人教版八年级数学上册第十二章全等三角形
A
B
翻折三角形的基本图形
A E B C D
B A
C
翻折
D
D A
A
B
C D E
B
C
有哪些办法可以验证两个三 角形全等？
平移
旋转
翻折
内
容
小
结
1. 能够完全重合的两个图形叫做 全等形。 对应顶点 其中：互相重合的顶点叫做＿＿＿ 对应边 互相重合的边叫做＿＿＿＿ 对应角 互相重合的角叫做＿＿＿ 2. 能够完全重合的两个三角形 叫做全等三角形。 全等于 ” 3.“全等”用符号“≌”来表示，读作“ 4.全等三角形的 对应边 和 对应角 相等 今天主要学习全等三角形的概念及性质，以后再学习 全等三角形的判定方法。
平移三角形的基本图形
A D
A E D
D A
F
E B C
F
B
C
E
F
B
C
D
A
D
平移
A E B C F
B E C F
C
E
旋 转
A D B
⑴△ ABC ≌△ DEC ⑵对应边是 AC与DC，AB与DE，BC与EC ⑶对应角是 ∠A与∠D、∠B与∠E、∠ACB与∠DCE
如图△AOC≌△BOD
D
B
1.对应边是：OA与OB OC与OD，AC与BD 2.∠AOC的对应角 是 ∠BOD ∠A的对应角 是 ∠B
A
1.全等三角形的对应边相等 2.全等三角形的对应角相等 3.全等三角形的对应边上的高、
D
B
中线、角平分线相等
4.全等三角形的面积、周长相等 如图：△ABC≌△DEF 则有： AB=DE AC=DF
书写两个三角形全 等时,把表示对应顶 点的字母写在对应 的位置上 BC=EF
E C
F
∠A=∠D
∠B=∠E
丰乐中学
张 鹏
2017年9月21日
• 本节必会知识： • 会找出全等三角形的对应顶 点、对应边和对应角
下列各组图形的形状与大小有什么特点？
下列各组图形的形状与大小有什么特点？
下列各组图形的形状与大小有什么特点？
（1）
（2）
（3）
（4） 思考:他们能完全重合吗?
（5）
把一块三角板按在纸上，画下图形，照图形 剪下纸板。剪下的纸板与三角板大小、形状 完全相同吗？他们能够完全重合吗？
∠A、∠F的对应角分
对应边 其中重合的边叫_______
对应角 其中重合的角叫_______
∠D、 ___ ∠C 别是___
1.有公共边的，公共边一定是对应边。 2.有对顶角的，对顶角一定是对应角。
3.有公共角的，公共角一定是对应角。
4.对应角所对的边是对应边，对应边 所对的角是对应角． 5.在两个全等三角形中最长边对最长边， 最短边对最短边，最大角对最大角，最 小角对最小角。
动
5
动不如
提高 5：如图，已知∠B=∠D，∠DAB=∠EAC，AB=AD。 求证：BC=DE．
E D B C A
动
结束寄语
同学们：
学无止境！ 没有最好,只有更好！！！ 再见
动不如
提高2：如图已知△ AOC ≌ △BOD 求证：AC∥BD
动
动不如
提高3：如图△ABD≌△EBC，AB=3cm, BC=5cm,（1）求DE的长；（2）写出对应边（角）。
D
动
E
A B
C
动不如
提高 4： 如图， 四边形 ABCD 是边长为 9 的正方形纸片， B 为 CD 边上的点， BC =3．将纸片沿某条直线折叠， 使点 B 落在点 B 处，点 A 的对应点为 A ，折痕分别 与 AD，BC 边交于点 M，N．求 BN 的长。
1.与图1所示图形全等的图形是
图1
A
B
C
D
2.将图2所示绕A点顺时针转90°所得到的图形是
B
A
C
图2
A
B
C
D
随堂练习 百 “练” 成 钢
3. △ABC≌△FED
⑴写出图中相等的线段，相等的角；
⑵图中线段除相等外，还有什么关系吗？ 请与同伴交流并写出来. A D B C
E F
4.如图,矩形ABCD沿AM折叠,使D点落在BC上的N点
• • • •
形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合。 能够完全重合的两个图形叫做全等形 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 你能够找出生活中的一些全等形吗？
A
D
△ABC≌△DEF(≌读作:全等于)
思考:两个三角形全等表示的 含义是什么? 两个全等三角形能够完全重合 B E C F
点A、点F的对应顶 C D 、 ___ 对应顶点 点分别是___ 其中重合的顶点叫__________ AB、DF的对应边分别是 AC ___ DE 、 ___
旋 转
A
O
C
旋转三角形的基本图形
E A
E D
A
B
D
C
B C
旋转
C
翻 折
B
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱA A
C
A
B
B
D
如图△ABD≌△ABC ⑴AD的对应边是 AC ；AB的对应边是 AB ⑵∠DAB的对应角是 ∠CAB
D
翻 折
A C
C
D
⑴AC的对应边是 BD AB的对应边是 BA ⑵∠ABC的对应角 是 ∠BAD
B
D
A
B
∠C=∠F
思考：如果两个三角形满足三条边对应相等，三个角也对 应相等，那么这两个三角形全等吗？如何验证呢？
一个三角形平移后，形状、大小改变了吗？ 两个三角形全等吗？如果全等，指出它们 的对应边、对应角。
A D
平 移
B C E F
解：对应边是： AC与DF，AB与DE，BC与EF
对应角是： ∠A与∠D，∠B与∠E，∠C与∠F
处,如果AD=4cm,DM=3cm, ∠DAM=39°,则 3 4 AN=___cm, NM=___cm, ∠NAB=_ __.
A
4cm
D
3cm
M
B
N
C
动不如
动
提高1：请指出下列全等三角形的对应边和对应角
如上图，△ ABD ≌ △CDB，则AB= CD ； AD= CB ；BD= DB ； ∠ABD= ∠CDB； ∠ADB= ∠DBC ； ∠A= ∠C ；
人教版八年级数学上册第十二章全等三角形证明方法归纳及典型例题
全等三角形的证明全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等．寻找对应边和对应角，常用到以下方法：(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边．(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角．(3)有公共边的，公共边常是对应边．(4)有公共角的，公共角常是对应角．(5)有对顶角的，对顶角常是对应角．(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)．要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键．全等三角形的判定方法：(1)边角边定理(SAS)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．(2)角边角定理(ASA)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．(3)边边边定理(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等．(4)角角边定理(AAS)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．(5)斜边、直角边定理(HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线．拓展关键点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础．专题1、常见辅助线的做法典型例题找全等三角形的方法：（1）可以从结论出发，寻找要证明的相等的两条线段（或两个角）分别在哪两个可能全等的三角形中；（2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形全等；（3）可从条件和结论综合考虑，看它们能确定哪两个三角形全等；（4）若上述方法均不可行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。
三角形中常见辅助线的作法：①延长中线构造全等三角形；②利用翻折，构造全等三角形；③引平行线构造全等三角形；④作连线构造等腰三角形。
人教版八年级数学上册 第十二章 全等三角形 知识点归纳
人教版八年级数学上册第十二章全等三角形知识点归纳12.1全等三角形经过平移、翻折、旋转，能够完全重合的两个图形叫做全等形。
经过平移、翻折、旋转，能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形。
全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。
例1、△ABC≌△DEF读作：三角形ABC全等于三角形DEF。
把两个全等的三角形重合在一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。
用“≌”表示两个图形全等的时候，必须把对应的顶点写在对应的位置上。
例2、已知△ABC≌△DEF，那么就说明：①点A对应点D，点B对应点E，点C对应点F②∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F③AB=DE，AC=DF，BC=EF用“全等于”这个词表示两个图形全等的时候，顶点不一定有一一对应关系。
例3、已知△ABC全等于△DEF，那么点A不一定对应D，点A也可能对应点E或者点F 。
全等三角形的性质：①对应边相等②对应角相等③角平分线、中线、高分别对应相等④周长相等⑤面积相等12.2三角形全等的判定全等三角形的判定依据：①三边对应相等的两个三角形全等，简称“边边边”或“SSS ”。
②两边一夹角对应相等的两个三角形全等，简称“边角边”或“SAS ”。
③两角一夹边对应相等的两个三角形全等，简称“角边角”或“ASA ”。
④两角一对边对应相等的两个三角形全等，简称“角角边”或“AAS ”。
⑤一条斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简称“斜边直角边”或“HL ”。
温馨提示：“SSA ”和“AAA ”不能证明两个三角形全等。
全等三角形的证明格式：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 的证明格式： HL 的证明格式：在△ABC 与△DEF 中 在Rt △ABC 与Rt △DEF 中∵{ 条件1条件2条件3∵{条件1条件2 ∴△ABC ≌△DEF （条件） ∴△ABC ≌△DEF （HL ）12.3角的平分线的性质如果从一个角的顶点引出一条射线把这个角分成两个相等的角，那么这条射线叫做这个角的角平分线。
人版八年级数学[上册]第十二章《全等三角形的综合、角平分线》讲义(有答案解析)
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第7讲 全等三角形的综合、角平分线⑴平移全等型⑵ 对称全等型⑶ 旋转全等型⑴、角平分线上的点到角的两边的距离相等； ⑵、到角的两边距离相等的点在角的平分线上． 它们具有互逆性．角平分线是天然的、涉及对称的模型，一般情况下，有下列三种作辅助线的方式： 1． 由角平分线上的一点向角的两边作垂线，2． 过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形， 3． OA OB ，这种对称的图形应用得也较为普遍，ABOPPOBAABOP角平分线的作法（尺规作图）①以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA、OB于C、D两点；②分别以C、D为圆心，大于CD长为半径画弧，两弧交于点P；③过点P作射线OP，射线OP即为所求．考点1、三角形全等综合1、如图，要测量河两岸相对的两点A、B间的距离，先在过B点的AB的垂线L 上取两点C、D，使CD=BC，再在过D点的垂线上取点E，使A、C、E在一条直线上，ED=AB这时，测ED的长就得AB得长，判定△ACB≌△ECD的理由是（）A. SASB. ASAC. SSS D .AAS2、如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M、N的距离，如果△PQO≌△NMO，则只需测出其长度的线段是（ B ）A．PO B．PQ C．MO D．MQ（1）（2）3、如图，工人师傅要在墙壁的O处用钻打孔，要使孔口从墙壁对面的点B处打开，墙壁厚是35cm，点B与点O的垂直距离AB长是20cm，在点O处作一直线平行于地面，在直线上截取OC=35cm，过C作OC的垂线，在垂线上截取CD=20cm，连接OD，然后，沿着D0的方向打孔，结果钻头正好从点B处打出．这是什么道理？4、1805年，法军在拿破仑的率领下与德军在莱茵河畔激战．德军在莱茵河北岸Q处，如图所示，因不知河宽，法军大炮很难瞄准敌营．聪明的拿破仑站在南岸的点O处，调整好自己的帽子，使视线恰好擦着帽舌边缘看到对面德国军营Q 处，然后他一步一步后退，一直退到自己的视线恰好落在他刚刚站立的点0处，让士兵丈量他所站立位置B与0点的距离，并下令按照这个距离炮轰德军．试问：法军能命中目标吗？请说明理由．用帽舌边缘视线法还可以怎样测量，也能测出河岸两边的距离吗？5、某校七年级学生到野外活动，为测量一池塘两端A，B的距离，甲、乙、丙三位同学分别设计出如下几种方案：甲：如图①，先在平地取一个可直接到达A，B的点C，再连接AC，BC，并分别延长AC至D，BC至E，使DC=AC，EC=BC，最后测出DE的长即为A，B的距离．乙：如图②，先过点B作AB的垂线BF，再在BF上取C，D两点，使BC=CD，接着过点D作BD的垂线DE，交AC的延长线于点E，则测出DE的长即为A，B的距离．丙：如图③，过点B作BD⊥AB，再由点D观测，在AB的延长线上取一点C，使∠BDC=∠BDA，这时只要测出BC的长即为A，B的距离．（1）以上三位同学所设计的方案，可行的有______；（2）请你选择一可行的方案，说说它可行的理由．1、已知: 如图,AB=AE,BC=ED, ∠B= ∠E,AF ⊥CD,F 为垂足, 求证:CF=DF.2、已知：如图，AB=CD，BC=DA，AE=CF．求证：BF=DE．3、如图，AB=AD，BC=DE，且BA⊥AC，DA⊥AE，你能证明AM=AN吗？1、如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC. 求证：（1）EC=BF；（2）EC⊥BF.2、已知：如图，△ABC中，AD⊥BC于D，E是AD上一点，BE的延长线交AC于F，若BD=AD，DE=DC。
人教版八年级数学上册第12章第3课时 三角形全等的判定——SAS
数学
知识要点 知识点一：三角形全等的判定(SAS) 两边和它们 夹角 分别相等的两个三角形全等(简写成“边 角边”或“ SAS ”)． 几何语言：
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数学
在△′， AC＝A′C′，
∴△ABC≌ △A′B′C′
( SAS )．
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数学
对点训练 1.如图，下列各选项中与△ABC 一定全等的三角形是( B )
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OA＝OD
证明：在△ABO 和△DCO 中，∠AOB＝∠DOC ，
OB＝OC
∴△ABO≌△DCO(SAS).
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4.如图，点 F，B，E，C 在同一条直线上，AC＝DF，BF＝ EC，∠F＝∠C. (1)求证：△ABC≌△DEF； (2)若∠F＋∠FED＝80°，则∠A 的度数 为 100° .
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★12.如图，点 E 在 CD 上，BC 与 AE 交于点 F，AB＝CB， BE＝BD，∠1＝∠2. (1)求证：△ABE≌△CBD； (2)求证：∠1＝∠3.
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证明：(1)∵∠1＝∠2， ∴∠1＋∠CBE＝∠2＋∠CBE，即∠ABE＝∠CBD，
AB＝CB
在△ABE 和△CBD 中，∠ABE＝∠CBD ，
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数学
11.如图，A，D，F，B 在同一直线上，AD＝BF，AE＝BC， 且 AE∥BC.求证：△AEF≌△BCD.
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数学
证明：∵AE∥BC，∴∠A＝∠B，
∵AD＝BF，∴AF＝BD， AE＝BC
在△AEF 和△BCD 中，∠A＝∠B ，
AF＝BD
∴△AEF≌△BCD(SAS).
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数学
8.【例 4】如图，CA＝CD，∠1＝∠2，BC＝EC. (1)求证：AB＝DE； (2)当∠A＝21°，∠E＝39°时，求∠ACB 的度数．
人教版数学八年级上册复习课件：第12章《全等三角形》
三个角对应相等的两个三角形全等吗？
三个角对应相等的两个三角形不一定全等
两边和其中一边的对角对应相等的两 个三角形全等吗？
A
\
==
B
D
C
两边和其中一边的对角对应相等的两
个三角形不一定全等
找第三边 (SSS) （1）：已知两边----
找夹角 （SAS)
已知一边和它的邻角 (2):已知一边一角---
A
D
E
F
B
C
已知，如图,AB=AC,DB=DC,F是AD的延长线 上的一点,试说明:BF=CF.
证明：在△ABD和△ACD中
AB=AC
BD=CD
AD=AD ∴ △ABD≌ △ACD(SSS) ∴∠BAD= ∠CAD又∵F是AD延长线上 一点，∴∠BAF= ∠CAF 在△ABF和△ACF中
AB=AC ∠BAF= ∠CAF
（3）要记住“有三个角对应相等”或“有两边 及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一 定全等；
（4）时刻注意图形中的隐含条件，如 “公共 角” 、“公共边”、“对顶角”
学而不思则罔
回
头
一
看
你有哪些收获呢？
， 我
与大家共分享！
想
说
…
课后作业
合
作
学 习 ‘
请同学们回去后自 己找几个你认为与
乐
本章有关的题目与
已知一边和它的对角
找这边的另一个邻角(ASA) 找这个角的另一个边(SAS) 找这边的对角 (AAS)
找一角(AAS)
(3):已知两角---
找两角的夹边(ASA) 找夹边外的任意边(AAS)
已知:如图∠B=∠DEF,BC=EF,补充条件 求证:ΔABC≌ ΔDEF (1)若要以“SAS”为依据，还缺条件 ＿AB＿=＿DE＿＿； (2) 若要以“ASA”为依据，还缺条件∠＿A＿CB＿= ∠＿D；FE
人教版八年级数学上册第十二章全等三角形证明方法归纳及典型例题
全等三角形的证明全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等．寻找对应边和对应角，常用到以下方法：(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边．(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角．(3)有公共边的，公共边常是对应边．(4)有公共角的，公共角常是对应角．(5)有对顶角的，对顶角常是对应角．(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)．要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键．全等三角形的判定方法：(1)边角边定理(SAS)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．(2)角边角定理(ASA)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．(3)边边边定理(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等．(4)角角边定理(AAS)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．(5)斜边、直角边定理(HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线．拓展关键点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础．专题1、常见辅助线的做法典型例题找全等三角形的方法：（1）可以从结论出发，寻找要证明的相等的两条线段（或两个角）分别在哪两个可能全等的三角形中；（2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形全等；（3）可从条件和结论综合考虑，看它们能确定哪两个三角形全等；（4）若上述方法均不可行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。
三角形中常见辅助线的作法：①延长中线构造全等三角形；②利用翻折，构造全等三角形；③引平行线构造全等三角形；④作连线构造等腰三角形。
人教版初中八年级数学上册第十二章《全等三角形》(含答案解析)
一、选择题1．如图，在ABC 中，ABC 的面积为10，4AB =，BD 平分ABC ∠，E 、F 分别为BC 、BD 上的动点，则CF EF +的最小值是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5D解析：D【分析】 过点C 作CM AB ⊥于点M ，交BD 于点'F ，过点'F 作''F E BC ⊥于'E ，则CM 即为CF EF +的最小值，再根据三角形的面积公式求出CM 的长，即为CF EF +的最小值．【详解】解：过点C 作CM AB ⊥于点M ，交BD 于点'F ，过点'F 作''F E BC ⊥于'E ，BD 平分ABC ∠，'MF AB ⊥于点M ，''F E BC ⊥于'E ，'''MF F E ∴=，'''''CM CF MF CF E F ∴=+=+的最小值．三角形ABC 的面积为10，4AB =， ∴14102CM ⨯⋅=，21054CM ⨯∴==． 即CF EF +的最小值为5，故选：D ．【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，根据题意作出辅助线是解题的关键．2．下列命题的逆命题是真命题的是（ ）．A 3 3B 5C ．1的立方根是1D ．全等三角形的周长相等C解析：C【分析】 根据把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，先得出逆命题，再进行判断即可．【详解】A 、3的平方根是3的逆命题是：3是3的平方根，是假命题；B 、5是无理数的逆命题是：无理数是5，是假命题；C 、1的立方根是1的逆命题是：1是1的立方根，是真命题；D 、全等三角形的周长相等的逆命题是：周长相等的三角形全等，是假命题；故选：C ．【点睛】此题考查了命题的真假判断及互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题，判断命题的真假关键是要熟悉各知识点的性质定理．3．如图，在ABC 中，B C ∠=∠，BD CE =，BF CD =，则EDF ∠等于（ ）A ．90A ︒-∠B ．1802A ︒-∠C ．1902A ︒-∠D ．11802A ︒-∠ C 解析：C【分析】 根据∠B=∠C ，BD=CE ，BF=CD ，可证出△BFD ≌△CDE ，继而得出∠BFD=∠EDC ，再根据三角形内角和定理及平角等于180︒，即可得出∠B=∠EDF ，进而得到答案．【详解】解：∵∠B=∠C ，BD=CE ，BF=CD ，∴△BFD ≌△CDE ，∴∠BFD=∠EDC ，∴∠B+∠BFD+∠BDF=∠BDF+∠EDF+∠EDC ，∴∠B=∠EDF ，又∵∠B=∠C=18019022A A ︒-∠=︒-∠， ∴∠EDF=1902A ︒-∠， 故选：C ．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，根据全等三角形的性质找出∠BFD=∠EDC 是解题的关键．4．已知如图，AC ⊥BC ，DE ⊥AB ，AD 平分∠BAC ，下面结论错误的是（ ）A ．BD +ED ＝BCB ．DE 平分∠ADBC ．AD 平分∠EDC D ．ED +AC ＞AD B解析：B【分析】 根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE ＝DC ，然后利用AAS 证明△ACD ≌△AED ，再对各选项分析判断后利用排除法．【详解】解：∵AC ⊥BC ，DE ⊥AB ，AD 平分∠BAC ，∴DE ＝DC ，A 、BD +ED ＝BD +DC ＝BC ，故本选项正确；在△ACD 与△AED 中，90DAC DAE ACD AED AD AD ︒∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，∴△ACD ≌△AED （AAS ），∴∠ADC ＝∠ADE ，∴AD 平分∠EDC ，故C 选项正确；但∠ADE 与∠BDE 不一定相等，故B 选项错误；D 、∵△ACD ≌△AED ，∴AE ＝AC ，∴ED +AC ＝ED +AE ＞AD （三角形任意两边之和大于第三边），故本选项正确．故选：B ．【点睛】本题考查了角平分线的性质，角平分线上的点到角的两边的距离相等，证明ACD AED △≌△是解题的关键．5．已知：如图，BD 为△ABC 的角平分线，且BD=BC ，E 为BD 延长线上的一点，BE=BA ，过E 作EF ⊥AB ，F 为垂足，下列结论：①△ABD ≌△EBC②∠BCE+∠BCD=180°③AD=AE=EC ④ BA+BC=2BF 其中正确的是（ ）A ．①②③B ．①③④C ．①②④D ．①②③④D解析：D【分析】 易证ABD EBC ∆∆≌，可得BCE BDA ∠=∠，AD=EC 可得①②正确；再根据角平分线的性质可求得DAE DCE ∠=∠ ，即③正确，根据③可判断④正确；【详解】∵ BD 为∠ABC 的角平分线，∴ ∠ABD=∠CBD ，∴在△ABD 和△EBD 中，BD=BC ，∠ABD=∠CDB ，BE=BA ，∴△ABD EBC ∆∆≌(SAS)，故①正确；∵ BD 平分∠ABC ，BD=BC ，BE=BA ，∴ ∠BCD=∠BDC=∠BAE=∠BEA ，∵△ABD ≌△EBC ，∴∠BCE=∠BDA ，∴∠BCE+∠BCD=∠BDA+∠BDC=180°，故②正确；∵∠BCE=∠BDA ，∠BCE=∠BCD+∠DCE ，∠BDA=∠DAE+∠BEA ，∠BCD=∠BEA ，∴∠DCE=∠DAE ，∴△ACE 是等腰三角形，∴AE=EC ，∵△ABD ≌△EBC ，∴AD=EC ，∴AD=AE=EC ，故③正确；作EG ⊥BC ，垂足为G ，如图所示：∵ E 是BD 上的点，∴EF=EG ，在△BEG 和△BEF 中BE BE EF EG=⎧⎨=⎩ ∴ △BEG ≌△BEF ，∴BG=BF ，在△CEG 和△AFE 中EF EG AE CE =⎧⎨=⎩∴△CEG ≌△AFE ，∴ AF=CG ，∴BA+BC=BF+FA+BG-CG=BF+BG=2BF ，故④正确；故选：D ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中熟练求证三角形全等和熟练运用全等三角形对应边、对应角相等的性质是解题的关键； 6．如图，在ABC 和△FED 中，AD FC =，AB FE =，下列条件中不能证明F ABC ED ≌△△的是（ ）A ．BC ED =B ．A F ∠=∠C ．B E ∠=∠D ．//AB EF C解析：C【分析】 由AD FC =推出AC=FD ，根据已知AB FE =添加夹角相等或第三边相等即可判定．【详解】∵AD FC =，∴AC=FD ，∵AB FE =，∴当A F ∠=∠（//AB EF 也可得到）或BC ED =时，即可判定F ABC ED ≌△△， 故B E ∠=∠不能判定F ABC ED ≌△△，故选：C ．【点睛】此题考查添加一个条件证明两个三角形全等，熟记全等三角形的判定定理并熟练应用是解题的关键．7．根据下列已知条件，能画出唯一的△ABC的是（）A．AB＝3，BC＝4，∠C＝40°B．∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4C．∠C＝90°，AB＝6 D．AB＝4，BC＝3，∠A＝30°B解析：B【分析】根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断．【详解】解：A、根据AB＝3，BC＝4，∠C＝40°，不能画出唯一三角形，故本选项不合题意；B、∠A＝60°，AB＝4，∠B＝45°，能画出唯一△ABC，故此选项符合题意；C、∠C＝90°，AB＝6，不能画出唯一三角形，故本选项不合题意；D、AB＝4，BC＝3，∠A＝30°，不能画出唯一三角形，故本选项不合题意；故选：B．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．8．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是（）A．2.5 B．3 C．3.5 D．4B解析：B【分析】作DH⊥AC于H，如图，利用角平分线的性质得DH=DE=2，根据三角形的面积公式得1 2×2×AC+12×2×4=7，于是可求出AC的值．【详解】解：作DH⊥AC于H，如图，∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DH⊥AC，∴DH=DE=2，∵S△ABC=S△ADC+S△ABD，∴12×2×AC+12×2×4=7，∴AC=3．故选：B．【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．这里的距离是指点到角的两边垂线段的长．9．下列命题，真命题是（）A．全等三角形的面积相等B．面积相等的两个三角形全等C．两个角对应相等的两个三角形全等D．两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等A解析：A【分析】根据全等三角形的性质、全等三角形的判定定理判断即可．【详解】解：A、全等三角形的面积相等，本选项说法是真命题；B、面积相等的两个三角形不一定全等，本选项说法是假命题；C、两个角对应相等的两个三角形相似，但不一定全等，本选项说法是假命题；D、两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，本选项说法是假命题；故选：A．【点睛】本题考查全等三角形的应用，熟练掌握三角形全等的定义、性质及判定是解题关键．10．在尺规作图作一个角的平分线时的两个三角形全等的依据是（）A．SAS B．AAS C．SSS D．HL C解析：C【分析】根据作图过程可知用到的三角形全等的判定方法是SSS．【详解】解：尺规作图-作一个角的角平分线的作法如下：①以O为圆心，任意长为半径画弧，交AO、BO于点F、E，②再分别以F、E为圆心，大于12EF长为半径画弧，两弧交于点M，③画射线OM，射线OM即为所求．由作图过程可得用到的三角形全等的判定方法是SSS．故选：C．【点睛】本题主要考查了基本作图以及全等三角形的判定，关键是掌握作一个角的平分线的基本作图方法．二、填空题11．如图，△ABC中，∠ACB=90°，点D在边AC 上，DE⊥AB于点E，DC=DE，∠A=32°，则∠BDC的度数为________．61°【分析】首先利用直角三角形的性质求得∠ABC的度数然后利用角平分线的判定方法得到BD为∠ABC的平分线再求出∠ABD的度数根据三角形外角的性质进而求得结论【详解】解：∵∠A=32°∠ACB=9解析：61°【分析】首先利用直角三角形的性质求得∠ABC的度数，然后利用角平分线的判定方法得到BD为∠ABC的平分线，再求出∠ABD的度数，根据三角形外角的性质进而求得结论．【详解】解：∵∠A=32°，∠ACB=90°，∴∠CBA=58°，∵DE⊥AB，DC⊥BC，DC=DE，∴BD为∠ABC的平分线，∴∠CBD=∠EBD，∴∠CBD=12∠CBA=12×58°=29°,∴∠BDC=∠A+∠ABD=32°+29°=61°．故答案为：61°．【点睛】本题考查了角平分线的判定与性质，解题的关键是根据已知条件得到BD为∠ABC的平分线，难度不大．12．如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝12，BC＝18，CD＝8，则四边形ABCD的面积是____．【分析】过点D 作DE ⊥BA 的延长线于点E 利用角平分线的性质可得出DE ＝DC ＝8再利用三角形的面积公式结合S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD 可求出四边形ABCD 的面积【详解】解：过点D 作DE ⊥B 解析：120【分析】过点D 作DE ⊥BA 的延长线于点E ，利用角平分线的性质可得出DE ＝DC ＝8，再利用三角形的面积公式结合S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD ，可求出四边形ABCD 的面积．【详解】解：过点D 作DE ⊥BA 的延长线于点E ，如图所示．又∵BD 平分∠ABC ，∠BCD ＝90°，∴DE ＝DC ＝8，∴S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD ， ＝12AB•DE ＋12BC•CD ， ＝12×12×8＋12×18×8， ＝120．故答案为：120．【点睛】本题考查了角平分线的性质以及三角形的面积，利用角平分线的性质，找出DE ＝8是解题的关键．13．如图，ABC 中，D 是AB 上的一点，DF 交AC 于点E ，AE CE ，//CF AB ，若四边形DBCF 的面积是26cm ，则ABC 的面积为______2cm ．6【分析】根据CF ∥AB 得到∠DAE=∠FCE 结合AE=CE ∠AED=∠FEC 可得△AED ≌△CEF 根据即可得出结果【详解】解：∵CF ∥AB ∴∠DAE=∠FCE 又∵AE=CE ∠AED=∠FEC ∴△A解析：6【分析】根据CF ∥AB ，得到∠DAE=∠FCE ，结合AE=CE ，∠AED=∠FEC ，可得△AED ≌△CEF ，AED CEF S S =，根据 ABC AED CEF DBCE DBCE DBCF S S S S S S =+=+=四边形四边形四边形，即可得出结果．【详解】解：∵CF ∥AB ，∴∠DAE=∠FCE ，又∵AE=CE ，∠AED=∠FEC ，∴△AED ≌△CEF ，∴AED CEF SS =， ∴26ABC AED CEF DBCE DBCE DBCF S S S S S S cm =+=+==四边形四边形四边形， 故答案为：6．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是证得△AED ≌△CEF ． 14．如图，点D 在BC 上，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥BC 交AC 于点F ，BD ＝CF ，BE ＝CD ．若∠AFD ＝145°，则∠EDF ＝_____．55°【分析】由∠AFD ＝145°可求得∠CFD=35°证明Rt △BDE ≌△Rt △CFD 根据对应角相等推知∠BDE=∠CFD=35°进而可求出∠EDF 的值【详解】解：∵∠DFC+∠AFD=180°∠解析：55°【分析】由∠AFD ＝145°可求得∠CFD=35°，证明Rt △BDE ≌△Rt △CFD ，根据对应角相等推知∠BDE=∠CFD=35°，进而可求出∠EDF 的值．【详解】解：∵∠DFC+∠AFD=180°，∠AFD=145°，∴∠CFD=35°．又∵DE ⊥AB ，DF ⊥BC ，∴∠BED=∠CDF=90°，在Rt △BDE 与△Rt △CFD 中，BE CD BD CF =⎧⎨=⎩， ∴Rt △BDE ≌△Rt △CFD （HL ），∴∠BDE=∠CFD=35°，∴∠EDF =180°-90°-35°=55°．故答案是：55°．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．15．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，以顶点A 为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC ，AB 于点M ，N ，再分别以点M ，N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线AP 交BC 于点D ．若3CD =，10AB =，则ABD △的面积是______．15【分析】如图过点D 作DE ⊥AB 于E 首先证明DE=CD=3再利用三角形的面积公式计算即可【详解】解：如图过点D 作DE ⊥AB 于E 由作图可知AD 平分∠CAB ∵CD ⊥ACDE ⊥AB ∴DE=CD=3∴S △ 解析：15【分析】如图，过点D 作DE ⊥AB 于E ．首先证明DE=CD=3，再利用三角形的面积公式计算即可．【详解】解：如图，过点D 作DE ⊥AB 于E ．由作图可知，AD 平分∠CAB ，∵CD ⊥AC ，DE ⊥AB ，∴DE=CD=3，∴S △ABD =12•AB•DE=12×10×3=15， 故答案为15．【点睛】本题考查了作图-基本作图，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题．16．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠，交BC 边于点D ，若12AB =，4CD =，则ABD △ 的面积为__________．24【分析】过D 作DE ⊥AB 垂足为E 根据角平分线定理可得DE=CD=4然后根据三角形的面积公式计算即可【详解】解：如图：过D 作DE ⊥AB 垂足为E ∵AD 平分交BC 边于点D ∴DE=CD=4∴的面积为AB解析：24【分析】过D 作DE ⊥AB 垂足为E ，根据角平分线定理可得DE=CD=4,然后根据三角形的面积公式计算即可．【详解】解：如图：过D 作DE ⊥AB 垂足为E ，∵90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠，交BC 边于点D ，∴DE=CD=4，∴ABD △ 的面积为12AB·DE=12×12×4=24． 故答案为：24．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理，正确作出辅助线、构造角平分线定理所需条件成为解答本题的关键．17．如图，在ABC 中，点D 是BC 上的一点，已知30DAC ∠=︒，75DAB ∠=︒，CE 平分ACB ∠交AB 于点E ，连接DE ，则DEC ∠=________度．15【分析】过点E 作EM ⊥AC 于MEN ⊥AD 于NEF ⊥BC 于H 如图先计算出∠EAM=75°则AE 平分∠EAD 根据角平分线的性质得EM=EN 再由CE 平分∠ACB 得到EM=EH 则EN=EH 于是根据角平分解析：15【分析】过点E 作EM ⊥AC 于M ，EN ⊥AD 于N ，EF ⊥BC 于H ，如图，先计算出∠EAM=75°，则AE 平分∠EAD ，根据角平分线的性质得EM=EN ，再由CE 平分∠ACB 得到EM=EH ，则EN=EH ，于是根据角平分线定理的逆定理可判断DE 平分∠ADB ，则∠1=12∠ADB ，根据三角形外角性质得∠1=∠DEC+∠2，即∠1=∠DEC+12∠ACB ，∠ADB=∠DAC+∠ACB ，所以∠DEC==12∠DAC=15°． 【详解】解：过点E 作EM AC ⊥于M ，EN AD ⊥于N ，EH BC ⊥于H ，如图．∵ 30DAC ∠=，75DAB ∠=，∴ 75EAM ∠=，∴ AE 平分MAD ∠，∴ EM EN =．∵ CE 平分ACB ∠，∴ EM EH =，∴ EN EH =，∴ DE 平分ADB ∠，∴112ADB ∠=∠． ∵ 12DEC ∠=∠+∠，而122ACB ∠=∠，∴ 112DEC ACB ∠=∠+∠，而ADB DAC ACB ∠=∠+∠，∴ 11301522DEC DAC ∠=∠=⨯= ．故答案为：15．【点睛】本题考查了平分线的性质和三角形外角的性质，掌握性质是解题的关键．18．如图，△ABC的外角∠MBC和∠NCB的平分线BP、CP相交于点P，PE⊥BC于E且PE ＝3cm，若△ABC的周长为14cm，S△BPC＝7.5，则△ABC的面积为______cm2．6【分析】过点P作PH⊥AMPQ⊥AN连接AP根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得PH=PE=PQ再根据三角形的面积求出BC然后求出AC+AB再根据S△ABC=S△ACP+S△ABP-S△BPC解析：6【分析】过点P作PH⊥AM，PQ⊥AN,连接AP，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得PH=PE=PQ，再根据三角形的面积求出BC，然后求出AC+AB，再根据S△ABC= S△ACP+ S△ABP-S△BPC即可得解.【详解】解：如图，过点P作PH⊥AM，PQ⊥AN，连接AP∵BP和CP为∠MBC和∠NCB角平分线∴PH=PE，PE=PQ∴PH=PE=PQ=3∵S△BPC=12×BC×PE=7.5∴BC=5∵S△ABC= S△ACP+ S△ABP-S△BPC=12×AC×PQ+12×AB×PH-7.5=12×3（AC+AB）-7.5∵AC+AB+BC=14，BC=5∴AC+AB=9∴S △ABC=12×3×9-7.5=6 cm 2 【点睛】本题考查了角平分线上点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，熟记性质是解题的关键，难点在于S △ABC 的面积的表示．19．如图所示，已知点A 、D 、B 、F 在一条直线上，∠A=∠F ，AC=FE ，要使△ABC ≌△FDE ，还需添加一个条件，这个条件可以是___________________ ．（只需填一个即可）∠C ∠E 或ABFD(ADFB)或∠ABC ∠FDE 或DE ∥BC 【分析】要判定△ABC ≌△FDE 已知∠A=∠FAC=FE 具备了一组角和一组边对应相等故可以添加∠C ∠E 利用ASA 可证全等（也可添加其它条件解析：∠C =∠E 或AB =FD(AD =FB)或∠ABC =∠FDE 或DE ∥BC【分析】要判定△ABC ≌△FDE ，已知∠A=∠F ，AC=FE ，具备了一组角和一组边对应相等，故可以添加∠C =∠E ，利用ASA 可证全等．（也可添加其它条件）．【详解】增加一个条件：∠C =∠E ，在△ABC 和△FDE 中，C E AC FE A F ∠∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABC ≌△FDE(ASA)；或添加AB =FD(AD =FB) 利用SAS 证明全等；或添加∠ABC =∠FDE 或DE ∥BC 利用AAS 证明全等．故答案为：∠C =∠E 或AB =FD(AD =FB)或∠ABC =∠FDE 或DE ∥BC （答案不唯一）．【点睛】本题考查了全等三角形的判定；判定方法有ASA 、AAS 、SAS 、SSS 等，在选择时要结合其它已知在图形上的位置进行选取．20．如图，在△ABC 中，∠C =90°，∠A 的平分线交BC 于D ，若20ABD S ∆=cm 2，AB =10cm ，则CD 为__________cm ．4【分析】由角平分线的性质可知D 到AB 的距离等于DC 可得出答案【详解】解：作DE ⊥AB 于E ∵AD 平分∠CAB 且DC⊥ACDE⊥AB∴DE=DC∵S△ABD=20cm2AB=10cm∴•AB•DE=2解析：4【分析】由角平分线的性质可知D到AB的距离等于DC，可得出答案．【详解】解：作DE⊥AB于E．∵AD平分∠CAB，且DC⊥AC，DE⊥AB，∴DE=DC，∵S△ABD=20cm2，AB=10cm，∴1•AB•DE=20，2∴DE=4cm，∴DC=DE=4cm故答案为：4．【点睛】本题主要考查角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．三、解答题21．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD的延长线上．求证：CD=2BE．解析：见解析【分析】根据等角的余角相等求出∠ACD=∠ABF，再利用“角边角”证明△AFB≌△ADC可得CD=BF，利用“角边角”证明△BCE和△FCE全等，根据全等三角形对应边相等BE=EF，整理即可得证．【详解】证明：∵BE⊥CD，∠BAC=90°，∴∠ACD+∠F=180°-90°=90°，∠ABF+∠F=180°-90°=90°，∴∠ACD=∠ABF ，在△AFB 和△ADC 中，90ACD ABF AB ACCAD BAF ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠︒⎩＝＝＝＝， ∴△AFB ≌△ADC （ASA ）；∴CD=BF ，∵CD 平分∠ACB ，∴∠BCE=∠FCE ，在△BCE 和△FCE 中，90BCE FCE CE CEBEC FEC ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠︒⎩＝＝＝＝， ∴△BCE ≌△FCE （ASA ），∴BE=EF ，∴BF=2BE∴CD=2BE ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的证明方法并准确识图是解题的关键．22．已知：AB BD ⊥，ED BD ⊥，AC CE =，BC DE =．（1）试猜想线段AC 与CE 的位置关系，并证明你的结论．（2）若将CD 沿CB 方向平移至图2情形，其余条件不变，结论12AC C E ⊥还成立吗？请说明理由．（3）若将CD 沿CB 方向平移至图3情形，其余条件不变，结论12AC C E ⊥还成立吗？请说明理由．解析：（1）AC CE ⊥，见解析；（2）成立，理由见解析；（3）成立，理由见解析【分析】（1）先用HL 判断出Rt Rt ABC CDE ≌△△，得出A DCE ∠=∠，进而判断出90DCE ACB ∠+∠=︒，即可得出结论；（2）同（1）的方法，即可得出结论；（3）同（1）的方法，即可得出结论．【详解】解：（1）AC CE ⊥理由如下：∵AB BD ⊥，ED BD ⊥，∴90B D ∠=∠=︒在Rt ABC △和Rt CDE △中AC CE BC DE=⎧⎨=⎩ ∴()Rt Rt HL ABC CDE △△≌， ∴A DCE ∠=∠∵90B ∠=︒，∴90A ACB ∠+∠=︒，∴()18090ACE DCE ACB ∠=︒-∠+∠=︒，∴AC CE ⊥；（2）成立，理由如下：∵AB BD ⊥，ED BD ⊥，∴90B D ∠=∠=︒，在1Rt ABC 和2Rt C DE △中121AC C E BC DE=⎧⎨=⎩， ∴()12Rt Rt HL ABC C DE ≌△△，∴2A C E D ∠=∠，∵90B ∠=︒，∴190B A AC ∠+∠=︒，∴2190DC E AC B ∠+∠=︒，在12C FC 中，()122118090C FC DC E AC B ∠=︒-∠+∠=︒，∴12AC C E ⊥；（3）成立，理由如下：∵AB BD ⊥，ED BD ⊥，∴190ABC D ∠=∠=︒在1Rt ABC 和2Rt C DE △中121AC C E BC DE =⎧⎨=⎩， ∴()12Rt Rt HL ABC C DE ≌△△，∴2A C E D ∠=∠，∵190ABC ∠=︒，∴190B A AC ∠+∠=︒，在12C FC 中，()2112180=90C FC DC E AC B ∠=︒-∠+∠︒，∴12AC C E ⊥．【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，判断出12Rt Rt ABC C DE ≌△△是解本题的关键．23．如图，点,,,B F C E 在一条直线上，,//,//AB DE AB ED AC FD =．求证：（1） AC DF =（2）FB CE =解析：（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据平行线的性质求出∠B=∠E ，∠ACB=∠DFE ，根据AAS 证出△BAC ≌△EDF ，可得AC=DF ；．（2）由△BAC ≌△EDF ，可证BC=EF ，进而可得FB=CE ．【详解】证明：（1）∵AB//ED ，AC//FD ，∴∠B=∠E ，∠ACB=∠DFE ，在△BAC 和△EDF 中ACB DFE B EAB DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△BAC ≌△EDF （AAS ），∴AC=DF ；（2）∵△BAC ≌△EDF ，∴BC=EF ，∴BC-FC=EF-FC ，∴FB=CE ．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，注意：①全等三角形的判定定理有SAS ，ASA ，AAS ，SSS ，②全等三角形的对应边相等，对应角相等．24．如图①，∠BAD=90°，AB=AD ，过点B 作BC ⊥AC 于点C ，过点D 作DE ⊥CA 的延长线点E ，由∠1+∠2=∠D+∠2=90°，得∠1=∠D ，又∠ACB=∠AED=90°，AB=AD ，得△ABC ≌△DAE 进而得到AC=DE ，BC=AE ， 我们把这个数学模型称为“K 字”模型或“一线三等角”模型．请应用上述“一线三等角”模型，解决下列问题：（1）如图②，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD ，AC=AE ，连接BC 、DE ，且BC ⊥AH 于点H ，DE 与直线AH 交于点G ，求证：点G 是DE 的中点．（2）如图③，在平面直角坐标系中，点A 为平面内任意一点，点B 的坐标为（4，1），若△AOB 是以OB 为斜边的等腰直角三角形，请直接写出点A 的坐标．解析：（1）见解析；（2）A(32，52)或(52，-32)． 【分析】 （1）过点D 作DM ⊥AM 交AG 于点M ，过点E 作EN ⊥AG 于点N ．根据“K 字模型”即可证明AH=DM 和AH=EN ，即EN=DM ，再根据全等三角形的判定和性质即可证明DG=EG ，即点G 是DE 的中点．（2）分情况讨论①当A 点在OB 的上方时，作AC 垂直于y 轴，BE 垂直于x 轴，CA 和EB 的延长线交于点D ．根据“K 字模型”即可证明AC BD OC AD DE ===，，再利用B 点坐标即可求出A 点坐标．②当A 点在OB 的下方时，作AP 垂直于y 轴，BM 垂直于x 轴，PA 和BM 的延长线交于点Q ．同理即能求出A 点坐标．【详解】（1）如图，过点D 作DM ⊥AM 交AG 于点M ，过点E 作EN ⊥AG 于点N ，则∠DMA=90°，∠ENG=90°．∵∠BHA=90 ，∴∠2+∠B=90°．∵∠BAD=90°，∴∠1+∠2=90°．∴∠B=∠1 ．在△ABH 和△DAM 中1BHA AMD B AB DA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABH ≅△DAM （AAS ），∴AH=DM ．同理 △ACH ≅△EAN （AAS ），∴ AH=EN ．∴EN=DM ．在△DMG 和△ENG 中MGD NGE DMG ENG DM EN ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△DMG ≅△ENG （AAS ）．∴DG=EG ．∴点G 是DE 的中点．（2）根据题意可知有两种情况，A 点分别在OB 的上方和下方．①当A 点在OB 的上方时，如图，作AC 垂直于y 轴，BE 垂直于x 轴，CA 和EB 的延长线交于点D ．利用“K 字模型”可知ACO BDA ≅，∴AC BD OC AD DE ===，，设AC x =，则BD x =，∵1DE BD BE x =+=+，∴1OC AD DE x ===+，又∵4CD AD AC =+=，即14x x ++=， 解得32x =， ∴32AC =，35122DE =+=． 即点A 坐标为(32，52)．②当A 点在OB 的下方时，如图，作AP 垂直于y 轴，BM 垂直于x 轴，PA 和BM 的延长线交于点Q ．根据①同理可得：52AP =，32MQ =． 即点A 坐标为(52，32-)．【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质．熟练利用三角形的判定方法是解答本题的关键．25．已知4,BC BA BC =⊥，射线CM BC ⊥，动点P 在BC 上，PD PA ⊥交CM 于D ．（1）如图1，当3,1BP AB ==时，求DC 的长；（2）如图2，连接AD ，当DP 平分ADC ∠时，求BP 的长．解析：（1）3；（2）2【分析】（1）根据同角的余角相等证得∠1=∠3，再利用AAS 证明()ABP PCD AAS ∆≅∆，然后根据全等三角形的性质解答即可；（2）过P 作PH AD ⊥于H ，利用角平分线的性质进行解答即可．【详解】解：（1）如图，∵AP PD ⊥，∴1290∠+∠=︒，∵PC CD ⊥，∴2390∠+∠=︒∴13∠=∠，∵3,4BP BC ==，∴1PC BC BP =-=，又∵1AB =，∴AB PC =，又∵AB BP ⊥，∴90B C ∠=∠=︒，∴()ABP PCD AAS ∆≅∆，∴3CD BP ==；（2）作PH AD ⊥于H ，如图2，∵DP 平分ADC ∠，∴∠1=∠2，∵90C ∠=︒，PH AD ⊥∴∠HDP=∠CDP ，∴PH PC =，又∵1390∠+∠=︒，2490∠+∠=︒，∴34∠=∠，又∵90B ∠=︒，PH AD ⊥∴∠HAP=∠BAP ，∴PH BP =， ∴122BP PC BC ===． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、同角的余角相等、直角三角形的两锐角互余，熟练掌握全等三角形的判定与性质，添加辅助线灵活运用角平分线的性质是解答的关键．26．如图，在平面直角坐标系中，已知点()1,A a a b -+，(),0B a ，且()2320a b a b +-+-=，C 为x 轴上点B 右侧的动点，以AC 为腰作等腰三角形ACD ，使AD AC =，CAD OAB ∠=∠，直线DB 交y 轴于点P ．（1）求证：AO AB =；（2）求证：AOC ABD ∆∆≌；（3）当点C 运动时，点P 在y 轴上的位置是否发生改变，为什么？解析：（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）不变，理由见解析．【分析】（1）先根据非负数的性质求出a 、b 的值，作AE ⊥OB 于点E ，由SAS 定理得出△AEO ≌△AEB ，根据全等三角形的性质即可得出结论；（2）先根据∠CAD=∠OAB ，得出∠OAC=∠BAD ，再由SAS 定理即可得出结论； （3）设∠AOB=∠ABO=α，由全等三角形的性质可得出∠ABD=∠AOB=α，故∠OBP=180°-∠ABO-∠ABD=180°-2α为定值，再由OB=2，∠POB=90°可知OP 的长度不变，故可得出结论．【详解】（1）证明：∵()2320a b a b +-+-=，∴30,20,a b a b +-=⎧⎨-=⎩解得2,1.a b =⎧⎨=⎩∴()1,3A ，()2,0B ．作AE OB ⊥于点E ，∵()1,3A ，()2,0B ，∴1OE =，211BE =-=，在AEO ∆与AEB ∆中，∵,90,,AE AE AEO AEB OE BE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴AEO AEB ∆∆≌，∴OA AB =．（2）证明：∵CAD OAB ∠=∠，∴CAD BAC OAB BAC ∠+=∠+∠∠，即OAC BAD ∠=∠．在AOC ∆与ABD ∆中，∵,,,OA AB OAC BAD AC AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴AOC ABD ∆∆≌．（3）解：点P 在y 轴上的位置不发生改变．理由：设AOB α∠=．∵OA AB =，∴AOB ABO α∠=∠=．由（2）知，AOC ABD ∆∆≌，∴ABD AOB α∠=∠=．∵2OB =，1801802OBP ABO ABD α∠=︒-∠-∠=︒-为定值，90POB ∠=︒，易知POB ∆形状、大小确定，∴OP 长度不变，∴点P 在y 轴上的位置不发生改变．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键． 27．命题：有两个内角相等的三角形必有两条高线相等，写出它的逆命题，并判断逆命题的真假，若是真命题，给出证明；若是假命题，请举反例．解析：逆命题是有两条高线相等的三角形必有两个内角相等，是真命题；证明见解析．【分析】先找到原命题的题设和结论，再将题设和结论互换，即可得到原命题的逆命题，再得出命题的正确性．【详解】解：有两个内角相等的三角形必有两条高线相等的逆命题是有两条高线相等的三角形必有两个内角相等，是真命题；在Rt BCE 与Rt CBD △中，BD CE BC CB =⎧⎨=⎩∴()Rt BCE Rt CBD HL ≌，∴DCB EBC ∠=∠．【点睛】此题主要考查了命题与定理的证明，根据逆命题的概念来回答：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题，进而利用全等三角形的证明方法求出即可．28．（1）问题背景：如图1：在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠BAD ＝120°，∠B ＝∠ADC ＝90°，E 、F 分别是BC ，CD 上的点且∠EAF ＝60°，探究图中线段BE 、EF 、FD 之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长FD 到点G ．使DG ＝BE ．连结AG ，先证明 ABE ≌ADG ，再证明AEF ≌AGF ，可得出结论，他的结论应是______________；（2）探索延伸：如图2，若在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B +∠D ＝180°．E ，F 分别是BC ，CD 上的点，且∠EAF 12=∠BAD ，上述结论是否仍然成立，并说明理由； （3）实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O 处）北偏西30°的A 处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B 处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以45海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东50°的方向以60海里/小时的速度前进，2小时后，指挥中心观测到甲、乙两地分别到达E 、F 处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．解析：（1）EF ＝BE +DF ；（2）结论EF ＝BE +DF 仍然成立；（3）此时两舰艇之间的距离是210海里【分析】（1）延长FD 到点G ，使DG=BE ．连结AG ，即可证明ABE≌ADG ，可得AE=AG ，再证明AEF ≌AGF ，可得EF=FG ，即可解题； （2）延长FD 到点G ，使DG=BE ．连结AG ，即可证明ABE≌ADG ，可得AE=AG ，再证明AEF ≌AGF ，可得EF=FG ，即可解题； （3）连接EF ，延长AE 、BF 相交于点C ，然后与（2）同理可证．【详解】解：（1）EF ＝BE +DF ，证明如下： 在ABE 和ADG 中， DG BE B ADG AB AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴ABE ≌ADG （SAS ），∴AE ＝AG ，∠BAE ＝∠DAG ，∵∠EAF 12=∠BAD ， ∴∠GAF ＝∠DAG +∠DAF ＝∠BAE +∠DAF ＝∠BAD ﹣∠EAF ＝∠EAF ，∴∠EAF ＝∠GAF ， 在AEF 和GAF 中，AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴AEF ≌AGF （SAS ），∴EF ＝FG ，∵FG ＝DG +DF ＝BE +DF ，∴EF ＝BE +DF ；故答案为 EF ＝BE +DF ．（2）结论EF ＝BE +DF 仍然成立；理由：延长FD 到点G ．使DG ＝BE ．连结AG ，如图2，在ABE 和ADG 中，DG BE B ADG AB AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴ABE ≌ADG （SAS ），∴AE ＝AG ，∠BAE ＝∠DAG ，∵∠EAF 12=∠BAD ， ∴∠GAF ＝∠DAG +∠DAF ＝∠BAE +∠DAF ＝∠BAD ﹣∠EAF ＝∠EAF ， ∴∠EAF ＝∠GAF ，在AEF 和GAF 中，AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴AEF ≌AGF （SAS ），∴EF ＝FG ，∵FG ＝DG +DF ＝BE +DF ，∴EF ＝BE +DF ；（3）如图3，连接EF ，延长AE 、BF 相交于点C ，∵∠AOB ＝30°+90°+（90°﹣70°）＝140°，∠EOF ＝70°，∴∠EOF 12=∠AOB ， 又∵OA ＝OB ，∠OAC +∠OBC ＝（90°﹣30°）+（70°+50°）＝180°， ∴符合探索延伸中的条件，∴结论EF ＝AE +BF 成立，即EF＝2×（45+60）＝210（海里）．答：此时两舰艇之间的距离是210海里．【点睛】本题考查了全等三角形的判定以及全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△AEF≌△AGF是解题的关键．。
人教版八年级上册第十二章 12.1全等三角形 课件(共18张PPT)
今日任务—— 课堂作业：课本P31-32习题1、2 家庭作业：3、4
寻找对应边对应角的规律
（1）有公共边的，公共边是对应边； （2）有公共角的，公共角是对应角； （3）有对顶角的，对顶角是对应角； （4）最大边与最大边（最小边与最小边） 为
对应边；最大角与最大角（最小角与最小角）为对 应角；
（5）对应角所对的边为对应边；对应边所对 的角为对应角；
（6）根据书写规范，按照对应顶点找对应边 或对应角．
△ABC≌△BAD的对应边和
角∴
AB∠－BAACE= ∠＝AEBFD－EA AF∠=ABEB=C_=_6_-2∠_=_B4AD
对应角
角 ∠C= ∠D
等式的性质1
谈谈你这节课的收获
全等三角形
（1）能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形； （2）全等三角形的性质：对应边相等、对应角相等； （3）全等三角形用符号“≌”表示，且一般对应顶点写在对应位置上.
人教版八年级数学上册
12.1全等三角形
教学目标
知识与能力
1．知道什么是全等形、全等三角形及全等三角形的对应元素； 2．知道全等三角形的性质，能用符号正确地表示两个三角形全等．
观察 （1）
(2)
(3)
每组的两个图形有什么特点? 重合
思 考 能够完全重合的两个图形叫做 全等形
2021年8月12日星期四
F
如图：∵△ABC≌△DEF ∴AB=DE，BC=EF，AC=DF （ 全等三角形的对应边相等 ）
∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F （ 全等三角形的对应角相等 ）
A
Ｄ
随堂练习：
B
CＥ
Ｆ
第二题图
1、若△ ABC≌ △ DEF，则∠B= ∠E , ∠BAC= ∠EDF ,
人教版初中数学八年级上册第十二章 全等三角形
12.1 全等三角形/
12.1 全等三角形
导入新知
12.1 全等三角形/
观察这些图片，你能找出形状、大小完全一样的几何 图形吗？
导入新知
12.1 全等三角形/
你能再举出生活中的一些类似例子吗？
素养目标
12.1 全等三角形/
3. 初步帮助学生建立平移、翻折、旋转三种图形 变化与全等形的关系.
12.1 全等三角形/
观察思考：每组中的两个图形有什么特点？
①
②
③
④
⑤
探究新知
12.1 全等三角形/
归纳总结
全等图形定义： 能够完全重合的两个图形叫做全等图形. 全等形性质： 如果两个图形全等，它们的形状和大小一定都相等.
探究新知 下面哪些图形是全等图形？
12.1 全等三角形/
大小、形状 完全相同
课后作业
作业 内容
12.1 全等三角形/
教材作业 从课后习题中选取 自主安排 配套练习册练习
2. 熟练掌握全等三角形的性质，并能灵活运用 全等三角形的性质解决相应的几何问题.
1. 熟记全等形及全等三角形的概念;能够正确找 出全等三角形的对应边、对应角.
探究新知
12.1 全等三角形/
知识点 1 全等图形的定义及性质
下列各组图形的形状与大小有什么特点？
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
探究新知
正确的结论并证明.
解：结论：EF∥NM
其他结论吗？
证明： ∵ △EFG≌△NMH，
∴ ∠E=∠N. ∴ EF∥NM.
巩固练习
12.1 全等三角形/
如图，△ABC ≌△CDA，AB 与CD，BC 与DA 是对应边，
最新人教版数学八年级上册第十二章-全等三角形(含答案)
第十二章 --全等三角形一、基本概念1.全等的图形必须满足：（1）形状相同的图形；（2）大小相等的图形；（3）能够完全重合的三角形叫做全等三角形2.全等三角形的表示两个三角形全等用“≌”符号表示；例如：△ABC与△DEF全等，那么我们可以表示为：△ABC≌△DEF。
3.全等三角形的基本性质（1）全等三角形对应边相等；（2）全等三角形对应角相等4.全等三角形的判定方法（1）三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）例：在如图所示的三角形中，AB=AC,AD是△ABC的中线，求证△ABD≌△ACD.AB D C（2）两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）例：如图，有一池塘，要测池塘两端A，B的距离，可先在平地上取一点C不经过池塘可以直接到达点A和B。
连接AC并延长到点D，使CD=CA.连接BC并延长到E，使CE=CB.连接DE,那么量出DE的长就是A，B的距离。
为什么？（3）两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）例：如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC,∠B=∠C。
求证AD=AE.AD EB C（4）两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）.例：在△ABC和△DEF中，∠A=∠D,∠B=∠E，BC=EF.求证△ABC≌△DEF（5）斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）例：如图，AC⊥BC，BD⊥AD,垂足分别为C，D，AC=BD.求证BC=AD.5.角平分线的性质及判定性质：角平分线上的点到角两边的距离相等判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。
二、灵活运用定理1.判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等，因此在寻找全等的条件时，总是先寻找相等的可能性。
（1）已知条件中有两角对应相等，可找：①夹边相等（ASA）②任一组等角的对边相等（AAS）（2）已知条件中有两边对应相等，可找①夹角相等（SAS）②第三组边也相等（SSS）（3）已知条件中有一边一角对应相等，可找①任一组角相等（AAS或ASA）②夹等角的另一组边相等（SAS）三、常见考法（1）利用全等三角形的性质：①证明线段（或角）相等；②证明两条线段的和差等于另一条线段；③证明面积相等（2）利用判定公理来证明两个三角形全等练习题1．（2015•莆田）如图，AE∥DF，AE=DF，要使△EAC≌△FDB，需要添加下列选项中的（）A．AB=CD B．EC=BF C．∠A=∠D D．AB=BC2．（2015•茂名）如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA于点D，PD=6，则点P到边OB的距离为（）A．6 B．5 C．4 D．33．（2015•贵阳）如图，点E，F在AC上，AD=BC，DF=BE，要使△ADF≌△CBE，还需要添加的一个条件是（）A．∠A=∠C B．∠D=∠B C．AD∥BC D．DF∥BE 4．（2015•青岛）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE=1，则BC=（）A．B．2 C．3 D．+25．（2015•启东市模拟）如图，给出下列四组条件：①AB=DE，BC=EF，AC=DF；②AB=DE，∠B=∠E．BC=EF；③∠B=∠E，BC=EF，∠C=∠F；④AB=DE，AC=DF，∠B=∠E．其中，能使△ABC≌△DEF的条件共有（）A．1组B．2组C．3组D．4组6．（2015•杭州模拟）用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图如右，则说明∠CAD=∠DAB 的依据是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 7．（2015•滕州市校级模拟）如图，在下列条件中，不能证明△ABD≌△ACD的是（）A．BD=DC，AB=AC B．∠ADB=∠ADC，BD=DCC．∠B=∠C，∠BAD=∠CAD D．∠B=∠C，BD=DC8．（2015•奉贤区二模）如图，已知AD是△ABC的边BC上的高，下列能使△ABD≌△ACD的条件是（）A．∠B=45°B．∠BAC=90°C．BD=AC D．AB=AC 9．（2015•西安模拟）如图所示，AB∥EF∥CD，∠ABC=90°，AB=DC，那么图中的全等三角形有（）A．4对B．3对C．2对D．1对10．（2015春•泰山区期末）如图，△A BC≌△AEF，AB=AE，∠B=∠E，则对于结论①AC=AF，②∠FAB=∠EAB，③EF=BC，④∠EAB=∠FAC，其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题（共10小题）11．（2015春•沙坪坝区期末）如图，已知△ABC≌△ADE，若AB=7，AC=3，则BE的值为．12．（2015春•张家港市期末）如图，已知Rt△ABC≌Rt△ABCDEC，连结AD，若∠1=20°，则∠B的度数是．13．（2015春•苏州校级期末）如图，△ABO≌△CDO，点B在CD上，AO∥CD，∠BOD=30°，则∠A=°．14．（2015春•万州区期末）如图，已知△ABC≌△ADE，D是∠BAC的平分线上一点，且∠BAC=60°，则∠CAE=．15．（2015•黔东南州）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，连接BD．请添加一个适当的条件，使△ABD≌△CDB．（只需写一个）16．（2014秋•曹县期末）如图，已知AB⊥CD，垂足为B，BC=BE，若直接应用“HL”判定△ABC≌△DBE，则需要添加的一个条件是．17．（2015•盐亭县模拟）如图，已知等边△ABC中，BD=CE，AD与BE相交于点P，则∠APE 的度数是度．18．（2014秋•腾冲县校级期末）如图，有两个长度相同的滑梯（即BC=EF），左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，则∠ABC+∠DFE=度．19．（2015•聊城）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD是∠ABC的平分线．若AB=6，则点D到AB的距离是．20．如图，在△A BC中，CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥AC交于点E，DF⊥BC于点F，且BC=4，DE=2，则△BCD的面积是．三．解答题（共7小题）21．如图，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，△ABE≌△ACD，∠C=42°，AB=9，AD=6，G为AB 延长线上一点．（1）求∠EBG的度数．（2）求CE的长．22．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，AE∥BC，CE⊥AE，垂足为E．（1）求证：△ABD≌△CAE；（2）连接DE，线段DE与AB之间有怎样的位置和数量关系请证明你的结论．23．如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，CE⊥AB，AE=CE．求证：（1）△AEF≌△CEB；（2）AF=2CD．24．如图：在△ABC中，∠C=90° AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF；说明：（1）CF=EB．（2）AB=AF+2EB．25．如图，为了测量一池塘的宽AB，在岸边找到一点C，连接AC，在AC的延长线上找一点D，使得DC=AC，连接BC，在BC的延长线上找一点E，使得EC=BC，测出DE=60m，试问池塘的宽AB为多少请说明理由．练习题参考答案一．选择题（共10小题）1．A 2．A 3．B 4．C 5．C 6．A 7．D 8．D 9．B 10．C 二．填空题（共10小题）11．4 12．70°13．30 14．30°15．AB=CD 16．AC=DE 17．60 18．90 19． 20．4三．解答题（共7小题）21．解：（1）∵△ABE≌△ACD，∴∠EBA=∠C=42°，∴∠EBG=180°﹣42°=138°；（2）∵△ABE≌△ACD，∴AC=AB=9，AE=AD=6，∴CE=AC﹣AE=9﹣6=3．22．证明：（1）∵AB=AC，∴∠B=∠ACD，∵AE∥BC，∴∠EAC=∠ACD，∴∠B=∠EAC，∵AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC，∵CE⊥AE，∴∠ADC=∠CEA=90°在△ABD和△CAE中∴△ABD≌△CAE（AAS）；（2）AB=DE，AB∥DE，如右图所示，∵AD⊥BC，AE∥BC，∴AD⊥AE，又∵CE⊥AE，∴四边形ADCE是矩形，∴AC=DE，∵AB=AC，∴AB=DE．∵AB=AC，∴BD=DC，∵四边形ADCE是矩形，∴AE∥CD，AE=DC，∴AE∥BD，AE=BD，∴四边形ABDE是平行四边形，∴AB∥DE且AB=DE．23．证明：（1）∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠BCE+∠CFD=90°，∠BCE+∠B=90°，∴∠CFD=∠B，∵∠CFD=∠AFE，∴∠AFE=∠B在△AEF与△CEB中，，∴△AEF≌△CEB（AAS）；（2）∵AB=AC，AD⊥BC，∴BC=2CD，∵△AEF≌△CEB，∴AF=BC，∴AF=2CD．24．证明：（1）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE=DC，∵在Rt△DCF和Rt△DEB中，，∴Rt△CDF≌Rt△EBD（HL）．∴CF=EB；（2）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴CD=CE．在△ADC与△ADE中，∵∴△ADC≌△ADE（HL），∴AC=AE，∴AB=AE+BE=AC+EB=AF+CF+E B=AF+2EB．25．解：AB=60米．理由如下：∵在△ABC和△DEC中，，∴△ABC≌△DEC（SAS），∴AB=DE=60（米），则池塘的宽AB为60米．。