一类高阶非线性中立型差分方程的振动性
第 ２期
杨 甲 山 ：一 类 高 阶 非 线性 中立 型差 分 方 程 的 振 动 性
２ 几个 基 本 引理
为 了证明本 文 的主要结 论 ， 先介 绍几 个引 理． 引理 １ 假设 ｍ ≥ １是 整 数 ，｛ （ ） 实 数 列 ，如 果 ｛ （ ） 最 终 定 号 （ 当 ／充 分 大 后恒 有 ） 是 Ａ ｎ） 即 ／ ， △ （， ＞０或恒 有 △ ｎ ＜０） ／ ７ ） （ ） ，则 ｛ （ ） 最终 严格单 调且 定号 （ ＝０ １ ２ … ， 一１ ． △ｚｎ ） ，，， ｍ ） 证 明 因为 ｛ （ ） 最 终定 号 ，所 以 ｛ 一 ｎ ） 终 严 格 单 调 ，从 而最 终 定 号 ，由此 又 可知 △ ｎ） △ （ ） 最 ｛ 一。（ ） 最终 严格单 调且 定号 ， 此方 式推 下去 即得 ． △ ｎ ） 依
一
类 高 阶非 线性 中立型 差 分方 程 的振 动 性
杨 甲 山
（ 阳 学 院 理 学 与 信 息科 学 系 ， 湖 南 邵 阳 ４ ２ ０ ） 邵 ２ ０ ４
摘 要：研究了一 类高阶非线性中立型时滞差分方程△（（）（） ｐｎ （ — ）＋∑ ｎ （（ 一 。ｎ ｎ ～ （） ｎ ） （） ｎ
果方程 （ ） 有解都 是振动 的 ． ２所
本 文 给出 了方 程 （ ） 动 的若 干新 的充分 条件 ， 展 了文献 ［ ］ ２振 拓 ５ 的有 关 结果 ． 了方 便 ， 本文 中 为 在
假设关 于数 列 的不 等式 （ 如未指 明 的） 是对一切 充分 大的 自然数 ｎ成立 的．
收 稿 日期 ：０ ００ —８ ２ １ －２２
基 金 项 目： 南 省教 育 厅 科 研 重 点 项 目 （ ｏ ９ ０ ２ ；湖南 省 教 育 厅 科 研 项 目（Ｎ ．０ Ｃ ８ ） 湖 Ｎ ．０ Ａ ８ ） ｏ ７ ６０ ． 作 者 简 介 ： 甲山 （９３一） 男 （ 族 ） 湖南 城 步人 ， 阳学 院 理学 与 信息 科 学 系 副教 授 ， 究 方 向 ： 分差 分 方程 杨 １６ ， 苗 ， 邵 研 微
１ 引
言
随着计算 机科 学 、 数值 分析 、 生物 数学及 边缘科 学 的不 断发展 ， 科学研 究和 社会 实践 中提 出了许 在
多 由时滞 差分 方程 描述 的具 体数 学模 型 ， 特别 是如 下形式 的 中立 型差 分方程 ：
Ａ （ ｎ）一Ｐ ｎ （ （ （ ） ｎ—ｆ ） （ ）ｌ ｎ 一 ） ＝ ０， ） ＋ｑ ｎ ／ （ ） （ （） １
年来 ， 对一 阶 中立型 时滞差分 方程 的研究 已有许 多结果 ， 参见 文献 ［ ４ ．关 于 高 阶 中立 型 时滞差 分 １～ ］
方程 ， 相对 研究 较少 ．如文献 ［ ］ ５ 在条 件 ０＜Ｐ ｎ （ ）≤ １ 下讨 论 了方程 （ ） １ 的振 动性 ， 出了方程振 动的 给
一
个充 分条 件．本文将 不受此 条件 的限制 ， 研究 更一般 的如 下形式 的差分 方程 ：
』பைடு நூலகம் Ｉ
） ）＝ ０的 振 动性 ， 到 了 该 方程 振 动 的若 干 充 分 条 件 ， 广 了现 有 文献 中 的结 果 ． 得 推
关 键 词 ： 中 立 型差 分 方 程 ；时滞 ；非线 性 ；振 动性
中 图分 类 号 ： ７ ． Ｏ１５ ７
文献标识码： Ａ
文章 编 号 ：０ ５８３ （０ ０ ０ — ３ — １０ — ６ ２ １ ）２０ ２０ ０ ０ ６
引理 ２ 假 设 ｍ ≥ １ 整 数 ， ｎ ） 实 数 列 ， 么 是 ｛（ ） 是 那
ｎ— ●＋ ∞ ｎ—＇＋ ∞
１ 女 果 ｌ ｎＡ ｚ ｎ ＞ ０ ， ０ ｉ （ ） ＝＋ ∞ （ 。 日 ｉ ｉｆ （ ） ｍ 贝 ｌ Ａ ｎ ｍ ｉ＝ ０ １ … ， 一１ ． ，， ｍ ）
２１ ０ ０年 ５月
第ｌ ９卷
第 ２期
中央 民族 大学 学 报 （自然 科 学 版 ） Ｊ ｕｎ ｌ ｆ Ｃ（ ａ ｒｌ ｃ ｎ ｅ Ｅ ｉ ｏ ） ｏ ｒａ ｏ ＭＵ Ｎ ｔ ａ Ｓ ｉ ｃ ｓ ｄ ｉ ｕ ｅ ｔｎ
Ｍａ ，２ ０ ｙ ０１
Ｖ０ ＿ ９ ＮＯ ２ ｌ ｌ ．
＝
（ ｎ＋１ （ ） △ （ ） ＝ Ａ（ 一 （ ） ． 文 只 考 虑 方 程 （ ） 非 平 凡 解 ．方 程 （ ） 解 ｛ （ ） ）一 ｎ ， ｎ △ ｎ）本 ２的 ２的 ｎ）
称 为非振 动 的 ， 如果 （ ） 终为 正或最终 为负 ； ｎ 最 否则 ， ｛ ｎ ） 称 （ ） 为振动 的 ； 方程 （ ） 称 ２ 是振动 的 ， 如
Ａ（ （） ｎ ｎ ｎ （ ）一ｐ ｎ （ （ ） ｎ一７ ） － ＋ ）
Ｊ：１
ｑ（ ） （ ｊｎ （ ｎ—Ｏ ） ＝ ０ － ） ， ，
（） ２
其 中 ｄ≥ １ 为奇 数 ， ｒ＞０ ｏ ≥０是 给定 的整数 ， ａ ｎ ） ｐ ｎ ） ｑ（ ） 均为 正的实数 列 ， （ ∈ ， ｒ ｛ （ ） ， （ ） ，｛ ，ｎ ） ） Ｃ（ Ｒ） ｘ （ Ｒ， ，ｆ ）＞０ ≠０ ， 函数 （ （ ＝１ ２ … ，， 同 ） ｉ （ ） 且 ） Ｊ ＿ ， ， ｓ下 单调 非减 ， △为向前差 分算子 ： （ ） ｎ
这类方 程在种 群动 力学 、 济 学 及高 速 计算 机 电路 的无 损传 输 等 问题 中有 着 重要 的作 用．另 一 方 面 ， 经 由于差 分方 程可 以很 方便 地用计 算机求 其数值 解 ，所 以很 多微分 方程 可 以近似为差 分 方程 求近 似数值 解．所 以系统 的开展对 差分方 程解序 列 的各 种属性 的定 性 研究 ， 仅 有其 重 要 的理论 意 义 ，而且 有其 不 实际应 用价值 ．因而对 时滞差 分方 程定性 理论 的研究 吸引 了大 批学 者 的广 泛兴 趣 和高度 关 注 ．近
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一类高阶差分方程的振动性
② Ａ ｙ ｎ ｓ０ ｛ （ ） 不 恒 为 ０ （ ） ，Ａ ｙ ｎ ｝ 。
则有 下 式 成 立
（一１ ＬＹ ｎ ＞ｏ ｉ ， ，…ｄ ） Ｘ （ ） （ ：０ １ ２ ） ｉ （） ２
证 明 ： 证 明 Ａ Ｙ ｎ ＞０ 否 则 Ａ Ｙ ｎ ≤ 先 ｄ （） ， “ （）
使 ‘ ｋ Ｙ ， 中立 型 时 滞 差 分 方 程 的 振 动 性 的 研 究 成 果 很 少 。 ０ 由条 件 ② 知 存 在 自然 数 ｋ 得 △ （ ）＜０ 再 由 ， ｛Ａ ｙ ｎ ｝单 调递 减 性得 ｛ （） ｝ 本 文 讨论 方 程
（） 是 正 实 数 列 且 ０≤ Ｐ ｎ ≤ １ ｆＸ ∈ Ｃ Ｒ ， ｎ｝ （ ） ， （ ） （ Ｒ） ）（） ０ ｘ ）ｆｘ单 调 递 增 ， 【ｘ ＞ （ ≠０ ，（ ） ｆ △是 差 分算 子 Ｎ —
Ｒ， ｕ ｎ Ａ （ ）：ｕ ｎ ） （ ） Ａ ｕ ｎ ＝△（ ｄ ｕ ｎ ， （ ＋１ 一ｕ ｎ ， （ ） Ａ （ ） Ｒ＝（ 一∞， ＋∞）
０ ｉ ｍ＋１ …ｄ一１ ，． ， （） ３
本 文 目的建立 方 程 （ ） 动性 及其 非振 动 解 趋 １振
于零 的判 据 。
２ 基 本 引 理
为 了证 明本 文 第 ３节 中的 主要 结果 ， 们 先 介 我
绍 几 个 引理
如果 ｍ≥２ 立 即可推 得 ｛（ ）是 无 界 数 列 ， ， Ｙｎ ｝ 因
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２０ ０ ２年 第 ２期 （ 第２ 总 ６期 ）
桂林航天工业高等专科学校学报
ＪＵ Ｎ ＬＯ ＵＬＮＣ ［￣ ＥＯ Ｅ Ｏ Ｐ Ｃ Ｏ Ｒ Ａ ＦＧ Ｉ ＯＩ Ｇ ＦＡ Ｒ ＳＡ Ｅ￣ Ｉ ＯＯ Ｙ ＬＧ 基础 理 论探 索
一类含高阶Laplace算子非线性时滞中立型双曲偏微分方程解的振动性
收稿日期 :2008 — 04 — 08 基金项目 : 湖南省教育厅基金资助项目 (07 C165) ; 衡阳师范学院科学基金青年项目 ( 08 A 26)
) ,男 ,湖南衡阳人 ,衡阳师范学院数学系讲师 ,硕士 ,研究方向 :微分方 程稳 定性 理论. 作者简介 : 曾云辉 (19 78 —
12
m3
+ q ( x , t ) u ( x , t) +
j =1
∑q ( x , t) f
j
j
( u( x , σ j ( t) )
2 l- 1 = a ( t)Δ u ( x , t) +
k= 1
∑a
k
( t )Δ2 l- 1 u ( x ,ρ k ( t) )
( 1)
Ω ×R + ≡G; R + = [ 0 , + ∞ ) , l 是某正整数 ,Ω 为 R n 中具有逐片光滑边界 5Ω 的有 解的振动性 , 其中 ( x , t) ∈ n n- 1 界区域 ;τ i ( t ) 是正常数 , i = 1 , 2 , … , m1 ; a ( t) ∈C ( R + , R + ) ,Δ 为 Lapl ace 算子 ,Δ = Δ(Δ ) 。 考虑其边值条件 :
第 29 卷第 6 期 20 08年1 2月
衡阳师范学院 学报
Jo ur nal of Hengya ng Normal Univer sity
No. 6Vol . 29 Dec . 2 0 0 8
一 类 含 高 阶 La pla ce 算 子 非 线 性 时 滞 中 立 型 双 曲 偏微分方程解的振动性
曾云辉
( 衡阳师范学院 数学系 , 湖南 衡阳 421008)
) ,男 ,湖南衡阳人 ,衡阳师范学院数学系讲师 ,硕士 ,研究方向 :微分方 程稳 定性 理论. 作者简介 : 曾云辉 (19 78 —
12
m3
+ q ( x , t ) u ( x , t) +
j =1
∑q ( x , t) f
j
j
( u( x , σ j ( t) )
2 l- 1 = a ( t)Δ u ( x , t) +
k= 1
∑a
k
( t )Δ2 l- 1 u ( x ,ρ k ( t) )
( 1)
Ω ×R + ≡G; R + = [ 0 , + ∞ ) , l 是某正整数 ,Ω 为 R n 中具有逐片光滑边界 5Ω 的有 解的振动性 , 其中 ( x , t) ∈ n n- 1 界区域 ;τ i ( t ) 是正常数 , i = 1 , 2 , … , m1 ; a ( t) ∈C ( R + , R + ) ,Δ 为 Lapl ace 算子 ,Δ = Δ(Δ ) 。 考虑其边值条件 :
第 29 卷第 6 期 20 08年1 2月
衡阳师范学院 学报
Jo ur nal of Hengya ng Normal Univer sity
No. 6Vol . 29 Dec . 2 0 0 8
一 类 含 高 阶 La pla ce 算 子 非 线 性 时 滞 中 立 型 双 曲 偏微分方程解的振动性
曾云辉
( 衡阳师范学院 数学系 , 湖南 衡阳 421008)
高阶中立型差分方程解的非振动性
ｉ ｊ ! ｋ－１ ｍ－１
ｊ＝ｉ
ｒｉ
［ｆ （ｊ，ｘｊ
）
＋
ｇｊ
］
另 一 方 面 ，由 式 （２）则 有
≤２α－ Ｍ１．
∑ ∑ Ｓ ｘｎ
!!
≥α－
１ （ｋ －１）！（ｍ
－１）！ｉ＝ｎ０
ｊ＝ｉ
（ｉ －ｎ ）ｋ－１ （ｊ －ｉ ）ｍ－１ ｒｉ
［ｆ （ｊ，ｘｊ
）
＋
ｇｊ
］≥
∑ ∑ α－
!
１ （ｋ －１）！（ｍ －１）！ｉ＝ｎ０
! ｊ＝ｉ
（ｉ －ｎ ）ｋ－１ （ｊ －ｉ ）ｍ－１ ｒｉ
［ｆ （ｊ，ｘｊ
）－ｇｊ
］，ｎ
≥ｎ１
，
烆ＳｘＮ ，ｎ０ ≤ｎ ＜ｎ１．
由假设条件可知存在着ｎ０ ∈ Ｎ，使得当ｎ ≥ｎ０ 时，有下式成立：
∑ ∑ １
（ｋ－１）！（ｍ
!
－１）！ｉ＝ｎ０
ｉ ｊ ! ｋ－１ ｍ－１
ｊ＝ｉ
ｒｉ
［｜ｆ （ｊ，ｘｊ
２０
太 原 师 范 学 院 学 报（自然科学版） 第１８卷
Ａ ＝ ｛ｘｎ ∈ Ｘ：Ｍ１ ≤ｘｎ ≤ Ｍ２，ｎ ≥ｎ１ ｝，其中 ｎ１ ∈ Ｎ． 显然，Ａ 是集合 Ｘ 中的一个有界凸闭子集．
定义算子：
∑ ∑ Ｓｘｎ
＝
烄α＋ 烅
（－１ ）ｍ＋ｋ
!
（ｋ －１）！（ｍ －１）！ｉ＝ｎ０
（ｉ －ｎ ）ｋ－１ （ｊ －ｉ ）ｍ－１ ｒｉ
ｆ （ｊ，ｘｊｌ ）－ｆ （ｊ，ｘｊ） ≤
∑ ∑ １
ｉ ｊ ! ! ｋ－１ ｍ－１
张思逸
（湖南幼儿师范高等专科学校，湖南 常德 ４１５５００）
〔摘要〕 考虑一类的非线性高阶中立型差分方程 ，通过 Ｓｃｈａｕｄｅｒ不动点定理 以 及 一 些 非 线 性 函数的限制条件，得到这类方程解是非振动性准则 ．
一类非线性高阶微分方程解的振动性
一类非线性高阶微分方程解的振动性
李洁坤
【期刊名称】《四川师范大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2001(024)004
【摘要】借助测度等工具研究了一类高阶非线性泛函微分方程rn
［φ(x(n)(t))ψ(x′(t))］′+F(t,x(t),x(p(t)))-H(t,x(t),x′(p(t)))=0rn的振动性.
【总页数】4页(P353-356)
【作者】李洁坤
【作者单位】柳州师范高等专科学校数学系,
【正文语种】中文
【中图分类】O175.14
【相关文献】
1.一类带有多项延迟的非线性中立型延迟微分方程解析解的振动性分析 [J], 王慧灵;高建芳
2.一类非线性时滞差分方程解的振动性和非振动性 [J], 肖娟;蔡江涛
3.一类非线性高阶微分方程解的存在性和延展性 [J], 郭兴
4.一类含非线性边界条件的高阶微分方程解的存在性 [J], 赵本生;林晓洁
5.一类四阶非线性泛函微分方程解的振动性 [J], 高正晖
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一阶非线性中立型微分方程的振动性定理
一阶非线性中立型微分方程的振动性定理摘要论证一类具有变系数和变偏差的一阶非线性中立型微分方程的振动性的一个基本定理,并将所得结果成功地应用于进一步讨论该方程的振动性和线性化振动性。
关键词非线性中立型微分方程;振动;变系数;变偏差1引言泛函微分方程的振动理论作为泛函微分方程定性理论的一部分,在最近30多年中有了迅速的发展。
这一领域已有多本专著[1]和许多研究论文,例如本文比较关注的[2-3],等等。
本文考虑一阶非线性中立型微分方程:(1.1)其中在本文中,将给出这类具有变系数和变偏差的一阶非线性中立型微分方程的振动性的一个基本定理,并将所得结果成功地应用于进一步讨论该方程的振动性和线性化振动性。
2基本定理定理1.在(1.1)中,假设最终不恒等于0,设(1)最终成立;或(2)τi(t)=τi>0,每个Pi(t)有界,存在一个τ>0,自然数ki(i=1,2,…,n)和t*≥t0,使得τi=kiτ,若x(t)是(1.1)的最终正解,且,(2.1)则有。
证明由(1.1)和(2.1)易得y’(t)≤0且最终不恒等于0。
下面证明y(t)>0。
假设y(t)最终为负,那么,存在一个充分大的T,对t≥T,有y(t)T使得t1-τi(t1)≥T,且当s∈[T,t1]时,有x(s)≤x(t1)-β。
特别地,β+max{x(t1-τi(t1)):i=1,2…,n}≤x(t1) (2.3)显然,(2.3)和(2.2)是矛盾的。
由(2)根据[4,引理1]的证明,我们可得x(t*+kτ)→—∞(k→+∞),这与x(t)最终为正相矛盾。
证毕。
3应用定理 2.在(1.1)中, 设(1)成立,且(3)存在的非空子集J和Nj>0,使得xfj(x)≥Njx2,x∈R,j∈J。
若微分不等式没有最终正解,则(1.1)所有的解都是振动的。
证明设(1.1)有一个最终正解x(t),由(2.1)和定理1,有,且,即。
在定理2的条件下,上述不等式没有最终正解,与y(t)>0相矛盾。
一类高阶非线性泛函微分方程解的振动性
一
类高 阶非线性泛函微分方程解 的振动性
丘冠英
（ 嘉应学院 数学 系， 广东 梅州 ５４１） １０ ５
摘 ： 一 高 非 性 函 分 程 ￡ （１Ｆｆ（￡， （ｆ）０ 中 奇 ，究 解 要 对 类 阶 线 泛 微 方 （＋ 一） （ｚ （） ＾） ＝， 为 数研 其 的 ） ，ｇ） （） 其
虑情况 ２． ） 因为当 ￡ １ ≥￡ 时 （ ＞Ｏｚ （ ＞０ 所以 ￡ ） ， ） ， 存在 了 ｔ 和一个正常数 ｄ 和 ｄ 使得 ≥ ｚ
（ （） ≥ ｄ ｇ ￡） ｌ ｄ （ ≥ ｈ ￡ ）
叫）［ ＋ 丽
）（ （
中的 １证 明相似． ）
］ ‘ ×
（ ￡ ￡ ＾（） ） × ＾ （）（ 一 ￡）
Ｉ ｂ １＾￡ 。 （ｚｒ （（） ｛ （（ ） ｈ ￡ （２＾ ） ） ） ，’
ｔ Ｔ ≥ １
Ｉ ） （ ） ㈤ 一 （ ０
县 振 动 的 ， 日微 分 不 等 式 并
因此
， 一『 （ Ｌ ￡ Ｉ ）
振动性 ， 得到 ３ 个新 的解 的振动性准则 ， 得结果推广和 改进 一些文献 中的若干结论． 所
关键 词 ：高阶；非线性；泛 函微分方程 ；振动性
中图分类号 ：Ｏ１５ ７ 文献标识码 ： Ａ
Ｏｓ ｉ ａ ｉｎ ｏ ｌｓ ｆｈ ｇ ｅ － ｒ ｅ ｏ ｌ ｅ ｒ ｆ ｎ ｔｏ ａ ｉｆ ｒ ｎ ｉ ｌｅ ｕ ｔ ｎ ｃｌ ｔｏ ｆａ ｃａ ｓｏ ｉｈ ｒｏ ｄ ｒ ｎ ｎ ｉ ａ ｕｎｙｎ Ｕ ａ －ｉｇ
第４ 期
丘冠英 ： 高阶非线性泛 函微分方程解 的振动性 一类
・１７ ・ ６
砌∽ ≥ ）
因此式 （） ９变为
一类非线性变系数中立型微分方程振动的充分条件
摘 要 给 出 一类 非线 性 变 系 数 中立 型微 分 方 程 在 弱 条 件 下 振 动 的 几 个 充 分 条 件 ． 关 键 词 中 立 型微 分方 程 ； 动 ； 振 充分 条件
０１ ５ ７ ７ ． 文 献标 识 码 Ａ 文 章 编 号 １ ０ － ３ ９ ２ １ ） ４ ０ １ — ３ ０ ８ １ ９ （ ０ ２ ０ —０ ９ ０
２ （ ）＜ ０， ￡
当 ｔ 分大 时 ， 方程 （ ）的解 （） Ｏ ＜ ０ ， 充 若 １ ＞ （ ） 则称 之为 最终正 （ ）解 ； 解 ｚ ￡ 负 若 （）既不 最终 为 正 ， 也不 最终 为负 ， 则称 之振 动． 方 程 （ ）的任 一解 都 若 １ 是振 动 的 ， 则称方 程 （ ）振动 ． １ 设有 常数 ａ＞ ０ 记 ，
中 图分 类 号
设 非线性 中立型微 分方 程为
（ ￡ ｚ（ ）一 Ｐ（ ） 一 ｒ ） ￡ ｚ（ ） ＋
的四个 简便 的充分 条件 ． 引理 １ 若 ｚ 为方程 （）的最终 正（ 解 ， （ ） １ 负） 且
（） １ ０＜ （ ）≤ １ ，
Ｑ（） （ ￡ ￡ － ｚ（ 一 ） 厂 ）一 ０（ ≥ ｒ ， ￡ ）
证 明 只证 明 ｚ ￡ （）为 方程 （ ）的最 终 正解 的 １
情形． 在此情 形 下 ， 然成 立 显
２ （ ＜ ｏ， ）
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
算 数 学 研 究 ． ｍａｌ￣ｆ０ ６ ７ １３ ｔｍ Ｅ ｉ ２００＠ ６．ｏ ：
２ ０
高 等 数 学 研 究
２１ ０ ２年 ７月
并且 存 在 ｔ ≥ ｒ 当 ｔ ｔ ， （）＞ ｏ 假设 ， ≥ 时 ｚ ￡ ．
收 稿 日期 ： ０ ０ ０ — ５ 修 改 日期 ： ０ ２０ — ４ ２ １ — ６０ ； ２ １ — ５１
高阶非线性中立型偏泛函微分方程的振动性
Ｈ４ ＥＣ Ｏ×Ｒ ）ｑ （ × － ，］ Ｒ ， ＞ ０ ａ ６ ， ） ｒ ．
１ 定 义 与 引理
定义 函数 ｕ ＥＣ（ Ｒ） 为 振 动 ， 果 对 任 意 正 数 Ｔ， 存 在 一 点 （ 。 ｔ） Ｇ， 称 如 均 ｚ ，。 ∈ｎ×［ 。 ） 使 得 Ｔ，。 ，
ｕｘ ， ） （ ０ｔ ：０成 立 ． ０
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第 ２ ６卷 第 ２ 期
２０ ０ ８年 ６月
徐 州 师 范 大学 学 报 （ 自然 科 学 版 ）
Ｊ ｆＸｕ ｈ ｕ Ｎｏ ｍａ ｉ． Ｎａ ｕ ａ ｃ ｅ ｃ ｄ ｔ ｎ ．ｏ ｚ ｏ ｒ ｌ Ｕｎ ｖ （ ｔ ｒ ｌＳ ｉｎ ｅ Ｅ ｉ ｏ ） ｉ
Ｖｏ１ ６， ｏ ２ ．２ Ｎ ．
Ｊ ｎ ２ ０ ｕ ．， ０ ８
高 阶非线 性 中立 型偏 泛 函微 分 方 程 的振 动性
李 爱 霞 ，任 洪 善Ｈ ，俞 元 洪
（． １ 黑龙 江大 学 数学 科 学 学 院 ， 龙 江 哈 尔滨 黑 １０ ８ ；２ 中 国科 学 院 数 学 与 系 统 科学 研 究 院 ， 京 ５０ ０ ． 北 １０ ８ ） ００ ０
ｌ ｍ ｇ（， ） 在 ， ｔａ ≥ ｌ ｐ （ ）一 ∞ ， ｉ ｔａ 存 ｇ （ ）一 愚 ，， ｚ ］ （ ） ∞， ＝１２…， ｛ ， ・
Ｈ。 （ ） ）厂 “ ∈Ｃ Ｒ， ， （ Ｒ）
≥Ｋ＞０ ≠０ ，“ ，ｆ在 Ｒ 上 为凸 函数． ＋
中 图 分 类 号 ：０ ７ １５ 文 献 标 识 码 ：Ａ 文 章 编 号 ：１ ０ — ５ ３ ２ ０ ） ２０ ４ — ４ ０ ７６ ７ （ ０ ８ ０ － ０ １０
近 年来 ， 泛 函微分 方程 的振动性 研究 引起 人们 的广泛 关注 ， 偏 取得 了丰 富 的成 果［ ， 是 ， 多数 １ 但 ＿ 大 振 动结果 是关 于离散 时滞 微分方 程 的 ， 而对 于连续 分 布时滞 偏微分 方 程 的振 动结果 较 少． 本文 考虑 非线 性 中立 型高 阶偏泛 函微分 方程 ：
一类高阶中立型偏微分方程系统解的振动性
ｒ ）； ∈【， ） ∑ ｔ；６（ ｝） ｄ ｏ 妻（１ ６， ）ｏ ／ｄｏ ＝ ＜ ，【 ， ＣＣ７ １ ００ 肼 Ｏ， ｏ ｓ． ＝ ：
ｔ＇ Ｘ
。 、 ，
收稿 日 ２０ －０２ ． 作者简介：林文贤（９ ６ 期： ０ ４１－９ １６ 年生） 。男 ，教授 ，研究方 向：泛函微分方程 基金项 目： 山师范学院科学研 究重点项 目（０４ ． 韩 ２０ ￣）
０和 ｙ（， ＠ ） ，ｉ １２… ， ｉ ） ＞０ ＝ ，， ｍ，ｒ＝１２… ，，ｋ： １２… ，，ｈ＝ １２… ，。 ｘ ，， ｄ ，， ｓ ，， ｌ 对方程（ 两边关于 在 Ｑ上积分并利用 Ｇ ｅｎ公式及边值条件（） １ ） ｒ ｅ ２有
ａｔ ｒ－１
十
ｄ
） （ －） ］ 玑， ￣ ｘ ＇ ｔｒ ｄ
ｉ １２… － ，，
（） ２
其中 是 ａ Ｑ的单位外法向量，并且 ｇ ｘｔ 是 ａ ｉ， （ ） Ｑ×【 ｏ） ０ ｏ 上的连续非负函数。对（ ，我们 ， １ ）
作如下约定：
（ ） Ｐ ∈Ｃ （ ， ）【 ｏ） 是正常数 （ ＝１２… ，） Ｈ１ ｒ 【 Ｃ ， ，ｏ） ０Ｏ ０ ， ｒ ，， ｄ 且
）ｔ １ ｎ ￣－
ｄ
ｔｔＴ］ （ －） ｘ ｒ ， ］
＝ ｎｔ ｕ ） ∑ ∑ ａｋｕｘ （ ｔ△ｔ，＋ （ （ｔ ） ｉ ｊ ｔ ｊ （ ） Ａ ）
一
ｑｘ）（ｔ ∑ ∑ ｑｈ ， （ （ ，ｉ １ ，， ｉ， ｔ，一 （ｔ ） ｕ ｉ（ｔ ＾） ： ｍ ｊＸ） ， ｔ ） ２一
１ｍ ｉ
． ｔ ＋ 。 。
（ ） Ｃ ，ｋ （ ，ｏ， ，ｏ） Ｈ５ ｒ Ｐ ∈ｃ ［ ｏ）［ ｏ），且 ｋ ０ ０
一类高阶非线性中立型微分方程的振动性
（Ｏ ５ ６ １００ ０ ０ ） １ １１０ ５ １０ ０ ３
作 者 简介 ： 红 叶 （９ ５一） 女 ， 南桃 江 人 ， 师 ， 究 方 向为 常 微分 方 程 及 应 用 。 吴 １７ ， 湖 讲 砌
・
２ ４・
惠州学院学报（自然科 学版）
２１ ０ １年第 ３ 卷 １
引理 ３若 ｙ ｔ 是方程（ ）的非振动解 ， （） １ 则存在 ｔ ≥ ｔ， ｔ ｔ 时 ， 。 当 ≥ 有 （）＞０ｚ（）＞０ ｚ （）＞０ ｔ ， ｔ ， ｔ ，
＝
这里
ｔ １ ｎ ｕ Ｉ
）ｌ ，
０２（ 一 ＝－ １÷ 一 ￣
收 稿 日期 ：Ｏ １ ２— ０ ２ ｌ —０ ３
基 金 项 目 ： 州 学 院 自 然 科 学 基 金 项 目 （ ２ｏ ｏ １ ； 点 学 科 经 费 资 助 项 目 （ ２ ８０ ０ ）； 东 省 自 然 科 学 基 金 项 目 惠 ｃ １． ２ ９） 重 ｃ ｏ ．２ ３ 广
（） ２
由方程 （ ） ２ 及条件 （ 知 ，（） ’ ｔ 是 区间 ［。 ＋∞） Ａ ） ｒｔｚ 。 （） ｔ， 上的不增 函数且在任何 区间上不 恒为常数 ， 而可推 从 知存在 ｔ， ｔ ≥ ｔ时 ，（）‘ （）＞０或者 ｒ￡ｚ ｔ ２当 ２ １ ｒ￡ｚ ￡ （）‘ （）＜０ 即当 ｔ ≥ ｔ时 ， 。 ， ２ ｌ ｚ （）＞０或者 （）＜０ ｔ ‘ ｔ ．
第３ １卷 第 ３期
２１ ０ １年 ６月
惠 州 学 院学报 （自然 科 学 版 ）
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Ｖｏ． ．Ｎｏ ３ １３１ ．
Ｊｎ２ １ ｕ ． ０１
作 者 简介 ： 红 叶 （９ ５一） 女 ， 南桃 江 人 ， 师 ， 究 方 向为 常 微分 方 程 及 应 用 。 吴 １７ ， 湖 讲 砌
・
２ ４・
惠州学院学报（自然科 学版）
２１ ０ １年第 ３ 卷 １
引理 ３若 ｙ ｔ 是方程（ ）的非振动解 ， （） １ 则存在 ｔ ≥ ｔ， ｔ ｔ 时 ， 。 当 ≥ 有 （）＞０ｚ（）＞０ ｚ （）＞０ ｔ ， ｔ ， ｔ ，
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这里
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收 稿 日期 ：Ｏ １ ２— ０ ２ ｌ —０ ３
基 金 项 目 ： 州 学 院 自 然 科 学 基 金 项 目 （ ２ｏ ｏ １ ； 点 学 科 经 费 资 助 项 目 （ ２ ８０ ０ ）； 东 省 自 然 科 学 基 金 项 目 惠 ｃ １． ２ ９） 重 ｃ ｏ ．２ ３ 广
（） ２
由方程 （ ） ２ 及条件 （ 知 ，（） ’ ｔ 是 区间 ［。 ＋∞） Ａ ） ｒｔｚ 。 （） ｔ， 上的不增 函数且在任何 区间上不 恒为常数 ， 而可推 从 知存在 ｔ， ｔ ≥ ｔ时 ，（）‘ （）＞０或者 ｒ￡ｚ ｔ ２当 ２ １ ｒ￡ｚ ￡ （）‘ （）＜０ 即当 ｔ ≥ ｔ时 ， 。 ， ２ ｌ ｚ （）＞０或者 （）＜０ ｔ ‘ ｔ ．
第３ １卷 第 ３期
２１ ０ １年 ６月
惠 州 学 院学报 （自然 科 学 版 ）
Ｊ Ｒ￣ＡＬ Ｏ Ｉ ＨＯＵ ＵＮＩ ＲＳ Ｔ ＯＵ Ｆ ＨＵ Ｚ ＶＥ Ｉ Ｙ
Ｖｏ． ．Ｎｏ ３ １３１ ．
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