2002年全国硕士研究生入学统一考试数学二真题及详解

2002年全国硕士研究生入学统一考试

数学二试题及详解

试题部分

一、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分．把答案填在题中横线上．）

（1）设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤>-=0,

e ,0,2arcsin

e 1)(2tan x a x x

x f x

x

在0=x 处连续，则=a ______．

（2）位于曲线x

xe

y -=,+∞<≤x 0下方，x 轴上方的无界图形的面积是______．

（3）微分方程02

='+"y yy 满足初始条件10

==x y

，2

1

|0=

'=x y 的特解是______． （4）++++∞→n n n n π2cos 1πcos 1[1lim

=++]πcos 1n

n Λ______． （5）矩阵⎥⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡-----222222220的非零特征值是______．

二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内．）

（1）设函数)(u f 可导，)(2

x f y =当自变量x 在1-=x 处取得增量1.0-=∆x 时，相应的函数增量y ∆的线性主部为1.0，则)1(f '＝（ ） （A ）－1．

（B ）0.1．

（C ）1．

（D ）0.5．

（2）设函数)(x f 连续，则下列函数中必为偶函数的是（ ） （A ）.d )(20t t f x

⎰

（B ）.d )(20t t f x

⎰

（C ）

.d )]()([0

t t f t f t x

--⎰

（D ）

.

d )]()([0

t t f t f t x

-+⎰

（3）设)(x y y =是二阶常系数微分方程x

qy py y 3e =+'+"满足初始条件=)0(y

0)0(='y 的特解，则当0→x 时，函数)

()

1ln(2x y x +的极限 （ ）

（A ）不存在．

（B ）等于1．

（C ）等于2．

（D ）等于3．

（4）设函数)(x f y =在),0(+∞内有界且可导，则（ ） （A ）当0)(lim =+∞

→x f x 时，必有.0)(lim ='+∞

→x f x

（B ）当)(lim x f x '+∞

→存在时，必有.0)(lim ='+∞

→x f x

（C ）当0)(lim 0

=+→x f x 时，必有.0)(lim 0

='+→x f x

（D ）当)(lim 0

x f x '+→存在时，必有.

0)(lim 0

='+→x f x

（5）设向量组321,,ααα线性无关，向量1β可由321,,ααα线性表示，而向量2β不能由321,,ααα线性表示，则对于任意常数k ，必有（ ） （A ）321,,ααα21,ββ+k 线性无关． （B ）321,,ααα21,ββ+k 线性相关． （C ）321,,ααα21,ββk +线性无关． （D ）321,,ααα21,ββk +线性相关．

三、（本题满分6分）

已知曲线的极坐标方程是θcos 1-=r ，求该曲线上对应于6

π

=θ处的切线与法线的直角坐标方程． 四、（本题满分7分）

设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤+<≤-+=,10,)

1e (e

,01,2

32)(22x x x x x x f x x

求函数t t f x F x d )()(1⎰-=的表达式． 五、（本题满分7分）

已知函数)(x f 在),0(+∞内可导，

1)(lim ,0)(=>+∞

→x f x f x ，且满足

,e ))

()((lim 1

1

0x h

h x f hx x f =+→ 求)(x f ． 六、（本题满分7分）

求微分方程0)2(=-+dx y x xdy 的一个解)(x y y =，使得由曲线)(x y y =与直线2,1==x x 以及

x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周的旋转体体积最小．

七、（本题满分7分）

某闸门的形状与大小如图所示，其中直线l 为对称轴，闸门的上部为矩形ABCD ，下部由二次抛物线与线段AB 所围成．当水面与闸门的上端相平时，欲使闸门矩形部分承受的水压力与闸门下部承受的水压力之比为4:5，闸门矩形部分的高h 应为多少m （米）？

八、（本题满分8分） 设),2,1()3(,3011

Λ=-=<<+n x x x x n n n ，证明数列}{n x 的极限存在，并求此极限．

九、（本题满分8分） 设b a <<0，证明不等式⋅<--<+ab a b a b b a a 1

ln ln 22

2

十、（本题满分8分）

设函数)(x f 在0=x 的某邻域内具有二阶连续导数，且0)0(,0)0(,0)0(≠''≠'≠f f f .

证明：存在惟一的一组实数321,,λλλ，使得当0→h 时，)0()3()2()(321f h f h f h f -++λλλ是比

2h 高阶的无穷小．

十一、（本题满分6分）

已知B A ,为3阶矩阵，且满足E B B A 421

-=-，其中E 是3阶单位矩阵． （1）证明：矩阵E A 2-可逆；

（2）若⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡-=200021021B ，求矩阵A ．

十二、（本题满分6分）

已知4阶方阵43214321,,,),,,,(αααααααα=A 均为4维列向量，其中432,,ααα线性无关，