二次函数中的三角形问题二

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学习过程

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一、复习预习

（一）三角形的性质和判定：

1、等腰三角形

性质：两腰相等，两底角相等，三线合一（中线、高线、角平分线）。

判定：两腰相等，两底角相等，三线合一（中线、高线、角平分线）的三角形是等腰三角形。

2、直角三角形

性质：满足勾股定理的三边关系，斜边上的中线等于斜边的一半。

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判定：有一个角是直角的三角形是直角三角形。

3、等腰直角三角形

性质：具有等腰三角形和等边三角形的所以性质，两底角相等且等于45°。

判定：具有等腰三角形和等边三角形的所以性质的三角形是等腰直角三角形

4、等边三角形

性质：三边相等，三个角相等且等于60°，三线合一，具有等腰三角形的一切性质。判定：三边相等，三个角相等，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

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（二）求作等腰三角形、直角三角形的方法：

图一两圆一线图解图二两线一圆图解

总结：（1）通过“两圆一线”可以找到所有满足条件的等腰三角形，要求的点（不与A、B点重合）即在两圆上以及两圆的公共弦上

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精选范本 （2）通过“两线一圆”可以找到所有满足条件的直角三角形，要求的点（不与A 、B 点重合）即在圆上以及在两条与直径AB 垂直的直线上。

（三）等腰三角形、直角三角形可能的情况：

(1)当所求三角形是等腰三角形时，可以是三角形任意两边相等，即：

AB=AC 、AB=BC 、AC=BC 如图；

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精选范本 (2)当所求三角形是直角三角形时，可以是三角形任意的内角为直角,即：∠A=90°、∠B=90°、∠C=90°，如图所示；

（四）二次函数中三角形的存在性问题解题思路：

（1）先分类，罗列线段的长度，如果是等腰三角形则分别令三边两两相等去求解；如果是直角三角形则分别令每个内角等腰90°去分类讨论；

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（2）再画图；

（3）后计算。

二、知识讲解

考点/易错点1

利用待定系数法求抛物线解析式的三种常用形式：

（1）【一般式】已知抛物线上任意三点时，通常设解析式为，然后解三元方程组求解；

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（2）【顶点式】已知抛物线的顶点坐标和抛物线上另一点时，通常设解析式为 求解； （3）【交点式】已知抛物线与轴的交点的坐标时，通常设解析式为 。

考点/易错点2

抛物线上两个点A （x 1，y ），B （x 2，y ）之间的关系： (1)如果两点关于对称轴对称，则有对称轴2

x 2

1x x +=

；

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(2)两点之间距离公式：已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ， 则由勾股定理可得：221221)()(y y x x PQ -+-=

练一练：已知A （0，5）和B （－2，3），则AB ＝ 。 (3)中点公式：已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ，则线段PQ 的中点M 为⎪⎭

⎫

⎝⎛++222121y y ,x x 。 练一练：已知A （0，5）和B （－2，3），则线段AB 的中点坐标是

(4)如图：PG ∥X 轴，QG ∥Y 轴，P 点的横坐标为，G 点的横坐标为，纵坐标为，Q 点的纵坐标为，则线段PG=，QG=。

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考点/易错点3 求三角形的面积：

（1）直接用面积公式计算；（2）割补法；（3）铅垂高法；

如图，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”（a ），中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高”（h ）．我们可得出一种计算

三角形面积的新方法：S △ABC =1

2ah

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考点/易错点4

二次函数中三角形面积、周长的存在性问题解题思路：

（1）如果是一个三角形面积为一个三角形面积的多少倍，则分别表示出每个三角形的面积去求解；如果是一个三角形面积为固定值，则用含有未知数的式子去表示面积去求解；如果是三角形周长最小，则

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做对称点去求解；如果是三角形面积最大，则划归为二次函数最值问题去求解。（2）再画图；

（3）后计算。

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三、例题精析

【例题1】

【题干】（孝感）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为（2，0），直线y=x+1与二次函数的图象交于A，B两点，其中点A在y轴上．

（1）二次函数的解析式为；

（2）证明：点（-m，2m-1）不在（1）中所求的二次函数的图象上；

（3）若C为线段AB的中点，过C点作CE⊥x轴于E点，CE与二次函数的图象交于D点．

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①y轴上存在点K，使以K，A，D，C为顶点的四边形是平行四边形，则K点的坐标是；

②二次函数的图象上是否存在点p，使得S三角形POE=2S三角形ABD？

求出P点坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)y=x2-x+1；(2)见解析；(3) ①K（0，-3）或（0，5）；②P（-6，16）和P（10，16）.【解析】（1）解：顶点坐标为（2，0），可设解析式为：y=a（x-2）2（a≠0），

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