}是以2为首项，以2为等比数列∴a n+1=2•2n-1=2n∴a n=2n-1∴a10=1024-1=1023．故答案为：1023．22．设正项等比数列{an}的公比为q，且，则公比q=______．答案：解析：解：由题意知得∴6q2-q-1=0∴q=或q=-（与正项等比数列矛盾，舍去）．故答案为：23．已知数列{a n}满足a1=3，a n+1=2a n+1，则数列{a n}的通项公式a n=______．答案：2n+1-1解析：解：由题意知a n+1=2a n+1，则a n+1+1=2a n+1+1=2（a n+1）∴=2，且a1+1=4，∴数列{a n+1}是以4为首项，以2为公比的等比数列．则有a n+1=4×2n-1=2n+1，∴a n=2n+1-1．24．数列{a n}为等差数列，已知a3+2a8+a9=20，则a7______．答案：=5解析：解：等差数列{a n}中，∵a3+2a8+a9=20，∴（a1+2d）+2（a1+7d）+（a1+8d）=4a1+24d=4（a1+6d）=4a7=20，∴a7=5．故答案为：5．25．设数列{a n}为正项等比数列，且a n+2=a n+1+a n，则其公比q=______．答案：解析：解：由题设条件知a1+a1q=a1q2，∵a1＞0，∴q2-q-1=0解得，∵数列{a n}为正项等比数列，∴．故答案：．三．简答题（共__小题）26．已知等差数列{a n}，前n项和为S n=n2+Bn，a7=14．（1）求B、a n；（2）设c n=n•，求T n=c1+c2+…+c n．答案：解：（1）∵a7=14．即a7=S7-S6=72+7B-62-6B=14．解得B=1，当n=1时，a1=S1=2；当n≥2时，a n=S n-S n-1=n2+n-（n-1）2-（n-1）=2n．n=1时也适合∴a n=2n（2）由（1）c n=n•=n•4n，T n=c1+c2+…+c n．=1•41+2•42+3•43+…n•4n①4T n=1•42+2•43+3•44+…（n-1）•4n+n•4n+1，②①-②得-3T n=41+42+43+…4n-n•4n+1=-n•4n+1=•4n+1∴T n=•4n+1解析：解：（1）∵a7=14．即a7=S7-S6=72+7B-62-6B=14．解得B=1，当n=1时，a1=S1=2；当n≥2时，a n=S n-S n-1=n2+n-（n-1）2-（n-1）=2n．n=1时也适合∴a n=2n（2）由（1）c n=n•=n•4n，T n=c1+c2+…+c n．=1•41+2•42+3•43+…n•4n①4T n=1•42+2•43+3•44+…（n-1）•4n+n•4n+1，②①-②得-3T n=41+42+43+…4n-n•4n+1=-n•4n+1=•4n+1∴T n=•4n+127．已知等差数列{a n}满足：a5=11，a2+a6=18（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=a n+3n，求数列{b n}的前n项和S n．答案：解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，∵a5=11，a2+a6=18，∴，解得a1=3，d=2．∴a1=2n+1．（Ⅱ）由（I）可得：b n=2n+1+3n．∴S n=[3+5+…+（2n+1）]+（3+32+…+3n）=+=n2+2n+-．解析：解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，∵a5=11，a2+a6=18，∴，解得a1=3，d=2．∴a1=2n+1．（Ⅱ）由（I）可得：b n=2n+1+3n．∴S n=[3+5+…+（2n+1）]+（3+32+…+3n）=+=n2+2n+-．28．已知数列{a n}是公差不为0的等差数列，a1=2，且a2，a3，a4+1成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，求数列{b n}的前n项和S n．答案：解：（Ⅰ）设数列{a n}的公差为d，由a1=2和a2，a3，a4+1成等比数列，得（2+2d）2-（2+d）（3+3d），解得d=2，或d=-1，当d=-1时，a3=0，与a2，a3，a4+1成等比数列矛盾，舍去．∴d=2，∴a n=a1+（n-1）d=2+2（n-1）=2n．即数列{a n}的通项公式a n=2n；（Ⅱ）由a n=2n，得b n==，∴S n=b1+b2+b3+…+b n==．解析：解：（Ⅰ）设数列{a n}的公差为d，由a1=2和a2，a3，a4+1成等比数列，得（2+2d）2-（2+d）（3+3d），解得d=2，或d=-1，当d=-1时，a3=0，与a2，a3，a4+1成等比数列矛盾，舍去．∴d=2，∴a n=a1+（n-1）d=2+2（n-1）=2n．即数列{a n}的通项公式a n=2n；（Ⅱ）由a n=2n，得b n==，∴S n=b1+b2+b3+…+b n==．29．已知数列{a n}满足．（1）求a2，a3，a4的值；（2）求证：数列{a n-2}是等比数列；（3）求a n，并求{a n}前n项和S n．答案：解：（1）∵数列{a n}满足，∴．…（3分）（2）∵，又a1-2=-1，∴数列{a n-2}是以-1为首项，为公比的等比数列．…（7分）（注：文字叙述不全扣1分）（3）由（2）得，…（9分）∴．…（12分）解析：解：（1）∵数列{a n}满足，∴．…（3分）（2）∵，又a1-2=-1，∴数列{a n-2}是以-1为首项，为公比的等比数列．…（7分）（注：文字叙述不全扣1分）（3）由（2）得，…（9分）∴．…（12分）30．在数列{a n}中，a1=16，数列{b n}是公差为-1的等差数列，且b n=log2a n（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）在数列{b n}中，若存在正整数p，q使b p=q，b q=p（p＞q），求p，q得值；（Ⅲ）若记c n=a n•b n，求数列{c n}的前n项的和S n．答案：解：（Ⅰ）数列{a n}中，a1=16，数列{b n}是公差为-1的等差数列，且b n=log2a n；∴b n+1=log2a n+1，∴b n+1-b n=log2a n+1-log2a n=log2=-1；∴=，∴{a n}是等比数列，通项公式为a n=16×=；∴{b n}的通项公式b n=log2a n=log2=5-n；（Ⅱ）数列{b n}中，∵b n=5-n，假设存在正整数p，q使b p=q，b q=p（p＞q），则，解得，或；（Ⅲ）∵a n=，b n=5-n，∴c n=a n•b n=（5-n）×；∴{c n}的前n项和S n=4×+3×+2×+…+[5-（n-1）]×+（5-n）×①，∴s n=4×+3×+2×+…+[5-（n-1）]×+（5-n）×②；①-②得：s n=4×----…--（5-n）×=64--（5-n）×=48+（n-3）×；∴s n=96+（n-3）×．解析：解：（Ⅰ）数列{a n}中，a1=16，数列{b n}是公差为-1的等差数列，且b n=log2a n；∴b n+1=log2a n+1，∴b n+1-b n=log2a n+1-log2a n=log2=-1；∴=，∴{a n}是等比数列，通项公式为a n=16×=；∴{b n}的通项公式b n=log2a n=log2=5-n；（Ⅱ）数列{b n}中，∵b n=5-n，假设存在正整数p，q使b p=q，b q=p（p＞q），则，解得，或；（Ⅲ）∵a n=，b n=5-n，∴c n=a n•b n=（5-n）×；∴{c n}的前n项和S n=4×+3×+2×+…+[5-（n-1）]×+（5-n）×①，∴s n=4×+3×+2×+…+[5-（n-1）]×+（5-n）×②；①-②得：s n=4×----…--（5-n）×=64--（5-n）×=48+（n-3）×；∴s n=96+（n-3）×．。
高中数列经典练习题(含答案)
高中数列经典练习题（含答案）1. 已知数列满足.（1）求； （2）证明：2、已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，数列{}n b a 是公比为q 的等比数列，且.17,5,1321===b b b①求q 的值；②求数列{}n b 前n 项和.3.、设数列{n a }的前n 项和n S .已知首项a 1=3,且1+n S +n S =21+n a ,试求此数列的通项公式n a 及前n 项和n S .4. 设各项均为正数的数列{a n }和{b n }满足：a n 、b n 、a n+1成等差数列，b n 、a n+1、b n+1成等比数列，且a 1 = 1， b 1 = 2 ， a 2 = 3 ，求通项a n ，b n5、已知数列{n a }的前n 项和31=n S n(n ＋1)(n ＋2),试求数列{na 1}的前n 项和.答案：1.（1）.（2）证明：由已知，故， 所以证得2. ①3②13--n n3.∵a 1=3, ∴S 1=a 1=3.在S n+1＋S n =2a n+1中,设n=1,有S 2＋S 1=2a 2.而S 2=a 1＋a 2.即a 1＋a 2＋a 1=2a 2.∴a 2=6. 由S n+1＋S n =2a n+1,......(1) S n+2＋S n+1=2a n+2, (2)(2)－(1),得S n+2－S n+1=2a n+2－2a n+1，∴a n+1＋a n+2=2a n+2－2a n+1即 a n+2=3a n+1此数列从第2项开始成等比数列,公比q=3.a n 的通项公式a n =⎩⎨⎧≥⨯=-.2,32,1,31时当时当n n n此数列的前n 项和为S n =3＋2×3＋2×32＋…＋2×3n – 1=3＋13)13(321--⨯-n =3n . 4.2b n+1 = a n+1 + a n+2 ①}{n a 1111,3(2)n n n a a a n --==+≥32,a a 312n n a -=21231,314,3413a a a =∴=+==+=113--=-n n n a a )()()(12211a a a a a a a n n n n n -++-+-=--- 1213133312n n n a ---+=++++=312n n a -=a 2n+1 =b n b n+1 ②∵ a n 、b n 为正数， 由②得， 代入①并同除以得： ， ∴ 为等差数列∵ b 1 = 2 ， a 2 = 3 ， ，∴ ，∴当n ≥2时，，又a 1 = 1，当n = 1时成立， ∴5、n a =n S －1-n S =31n(n ＋1)(n ＋2)－31(n －1)n(n ＋1)=n(n ＋1).当n=1时，a 1=2,S 1=31×1×(1＋1)×(2＋1)=2,∴a 1= S 1.则n a ＝n(n ＋1)是此数列的通项公式。
人教版高中数学选择性必修第二册4.1 数列的概念 同步练习(含解析)
第四章数列4.1数列的概念基础过关练题组一对数列概念的理解1.下列说法正确的是()A.数列1,3,5,7可以表示为{1,3,5,7}B.数列-2,-1,0,1,2与数列2,1,0,-1,-2是相同的数列C.数列若用图象表示,从图象看都是一群孤立的点D.数列的项数一定是无限的2.下列数列中,既是无穷数列又是递增数列的是()A.1,13,132,133,…B.sinπ13,sin2π13,sin3π13,sin4π13,…C.-1,-12,-13,-14,…D.1,2,3,4,…,30题组二数列的通项公式及其应用3.已知数列{a n}的通项公式为a n=1+(−1) +12,n∈N*,则该数列的前4项依次为(深度解析)A.1,0,1,0B.0,1,0,1C.12,0,12,0D.2,0,2,04.数列{a n}的通项公式为a n=3 +1, 为奇数,2 -2, 为偶数,则a2a3=()A.70B.28C.20D.85.(2020山东菏泽高二上期中)已知数列1,3,5,7,…,2 -1,若35是这个数列的第n项,则n=()A.20B.21C.22D.236.(2020河南郑州八校高二上期中)已知函数f(x)=(3- ) -3, ≤7,-6,x>7,若数列{a n}满足a n=f(n)(n∈N*),且{a n}是递增数列,则实数a的取值范围是(易错)C.(2,3)D.(1,3)7.(多选)下列四个命题中,正确的有()A.k项为1+1B.已知数列{a n}的通项公式为a n=n2-n-50,n∈N*,则-8是该数列的第7项C.数列3,5,9,17,33,…的一个通项公式为a n=2n-1D.数列{a n}的通项公式为a n= +1,n∈N*,则数列{a n}是递增数列8.写出下列各数列的一个通项公式:(1)4,6,8,10,…;(2)12,34,78,1516,3132,…;(3)-1,85,-157,249,…;(4)5,55,555,5555,….9.已知a n=9 (n+1)10 (n∈N*),则数列{a n}中有没有最大项?如果有,求出最大项;如果没有,请说明理由.10.在数列{a n}中,a n=n2-kn(n∈N*),且{a n}为单调递增数列,求实数k的取值范围.题组三数列的递推公式及其应用11.已知a n+1-a n-3=0,n∈N*,则数列{a n}是()A.递增数列B.递减数列C.常数列D.不能确定12.若数列{a n}满足a1=1,a n+1=3a n+1,则a4=()A.7B.13C.40D.12113.若数列{a n}满足a1=2,a n+1=1+ 1− ,则a2021的值为()A.2B.-3C.-12D.1314.下列给出的图形中,星星的个数构成一个数列,则该数列的一个递推公式可以是()A.a n+1=a n+n,n∈N*B.a n=a n-1+n,n∈N*,n≥2C.a n+1=a n+(n+1),n∈N*,n≥2D.a n=a n-1+(n-1),n∈N*,n≥215.数列{a n}中,若a n+1= 2 +1(n∈N*),a1=1,则a n=.16.已知数列{a n}中,a1a2…a n=n2(n∈N*),则a9=.题组四数列的前n项和公式及其应用17.已知数列{a n}的前n项和S n=n2-n(n∈N*),则a5=()A.6B.8C.12D.20∈N*),S n=10,则n等18.已知数列{a n}的前n项和为S n,若a n于()A.90B.119C.120D.12119.已知数列{a n}的前n项和为S n,求数列{a n}的通项公式.(1)S n=2n-1,n∈N*;(2)S n=2n2+n+3,n∈N*.易错20.设数列{a n}的前n项和为S n,且S n=An2+Bn+C,A≠0.(1)当A=2,C=0,且a2=-10时,求数列{a n}的通项公式;(2)设{a n}的各项均为负实数,当a1=-36,a3=-9时,求实数A的取值范围.能力提升练题组一数列的通项公式及其应用1.(2020天津静海一中高二上期中,)设a n=1 +1+1 +2+1 +3+…+12 (n∈N*),那么a n+1-a n等于()A.12 +1B.12 +2C.12 +1+12 +2D.12 +1-12 +22.(2020山东滨州高二上期中,)数列2,0,2,0,…的通项公式可以是()A.a n=2( =2 +1, ∈N*)0( =2 , ∈N*)B.a n=2sin∈N*)C.a n=(-1)n+1(n∈N*)D.a n=cos nπ+1(n∈N*)3.(2020辽宁沈阳东北育才学校高二上期中,)已知数列{a n}的通项公式为a n= 2+130(n∈N*),且数列{a n}从第n项起单调递减,则n的最小值为()A.11B.12C.13D.不存在4.(2020山东滕州一中高二上阶段检测,)已知数列{a n}的通项公式为a n=2020−22021−2 ,且存在正整数T,S,使得a T≤a n≤a S对任意的n∈N*恒成立,则T+S=()A.15B.17C.19D.215.(多选)()若数列{a n}满足:对任意正整数n,{a n+1-a n}为递减数列,则称数列{a n}为“差递减数列”.给出下列数列{a n}(n∈N*),其中是“差递减数列”的有()A.a n=3nB.a n=n2+1C.a n=D.a n=ln +1题组二数列的递推公式及其应用6.(2020辽宁省实验中学高二上期中,)已知数列{a n}满足a n+1=2 ,0≤ <12,2 -1,12≤ <1,若a1=67,则a2020的值为()A.37B.47C.57D.677.(2020浙江浙南名校联盟高二上期中联考,)已知数列{a n}对任意的n∈N*都有a n+1< + +22,且a1+a2+…+a9=9,则下列说法正确的是()A.数列{a n+1-a n}为单调递减数列,且a5>1B.数列{a n+1-a n}为单调递增数列,且a5>1C.数列{a n+1-a n}为单调递减数列,且a5<1D.数列{a n+1-a n}为单调递增数列,且a5<18.()在数列{a n}中,a1=2,a n+1=a n+ln1+∈N*),则a n=.9.(2020湖南娄底高二上期中,)若数列{a n}满足(n-1)a n=(n+1)a n-1(n≥2,n∈N*),且a1=1,则a100=.10.(2020黑龙江牡丹江一中高二上期末,)分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学,它的创立,为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路.如图是按照一定的分形规律生长成的一个树形图,则第13行中实心圆点的个数是.题组三数列的前n项和公式及其应用11.(2020山东淄博一中高二上期中,)若数列{an}的通项公式是a n=(-1)n(3n-2)(n∈N*),则S10=()A.15B.12C.-12D.-1512.(2020福建福州高三上期末质量检测,)已知S n为数列{a n}的前n 项和,若a1=52,且a n+1(2-a n)=2(n∈N*),则S21=.13.(2020广东中山高二上期末统考,)若数列{an}满足a n+a n+1= +1- -1(n∈N*),其前n项和为S n,且S99=311,则a100=.14.()设数列{a n}满足a1+3a2+5a3+…+(2n-1)a n=2n(n∈N*).(1)求数列{a n}的通项公式;(2)n项和为S n,求证:S n<23.答案全解全析基础过关练1.C A中,{1,3,5,7}表示集合,不是数列;B中,两个数列中包含的数虽然相同,但排列顺序不同,不是相同的数列;D中,数列的项数可以是有限的也可以是无限的.故选C.2.C数列1,13,132,133,…是无穷数列,但它不是递增数列,而是递减数列;数列sinπ13,sin2π13,sin3π13,sin4π13,…是无穷数列,但它不是递增数列;数列-1,-12,-13,-14,…是无穷数列,也是递增数列;数列1,2,3,4,…,30是递增数列,但不是无穷数列.故选C.3.A解法一:由a n=1+(−1) +12,n∈N*,n分别取1,2,3,4,可得a1=1,a2=0,a3=1,a4=0.故选A.解法二:因为当n∈N*且n为奇数时,1+(-1)n+1=2,当n∈N*且n为偶数时,1+(-1)n+1=0,所以数列{a n}的奇数项的值为1,偶数项的值为0,故该数列的前4项依次为1,0,1,0.方法技巧当一个数列中的项的系数出现“+”“-”相间时,应先把符号分离出来,可用(-1)n或(-1)n+1表示.4.C由通项公式得a2=2×2-2=2,a3=3×3+1=10,所以a2·a3=20.5.D由题意得,2 -1=35,即2n-1=45,解得n=23,故选D.6.C根据题意,得a n=f(n)=(3- ) -3, ≤7, ∈N*,a n-6,n>7,n∈N*,要使{a n}是递增数列,需满足3− >0, >1,(3- )×7-3< 8−6,解得2<a<3.故选C.易错警示分段数列的单调性与相应分段函数的单调性有所不同,分段数列还要使得两段之间满足一定的条件,如本题中数列{a n }递增需满足a 7<a 8,而函数f(x)递增则需满足7(3-a)-3≤a 7-6,二者有较大的区别.7.ABD 对于A,k 项为1+1,A 正确;对于B,令n 2-n-50=-8,得n=7或n=-6(舍去),B 正确;对于C,将3,5,9,17,33,…的各项减去1,得2,4,8,16,32,…,设该数列为{b n },则其通项公式为b n =2n (n ∈N *),因此数列3,5,9,17,33,…的一个通项公式为a n =b n +1=2n +1(n ∈N *),C 错误;对于D,a n = +1=1-1 +1,则a n+1-a n =1 +1-1 +2=1( +1)( +2)>0,因此数列{a n }是递增数列,D 正确.故选ABD.8.解析(1)易知该数列是首项从4开始的偶数,所以该数列的一个通项公式为a n =2n+2,n ∈N *.(2)易知该数列中每一项分子比分母少1,且分母可写成21,22,23,24,25,…,故所求数列的通项公式可写为a n =2 -12 ,n ∈N *.(3)通过观察可知,该数列中的奇数项为负,偶数项为正,故选择(-1)n .又第1项可改写成分数-33,所以每一项的分母依次为3,5,7,9,…,可写成2n+1的形式.分子为3=1×3,8=2×4,15=3×5,24=4×6,……,可写成n(n+2)的形式.所以该数列的一个通项公式为a n =(-1)n · ( +2)2 +1,n ∈N *.(4)这个数列的前4项可以变为59×9,59×99,59×999,59×9999,即59×(10-1),59×(100-1),59×(1000-1),59×(10000-1),即59×(10-1),59×(102-1),59×(103-1),59×(104-1),所以它的一个通项公式为a n=59×(10n-1),n∈N*.9.解析解法一:由a n=9 (n+1)10 (n∈N*)得,a n+1-a n=9 +1(n+2)10 +1-9 (n+1)10 =9 (8-n)10 +1,n∈N*.当n<8时,a n+1-a n>0,即a n+1>a n,即{a n}在n<8时单调递增;当n=8时,a n+1-a n=0,即a n+1=a n,得a8=a9;当n>8时,a n+1-a n<0,即a n+1<a n,即{a n}在n>8时单调递减.所以数列{a n}的最大项是第8项或第9项,即a8=a9=99108.解法二:设a n为最大项,则 ≥ -1,≥ +1(n≥2,n∈N*),≥9 -1·n10 -1,≥9 +1(n+2)10 +1,解得8≤n≤9.又因为n∈N*,所以n=8或n=9,故{a n}的最大项为a8=a9=99108.10.解析由a n=n2-kn,得a n+1=(n+1)2-k(n+1),所以a n+1-a n=(n+1)2-k(n+1)-n2+kn=2n+1-k.因为{a n}为单调递增数列,所以a n+1-a n>0,即2n+1-k>0(n∈N*)恒成立,即k<2n+1(n∈N*)恒成立,所以k<3,所以k的取值范围为(-∞,3).11.A∵a n+1-a n=3>0,n∈N*,∴a n+1>a n,即该数列中的每一项均小于它的后一项,因此数列{a n}是递增数列,故选A.12.C由题意得,a2=3a1+1=4,a3=3a2+1=13,a4=3a3+1=40.故选C.13.A∵a1=2,∴a2=1+21−2=-3,从而a3=1+(−3)1−(−3)=-12,a4=13,a5=1+131−13=2=a1.∴{a n}是以4为周期的数列,又2021=505×4+1,∴a2021=a1=2,故选A.14.B由题中图形知,a1=1,a2=a1+2,a3=a2+3,a4=a3+4,故选B.15.答案12 -1解析由已知得,a2=13,a3=15,a4=17,a5=19,……,以此类推,可得a n=12 -1(n∈N*).16.答案8164解析由题意得,a1a2…a8=82,①a1a2…a9=92,②②÷①得,a9=9282=8164.17.B由S n=n2-n得,S5=52-5=20,S4=42-4=12,∴a5=S5-S4=20-12=8.故选B.18.C∵a n+ +1= +1- ,∴S n=(2-1)+(3-2)+…+( +1- )= +1-1=10,∴n+1=121,∴n=120.19.解析(1)∵S n=2n-1(n∈N*),∴当n=1时,a1=S1=2-1=1;当n≥2时,a n=S n-S n-1=2n-1-(2n-1-1)=2n-1.经检验,当n=1时,符合上式,∴a n=2n-1(n∈N*).(2)∵S n=2n2+n+3(n∈N*),∴当n=1时,a1=S1=2×12+1+3=6;当n≥2时,a n=S n-S n-1=2n2+n+3-[2(n-1)2+(n-1)+3]=4n-1.经检验,当n=1时,不符合上式,∴a n=6( =1),4 -1( ≥2, ∈N*).易错警示由数列{a n}的前n项和S n求通项公式时,要注意验证当n=1时的情况.若a1=S1适合a n(n≥2,n∈N*)的表达式,则通项公式可以合并,否则就写成分段的形式.20.解析(1)由题意得,当A=2,C=0时,S n=2n2+Bn.则当n≥2时,a n=S n-S n-1=2n2+Bn-[2(n-1)2+B(n-1)]=4n+(B-2).又a2=-10,∴a2=8+(B-2)=-10,∴B=-16,∴a n=4n-18(n≥2,n∈N*),当n=1时,可得a1=S1=2×12+(-16)×1=-14.经检验,当n=1时,符合a n=4n-18,∴a n=4n-18,n∈N*.(2)由题意得,当n≥2时,a n=S n-S n-1=2An+(B-A),∴a3=6A+(B-A)=5A+B=-9.∴B=-5A-9,∴a n=2An+(B-A)=2An-6A-9(n≥2,n∈N*),若{a n}的各项均为负实数,则A<0,∴a n=2An-6A-9在n≥2时单调递减,又∵a1=-36<0,∴只需a2<0即可,即a2=4A-6A-9<0,∴A>-92.故实数A的取值范围为-92<A<0.能力提升练1.D∵a n=1 +1+1 +2+1 +3+…+12 ,∴a n+1=1 +2+1 +3+…+12 +12 +1+12 +2,∴a n+1-a n=12 +1+12 +2-1 +1=12 +1-12 +2.2.B选项A中,n取不到1,其通项公式中不含a1,A错误;选项B中,当n是奇数时,a n=2×1=2,当n是偶数时,a n=2×0=0,B正确;选项C中,a1=0≠2,C错误;选项D中,a1=cosπ+1=0≠2,D错误.故选B.3.A∵a n= 2+130,∴a n+1= +1( +1)2+130,∴a n+1-a n= +12+2n+131- 2+130=- 2-n+130( 2+2n+131)( 2+130).由数列{a n}从第n项起单调递减可得a n+1-a n<0,即-n2-n+130<0,n∈N*.即n2+n-130>0,解得n<-1-5212或n>521-12,又n∈N*,∴n>521-12.∵22<521<23,∴10.5<521-12<11,∴n≥11,∴a11>a12>a13>…,即从第11项起,{a n}单调递减,∴n的最小值为11,故选A.4.D依题意得,a n=2020−22021−2 =1-12021−2 =1+12 -2021,∴当n≥11(n∈N*)时,2n≥211=2048,数列{a n}递减,且a n>1,∴(a n)max=a11,当n≤10(n∈N*)时,2n≤210=1024,数列{a n}递减,且a n<1,∴(a n)min=a10,∴a10≤a n≤a11,∴T+S=21,故选D.5.CD选项A,由a n=3n,得a n+1-a n=3,则{a n+1-a n}为常数列,不满足“差递减数列”的定义;选项B,由a n=n2+1,得a n+1-a n=(n+1)2+1-n2-1=2n+1,则{a n+1-a n}为递增数列,不满足“差递减数列”的定义;选项C,由a n= ,得a n+1-a n= +1- =显然{a n+1-a n}为递减数列,满足“差递减数列”的定义;选项D,由a n=ln +1,得a n+1-a n=ln +1 +2-ln +1=ln( +1)2 ( +2)=ln1+随着n的增大,此值变小,所以{a n+1-a n}为递减数列,满足“差递减数列”的定义.故选CD.6.D依题意得,a2=2a1-1=2×67-1=57,a3=2a2-1=2×57-1=37,a4=2a3=2×37=67=a1,∴数列{a n}是以3为周期的周期数列.∵2020=3×673+1,∴a2020=a1=67.故选D.7.D∵数列{a n}对任意n∈N*都有a n+1< + +22,∴a n+2-a n+1>a n+1-a n,∴{a n+1-a n}为单调递增数列.∴a6-a5>a5-a4,即a4+a6>2a5,a7-a6>a4-a3,即a3+a7>a4+a6,同理可得,2a5<a4+a6<a3+a7<a2+a8<a1+a9.∴a1+a2+a3+…+a9=(a1+a9)+(a2+a8)+(a3+a7)+(a4+a6)+a5>9a5,即9a5<9,∴a5<1,故选D.8.答案2+ln n解析由a n+1=a n+ln1+得a n+1-a n=ln +1 =ln(n+1)-ln n,∴a n=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(a n-a n-1)=2+(ln2-ln1)+(ln3-ln2)+…+[ln n-ln(n-1)]=2+ln n(n∈N*).9.答案5050解析由(n-1)a n=(n+1)a n-1,得 -1= +1 -1(n≥2,n∈N*),则a100=a1· 2 1· 3 2·…· 100 99=1×31×42×…×10199=5050.10.答案144解析不妨构造数列{a n}表示第n行实心圆点的个数,由题图可得每一个实心圆点的下一行均分为一个实心圆点与一个空心圆点,每个空心圆点下一行均为实心圆点.故从第三行开始,每行的实心圆点数均为前两行实心圆点数之和.易知a1=0,a2=1,且n≥3时,a n=a n-1+a n-2,故第1行到第13行中实心圆点的个数分别为0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144.11.A依题意得,a2n=6n-2,a2n-1=-6n+5,∴a2n-1+a2n=3,即a1+a2=a3+a4=a5+a6=a7+a8=a9+a10=3,∴S10=a1+a2+…+a10=3×5=15,故选A.12.答案83解析由a n+1(2-a n)=2,得a n+1=22− ,又a 1=52,所以a 2=22− 1=-4,a 3=22− 2=13,a 4=22− 3=65,a 5=22− 4=52=a 1,所以数列{a n }是周期为4的数列,因为21=4×5+1,所以a 21=a 1=52,所以S 21=5(a 1+a 2+a 3+a 4)+a 21-4+13+5+52=83.13.答案10-311解析∵a n +a n+1= +1- -1(n ∈N *),∴a 1+a 2=2-0,a 3+a 4=4-2,a 5+a 6=6-4,……a 99+a 100=100-98,∴S 100=a 1+a 2+a 3+a 4+…+a 99+a 100=(2-0)+(4-2)+(6-4)+…+(100-98)=100-0=10,又S 99=311,∴a 100=S 100-S 99=10-311.14.解析(1)由数列{a n }满足a 1+3a 2+5a 3+…+(2n-1)a n =2n(n ∈N *),①得当n ≥2时,a 1+3a 2+5a 3+…+(2n-3)a n-1=2(n-1),②①-②得(2n-1)a n =2(n ≥2,n ∈N *),即a n =22 -1(n ≥2,n ∈N *),经检验,当n=1时,a 1=2,满足上式,所以a n =22 -1,n ∈N *.(2)证明:设c n = 2 +3,由(1)可知,c n =22 -12 +3=2(2 -1)(2 +3)=12∴S n=c1+c2+…+c n=121−55-9…2 -3-2 +1= 1212 +12 +3=23-14 +2-14 +6=23-2 +2(2 +1)(2 +3),∵n∈N*,∴S n<23.。
高中数学练习题及讲解库数列
高中数学练习题及讲解库数列### 高中数学练习题及讲解：数列#### 练习题1：等差数列的求和题目：设等差数列 \(\{a_n\}\) 的首项 \(a_1 = 2\)，公差 \(d = 3\)，求前10项的和 \(S_{10}\)。
解答：等差数列的前 \(n\) 项和公式为：\[ S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d) \]将已知条件代入公式：\[ S_{10} = \frac{10}{2}(2 \times 2 + (10-1) \times 3) \]\[ S_{10} = 5(4 + 27) \]\[ S_{10} = 5 \times 31 \]\[ S_{10} = 155 \]所以，前10项的和为155。
#### 练习题2：等比数列的通项公式题目：设等比数列 \(\{b_n\}\) 的首项 \(b_1 = 5\)，公比 \(q = 2\)，求第5项 \(b_5\)。
解答：等比数列的通项公式为：\[ b_n = b_1 \times q^{(n-1)} \]将已知条件代入公式：\[ b_5 = 5 \times 2^{(5-1)} \]\[ b_5 = 5 \times 2^4 \]\[ b_5 = 5 \times 16 \]\[ b_5 = 80 \]所以，第5项 \(b_5\) 为80。
#### 练习题3：数列的递推关系题目：设数列 \(\{c_n\}\) 满足 \(c_1 = 1\)，且 \(c_{n+1} = 2c_n + 1\)，求 \(c_4\)。
解答：根据递推关系，我们可以逐步计算：\[ c_2 = 2c_1 + 1 = 2 \times 1 + 1 = 3 \]\[ c_3 = 2c_2 + 1 = 2 \times 3 + 1 = 7 \]\[ c_4 = 2c_3 + 1 = 2 \times 7 + 1 = 15 \]所以，\(c_4\) 为15。
高中数列求通项练习题
高中数列求通项练习题一、等差数列1. 已知等差数列的前三项分别是2，5，8，求第10项的值。
2. 在等差数列中，第5项是15，第10项是35，求第15项的值。
3. 等差数列的前5项和为35，第5项为15，求第10项的值。
4. 已知等差数列的公差为3，第7项为25，求首项和第15项的值。
5. 在等差数列中，第3项与第7项的差是10，求第10项与第4项的差。
二、等比数列6. 已知等比数列的前三项分别是2，6，18，求第8项的值。
7. 在等比数列中，第3项是12，第6项是96，求第9项的值。
8. 等比数列的前5项和为31，第5项为16，求首项和第10项的值。
9. 已知等比数列的公比为2，第4项为16，求首项和第7项的值。
10. 在等比数列中，第2项与第5项的比是1/8，求第4项与第7项的比。
三、综合数列11. 已知数列的前三项分别是1，3，7，求第10项的值。
12. 在数列中，第2项是4，第4项是16，求第6项的值。
13. 数列的前5项和为50，第5项为25，求第10项的值。
14. 已知数列的递推公式为an = an1 + 2n，且a1 = 1，求第10项的值。
15. 在数列中，第3项与第6项的差是12，求第9项与第4项的差。
四、特殊数列16. 已知数列的递推公式为an = an1 + an2，且a1 = 1，a2 = 1，求第10项的值。
17. 在数列中，第n项是n的平方减去n，求第15项的值。
18. 数列的前n项和为n^3 + n，求第10项的值。
19. 已知数列的递推公式为an = 2an1 + 1，且a1 = 1，求第10项的值。
20. 在数列中，第n项是n的立方除以n，求第12项的值。
四、特殊数列（续）21. 已知数列的递推公式为an = 3an1 2an2，且a1 = 1，a2 = 2，求第15项的值。
22. 在数列中，第n项是n的立方加上n，求第20项的值。
23. 数列的前n项和为2^n 1，求第15项的值。
高中数学数列大题练习题及答案
数列大题补充练习1.已知数列{}n a 为等差数列，且满足20a =，612a =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，且11b =，121n n b S +=+.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）若对任意的n *∈N ，不等式12n n k S a ⎛⎫⋅+≥ ⎪⎝⎭恒成立，求实数k 的取值范围.【解析】（1）∵62412a a d -==，∴3d =，∴()22n a a n d =+-，即36n a n =-，∵121n n b S +=+，∴()1212n n b S n -=+≥，∴()112n n n n b b S S +--=-，∴()132n n b b n +=≥，又21213b S =+=，213b b =也成立，∴{}n b 是以1为首项，3为公比的等比数列，∴13n n b -=.（2）()1113311132nnn n b q S q ---===--，∴3113622n k n ⎛⎫-⋅+≥- ⎪⎝⎭对n *∈N 恒成立，即()623n n k -≥对n *∈N 恒成立，令23n n n c -=，112327333n n n n nn n n c c -----+-=-=，当3n ≤时，1n n c c ->，当4n ≥时，1n n c c -<，∴()3max 127n c c ==，故3269k c ≥=，即k 的取值范围为2,9⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.2.已知{}n a 的前n 项和243n S n n =-+，（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列162n n a +-⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【解析】（1）当2n ≥时，221434(1)(1)352n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-+----+=-⎣⎦，当1n =时，116a S ==，∴6,(1)52,(2)n n a n n =⎧=⎨-≥⎩.（2）数列162n n a +-⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ，令110,(1)6212,(2)2n n n n n a b n n ++=⎧-⎪==⎨+≥⎪⎩，∴1n =时，n T =0，2n ≥时，3451579212122222n n n n n T +-+=++++ +，（1）4561215792121222222n n n n n T ++-+=++++…，（2）(1)-(2)得3451215222121222222n n n n n T ++-+=++++- ，451215111212+282222n n n n T +++⎛⎫=++- ⎪⎝⎭…，2422111221521725212828212n n n n n n T -++⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭++⎢⎥⎣⎦=+⋅-=--，172542n n n T ++=-，综上所述：10,(1)725(2)42n n n T n n +=⎧⎪=⎨+-≥⎪⎩，3.在数列{}n a 中，11a =，23a =，且对任意的*n ∈N ，都有2132n n n a a a ++=-．（1）证明数列+1{}n n a a -是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）设12n n n n b a a +=，记数列{}n b 的前n 项和为n S ，若对任意的*n ∈N 都有1n n S m a ≥+，求实数m 的取值范围．【解析】（1）由2132n n n a a a ++=-可得2112()n n n n a a a a +++-=-，又11a =，23a =，所以2120a a -=≠，故2112n n n na a a a +++-=-，所以1{}n n a a +-是首项为2，公比为2的等比数列，所以12nn n a a +-=．所以1211()()n n n a a a a a a -=+-++- 21222n=++++ 21n =-．（2）因为12(21)(21)n n n n b +=--11(21)(21)(21)(21)n n n n ++---=--1112121n n +=---．所以12n nS b b b =+++ 223+1111111()()()212121212121n n =-+-++------- +11=121n --．又对任意的*n ∈N 都有1n n S m a ≥+，所以+11112121n n m ≤----恒成立，即min 111(1)2121n n m +≤----，易知当1n =时，11112121n n +----取得最小值，所以13m ≤-．故实数m 的取值范围为1(,]3-∞-．4.设n S 为数列{}n a 的前n 项和，()2n n S a n n *=-∈N ．（1）求证：数列{}1n a +是等比数列；（2）求证：121111122n na a a -<+++<L ．【解析】（1）当1n =时，11121a S a ==-，解得11a =；当2n ≥时，由2n n S a n =-得()1121n n S a n --=--，上述两式相减得11221n n n n n a S S a a --=-=--，整理得121n n a a -=+.则111122211n n n n a a a a ---++==++，且112a +=.所以，数列{}1n a +是以2为首项，2为公比的等比数列；（2）由（1）可知11222n n n a -+=⨯=，则21n n a =-．因为111212n nn a =>-，所以212111*********n n n a a a +++>+++=-L L .又因为()1111111212222n n n n n a ---==≤--，所以1112111111122222n n n a a a --+++≤+++=-<L L ．综上，121111122n n a a a -<+++<L ．5.用数学归纳法证明11111112324n n n n n +++⋅⋅⋅+>++++()*n ∈N .6.在数列{}n a 中，11a =，当n ≥2时，其前n 项和n S 满足2(1)n n n S a S =-，设22log n n n S b S +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求满足n T ≥5的最小正整数n【解析】在数列{a n }中，a 1＝1，当n ≥2时，其前n 项和为S n 满足S n 2＝a n （S n ﹣1），∴S n 2＝（S n ﹣S n ﹣1）（S n ﹣1），化为：111n n S S --=1．∴数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，首项为1，公差为1．∴1n S =1+（n ﹣1）＝n ，解得：S n 1n=．∴b n ＝log 2222log n n S n S n++=，数列{b n }的前n 项和为T n 2222234512log log log log log 1231n n n n ++=+++++- 234512log 1231n n n n ++⎛⎫=⨯⨯⨯⨯⨯ ⎪-⎝⎭ ()()212log 2n n ++=．由T n ≥6，即()()212log 2n n ++≥5，解得（n +1）（n +2）≥26，令f （x ）＝x 2+3x ﹣6223(2x =+-6414-，可得：f （x ）在[1，+∞）上单调递增．而f （6）＝﹣8＜0，f （7）＝8＞0，若x *∈N ，则n ≥7．则满足T n ≥5的最小正整数n 是7．7．记首项为1的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()12331n n n n S a +⋅=-.（1）求证：数列{}n a 是等比数列；（2）若()29(1)log n n n b a =-⋅，求数列{}n b 的前2n 项和.【解析】（1）依题意，11213n n n S a +⎛⎫=- ⎪⎝⎭，1211213n n n S a +++⎛⎫=- ⎪⎝⎭，两式相减可得，()21111303n n n a a +++⎛⎫--= ⎪⎝⎭，故213n n a a ++=，而12223S a =，故213a a =，故数列{}n a 是以1为首项，3为公比的等比数列；（2）由（1）可13,n n a -=所以()()2212991(1)log (1)log 3(1)(1)4n n n n n n b a n -=-⋅=-⋅=⋅-⋅-，故2122221211(1)(22)(1)(21)(43)44n n n n b b n n n --⎡⎤+=⋅-⋅-+-⋅-=-⎣⎦，记数列{}n b 的前2n 项和为2n T ，则22111(15943)424n T n n n =+++⋯+-=-.8.已知数列{}n a 中，14a =，n a >1314n n n n a a a a +=-+，记22212111n n T a a a =+++ ．（1）证明：2n a >；（2）证明：115116n na a +≤<；（3）证明：8454n n n T -<<．【解析】（1）因为1314n n n n a a a a +=-+，所以3133(2)(2)1422n n n n n n n na a a a a a a a +---=-+-=-，所以31323221212n n n n n n na a a a a a a +---==---，令1n t a =，则2312()122n n a m t t t a +-==---，因为n a >，所以3(0,3t ∈，所以2()260m't t t =--<，所以()m t 在3(0,3上单调递减，所以31623())10339m t m ->=-->，即n a >时，1202n n a a +->-恒成立，所以12n a +-与2n a -同号，又1220a -=>，所以2n a >成立．（2）2212422141115111514()4()18162816n n n n n a a a a a +=-+=-+<-+=，又2121115154()81616n n n a a a +=-+≥，所以115116n na a +≤<．（3）先证4n n T <，因为2n a >，所以2114n a <，所以22212111144n n n T n a a a =+++<⋅= ；再证845n n T >-，因为1314n n n n a a a a +=-+，所以12()1144n n n n a a a a +-=+，又212321411151514(81616n n n n n a a a a a +=-+=-+>，所以11615n n a a +>，所以116()31n n n a a a +<+，又10n n a a +-<，所以2211()4()431n n n n n a a a a a ++->-，所以221222121114()314n n n n n T a a a a a +=+++>-+ 4488(416)31443145n n n >-+=->-，故8454n n n T -<<．。