2020年河南省中招数学试卷评析
年河南省中招数学试卷评析
河南省第二实验中学胡亚丽
试卷依照《新课程标准》，以《中考说明》规定的考试范围为依据，突出了对数学基础知识和基本能力的考查,涵盖数与代数，空间与几何，概率与统计等知识点，与课标要求比例分基本上一致。
有利于引导和促进数学教学全面落实《课程标准》所设立的课程目标，有利于引导改善学生的数学学习方式，提高学生数学学习的效率。
试题注重通性通法、淡化特殊技巧，解答题设置了多个问题，形成入口宽、层次分明、梯度递进的特点，有较好的区分度。
有利于高中阶段学校综合、有效地评价学生的数学学习状况;所有试题的考查内容及试题编排由易及难，坡度平缓，一部分试题情景来源于教材，对考生具有相当的亲和度，有利于考生获得较为理想的成绩。
试卷体现了“稳中求变、稳中求新”。
今年试题与去年相比难度稍有下降，重视基础知识、基本技能、基本思想方法和基本活动经验等“四基”的考查，第三大题解答题中删掉了一个概率题，增加了一个几何证明题。
难、中、易的比例基本在6：3：1。
试卷所呈现的信息不仅是数学符号和文字，还包括图形、图像及表格等。
如第5题求月牙①旋转到月牙②时点A的坐标、第18题通过表格和扇形统计图获取信息进而解决问题，第22题通过表格获取信息，利用不等式组及其它知识解决实际问题、让学生在各种赏心悦目的考查形式下，愉悦地进行答卷。
试卷呈现丰富多彩的生活情境，贴近生活，体现时代性。
如第13题摸球游戏，如第14题通过折纸求点A的移动距离，折纸是学生喜欢做的手工，看似似曾相识，但本题有一定难度，重在考查数学能力；家庭换灯泡是再常见不过的事情了，第20题就以换灯泡为背景，考查学生构建数学模型解决问题的能力；又如第18题以奥运为背景设计的统计问题；第22题背景取材于同学们所熟悉的“社会主义新农村建设”，以家电下乡设计的方案设计问题等。
使学生感悟到生活中处处有数学。
试卷积极创设探索思考空间，如第17题.试判断OE和AB的位置关系；第21随着旋转角α的变化探索四边形EDBC的形状，对各种形状图形求AD的长，激发了考生的探究欲
望；第19题判断他们能否在汽车报警前回到家? 请说明理由.很好地考查了学生“观察——发现——自主探索”的思维过程、用数学知识和数学思想方法解决综合问题的能力，以及学生的创新意识和能力。
试卷突出对数学思想方法与数学活动过程的考查，化归、分类讨论、数形结合、函数方程等数学思想和方法均有体现。
如第5题、第12题考查数形结合思想，又如第23题，该题是压轴题，沿袭2008年的设计思想，难度适宜，动静结合，梯度呈现清晰，知识呈现综合，既能考查学生的基础知识，又能较好地体现区分度。
考查了数形结合思想、函数思想、整体思想及方程思想，分类讨论思想。
第3问，学生要会分类，且对每类进行计算求出所有结果，对思维能力要求较高。
今年的中招试题，给老师和学生以启发，试题不难，计算不繁，但数学概念含混不清，计算不准确还是难以收到好的效果。
所以，扎扎实实的数学基本功是能力的载体。
良好的思维品质是后继学习的必备。
难度不大,试题不新,基本上属于常见题型,只要学生平时认真复习,均能考好。
题不偏不怪,运算不麻烦,只要抓好基础,理清基本思路,应该说今年的数学成绩很理想。
2020河南省历年中考数学考试试卷及答案解析 共四套 精选 P109
；
②BF、CE、EF 三条线段之间的数量关系为
．
（3）类比探究
如图 3，在四边形 ABCD 中，AB＝AD，AC 与 BD 交于点 O，点 E、F 在射线 AC 上，且
∠BCF＝∠DEF＝∠BAD．
①判断 BC、DE、CE 三条线段之间的数量关系，并说明理由；
②若 OD＝3OB，△AED 的面积为 2，直接写出四边形 ABCD 的面积．
（1）求证：对于任意实数 m，方程总有两个不相等的实数根； （2）设方程的两个实数根分别为 x1，x2，当 m＝﹣2 时，求 x1+x2+5 的值． 18．（9 分）某校在七、八年级学生中开展了一次“讲文明，树新风”文明礼仪知识竞赛， 根据比赛成绩（满分 100 分，参赛学生成绩均高于 80 分）绘制了如下尚不完整的统计图 表． 比赛成绩频数分布表
“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
5．（3 分）一个几何体由一些大小相同的小正方体组成，如图写出是它的主视图和左视图，
那么组成该几何体所需小正方体的个数最多为（ ）
A．7
B．8
C．9
D．10
【分析】从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从左视图可以看出每一层
为：75，85，91，85，95，85．这 6 名同学成绩的众数是（ ）
A．91
B．88
C．86
D．85
【分析】利用众数的定义求解即可．
【解答】解：数据 85 出现了 3 次，最多，
所以众数为 85，
故选：D．
【点评】本题考查了众数的定义，解题的关键是知道数据中出现次数最多的数是众数．
4．（3 分）不等式组
A．60°
2020年河南省中考数学试卷(附答案)
河南省中考数学试卷（满分120 分，考试时间100 分钟）一、选择题：1. 下列运算正确的是（）A ． 3 ﹣ 1 = ﹣ 3B ．= ± 3C ．（ 2 2 ） 3 =64D ． 5 6 ÷ 5 ³=252 、已知平面直角坐标系内一点A(2 ，3) ，把点 A 沿x 轴向左平移3 个单位长度，再以O 点为旋转中心旋转180 °，然后以y 轴为对称轴得到点A' ，这A' 点的坐标为（）A ．(-2 ，-3)B ．(-1 ，-3)C ．(-3 ，1)D ．(-2 ，3)3 、环境空气质量问题已经成为人们日常生活所关心的重要问题，我国新修订的《环境空气质量标准》中增加了PM2.5 检测指标，“ PM2.5 ”是指大气中危害健康的直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物， 2.5 微米即0.0000025 米．用科学记数法表示0.0000025 为（）A ． 2.5 × 10 ﹣ 5B ． 2.5 × 10 5C 2.5 × 10 ﹣ 6D ． 2.5 × 10 64 ．如图，把三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=30 °，则∠ 2 的度数为（）A ．60 °B ．50 °C ．40 °D ．30 °5 、某通讯公司提供了两种移动电话收费方式：方式 1 ，收月基本费20 元，再以每分钟0.1 元的价格按通话时间计费；方式 2 ，收月基本费20 元，送80 分钟通话时间，超过80 分钟的部分，以每分钟0.15 元的价格计费．下列结论：①如图描述的是方式 1 的收费方法；②若月通话时间少于240 分钟，选择方式 2 省钱；③若月通讯费为50 元，则方式 1 比方式 2 的通话时间多；④若方式 1 比方式 2 的通讯费多10 元，则方式 1 比方式 2 的通话时间多100 分钟．其中正确的是（）A ．只有①②B ．只有③④C ．只有①②③D ．①②③④6 ．如图所示的图形是由7 个完全相同的小正方体组成的立体图形，则下面四个平面图形中不是这个立体图形的三视图的是（）A ．B ．C ．D ．7 ．为了大力宣传节约用电，某小区随机抽查了10 户家庭的月用电量情况，统计如下表．关于这10 户家庭的月用电量说法正确的是（）月用电量（度）25 30 40 50 60户数 1 4 2 2 1A ．平均数是38.5B ．众数是 4C ．中位数是40D ．极差是 38. 如图，在第 1 个△ A 1 BC 中，∠ B =30 °，A 1B = CB ；在边 A 1 B 上任取一点 D ，延长CA 1 到 A 2 ，使 A 1 A 2 = A1 D ，得到第2 个△ A 1 A 2 D ；在边 A 2 D 上任取一点 E ，延长 A 1 A 2到 A 3 ，使 A 2 A 3 = A 2 E ，得到第 3 个△ A 2 A 3 E ，…按此做法继续下去，则第n 个三角形中以 A n 为顶点的内角度数是（）A ．（）n • 75 °B ．（）n ﹣ 1 • 65 °C ．（）n ﹣1 • 75 ° D ．（）n • 85 °二、填空题：9 ．如图，在△ ABC 中，AB = AC ，AD ⊥ BC 于点 D ，若AB =6 ，CD =4 ，则△ ABC 的周长是．10 ．已知圆锥的母线长为 6 cm ，底面圆的半径为 3 cm ，则此圆锥侧面展开图的圆心角是。
2020年近五年河南中考试题分析及反思
中考试题反思一、中考数学近五年考点评析1、遵循课标，体现理念五年来中考试题遵循课标，整体较平和，试题注重考查最基础、最核心的内容，注重考查通性通法，淡化特殊技巧，层次分明，难度适中。
2、源于生活，服务于生活如2015年测树高，2016年求国旗上升时间，2017年海监船航行救援等，试卷突出考查了学生要会用数学的眼光观察世界，用数学知识与数学思想方法分析、解决问题的能力。
3、突出思想，体验活动五年来中考题在考查数学规律、数学技能的同时，更突出考查了数学思想、数学活动的探究过程。
4、稳中求变，稳中求新中考试题几年来起点低，常规题型占主体，梯形、反比例函数减少，圆与方程比重加大，探究性、开放性、运动性、应用性问题等成为亮点。
二、试卷结构2012年以来，我省中招数学考试试卷分选择题、填空题、解答题三种类型，共23道题（八七八结构），满分120分，考试时间100分钟，闭卷笔试形式.题型及所占分值为:第一大题：选择题(1-8)共24分；第二大题：填空题(9-15)共21分；第三大题：解答题(16-23)8小题共75分(其中:第16题8分,第17、18、19、20小题每题9分,第21、22小题每题10分,第23小题11分) .但2017年选择题改为10道，填空题改为5道，分值不变。
三、试题比例1、从各能力层次上看，了解约占10%，理解约占20%，掌握约占60%，灵活运用约占10%，分值分别为：12分、24分、72分、12分，总体上易中难所占比例为7：2：12、从各知识板块上看，数与代数约38%(46分)，几何与图形约占49%(59分)，统计与概率约占13%（15分），其中函数占30分以上，图形变化占20分以上。
3、从学段上看，六年级知识占10%，七年级知识约占10%，八年级约占30%，九年级占50%。
1、五年中选择题三年ABCD各选两个，且第1题三年选择A。
（除14、16年）2、第1题一定是有理数的比较与计算。
2020年河南省中考数学试卷和答案解析
2020年河南省中考数学试卷和答案解析一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的．1．（3分）2的相反数是（）A．﹣2B．﹣C．D．2解析：利用相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，进而得出答案．参考答案：解：2的相反数是﹣2．故选：A．知识点：此题主要考查了相反数的概念，正确把握定义是解题关键．2．（3分）如图摆放的几何体中，主视图与左视图有可能不同的是（）A．B．C．D．解析：分别确定每个几何体的主视图和左视图即可作出判断．参考答案：解：A、主视图和左视图是长方形，一定相同，故本选项不合题意题意；B、主视图和左视图都是等腰三角形，一定相同，故选项不符合题意；C、主视图和左视图都是圆，一定相同，故选项不符合题意；D、主视图是长方形，左视图是正方形，故本选项符合题意；故选：D．知识点：本题考查了简单几何体的三视图，确定三视图是关键．3．（3分）要调查下列问题，适合采用全面调查（普查）的是（）A．中央电视台《开学第一课》的收视率B．某城市居民6月份人均网上购物的次数C．即将发射的气象卫星的零部件质量D．某品牌新能源汽车的最大续航里程解析：由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．参考答案：解：A、调查中央电视台《开学第一课》的收视率，适合抽查，故本选项不合题意；B、调查某城市居民6月份人均网上购物的次数，适合抽查，故本选项不合题意；C、调查即将发射的气象卫星的零部件质量，适合采用全面调查（普查），故本选项符合题意；D、调查某品牌新能源汽车的最大续航里程，适合抽查，故本选项不合题意．故选：C．知识点：本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．4．（3分）如图，l1∥l2，l3∥l4，若∠1＝70°，则∠2的度数为（）A．100°B．110°C．120°D．130°解析：根据平行线的性质即可得到结论．参考答案：解：∵l1∥l2，∠1＝70°，∴∠3＝∠1＝70°，∵l3∥l4，∴∠2＝180°﹣∠3＝180°﹣70°＝110°，故选：B．知识点：此题考查了平行线的性质，解题的关键是：熟记两直线平行同位角相等，两直线平行内错角相等，两直线平行同旁内角互补．5．（3分）电子文件的大小常用B，KB，MB，GB等作为单位，其中1GB＝210MB，1MB＝210KB，1KB＝210B．某视频文件的大小约为1GB，1GB等于（）A．230B B．830B C．8×1010B D．2×1030B解析：列出算式，进行计算即可．参考答案：解：由题意得：210×210×210B＝210+10+10＝230B，故选：A．知识点：本题考查同底数幂的乘法，底数不变，指数相加是计算法则．6．（3分）若点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝﹣的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＞y2＞y3B．y2＞y3＞y1C．y1＞y3＞y2D．y3＞y2＞y1解析：根据反比例函数图象上点的坐标特征求出y1、y2、y3的值，比较后即可得出结论．参考答案：解：∵点A（﹣1，y1）、B（2，y2）、C（3，y3）在反比例函数y＝﹣的图象上，∴y1＝﹣＝6，y2＝﹣＝﹣3，y3＝﹣＝﹣2，又∵﹣3＜﹣2＜6，∴y1＞y3＞y2．故选：C．知识点：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用反比例函数图象上点的坐标特征求出y1、y2、y3的值是解题的关键．7．（3分）定义运算：m☆n＝mn2﹣mn﹣1．例如：4☆2＝4×22﹣4×2﹣1＝7．则方程1☆x＝0的根的情况为（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．只有一个实数根解析：根据新定义运算法则以及即可求出答案．参考答案：解：由题意可知：1☆x＝x2﹣x﹣1＝0，∴△＝1﹣4×1×（﹣1）＝5＞0，故选：A．知识点：本题考查根的判别式，解题的关键是正确理解新定义运算法则，本题属于基础题型．8．（3分）国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加．2017年至2019年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元．设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x，则可列方程为（）A．500（1+2x）＝7500B．5000×2（1+x）＝7500C．5000（1+x）2＝7500D．5000+5000（1+x）+5000（1+x）2＝7500解析：根据题意可得等量关系：2017年的快递业务量×（1+增长率）2＝2019年的快递业务量，根据等量关系列出方程即可．参考答案：解：设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x，由题意得：5000（1+x）2＝7500，故选：C．知识点：此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握平均变化率的方法，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．9．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，边BC在x轴上，顶点A，B的坐标分别为（﹣2，6）和（7，0）．将正方形OCDE沿x 轴向右平移，当点E落在AB边上时，点D的坐标为（）A．（，2）B．（2，2）C．（，2）D．（4，2）解析：根据已知条件得到AC＝6，OC＝2，OB＝7，求得BC＝9，根据正方形的性质得到DE＝OC＝OE＝2，求得O′E′＝O′C′＝2，根据相似三角形的性质得到BO′＝3，于是得到结论．参考答案：解：如图，设正方形D′C′O′E′是正方形OCDE沿x轴向右平移后的正方形，∵顶点A，B的坐标分别为（﹣2，6）和（7，0），∴AC＝6，OC＝2，OB＝7，∴BC＝9，∵四边形OCDE是正方形，∴DE＝OC＝OE＝2，∴O′E′＝O′C′＝2，∵E′O′⊥BC，∴∠BO′E′＝∠BCA＝90°，∴E′O′∥AC，∴△BO′E′∽△BCA，∴＝，∴＝，∴BO′＝3，∴OC′＝7﹣2﹣3＝2，∴当点E落在AB边上时，点D的坐标为（2，2），故选：B．知识点：本题考查了正方形的性质，坐标与图形性质，相似三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．10．（3分）如图，在△ABC中，AB＝BC＝，∠BAC＝30°，分别以点A，C为圆心，AC的长为半径作弧，两弧交于点D，连接DA，DC，则四边形ABCD的面积为（）A．6B．9C．6D．3解析：连接BD交AC于O，根据已知条件得到BD垂直平分AC，求得BD⊥AC，AO＝CO，根据等腰三角形的性质得到∠ACB＝∠BAC＝30°，根据等边三角形的性质得到∠DAC＝∠DCA＝60°，求得AD＝CD＝AB＝3，于是得到结论．参考答案：解：连接BD交AC于O，∵AD＝CD，AB＝BC，∴BD垂直平分AC，∴BD⊥AC，AO＝CO，∵AB＝BC，∴∠ACB＝∠BAC＝30°，∵AC＝AD＝CD，∴△ACD是等边三角形，∴∠DAC＝∠DCA＝60°，∴∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ADB＝∠CDB＝30°，∵AB＝BC＝，∴AD＝CD＝AB＝3，∴四边形ABCD的面积＝2×＝3，故选：D．知识点：本题考查了含30°角的直角三角形，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．二、填空题（每小题3分，共15分）11．（3分）请写出一个大于1且小于2的无理数．解析：由于所求无理数大于1且小于2，两数平方得大于2小于4，所以可选其中的任意一个数开平方即可．参考答案：解：大于1且小于2的无理数是，答案不唯一．故答案为：．知识点：此题主要考查了无理数的估算，现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．12．（3分）已知关于x的不等式组其中a，b在数轴上的对应点如图所示，则这个不等式组的解集为x＞a．解析：根据关于x的不等式组的解集表示在数轴上表示方法求出x 的取值范围即可．参考答案：解：∵b＜0＜a，∴关于x的不等式组的解集为：x＞a，故答案为：x＞a．知识点：本题考查的是在数轴上表示不等式组的解集，先根据题意得出不等式组的解集是解答此题的关键．13．（3分）如图所示的转盘，被分成面积相等的四个扇形，分别涂有红、黄、蓝、绿四种颜色．固定指针，自由转动转盘两次，每次停止后，记下指针所指区域（指针指向区域分界线时，忽略不计）的颜色，则两次颜色相同的概率是．解析：用树状图或列表法表示所有可能出现的结果，进而求出相应的概率．参考答案：解：自由转动转盘两次，指针所指区域所有可能出现的情况如下：共有16种可能出现的结果，其中两次颜色相同的有4种，∴P（两次颜色相同）＝＝，故答案为：．知识点：考查树状图或列表法求随机事件发生的概率，列举出所有可能出现的结果是解决问题的关键．14．（3分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G，H分别是EC，FD 的中点，连接GH，则GH的长度为1．解析：设DF，CE交于O，根据正方形的性质得到∠B＝∠DCF＝90°，BC＝CD＝AB，根据线段中点的定义得到BE＝CF，根据全等三角形的性质得到CE＝DF，∠BCE＝∠CDF，求得DF⊥CE，根据勾股定理得到CE＝DF＝＝，点G，H分别是EC，FD的中点，根据射影定理即可得到结论．参考答案：解：设DF，CE交于O，∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠DCF＝90°，BC＝CD＝AB，∵点E，F分别是边AB，BC的中点，∴BE＝CF，∴△CBE≌△DCF（SAS），∴CE＝DF，∠BCE＝∠CDF，∵∠CDF+∠CFD＝90°，∴∠BCE+∠CFD＝90°，∴∠COF＝90°，∴DF⊥CE，∴CE＝DF＝＝，∵点G，H分别是EC，FD的中点，∴CG＝FH＝，∵∠DCF＝90°，CO⊥DF，∴CF2＝OF•DF，∴OF＝＝＝，∴OH＝，OD＝，∵OC2＝OF•OD，∴OC＝＝，∴OG＝CG﹣OC＝﹣＝，∴HG＝＝＝1，故答案为：1．知识点：本题考查了射影定理，勾股定理，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．15．（3分）如图，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，OD平分∠BOC交于点D，点E为半径OB上一动点．若OB＝2，则阴影部分周长的最小值为．解析：利用轴对称的性质，得出当点E移动到点E′时，阴影部分的周长最小，此时的最小值为弧CD的长与CD′的长度和，分别进行计算即可．参考答案：解：如图，作点D关于OB的对称点D′，连接D′C交OB于点E′，连接E′D、OD′，此时E′C+E′C最小，即：E′C+E′C＝CD′，由题意得，∠COD＝∠DOB＝∠BOD′＝30°，∴∠COD′＝90°，∴CD′＝＝＝2，的长l＝＝，∴阴影部分周长的最小值为2+＝．故答案为：．知识点：本题考查与圆有关的计算，掌握轴对称的性质，弧长的计算方法是正确计算的前提，理解轴对称解决路程最短问题是关键．三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）16．（8分）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中a＝+1．解析：先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a的值代入进行计算即可．参考答案：解：＝＝a﹣1，把a＝+1代入a﹣1＝+1﹣1＝．知识点：本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．17．（9分）为发展乡村经济，某村根据本地特色，创办了山药粉加工厂．该厂需购置一台分装机，计划从商家推荐试用的甲、乙两台不同品牌的分装机中选择．试用时，设定分装的标准质量为每袋500g，与之相差大于10g为不合格．为检验分装效果，工厂对这两台机器分装的成品进行了抽样和分析，过程如下：[收集数据]从甲、乙两台机器分装的成品中各随机抽取20袋，测得实际质量（单位：g）如下：甲：501 497 498 502 513 489 506 490 505 486502 503 498 497 491 500 505 502 504 505乙：505 499 502 491 487 506 493 505 499 498502 503 501 490 501 502 511 499499 501[整理数据]整理以上数据，得到每袋质量x（g）的频数分布表．质量频数机器485≤x＜490490≤x＜495495≤x＜500500≤x＜505505≤x＜510510≤x＜515甲224741乙135731 [分析数据]根据以上数据，得到以下统计量．统计量机器平均数中位数方差不合格率甲499.7501.542.01b乙499.7a31.8110%根据以上信息，回答下列问题：（1）表格中的a＝501，b＝15%；（2）综合上表中的统计量，判断工厂应迭购哪一台分装机，并说明理由．解析：（1）根据中位数的计算方法，求出乙机器分装实际质量的中位数；乙机器的不合格的有1个，调查总数为20，可求出不合格率，从而确定a、b的值；（2）根据合格率进行判断．参考答案：解：（1）将乙的成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数都是501，因此中位数是501，b＝3➗20＝15%，故答案为：501，15%；（2）选择乙机器，理由：乙的不合格率较小，知识点：本题考查中位数、众数、平均数的意义和计算方法，理解中位数、众数、平均数的意义是正确解答的关键．18．（9分）位于河南省登封市境内的元代观星台，是中国现存最早的天文台，也是世界文化遗产之一．某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度．如图所示，他们在地面一条水平步道MP上架设测角仪，先在点M处测得观星台最高点A的仰角为22°，然后沿MP方向前进16m到达点N处，测得点A的仰角为45°．测角仪的高度为1.6m．（1）求观星台最高点A距离地面的高度（结果精确到0.1m．参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，≈1.41）；（2）“景点简介”显示，观星台的高度为12.6m．请计算本次测量结果的误差，并提出一条减小误差的合理化建议．解析：（1）过A作AD⊥PM于D，延长BC交AD于E，则四边形BMNC，四边形BMDE是矩形，于是得到BC＝MN＝16m，DE ＝CN＝BM＝1.6m，求得CE＝AE，设AE＝CE＝x，得到BE＝16+x，解直角三角形即可得到结论；（2）建议为：为了减小误差可以通过多次测量取平均值的方法．参考答案：解：（1）过A作AD⊥PM于D，延长BC交AD于E，则四边形BMNC，四边形BMDE是矩形，∴BC＝MN＝16m，DE＝CN＝BM＝1.6m，∵∠AED＝90°，∠ACE＝45°，∴△ACE是等腰直角三角形，∴CE＝AE，设AE＝CE＝x，∴BE＝16+x，∵∠ABE＝22°，∴tan22°＝＝＝0.40，∴x≈10.7（m），∴AD＝10.7+1.6＝12.3（m），答：观星台最高点A距离地面的高度约为12.3m；（2）∵“景点简介”显示，观星台的高度为12.6m，∴本次测量结果的误差为12.6﹣12.3＝0.3m，减小误差的合理化建议为：为了减小误差可以通过多次测量取平均值的方法．知识点：本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．19．（9分）暑期将至，某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动，活动方案如下．方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按六折优惠；方案二：不购买学生暑期专享卡，每次健身费用按八折优惠．设某学生暑期健身x（次），按照方案一所需费用为y1（元），且y1＝k1x+b；按照方案二所需费用为y2（元），且y2＝k2x．其函数图象如图所示．（1）求k1和b的值，并说明它们的实际意义；（2）求打折前的每次健身费用和k2的值；（3）八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身8次，应选择哪种方案所需费用更少？说明理由．解析：（1）把点（0，30），（10，180）代入y1＝k1x+b，得到关于k1和b的二元一次方程组，求解即可；（2）根据方案一每次健身费用按六折优惠，可得打折前的每次健身费用，再根据方案二每次健身费用按八折优惠，求出k2的值；（3）将x＝8分别代入y1、y2关于x的函数解析式，比较即可．参考答案：解：（1）∵y1＝k1x+b过点（0，30），（10，180），∴，解得，k1＝15表示的实际意义是：购买一张学生暑期专享卡后每次健身费用为15元，b＝30表示的实际意义是：购买一张学生暑期专享卡的费用为30元；（2）由题意可得，打折前的每次健身费用为15÷0.6＝25（元），则k2＝25×0.8＝20；（3）选择方案一所需费用更少．理由如下：由题意可知，y1＝15x+30，y2＝20x．当健身8次时，选择方案一所需费用：y1＝15×8+30＝150（元），选择方案二所需费用：y2＝20×8＝160（元），∵150＜160，∴选择方案一所需费用更少．知识点：本题考查了一次函数的应用，解题的关键是理解两种优惠活动方案，求出y1、y2关于x的函数解析式．20．（9分）我们学习过利用尺规作图平分一个任意角，而“利用尺规作图三等分一个任意角”曾是数学史上一大难题，之后被数学家证明是不可能完成的．人们根据实际需要，发明了一种简易操作工具﹣﹣三分角器．图1是它的示意图，其中AB与半圆O的直径BC在同一直线上，且AB的长度与半圆的半径相等；DB与AC垂直于点B，DB足够长．使用方法如图2所示，若要把∠MEN三等分，只需适当放置三分角器，使DB经过∠MEN的顶点E，点A落在边EM上，半圆O 与另一边EN恰好相切，切点为F，则EB，EO就把∠MEN三等分了．为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程．已知：如图2，点A，B，O，C在同一直线上，EB⊥AC，垂足为点B，AB＝OB，EN切半圆O于F．求证：EB，EO就把∠MEN三等分．解析：根据垂直的定义得到∠ABE＝∠OBE＝90°，根据全等三角形的性质得到∠1＝∠2，根据切线的性质得到∠2＝∠3，于是得到结论．参考答案：解：已知：如图2，点A，B，O，C在同一直线上，EB⊥AC，垂足为点B，AB＝OB，EN切半圆O于F．求证：EB，EO就把∠MEN三等分，证明：∵EB⊥AC，∴∠ABE＝∠OBE＝90°，∵AB＝OB，BE＝BE，∴△ABE≌△OBE（SAS），∴∠1＝∠2，∵BE⊥OB，∴BE是⊙E的切线，∵EN切半圆O于F，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠2＝∠3，∴EB，EO就把∠MEN三等分．故答案为：AB＝OB，EN切半圆O于F；EB，EO就把∠MEN三等分．知识点：本题考查了切线的性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．21．（10分）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+c与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于点A，B，且OA＝OB，点G为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式及点G的坐标；（2）点M，N为抛物线上两点（点M在点N的左侧），且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度，点Q为抛物线上点M，N之间（含点M，N）的一个动点，求点Q的纵坐标y Q的取值范围．解析：（1）先求出点B，点A坐标，代入解析式可求c的值，即可求解；（2）先求出点M，点N坐标，即可求解．参考答案：解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+2x+c与y轴正半轴分别交于点B，∴点B（0，c），∵OA＝OB＝c，∴点A（c，0），∴0＝﹣c2+2c+c，∴c＝3或0（舍去），∴抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3，∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴顶点G为（1，4）；（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴对称轴为直线x＝1，∵点M，N为抛物线上两点（点M在点N的左侧），且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度，∴点M的横坐标为﹣2或4，点N的横坐标为6，∴点M坐标为（﹣2，﹣5）或（4，﹣5），点N坐标（6，﹣21），∵点Q为抛物线上点M，N之间（含点M，N）的一个动点，∴﹣21≤y Q≤4或﹣21≤y Q≤﹣5．知识点：本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练运用二次函数的性质解决问题是本题的关键．22．（10分）小亮在学习中遇到这样一个问题：如图，点D是上一动点，线段BC＝8cm，点A是线段BC的中点，过点C作CF∥BD，交DA的延长线于点F．当△DCF为等腰三角形时，求线段BD的长度．小亮分析发现，此问题很难通过常规的推理计算彻底解决，于是尝试结合学习函数的经验研究此问题．请将下面的探究过程补充完整：（1）根据点D在上的不同位置，画出相应的图形，测量线段BD，CD，FD的长度，得到下表的几组对应值．BD/cm0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.07.08.0 CD/cm8.07.77.2 6.6 5.9a 3.9 2.40 FD/cm8.07.4 6.9 6.5 6.1 6.0 6.2 6.78.0操作中发现：①“当点D为的中点时，BD＝5.0cm”．则上表中a的值是5；②“线段CF的长度无需测量即可得到”．请简要说明理由．（2）将线段BD的长度作为自变量x，CD和FD的长度都是x的函数，分别记为y CD和y FD，并在平面直角坐标系xOy中画出了函数y FD的图象，如图所示．请在同一坐标系中画出函数y CD的图象；（3）继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，并结合图象直接写出：当△DCF为等腰三角形时，线段BD长度的近似值（结果保留一位小数）．解析：（1）①由＝可求BD＝CD＝a＝5cm；②由“AAS”可证△BAD≌△CAF，可得BD＝CF，即可求解；（2）由题意可画出函数图象；（3）结合图象可求解．参考答案：解：（1）∵点D为的中点，∴＝，∴BD＝CD＝a＝5cm，故答案为：5；（2）∵点A是线段BC的中点，∴AB＝AC，∵CF∥BD，∴∠F＝∠BDA，又∵∠BAD＝∠CAF，∴△BAD≌△CAF（AAS），∴BD＝CF，∴线段CF的长度无需测量即可得到；（3）由题意可得：（4）由题意画出函数y CF的图象；由图象可得：BD＝3.8cm或5cm或6.2cm时，△DCF为等腰三角形．知识点：本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，全等三角形的判定和性质，动点问题的函数图象探究题，也考查了函数图象的画法，解题关键是数形结合．23．（11分）将正方形ABCD的边AB绕点A逆时针旋转至AB′，记旋转角为α，连接BB′，过点D作DE垂直于直线BB′，垂足为点E，连接DB′，CE．（1）如图1，当α＝60°时，△DEB′的形状为等腰直角三角形，连接BD，可求出的值为；（2）当0°＜α＜360°且α≠90°时，①（1）中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由；②当以点B′，E，C，D为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出的值．解析：（1）由旋转的性质得出AB＝AB'，∠BAB'＝60°，证得△ABB'是等边三角形，可得出△DEB'是等腰直角三角形．证明△BDB'∽△CDE，得出．（2）①得出∠EDB'＝∠EB'D＝45°，则△DEB'是等腰直角三角形，得出，证明△B'DB∽△EDC，由相似三角形的性质可得出．②分两种情况画出图形，由平行四边形的性质可得出答案．参考答案：解：（1）∵AB绕点A逆时针旋转至AB′，∴AB＝AB'，∠BAB'＝60°，∴△ABB'是等边三角形，∴∠BB'A＝60°，∴∠DAB'＝∠BAD﹣∠BAB'＝90°﹣60°＝30°，∵AB'＝AB＝AD，∴∠AB'D＝∠ADB'，∴∠AB'D＝＝75°，∴∠DB'E＝180°﹣60°﹣75°＝45°，∵DE⊥B'E，∴∠B'DE＝90°﹣45°＝45°，∴△DEB'是等腰直角三角形．∵四边形ABCD是正方形，∴∠BDC＝45°，∴，同理，∴，∵∠BDB'+∠B'DC＝45°，∠EDC+∠B'DC＝45°，∴BDB'＝∠EDC，∴△BDB'∽△CDE，∴．故答案为：等腰直角三角形，．（2）①两结论仍然成立．证明：连接BD，∵AB＝AB'，∠BAB'＝α，∴∠AB'B＝90°﹣，∵∠B'AD＝α﹣90°，AD＝AB'，∴∠AB'D＝135°﹣，∴∠EB'D＝∠AB'D﹣∠AB'B＝135°﹣＝45°，∵DE⊥BB'，∴∠EDB'＝∠EB'D＝45°，∴△DEB'是等腰直角三角形，∴，∵四边形ABCD是正方形，∴，∠BDC＝45°，∴，∵∠EDB'＝∠BDC，∴∠EDB'+∠EDB＝∠BDC+∠EDB，即∠B'DB＝∠EDC，∴△B'DB∽△EDC，∴．②＝3或1．若CD为平行四边形的对角线，点B'在以A为圆心，AB为半径的圆上，取CD的中点．连接BO 交⊙A于点B'，过点D作DE⊥BB'交BB'的延长线于点E，由（1）可知△B'ED是等腰直角三角形，∴B'D＝B'E，由（2）①可知△BDB'∽△CDE，且BB'＝CE．∴＝+1＝+1＝+1＝+1＝3．若CD为平行四边形的一边，如图3，点E与点A重合，∴＝1．综合以上可得＝3或1．。
2020年河南省中考数学试卷及答案
2020年河南省中考数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的．1．（3分）2的相反数是（）A．﹣2B．−12C．12D．22．（3分）如图摆放的几何体中，主视图与左视图有可能不同的是（）A．B．C．D．3．（3分）要调查下列问题，适合采用全面调查（普查）的是（）A．中央电视台《开学第一课》的收视率B．某城市居民6月份人均网上购物的次数C．即将发射的气象卫星的零部件质量D．某品牌新能源汽车的最大续航里程4．（3分）如图，l1∥l2，l3∥l4，若∠1＝70°，则∠2的度数为（）A．100°B．110°C．120°D．130°5．（3分）电子文件的大小常用B，KB，MB，GB等作为单位，其中1GB＝210MB，1MB＝210KB，1KB＝210B．某视频文件的大小约为1GB，1GB等于（）A．230B B．830B C．8×1010B D．2×1030B6．（3分）若点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在反比例函数y=−6x的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＞y2＞y3B．y2＞y3＞y1C．y1＞y3＞y2D．y3＞y2＞y1 7．（3分）定义运算：m☆n＝mn2﹣mn﹣1．例如：4☆2＝4×22﹣4×2﹣1＝7．则方程1☆x ＝0的根的情况为（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C ．无实数根D ．只有一个实数根8．（3分）国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加．2017年至2019年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元．设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x ，则可列方程为（ ） A ．500（1+2x ）＝7500 B ．5000×2（1+x ）＝7500 C ．5000（1+x ）2＝7500D ．5000+5000（1+x ）+5000（1+x ）2＝75009．（3分）如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，边BC 在x 轴上，顶点A ，B 的坐标分别为（﹣2，6）和（7，0）．将正方形OCDE 沿x 轴向右平移，当点E 落在AB 边上时，点D 的坐标为（ ）A ．（32，2）B ．（2，2）C ．（114，2） D ．（4，2）10．（3分）如图，在△ABC 中，AB ＝BC =√3，∠BAC ＝30°，分别以点A ，C 为圆心，AC 的长为半径作弧，两弧交于点D ，连接DA ，DC ，则四边形ABCD 的面积为（ ）A ．6√3B ．9C ．6D ．3√3二、填空题（每小题3分，共15分）11．（3分）请写出一个大于1且小于2的无理数 ． 12．（3分）已知关于x 的不等式组{x ＞a ，x ＞b ，其中a ，b 在数轴上的对应点如图所示，则这个不等式组的解集为 ．13．（3分）如图所示的转盘，被分成面积相等的四个扇形，分别涂有红、黄、蓝、绿四种颜色．固定指针，自由转动转盘两次，每次停止后，记下指针所指区域（指针指向区域分界线时，忽略不计）的颜色，则两次颜色相同的概率是．14．（3分）如图，在边长为2√2的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G，H分别是EC，FD的中点，连接GH，则GH的长度为．15．（3分）如图，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，OD平分∠BOC交BĈ于点D，点E为半径OB上一动点．若OB＝2，则阴影部分周长的最小值为．三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）16．（8分）先化简，再求值：（1−1a+1）÷aa2−1，其中a=√5+1．17．（9分）为发展乡村经济，某村根据本地特色，创办了山药粉加工厂．该厂需购置一台分装机，计划从商家推荐试用的甲、乙两台不同品牌的分装机中选择．试用时，设定分装的标准质量为每袋500g，与之相差大于10g为不合格．为检验分装效果，工厂对这两台机器分装的成品进行了抽样和分析，过程如下：[收集数据]从甲、乙两台机器分装的成品中各随机抽取20袋，测得实际质量（单位：g）如下：甲：501 497 498 502 513 489 506 490 505 486502 503 498 497 491 500 505 502 504 505乙：505 499 502 491 487 506 493 505 499 498502 503 501 490 501 502 511 499 499 501[整理数据]整理以上数据，得到每袋质量x（g）的频数分布表．质量频数机器485≤x＜490490≤x＜495495≤x＜500500≤x＜505505≤x＜510510≤x＜515甲224741乙135731 [分析数据]根据以上数据，得到以下统计量．统计量机器平均数中位数方差不合格率甲499.7501.542.01b乙499.7a31.8110%根据以上信息，回答下列问题：（1）表格中的a＝，b＝；（2）综合上表中的统计量，判断工厂应迭购哪一台分装机，并说明理由．18．（9分）位于河南省登封市境内的元代观星台，是中国现存最早的天文台，也是世界文化遗产之一．某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度．如图所示，他们在地面一条水平步道MP上架设测角仪，先在点M处测得观星台最高点A的仰角为22°，然后沿MP方向前进16m到达点N处，测得点A的仰角为45°．测角仪的高度为1.6m．（1）求观星台最高点A距离地面的高度（结果精确到0.1m．参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，√2≈1.41）；（2）“景点简介”显示，观星台的高度为12.6m．请计算本次测量结果的误差，并提出一条减小误差的合理化建议．19．（9分）暑期将至，某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动，活动方案如下．方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按六折优惠；方案二：不购买学生暑期专享卡，每次健身费用按八折优惠．设某学生暑期健身x（次），按照方案一所需费用为y1（元），且y1＝k1x+b；按照方案二所需费用为y2（元），且y2＝k2x．其函数图象如图所示．（1）求k1和b的值，并说明它们的实际意义；（2）求打折前的每次健身费用和k2的值；（3）八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身8次，应选择哪种方案所需费用更少？说明理由．20．（9分）我们学习过利用尺规作图平分一个任意角，而“利用尺规作图三等分一个任意角”曾是数学史上一大难题，之后被数学家证明是不可能完成的．人们根据实际需要，发明了一种简易操作工具﹣﹣三分角器．图1是它的示意图，其中AB与半圆O的直径BC在同一直线上，且AB的长度与半圆的半径相等；DB与AC垂直于点B，DB足够长．使用方法如图2所示，若要把∠MEN三等分，只需适当放置三分角器，使DB经过∠MEN 的顶点E，点A落在边EM上，半圆O与另一边EN恰好相切，切点为F，则EB，EO 就把∠MEN三等分了．为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程．已知：如图2，点A，B，O，C在同一直线上，EB⊥AC，垂足为点B，．求证：．21．（10分）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+c与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于点A，B，且OA＝OB，点G为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式及点G的坐标；（2）点M，N为抛物线上两点（点M在点N的左侧），且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度，点Q为抛物线上点M，N之间（含点M，N）的一个动点，求点Q的纵坐标y Q的取值范围．22．（10分）小亮在学习中遇到这样一个问题：̂上一动点，线段BC＝8cm，点A是线段BC的中点，过点C作CF∥BD，如图，点D是BC交DA的延长线于点F．当△DCF为等腰三角形时，求线段BD的长度．小亮分析发现，此问题很难通过常规的推理计算彻底解决，于是尝试结合学习函数的经验研究此问题．请将下面的探究过程补充完整：̂上的不同位置，画出相应的图形，测量线段BD，CD，FD的长度，（1）根据点D在BC得到下表的几组对应值．BD/cm0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.07.08.0 CD/cm8.07.77.2 6.6 5.9a 3.9 2.40 FD/cm8.07.4 6.9 6.5 6.1 6.0 6.2 6.78.0操作中发现：①“当点D为BĈ的中点时，BD＝5.0cm”．则上表中a的值是；②“线段CF的长度无需测量即可得到”．请简要说明理由．（2）将线段BD的长度作为自变量x，CD和FD的长度都是x的函数，分别记为y CD和y FD，并在平面直角坐标系xOy中画出了函数y FD的图象，如图所示．请在同一坐标系中画出函数y CD的图象；（3）继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，并结合图象直接写出：当△DCF为等腰三角形时，线段BD长度的近似值（结果保留一位小数）．23．（11分）将正方形ABCD的边AB绕点A逆时针旋转至AB′，记旋转角为α，连接BB′，过点D作DE垂直于直线BB′，垂足为点E，连接DB′，CE．（1）如图1，当α＝60°时，△DEB′的形状为，连接BD，可求出BB′CE的值为；（2）当0°＜α＜360°且α≠90°时，①（1）中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由；②当以点B′，E，C，D为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出BEB′E的值．2020年河南省中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的．1．（3分）2的相反数是（）A．﹣2B．−12C．12D．2【解答】解：2的相反数是﹣2．故选：A．2．（3分）如图摆放的几何体中，主视图与左视图有可能不同的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、主视图和左视图是长方形，一定相同，故本选项不合题意题意；B、主视图和左视图都是等腰三角形，一定相同，故选项不符合题意；C、主视图和左视图都是圆，一定相同，故选项不符合题意；D、主视图是长方形，左视图是正方形，故本选项符合题意；故选：D．3．（3分）要调查下列问题，适合采用全面调查（普查）的是（）A．中央电视台《开学第一课》的收视率B．某城市居民6月份人均网上购物的次数C．即将发射的气象卫星的零部件质量D．某品牌新能源汽车的最大续航里程【解答】解：A、调查中央电视台《开学第一课》的收视率，适合抽查，故本选项不合题意；B、调查某城市居民6月份人均网上购物的次数，适合抽查，故本选项不合题意；C、调查即将发射的气象卫星的零部件质量，适合采用全面调查（普查），故本选项符合题意；D、调查某品牌新能源汽车的最大续航里程，适合抽查，故本选项不合题意．故选：C．4．（3分）如图，l1∥l2，l3∥l4，若∠1＝70°，则∠2的度数为（）A．100°B．110°C．120°D．130°【解答】解：∵l1∥l2，∠1＝70°，∴∠3＝∠1＝70°，∵l3∥l4，∴∠2＝180°﹣∠3＝180°﹣70°＝110°，故选：B．5．（3分）电子文件的大小常用B，KB，MB，GB等作为单位，其中1GB＝210MB，1MB＝210KB，1KB＝210B．某视频文件的大小约为1GB，1GB等于（）A．230B B．830B C．8×1010B D．2×1030B【解答】解：由题意得：210×210×210B＝210+10+10＝230B，故选：A．6．（3分）若点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在反比例函数y=−6x的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＞y2＞y3B．y2＞y3＞y1C．y1＞y3＞y2D．y3＞y2＞y1【解答】解：∵点A（﹣1，y1）、B（2，y2）、C（3，y3）在反比例函数y=−6x的图象上，∴y1=−6−1=6，y2=−62=−3，y3=−63=−2，又∵﹣3＜﹣2＜6，∴y1＞y3＞y2．故选：C．7．（3分）定义运算：m☆n＝mn2﹣mn﹣1．例如：4☆2＝4×22﹣4×2﹣1＝7．则方程1☆x＝0的根的情况为（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．无实数根D ．只有一个实数根【解答】解：由题意可知：1☆x ＝x 2﹣x ﹣1＝0， ∴△＝1﹣4×1×（﹣1）＝5＞0， 故选：A ．8．（3分）国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加．2017年至2019年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元．设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x ，则可列方程为（ ） A ．500（1+2x ）＝7500 B ．5000×2（1+x ）＝7500 C ．5000（1+x ）2＝7500D ．5000+5000（1+x ）+5000（1+x ）2＝7500【解答】解：设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x ， 由题意得：5000（1+x ）2＝7500， 故选：C ．9．（3分）如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，边BC 在x 轴上，顶点A ，B 的坐标分别为（﹣2，6）和（7，0）．将正方形OCDE 沿x 轴向右平移，当点E 落在AB 边上时，点D 的坐标为（ ）A ．（32，2）B ．（2，2）C ．（114，2） D ．（4，2）【解答】解：如图，设正方形D ′C ′O ′E ′是正方形OCDE 沿x 轴向右平移后的正方形，∵顶点A ，B 的坐标分别为（﹣2，6）和（7，0）， ∴AC ＝6，OC ＝2，OB ＝7， ∴BC ＝9，∵四边形OCDE 是正方形， ∴DE ＝OC ＝OE ＝2， ∴O ′E ′＝O ′C ′＝2， ∵E ′O ′⊥BC ，∴∠BO ′E ′＝∠BCA ＝90°， ∴E ′O ′∥AC ， ∴△BO ′E ′∽△BCA ， ∴E′O′AC =BO′BC，∴26=BO′9，∴BO ′＝3，∴OC ′＝7﹣2﹣3＝2，∴当点E 落在AB 边上时，点D 的坐标为（2，2）， 故选：B ．10．（3分）如图，在△ABC 中，AB ＝BC =√3，∠BAC ＝30°，分别以点A ，C 为圆心，AC 的长为半径作弧，两弧交于点D ，连接DA ，DC ，则四边形ABCD 的面积为（ ）A ．6√3B ．9C ．6D ．3√3【解答】解：连接BD 交AC 于O ， ∵AD ＝CD ，AB ＝BC ， ∴BD 垂直平分AC ， ∴BD ⊥AC ，AO ＝CO ，∵AB＝BC，∴∠ACB＝∠BAC＝30°，∵AC＝AD＝CD，∴△ACD是等边三角形，∴∠DAC＝∠DCA＝60°，∴∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ADB＝∠CDB＝30°，∵AB＝BC=√3，∴AD＝CD=√3AB＝3，∴四边形ABCD的面积＝2×12×3×√3=3√3，故选：D．二、填空题（每小题3分，共15分）11．（3分）请写出一个大于1且小于2的无理数√3．【解答】解：大于1且小于2的无理数是√3，答案不唯一．故答案为：√3．12．（3分）已知关于x的不等式组{x＞a，x＞b，其中a，b在数轴上的对应点如图所示，则这个不等式组的解集为x＞a．【解答】解：∵b＜0＜a，∴关于x的不等式组{x＞a，x＞b，的解集为：x＞a，故答案为：x＞a．13．（3分）如图所示的转盘，被分成面积相等的四个扇形，分别涂有红、黄、蓝、绿四种颜色．固定指针，自由转动转盘两次，每次停止后，记下指针所指区域（指针指向区域分界线时，忽略不计）的颜色，则两次颜色相同的概率是14．【解答】解：自由转动转盘两次，指针所指区域所有可能出现的情况如下：共有16种可能出现的结果，其中两次颜色相同的有4种， ∴P （两次颜色相同）=416=14， 故答案为：14．14．（3分）如图，在边长为2√2的正方形ABCD 中，点E ，F 分别是边AB ，BC 的中点，连接EC ，FD ，点G ，H 分别是EC ，FD 的中点，连接GH ，则GH 的长度为 1 ．【解答】解：设DF ，CE 交于O ， ∵四边形ABCD 是正方形，∴∠B ＝∠DCF ＝90°，BC ＝CD ＝AB ， ∵点E ，F 分别是边AB ，BC 的中点， ∴BE ＝CF ，∴△CBE ≌△DCF （SAS ）， ∴CE ＝DF ，∠BCE ＝∠CDF ， ∵∠CDF +∠CFD ＝90°， ∴∠BCE +∠CFD ＝90°， ∴∠COF ＝90°，∴DF⊥CE，∴CE＝DF=√(2√2)2+(√2)2=√10，∵点G，H分别是EC，FD的中点，∴CG＝FH=√10 2，∵∠DCF＝90°，CO⊥DF，∴CF2＝OF•DF，∴OF=CF2DF=√2)2√10=√105，∴OH=3√1010，OD=4√105，∵OC2＝OF•OD，∴OC=√√105×4√105=2√105，∴OG＝CG﹣OC=√102−2√105=√1010，∴HG=√OG2+OH2=√110+910=1，故答案为：1．15．（3分）如图，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，OD平分∠BOC交BĈ于点D，点E为半径OB上一动点．若OB＝2，则阴影部分周长的最小值为6√2+π3．【解答】解：如图，作点D关于OB的对称点D′，连接D′C交OB于点E′，连接E′D、OD′，此时E′C+E′C最小，即：E′C+E′C＝CD′，由题意得，∠COD＝∠DOB＝∠BOD′＝30°，∴∠COD′＝90°，∴CD′=√OC2+OD′2=√22+22=2√2，CD̂的长l =30π×2180=π3， ∴阴影部分周长的最小值为2√2+π3=6√2+π3． 故答案为：6√2+π3．三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16．（8分）先化简，再求值：（1−1a+1）÷aa 2−1，其中a =√5+1． 【解答】解：(1−1a+1)÷aa 2−1=a+1−1a+1×(a−1)(a+1)a＝a ﹣1，把a =√5+1代入a ﹣1=√5+1﹣1=√5．17．（9分）为发展乡村经济，某村根据本地特色，创办了山药粉加工厂．该厂需购置一台分装机，计划从商家推荐试用的甲、乙两台不同品牌的分装机中选择．试用时，设定分装的标准质量为每袋500g ，与之相差大于10g 为不合格．为检验分装效果，工厂对这两台机器分装的成品进行了抽样和分析，过程如下：[收集数据]从甲、乙两台机器分装的成品中各随机抽取20袋，测得实际质量（单位：g ）如下：甲：501 497 498 502 513 489 506 490 505 486 502 503 498 497 491 500 505 502 504 505 乙：505 499 502 491 487 506 493 505 499 498 502 503 501 490 501 502 511 499 499 501 [整理数据]整理以上数据，得到每袋质量x （g ）的频数分布表．质量485≤x ＜490≤x ＜495≤x ＜500≤x ＜505≤x ＜510≤x ＜频数 机器 490 495 500 505 510 515甲 2 2 4 7 4 1 乙135731[分析数据]根据以上数据，得到以下统计量． 统计量 机器 平均数中位数方差不合格率甲 499.7 501.5 42.01 b 乙499.7a31.8110%根据以上信息，回答下列问题：（1）表格中的a ＝ 501 ，b ＝ 15% ；（2）综合上表中的统计量，判断工厂应迭购哪一台分装机，并说明理由．【解答】解：（1）将乙的成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数都是501，因此中位数是501， b ＝3➗20＝15%， 故答案为：501，15%；（2）选择乙机器，理由：乙的不合格率较小，18．（9分）位于河南省登封市境内的元代观星台，是中国现存最早的天文台，也是世界文化遗产之一．某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度．如图所示，他们在地面一条水平步道MP 上架设测角仪，先在点M 处测得观星台最高点A 的仰角为22°，然后沿MP 方向前进16m 到达点N 处，测得点A 的仰角为45°．测角仪的高度为1.6m ． （1）求观星台最高点A 距离地面的高度（结果精确到0.1m ．参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，√2≈1.41）；（2）“景点简介”显示，观星台的高度为12.6m．请计算本次测量结果的误差，并提出一条减小误差的合理化建议．【解答】解：（1）过A作AD⊥PM于D，延长BC交AD于E，则四边形BMNC，四边形BMDE是矩形，∴BC＝MN＝16m，DE＝CN＝BM＝1.6m，∵∠AED＝90°，∠ACE＝45°，∴△ACE是等腰直角三角形，∴CE＝AE，设AE＝CE＝x，∴BE＝16+x，∵∠ABE＝22°，∴tan22°=AEBE=x16+x=0.40，∴x≈10.7（m），∴AD＝10.7+1.6＝12.3（m），答：观星台最高点A距离地面的高度约为12.3m；（2）∵“景点简介”显示，观星台的高度为12.6m，∴本次测量结果的误差为12.6﹣12.3＝0.3m，减小误差的合理化建议为：为了减小误差可以通过多次测量取平均值的方法．19．（9分）暑期将至，某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动，活动方案如下．方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按六折优惠；方案二：不购买学生暑期专享卡，每次健身费用按八折优惠．设某学生暑期健身x（次），按照方案一所需费用为y1（元），且y1＝k1x+b；按照方案二所需费用为y2（元），且y2＝k2x．其函数图象如图所示．（1）求k1和b的值，并说明它们的实际意义；（2）求打折前的每次健身费用和k2的值；（3）八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身8次，应选择哪种方案所需费用更少？说明理由．【解答】解：（1）∵y 1＝k 1x +b 过点（0，30），（10，180）， ∴{b =3010k 1+b =180，解得{k 1=15b =30， k 1＝15表示的实际意义是：购买一张学生暑期专享卡后每次健身费用为15元， b ＝30表示的实际意义是：购买一张学生暑期专享卡的费用为30元；（2）由题意可得，打折前的每次健身费用为15÷0.6＝25（元）， 则k 2＝25×0.8＝20；（3）选择方案一所需费用更少．理由如下： 由题意可知，y 1＝15x +30，y 2＝20x ． 当健身8次时，选择方案一所需费用：y 1＝15×8+30＝150（元）， 选择方案二所需费用：y 2＝20×8＝160（元）， ∵150＜160，∴选择方案一所需费用更少．20．（9分）我们学习过利用尺规作图平分一个任意角，而“利用尺规作图三等分一个任意角”曾是数学史上一大难题，之后被数学家证明是不可能完成的．人们根据实际需要，发明了一种简易操作工具﹣﹣三分角器．图1是它的示意图，其中AB 与半圆O 的直径BC 在同一直线上，且AB 的长度与半圆的半径相等；DB 与AC 垂直于点B ，DB 足够长．使用方法如图2所示，若要把∠MEN三等分，只需适当放置三分角器，使DB经过∠MEN 的顶点E，点A落在边EM上，半圆O与另一边EN恰好相切，切点为F，则EB，EO 就把∠MEN三等分了．为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程．已知：如图2，点A，B，O，C在同一直线上，EB⊥AC，垂足为点B，AB＝OB，EN 切半圆O于F．求证：EB，EO就把∠MEN三等分．【解答】解：已知：如图2，点A，B，O，C在同一直线上，EB⊥AC，垂足为点B，AB ＝OB，EN切半圆O于F．求证：EB，EO就把∠MEN三等分，证明：∵EB⊥AC，∴∠ABE＝∠OBE＝90°，∵AB＝OB，BE＝BE，∴△ABE≌△OBE（SAS），∴∠1＝∠2，∵BE⊥OB，∴BE是⊙E的切线，∵EN切半圆O于F，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠2＝∠3，∴EB，EO就把∠MEN三等分．故答案为：AB＝OB，EN切半圆O于F；EB，EO就把∠MEN三等分．21．（10分）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+c与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于点A，B，且OA＝OB，点G为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式及点G的坐标；（2）点M，N为抛物线上两点（点M在点N的左侧），且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度，点Q为抛物线上点M，N之间（含点M，N）的一个动点，求点Q的纵坐标y Q的取值范围．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+2x+c与y轴正半轴分别交于点B，∴点B（0，c），∵OA＝OB＝c，∴点A（c，0），∴0＝﹣c2+2c+c，∴c＝3或0（舍去），∴抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3，∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴顶点G为（1，4）；（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴对称轴为直线x＝1，∵点M，N为抛物线上两点（点M在点N的左侧），且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度，∴点M的横坐标为﹣2或4，点N的横坐标为6，∴点M坐标为（﹣2，﹣5）或（4，﹣5），点N坐标（6，﹣21），∵点Q为抛物线上点M，N之间（含点M，N）的一个动点，∴﹣21≤y Q≤4或﹣21≤y Q≤﹣5．22．（10分）小亮在学习中遇到这样一个问题：̂上一动点，线段BC＝8cm，点A是线段BC的中点，过点C作CF∥BD，如图，点D是BC交DA的延长线于点F．当△DCF为等腰三角形时，求线段BD的长度．小亮分析发现，此问题很难通过常规的推理计算彻底解决，于是尝试结合学习函数的经验研究此问题．请将下面的探究过程补充完整：̂上的不同位置，画出相应的图形，测量线段BD，CD，FD的长度，（1）根据点D在BC得到下表的几组对应值．BD/cm0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.07.08.0 CD/cm8.07.77.2 6.6 5.9a 3.9 2.40FD/cm8.07.4 6.9 6.5 6.1 6.0 6.2 6.78.0操作中发现：①“当点D为BĈ的中点时，BD＝5.0cm”．则上表中a的值是5；②“线段CF的长度无需测量即可得到”．请简要说明理由．（2）将线段BD的长度作为自变量x，CD和FD的长度都是x的函数，分别记为y CD和y FD，并在平面直角坐标系xOy中画出了函数y FD的图象，如图所示．请在同一坐标系中画出函数y CD的图象；（3）继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，并结合图象直接写出：当△DCF为等腰三角形时，线段BD长度的近似值（结果保留一位小数）．̂的中点，【解答】解：（1）∵点D为BĈ=CD̂，∴BD∴BD＝CD＝a＝5cm，故答案为：5；（2）∵点A是线段BC的中点，∴AB＝AC，∵CF∥BD，∴∠F＝∠BDA，又∵∠BAD＝∠CAF，∴△BAD≌△CAF（AAS），∴BD＝CF，∴线段CF的长度无需测量即可得到；（3）由题意可得：（4）由题意画出函数y CF的图象；由图象可得：BD＝3.8cm或5cm或6.2cm时，△DCF为等腰三角形．23．（11分）将正方形ABCD 的边AB 绕点A 逆时针旋转至AB ′，记旋转角为α，连接BB ′，过点D 作DE 垂直于直线BB ′，垂足为点E ，连接DB ′，CE ．（1）如图1，当α＝60°时，△DEB ′的形状为 等腰直角三角形 ，连接BD ，可求出BB′CE的值为 √2 ；（2）当0°＜α＜360°且α≠90°时，①（1）中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由；②当以点B ′，E ，C ，D 为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出BE B′E的值．【解答】解：（1）∵AB 绕点A 逆时针旋转至AB ′， ∴AB ＝AB '，∠BAB '＝60°， ∴△ABB '是等边三角形， ∴∠BB 'A ＝60°，∴∠DAB '＝∠BAD ﹣∠BAB '＝90°﹣60°＝30°， ∵AB '＝AB ＝AD ， ∴∠AB 'D ＝∠ADB '， ∴∠AB 'D =180°−30°2=75°， ∴∠DB 'E ＝180°﹣60°﹣75°＝45°， ∵DE ⊥B 'E ，∴∠B 'DE ＝90°﹣45°＝45°， ∴△DEB '是等腰直角三角形． ∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠BDC ＝45°， ∴BD DC=√2，同理B′D DE=√2，∴BD DC=B′D DE，∵∠BDB '+∠B 'DC ＝45°，∠EDC +∠B 'DC ＝45°， ∴BDB '＝∠EDC ， ∴△BDB '∽△CDE ， ∴BB′CE=BD DC=√2．故答案为：等腰直角三角形，BB′CE=√2．（2）①两结论仍然成立． 证明：连接BD ，∵AB ＝AB '，∠BAB '＝α， ∴∠AB 'B ＝90°−α2，∵∠B 'AD ＝α﹣90°，AD ＝AB '， ∴∠AB 'D ＝135°−α2，∴∠EB 'D ＝∠AB 'D ﹣∠AB 'B ＝135°−α2−(90°−α2)=45°， ∵DE ⊥BB '，∴∠EDB '＝∠EB 'D ＝45°， ∴△DEB '是等腰直角三角形， ∴DB′DE=√2，∵四边形ABCD 是正方形， ∴BD CD =√2，∠BDC ＝45°，∴BD CD=DB′DE，∵∠EDB '＝∠BDC ，∴∠EDB '+∠EDB ＝∠BDC +∠EDB ， 即∠B 'DB ＝∠EDC ， ∴△B 'DB ∽△EDC ， ∴BB′CE =BD CD=√2．②BE B′E=3或1．若CD 为平行四边形的对角线，点B '在以A 为圆心，AB 为半径的圆上，取CD 的中点．连接BO 交⊙A 于点B '， 过点D 作DE ⊥BB '交BB '的延长线于点E ，由（1）可知△B 'ED 是等腰直角三角形， ∴B 'D =√2B 'E ，由（2）①可知△BDB '∽△CDE ，且BB '=√2CE ． ∴BE B′E=B′B+B′E B′E=BB′B′E+1=√2CEB′E+1=√2B′DB′E+1=√2×√2+1＝3．若CD 为平行四边形的一边，如图3，点E与点A重合，∴BEB′E=1．综合以上可得BEB′E =3或1．。
2020年河南省中考数学试卷(含详细解析)
7．定义运算： ．例如 ．则方程 的根的情况为（）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．无实数根D．只有一个实数根
8．国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加．2017年至2019年我国快递业务收入由 亿元增加到 亿元．设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为 ．则可列方程为( )
某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度．如图所示，他们在地面一条水平步道 上架设测角仪，先在点 处测得观星台最高点 的仰角为 ，然后沿 方向前进 到达点 处，测得点 的仰角为 ．测角仪的高度为 ，
求观星台最高点 距离地面的高度(结果精确到 ．参考数据： )；
“景点简介”显示，观星台的高度为 ，请计算本次测量结果的误差，并提出一条减小误差的合理化建议．
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2020年河南省中考数学试卷
题号
一பைடு நூலகம்
二
三
总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
评卷人
得分
一、单选题
1．2的相反数是（）
A． B． C． D．
2．如下摆放的几何体中，主视图与左视图有可能不同的是（）
A． B．
C． D．
3．要调查下列问题，适合采用全面调查(普查)的是（）
A．
B．
C．
D．
9．如图，在 中， ．边 在 轴上，顶点 的坐标分别为 和 ．将正方形 沿 轴向右平移当点 落在 边上时，点 的坐标为（）
A． B． C． D．
10．如图，在 中， ，分别以点 为圆心， 的长为半径作弧，两弧交于点 ，连接 则四边形 的面积为（）
2020年河南省中考数学试题(含答案解析)
2020年河南省中考数学试卷（共23题，满分120分）一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的．1．2的相反数是（）A．﹣2B．C．D．22．如图摆放的几何体中，主视图与左视图有可能不同的是（）A．B．C．D．3．要调查下列问题，适合采用全面调查（普查）的是（）A．中央电视台《开学第一课》的收视率B．某城市居民6月份人均网上购物的次数C．即将发射的气象卫星的零部件质量D．某品牌新能源汽车的最大续航里程4．如图，l1∥l2，l3∥l4，若∠1＝70°，则∠2的度数为（）A．100°B．110°C．120°D．130°5．电子文件的大小常用B，KB，MB，GB等作为单位，其中1GB＝210MB，1MB＝210KB，1KB＝210B．某视频文件的大小约为1GB，1GB等于（）A．230B B．830B C．8×1010B D．2×1030B6．若点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在反比例函数y的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＞y2＞y3B．y2＞y3＞y1C．y1＞y3＞y2D．y3＞y2＞y17．定义运算：m☆n＝mn2﹣mn﹣1．例如：4☆2＝4×22﹣4×2﹣1＝7．则方程1☆x ＝0的根的情况为（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．只有一个实数根8．国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加．2017年至2019年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元．设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x，则可列方程为（）A．500（1+2x）＝7500B．5000×2（1+x）＝7500C．5000（1+x）2＝7500D．5000+5000（1+x）+5000（1+x）2＝75009．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，边BC在x轴上，顶点A，B的坐标分别为（﹣2，6）和（7，0）．将正方形OCDE沿x轴向右平移，当点E落在AB边上时，点D的坐标为（）A．（，2）B．（2，2）C．（，2）D．（4，2）10．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠BAC＝30°，分别以点A，C为圆心，AC 的长为半径作弧，两弧交于点D，连接DA，DC，则四边形ABCD的面积为（）A．6B．9C．6D．3二、填空题（每小题3分，共15分）11．请写出一个大于1且小于2的无理数．12．已知关于x的不等式组其中a，b在数轴上的对应点如图所示，则这个不等式组的解集为．13．如图所示的转盘，被分成面积相等的四个扇形，分别涂有红、黄、蓝、绿四种颜色．固定指针，自由转动转盘两次，每次停止后，记下指针所指区域（指针指向区域分界线时，忽略不计）的颜色，则两次颜色相同的概率是．14．如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G，H分别是EC，FD的中点，连接GH，则GH的长度为．15．如图，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，OD平分∠BOC交于点D，点E为半径OB上一动点．若OB＝2，则阴影部分周长的最小值为．三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）16．（8分）先化简，再求值：（1），其中a1．17．（9分）为发展乡村经济，某村根据本地特色，创办了山药粉加工厂．该厂需购置一台分装机，计划从商家推荐试用的甲、乙两台不同品牌的分装机中选择．试用时，设定分装的标准质量为每袋500g，与之相差大于10g为不合格．为检验分装效果，工厂对这两台机器分装的成品进行了抽样和分析，过程如下：[收集数据]从甲、乙两台机器分装的成品中各随机抽取20袋，测得实际质量（单位：g）如下：甲：501 497 498 502 513 489 506 490 505 486 502 503 498 497 491 500 505 502 504 505乙：505 499 502 491 487 506 493 505 499 498 502 503 501 490 501 502 511 499 499 501[整理数据]整理以上数据，得到每袋质量x（g）的频数分布表．质量频数机器485≤x＜490490≤x＜495495≤x＜500500≤x＜505505≤x＜510510≤x＜515甲224741乙135731 [分析数据]根据以上数据，得到以下统计量．统计量机器平均数中位数方差不合格率甲499.7501.542.01b乙499.7a31.8110%根据以上信息，回答下列问题：（1）表格中的a＝，b＝；（2）综合上表中的统计量，判断工厂应迭购哪一台分装机，并说明理由．18．（9分）位于河南省登封市境内的元代观星台，是中国现存最早的天文台，也是世界文化遗产之一．某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度．如图所示，他们在地面一条水平步道MP上架设测角仪，先在点M处测得观星台最高点A的仰角为22°，然后沿MP方向前进16m到达点N处，测得点A的仰角为45°．测角仪的高度为1.6m．（1）求观星台最高点A距离地面的高度（结果精确到0.1m．参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40， 1.41）；（2）“景点简介”显示，观星台的高度为12.6m．请计算本次测量结果的误差，并提出一条减小误差的合理化建议．19．（9分）暑期将至，某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动，活动方案如下．方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按六折优惠；方案二：不购买学生暑期专享卡，每次健身费用按八折优惠．设某学生暑期健身x（次），按照方案一所需费用为y1（元），且y1＝k1x+b；按照方案二所需费用为y2（元），且y2＝k2x．其函数图象如图所示．（1）求k1和b的值，并说明它们的实际意义；（2）求打折前的每次健身费用和k2的值；（3）八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身8次，应选择哪种方案所需费用更少？说明理由．20．（9分）我们学习过利用尺规作图平分一个任意角，而“利用尺规作图三等分一个任意角”曾是数学史上一大难题，之后被数学家证明是不可能完成的．人们根据实际需要，发明了一种简易操作工具﹣﹣三分角器．图1是它的示意图，其中AB与半圆O的直径BC在同一直线上，且AB的长度与半圆的半径相等；DB与AC垂直于点B，DB足够长．使用方法如图2所示，若要把∠MEN三等分，只需适当放置三分角器，使DB经过∠MEN的顶点E，点A落在边EM上，半圆O与另一边EN恰好相切，切点为F，则EB，EO就把∠MEN三等分了．为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程．已知：如图2，点A，B，O，C在同一直线上，EB⊥AC，垂足为点B，．求证：．21．（10分）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+c与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于点A，B，且OA＝OB，点G为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式及点G的坐标；（2）点M，N为抛物线上两点（点M在点N的左侧），且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度，点Q为抛物线上点M，N之间（含点M，N）的一个动点，求点Q的纵坐标y Q的取值范围．22．（10分）小亮在学习中遇到这样一个问题：如图，点D是上一动点，线段BC＝8cm，点A是线段BC的中点，过点C 作CF∥BD，交DA的延长线于点F．当△DCF为等腰三角形时，求线段BD的长度．小亮分析发现，此问题很难通过常规的推理计算彻底解决，于是尝试结合学习函数的经验研究此问题．请将下面的探究过程补充完整：（1）根据点D在上的不同位置，画出相应的图形，测量线段BD，CD，FD的长度，得到下表的几组对应值．BD/cm0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.07.08.0 CD/cm8.07.77.2 6.6 5.9a 3.9 2.40 FD/cm8.07.4 6.9 6.5 6.1 6.0 6.2 6.78.0操作中发现：①“当点D为的中点时，BD＝5.0cm”．则上表中a的值是；②“线段CF的长度无需测量即可得到”．请简要说明理由．（2）将线段BD的长度作为自变量x，CD和FD的长度都是x的函数，分别记为y CD和y FD，并在平面直角坐标系xOy中画出了函数y FD的图象，如图所示．请在同一坐标系中画出函数y CD的图象；（3）继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，并结合图象直接写出：当△DCF为等腰三角形时，线段BD长度的近似值（结果保留一位小数）．23．（11分）将正方形ABCD的边AB绕点A逆时针旋转至AB′，记旋转角为α，连接BB′，过点D作DE垂直于直线BB′，垂足为点E，连接DB′，CE．（1）如图1，当α＝60°时，△DEB′的形状为，连接BD，可求出的值为；（2）当0°＜α＜360°且α≠90°时，①（1）中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由；②当以点B′，E，C，D为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出的值．2020年河南省中考数学试卷答案解析一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的．1．2的相反数是（）A．﹣2B．C．D．2【解答】解：2的相反数是﹣2．故选：A．2．如图摆放的几何体中，主视图与左视图有可能不同的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、主视图和左视图是长方形，一定相同，故本选项不合题意题意；B、主视图和左视图都是等腰三角形，一定相同，故选项不符合题意；C、主视图和左视图都是圆，一定相同，故选项不符合题意；D、主视图是长方形，左视图是正方形，故本选项符合题意；故选：D．3．要调查下列问题，适合采用全面调查（普查）的是（）A．中央电视台《开学第一课》的收视率B．某城市居民6月份人均网上购物的次数C．即将发射的气象卫星的零部件质量D．某品牌新能源汽车的最大续航里程【解答】解：A、调查中央电视台《开学第一课》的收视率，适合抽查，故本选项不合题意；B、调查某城市居民6月份人均网上购物的次数，适合抽查，故本选项不合题意；C、调查即将发射的气象卫星的零部件质量，适合采用全面调查（普查），故本选项符合题意；D、调查某品牌新能源汽车的最大续航里程，适合抽查，故本选项不合题意．故选：C．4．如图，l1∥l2，l3∥l4，若∠1＝70°，则∠2的度数为（）A．100°B．110°C．120°D．130°【解答】解：∵l1∥l2，∠1＝70°，∴∠3＝∠1＝70°，∵l3∥l4，∴∠2＝180°﹣∠3＝180°﹣70°＝110°，故选：B．5．电子文件的大小常用B，KB，MB，GB等作为单位，其中1GB＝210MB，1MB＝210KB，1KB＝210B．某视频文件的大小约为1GB，1GB等于（）A．230B B．830B C．8×1010B D．2×1030B 【解答】解：由题意得：210×210×210B＝210+10+10＝230B，故选：A．6．若点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在反比例函数y的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＞y2＞y3B．y2＞y3＞y1C．y1＞y3＞y2D．y3＞y2＞y1【解答】解：∵点A（﹣1，y1）、B（2，y2）、C（3，y3）在反比例函数y 的图象上，∴y16，y23，y32，又∵﹣3＜﹣2＜6，∴y1＞y3＞y2．故选：C．7．定义运算：m☆n＝mn2﹣mn﹣1．例如：4☆2＝4×22﹣4×2﹣1＝7．则方程1☆x ＝0的根的情况为（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．只有一个实数根【解答】解：由题意可知：1☆x＝x2﹣x﹣1＝0，∴△＝1﹣4×1×（﹣1）＝5＞0，故选：A．8．国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加．2017年至2019年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元．设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x，则可列方程为（）A．500（1+2x）＝7500B．5000×2（1+x）＝7500C．5000（1+x）2＝7500D．5000+5000（1+x）+5000（1+x）2＝7500【解答】解：设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x，由题意得：5000（1+x）2＝7500，故选：C．9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，边BC在x轴上，顶点A，B的坐标分别为（﹣2，6）和（7，0）．将正方形OCDE沿x轴向右平移，当点E落在AB边上时，点D的坐标为（）A．（，2）B．（2，2）C．（，2）D．（4，2）【解答】解：如图，设正方形D′C′O′E′是正方形OCDE沿x轴向右平移后的正方形，∵顶点A，B的坐标分别为（﹣2，6）和（7，0），∴AC＝6，OC＝2，OB＝7，∴BC＝9，∵四边形OCDE是正方形，∴DE＝OC＝OE＝2，∴O′E′＝O′C′＝2，∵E′O′⊥BC，∴∠BO′E′＝∠BCA＝90°，∴E′O′∥AC，∴△BO′E′∽△BCA，∴，∴，∴BO′＝3，∴OC′＝7﹣2﹣3＝2，∴当点E落在AB边上时，点D的坐标为（2，2），故选：B．10．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠BAC＝30°，分别以点A，C为圆心，AC 的长为半径作弧，两弧交于点D，连接DA，DC，则四边形ABCD的面积为（）A．6B．9C．6D．3【解答】解：连接BD交AC于O，∵AD＝CD，AB＝BC，∴BD垂直平分AC，∴BD⊥AC，AO＝CO，∵AB＝BC，∴∠ACB＝∠BAC＝30°，∵AC＝AD＝CD，∴△ACD是等边三角形，∴∠DAC＝∠DCA＝60°，∴∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ADB＝∠CDB＝30°，∵AB＝BC，∴AD＝CD AB＝3，∴四边形ABCD的面积＝23，故选：D．二、填空题（每小题3分，共15分）11．请写出一个大于1且小于2的无理数．【解答】解：大于1且小于2的无理数是，答案不唯一．故答案为：．12．已知关于x的不等式组其中a，b在数轴上的对应点如图所示，则这个不等式组的解集为x＞a．【解答】解：∵b＜0＜a，∴关于x的不等式组的解集为：x＞a，故答案为：x＞a．13．如图所示的转盘，被分成面积相等的四个扇形，分别涂有红、黄、蓝、绿四种颜色．固定指针，自由转动转盘两次，每次停止后，记下指针所指区域（指针指向区域分界线时，忽略不计）的颜色，则两次颜色相同的概率是．【解答】解：自由转动转盘两次，指针所指区域所有可能出现的情况如下：共有16种可能出现的结果，其中两次颜色相同的有4种，∴P（两次颜色相同），故答案为：．14．如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G，H分别是EC，FD的中点，连接GH，则GH的长度为1．【解答】解：设DF，CE交于O，∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠DCF＝90°，BC＝CD＝AB，∵点E，F分别是边AB，BC的中点，∴BE＝CF，∴△CBE≌△DCF（SAS），∴CE＝DF，∠BCE＝∠CDF，∵∠CDF+∠CFD＝90°，∴∠BCE+∠CFD＝90°，∴∠COF＝90°，∴DF⊥CE，∴CE＝DF，∵点G，H分别是EC，FD的中点，∴CG＝FH，∵∠DCF＝90°，CO⊥DF，∴CF2＝OF•DF，∴OF，∴OH，OD，∵OC2＝OF•OD，∴OC，∴OG＝CG﹣OC，∴HG1，故答案为：1．15．如图，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，OD平分∠BOC交于点D，点E为半径OB上一动点．若OB＝2，则阴影部分周长的最小值为．【解答】解：如图，作点D关于OB的对称点D′，连接D′C交OB于点E′，连接E′D、OD′，此时E′C+E′C最小，即：E′C+E′C＝CD′，由题意得，∠COD＝∠DOB＝∠BOD′＝30°，∴∠COD′＝90°，∴CD′2，的长l，∴阴影部分周长的最小值为2．故答案为：．三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）16．（8分）先化简，再求值：（1），其中a1．【解答】解：＝a﹣1，把a1代入a﹣11﹣1．17．（9分）为发展乡村经济，某村根据本地特色，创办了山药粉加工厂．该厂需购置一台分装机，计划从商家推荐试用的甲、乙两台不同品牌的分装机中选择．试用时，设定分装的标准质量为每袋500g，与之相差大于10g为不合格．为检验分装效果，工厂对这两台机器分装的成品进行了抽样和分析，过程如下：[收集数据]从甲、乙两台机器分装的成品中各随机抽取20袋，测得实际质量（单位：g）如下：甲：501 497 498 502 513 489 506 490 505 486 502 503 498 497 491 500 505 502 504 505乙：505 499 502 491 487 506 493 505 499 498502 503 501 490 501 502 511 499 499 501[整理数据]整理以上数据，得到每袋质量x（g）的频数分布表．质量频数机器485≤x＜490490≤x＜495495≤x＜500500≤x＜505505≤x＜510510≤x＜515甲224741乙135731 [分析数据]根据以上数据，得到以下统计量．统计量机器平均数中位数方差不合格率甲499.7501.542.01b乙499.7a31.8110%根据以上信息，回答下列问题：（1）表格中的a＝501，b＝15%；（2）综合上表中的统计量，判断工厂应迭购哪一台分装机，并说明理由．【解答】解：（1）将乙的成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数都是501，因此中位数是501，b＝3➗20＝15%，故答案为：501，15%；（2）选择乙机器，理由：乙的不合格率较小，18．（9分）位于河南省登封市境内的元代观星台，是中国现存最早的天文台，也是世界文化遗产之一．某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度．如图所示，他们在地面一条水平步道MP上架设测角仪，先在点M处测得观星台最高点A的仰角为22°，然后沿MP方向前进16m到达点N处，测得点A的仰角为45°．测角仪的高度为1.6m．（1）求观星台最高点A距离地面的高度（结果精确到0.1m．参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40， 1.41）；（2）“景点简介”显示，观星台的高度为12.6m．请计算本次测量结果的误差，并提出一条减小误差的合理化建议．【解答】解：（1）过A作AD⊥PM于D，延长BC交AD于E，则四边形BMNC，四边形BMDE是矩形，∴BC＝MN＝16m，DE＝CN＝BM＝1.6m，∵∠AED＝90°，∠ACE＝45°，∴△ACE是等腰直角三角形，∴CE＝AE，设AE＝CE＝x，∴BE＝16+x，∵∠ABE＝22°，∴tan22°0.40，∴x≈10.7（m），∴AD＝10.7+1.6＝12.3（m），答：观星台最高点A距离地面的高度约为12.3m；（2）∵“景点简介”显示，观星台的高度为12.6m，∴本次测量结果的误差为12.6﹣12.3＝0.3m，减小误差的合理化建议为：为了减小误差可以通过多次测量取平均值的方法．19．（9分）暑期将至，某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动，活动方案如下．方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按六折优惠；方案二：不购买学生暑期专享卡，每次健身费用按八折优惠．设某学生暑期健身x（次），按照方案一所需费用为y1（元），且y1＝k1x+b；按照方案二所需费用为y2（元），且y2＝k2x．其函数图象如图所示．（1）求k1和b的值，并说明它们的实际意义；（2）求打折前的每次健身费用和k2的值；（3）八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身8次，应选择哪种方案所需费用更少？说明理由．【解答】解：（1）∵y1＝k1x+b过点（0，30），（10，180），∴，解得，k1＝15表示的实际意义是：购买一张学生暑期专享卡后每次健身费用为15元，b＝30表示的实际意义是：购买一张学生暑期专享卡的费用为30元；（2）由题意可得，打折前的每次健身费用为15÷0.6＝25（元），则k2＝25×0.8＝20；（3）选择方案一所需费用更少．理由如下：由题意可知，y1＝15x+30，y2＝20x．当健身8次时，选择方案一所需费用：y1＝15×8+30＝150（元），选择方案二所需费用：y2＝20×8＝160（元），∵150＜160，∴选择方案一所需费用更少．20．（9分）我们学习过利用尺规作图平分一个任意角，而“利用尺规作图三等分一个任意角”曾是数学史上一大难题，之后被数学家证明是不可能完成的．人们根据实际需要，发明了一种简易操作工具﹣﹣三分角器．图1是它的示意图，其中AB与半圆O的直径BC在同一直线上，且AB的长度与半圆的半径相等；DB与AC垂直于点B，DB足够长．使用方法如图2所示，若要把∠MEN三等分，只需适当放置三分角器，使DB经过∠MEN的顶点E，点A落在边EM上，半圆O与另一边EN恰好相切，切点为F，则EB，EO就把∠MEN三等分了．为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程．已知：如图2，点A，B，O，C在同一直线上，EB⊥AC，垂足为点B，AB ＝OB，EN切半圆O于F．求证：EB，EO就把∠MEN三等分．【解答】解：已知：如图2，点A，B，O，C在同一直线上，EB⊥AC，垂足为点B，AB＝OB，EN切半圆O于F．求证：EB，EO就把∠MEN三等分，证明：∵EB⊥AC，∴∠ABE＝∠OBE＝90°，∵AB＝OB，BE＝BE，∴△ABE≌△OBE（SAS），∴∠1＝∠2，∵BE⊥OB，∴BE是⊙E的切线，∵EN切半圆O于F，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠2＝∠3，∴EB，EO就把∠MEN三等分．故答案为：AB＝OB，EN切半圆O于F；EB，EO就把∠MEN三等分．21．（10分）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+c与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于点A，B，且OA＝OB，点G为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式及点G的坐标；（2）点M，N为抛物线上两点（点M在点N的左侧），且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度，点Q为抛物线上点M，N之间（含点M，N）的一个动点，求点Q的纵坐标y Q的取值范围．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+2x+c与y轴正半轴分别交于点B，∴点B（0，c），∵OA＝OB＝c，∴点A（c，0），∴0＝﹣c2+2c+c，∴c＝3或0（舍去），∴抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3，∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴顶点G为（1，4）；（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴对称轴为直线x＝1，∵点M，N为抛物线上两点（点M在点N的左侧），且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度，∴点M的横坐标为﹣2或4，点N的横坐标为6，∴点M坐标为（﹣2，﹣5）或（4，﹣5），点N坐标（6，﹣21），∵点Q为抛物线上点M，N之间（含点M，N）的一个动点，∴﹣21≤y Q≤4或﹣21≤y Q≤﹣5．22．（10分）小亮在学习中遇到这样一个问题：如图，点D是上一动点，线段BC＝8cm，点A是线段BC的中点，过点C 作CF∥BD，交DA的延长线于点F．当△DCF为等腰三角形时，求线段BD的长度．小亮分析发现，此问题很难通过常规的推理计算彻底解决，于是尝试结合学习函数的经验研究此问题．请将下面的探究过程补充完整：（1）根据点D 在上的不同位置，画出相应的图形，测量线段BD，CD，FD的长度，得到下表的几组对应值．0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.07.08.0BD/cmC8.07.77.2 6.6 5.9a 3.9 2.40 D/cm8.07.4 6.9 6.5 6.1 6.0 6.2 6.78.0FD/cm操作中发现：①“当点D 为的中点时，BD＝5.0cm”．则上表中a的值是5；②“线段CF的长度无需测量即可得到”．请简要说明理由．（2）将线段BD的长度作为自变量x，CD和FD的长度都是x的函数，分别记为y CD和y FD，并在平面直角坐标系xOy中画出了函数y FD的图象，如图所示．请在同一坐标系中画出函数y CD的图象；（3）继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，并结合图象直接写出：当△DCF为等腰三角形时，线段BD长度的近似值（结果保留一位小数）．【解答】解：（1）∵点D为的中点，∴，∴BD＝CD＝a＝5cm，故答案为：5；（2）∵点A是线段BC的中点，∴AB＝AC，∵CF∥BD，∴∠F＝∠BDA，又∵∠BAD＝∠CAF，∴△BAD≌△CAF（AAS），∴BD＝CF，∴线段CF的长度无需测量即可得到；（3）由题意可得：（4）由题意画出函数y CF的图象；由图象可得：BD＝3.8cm或5cm或6.2cm时，△DCF为等腰三角形．23．（11分）将正方形ABCD的边AB绕点A逆时针旋转至AB′，记旋转角为α，连接BB′，过点D作DE垂直于直线BB′，垂足为点E，连接DB′，CE．（1）如图1，当α＝60°时，△DEB′的形状为等腰直角三角形，连接BD，可求出的值为；（2）当0°＜α＜360°且α≠90°时，①（1）中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由；②当以点B′，E，C，D为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出的值．【解答】解：（1）∵AB绕点A逆时针旋转至AB′，∴AB＝AB'，∠BAB'＝60°，∴△ABB'是等边三角形，∴∠BB'A＝60°，∴∠DAB'＝∠BAD﹣∠BAB'＝90°﹣60°＝30°，∵AB'＝AB＝AD，∴∠AB'D＝∠ADB'，∴∠AB'D75°，∴∠DB'E＝180°﹣60°﹣75°＝45°，∵DE⊥B'E，∴∠B'DE＝90°﹣45°＝45°，∴△DEB'是等腰直角三角形．∵四边形ABCD是正方形，∴∠BDC＝45°，∴，同理，∴，∵∠BDB'+∠B'DC＝45°，∠EDC+∠B'DC＝45°，∴BDB'＝∠EDC，∴△BDB'∽△CDE，∴．故答案为：等腰直角三角形，．（2）①两结论仍然成立．证明：连接BD，∵AB＝AB'，∠BAB'＝α，∴∠AB'B＝90°，∵∠B'AD＝α﹣90°，AD＝AB'，∴∠AB'D＝135°，∴∠EB'D＝∠AB'D﹣∠AB'B＝135°45°，∵DE⊥BB'，∴∠EDB'＝∠EB'D＝45°，∴△DEB'是等腰直角三角形，∴，∵四边形ABCD是正方形，∴，∠BDC＝45°，∴，∵∠EDB'＝∠BDC，∴∠EDB'+∠EDB＝∠BDC+∠EDB，即∠B'DB＝∠EDC，∴△B'DB∽△EDC，∴．②3或1．若CD为平行四边形的对角线，点B'在以A为圆心，AB为半径的圆上，取CD的中点．连接BO交⊙A于点B'，过点D作DE⊥BB'交BB'的延长线于点E，由（1）可知△B'ED是等腰直角三角形，∴B'D B'E，由（2）①可知△BDB'∽△CDE，且BB'CE．∴1111＝3．若CD为平行四边形的一边，如图3，点E与点A重合，∴1．综合以上可得3或1．。
2020年河南省中考数学试题(含答案)
2020年河南省中考数学试卷（含答案）（满分120分，考试时间100分钟）一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 2的相反数是（ ） A ．-2B ．12C ．12D ．22. 如下摆放的几何体中，主视图与左视图有可能不同的是（ ）ABD ．3. 要调查下列问题，适合采用全面调查（普查）的是（ ） A ．中央电视台《开学第一课》的收视率 B ．某城市居民6月份人均网上购物的次数 C ．即将发射的气象卫星的零部件质量 D ．某品牌新能源汽车的最大续航里程4. 如图，l 1∥l 2，l 3∥l 4，若∠1=70°，则∠2的度数为（ ） A ．100°B ．110°C ．120°D ．130°5. 电子文件的大小常用B ，KB ，MB ，GB 等作为单位，其中1 GB=210 MB ，1MB=210 KB ，1 KB=210 B ．某视频文件的大小约为1 GB ，1 GB 等于（ ）2l 1l 2l 3l 41A．230 B B．830 B C．8×1010 B D．2×1030 B 6.若点A(-1，y1)，B(2，y2)，C(3，y3)在反比例函数6yx=-的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＞y2＞y3B．y2＞y3＞y1C．y1＞y3＞y2 D．y3＞y2＞y17.定义运算：m☆n=mn2-mn-1．例如：4☆2=4×22-4×2-1=7．则方程1☆x=0的根的情况为（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．只有一个实数根8.国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加．2017年至2019年我国快递业务收入由5 000亿元增加到7 500亿元．设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x，则可列方程为（）A．5 000(1+2x)=7 500 B．5 000×2(1+x)=7 500C．5 000(1+x)2=7 500 D．5 000+5 000(1+x)+5000(1+x)2=7 5009.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，边BC在x轴上，顶点A，B的坐标分别为(-2，6)和(7，0)．将正方形OCDE沿x轴向右平移，当点E落在AB边上时，点D的坐标为（）A．(32，2)B．(2，2)C．(114，2)D．(4，2)10. 如图，在△ABC 中，AB =BC，∠BAC =30°，分别以点A ，C 为圆心，AC 的长为半径作弧，两弧交于点D ，连接DA ，DC ，则四边形ABCD 的面积为（ ） A．B ．9C ．6D．二、填空题（每小题3分，共15分）11. 请写出一个大于1且小于2的无理数___________． 12. 已知关于x的不等式组x ax b >⎧⎨>⎩，其中a ，b 在数轴上的对应点如图所示，则这个不等式组的解集为___________．13. 如图所示的转盘，被分成面积相等的四个扇形，分别涂有红、黄、蓝、绿四种颜色．固定指针，自由转动转盘两次，每次停止后，记下指针所指区域（指针指向区域分界线时，忽略不计）的颜色，则两次颜色相同的概率是_____．A BCDa14.如图，在边长为ABCD 中，点E ，F 分别是边AB ，BC 的中点，连接EC ，FD ，点G ，H 分别是EC ，FD 的中点，连接GH ，则GH 的长度为____________．15. 如图，在扇形BOC 中，∠BOC =60°，OD 平分∠BOC 交BC ︵于点D ，点E 为半径OB 上一动点．若OB =2，则阴影部分周长的最小值为_________．三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. （8分）先化简，再求值：21(1)11aa a -÷+-，其中1a =．ABCDEFGH17.（9分）为发展乡村经济，某村根据本地特色，创办了山药粉加工厂．该厂需购置一台分装机，计划从商家推荐试用的甲、乙两台不同品牌的分装机中选择．试用时，设定分装的标准质量为每袋500 g，与之相差大于10 g为不合格．为检验分装效果，工厂对这两台机器分装的成品进行了抽样和分析，过程如下：【收集数据】从甲、乙两台机器分装的成品中各随机抽取20袋，测得实际质量（单位：g）如下：甲：501 497 498 502 513 489 506 490 505 486 502 503 498 497 491 500 505 502 504 505乙：505 499 502 491 487 506 493 505 499 498 502 503 501 490 501 502 511 499 499 501【整理数据】整理以上数据，得到每袋质量x（g）的频数分布表．根据以上信息，回答下列问题：（1）表格中的a=_________，b=_________；（2）综合上表中的统计量，判断工厂应选购哪一台分装机，并说明理由．18.（9分）位于河南省登封市境内的元代观星台，是中国现存最早的天文台，也是世界文化遗产之一．某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度．如图所示，他们在地面一条水平步道MP上架设测角仪，先在点M处测得观星台最高点A的仰角为22°，然后沿MP方向前进16 m到达点N处，测得点A的仰角为45°．测角仪的高度为1.6 m．（1）求观星台最高点A 距离地面的高度（结果精确到0.1 m ．参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40≈1.41）；（2）“景点简介”显示，观星台的高度为12.6 m ．请计算本次测量结果的误差，并提出一条减小误差的合理化建议．19. （9分）暑假将至，某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动，活动方案如下：方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按六折优惠；方案二：不购买学生暑假专享卡，每次健身费用按八折优惠． 设某学生暑期健身x （次），按照方案一所需费用为y 1（元），且y 1=k 1x+b ；按照方案二所需费用为y 2（元），且y 2=k 2x ．其函数图象如图所示．（1）求k 1和b 的值，并说明它们的实际意义； （2）求打折前的每次健身费用和k 2的值；（3）八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身8次，应选择哪种方案所需费用更少？说明理由．NAB C 22°45°20.（9分）我们学习过利用尺规作图平分一个任意角，而“利用尺规作图三等分一个任意角”曾是数学史上一大难题，之后被数学家证明是不可能完成的．人们根据实际需要，发明了一种简易操作工具——三分角器．图1是它的示意图，其中AB与半圆O的直径BC在同一直线上，且AB的长度与半圆的半径相等；DB和AC垂直于点B，DB足够长．使用方法如图2所示，若要把∠MEN 三等分，只需适当放置三分角器，使DB 经过∠MEN 的顶点E ，点A 落在边EM 上，半圆O 与另一边EN 恰好相切，切点为F ，则EB ，EO 就把∠MEN 三等分了．为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程．已知：如图2，点A ，B ，O ，C 在同一直线上，EB ⊥AC ，垂足为点B ，______． 求证：___________．图1NM21.(10分)如图，抛物线y=-x2+2x+c与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于点A，B，且OA=OB，点G为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式及点G的坐标；（2）点M，N为抛物线上两点（点M在点N的左侧），且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度，点Q为抛物线上点M，N之间（含点M，N）的一个动点，求点Q 的纵坐标y Q的取值范围．22.（10分）小亮在学习中遇到这样一个问题：小亮分析发现，此问题很难通过常规的推理计算彻底解决，于是尝试结合学习函数的经验研究此问题，请将下面的探究过程补充完整：（1） 根据点D 在BC ︵上的不同位置，画出相应的图形，测量线段BD ，CD ，FD 的长度，得到下表的几组对应值.操作中发现：①“当点D 为BC ︵的中点时，BD =5.0 cm ”，则上表中a 的值是_________；②“线段CF 的长度无需测量即可得到”，请简要说明理由． （2）将线段BD 的长度作为自变量x ，CD 和FD 的长度都是x 的函数，分别记为CD y 和FD y ，并在平面直角坐标系xOy 中画出了函数FD y 的图象，如图所示．请在同一坐标系中画出函数CD y 的图象；（3）继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，并结合图象直接写出：当△DCF 为等腰三角形时，线段BD 长度的近似值（结果保留一位小数）．23.（11分）将正方形ABCD的边AB绕点A逆时针旋转至AB′，记旋转角为α，连接BB′，过点D作DE垂直于直线BB′，垂足为点E，连接DB′，CE．（1）如图1，当α=60°时，△DEB′的形状为__________，连的值为________；接BD，可求出BBCE（2）当0°＜α＜360°且α≠90°时，①（1）中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由；②当以点B′，E ，C ，D 为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出BE B E的值．ABCDE B'图1ABCDEB'图2。
2020年河南中考数学试题及答案
12l 3l 1l 2l42020年河南省普通高中招生考试数学试卷(时间：100分钟 满分：120分)一、选择题(每小题3分，共30分) 1. 2的相反数是( )A ． -2B ． -12C ．12D ． 2 2. 如下摆放的几何体中，主视图与左视图有可能不同的是（ ）A ．B ．C ．D ．3. 要调查下列问题，适合采用全面调查(普查)的是（ ）A . 中央电视台《开学第一课》的收视率B . 某城市居民6月份人均网上购物的次数C . 即将发射的气象卫星的零部件质量D . 某品牌新能源汽车的最大续航里程4. 如图，l 1∥l 2，l 3∥l 4，若∠1=70°，则∠2的度数为( )A ．100°B ．110°C ．120°D ． 130°5. 电子文件的大小常用B ，KB ，MB ，GB 等作为单位，其中1GB =210MB ，1MB =210KB ， 1KB =210B .某视频文件的大小约为1GB ，GB 等于( )A ． 230B B ． 830BC ． 8×1010BD ． 2×230B 6若点A (-1，y 1)，B (2，y 2)，C (3，y 3)在反比例函数y =-6x的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是( )A ．y 1>y 2>y 3B ． y 2>y 3>y 1C ． y 1>y 3>y 2D ． y 3>y 2>y 17. 定义运算：m ☆n =mn 2-mn -1.例如：4☆2=4×22-4×2-1=7.则方程1☆x =0的根的情况为( ) A .有两个不相等的实数根 B .有两个相等的实数根 C .无实数根 D .只有一个实数根8.国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加.2017年至2019年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元.设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x ，则可列方程为（ ）A . 5000(l +2x )=7500B . 5000×2(1+x )=7500C . 5000(1+x )2=7500D . 5000+5000(1+x )+5000(1+x )2=75009. 如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，边BC 在x 轴上，顶点A ，B 的坐标分别为(-2，6)和(7，0).将正方形OCDE 沿x 轴向右平移当点E 落在AB 边上时，点D 的坐标为（ ）A ． (32，2)B ． (2，2)C ．(114，2) D ．(4，2)DABCFGH EDABCEDBCO 10. 如图，在△ABC 中，AB =BCBAC =30°，分别以点A ，C 为圆 心，AC 的长为半径作弧，两弧交于点D ，连接DA ，DC ，则四边形ABCD 的面积为( )A ．B ． 9C ． 6D ．二、填空题(每小题3分，共15分)1l . 请写出一个大于1且小于2的无理数 . 12. 已知关于x 的不等式组x ax b >⎧⎨>⎩，其中a ，b 在数轴上的 对应点如图所示，则这个不等式组的解集为 .13. 如图所示的转盘，被分成面积相等的四个扇形，分别涂有红、黄、 蓝、绿四种颜色.固定指针，自由转动转盘两次，每次停止后，记下指 针所指区域(指针指向区域分界线时，忽略不计)的颜色则两次颜色相同 的概率是 .14. 如图，在边长为ABCD 中，点E ，F 分别是边AB ，BC 的中点，连接EC ，FD ，点G ，H 分别是EC ，FD 的中点，连接GH ，则 GH 的长度为 .15. 如图，在扇形BOC 中，∠BOC =60°，OD 平分∠BOC 交BC 于点D ， 点E 为半径OB 上一动点.若OB =2，则阴影部分周长的最小值为 .三、解答题(本大题共8个小题满分75分) 16. (8分)先化简，再求值：(1-11a +)÷21aa -，其中a17.(9分)为发展乡村经济，某村根据本地特色，创办了山药粉加工厂.该厂需购置一台分装机，计划从商家推荐试用的甲、乙两台不同品牌的分装机中选择.试用时，设定分装的标准质量为每袋500g ，与之相差大于10g 为不合格.为检验分装效果，工厂对这两台机器分装的成品进行了抽样和分析，过程如下：【收集数据】从甲、乙两台机器分装的成品中各随机抽取20袋测得实际质量(单位:g ) 如下甲: 501 497 498 502 513 489 506 490 505 486 502 503 498 497 491 500 505 502 504 505 乙: 505 499 502 491 487 506 493 505 499 498 502 503 501 490 501 502 511 499 499 501 【整理数据】整理以上数据得到每袋质量x (g )的频数分布表.【分析数据】根据以上数据，得到以下统计量.137531147422乙甲510≤ x <515495≤ x <500505≤ x <510500≤ x <505490≤ x <495485≤ x <490量质数频机器图1图2根据以上信息回答下列问题:(1)表格中的a = ，b = ；(2)综合上表中的统计量，判断工厂应选购哪一台分装机，并说明理由.18. (9分)位于河南省登封市境内的元代观星台，是中国现存最早的天文台，也是世界文化遗产之一.某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度.如图所示，他们 在地面一条水平步道MP 上架设测角仪，先在点M 处测得观星台最高点A 的仰角为22°， 然后沿MP 方向前进16m 到达点N 处，测得点A 的仰角为45°.测角仪的高度为1.6m . (1)求观星台最高点A 距离地面的高度(结果精确到0.1m . 参考数据：sin 22°≈0.37，cos 22°≈0.93，tan 22°≈0.40； (2)“景点简介”显示，观星台的高度为12.6m .请计算本次测量结果的误差，并提出一条减小误差的合理化建议.19.(9分)暑期将至，某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动，活动方案如下：方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按六折优惠；方案二：不购买学生暑期专享卡，每次健身费用按八折优惠. 设某学生暑期健身x (次)，按照方案一所需费用为y 1(元)，且y 1=k 1x +b ； 按照方案二所需费用为y 2(元)，且y 2=k 2x 其函数图象如图所示. (1)求k 1和b 的值，并说明它们的实际意义; (2)求打折前的每次健身费用和k 2的值;3)八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身8次，应选择 哪种方案所需费用更少？说明理由20.(9分)我们学习过利用尺规作图平分一个任意角，而“利用尺规作图三等分一个任意角”曾是数学史上一大难题，之后被数学家证明是不可能完成的.人们根据实际需要，发明了一种简易操作工具—三分角器.图1是它的示意图，其中AB 与半圆O 的直径BC 在同一直线上，且AB 的长度与半圆的半径相等；DB 与AC 垂直于点B ，DB 足够长.使用方法如图2所示，若要把∠MEN 三等分，只需适当放置三分角器，使DB 经过∠MEN 的顶点E ，点A 落在边EM 上，半圆O 与另一边EN 恰好相切，切点为F ，则EB ，EO 就把∠MEN 三等分了. 为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明如下给出了不完整的“已知”和 “求证”，请补充完整，并写出“证明”过程.已知:如图2，点A ，B ，O ，C 在同一直线上， EB ⊥AC ，垂足为点B ， . 求证： .图1图2B'CBA DEE DAB CB '21. (10分)如图，抛物线y =-x 2+2x +c 与x 轴正半轴，y 轴正半轴分别交于点A ，B ，且OA =OB ，点G 为抛物线的顶点.(1)求抛物线的解析式及点G 的坐标；(2)点M ，N 为抛物线上两点(点M 在点N 的左侧)，且到对称轴的 距离分别为3个单位长度和5个单位长度，点Q 为抛物线上点M ， N 之间(含点M ，N )的一个动点，求点Q 的纵坐标y Q 的取值范围.22. (10分)小亮在学习中遇到这样一个问题：小亮分析发现，此问题很难通过常规的推理计算彻底解决，于是尝试结合学习函数的经验研究此问题.请将下面的探究过程补充完整：(1)根据点D 在BC 上的不同位置，画出相应的图形，测量线段BD ，CD ，FD 的长度得到下操作中发现①“当点D 为BC 的中点时，BD =5.0cm ，则上表中a 的值是 ；②“线段CF 的长度无需测量即可得到.请简要说明理由.(2)将线段BD 的长度作为自变量x ，CD 和FD 的长度都是x 的函数，分别记为y CD 和y FD ，并在平面直角坐标系xOy 中画出了函数y FD的图象，如图所示.请在同坐标系中画出函数y CD 的图象；(3)继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，并结合图象直接写出：当△DCF 为等腰三角形时，线段BD 长度的近似值(结果保留一位小数).23.(11分)将正方形ABCD 的边AB 绕点A 逆时针旋转至AB ，，记旋转角为α，连接BB ，，过点D 作DE 垂直于直线BB ，，垂足为点E ，连接DB ，，CE .(1)如图1，当α=60°时，△DEB ，的形状为 ，连接BD ， 可求出'BBCE的值为 ； (2)当0°<α<360°且α≠90°时，①(1)中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图2 的情形进行证明；如果不成立，请说明理由；②当以点B ，，E ，C ，D 为顶点的四边形是平行四边形时， 请直接写出''BBB E的值.F2020年河南中考数学试题答案一、选择题1. A2. D3. C4. B5. A6. C7. A8. C9. B 10. D 二、填空题11.答案不唯一) 12. x >a 13.14 14. 1 15.3π 三、解答题16. 解：原式=a -1，当a时，原式17. 解：⑴ 501，15%；⑵工厂应选购乙分装机.理由：比较甲、乙两台机器的统计量可知，甲与乙的平均数相同，中位数相差不大，乙的方差较小，且不合格率更低.以上分析说明，乙机器的分装合格率更高，且稳定性更好.所以，乙机器的分装效果更好，工厂应选购乙机器. 18. 解⑴如图，过点A 作AF ⊥MP .垂足为点F ，交BC 的延长线于点E . 由题意知，四边形MBCN 和四边形NCEF 均为矩形. 设AE =xcm ，在Rt △ACE 中，∠AEC =90°，∠ACE =45°， ∴CE =AE =x .在Rt △ABE 中，∠AEB =90°，∠ABE =22°， ∵tan 22°=AE BE ，∴BE =5tan 220.402AE x x ==︒， ∵BE -CE =BC ，∴52x -x =16，解得x =323≈10.67. ∵EF =BM =1.6，∴AF =AE +EF =10.67+1.6≈12.3. 即观星台最高点A 距离地面的高度约为12.3m . ⑵误差为12.6-12.3=0.3(m )，可多次测量，取测量数据的平均值(答案不唯一，合理即可) 19. 解：⑴∵y 1=k 1x +b 的图象过点(0，30)和(10，180)， ∴13018010b k b =⎧⎨=+⎩，∴11530k b =⎧⎨=⎩，k 1的实际意义是：打六折后的每次健身费用为15元； b 的实际意义是：每张学生暑期专享卡的价格为30元. ⑵打折前的每次健身费用为15÷0.6=25元. k 2=25×0.8=20.⑶∵k 1=15，b =30，∴y 1=15x +30.∵k 2=20，y 2=20x . 当y 1=y 2时，15x +30=20x ，解得x =6.所以，结合函数图象可知，小华暑假前往该俱乐部健身8次，选择方案一所需费用更少. 20. 解：已知：如图2，点A 、B 、O 、C 在同一直线上，EB ⊥AC ，垂足为点B ，AB =OB ，EN 切半圆O 于点F . 求证：∠1=∠2=∠3. 证明：连接OF .∵EB ⊥AC ，∴∠ABE =∠OBE =90°，又∵AB =OB ，EB =EB ，∴△ABE ≌△OBE .∴∠1=∠2. ∵EN 切圆O 于点F ，∴OF ⊥EF .又∵OB ⊥EB 且OF =OB ，∴EO 平分∠BEF ， ∴∠3=∠2，∴∠1=∠2=∠3.21. 解：⑴∵抛物线y =-x 2+2x +c 与y 轴正半轴交于点B ，∴点B 的坐标为(0，c )，c >0， ∵OA =OB ，且点A 在x 轴正半轴上，∴点A 的坐标为(c ，0)， ∵抛物线y =-x 2+2x +c 经过点A ， ∴-c 2+2c +c =0，解得c 1=0(舍去)，c 2=3. ∴抛物线的解析式为y =-x 2+2x +3. ∵y =-x 2+2x +3=-(x -1)2+4，∴抛物线顶点G 的坐标为(1，4). ⑵∵抛物线y =-x 2+2x +3的对称轴为直线x =1. ∵点M 、N 到对称轴的距离分别为3和5，∴点M 的横坐标为-2或4，点N 的横坐标为-4或6. ∴点M 的纵坐标为-5，点N 的纵坐标为-21， 又∵点M 在点N 的左侧，∴当点M 的坐标为(-2，-5)时，点N 的坐标为(6，-21)，所以-21≤y Q ≤4； 当点M 的坐标为(4，-5)时，点N 的坐标为(6，-21)，所以-21≤y Q ≤-5.22. 解：⑴①5.0；②由题意可得，△ACF ≌△ABD .∴CF =BD .⑵y CD 的图象如图所示. ⑶yCF 的图象如图所示.△DCF 为等腰三角形时，线段BD 的长度 约为3.5cm 或5.0cm 或6.3cm .(答案不唯一)23.2 ⑵①两个结论成立. 证明：连接BD .∵AB =AB ，，∠BAB ，=α，∴∠AB ，B =90°-2α， ∴∠B ，AD =α-90°，AD =AB ，，∴∠AB ，D =135°-2α， ∴∠EB ，D =∠AB ，D -∠AB ，B =45°，∵DE ⊥B ，B ，∴∠EDB ，=∠EB ，D =45°， ∴△DEB ，是等腰直角三角形.∴'DB DE2∵四边形ABCD 是正方形，∴BDCD2BDC =45°，∴'DB DE =BD CD ，∵∠EDB ，=∠BDC ，∴∠EDB ，+∠EDB =∠BDC +∠EDB ，即∠B ，DB =∠EDC . ∴△B ，DB ∽△EDC .∴'DB DE =BDCD2②3或1.。
2020年河南中考数学试卷题型分布及结构
河南中考数学试卷分析一、试卷结构河南中考数学试卷共设置23道题,满分120分,要求考生在100分钟内完成作答.第一大题为选择题,设置10道小题;第二大题为填空题,设置5道小题;第三大题为解答题,设置8道大题. 二、题型分布及考查内容选择题题型分布题型举例及知识点复习巩固1. 20201-的绝对值是 【 】 （A ）20201（B ）2020 （C ）20201- （D ）2020-2. 2019新型冠状病毒是目前已知的第7种可以感染人的冠状病毒,病毒颗粒的直径约为100纳米.已知1纳米910-=米,则100纳米用科学记数法表示为 【 】 （A ）2101⨯米 （B ）3101.0⨯米 （C ）7101-⨯米 （D ）8101.0-⨯ 或2. 2019年河南省清明节旅游市场共接待游客1 437万人次,旅游收入89. 14亿元,则数据89. 14亿用科学记数法表示为 【 】（A ）61014.89⨯ （B ）71014.89⨯ （C ）810914.8⨯ （D ）910914.8⨯ 知识点复习（1）大数据用科学记数法表示为n a 10⨯的形式,其中1≤10<a ,=n 整数位1-;小数据表示为n a -⨯10的形式,其中1≤10<a ,n 等于原数据左边第一个非零数字前面所有0的个数. （2）在用科学记数法表示大数据时,牢记下面的结论: 1万410= 1千万710= 1亿810= 1万亿1210= 如:1314亿11113810314.11010314.1101314⨯=⨯⨯=⨯=3. 如图所示,由4个正方体组成的几何体的俯视图是 【 】（A ）（B ）（C ）（D ）或3. 某正方体的每个面上都有一个汉字,如图所示是它的展开图,那么在原正方体中,与“富”字所在面相对的面上的汉字是 【 】 （A ）学 （B ）习 （C ）强 （D ）盛或3. 如图所示的几何体的左视图是 【 】（A ） （B ） （C ） （D ）正面第 5 题图盛富国强习学4. 如图所示,一副三角尺摆放置在矩形纸片的内部,三角形的三个顶点恰好在矩形的边上,若︒=∠16FGC ,则AEF ∠等于 【 】 （A ）︒106 （B ）︒114 （C ）︒126 （D ）︒1345. 下列计算正确的是 【 】 （A ）532a a a =+ （B ）()222y x y x +=+（C ）()()12525=+- （D ）326a a a =÷或5. 下列运算正确的是 【 】 （A ）ab b a 523=+ （B ）34327=+ （C ）a bb a =⋅÷1 （D ）()4622363b a b a -=- 知识点复习牢记下面的公式和结论:（1）n m n m a a a +=⋅; （2）()mn nm a a =; （3）()m m mb a ab =;（4）nm n m aa a -=÷; （5）k k ka b a b =⎪⎭⎫⎝⎛; （6）n n a a 1=-（0≠a ）;（7）()2222b ab a b a ++=+; （8）()2222b ab a b a +-=-; （9）()()22b a b a b a -=-+; （10）()ab b a b a 2222-+=+;（11）()ab b a b a 2222+-=+; （12）211222-⎪⎭⎫⎝⎛+=+x x x x ;（13）211222+⎪⎭⎫⎝⎛-=+x x x x .第 4 题图GFED CBA6. 某中学随机调查了10名学生,了解他们一周在校参加体育锻炼的时间,列表如下:则这10名同学一周在校参加体育锻炼的时间的中位数、众数和平均数分别为 【 】 （A ）6 , 7 , 6. 3 （B ）7 , 7 , 6. 2 （C ）7 , 6 , 6. 2 （D ）6 , 6 , 6. 37. 关于x 的方程022=-+a x x 没有实数根,则a 的值可能是 【 】 （A ）2- （B ）1- （C ）0 （D ）2 或7. 关于x 的一元二次方程042=++k x x 有两个相等的实数根,则k 的值为 【 】 （A ）4=k （B ）4-=k （C ）k ≥4- （D ）k ≥4 或7. 若关于x 的一元二次方程0232=+-x mx 有两个不相等的实数根,则实数m 的取值范围是 【 】 （A ）89>m （B ）89<m （C ）98<m 且0≠m （D ）89<m 且0≠m 知识点复习对于一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）,当ac b 42-=∆≥0时,方程有两个实数根;当042<-=∆ac b 时,方程无实数根.具体判断结果为:（1）当042>-=∆ac b 时,一元二次方程有两个不相等的实数根; （2）当042=-=∆ac b 时,一元二次方程有两个相等的实数根; （3）当042<-=∆ac b 时,一元二次方程没有实数根. 反之亦成立.8. 《九章算术》中记载:“今有善田一亩,价三百;恶田七亩,价五百.今并买一顷,价钱一万.问善、恶田各几何?”其大意是:今有好田1亩,价值300钱;坏田7亩,价值500钱.今共买好、坏田1顷（1顷=100亩）,价值10000钱,问好、坏田各买了多少亩?设好田买了x 亩,坏田买了y 亩,根据题意可列方程组为 【 】（A ）⎪⎩⎪⎨⎧=+=+100007500100300y x y x （B ）⎪⎩⎪⎨⎧=+=+100007500300100y x y x（C ）⎪⎩⎪⎨⎧=+=+100003007500100y x y x （D ）⎪⎩⎪⎨⎧=+=+100007300500100y x y x 或8. 如图所示,在Rt △ABC 中,︒=∠90ABC ,以点A 为圆心,以适当长度为半径作弧,分别交AB 、AC 于M 、N 两点,再以M 、N 为圆心,以大于MN 21的长为半径作弧,两弧交于点P ,作射线AP 交BC 于点D ,若5,3==AC AB ,则CD 的长度为 【 】 （A ）25 （B ）37 （C ）253 （D ）365变式训练:上题中,BD 的长为_________. 或8. 已知抛物线()22--=x y 上两点()m A ,3,()n a B ,,其中3>a ,则m 与n 的大小关系是【 】（A ）n m > （B ）n m < （C ）m ≥n （D ）不能确定 知识点梳理及总结:（1）考查尺规作图原理的题目,经常考查的是作已知角的角平分线和作已知线段的垂直平分线,相应的还涉及到角平分线的性质定理和垂直平分线的性质定理以及勾股定理等. 角平分线的性质定理 角平分线上的点到角两边的距离相等.垂直平分线的性质定理 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等.（2）二次函数的性质与抛物线的开口方向和对称轴的位置有关.如上面抛物线的开口向下,对称轴为直线2=x ,在对称轴的右侧,即2>x 时,函数的图象是下降的,表明y 随x 的增大而减小.抛物线的对称性,分为两种情况:①如果两条抛物线关于x 轴对称,则它们的开口方向相反（即a 的值互为相反数）,顶点关于x 轴对称;第 8 题图NMPD CBA如:若抛物线322+-=x x y 与抛物线=y c bx ax ++2关于x 轴对称,则1-=a ∵抛物线()213222+-=+-=x x x y 的顶点坐标为()2,1∴抛物线=y c bx ax ++2的顶点坐标是()2,1-∴()()32212222-+-=---=+-=++=x x x k h x a c bx ax y .②如果两条抛物线关于y 轴对称,则它们的开口方向相同（即a 的值相等）,顶点关于y 轴对称;如:若抛物线322+-=x x y 与抛物线=y c bx ax ++2关于y 轴对称,则1=a . ∵抛物线()213222+-=+-=x x x y 的顶点坐标为()2,1∴抛物线=y c bx ax ++2的顶点坐标是()2,1-∴()()32212222++=++=+-=++=x x x k h x a c bx ax y .9. 平面直角坐标系中,菱形ABCD 如图所示,3=OA ,点D 在线段AB 的垂直平分线上,若菱形ABCD 绕点O 逆时针旋转,旋转速度为每秒︒45,则第70秒时点D 的对应坐标为 【 】 （A ）()3,32 （B ）()3,32-- （C ）()32,3- （D ）()32,3-10. 如图,在正方形ABCD 中,边长CD 为3 cm,动点P 从点A 出发,以2cm/s 的速度沿AC 方向运动到点C 停止.动点Q 同时从点A 出发,以1 cm/s 的速度沿折线AB →BC 方向运动到点C 停止.设△APQ 的面积为y （cm 2）,运动时间为x （s ）,则下列图象能反映y 与x 之间关系的是 【 】第 9 题图第 10 题图或10. 如图1,在菱形ABCD 中,︒=∠120A ,点E 是BC 边的中点,点P 是对角线BD 上一动点,设PD 的长度为x ,PE 与PC 的长度和为y ,图2是y 关于x 的函数图象,其中H 是图象上的最低点,则b a +的值为 【 】（A ）37 （B ）432+ （C ）3314 （D ）3322填空题题型分布题型举例及知识点复习巩固 11. 计算:=+-1394_________. 或11. 计算:()=--⎪⎭⎫ ⎝⎛--01314.33164π_________.（A ）（B ）（C ）（D ）图 1PEDCBA图 212. 不等式组⎪⎩⎪⎨⎧->+≥-2512332x x x 的解集是__________.或12. 已知点()a a P 22,3--在第三象限,则整数a 的值为__________.13. 2019世界月季洲际大会4月28日在中国南阳举办!甲、乙、丙、丁四名同学将参加志愿者活动,若四名同学被随机分成两组,每组两人,则甲、乙恰好在同一组的概率是_________. 14.（2020原阳九年级一摸第14题）如图所示,在等腰直角三角形ABC 中,1=AB .若将△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转︒30,得到△AED ,点C 运动的路径为弧CD ,则图中阴影部分的面积为__________.或14. 如图所示,在矩形ABCD 中,DA AB 2=,以点A 为圆心,AB 的长为半径的圆弧交DC 于点E ,交AD 的延长线于点F ,设2=DA ,则图中阴影部分的面积为__________.15. 结合本届学生的实际情况,本题不作要求,建议学有余力的学生强化相应的练习.第 14 题图第 14 题图解答题题型分布题型举例16. 先化简,再求值:21212--÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x x x ,其中x 是方程022=-x x 的根.17. 钟南山院士谈到防护新型冠状病毒肺炎时说:“我们需要重视防护,但也不必恐慌,尽量少去人员密集的场所,出门戴口罩,在室内注意通风,勤洗手,多运动,少熬夜.”为加强广大群众对预防新型冠状病毒感染的正确认识和防范意识,新乡市平原新区某社区组织全体工作人员开展周密的宣传工作.区卫健委为了了解新冠状病毒预防知识的普及情况,随机入户调查了部分居民,调查结果分为“非常了解”、“了解”、“了解较少”和“不了解”四类,并将调查结果绘制成下面两幅不完整的统计图:根据上面提供的信息,解答下列问题: （1）本次调查的居民共有_________人; （2）补全条形统计图;（3）估计该社区12 000名居民中“非常了解”与“了解”人数和是多少?18. 如图所示,AB 是⊙O 的直径,经过圆上点D 的直线CD 恰使B ADC ∠=∠. （1）求证:直线CD 是⊙O 的切线;（2）过点A 作直线AB 的垂线交BD 的延长线于点E ,且︒=∠=30,32B AB ,求线段DE 的长.较少了解10%了解较少 36%不了解了解24%非常了解B19. 数学兴趣小组想测量河对岸两棵大树C 、D 之间的距离.如图所示,在河岸A 点测得大树C 位于正北方向上,,大树D 位于北偏东︒42方向上.再沿河岸向东前进100米到达B 处,测得大树D 位于北偏东︒30方向上.求两棵大树C 、D 之间的距离.（90.042tan ,74.042cos ,67.042sin ,60.031tan ,86.031cos ,52.031sin ≈︒≈︒≈︒≈︒≈︒≈︒）或19. 河南省开封市铁塔始建于公元1049年（北宋皇祐元年）,是国家重点保护文物之一,在900多年中,历经了数次地震、大风、水患而巍然屹立,素有“天下第一塔”之称.如图,小明在铁塔一侧的水平面上一个台阶的底部A 处测得塔顶P 的仰角为︒45,走到台阶顶部B 处,又测得塔顶P 的仰角为︒7.38.已知台阶的总高度BC 为3米,总长度AC 为10米,试求铁塔的高度.（结果精确到1米,参考数据:80.07.38tan ,78.07.38cos ,63.07.38sin ≈︒≈︒≈︒）38.7°45°PDAC20. 如图,一次函数n mx y +=与反比例函数xky =的图象相交于点()3,1A ,()a B ,3-. （1）求反比例函数及一次函数的解析式;（2）在x 轴上找一点P ,连结PA 、PB ,当PB PA -的值最大时,求满足条件的点P 的坐标.问题解析 关于两条线段之差的绝对值最大的问题如图（33）所示,点A 、B 在直线l 的同侧,点P 为直线l 上一动点. 当点P 为直线AB 与直线l 的交点时,PB PA -取得最大值,为:AB PB PA =-m ax事实上,当A 、B 、P 三点不共线时（三点不在同一直线上）,根据三角形三边之间的关系定理“两边之差小于第三边”可知:AB PB PA <-; 当A 、B 、P 三点共线时,有: AB PB PA =-.综上所述,得到PB PA -≤AB ,所以PB PA -的最大值为AB ,即:AB PB PA =-m axl 图（33）BAP或20. 某班数学兴趣小组对函数31-=x y 的图象和性质进行了探究,探究过程如下,请补充完整.（1）自变量x 的取值范围是3≠x ,x 与y 的几组对应值列表如下:其中,=m _________.（2）根据上表数据,在如图所示的平面直角坐标系中描点,并画出了函数图象的一部分,请画出该函数图象的另一部分.（3）观察函数图象,写出两条此函数的性质.（4）进一步探究函数图象发现:①函数图象与x 轴有_________个交点,所以对应方程031=-x _________实数根; ②方程231=-x 的根为____________; ③若关于x 的方程a x =-31有实数根,则a 的取值范围是____________.问题解析 数形结合思想用于解方程（组）和不等式（组）解方程（组）时,从方程（组）中抽象出两个函数,把方程（组）的根的问题转化为两个函数图象的交点问题.解不等式（组）时,从不等式（组）中抽象出两个函数,把不等式（组）的解集转化为两个函数图象之间的位置关系问题.21. 2020年4月13日,河南省多地市初三同学返校复学,某校为初三年级师生购买A 、B 两种免洗凝胶.已知购买2瓶A 和3瓶B 共需80元;购买4瓶A 和5瓶B 共需140元. （1）求A 、B 两种免洗凝胶的单价;（2）学校准备购买A 、B 两种免洗凝胶共100瓶,且购买A 的数量不少于B 数量的21,请设计出最省钱的购买方案,并说明理由. 或21. 母亲节前夕,某花店准备采购一批康乃馨和萱草花,已知购买2束康乃馨和1束萱草花共需46元;购买3束康乃馨和4束萱草花共需94元. （1）求康乃馨和萱草花的单价分别为多少元?（2）经协商,购买康乃馨超过30束时,每增加1束,单价降低0. 2元;当超过50束时,均按购买50束时的单价购进,萱草花一律按原价购买.①购买康乃馨50束时,康乃馨的单价为_________元;购买康乃馨()5030<<m m 束时,康乃馨的单价为____________元（用含m 的代数式表示）;②该花店计划购进康乃馨和萱草花共100束,其中康乃馨超过30束,且不超过60束.当购买康乃馨多少束时,购买两种花的总费用最少?最少为多少元?问题解析 方案设计题最佳方案的确定首先,根据题意建立实际问题的目标函数,然后利用函数的性质,结合自变量的取值范围确定最佳方案,包括取得最佳方案的条件和结果.由实际问题建立的目标函数常常是一次函数或二次函数,其中一次函数的性质与自变量的系数符号有关,二次函数的性质与抛物线的开口方向和对称轴的位置有关. 一次函数的性质 对于一次函数b kx y +=:（1）当0>k 时,函数的图象从左到右是上升的,表明y 随x 的增大而增大; （2）当0<k 时,函数的图象从左到右是下降的,表明y 随x 的增大而减小. 二次函数的性质 对于二次函数()k h x a c bx ax y +-=++=22:（1）若0>a ,则当x ≤a b 2-时,函数的图象是下降的,表明y 随x 的增大而减小;当x ≥ab 2-时,函数的图象是上升的,表明y 随x 的增大而增大;当abx 2-=时,函数取得最小值,最小值为k y =min .（2）若0<a ,则当x ≤a b 2-时,函数的图象是上升的,表明y 随x 的增大而增大;当x ≥ab 2-时,函数的图象是下降的,表明y 随x 的增大而减小;当abx 2-=时,函数取得最大值,最大值为k y =max .需要说明的是,二次函数的最值未必在顶点处取得,应特别注意实际问题中自变量的取值范围.22. 如图（1）,已知△ABC 和△BDE 都是等腰直角三角形,点A 、D 分别为其直角顶点,点E 在△ABC 的边AB 上,连结AD 、CE . （1）填空:=ADCE_________; （2）把△BDE 绕点B 按逆时针方向旋转到如图（2）的位置,猜想ADCE的值有无变化,若没有变化,请仅就图（2）的情形给出证明,若有变化,请说明理由;（3）把△BDE 绕点B 在平面内自由旋转,若3,5==BD BC ,当点C 、D 、E 在同一条直线上上,请直接写出线段AD 的长.图（1）EDCBA图（2）ABCDE或22. 在矩形ABCD 中,点P 是对角线BD 上的动点,连结AP ,过点P 作AP PE ⊥,交直线BC 于点E .（1）如图（1）,当︒=∠45DBC ,点E 在线段BC 上时,PA 、PE 的数量关系是____________; （2）如图（2）,当︒=∠30DBC ,点E 在线段BC 上时,请判断PA 、PE 的数量关系,并加以证明; （3）如图（3）,若4,3==AD AB ,以AP 、PE 为边作矩形APEF ,连结BF ,当△APD 是等腰三角形时,请直接写出BF 的长.或图（1）E BCADP图（2）E DABC P图（3）FE DAB CP22. （1）发现如图1,△ABC 和△ADE 均为等边三角形,点D 在BC 边上,连结CE . 填空:①DCE ∠的度数是_________;②线段CA 、CE 、CD 之间的数量关系是________________. （2）探究如图2,△ABC 和△ADE 均为等腰直角三角形,︒=∠=∠90DAE BAC ,点D 在BC 边上,连结CE .请判断DCE ∠的度数及线段CA 、CE 、CD 之间的数量关系,并说明理由. （3）应用如图3,在Rt △ABC 中,6,4,90==︒=∠AB AC A .若点D 满足DC DB =,且︒=∠90BDC ,请直接写出DA 的长.问题解析 类比、拓展探究题图 1EABCD图 2ECABD图 3CBA此类题型常见的问题有三种: （1）由图形变化引起的探究; （2）由动点运动引起的探究; （3）由图形旋转引起的探究.类比、拓展探究题的特点是“图形变化但结构不变”,初中数学常见的结构有平行结构、直角结构、旋转结构、中点结构.经常以几何图形三大变换、相似、中点、面积、特殊三角形等为载体呈现.通过类比字母、类比辅助线、类比结构、类比思路来解决此类问题.23. 如图所示,抛物线c bx x y ++=2与x 轴交于点()0,3B ,()0,1-C ,与y 轴交于点A ,直线n mx y +=经过点A 、B ,点P 是抛物线上一动点,过点P 作x PF ⊥轴于点F ,交直线AB 于点E ,连结AP .（1）求抛物线和直线AB 的解析式;（2）当点P 在直线AB 的下方,且满足△APE 与△EBF 相似时,求点P 的坐标;（3）作点P 关于直线AB 的对称点'P ,连结B P A P PB ''、、,是否存在点P ,使得以A 、B 、P 、'P 为顶点的四边形是菱形?若存在,请直接写出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.问题解析 二次函数与几何图形的综合题型备用图题型特点二次函数与几何图形的综合题,是近年来中考的热点题型,具有较好的区分度和选拔功能,此类试题不仅可以考查二次函数和平面几何的基础知识,还可以考查数形结合、分类讨论等数学思想方法,以及阅读理解能力、收集和处理信息的能力、运用数学知识对问题的探究能力等.解决这类问题的关键是要善于利用几何图形和二次函数的有关性质和知识,并充分挖掘题目中的隐含条件,以达到解决问题的目的.常见问题及解题策略线段问题求线段长度时,要将线段问题转化为点的坐标问题,根据坐标的特点,求出线段的长,或根据题目中线段之间的数量关系,列出满足条件的方程求解.求线段的最值时,根据线段长度的表达式,结合二次函数求最值的方法,利用配方法将二次函数一般式化为顶点式求最值.面积问题若图形是规则图形,直接求解即可,若是不规则图形,则可以通过割补法求面积,或过特殊点作x轴的垂线,将所求面积进行分割,再将面积问题转化为线段问题,构建函数模型求面积.求面积的最值时,则根据面积的表达式以及函数性质和自变量的取值范围求解.此外,还有特殊图形的存在性问题、相似三角形的存在性问题等.。