2020年研究生入学考试数学一试题含答案
2020考研数学历年真题参考(2008-2017)年数学一
2020年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的（1）若函数1,0(),0x f x axb x ⎧->⎪=⎨⎪≤⎩在0x =处连续，则（ ） (A)12ab =(B)12ab =- (C)0ab = (D)2ab =（2）设函数()f x 可导，且()()0f x f x '>则（ ） (A)()()11f f >- (B) ()()11f f <- (C)()()11f f >-(D)()()11f f <-（3）函数()22,,f x y z x y z =+在点()1,2,0处沿向量()1,2,2n 的方向导数为（ ） (A)12(B)6(C)4(D)2（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位:m ）处,如下图中，实线表示甲的速度曲线()1v v t = （单位:m/s ）虚线表示乙的速度曲线()2v v t =，三块阴影部分面积的数值依次为10，20，3，计时开始后乙追上甲的时刻记为0t （单位:s ）,则（ ） (A)010t =(B)01520t << (C)025t = (D)025t >()s（5）设α为n 维单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则（ ） (A) TE αα-不可逆 (B) TE αα+不可逆 (C) 2T E αα+不可逆(D)2TE αα-不可逆（6）已知矩阵200021001A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 210020001B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦100020002C ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则（ ） (A) A 与C 相似，B 与C 相似(B) A 与C 相似，B 与C 不相似(C) A 与C 不相似，B 与C 相似 (D) A 与C 不相似，B 与C 不相似（7）设,A B 为随机事件，若0()1,0()1P A P B <<<<,则()()P A B P A B >的充分必要条件是（ ） A.()()P B A P B A > B ()()P B A P B A < C. ()()P P B A B A >D. ()()P P B A B A <（8）设12,......(2)n X X X n ≥来自总体 (,1)N μ的简单随机样本，记11ni i X X n ==∑ 则下列结论中不正确的是：（ ）(A) 2()i X μ∑-服从2χ分布(B) 212()n X X -服从2χ分布(C)21()nii XX =-∑服从2χ分布 (D) 2()n X μ- 服从2χ分布二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分。
2020年考研数学一真题及答案(全)
全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上． （1）若函数0(),0x f x b x >=⎪≤⎩在x 连续，则 (A) 12ab =． (B) 12ab =-． (C) 0ab =． (D) 2ab =．【答案】A【详解】由011lim 2x b ax a +→-==,得12ab =.（2）设函数()f x 可导，且()'()0f x f x >则(A) ()()11f f >- ． (B) ()()11f f <-． (C) ()()11f f >-． (D) ()()11f f <-.【答案】C【详解】2()()()[]02f x f x f x ''=>,从而2()f x 单调递增,22(1)(1)f f >-. （3）函数22(,,)f x y z x y z =+在点(1,2,0)处沿着向量(1,2,2)n =的方向导数为 (A) 12． (B) 6．(C) 4．(D)2 ．【答案】D【详解】方向余弦12cos ,cos cos 33===αβγ,偏导数22,,2x y z f xy f x f z '''===,代入cos cos cos x y z f f f '''++αβγ即可.（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10(单位：m)处.图中，实线表示甲的速度曲线1()v v t =(单位：m/s)，虚线表示乙的速度曲线2()v v t =(单位：m/s)，三块阴影部分面积的数值一次为10，20，3，计时开始后乙追上甲的时刻记为(单位：s)，则(A) 010t =． (B) 01520t <<． (C) 025t =． (D) 025t >．【答案】C【详解】在025t =时,乙比甲多跑10m,而最开始的时候甲在乙前方10m 处. （5）设α为n 维单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则 (A) TE -αα不可逆． (B) TE +αα不可逆． (C) T 2E +αα不可逆． (D) T2E -αα不可逆．【答案】A【详解】可设T α=(1,0,,0),则T αα的特征值为1,0,,0,从而T αα-E 的特征值为011,,,,因此T αα-E 不可逆.（6）设有矩阵200021001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，210020001B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，122C ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭(A)A 与C 相似，B 与C 相似． (B) A 与C 相似，B 与C 不相似．(C) A 与C 不相似，B 与C 相似． (D) A 与C 不相似，B 与C 不相似． 【答案】B【详解】,A B 的特征值为221,,,但A 有三个线性无关的特征向量,而B 只有两个,所以A 可对角化,B 则不行.（7）设,A B 为随机事件，若0()1P A <<，0()1P B <<，则(|)(|)P A B P B A >的充分必要条件(A) (|)(|)P B A P B A >． (B) (|)(|)P B A P B A <． (C) (|)(|)P B A P B A >． (D) (|)(|)P B A P B A <．【答案】A【详解】由(|)(|)P A B P A B >得()()()()()()1()P AB P AB P A P AB P B P B P B ->=-,即()>()()P AB P A P B ;由(|)(|)P B A P B A >也可得()>()()P AB P A P B . （8）设12,,,(2)n X X X n 为来自总体(,1)N μ的简单随机样本，记11ni i X X n ==∑，则下列结论不正确的是 (A)21()nii X μ=-∑服从2χ分布 ． (B) 212()n X X -服从2χ分布．(C)21()nii XX =-∑服从2χ分布． (D) 2()n X -μ服从2χ分布．【答案】B【详解】222211~(0,1)()~(),()~(1)1n ni i i i i X N X n X X n ==----∑∑μμχχ; 221~(,),()~(1);X N n X n-μμχ2211()~(0,2),~(1)2n n X X X X N --χ.二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分．请将答案写在答题纸．．．指定位置上． （9）已知函数21(),1f x x=+(3)(0)f = ． 【答案】0 【详解】2421()1(11)1f x x x x x==-++-<<+,没有三次项.（10）微分方程032=+'+''y y y 的通解为 ．【答案】12e ()xy C C -=+【详解】特征方程2230r r ++=得1r =-,因此12e ()x y C C -=+.（11）若曲线积分⎰-+-L y x aydy xdx 122在区域{}1),(22<+=y x y x D 内与路径无关，则=a． 【答案】1-【详解】有题意可得Q Px x∂∂=∂∂,解得1a =-. （12）幂级数111)1(-∞=-∑-n n n nx 在(-1,1)内的和函数()S x = ．【答案】21(1)x + 【详解】112111(1)[()](1)n n n n n nxx x ∞∞--=='-=--=+∑∑.（13）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=110211101A ，321ααα，，是3维线性无关的列向量，则()321,,αααA A A 的秩为 ．【答案】2【详解】123(,,)()2r r ααα==A A A A（14）设随即变量X 的分布函数4()0.5()0.5()2x F x x -=Φ+Φ，其中)(x Φ为标准正态分布函数，则EX = ． 【答案】2 【详解】00.54()d [0,5()()]d 222x EX xf x x x x x +∞+∞-∞-==+=⎰⎰ϕϕ. 三、解答题：15～23小题，共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案写在答题纸．．．指定位置上． （15）（本题满分10分）．设函数(,)f u v 具有2阶连续偏导数，(e ,cos ),xy f x =求2200,x x dyd y dxdx==.【答案】(e ,cos )x y f x =()''12'12''''''''''111212122222''''11122sin ,0(1,1)sin (sin )sin cos 0(1,1)(1,1)(1,1)x x x x x dyf e f x dx dy x f dx d y f e f x e f e f e f x x f x dx d y x f f f dx ∴=-∴===-+---==+- （16）（本题满分10分）．求2limln(1)n k kn n→∞+.【答案】212221120012202lim ln(1)1122lim ln(1)ln(1)...ln(1)11122lim ln(1)ln(1)...ln(1)1ln(1)ln(1)21111ln(1)02211111ln 2221n k n n k k nn n n n n n n n n n n n n n n n n n x x dx x d x x x x dxx x ∞→∞=→∞→∞+⎛⎫=++++++ ⎪⎝⎭⎛⎫=++++++ ⎪⎝⎭=+=+=+-+-+=-∑⎰⎰⎰1011002111ln 2[(1)]22111111ln 2[()ln(1)]002221111ln 2(1ln 2)2224dxxx dx dx xx x x +=--++=--++=--+=⎰⎰⎰（17）（本题满分10分）．已知函数)(x y 由方程333320x y x y +-+-=确定，求)(x y 的极值. 【答案】333320x y x y +-+-=①，方程①两边对x 求导得：22''33330x y y y +-+=②，令'0y =，得233,1x x ==±.当1x =时1y =，当1x =-时0y =.方程②两边再对x 求导：'22''''66()330x y y y y y +++=，令'0y =，2''6(31)0x y y ++=，当1x =，1y =时''32y =-，当1x =-，0y =时''6y =. 所以当1x =时函数有极大值，极大值为1，当1x =-时函数有极小值，极小值为0.（18）（本题满分10分）．设函数()f x 在区间[0,1]上具有2阶导数，且(1)0f >，0()lim 0x f x x+→<.证明： （I ）方程()0f x =在区间(0,1)内至少存在一个实根;（II ）方程2()''()['()]0f x f x f x +=在区间(0,1)内至少存在两个不同实根. 【答案】 (1)()lim 0x f x x+→<，由极限的局部保号性，(0,),()0c f c δ∃∈<使得，又(1)0,f >由零点存在定理知，(c,1)ξ∃∈，使得，()0f ξ=.(2)构造()()'()F x f x f x =，(0)(0)'(0)0F f f ==，()()'()0F f f ξξξ==，()lim 0,'(0)0,x f x f x +→<∴<由拉格朗日中值定理知(1)(0)(0,1),'()010f f f ηη-∃∈=>-，'(0)'()0,f f η<所以由零点定理知1(0,)(0,1)ξη∃∈⊂，使得1'()0f ξ=，111()()'()0,F f f ξξξ∴== 所以原方程至少有两个不同实根。
2011-2020年近十年全国考研数学一试卷真题和答案解析(最新146页含书签导航)
dt
，则
2F x2
x0
．
y2
(12) 设 L 是柱面方程 x2 y2 1与平面 z x y 的交线，从 z 轴正向往 z 轴负向看去
为逆时针方向，则曲线积分 xzdx xdy y2 dz
L
2
．
(13) 若二次曲面的方程 x2 3y2 z2 2axy 2xz 2 yz 4 ，经过正交变换化为
2 (1, 2, 3)T ， 3 (3, 4, a)T 线性表示． (I) 求 a 的值； (II) 将 1, 2 , 3 由1,2 ,3 线性表示．
(21)(本题满分 11 分)
1 1 1 1
A
为三阶实对称矩阵，
A
的秩为
2，即
r
A
2
，且
0 1
0 1
0 1
0 1
．
(I) 求 A 的特征值与特征向量；
f (x, y)dxdy a ，其中 D (x, y) | 0 x 1,0 y 1 ，
D
计算二重积分 I
xy
f
'' xy
(
x,
y)dxdy
．
D
(20)(本题满分 11 分)
设向量组1 (1, 0,1)T ，2 (0,1,1)T ，3 (1, 3, 5)T ，不能由向量组 1 (1,1,1)T ，
(7) 设 F1(x) ， F2 (x) 为两个分布函数，其相应的概率密度 f1(x) ， f2 (x) 是连续函数，
则必为概率密度的是( )
(A) f1(x) f2 (x) ．
(B) 2 f2 (x)F1(x) ．
(C) f1(x)F2 (x) ．
(D) f1(x)F2 (x) f2 (x)F1(x) ．
2020考研数学一真题参考2011答案解析
2020年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上． (1) 曲线234(1)(2)(3)(4)y x x x x =----的拐点是( )(A) (1,0)． (B) (2,0)． (C) (3,0)． (D) (4,0)． (2) 设数列{}n a 单调减少，lim 0n n a →∞=，1(1,2,)nn kk S an ===∑ 无界，则幂级数1(1)nn n a x ∞=-∑的收敛域为( )(A) (1,1]-． (B) [1,1)-． (C) [0,2)． (D) (0,2]． (3) 设函数()f x 具有二阶连续导数，且()0f x >，(0)0f '=，则函数()ln ()z f x f y =在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是( )(A) (0)1f >，(0)0f ''>． (B) (0)1f >，(0)0f ''<． (C) (0)1f <，(0)0f ''>． (D) (0)1f <，(0)0f ''<．(4) 设40ln sin I x dx π=⎰，4ln cot J x dx π=⎰，40ln cos K x dx π=⎰，则,,I J K 的大小关系是( )(A) I J K <<． (B) I K J <<． (C) J I K <<． (D) K J I <<．(5) 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得矩阵B ，再交换B 的第2行与第3行得单位矩阵，记1100110001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2100001010P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则A =( ) (A) 12P P ． (B) 112P P -． (C) 21P P ． (D) 121PP -． (6) 设1234(,,,)A αααα=是4阶矩阵，*A 为A 的伴随矩阵，若(1,0,1,0)T是方程组0Ax =的一个基础解系，则*0A x =的基础解系可为( )(A) 13,αα． (B) 12,αα． (C) 123,,ααα． (D) 234,,ααα．(7) 设1()F x ，2()F x 为两个分布函数，其相应的概率密度1()f x ，2()f x 是连续函数，则必为概率密度的是( )(A)12()()f x f x ． (B)212()()f x F x ．(C)12()()f x F x ． (D)1221()()()()f x F x f x F x +．(8) 设随机变量X 与Y 相互独立，且()E X 与()E Y 存在，记{}max ,U X Y =，{}min ,V X Y =则()E UV =( )(A)()()E U E V ⋅． (B)()()E X E Y ⋅． (C)()()E U E Y ⋅． (D)()()E X E V ⋅．二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上． (9) 曲线0tan (0)4π=≤≤⎰xy tdt x 的弧长s = ．(10) 微分方程cos xy y e x -'+=满足条件(0)0y =的解为y = ．(11) 设函数2sin (,)1xytF x y dt t =+⎰，则222x y F x ==∂=∂ ．(12) 设L 是柱面方程221x y +=与平面=+z x y 的交线，从z 轴正向往z 轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分22L y xzdx xdy dz ++=⎰ ． (13) 若二次曲面的方程22232224x y z axy xz yz +++++=，经过正交变换化为221144y z +=，则a = ．(14) 设二维随机变量(),X Y 服从正态分布()22,;,;0N μμσσ，则()2E XY = ． 三、解答题：15～23小题，共94分．请将解答写在答题纸．．．指定的位置上．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．(15)(本题满分10分)求极限110ln(1)lim()x e x x x-→+．(16)(本题满分9分)设函数(,())z f xy yg x =，其中函数f 具有二阶连续偏导数，函数()g x 可导且在1x =处取得极值(1)1g =，求211x y zx y==∂∂∂．(17)(本题满分10分)求方程arctan 0k x x -=不同实根的个数，其中k 为参数．(18)(本题满分10分)(Ⅰ)证明：对任意的正整数n ，都有111ln(1)1n n n<+<+ 成立． (Ⅱ)设111ln (1,2,)2n a n n n=+++-=，证明数列{}n a 收敛．(19)(本题满分11分)已知函数(,)f x y 具有二阶连续偏导数，且(1,)0f y =，(,1)0f x =，(,)Df x y dxdy a =⎰⎰，其中{}(,)|01,01D x y x y =≤≤≤≤，计算二重积分''(,)xy DI xy f x y dxdy =⎰⎰．(20)(本题满分11分)设向量组123(1,0,1)(0,1,1)(1,3,5)T T T ααα===，，，不能由向量组1(1,1,1)Tβ=，2(1,2,3)T β=，3(3,4,)T a β=线性表示．(I) 求a 的值；(II) 将123,,βββ由123,,ααα线性表示．(21)(本题满分11分)A 为三阶实对称矩阵，A 的秩为2，即()2r A =，且111100001111A -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭．(I) 求A 的特征值与特征向量；(II) 求矩阵A ． (22)(本题满分11分)设随机变量X 与Y 的概率分布分别为且{}221P X Y ==．(I) 求二维随机变量(,)X Y 的概率分布； (II) 求Z XY =的概率分布； (III) 求X 与Y 的相关系数XY ρ．（23）（本题满分 11分） 设12,,,n X X X 为来自正态总体20(,)μσN 的简单随机样本，其中0μ已知，20σ>未知．X 和2S 分别表示样本均值和样本方差．(I) 求参数2σ的最大似然估计量2σ∧； (II) 计算2()E σ∧和2()D σ∧．2011年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上． (1)【答案】(C)．【解析】记1111,1,0y x y y '''=-==，2222(2),2(2),2,y x y x y '''=-=-= 32333(3),3(3),6(3),y x y x y x '''=-=-=- 432444(4),4(4),12(4),y x y x y x '''=-=-=- (3)()y x P x ''=-，其中(3)0P ≠，30x y =''=，在3x =两侧，二阶导数符号变化，故选(C)．(2)【答案】(C)．【解析】观察选项：(A)，(B)，(C)，(D)四个选项的收敛半径均为1，幂级数收敛区间的中心在1x =处，故(A)，(B)错误；因为{}n a 单调减少，lim 0n n a →∞=，所以0n a ≥，所以1nn a∞=∑为正项级数，将2x =代入幂级数得1nn a∞=∑，而已知S n =1nkk a=∑无界，故原幂级数在2x =处发散，(D)不正确．当0x =时，交错级数1(1)nn n a ∞=-∑满足莱布尼茨判别法收敛，故0x =时1(1)nn n a ∞=-∑收敛．故正确答案为(C)．(3)【答案】(A)． 【解析】(0,0)(0,0)|()ln ()|(0)ln (0)0zf x f y f f x∂''=⋅==∂, (0,0)(0,0)()|()|(0)0,()z f y f x f y f y '∂'=⋅==∂故(0)0f '=, 2(0,0)(0,0)2|()ln ()|(0)ln (0)0,zA f x f y f f x∂''''==⋅=⋅>∂22(0,0)(0,0)()[(0)]|()|0,()(0)z f y f B f x x y f y f ''∂'==⋅==∂∂222(0,0)(0,0)22()()[()][(0)]|()|(0)(0).()(0)z f y f y f y f C f x f f y f y f ''''∂-''''==⋅=-=∂又22[(0)]ln (0)0,AC B f f ''-=⋅>故(0)1,(0)0f f ''>>． (4)【答案】(B)． 【解析】因为04x π<<时， 0sin cos 1cot x x x <<<<，又因ln x 是单调递增的函数，所以lnsin lncos lncot x x x <<． 故正确答案为(B)．(5)【答案】 (D)．【解析】由于将A 的第2列加到第1列得矩阵B ，故100110001A B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， 即1AP B =，11A BP-=． 由于交换B 的第2行和第3行得单位矩阵，故100001010B E ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， 即2,P B E =故122B P P -==．因此，121A P P -=，故选(D)．(6)【答案】(D)．【解析】由于(1,0,1,0)T 是方程组0Ax =的一个基础解系，所以(1,0,1,0)0TA =，且()413r A =-=，即130αα+=，且0A =．由此可得*||A A A E O ==，即*1234(,,,)A O =αααα，这说明1234,,,αααα是*0A x =的解．由于()3r A =，130αα+=，所以234,,ααα线性无关．又由于()3r A =，所以*()1r A =，因此*0A x =的基础解系中含有413-=个线性无关的解向量．而234,,ααα线性无关，且为*0A x =的解，所以234,,ααα可作为*0A x =的基础解系，故选(D)．(7)【答案】(D)．【解析】选项(D)1122()()()()f x F x f x F x dx +∞-∞⎡⎤+⎣⎦⎰2211()()()()F x dF x F x dF x +∞-∞⎡⎤=+⎣⎦⎰21()()d F x F x +∞-∞⎡⎤=⎣⎦⎰12()()|F x F x +∞-∞=1=． 所以1221()()f F x f F x +为概率密度．(8)【答案】(B)．【解析】因为 {},,max ,,,X X Y U X Y Y X Y ≥⎧==⎨<⎩ {},,min ,,Y X Y V X Y X X Y ≥⎧==⎨<⎩．所以，UV XY =，于是()()E UV E XY = ()()E X E Y =．二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上．(9)【答案】(ln 1．【解析】选取x 为参数，则弧微元sec ds xdx ===所以440sec ln sec tan ln(1s xdx x x ππ==+=+⎰． (10)【答案】sin xy e x -=．【解析】由通解公式得(cos )dx dxx y e e x e dx C --⎰⎰=⋅+⎰(cos )x e xdx C -=+⎰(sin )xe x C -=+．由于(0)0,y =故C =0．所以sin xy e x -=．(11)【答案】4． 【解析】2sin 1()F xyy x xy ∂=⋅∂+， 22222cos sin 2[1()]F y xy xy xy y x xy ∂-⋅=⋅∂+， 故2(0,2)2|4Fx∂=∂． (12)【答案】π．【解析】取22:0,1S x y z x y +-=+≤，取上侧，则由斯托克斯公式得，原式=22SS dydz dzdx dxdy ydydz xdzdx dxdy x y z y xzx∂∂∂=++∂∂∂⎰⎰⎰⎰．因'',1, 1.x y z x y z z =+==由转换投影法得221[(1)(1)1]Sx y ydydz xdzdx dxdy y x dxdy +≤++=⋅-+-+⎰⎰⎰⎰．221(1)x y x y dxdy π+≤=--+=⎰⎰221x y dxdy π+≤==⎰⎰．(13)【答案】1a =．【解析】由于二次型通过正交变换所得到的标准形前面的系数为二次型对应矩阵A 的特征值，故A 的特征值为0，1，4．二次型所对应的矩阵1131111a A a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，由于310ii A λ===∏，故113101111a a a =⇒=．(14)【答案】()22μμσ+．【解析】根据题意，二维随机变量(),X Y 服从()22,;,;0N μμσσ．因为0xy ρ=，所以由二维正态分布的性质知随机变量,X Y 独立，所以2,X Y ．从而有()()()()()()22222E XY E X E Y D Y E Y μμμσ⎡⎤==+=+⎣⎦．三、解答题：15～23小题，共94分．请将解答写在答题纸．．．指定的位置上．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．(15)(本题满分10分)【解析】110ln(1)lim[]x e x x x-→+0ln(1)1lim[1].1x x x x e e →+--=2ln(1)limx x xx e →+-=22201()2lim x x x o x x x e→-+-=22201()2lim x x o x x e→-+=12e -=．(16)(本题满分9分) 【解析】[],()z f xy yg x =[][]12,(),()()zf xy yg x y f xy yg x yg x x∂'''=⋅+⋅∂ [][]211112,()(,())(,())()zf xy yg x y f xy yg x x f xy yg x g x x y∂'''''=++∂∂ []{}21222(),()()[,()][,()]()g x f xy yg x yg x f xy yg x x f xy yg x g x '''''''+⋅+⋅+．因为 g(x) 在 x 1 可导，且为极值,所以 g(1) 0 ，则d2z dxdy|x1 y 1f1(1,1) f11(1,1) f12(1,1) ．(17)(本题满分 10 分)【解析】显然 x 0 为方程一个实根．当 x 0 时，令 f x x k,arctan xf x arctanx1x x2 arctan x 2．令gxarctanx1x x2xR ， gx1 1 x21 x2 x2x 1 x2 22x 2 1 x22 0，即 x R, g x 0．又因为 g 0 0 ，即当 x 0 时， g x 0 ； 当 x 0 时， g x 0 ．当 x 0 时， f ' x 0 ；当 x 0 时， f ' x 0 ．所以当 x 0 时， f x 单调递减，当 x 0 时， f x 单调递增又由 lim f x lim x k 1 k ，x0x0 arctan xlim f x lim x k ，xx arctan x所以当1 k 0 时，由零点定理可知 f x 在 (, 0) ， (0, ) 内各有一个零点；当1 k 0 时，则 f x 在 (, 0) ， (0, ) 内均无零点．综上所述，当 k 1时，原方程有三个根．当 k 1 时，原方程有一个根．(18)(本题满分 10 分)【解析】(Ⅰ)设fxln1 x,x0,1 n 显然f(x)在0,1 n 上满足拉格朗日的条件，f 1 n f0ln1 1 n ln1ln1 1 n 1 11 n, 0,1 n 所以 0,1 n 时，1 1 11 n1 11 n1 1 01 n，即：1 n 11 11 n1 n，n亦即：1 n 1ln1 1 n 1 n．结论得证． （II）设 an11 21 3 1 ln n n 1 ln n ．nk 1 k先证数列an 单调递减． an1 an n1 k11 k ln n 1 n k 11 k ln nn1 1ln n n 11 n 1ln11 n ，利用（I）的结论可以得到1 n 1ln(1 1) n，所以1 n 1ln1 1 n 0得到an1an，即数列an 单调递减．再证数列an 有下界． ann k 11 k lnnn k 1ln 11 k lnn， nk 1ln1 1 k lnn k 1 k1 k ln 2 13 24 3n n1 lnn1， ann k 11 kln nn k 1ln 11 k lnnln n1 lnn0．得到数列an 有下界．利用单调递减数列且有下界得到an 收敛．(19)(本题满分 11 分)【解析】 I 1xdx01 0yf'' xy(x,y)dy1xdx01 0ydf' x(x,y) 1 0xdx yfxx,y |101 0f' x x,y dy 1xdx0f' x(x,1)1 0f' x(x,y)dy．因为f(x,1)0 ，所以f' x(x,1)0． I1xdx01 0f' x(x,y)dy1dy01 0xf' x(x,y)dx 1dy0 xf(x,y)|101 0f(x,y)dx1 0dy f(1,y)1 0f(x,y)dx fdxdy a ． D(20)(本题满分 11 分)【解析】(I)由于1,2 ,3 不能由 1, 2 , 3 线性表示，对 (1, 2 , 3,1,2 ,3) 进行初等行变换：1 1 3 1 0 1 (1, 2 , 3,1,2,3) 1 2 4 0 1 31 3 a 1 1 51 1 3 1 0 1 1 1 3 1 0 1 011112 011112 ． 0 2 a 3 0 1 4 0 0 a 5 2 1 0 当 a 5 时，r(1, 2 , 3) 2 r(1, 2, 3,1) 3 ，此时，1 不能由 1, 2 , 3 线性表示，故1,2 ,3 不能由 1, 2 , 3 线性表示．(II)对 (1,2 ,3, 1, 2 , 3 ) 进行初等行变换：1 0 1 1 1 3(1,2,3,1,2,3) 013124 1 1 5 1 3 5 1 0 1 1 1 3 1 0 1 1 1 3 013124 013124 0 1 4 0 2 2 0 0 1 1 0 2 1 0 0 2 1 5 0104210 ， 0 0 1 1 0 2故 1 21 42 3 ， 2 1 22 ， 3 51 102 23 ．(21)(本题满分 11 分) 1 1 1 1 【解析】(I)由于A 00 00 ，设11,0, 1T,21, 0,1T，则 1 1 1 1 A1,2 1,2 ，即 A1 1, A2 2 ，而 1 0,2 0 ，知 A 的特征值为 1 1, 2 1，对应的特征向量分别为 k11 k1 0 ， k22 k2 0 ．由于 r A 2 ，故 A 0 ，所以 3 0 ．由于 A 是三阶实对称矩阵，故不同特征值对应的特征向量相互正交，设 3 0 对应的特征向量为3 x1, x2, x3 T ，则12TT33 0, 0,即 x1 x1 x3 x3 0, 0．解此方程组，得3 0,1, 0T ，故 3 0 对应的特征向量为 k33 k3 0 ．(II) 由于不同特征值对应的特征向量已经正交，只需单位化：1 1 11 21, 0, 1T, 22 21 21, 0,1T,33 3 0,1, 0T ． 1令Q1,2,3，则QTAQ 1 ，0 A QQT2 2 0 2 22 2 02 20 1 0 1120 2 2 2 000 12 222 02 2 02 22 2 02 220 2 02 20 000 12 2 2 2 0 0 0 10 0 010 ．0 （22）（本题满分 11 分） 【解析】(I)因为 P X 2 Y 2 1 ，所以 P X 2 Y 2 1 P X 2 Y 2 0 ．即 P X 0,Y 1 P X 0,Y 1 P X 1,Y 0 0 ．利用边缘概率和联合概率的关系得到P X 0,Y 0 P X 0 P X 0,Y 1 P X 0,Y 1 1 ；3P X 1,Y 1 PY 1 P X 0,Y 1 1 ；3P X 1,Y 1 PY 1 P X 0,Y 1 1 ．3即 X ,Y 的概率分布为X-101001/3011/301/3(II) Z 的所有可能取值为 1, 0,1 ．PZ 1 PX 1,Y 1 1 ．3PZ 1 PX 1,Y 1 1 ．3PZ 0 1 PZ 1 PZ 1 1 ．3 Z XY 的概率分布为Z-101P1/31/31/3(III)因为 XY Cov XY E XY E X E Y ，D(X ) D(Y )D(X ) D(Y )其中E XY E Z 1 1 0 1 1 1 0 ， E Y 1 1 0 1 1 1 0 ．3 333 33所以 E XY E X E Y 0 ，即 X ，Y 的相关系数 XY 0 ．（23）（本题满分 11 分）【解析】因为总体 X 服从正态分布，故设 X 的概率密度为 f (x) x ．(I) 似然函数1e ， (x0 2 2)22 nn L( 2 ) f (xi; 2 ) [i 1i 11e ] (2 ) e (xi 0 2 2)22n 2； 12 2n( xi 0 )2i12 取对数： ln L( 2 ) n ln(2 2 ) n (xi 0 )2 ；2i1 2 2 求导：dln L( 2 ) d ( 2 )n 22n i 1(xi 0 )2 2( 2 )21 2( 2 )2n[(xi 0 )2 2 ] ．i 1 令dln L( 2 ) d ( 2 )0 ，解得21 nn i 1( xi0 )2． 2 的最大似然估计量为 21 nn i 1(Xi 0 )2．(II) 方法 1： X i~N (0 , 2 ) ，令YiXi 0~N (0, 2 ) ，则 21 nnYi 2i 1． E( 2 )E(1 nn i 1Yi2 )E(Yi2 )D(Yi ) [E(Yi )]22． D( 2 )D( 1 nnYi2 )i 11 n2D(Y12 Y22 Yn2 )1 nD(Yi2 )1 n{E(Yi4)[E(Yi2 )]2}1 n(344)2 n4．方法 2： X i~ N (0, 2)，则Xi 0 ~ N (0,1)，得到 Yn i1 Xi 02 ~2n，即n 2Y Xi 0 2 ． i 1E 2 1 nE n i1(Xi0)2 1E n 2Y 1 2E Y 1 2 n 2 ．nn D 2 1 n2n D i1 ( Xi0)2 1 n2D 2Y1 n24D Y1 n24 2n2 n4．。
2020年考研数学一真题及答案解析
（4）【答案】（A）.
【解析】若 anrn 发散，则 r R ，否则，若 r R ，由阿贝尔定理知， anrn
n 1
n 1
绝对收敛，矛盾. 故应选（A）.
（5）若矩阵 A 经过初等列变换化成 B ，则
（）
（A）存在矩阵 P ，使得 PA B.
（B）存在矩阵 P ，使得 BP A.
（C）存在矩阵 P ，使得 PB A.
x a2 a1
y b2 b1
z c2 c1
与直线 L2
:
x a3 a2
y b3 b2
z c3 c2
相交于一
ai
点，法向量 αi
bi
,
i
1, 2,3 .则
ci
（）
（A） α1 可由 α2 , α3 线性表示.
（B） α2 可由 α1, α3 线性表示.
（C） α3 可由 α1, α2 线性表示. （6）【答案】（C）.
f x
,
f y
, 1
0,0
fx0, 0, fy 0, 0 , 1 ，故
n x, y, f x, y fx0, 0 x fy 0, 0 y f x, y x2 y2 ，
3
n x, y, f x, y
x2 y2
则 lim
lim
0. 故应选（A）.
x, y0,0
x2 y2
x, y0,0
x2 y2
（4） 设 R 为幂级数 an xn 的收敛半径， r 是实数，则 n 1
（）
（A） anrn 发散时， r R . n 1
（B） anrn 发散时， r R . n 1
（C） r R 时， anrn 发散. n 1
2020考研数学一真题参考2004答案解析
2020年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上) (1)曲线上与直线垂直的切线方程为__________ . (2)已知,且,则=__________ .(3)设为正向圆周在第一象限中的部分,则曲线积分的值为__________.(4)欧拉方程的通解为__________ . (5)设矩阵,矩阵满足,其中为的伴随矩阵,是单位矩阵,则=__________ .(6)设随机变量服从参数为的指数分布,则= __________ .二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(7)把时的无穷小量,使排在后面的是前一个的高阶无穷小,则正确的排列次序是(A) (B) (C) (D) (8)设函数连续,且则存在,使得(A)在(0,内单调增加 (B)在内单调减少 (C)对任意的有 (D)对任意的有ln y x =1=+y x (e )e x x f x -'=(1)0f =()f x L 222=+y x ⎰-L ydx xdy 2)0(024222>=++x y dx dyx dx y d x210120001⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A B **2=+ABA BA E *A A E B X λ}{DX X P >+→0x dt t dt t dt t xx x⎰⎰⎰===03002sin ,tan ,cos 2γβαγβα,,βγα,,γαβ,,αγβ,,()f x ,0)0(>'f 0>δ()f x )δ()f x )0,(δ-),0(δ∈x ()(0)f x f >)0,(δ-∈x ()(0)f x f >(9)设为正项级数,下列结论中正确的是(A)若=0,则级数收敛(B)若存在非零常数,使得,则级数发散(C)若级数收敛,则 (D)若级数发散, 则存在非零常数,使得(10)设为连续函数,,则等于 (A) (B) (C) (D) 0(11)设是3阶方阵,将的第1列与第2列交换得,再把的第2列加到第3列得,则满足的可逆矩阵为(A)(B)(C)(D)(12)设为满足的任意两个非零矩阵,则必有 (A)的列向量组线性相关的行向量组线性相关 (B)的列向量组线性相关的列向量组线性相关 (C)的行向量组线性相关的行向量组线性相关 (D)的行向量组线性相关的列向量组线性相关(13)设随机变量服从正态分布对给定的,数满足,若,则等于∑∞=1n n a n n na ∞→lim ∑∞=1n n a λλ=∞→n n na lim ∑∞=1n n a ∑∞=1n n a 0lim 2=∞→n n a n ∑∞=1n n a λλ=∞→n n na lim ()f x ⎰⎰=t ty dx x f dy t F 1)()()2(F '2(2)f (2)f (2)f -A A B B C =AQ C Q ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101001010⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100101010⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡110001010⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100001110,A B =AB O A ,B A ,B A ,B A ,B X (0,1),N )10(<<αααu αα=>}{u X P α=<}{x X P x(A) (B)(C) (D)(14)设随机变量独立同分布,且其方差为 令,则(A) (B)(C) (D)三、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)(15)(本题满分12分) 设,证明.2αu 21α-u21α-u α-1u )1(,,,21>n X X X n .02>σ∑==ni i X n Y 1121Cov(,)X Y nσ=21Cov(,)X Y σ=212)(σnn Y X D +=+211)(σnn Y X D +=-2e e a b <<<2224ln ln ()eb a b a ->-(16)(本题满分11分)某种飞机在机场降落时,为了减少滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下.现有一质量为9000kg 的飞机,着陆时的水平速度为700km/h 经测试,减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为 问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离是多少?(注:kg 表示千克,km/h 表示千米/小时)).100.66⨯=k(17)(本题满分12分)计算曲面积分其中是曲面的上侧.,)1(322233dxdy z dzdx y dydz x I ⎰⎰∑-++=∑)0(122≥--=z y x z(18)(本题满分11分)设有方程,其中为正整数.证明此方程存在惟一正实根,并证明当时,级数收敛.10n x nx +-=n n x 1α>1n n x α∞=∑(19)(本题满分12分)设是由确定的函数,求的极值点和极值.(,)z z x y =2226102180x xy y yz z -+--+=(,)z z x y =(20)(本题满分9分)设有齐次线性方程组试问取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解.121212(1)0,2(2)20,(2),()0,n nn a x x x x a x x n nx nx n a x ++++=⎧⎪++++=⎪≥⎨⎪⎪++++=⎩a(21)(本题满分9分)设矩阵的特征方程有一个二重根,求的值,并讨论是否可相似对角化.12314315a -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦A a A(22)(本题满分9分)设为随机事件,且,令求:(1)二维随机变量的概率分布. (2)和的相关系数,A B 111(),(|),(|)432P A P B A P A B ===;,,0,1不发生发生A A X ⎩⎨⎧=.,,0,1不发生发生B B Y ⎩⎨⎧=(,)X Y X Y .XY ρ(23)(本题满分9分) 设总体的分布函数为其中未知参数为来自总体的简单随机样本,求:(1)的矩估计量. (2)的最大似然估计量X ,1,1,0,11),(≤>⎪⎩⎪⎨⎧-=x x x x F ββn X X X ,,,,121 >βX ββ2004年数学一试题分析、详解和评注一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1）曲线y=lnx 上与直线1=+y x 垂直的切线方程为 1-=x y .【分析】 本题为基础题型，相当于已知切线的斜率为1，由曲线y=lnx 的导数为1可确定切点的坐标。
2020年(数学一)全国硕士研究生招生考试真题(1)
z
=
x2 +
y2
的法向量是 n =
ìïï镲 睚 镲 镲 ïî
x x2 +
y2
,
y ,- 1üïï ， x2 + y2 ïþ
则有
dydz x
=
x2 + y2
dzdx y
x2 + y2
=
dxdy -1
，即ìïïïïïïíïïïï?ïî ddyzddxz
= =
-
x dxdy x2 + y2
y dxdy
x2 y2
1 6
,1 12
处， AC
−
B2
=
3
0,
A
=1
0 ，从而函数在此处取
极小值，且
f
1 6
,1 12
=
−
1 216
.综上函数的极值为
f
1 6
,1 12
=
−
1 216
.
16
.计算曲线积分 I
=
L
4x − 4x2 +
y y
2
dx
+
x+ y 4x2 + y
dy ，其中
L
是
x2
+
y2
=
2 ，方向为逆时针方
答案：8. B
100
E
i =1
Xi
=
100 i =1
EX i
= 100
1 2
= 50
100
i =1
DXi
= 100
1 2
1 2
=
25
P
100 i =1
Xi 5
2020考研数学(一)答案解析
π
1
2
π
E ( XY ) E ( X sin X )2π
x sin x
dx
02x sin xdx
π
π
2
2
π
2
π
π
02xd cos x
x cos x|0202cos xdx
π
π
2
sin x|
π
2
.
02
π
π
9
故 cov( X , Y )2π0π2.
三、解答题
（15）（本题满分10分）
f ( x) 0.
x
x
综上，
f ( x )d x
f ( x ) af ( x)
lim
f
( x ) af ( x )
f (0) af (0)
am n.
0
0
x
2f
12.f(x,y)0xyext2dt，则
．
x y
(1,1)
（12）【答案】4e.
【解析】因为
2f
2f
，又
f
ex xy2xxex3y2,
x y
y x
x , y0,0x2y2
x , y0,0
x2y2
（4） 设R为幂级数anxn的收敛半径，r是实数，则
（
）
n1
（A）anrn发散时，
r
R.
n 1
（B）anrn发散时，
r
R.
n 1
（C）
r
R时，anrn发散.
n 1
（D）
r
R时，anrn发散.
n 1
（4）【答案】（A）.
【解析】若anrn发散，则
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X
的简单随机样本，其中
PX
0 =
PX
1
1 2
，
100
( X ) 为标准正态分布的分布函数，利用中心极限定理可得 P{ X i 55} 近似值为（ ）. i 1
（A）1 (1)
（B） (1)
（C）1 (0.2)
（D） (0.2)
【答案】（B） 【详解】
EX 0 1 1 1 1 2 22
x a2 a1
y b2 b1
z c2 c1
与直线 l2
:
xa3 a2
y b3 b2
z c3 c2
相交于一点，记
向量
i
ai bi
，
i
1, 2,3，则（
）
ci
（A）1 可由2 、3 线性表示
（B）2 可由 1 、3 线性表示
（C）3 可由1 、2 线性表示
（D）1 、2 、3 线性无关
100
E( Xi ) 100EX 50 i 1
EX 2 1 2
DX 1 4
100
D( Xi ) 100DX 25 i 1
100
Xi 50
所以， i1
N (0,1)
5
x
ln
1
t3 dt
0
（C） sin x sin t2 dt 0
（D） 1cos x sin3 t dt 0
【答案】（D）
【详解】(A) ( x (et2 1)dt)' ex2 1 x2 (x 0 ) 0
(B) ( x ln(1
t3 dt)' ln(1
3
x3 ) x 2( x 0 )
P( AC) P(BC) 1 ，则 A ， B ， C 恰有一个事件发生的概率是（ ）． 12
（A） 3 4
（B） 2 3
（C） 1 2
（D） 5 12
【答案】（D）
【详解】
P( ABC) P( ABC) P( ABC)
= P( AB C) P(B A C) P(C A B) = P( A) P( A(B C)) P(B) P(B( A C)) P(C) P(C( A B))
（B）当 a2nr 2n 收敛时，则 | r | R n0
（C）当 | r | R 时，则 a2nr 2n 发散 n0
（D）当 | r | R 时，则 a2nr 2n 收敛 n0
【答案】（D） 【详解】由级数收敛半径的性质得 D 正确。
（5）设矩阵 A 经初等列变换得 B ，则（ ）．
（A）存在矩阵 P ，使得 PA B
n (x, y, f (x, y))
（A） lim (x, y)(0,0)
x2 y2
存在
n (x, y, f (x, y))
（B） lim (x, y)(0,0)
x2 y2
存在
(x, y, f (x, y))
（C） lim (x, y)(0,0)
x2 y2
存在
Байду номын сангаас
【答案】（A）
【详解】因为 f (x, y) 在 (0, 0) 可微
（B）存在矩阵 P ，使得 BP A
（C）存在矩阵 P ，使得 PB A
【答案】（B）
（D） AX 0 与 BX 0 同解
【详解】由矩阵 A 经过初等列变换得 B ，从而存在可逆矩阵 Q ，使得 AQ B, 从而
BQ1 A ，令 P Q1 ，则 BP A ，故选 B.
（6）直线 l1 :
【答案】（C）
【详解】由题知，两条直线的位置关系
如下图：
则可知 AB 3 2 ，且又 AB 与1 和2 共面，
所以可由1 和2 线性表示.
从而3 2 可由1 和2 线性表示，即3 可由1 和2 线性表示.
应选（C）.
（ 7 ） 设 A ， B ， C 为 三 个 随 机 事 件 ， 且 P( A) P(B) P(C) 1 ， P( AB) 0 ， 4
0.
【答案】（C）
【详解】（A）反例 f (x) | x |
0, x 0 （B）反例 f (x) 1, x 0
0, x 0
（D) 反例 f (x) x2
（3）函数 f (x, y) 在 (0,0)
可微，
f
(0, 0)
0，n
( f
, f
, 1)
非零向量 与 n 垂
x y
(0,0)
直，则（ ）
从而 lim
x
f
x
y
f
y
f (x, y)
0
x0 y0
x2 y2
n (x, y, f (x, y))
即 lim (x, y)(0,0)
x2 y2
0 ，故选（A）.
（4）设 R 为幂级数 an xn 收敛半径， r 为实数，则（ ） n0
（A）当 a2nr 2n 发散时，则 | r | R n0
（A）若 lim f (x) 0 ，则 f (x) 在 x 0 可导； x0 x
（B）若
lim
x0
f (x) x2
0 ，则
f (x) 在 x 0 可导；
（C）若 f (x) 在 x 0 可导，则 lim f (x) 0 ； x0 x
（D）若
f
(x)
在
x
0 可导，则 lim x0
f (x) x2
2020 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题
一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分. 下列每题给出的四个选项中，只有一个选 项符合题目要求，请将所选选项前的字母填在答题纸指定的位置上.
（1）当 x 0+ 下列无穷小的阶最高的是（ ）.
（A） x (et2 1) dt 0
（B）
0
(C) ( sin x sin t2dt)' sin(sin2 x) cos x x2 (x 0 ) 0
1cos x
(D) . (
sin3 tdt)'
sin3(1 cos x) sin x cx4 (x 0 )
0
（2）函数 f (x) 在 (1,1) 有定义，且 lim f (x) 0 ，则（ ）． x0
= P( A) P( AB AC) P(B) P( AB BC) P(C) P( AC BC)
= P( A) P( AB) P( AC) P(B) P( AB) P(BC) P(C) P( AC) P(BC)
5
= ,故选 D.
12
（8）
X1, X2
X100
为来自总体
(x, y, f (x, y))
（D） lim ( x, y)(0,0)
x2 y2
存在
所以 lim
f (x, y)
f
x
x
f
y
y
0
x0 y0
x2 y2
又因为 n (x, y, f (x, y)) x fx y fy f (x, y)
所以 lim
x
f
x
y
f
y
f
(x, y)
0
x0 y0
x2 y2