指数与对数的运算

指数与对数的运算

【课标要求】

（1）通过具体实例（如细胞的分裂，考古中所用的14

C 的衰减，药物在人体内残留量的变化等），了解指数函数模型的实际背景；

（2）理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。

（3）理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用； 【命题走向】

指数与对数的性质和运算，在历年的高考中一般不单独命题。大多以指数函数、对数函数等基本函数的性质为依托，结合运算推理，能运用它们的性质解决具体问题。为此，我们要熟练掌握指数、对数运算法则，明确算理，能对常见的指数型函数、对数型函数进行变形处理。

【要点精讲】

1、整数指数幂的概念。

（1）概念：*)(N n a a a a a n

∈⋅⋅= n 个a

(2)运算性质： 两点解释：①可看作

∴==②可看作∴==

2、根式：

（1）定义：若 则x 叫做a 的n 次方根。

（2）求法：当n 为奇数时：正数的n 次方根为正数，负数的n 次方根为负数 记作：

当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个（互为相反数） 记作：

负数没有偶次方根 0的任何次方根为0

名称：叫做根式 n 叫做根指数 a 叫做被开方数

（3）公式： ；当n 为奇数时 ； 当n 为偶数时

3、分数指数幂

（1）有关规定： 事实上， 若设a >0, ，由n 次根式定义, 次方根，即：

（2）同样规定：；0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义。

（3）指数幂的性质：整数指数幂的运算性质推广到有理指数幂。

（注）上述性质对r 、R 均适用。

4、对数的概念

（1）定义：如果的b 次幂等于N ，就是，那么数称以为底N 的对数，记作其中称对数的底，N 称真数。

①以10为底的对数称常用对数，记作；

②以无理数为底的对数称自然对数，，记作；

（2）基本性质：

①真数N 为正数（负数和零无对数）；2）；

③；4）对数恒等式：。

（3）运算性质：如果则

①；

②；③R）。

（4）换底公式：

两个非常有用的结论①；②。

【注】指数方程和对数方程主要有以下几种类型：

(1)a f(x)=b⇔f(x)=log a b, log a f(x)=b⇔f(x)=a b; （定义法）

(2)a f(x)=a g(x)⇔f(x)=g(x), log

a f(x)=log a g(x)⇔f(x)=g(x)>0（转化法）

(3)a f(x)=b g(x)⇔f(x)log

m a=g(x)log m b(取对数法)

(4)l og a f(x)=log b g(x)⇔log a f(x)=log a g(x)/log a b(换底法)

【典例解析】

题型1：指数运算

例1．（1）计算：；

（2）化简（3）化简：。

（4）化简：

例2．已知，求的值。

题型2：对数运算

例3．计算

（1）；（2）；

（3）。

例4．设、、为正数，且满足

（1）求证：；

（2）若，，求、、的值。

例5。（1）已知log 18 9 = a , 18b = 5 , 求log 36 45 （用a, b表示）（2）设求证：

题型4：指数、对数方程

例6：解方程（1）（2）

例7．设关于的方程R），

（1）若方程有实数解，XX数b的取值X围；

（2）当方程有实数解时，讨论方程实根的个数，并求出方程的解。

.

【巩固练习】

1..若，则的值为

A．50 B．58 C．89 D．111 （）

2.若，则=；

3.已知的值域为[1，7]，则的取值X围是（）

A.［２，４］

B.

C.

D.

4若则

5.已知(a>0) ，则.

6.（1）；（2）.

7. 若，求的值．

8.解下列指数方程：

(1) (2)

(3) (4)

9.解下列对数方程

(1) (2)

(3) (4)

10.如果函数在区间[-1，1]上的最大值是14，求的值。

11.设若时有意义，XX数的X围。

【思维总结】

1．（其中）是同一数量关系的三种不同表示形式，因此在许多问题中需要熟练进行它们之间的相互转化，选择最好的形式进行运算.在运算中，根式常常化为指数式比较方便，而对数式一般应化为同应化为同底；

2．要熟练运用初中学习的多项式各种乘法公式；进行数式运算的难点是运用各种变换技巧，如配方、因式分解、有理化（分子或分母）、拆项、添项、换元等等，这些都是经常使用的变换技巧，必须通过各种题型的训练逐渐积累经验；

3．解决含指数式或对数式的各种问题，要熟练运用指数、对数运算法则及运算性质，更关键是熟练运用指数与对数函数的性质，其中单调性是使用率比较高的知识；

【课后作业】

1.计算。

1）；（2）

2.化简下列各式（结果用有理数指数幂表示）：

（1）；（2）；

3.化简下列各式（结果用有理数指数幂表示）：（1）；（2）

4.已知，求下列各式的值：

（1）；（2）；（3）；

5.计算：

（1）；

（2）；（3）

6.（1）已知，，用表示；

（2）设，用表示；

7.设，，且，求的最小值。