人教版数学高二新课标 《数学归纳法》 同步检测

1．若命题A (n )(n ∈N *)在n ＝k (k ∈N *

)时命题成立，则有n ＝k ＋1时命题成立．现知命题

对n ＝n 0(n 0∈N *)时命题成立，则有( )

A ．命题对所有正整数都成立

B ．命题对小于n 0的正整数不成立，对大于或等于n 0的正整数都成立

C ．命题对小于n 0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n 0的正整数都成立

D ．以上说法都不正确 解析：选C.由已知得n ＝n 0(n 0∈N *)时命题成立，则有n ＝n 0＋1时命题成立；在n ＝n 0＋1时命题成立的前提下，又可推得n ＝(n 0＋1)＋1时命题也成立，依此类推，可知选C.

2．在应用数学归纳法证明凸n 边形的对角线为12

n (n －3)条时，第一步验证n 等于( ) A ．1 B ．2

C ．3

D ．0

解析：选C.因为是证凸n 边形，所以应先验证三角形．故选C.

3．用数学归纳法证明122＋132＋…＋1(n ＋1)2>12－1n ＋2

. 假设n ＝k 时，不等式成立，则当n ＝k ＋1时，应推证的目标不等式是________．

解析：观察不等式中的分母变化知，122＋132＋…＋1k 2＋1(k ＋1)2＋1(k ＋2)2>12－1k ＋3

. 答案：122＋132＋…＋1k 2＋1(k ＋1)2＋1(k ＋2)2>12－1k ＋3

4．用数学归纳法证明：

12－22＋32－42＋…＋(－1)n －1·n 2＝(－1)n －1·n (n ＋1)2

. 证明：(1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝(－1)1－1×1×22

＝1，结论成立． (2)假设当n ＝k 时，结论成立．

即12－22＋32－42＋…＋(－1)k －1k 2＝(－1)k －1·k (k ＋1)2

， 那么当n ＝k ＋1时，

12－22＋32－42＋…＋(－1)k －1k 2＋(－1)k (k ＋1)2

＝(－1)k －1·k (k ＋1)2

＋(－1)k (k ＋1)2 ＝(－1)k

·(k ＋1)－k ＋2k ＋22 ＝(－1)k

·(k ＋1)(k ＋2)2. 即n ＝k ＋1时结论也成立．

由(1)(2)可知，对一切正整数n 都有此结论成立．

一、选择题