一类高阶非线性中立型差分方程的振动性

第 ２期
杨 甲 山 ：一 类 高 阶 非 线性 中立 型差 分 方 程 的 振 动 性
２ 几个 基 本 引理
为 了证明本 文 的主要结 论 ， 先介 绍几 个引 理． 引理 １ 假设 ｍ ≥ １是 整 数 ，｛ （ ） 实 数 列 ，如 果 ｛ （ ） 最 终 定 号 （ 当 ／充 分 大 后恒 有 ） 是 Ａ ｎ） 即 ／ ， △ （， ＞０或恒 有 △ ｎ ＜０） ／ ７ ） （ ） ，则 ｛ （ ） 最终 严格单 调且 定号 （ ＝０ １ ２ … ， 一１ ． △ｚｎ ） ，，， ｍ ） 证 明 因为 ｛ （ ） 最 终定 号 ，所 以 ｛ 一 ｎ ） 终 严 格 单 调 ，从 而最 终 定 号 ，由此 又 可知 △ ｎ） △ （ ） 最 ｛ 一。（ ） 最终 严格单 调且 定号 ， 此方 式推 下去 即得 ． △ ｎ ） 依
一
类 高 阶非 线性 中立型 差 分方 程 的振 动 性
杨 甲 山
（ 阳 学 院 理 学 与 信 息科 学 系 ， 湖 南 邵 阳 ４ ２ ０ ） 邵 ２ ０ ４
摘 要：研究了一 类高阶非线性中立型时滞差分方程△（（）（） ｐｎ （ — ）＋∑ ｎ （（ 一 。ｎ ｎ ～ （） ｎ ） （） ｎ
果方程 （ ） 有解都 是振动 的 ． ２所
本 文 给出 了方 程 （ ） 动 的若 干新 的充分 条件 ， 展 了文献 ［ ］ ２振 拓 ５ 的有 关 结果 ． 了方 便 ， 本文 中 为 在
假设关 于数 列 的不 等式 （ 如未指 明 的） 是对一切 充分 大的 自然数 ｎ成立 的．
收 稿 日期 ：０ ００ —８ ２ １ －２２
基 金 项 目： 南 省教 育 厅 科 研 重 点 项 目 （ ｏ ９ ０ ２ ；湖南 省 教 育 厅 科 研 项 目（Ｎ ．０ Ｃ ８ ） 湖 Ｎ ．０ Ａ ８ ） ｏ ７ ６０ ． 作 者 简 介 ： 甲山 （９３一） 男 （ 族 ） 湖南 城 步人 ， 阳学 院 理学 与 信息 科 学 系 副教 授 ， 究 方 向 ： 分差 分 方程 杨 １６ ， 苗 ， 邵 研 微
１ 引
言
随着计算 机科 学 、 数值 分析 、 生物 数学及 边缘科 学 的不 断发展 ， 科学研 究和 社会 实践 中提 出了许 在
多 由时滞 差分 方程 描述 的具 体数 学模 型 ， 特别 是如 下形式 的 中立 型差 分方程 ：
Ａ （ ｎ）一Ｐ ｎ （ （ （ ） ｎ—ｆ ） （ ）ｌ ｎ 一 ） ＝ ０， ） ＋ｑ ｎ ／ （ ） （ （） １
年来 ， 对一 阶 中立型 时滞差分 方程 的研究 已有许 多结果 ， 参见 文献 ［ ４ ．关 于 高 阶 中立 型 时滞差 分 １～ ］
方程 ， 相对 研究 较少 ．如文献 ［ ］ ５ 在条 件 ０＜Ｐ ｎ （ ）≤ １ 下讨 论 了方程 （ ） １ 的振 动性 ， 出了方程振 动的 给
一
个充 分条 件．本文将 不受此 条件 的限制 ， 研究 更一般 的如 下形式 的差分 方程 ：
』பைடு நூலகம் Ｉ
） ）＝ ０的 振 动性 ， 到 了 该 方程 振 动 的若 干 充 分 条 件 ， 广 了现 有 文献 中 的结 果 ． 得 推
关 键 词 ： 中 立 型差 分 方 程 ；时滞 ；非线 性 ；振 动性
中 图分 类 号 ： ７ ． Ｏ１５ ７
文献标识码： Ａ
文章 编 号 ：０ ５８３ （０ ０ ０ — ３ — １０ — ６ ２ １ ）２０ ２０ ０ ０ ６
引理 ２ 假 设 ｍ ≥ １ 整 数 ， ｎ ） 实 数 列 ， 么 是 ｛（ ） 是 那
ｎ— ●＋ ∞ ｎ—＇＋ ∞
１ 女 果 ｌ ｎＡ ｚ ｎ ＞ ０ ， ０ ｉ （ ） ＝＋ ∞ （ 。 日 ｉ ｉｆ （ ） ｍ 贝 ｌ Ａ ｎ ｍ ｉ＝ ０ １ … ， 一１ ． ，， ｍ ）
２１ ０ ０年 ５月
第ｌ ９卷
第 ２期
中央 民族 大学 学 报 （自然 科 学 版 ） Ｊ ｕｎ ｌ ｆ Ｃ（ ａ ｒｌ ｃ ｎ ｅ Ｅ ｉ ｏ ） ｏ ｒａ ｏ ＭＵ Ｎ ｔ ａ Ｓ ｉ ｃ ｓ ｄ ｉ ｕ ｅ ｔｎ
Ｍａ ，２ ０ ｙ ０１
Ｖ０ ＿ ９ ＮＯ ２ ｌ ｌ ．
＝
（ ｎ＋１ （ ） △ （ ） ＝ Ａ（ 一 （ ） ． 文 只 考 虑 方 程 （ ） 非 平 凡 解 ．方 程 （ ） 解 ｛ （ ） ）一 ｎ ， ｎ △ ｎ）本 ２的 ２的 ｎ）
称 为非振 动 的 ， 如果 （ ） 终为 正或最终 为负 ； ｎ 最 否则 ， ｛ ｎ ） 称 （ ） 为振动 的 ； 方程 （ ） 称 ２ 是振动 的 ， 如
Ａ（ （） ｎ ｎ ｎ （ ）一ｐ ｎ （ （ ） ｎ一７ ） － ＋ ）
Ｊ：１
ｑ（ ） （ ｊｎ （ ｎ—Ｏ ） ＝ ０ － ） ， ，
（） ２
其 中 ｄ≥ １ 为奇 数 ， ｒ＞０ ｏ ≥０是 给定 的整数 ， ａ ｎ ） ｐ ｎ ） ｑ（ ） 均为 正的实数 列 ， （ ∈ ， ｒ ｛ （ ） ， （ ） ，｛ ，ｎ ） ） Ｃ（ Ｒ） ｘ （ Ｒ， ，ｆ ）＞０ ≠０ ， 函数 （ （ ＝１ ２ … ，， 同 ） ｉ （ ） 且 ） Ｊ ＿ ， ， ｓ下 单调 非减 ， △为向前差 分算子 ： （ ） ｎ
这类方 程在种 群动 力学 、 济 学 及高 速 计算 机 电路 的无 损传 输 等 问题 中有 着 重要 的作 用．另 一 方 面 ， 经 由于差 分方 程可 以很 方便 地用计 算机求 其数值 解 ，所 以很 多微分 方程 可 以近似为差 分 方程 求近 似数值 解．所 以系统 的开展对 差分方 程解序 列 的各 种属性 的定 性 研究 ， 仅 有其 重 要 的理论 意 义 ，而且 有其 不 实际应 用价值 ．因而对 时滞差 分方 程定性 理论 的研究 吸引 了大 批学 者 的广 泛兴 趣 和高度 关 注 ．近