2020年上海市浦东新区建平中学高考数学模拟试卷(3月份)
2020年上海市浦东新区建平中学高考数学模拟试卷(3月份)
一、填空题:(本大题共有12题,满分54分,第1~6题每题4分,第7~12题每题5分)
1. 双曲线2x 2?y 2=6的焦距为________.
2. 复数z =3+4i
1?2i ,则|z|=________.
3. 已知(ax +1
x
)6二项展开式的第五项系数为15
2
,则正实数a 的值为________.
4. 已知各项均为正数的数列{a n },前n 项和S n =12
(a n +1a n
),则通项a n =________.
5. 已知函数f(x)=3x+1x+a
(a ≠1
3)图象与它的反函数图象重合,则实数a =________.
6. 某几何体的三视图如图所示(单位:cm ),则该几何体的体积为 32 cm 3
.
7. 已知四面体ABCD 中,AB =CD =2,E ,F 分别为BC ,AD 的中点,且异面直线AB 与CD 所成的角为π
3,则EF =________.
8. 若直线ax +2by ?2=0(a,?b >0)始终平分曲线{x =cos α+2y =sin α+1 (α∈[0,?2π))的周长,则1a +2
b 的最小值为
________.
9. 在平面直角坐标系中,O 是坐标原点,已知点A(3,√3),点P(x,?y)的坐标满足{√3x ?y ≤0
x ?√3y +2≥0y ≥0 ,设z 为
OA →
在OP →
上的投影,则z 的取值范围是________.
10. 已知0 ?x 3,x ∈[?a,a]的最大值为M ,最小值为m ,则M +m 的值 为________. 11. 已知a ,b ∈R 且0≤a +b ≤1,函数f(x)=x 2+ax +b 在[?1 2,?0]上至少存在一个零点,则a ?2b 的取值 范围为________. 12. 在数字1,2,3,…,n(n ≥2)的任意一个排列A:a 1,a 2,a 3,…,a n 中,如果对于i ,j ∈N ?,i n(n?1)4 . 二、选择题(本大题共有4题,满分20分)每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上, 将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分. 已知锐角△ABC 的面积为3√3,BC =4,CA =3,则角C 的大小为( ) A.75° B.60° C.45° D.30° 2位男生和3位女生共5位同学站成一排,3位女生中有且只有两位女生相邻,则不同排法的种数是( ) A.72 B.60 C.36 D.24 已知数列{a n }的通项公式为a n = 1n(n+1) (n ∈N ?),其前n 项和S n = 9 10 ,则双曲线 x 2 n+1 ? y 2n =1的渐近线方程为 ( ) A.y =±2√2 3 x B.y =± 3√2 4 x C.y =± 3√10 10 x D.y =± √10 3 x 已知单位向量a → ,b → ,且a → ?b → =0,若t ∈[0,?1],则|t(b → ?a → )+a → |+|512 b →+(1?t)(a → ?b → )|的最小值为( ) A. √193 12 B.13 12 C.√2 D.1 三、解答题(本大题共有5题,满分76分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的 步骤. 在四棱锥P ?ABCD 中,底面为梯形,AB?//?CD ,∠BAP =∠CDP =90°,PA =PD =AB =2,PA ⊥PD ,四棱锥P ?ABCD 的体积为4. (1)求证:AB ⊥平面PAD ; (2)求PC 与平面ABCD 所成角. 设数列{a n }的前n 项和为S n . (1)若S n =pa n +1(p ≠0,?1),n ∈N ?,且S n 递增,求p 的取值范围; (2)若S 2019=0,|a 1?2a 2|=|a 2?2a 3|=…=|a 2018?2a 2019|=|a 2019?2a 1|,求证:a 1=a 2=…=a 2019=0. 如图,旅客从某旅游区的景点A 处下山至C 处有两种路径.一种是从A 沿直线步行到C ,另一种从A 沿索道乘缆车到B ,然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处下山,甲沿AC 匀速步行,速度为50米/分钟,在甲出发2分钟后,乙从A 乘缆车到B ,在B 处停留1分钟后,再从B 匀速步行到C .假设缆车匀速直线运动的速度为130米/分钟,山路AC 长1260米,经测量,cos A = 12 13 ,cos C =3 5 . (1)求索道AB 的长; (2)问乙出发后多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短? 已知椭圆C:x 2 a 2+y 2 b 2=1上的点到右焦点F 的最近距离是√3?√2,且短轴两端点和长轴的一个端点构成等边三角形. (1)求椭圆C 的方程; (2)若点M 为直线l:x +y ?4=0在第一象限上一点,且F 到直线OM 的距离为1,求以线段OM 为直径的圆方程; (3)设P 1(x 1,?y 1),P 2(x 2,?y 2),P 3(x 3,?y 3)是椭圆C 三个不同点,记:a 1=|x 1+y 1?4|,a 2=|x 2+y 2?4|,a 3=|x 3+y 3?4|,若a 1,a 2,a 3成等差数列,求其公差d 的取值范围. 设对集合D 上的任意两相异实数x 1,x 2,若|f(x 1)?f(x 2)|≥|g(x 1)?g(x 2)|恒成立,则称f(x)在D 上优于g(x);若|f(x 1)?f(x 2)|>|g(x 1)?g(x 2)|恒成立,则称f(x)在D 上严格优于g(x). (1)设f(x)在R 上优于g(x),且y =f(x)是偶函数,判断并证明y =g(x)的奇偶性; (2)若f(x)在R 上严格优于g(x),?(x)=f(x)+g(x),若y =f(x)是R 上的增函数,求证:?(x)=f(x)+g(x)在R 上也是增函数; (3)设函数f(x)=log a 8x ,g(x)=log a (a +x)?log a (a ?x),若0 参考答案与试题解析 2020年上海市浦东新区建平中学高考数学模拟试卷(3月份) 一、填空题:(本大题共有12题,满分54分,第1~6题每题4分,第7~12题每题5分) 1. 【答案】 6 【考点】 双曲线的标准方程 【解析】 将双曲线的方程化为标准方程,求得a ,b ,c ,可得焦距2c 的值. 【解答】 解:双曲线2x 2 ?y 2 =6即为 x 23 ? y 26 =1, 可得a =√3,b =√6,c =√a 2+b 2=3, 即有焦距为2c =6. 故答案为:6. 2. 【答案】 √5 【考点】 复数的模 【解析】 直接由商的模等于模的商求解. 【解答】 ∵ z = 3+4i 1?2i , ∴ |z|=|3+4i 1?2i |=|3+4i| |1?2i|=√32+42 22 =√5 =√5. 3. 【答案】 √2 2 【考点】 二项展开式的特定项与特定系数 【解析】 T 5=a 2?64x ?2,由已知可得:a 2?64=15 2 ,a >0.解出即可得出. 【解答】 解:T 5=C 64(ax)2(1 x )4=a 2C 64x ?2 , ∴ a 2C 64= 152 ,a >0. 解得a = √22 . 故答案为:√2 2. 4. 【答案】 √n ?√n ?1 【考点】 数列递推式 【解析】 直接利用数列的递推关系式的变换求出数列的通项公式. 【解答】 各项均为正数的数列{a n },前n 项和S n =1 2(a n + 1a n ), 当n =1时,a 1=1 整理得:2S n a n =a n 2+1, 当n ≥2时,2S n (S n ?S n?1)=(S n ?S n?1)2+1,整理得S n 2?S n?12=1(常数), 所以数列{S n 2}是以1为首项,1为公差的等差数列. 所以S n 2=1+(n ?1)=n , 整理得S n =√n , 所以a n =S n ?S n?1=√n ?√n ?1(首项符合通项). 所以a n =√n ?√n ?1. 5. 【答案】 ?3 【考点】 反函数 【解析】 由y = 3x+1x+a (a ≠13),可得反函数:y = ?ax+1x?3 ,利用函数f(x)= 3x+1x+a (a ≠1 3)图象与它的反函数图象重合,即 为同一个函数即可得出. 【解答】 解:由y = 3x+1x+a (a ≠13),解得x = ay?13?y (y ≠3), 把x 与y 互换可得:y = ax?13?x = ?ax+1x?3 , ∵ 函数f(x)= 3x+1x+a (a ≠13 )图象与它的反函数图象重合, ∴ ?a =3,解得a =?3. 故答案为:?3. 6. 【答案】 32. 【考点】 由三视图求体积 【解析】 判断几何体的形状,利用三视图的数据求解几何体的体积即可. 【解答】 几何体看作是正方体的棱长为2的几何体,拼接而成. 直观图如图:是4个正方体,所以几何体的体积为:4×2×2×2=32(cm 3). 7. 【答案】 1或√3 【考点】 异面直线及其所成的角 【解析】 取BD 中点O ,连结EO 、FO ,推导出EO =FO =1,∠EOF =π 3,或∠EOF =2π3 ,由此能求出EF . 【解答】 解:取BD 中点O ,连结EO ,FO , ∵ 四面体ABCD 中,AB =CD =2,E ,F 分别为BC ,AD 的中点, 且异面直线AB 与CD 所成的角为π 3, ∴ EO?//?CD ,且EO =1 2CD =1,FO?//?AB ,且FO =1 2AB =1, ∴ ∠EOF 是异面直线AB 与CD 所成的角, ∴ ∠EOF =π 3,或∠EOF = 2π3 , 当∠EOF =π3时,△EOF 是等边三角形,∴ EF =1. 当∠EOF = 2π3 时,EF =√12+12?12 ×1×1×cos 2π3 =√3. 综上,EF =1或√3. 故答案为:1或√3. 8. 【答案】 3+2√2 【考点】 直线与圆的位置关系 基本不等式及其应用 【解析】 由题意可得,直线ax +2by ?2=0(a,?b >0)经过圆的圆心,可得2a +2b ?2=0,即a +b =1.再根据 1 a +2 b =(1 a +2 b )(a +b),展开利用基本不等式求得它的最小值. 【解答】 由题意可得,曲线{x =cos α+2y =sin α+1 (α∈[0,?2π))对应的直角坐标方程为:(x ?2)2+(y ?1)2=1; 直线ax +2by ?2=0(a,?b >0)经过圆的圆心(2,?1), 故有 2a +2b ?2=0,即a +b =1. 则 1a +2b =(1a +2b )(a +b)=3+ 2a b +b a ≥3+2√ 2a b ?b a =3+2√2, 当且仅当2a b =b a 时等号成立. 9. 【答案】 [?3,?3] 【考点】 简单线性规划 【解析】 先根据约束条件画出可行域,设z 为OA →在OP →上的投影,再利用z 的几何意义求范围,只需求出向量 OA →和 OP → 的夹角的余弦值的取值范围即可,从而得到z 值即可. 【解答】 z = OA → ?OP → |OP →| =|OA → |?cos ∠AOP =2√3cos ∠AOP , ∵ ∠AOP ∈[π6 , 5π6], ∴ 当 ∠AOP =π 6时,z max =2√3cos π 6=3, 当 ∠AOP = 5π 6 时,z min =2√3cos 5π6 =?3, ∴ z 的取值范围是[?3,?3]. ∴ 10. 【答案】 4039 【考点】 函数的最值及其几何意义 【解析】 分离常数处理,构造新函数g(x)=?12020x +1 ?x 3,利用g(?x)+g(x)=?1,最值为定值即可求解; 【解答】 解:函数f(x)= 2020x+1+20192020x +1 ?x 3 =2020x ?2020+2020?1x ?x 3 =2020(2020x +1)?12020x +1?x 3 =2020? 12020x +1 ?x 3 . 令g(x)=? 12020x +1 ?x 3,y =2020x +1. 由于y =2020x +1在定义域上单调递增, ∴ g(x)=? 12020x +1 ?x 3在定义域上单调递增. ∵ g(?x)=?1 2020?x +1?(?x)3 =?2020x 1+2020+x 3, 可得g(?x)+g(x)=?1. ∵ x ∈[?a,?a], ∴ M =f(x)max =g(a)+2020, m =f(x)min =g(?a)+2020, 则M +m =2020+2020?1=4039. 故答案为:4039. 11. 【答案】 [0,?1] 【考点】 二次函数的性质 二次函数的图象 【解析】 列出满足的约束条件,画出满足条件的可行域,进而可得答案. 【解答】 解:由题意,要使函数f(x)=x 2+ax +b 在区间[?1 2,?0]有零点, 只要f(?12)× f(0) ≤0,或{ f(0)=b ≥0 f(?12)=14?12 a + b ≥0?12 2<0Δ=a 2?4b >0 , 其对应的平面区域如下图所示: 则当a =?1,b =?1时,a ?2b 取最大值1, 当a =0,b =0时,a ?2b 取最小值0, 所以a ?2b 的取值范围为[0,?1]. 故答案为:[0,?1]. 12. 【答案】 n(n ?1) 4 【考点】 排列、组合及简单计数问题 【解析】 考察排列D:d 1,d 2,…,d n?1,d n ,运用组合数可得排列D 中数对(d i ,?d j )共有 C n 2 = n(n?1)2 个,即可得到所有 S(A)的算术平均值. 【解答】 考察排列D:d 1,d 2,…,d n?1,d n 与排列D 1:d n ,d n?1,…,d 2,d 1, 因为数对(d i ,?d j )与(d j ,?d i )中必有一个为逆序对(其中1≤i 且排列D中数对(d i,?d j)共有C n2=n(n?1) 2 个, 所以S(D)+S(D1)=n(n?1) 2 . 所以排列D与D1的逆序对的个数的算术平均值为n(n?1) 4 . 而对于数字1,2,…,n的任意一个排列A:a1,a2,…,a n, 都可以构造排列A1:a n,a n?1,…,a2,a1, 且这两个排列的逆序对的个数的算术平均值为n(n?1) 4 . 所以所有S(A)的算术平均值为n(n?1) 4 . 二、选择题(本大题共有4题,满分20分)每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分. 【答案】 B 【考点】 正弦定理 【解析】 先利用三角形面积公式表示出三角形面积,根据面积为3√3和两边求得sin C的值,进而求得C. 【解答】 S=1 2BC?AC?sin C=1 2 ×4×3×sin C=3√3 ∴sin C=√3 2 ∵三角形为锐角三角形 ∴C=60° 【答案】 A 【考点】 排列、组合及简单计数问题 【解析】 根据题意,分3步进行分析:①、把3位女生分为2组,②,将2位男生全排列,③,2位男生全排列后形成的3个空位,在其中任选2个,安排2个女生组,由分步计数原理计算可得答案. 【解答】 根据题意,分3步进行分析: ①、把3位女生分为2组,有C32=3种情况, ②,将2位男生全排列,有A22=2种情况, ③,2位男生全排列后形成的3个空位,在其中任选2个,安排2个女生组,需要考虑2个女生组两人之间的顺序, 有A32A22=12种情况, 故有3×2×12=72种不同排法, 【答案】 C 【考点】 双曲线的渐近线数列的求和 【解析】 根据数列{a n}的通项利用裂项求和算出S n,代入题中解出n=9,可得双曲线的方程为x2 10 ?y2 9 =1,再用双曲线的渐近线方程的公式即可算出该双曲线的渐近线方程. 【解答】 解:∵数列{a n}的通项公式为a n=1 n(n+1) (n∈N?), ∴a n=1 n ?1 n+1 ,可得: S n=(1?1 2 )+(1 2 ?1 3 )+?+(1 n?1 ?1 n )+(1 n ?1 n+1 )=9 10 , 即1?1 n+1 =9 10 ,解之得n=9. ∴双曲线的方程为x2 10 ?y2 9 =1,得a=√10,b=3, 因此该双曲线的渐近方程为y=±b a x,即y=±3√10 10 x. 故选C. 【答案】 B 【考点】 向量的线性运算性质及几何意义 平面向量数量积的运算 向量的几何表示 【解析】 由题意设a → =(1,0),b → =(0,1),求出|t(b → ?a→)+a→|+|5 12 b → +(1?t)(a→?b → )|,再由其几何意义求解. 【解答】 解:如图, 设a → =OA → =(1,0),b → =OB → =(0,1), ∴b→?a→=(?1,1),a→?b→=(1,?1), ∴ t(b → ?a → )+a → =t(?1,?1)+(1,?0)=(1?t,?t), 512 b →+(1?t)(a → ?b → )= 512 ×(0,1)+(1?t)×(1,?1)=(0,?5 12 )+(1?t,?t ?1)=(1?t,?t ? 7 12 ), ∴ |t(b → ?a → )+a → |+|512b → +(1?t)(a → ?b → )| =√(1?t)2+t 2+√(1?t)2+(t ? 712 )2. 其几何意义为动点P(t,?t)到两定点C(1,?0)与D(1,?7 12)距离的和, 点D 关于直线y =x 的对称点为G(7 12,1), 其最小值为|GC|=√(712?1)2+(1?0)2=13 12. 故选B . 三、解答题(本大题共有5题,满分76分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 【答案】 证明:∵ ∠BAP =∠CDP =90°,∴ AB ⊥AP ,CD ⊥DP . 又AB?//?CD ,∴ AB ⊥DP .∵ AP ∩DP =P ,AP ,DP ?面PAD , ∴ AB ⊥平面PAD . 作AD 的中点E ,连结PE ,CE , ∵ PA =PD ,PA ⊥PD ,∴ PE ⊥AD ,AD =2√2,PE =1 2AD =√2. 由(1)AB ⊥ 平面PAD ,故AB ⊥PE , 又AB ∩AD =A ,AB ,AD ?面ABCD , 所以PE ⊥平面ABCD ,即PE 为四棱锥P ?ABCD 的高,∠PCE 为PC 与平面ABCD 所成角. 四棱锥P ?ABCD 的体积为4=1 3 S ABCD ?PE =1 3 ? AB+CD 2 ?AD ?PE =13 ? 2+CD 2 ?2√2?√2, 得CD =4. 在Rt △PDC 中,PC =√PD 2+DC 2=√22+42=2√5. 在Rt △PEC 中,sin ∠PCE =PE PC =√22 √5 = √10 10 ,∠PCE =arcsin √10 10 . 所以PC 与平面ABCD 所成角为arcsin √1010 . 【考点】 直线与平面所成的角 直线与平面垂直 【解析】 (1)证明CD ⊥DP .AB ⊥DP ,然后证明AB ⊥平面PAD . (2)作AD 的中点E ,连结PE ,CE ,说明PE 为四棱锥P ?ABCD 的高,∠PCE 为PC 与平面ABCD 所成角.通过四棱锥P ?ABCD 的体积,求解得CD =4.在Rt △PEC 中,求解PC 与平面ABCD 所成角. 【解答】 证明:∵ ∠BAP =∠CDP =90°,∴ AB ⊥AP ,CD ⊥DP . 又AB?//?CD ,∴ AB ⊥DP .∵ AP ∩DP =P ,AP ,DP ?面PAD , ∴ AB ⊥平面PAD . 作AD 的中点E ,连结PE ,CE , ∵ PA =PD ,PA ⊥PD ,∴ PE ⊥AD ,AD =2√2,PE =1 2AD =√2. 由(1)AB ⊥平面PAD ,故AB ⊥PE , 又AB ∩AD =A ,AB ,AD ?面ABCD , 所以PE ⊥平面ABCD ,即PE 为四棱锥P ?ABCD 的高,∠PCE 为PC 与平面ABCD 所成角. 四棱锥P ?ABCD 的体积为4=1 3S ABCD ?PE =1 3?AB+CD 2 ?AD ?PE =13? 2+CD 2 ?2√2?√2, 得CD =4. 在Rt △PDC 中,PC =√PD 2+DC 2=√22+42=2√5. 在Rt △PEC 中,sin ∠PCE = PE PC =√22√5 =√10 10 ,∠PCE =arcsin √10 10 . 所以PC 与平面ABCD 所成角为arcsin √10 10 . 【答案】 由S n =pa n +1?S n+1?S n =a n+1=pa n+1?pa n ? a n+1a n =p p?1(p ≠0,?1), S 1=a 1=pa 1+1?a 1= 11?p (p ≠0,?1), ∴ 数列{a n }是等比数列,a n =1 1?p ?(p p?1)n?1. ∵ S n 递增,∴ S n+1?S n =a n+1=1 1?p ?(p p?1)n >0对任意自然数n 都成立, 则{11?p >0p p?1 >0 ,解得p <0. ∴ p 的取值范围是(?∞,?0); 证明:设b 1=a 1?2a 2,b 2=a 2?2a 3,…,b 2018=a 2018?2a 2019,b 2019=a 2019?2a 1, |a 1?2a 2|=|a 2?2a 3|=…=|a 2018?2a 2019|=|a 2019?2a 1|=t , 由S 2019=0,得b 1+b 2+b 3+...+b 2019=0. 设b 1,b 2,b 3,…,b 2019中有非负数m 个,则非正数为2019?m 个, 则mt ?(2019?m)t =0,则(2m ?2019)t =0, ∵ 2m ?2019≠0,∴ t =0,即a 1=a 2=…=a 2019=0. 【考点】 数列递推式 【解析】 (1)由数列递推式可得数列{a n }是等比数列,求其通项,再由S n 递增,得S n+1?S n =a n+1>0,转化为关于p 的不等式组求解; (2)设b 1=a 1?2a 2,b 2=a 2?2a 3,…,b 2018=a 2018?2a 2019,b 2019=a 2019?2a 1,|a 1?2a 2|=|a 2?2a 3|=…=|a 2018?2a 2019|=|a 2019?2a 1|=t ,由题意得b 1+b 2+b 3+...+b 2019=0,再设b 1,b 2,b 3,…,b 2019中有非负数m 个,则非正数为2019?m 个,得到(2m ?2019)t =0,进一步得到t =0,则结论可证. 【解答】 由S n =pa n +1?S n+1?S n =a n+1=pa n+1?pa n ? a n+1a n = p p?1 (p ≠0,?1), S 1=a 1=pa 1+1?a 1= 11?p (p ≠0,?1), ∴ 数列{a n }是等比数列,a n = 11?p ?( p p?1)n?1. ∵ S n 递增,∴ S n+1?S n =a n+1=1 1?p ?(p p?1)n >0对任意自然数n 都成立, 则{11?p >0p p?1 >0 ,解得p <0. ∴ p 的取值范围是(?∞,?0); 证明:设b 1=a 1?2a 2,b 2=a 2?2a 3,…,b 2018=a 2018?2a 2019,b 2019=a 2019?2a 1, |a 1?2a 2|=|a 2?2a 3|=…=|a 2018?2a 2019|=|a 2019?2a 1|=t , 由S 2019=0,得b 1+b 2+b 3+...+b 2019=0. 设b 1,b 2,b 3,…,b 2019中有非负数m 个,则非正数为2019?m 个, 则mt ?(2019?m)t =0,则(2m ?2019)t =0, ∵ 2m ?2019≠0,∴ t =0,即a 1=a 2=…=a 2019=0. 【答案】 在△ABC 中,因为cos A =12 13,cos C =3 5,所以sin A =5 13,sin C =4 5, 从而sin B =sin [π?(A +C)]=sin (A +C)=sin A cos C +cos A sin C =513 ×35 + 1213 ×45 = 6365 , 由正弦定理AB sin C =AC sin B ,得AB = AC?sin C sin B = 1260× 45 6365 =1040m . 所以索道AB 的长为1040m . 假设乙出发t 分钟后,甲、乙两游客距离为d ,此时,甲行走了(100+50t)m ,乙距离A 处130tm , 所以由余弦定理得:d 2=(100+50t)2+(130t)2?2×130t ×(100+50t)×12 13=200(37t 2?70t +50)= 200[37(t ?3537 )2+ 62537 ], 因0≤t ≤ 1040130 ,即0≤t ≤8, 故当t =35 37min 时,甲、乙两游客距离最短. 【考点】 余弦定理 正弦定理 【解析】 (1)根据正弦定理即可确定出AB 的长; (2)设乙出发t 分钟后,甲、乙两游客距离为d ,此时,甲行走了(100+50t)m ,乙距离A 处130tm ,由余弦定理即可得解. 【解答】 在△ABC 中,因为cos A = 1213 ,cos C =35 ,所以sin A = 5 13 ,sin C =4 5, 从而sin B =sin [π?(A +C)]=sin (A +C)=sin A cos C +cos A sin C =5 13×3 5+12 13×4 5=63 65, 由正弦定理AB sin C =AC sin B ,得AB = AC?sin C sin B = 1260× 45 6365 =1040m . 所以索道AB 的长为1040m . 假设乙出发t 分钟后,甲、乙两游客距离为d ,此时,甲行走了(100+50t)m ,乙距离A 处130tm , 所以由余弦定理得:d 2=(100+50t)2+(130t)2?2×130t ×(100+50t)×1213 =200(37t 2?70t +50)= 200[37(t ?35 37)2+62537 ], 因0≤t ≤1040130,即0≤t ≤8, 故当t = 3537min 时,甲、乙两游客距离最短. 【答案】 设右焦点 F(c,?0),由题意 a ?c =√3?√2,a =√3b,a 2= b 2+ c 2?a =√3,b =1,c =√2 所以椭圆 C 的方程为 x 2 3+y 2=1. 由 F(√2,0) 到直线 OM 的距离为 1,知∠FOM =45°, 即 OM ⊥l ,设直线OM 斜率为k ,则 k ?(?1)=?1,解得k =1, 故直线OM 的方程为y =x , 联立直线OM 与直线l 得: {x +y ?4=0y =x , 解得x =2,y =2, 所以M 点的坐标为(2,?2), 所以线段 OM 为直径的圆的圆心为(1,?1), 半径r = OM 2 = √22+22 2 =√2, 故圆的方程为(x ?1)2+(y ?1)2=2. 设点 P(x,?y) 为椭圆 C: x 23 +y 2=1 上任意一点, 其中 x =√3cos θ,y =sin θ, 则|x +y ?4|=|√3cos θ+sin θ?4|=|2sin (θ+π 3)?4|∈[2,6], 所以|a 1?a 3|=2|d|≤6?2=4?d ∈[?2,?2], 又由已知 d ≠0,所以 d ∈[?2,?0)∪(0,?2]. 【考点】 椭圆的应用 直线与椭圆的位置关系 椭圆的离心率 【解析】 (1)根据题意可以列出关于a ,b ,c 的三个方程,解出a ,b 即可求得椭圆 C 的方程; (2)由几何关系得∠FOM =45°,于是OM ⊥l ,进而求出直线OM 的方程,再求出点M 的坐标,再求出以线段OM 为直径的圆的圆心和半径,即可求解; (3)先设点 P(x,?y) 为椭圆 C:x 23 +y 2=1 上任意一点,求出|x +y ?4|的范围,再结合等差数列性质即可求 得公差d 的取值范围. 【解答】 设右焦点 F(c,?0),由题意 a ?c =√3?√2,a =√3b,a 2= b 2+ c 2?a =√3,b =1,c =√2 所以椭圆 C 的方程为 x 23 +y 2=1. 由 F(√2,0) 到直线 OM 的距离为 1,知∠FOM =45° , 即 OM ⊥l ,设直线OM 斜率为k ,则 k ?(?1)=?1,解得k =1, 故直线OM 的方程为y =x , 联立直线OM 与直线l 得: {x +y ?4=0y =x , 解得x =2,y =2, 所以M 点的坐标为(2,?2), 所以线段 OM 为直径的圆的圆心为(1,?1), 半径r = OM 2 = √22+22 2 =√2, 故圆的方程为(x ?1)2+(y ?1)2=2. 设点 P(x,?y) 为椭圆 C: x 23 +y 2=1 上任意一点, 其中 x =√3cos θ,y =sin θ, 则|x +y ?4|=|√3cos θ+sin θ?4|=|2sin (θ+π 3)?4|∈[2,6], 所以|a 1?a 3|=2|d|≤6?2=4?d ∈[?2,?2], 又由已知 d ≠0,所以 d ∈[?2,?0)∪(0,?2]. 【答案】 因为 f(x)在R 上优于g(x), 所以在R 上任意两相异实数x 1,x 2,|f(x 1)?f(x 2)|≥|g(x 1)?g(x 2)|恒成立, 令 x 1=x ,x 2=?x ,得: |f(x)?f(?x)|≥|g(x)?g(?x)|, 因为 f(x) 是偶函数,所以 f(x)=f(?x), 于是|g(x)?g(?x)|≤0,即g(x)?g(?x)=0, 故函数y =g(x)为偶函数. 设 x 1 所以?f(x 2)+f(x 1) 故函数?(x)=f(x)+g(x)在R 上也是增函数. f(x)=log a 8x ,则函数f(x)的定义域为(0,?+∞), g(x)=log a (a +x)?log a (a ?x)=log a (a 2?x 2),