西安石油大学现代数值计算方法第1章
西安石油大学计算方法课件1-5章
取x 0 3 取x 0 3 收敛性不同。
x n 1 l g(x n 2) 计算结果见表 2.4
25
2.收敛定理（定理2.2） 设 ( x )在[a, b]
y " 2
y(0) y (0) 1
'
希 望： 求近似解，但方法简单可行，行之有效 （计算量小，误差小等）。以计算机为工 具，易在计算机上实现。 计算机运算: 只能进行加，减，乘，除等算术运 算和一些逻辑运算。 计算方法： 把求解数学问题转化为按一定次序只 进行加，减，乘，除等基本运算—— 6 数值方法。
un a n
uk xuk 1 a k pn ( x ) u0
则乘法次数仅为n.
1000
( k n-1,n-2 , ,1,0)
又如
17
1000 1 1 1 1 ( ) 1 n ( n 1 ) n1 1001 n 1 n 1 n
2.防止大数“吃掉”小数 当|a|>>|b|时，尽量避免a+b 。例如，假设计算机 只能存放10位尾数的十进制数，则
近似值b*=60cm。若已知|e(a*)|≤0.2cm, |e(b*)|≤0.1cm。 试求近似面积s*=a*b* 的绝对误差限与相对误差限。 解: 面积s=ab,在公式（1.5）中,将 y f ( x1 , x 2 ) 换为 s=ab, 则
e( s*) s(a*, b*) s(a*, b*) e(a*) e(b*) a b b * e(a*) a * e(b*) | e( s*) || b* || e(a*) | | a* || e(b*) | 60 0.2 120 0.1 24cm 2
x
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数值计算方法习题答案
《数值计算方法》课后题答案详解吉 林 大 学第一章 习 题 答 案1. 已知(1)2,(1)1,(2)1f f f −===，求()f x 的Lagrange 插值多项式。
解：由题意知：()01201212001020211012012202121,1,2;2,1,1()()(1)(2)()()6()()(1)(2)()()2()()(1)(1)()()3(1)(2)(1)(2)()2162nj j j x x x y y y x x x x x x l x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x l x x x x x x x x L x y l x ==−=====−−−−==−−−−+−==−−−−−+−==−−−−+−==×+×−∴∑()2(1)(1)131386x x x x +−+×=−+2. 取节点01210,1,,2x x x ===对x y e −=建立Lagrange 型二次插值函数，并估计差。
解11201201210,1,;1,,2x x x y y e y e −−======1)由题意知：则根据二次Lagrange插值公式得：02011201201021012202110.510.520.51()()()()()()()()()()()()()2(1)(0.5)2(0.5)4(1)(224)(43)1x x x x x x x x x x x x L x y y y x x x x x x x x x x x x x x x x e x x e e e x e e x −−−−−−−−−−−−=++−−−−−−=−−+−−−=+−+−−+22)Lagrange 根据余项定理，其误差为(3)2210122()1|()||()||(1)(0.5)|3!61max |(1)(0.5)|,(0,1)6()(1)(0.5),()330.5030.2113()61()0.2113(0.21131)(0.21130.5)0.008026x f R x x e x x x x x x t x x x x t x x x x t x R x ξξωξ−+≤≤==−−≤−−∈′=−−=−+=−==≤××−×−=∴取 并令 可知当时，有极大值3. 已知函数y =在4, 6.25,9x x x ===处的函数值，试通过一个二次插值函数求的近似值，并估计其误差。
波形通道印刷电路板式换热器流动传热特性研究
第53卷第2期 辽 宁 化 工 Vol.53，No. 2 2024年2月 Liaoning Chemical Industry February，2024波形通道印刷电路板式换热器流动传热特性研究安 雯（西安石油大学， 陕西 西安 710065）摘 要：使用数值模拟方法研究了超临界LNG在波形通道印刷电路板式换热器中的流动传热特性，针对不同质量流量和不同进口温度进行了模拟。
结果显示，在质量流量在0.72 kg/h至1.44 kg/h范围内增加时，流体的质量流量增加对流动传热性能有积极的影响。
此外，在进口温度在120~140 K范围内增加时，进口温度对印刷电路板式LNG气化器的热力性能有积极的影响，对水力性能的影响较小。
因此，适当提高流体的质量流量和进口温度有助于提高波形通道印刷电路板式换热器的热工水力性能。
关 键 词：印刷电路板式换热器； 超临界LNG； 数值模拟中图分类号：TQ052.6 文献标识码： A 文章编号： 1004-0935（2024）02-0214-05选用高效清洁的能源及高性能的换热设备是提高热能利用率、减少损耗的有效途径之一[1]。
为应对传统燃料如煤和石油储量的日益减少以及污染较大的问题，作为低碳清洁的化石能源，天然气在能源体系从化石能源向可再生能源过渡中扮演着重要的角色，成为可再生能源的理想伴侣[2]。
近年来，天然气（Natural Gas，NG）开始被广泛应用于各个领域。
天然气因其环保、清洁的性质以及高效、经济的优势，被普遍认为是目前传统燃料如煤和石油的最佳替代品，需求量迅速增加。
液化天然气（Liquefied Natural Gas，LNG）是目前实现天然气大批量储运的最普遍方式[3-4]。
LNG在使用前必须气化，因此提高换热器的效率对于LNG的实际应用具有重要意义。
印刷电路板式换热器（PCHE）是一种微通道换热器，其流体通道由金属板片通过光化学蚀刻技术加工而成。
相比传统换热器，PCHE具有多个优点，如高换热效率、耐低温高温（-196~900 ℃）和耐高压（60 MPa）等[5-6]。
计算方法——第一章——课后习题答案_刘师少
1.1 设3.14, 3.1415, 3.1416分别作为π的近似值时所具有的有效数字位数解 近似值x =3.14＝0.314×101,即m =1，它的绝对误差是 －0.001 592 6…，有31105.06592001.0-*⨯≤=- x x . 即n =3，故x =3.14有3位有效数字. x =3.14准确到小数点后第2位. 又近似值x =3.1416，它的绝对误差是0.0000074…，有 5-1*10⨯50≤00000740=-.. x x即m =1,n ＝5，x =3.1416有5位有效数字. 而近似值x =3.1415，它的绝对误差是0.0000926…，有 4-1*10⨯50≤00009260=-.. x x即m =1,n ＝4，x =3.1415有4位有效数字.这就是说某数有s 位数，若末位数字是四舍五入得到的，那么该数有s 位有效数字1.2 指出下列各数具有几位有效数字，及其绝对误差限和相对误差限：2.0004 －0.00200 9000 9000.00解 （1）∵ 2.0004＝0.20004×101, m=1 绝对误差限：4105.0000049.020004.0-*⨯≤≤-=-x x xm -n =-4,m =1则n =5,故x =2.0004有5位有效数字1x =2，相对误差限000025.010221102151)1(1=⨯⨯=⨯⨯=---n r x ε （2）∵ －0.00200= -0.2×10-2, m =-2 5105.00000049.0)00200.0(-*⨯≤≤--=-x x xm -n =-5, m =-2则n =3,故x =-0.00200有3位有效数字1x =2，相对误差限3110221-⨯⨯=r ε=0.0025 (3) ∵ 9000=0.9000×104, m =4， 0105.049.09000⨯<≤-=-*x x xm -n =0, m =4则n =4,故x =9000有4位有效数字4110921-⨯⨯=r ε＝0.000056 (4) ∵9000.00=0.900000×104, m =4，2105.00049.000.9000-*⨯<≤-=-x x xm -n =-2, m =4则n =6,故x =9000.00有6位有效数字 相对误差限为6110921-⨯⨯=rε＝0.000 00056由(3)与(4)可以看到小数点之后的0，不是可有可无的，它是有实际意义的.10-的近似值是多少？1.3 ln2=0.69314718…，精确到310-＝0.001，即绝对误差限是ε＝0.0005,解精确到3故至少要保留小数点后三位才可以.ln2≈0.6931.1 设3.14, 3.1415, 3.1416分别作为π的近似值时所具有的有效数字位数解近似值x=3.14＝0.314×101,即m=1，它的绝对误差是－0.001 592 6…，有.即n=3，故x=3.14有3位有效数字.x=3.14准确到小数点后第2位.又近似值x=3.1416，它的绝对误差是0.0000074…，有即m=1,n＝5，x=3.1416有5位有效数字.而近似值x=3.1415，它的绝对误差是0.0000926…，有即m=1,n＝4，x=3.1415有4位有效数字.这就是说某数有s位数，若末位数字是四舍五入得到的，那么该数有s位有效数字1.2指出下列各数具有几位有效数字，及其绝对误差限和相对误差限：2.0004 －0.00200 9000 9000.00 解（1）∵ 2.0004＝0.20004×101, m=1绝对误差限：m-n=-4,m=1则n=5,故x=2.0004有5位有效数字=2，相对误差限（2）∵ －0.00200= -0.2×10-2, m=-2m-n=-5,m=-2则n=3,故x=-0.00200有3位有效数字=2，相对误差限 =0.0025(3)∵ 9000=0.9000×104, m=4，m-n=0,m=4则n=4,故x=9000有4位有效数字＝0.000056(4) ∵9000.00=0.900000×104, m=4，m-n=-2,m=4则n=6,故x=9000.00有6位有效数字相对误差限为＝0.000 00056由(3)与(4)可以看到小数点之后的0，不是可有可无的，它是有实际意义的.1.3 ln2=0.69314718…，精确到的近似值是多少？解精确到＝0.001，即绝对误差限是e＝0.0005,故至少要保留小数点后三位才可以.ln2»0.6932.1 用二分法求方程在[1, 2]的近似根，要求误差不超过至少要二分多少？解：给定误差限e＝0.5×10－3，使用二分法时，误差限为只要取k满足即可，亦即只要取n＝10.2.3 证明方程1 -x–sin x＝0 在区间[0, 1]内有一个根，使用二分法求误差不超过0.5×10-4的根要二分多少次？证明令f(x)＝1－x－sin x，∵f(0)=1>0，f(1)=－sin1<0∴f(x)=1－x－sin x=0在[0，1]有根.又f¢(x)=-1－c os x<0 (xÎ[0.1]),故f(x) 在[0，1]单调减少，所以f(x) 在区间[0，1]内有唯一实根.给定误差限e＝0.5×10－4，使用二分法时，误差限为只要取k满足即可，亦即只要取n＝14.。
西安石油大学数值分析ppt 第1章
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a12 A12 ... a1n A1n
利用行列式展开法 乘法数目需n!个, 加法数目n个. 问题：估计计算100阶行列式的值所需时间。
上例说明：求解线性方程组的Cramer法则仅 有理论意义，无法应用于实际计算。
例2 n次多项式 an x n
第一章 数值计算中的误差分析
1 数值计算的对象、任务、特点 2 误差与误差估计 3 选择算法应遵循的原则
1.数值计算的对象、任务、特点
1.1 科学计算是继理论推导、科学实验后 的三大科研手段之一。
1.2 数学方法解决实际问题过程 实际问题------假设简化------数学模型-----算 法设计----编程上机-----计算结果---分析应用
1.3
研究算法的意义
算法是数值分析研究的核心。
算法：在计算机上对数学问题的计算步骤（计 算方法）。
示例说明建立专门针对计算机的算法的必要性。
例1 n 阶行列式的计算
a11 D n a 21 ... a n1 a12 a 22 ... an2 ... a1n ... a 2 n ... ... a nn
乘法数目n
上例说明算法不断改进的意义； 算法速度的提高比计算机本身速度的提高更 有意义。
例3 计算正弦曲线一拱长度
2 误差与误差估计
2.1 误差的来源 模型误差 观测误差 截断误差 舍入误差
2.2误差与有效数字
绝对误差 E（x）=x-x * x* x x* 绝对误差限 * * * E ( x ) ( x x ) / x ( x x ) / x r 相对误差 * m 0.a1a2 ....an 10 有效数字 x 1 * x x 10 m n 若 ，称有n位有效数字。 2 有效数字与误差关系:
数值分析复习提纲 西安石油大学研究生
数值计算方法复习提纲第一章数值计算中的误差分析1．了解误差及其主要来源，误差估计；2．了解误差(绝对误差、相对误差)和有效数字的概念及其关系； 3．掌握算法及其稳定性，设计算法遵循的原则。
第二章线性方程组的数值解法1．了解Gauss消元法、主元消元法基本思想及算法；2．掌握矩阵的三角分解，并利用三角分解求解方程组；（Doolittle分解；Crout分解；Cholesky分解；追赶法）3．掌握迭代法的基本思想，Jacobi迭代法与Gauss-Seidel迭代法； 4．掌握向量与矩阵的范数及其性质,迭代法的收敛性及其判定。
第三章非线性方程的数值解法1．了解二分法的原理与算法；2．掌握一般迭代法的基本思想及其收敛性判定；3．掌握Newton切线法、弦截法，并用它们求方程近似根的方法。
第五章插值法1. 掌握代数插值问题及其解存在唯一性，Lagrange插值多项式构造及其余项，插值基函数性质；2. 掌握差商的概念及其性质，Newton插值多项式构造，两种插值法之间的区别与联系；3．了解差分与等距节点插值多项式公式；4. 掌握Hermite 插值问题及其构造方法。
第七章数值微积分1. 了解数值求积基本思想；2. 掌握Newton-Cotes公式（梯形公式，Simpson公式，Cotes公式）推导及误差；3. 了解Romberg 求积公式原理；4．了解数值微分的方法。
第八章常微分方程数值解1. 掌握Euler方法（Euler公式，梯形公式，Euler预估-校正公式），局部截断误差，公式的阶；2. 了解Runge-Kutta 方法的基本思想及四阶经典Runge-Kutta 公式；3. 掌握线性多步方法的原理与公式推导。
现代数值计算方法公式的总结
现代数值计算方法公式一、插值法1. 拉格朗日（Lagrange ）插值法a）两点一次：b）三点二次:2. 牛顿（Newton）插值a）n次牛顿法多项式：其中b）向前差分:-------------------------------- A下减上c）向后差分:上减下3.三次埃米尔特Hermite )插值拟合曲线（最小二乘）©©三、数值积分1. 牛顿-柯特思（Newton-Cotes ）公式梯形求积公式（2节点）复化梯形求积公式辛普生求积公式（3节点）复化辛普生求积公式2. 高斯(Gauss)公式高斯-勒让德求积公式1.先用勒让德公式求解X i2.利用“高斯积分公式具有2n+1次代数精度”将X i带入求A3.将xi、Ai带入公式求取积分、并计算误差。
普通积分化标准形式:积分区间［a,b］变换3•代数精度若求积公式对f(x)=1,x,x 2,…X m时精确成立，而对f(x)=x m+1时不成立，则称此求积公式具有m次代数精确度四、解线性代数方程组的直接方法三角形分解法求解，先将A 分解为 ，则原式变为 了求解 五、解线性代数方程的迭代法1. 范数向量范数OO 矩阵范数定义：设其中R 为实数域、C 为复数域，若某实值函数 满足条件，那么问题就变为定义: 设足条件1)非负性2) 其次行3) 三角不等式称常见范数: 其中R 为实数域、C 为复数域，若某实值函数 ，||x||=0 当且仅当x=0成立 域上的一个向量范数1） 非负性 2） 其次行3） 三角不等式4） 乘积性质称 为 常见范数：行范数列范数为 的最大按模特征值2. 谱半径3. 雅可比迭代向量:用第i 个方程解出xi 的方程，分量通式如下:矩阵：对于Ax=b,先将A 拆分成对角线矩阵D 减去下三角矩阵L ,再减去上三角矩 阵U 。
其中,||A||=0 当且仅当A=0成立域上的一个矩阵范数4. 高斯-塞德尔迭代向量：用第i个方程解出xi的方程，并将上式得到的带入下边的公式，分量通式如下：矩阵：对于Ax=b,先将A拆分成对角线矩阵D减去下三角矩阵L,再减去上三角矩阵U。
西安交通大学计算方法(C)讲义
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通常我们面对的理论与技术问题，绝大多数都可以从其物理模型中抽象出数学模型，因此，求解这些数学模型已成为我们面临的重要任务。
本课程的任务：寻求解决各种数学问题的数值方法——如何将高等数学的问题回归到初等数学（算术）的方法求解——了解计算的基础方法，基本结构（否则只须知道数值软件）——并研究其性质。