2019-2020学年重庆市南开中学高三(下)第三次质检数学试卷(理科)(4月份)(含答案解析)
2019-2020学年重庆市南开中学高三（下）第三次质检数学试卷（理科）（4月份）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知复数z=，则z为（）A. -1+iB. -1-iC. -1+2iD. 1-2i2.设集合A={x|2+3x-4≤0}，B={x|log3x≤0}，则A∩B=（）A. [-4，1]B. [-4，3]C. （0，1]D. （0，3]3.等差数列{a n}的前7项和为28，a10=8，则a7=（）A. 6B. 7C. 9D. 144.若双曲线-=1的一条渐近线方程为x+2y=0，则m=（）A. B. 1 C. 2 D. -85.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A. 42B. 45C. 46D. 486.重庆奉节县柑桔栽培始于汉代，历史悠久．奉节脐橙果皮中厚、脆而易剥，酸甜适度，汁多爽口，余味清香，荣获农业部优质水果、中国国际农业博览会金奖等荣誉．据统计，奉节脐橙的果实横径（单位：mm）服从正态分布N（80，52），则果实横径在[75，90）的概率为（）附：若X～N（μ，σ2），则P（μ-δ＜X≤μ+δ）=0.6826，P（μ-2δ＜X≤μ+2δ）=0.9544．；A. 0.6826B. 0.8413C. 0.8185D. 0.95447.设x，y满足约束条件，则z=2x+y的最小值是（）A. 4B. 5C. 8D. 98.如图，给出的是求++……+的值的一个程序框图，则判断框内填入的条件是（）A. i＞18？B. i＜18？C. i＞19？D. i＜19？9.记（1-x）6=a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+……+a6（x+1）6，则a0+a2+a4+a6=（）A. 81B. 365C. 481D. 72810.已知函数f（x）=sinωx+a cosωx（ω＞0）的最小正周期为π，且是函数f（x）图象的一条对称轴，则f（x）的最大值为（）A. 1B.C.D. 211.已知函数f（x）=，若不等式f（x）≥|2x-a|对任意x∈（0，+∞）上恒成立，则实数a的取值范围为（）A. [3-，3]B. [3，3+ln5]C. [3，4+ln2]D. [2，5]12.如图，抛物线C1：y2=4x，圆C2：（x-1）2+y2=1，过C1焦点F的直线从上至下依次交C1，C2于点A，B，C，D．若|FD|=|AB|，O为坐标原点，则=（）A. -2B. 1C. 4D. 2二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量=（1，2），=（4，3），且⊥（t+），则实数t=______．14.已知函数f（x）=e x-e-x+x3，则不等式f（2x+1）+f（4-x）＜0的解集为______．15.在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=2，M，N分别为AA1，BB1的中点，则异面直线BM与C1N所成角的余弦值为______．16.在正项递增等比数列{a n}中，a5=1，记S n=a1+a2+……+a n，T n=++……+，则使得S n≤T n成立的最大正整数n为______．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且（a-2c）cos B+b cos A=0．（1）求角B；（2）若，求18.随着电子商务的兴起，网上销售为人们带来了诸多便利．商务部预计，到2020年，网络销售占比将达到50%．网购的发展同时促进了快递业的发展，现有甲、乙两个快递公司，每位打包工平均每天打包数量在（200，300]范围内．为扩展业务，现招聘打包工．两公司提供的工资方案如下：甲公司打包工每天基础工资64元，且每天每打包一件快递另赚1元；乙公司打包工无基础工资，如果每天打包量不超过240件，则每打包一件快递可赚1.2元；如果当天打包量超过240件，则超出的部分每件赚1.8元．如图为随机抽取的打包工每天需要打包数量的频率分布直方图，以打包量的频率作为各打包量发生的概率．（同一组中的数据用该组区间的中间值作代表）．（1）（i）以每天打包量为自变量x，写出乙公司打包工的收入函数f（x）；（ii）若打包工小李是乙公司员工，求小李一天收入不低于324元的概率；（2）某打包工在甲、乙两个快递公司中选择一个公司工作，如果仅从日平均收入的角度考虑，请利用所学的统计学知识为该打包工作出选择，并说明理由．19.已知A（0，），B（）是椭圆C：+=1（a＞b＞0）上两点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设O为坐标原点，M为椭圆C上一动点，点P（3，0），线段PM的垂直平分线交y轴于点Q，求|OQ|的最小值．20.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，顶点P在底面ABCD的射影恰好是菱形ABCD对角线的交点O，且∠ABC=120°，PA=，AB=2，=，其中0＜λ＜1．（1）当λ=时，求证：AD⊥PM；（2）当PM与平面PAD所成角的正弦值为时，求二面角M-PA-D的余弦值．21.已知函数f（x）=-ax+a ln x，其中a＞0．（1）若函数f（x）仅在x=1处取得极值，求实数a的取值范围；（2）若函数g（x）=f（x）+a（ln x+）有三个极值点x1，x2，x3，求证：x1x2+x1x3+x2x3＞2x1x2x3．22.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数，0≤α＜π），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．曲线C的极坐标方程为：ρcos2θ-ρcos2θ-4cosθ=0．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，当M（1，0）到直线l的距离最大时，求|AB|．23.已知函数f（x）=|2x+1|+|4x-5|的最小值为M．（1）求M；（2）若正实数a，b，c满足a+b+c=M，求证：++≥7．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：．故选：A．复数分子、分母同乘分母的共轭复数，化简为a+bi（a，b∈R）的形式．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查计算能力，是基础题．2.答案：C解析：【分析】本题考查描述法、区间表示集合的定义，一元二次不等式的解法，对数函数的单调性，以及交集的运算，属于基础题．可求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．【解答】解：A={x|-4≤x≤1}，B={x|0＜x≤1}；∴A∩B=（0，1]．故选C．3.答案：A解析：解：依题意，数列{a n}的前7项和为28，即7a4=28，所以a4=4，又a10=8，所以2a7=a4+a10，所以a7=6，故选：A．等差数列{a n}的前7项和为28，即7a4=28，所以a4=4，又a10=8，所以2a7=a4+a10，可得a7，本题考查了等差数列的前n项和，等差数列的性质，属于基础题．4.答案：A解析：解：在平面直角坐标系xOy中，双曲线-=1的一条渐近线方程为x+2y=0，即渐近线方程为∴，解得m=．故选：A．双曲线-=1的一条渐近线方程为x+2y=0，列出方程，能求出m的值．本题考查双曲线的渐近线方程、双曲线性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合能力，是中档题．5.答案：C解析：解：根据几何体得三视图转换为几何体为：该几何体为一个长方体截取一个三棱锥体，如图所示：故：=46故选：C．首先把三视图转换为几何体，进一步利用割补法求出结果．本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．6.答案：C解析：解：由题意，μ=80，δ=5．则P（75＜X≤85）=0.6826，P（70＜X≤90）=0.9544．∴P（85＜X≤90）=（0.9544-0.6826）=0.1359．∴P（75＜X≤90）=0.6826+0.1359=0.8185．则果实横径在[75，90）的概率为0.8185．故选：C．由已知可得P（85＜X≤90），再由P（75＜X≤90）=P（75＜X≤85）+P（85＜X≤90）得答案．本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量μ和σ的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．7.答案：A解析：解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示的阴影部分，z=2x+y可得y=-2x+z，则z表示直线y=-2x+z在y轴上的截距，截距越小，z越小由题意可得，当y=-2x+z经过点A时，z最小由可得A（1，2），此时Z=4．故选：A．作出不等式组表示的平面区域，由z=2x+y可得y=-2x+z，则z表示直线y=-2x+z在y轴上的截距，截距越小，z越小，结合图象可求z的最小值本题主要考查了线性目标函数在线性约束条件下的最值的求解，解题的关键是明确z的几何意义．8.答案：D解析：解：i=1时，S=，n=2+2=4，i=2，i=2时，S=，n=4+2=6，……i=18时，S=+…+，n=36+2=38，i=19，此时i=19不满足条件．，即i≤18满足条件，i=19不满足条件．故条件为i＜19？，故选：D．根据程序框图进行模拟运算，寻找条件即可．本题主要考查程序框图的识别和判断，结合条件利用模拟运算法是解决本题的关键．9.答案：B解析：解：∵（1-x）6=a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+……+a6（x+1）6，令x=0，a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6=1 ①，再令x=-2，可得a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6=36=729 ②，②加①后再除以2，可得a0+a2+a4+a6=365，故选：B．在所给的等式中，分别令x=0，x=-2，可得到2个式子，再把这2个式子相加后再除以2，即得所求．本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于基础题．10.答案：D解析：【分析】本题考查三角函数关系式的变换，正弦型函数性质的应用，属于一般题．首先利用三角函数关系式的变换求出a的值，进一步求出结果．【解答】解：函数f（x）=sinωx+a cosωx（ω＞0）的最小正周期为π，所以ω=2，由诱导公式得当x=时，，解得a=，所以f（x）=sin2x+，=2sin（2x+），所以函数的最大值为2．故选：D．11.答案：C解析：解：当0＜x≤1时，f（x）=3-ln x为减函数，故f（x）≥f（1）=3，当x＞1时，f（x）=x2-4x+6=（x-2）2+2≥2，故函数f（x）的图象如下：当y=2x-a与y=x2-4x+6相切时，a=3当y=-2x+a与y=3-ln x相切时，a=4+ln2，当y=-2x+a与y=x2-4x+6相相切时，a=5，不等式f（x）≥|2x-a|对任意x∈（0，+∞）上恒成立，则实数a的取值范围为[3，4+ln2]故选：C．利用函数f（x）=，的图象求解．本题考查了分段函数的图象，数形结合思想，属于中档题．12.答案：B解析：解：抛物线C1：y2=4x，可得F（1，0），准线方程为x=-1，圆C2：（x-1）2+y2=1，可得圆心与抛物线的焦点F（1，0）重合，半径为1，设A（x1，y1），D（x2，y2），若|FD|=|AB|，可得x2+1=x1+1-1=x1，即为x1-x2=1，则=（1，0）•（x1-x2，y1-y2）=x1-x2=1，故选：B．求得抛物线的焦点和准线方程，以及圆的圆心和半径，设A（x1，y1），D（x2，y2），由题意可得x1-x2=1，再议向量的数量积的坐标表示，可得所求值．本题考查抛物线的定义和方程、性质，以及圆方程的圆心和半径，考查向量数量积的坐标表示，以及运算能力，属于基础题．13.答案：-2解析：解：∵向量=（1，2），=（4，3），∴t+=（t+4，2t+3），∵⊥（t+），∴•（t+）=t+4+4t+6=0，解得t=-2，故答案为：-2．根据向量的坐标运算和向量的数量积计算即可．本题考查了向量的数量积的运算以及向量垂直的条件，属于基础题．14.答案：（-∞，-5）解析：解：函数f（x）=e x-e-x+x3，因为f（-x）=-（e x-e-x+x3）=-f（x），所以函数是减函数；而函数f（x）=e x-e-x+x3，是增函数，所以不等式f（2x+1）+f（4-x）＜0化为：f（2x+1）＜f（x-4），可得2x+1＜x-4，所以x＜-5．故答案为：（-∞，-5）．判断函数的极限以及函数的单调性，然后转化求解不等式即可．本题考查函数的单调性以及函数的极限的判断与应用，考查转化思想以及计算能力，函数的单调性可以利用函数的导数判断证明，也可以通过简单函数的单调性判断求解．15.答案：解析：解：如图，连接A1N，则A1N∥BM，∴∠A1NC1为异面直线BM与C1N所成角，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，∵AB=AA1=2，M，N分别为AA1，BB1的中点，∴，在△A1NC1中，由余弦定理可得：cos．即异面直线BM与C1N所成角的余弦值为．故答案为：．由题意画出图形，作出异面直线BM与C1N所成角，利用余弦定理求解．本题考查异面直线所成角的求法，考查数学转化思想方法，是中档题．16.答案：9解析：解：在正项递增等比数列{a n}中，设公比为q，q＞1，a5=1，可得a1q4=1，S n=a1+a2+……+a n=，T n=++……+===•，S n≤T n，即为a12q n≤q，可得q-8q n≤q，由q＞1，可得n-8≤1，即n≤9，可得n的最大值为9．故答案为：9．设公比为q，q＞1，由等比数列的通项公式和求和公式，结合指数函数的单调性，化简整理，即可得到所求最大值．本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查不等式的解法，以及指数函数的单调性，考查运算能力，属于基础题．17.答案：解：（1）由正弦定理得：sin A cos B-2sin B cosB+sin B cos A=0，又由sin （A+B）=sin C，sin C＞0，可得：cos B=，所以：B=60°．（2）由正弦定理得：a=3c，又由余弦定理：cos B=cos60°==，代入a=3c，可得：=．解析：（1）利用正弦定理化简已知等式可得cos B=，结合B的范围可求B的大小；（2）由正弦定理得a=3c，再结合余弦定理可得=．本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于基础题．18.答案：解：（1）（i）当200＜x≤240时，y=1.2x当240＜x≤300时，y=1.2×240+（x-240）×1.8=1.8x-144所以：f（x）=，（ii）由1.8x-144≥324，解得x≥260，∴小李一天收入不低于324元的概率为：（0.015+0.005）×20=0.4．（2）设打包工在甲、乙两个快递公司工作的日平均收入为x1，x2，用频率估计概率，则打包工在甲、乙两个快递公司工作的收入情况为：日打包量210230250270290甲公司日收入274294314334354乙公司日收入252276306342378故=274×0.1+294×0.2+314×0.3+334×0.3+354×0.1=316，=252×0.1+276×0.2+306×0.3+342×0.3+378×0.1=312.6．因为x1＞x2，故从日平均收入的角度考虑，建议该打包工去甲快递公司工作．故答案为：（1）（i）f（x）=；（ii）0.4；（2）建议该打包工去甲快递公司工作．解析：（1）（i）对x两种情况讨论得到乙公司打包工的收入函数f（x）；（ii）由1.8x-144≥324，解得x≥260，再求小李一天收入不低于324元的概率；（2）设打包工在甲、乙两个快递公司工作的日平均收入为x1，x2，先列出打包工在甲、乙两个快递公司工作的收入情况表，再求为x1，x2，比较它们的大小即得解．本题主要考查函数解析式的求法，考查平均值的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．19.答案：解：（1）把A，B两点代入椭圆方程，得，解得a2=6，b2=2，椭圆C的标准方程为：；（2）设M坐标为（x0，y0），则，得，①线段PM的中点N（，），由k QN•k PM=-1，得，∴l QN：．令x=0，并结合①式得，|OQ|=|y0|=|≥，当且仅当，即时取等号，|OQ|的最小值为．解析：（1）代点A，B的坐标到椭圆的方程，得到关于a，b的方程组，解方程组即得椭圆的标准方程；（2）设M坐标为（x0，y0），求出|OQ|=||，再利用基本不等式求得|OQ|的最小值为．本题主要考查椭圆的标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查椭圆中的最值问题和基本不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，是中档题．20.答案：解：（1）∵顶点P在底面ABCD的射影是O，∴PO⊥面ABCD，由BC⊂面ABCD，∴PO⊥BC．∵∠ABC=120°，AB=2，，连OM，∴BO=1，CO=，BC=2，BM=，∴，则△COB∽△OMB，得OM⊥BC．由OM⊥BC，PO⊥BC，得BC⊥面POM，由PM⊂面POM，得BC⊥PM，∵ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴AD⊥PM；（2）以O为坐标原点，OC为x轴正方向，OB为y轴正方向，OP为z轴正方向，建立空间直角坐标系，则A（，0，0），B（0，1，0），C（，0，0），D（0，-1，0），∵PA=，则PO=，∴P（0，0，）．∵，则M（，1-λ，0），∴，设面PAD的法向量为，由，取z=1，得．由PM与面PAD所成角的正弦值为，即有=sinθ=，解得．设面PAM的法向量为，由，取z=1，得．∴二面角M-PA-D的余弦值为|cos＜＞|=．解析：（1）先证明BC⊥面POM，再证明AD⊥PM；（2）以O为坐标原点，OC为x轴正方向，OB为y轴正方向，OP为z轴正方向，建立空间直角坐标系，由PM与面PAD所成角的正弦值为得到．再利用向量法求二面角M-PA-D的余弦值．本题主要考查空间几何元素的垂直关系，考查空间线面角和二面角的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，是中档题．21.答案：解：（1）由函数f（x）=-ax+a ln x，其中a＞0，得f′（x）=+a（）=，由f（x）仅在x=1处取得极值，则e x-ax≠0，即a≠；令h（x）=（x∈（0，+∞）），则h′（x）=，当x∈（0，1）时，h′（x）＜0，函数h（x）单调递减，x∈（1，+∞）时，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增，所以h（x）min=h（1）=e，∴当0＜a＜e时，e x-ax＞0，此时f′（x）==0仅一个零点x=1，则f（x）仅一个x=1为极值点，当a=e时，e x-ex=0与x-1=0在同一处取得零点，此时x∈（0，1），（x-1）（e x-ex）＜0，x∈（1，+∞），（x-1）（e x-ex）＞0，∴f′（x）==0仅一个零点x=1，则f（x）仅一个x=1为极值点，所以a=e．当a＞e时，显然与已知不相符合；∴0＜a≤e．（2）由g（x）=-ax+a ln x+a（ln x+），则g′（x）=．由题意则g′（x）=0有三个根，则e x-a（x-1）=0有两个零点x1、x2，且x1、x2∈（1，+∞），由x-1=0有一个零点，则x3=1，令p（x）=e x-a（x-1），则p′（x）=e x-a，∴当x=ln a时p（x）取极值，x∈（ln a，+∞）时p（x）单调递增，∴p（ln a）a-a（ln a-1）＜0，则a＞e2时e x-a（x-1）=0有两零点x1，x2，且1＜x1＜ln a＜x2，若证：x1x2+x1x3+x2x3＞2x1x2x3，即证：x1+x2＞x1x2，即（x1-1）（x2-1）＜1，由=a（x1-1），=a（x2-1），则=a2（x1-1）（x2-1），即证：=a2（x1-1）（x2-1）＜a2；等价于x1+x2＜2ln a，等价于x2＜2ln a-x1，由p（x）在（ln a，+∞）上单调递增，即证：p（x2）＜p（2ln a-x1），又p（x1）=p（x2），则证p（x1）-p（2ln a-x1）＜0，令G（x）=p（x）-p（2ln a-x），1＜x＜ln a，∴G（x）=e x-a（x-1）-e2ln a-x+a（2ln a-x-1）=e x--2ax+2a lna．∴G′（x）=e x+-2a≥0恒成立，则G（x）为增函数，∴当1＜x＜ln a时，G（x）＜G（ln a）=0，∴得出x1x2+x1x3+x2x3＞2x1x2x3．解析：（1）由题意求得f′（x），因为f（x）仅在x=1处取得极值，对a分类讨论，利用数形结合分析得到a的取值范围；（2）由题意得g′（x），利用g′（x）=0有三个根，则e x-a（x-1）=0有两个零点x1、x2，且x1、x2∈（1，+∞），由x-1=0有一个零点是x3=1，再利用分析法证明：x1x2+x1x3+x2x3＞2x1x2x3．本题主要考查利用导数研究函数的极值问题，考查分析法证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．22.答案：解：（1）曲线C：ρcos2θ-ρcos2θ-4cosθ=0，即：ρ2sin2θ=4ρcosθ．∴曲线C的标准方程为：y2=4x．（2）设P（4，3），当M（1，0）到直线l的距离最大时，l⊥MP，故．∴直线l的参数方程（t为参数，0≤α＜π）整理得：，的参数方程为（t为参数），将直线l的参数方程代入y2=4x，得：（t1和t2为A、B对应的参数）．∴，t1•t2=-14，∴|AB|=|t1-t2|==16．解析：（1）直接利用极坐标和直角坐标互化的公式求曲线C的直角坐标方程；（2）设P（4，3），当M（1，0）到直线l的距离最大时，得到l⊥MP，故．再利用直线的参数方程的弦长公式求|AB|的长．本题主要考查极坐标方程与直角方程坐标的互化，考查直线参数方程t的几何意义的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力．23.答案：解：（1）f（x）=，由于函数y=4-6x，x＜-，是减函数，y=6-2x，-≤x＜，是减函数，y=6x-4，x≥，是增函数，故当x=时，f（x）取得最小值M=．证明（2）++≥++=a（+）+b（+）+c（+）≥2（a+b+c）=7．解析：（1）先化简函数的解析式，再通过函数的图象得到当当x=时，f（x）取得最小值M=．（2）由题得a+b+c=，再利用均值不等式证明不等式．本题主要考查分段函数的图象和性质，考查分段函数的最值和不等式的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．。
重庆市南开中学高2019届高三数学(理)测试题(2019.03.10)(解析版)
重庆市南开中学高2019届高三数学（理）测试题（2019.03.10）注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑.答案写在答题纸上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合是A. B. C.D.【答案】C【解析】解：图中阴影部分表示的集合，由，则，则．故选：C．阴影部分用集合表示为，只要求出M、N进行集合的运算即可．正确理解集合M、N所表达的含义，以及真确理解韦恩图所表达的集合是解决本题的关键．2.设，则“”是“”的A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】解：，，，，推不出，是充分不必要条件，即“”是“”的充分不必要条件．故选：B．先找出的等价条件，然后根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．3.已知，，，则a，b，c的大小关系为A. B. C. D.【答案】A【解析】解：，，；．故选：A．容易得出，从而得出a，b，c的大小关系．考查对数函数、指数函数的单调性，指数函数的值域，以及增函数的定义．4.函数的零点所在的区间为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：，，，，，的所在区间为．故选：B．据函数零点的判定定理，判断，，，的符号，即可求得结论．考查函数的零点的判定定理，以及学生的计算能力解答关键是熟悉函数的零点存在性定理，此题是基础题．5.将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，则函数的一个对称中心是A. B. C. D.【答案】A【解析】解：函数，，，把函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，令，解得：，当时，函数的对称中心为故选：A．直接利用三角函数的关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用整体思想求出函数的对称中心．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．6.若正整数N除以正整数m后的余数为n，则记为，例如如图程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》执行该程序框图，则输出的n等于A. 22B. 23C. 20D. 21【答案】A【解析】解：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出同时满足条件：被3除余1，被5除余2，最小两位数，故输出的n为22，故选：A．由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答，属于基础题．7.《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推在这个问题中，记这位公公的第n个儿子的年龄为，则A. 23B. 32C. 35D. 38【答案】C【解析】解：由题意可知年龄构成的数列为等差数列，其公差为，则，解得，故选：C．由题意可知年龄构成的数列为等差数列，其公差为，则，解得即可．本题考查了等差数列的应用，属于基础题．8.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A.B.C.D.【答案】D【解析】解：根据三视图知，该几何体是在圆柱的上面削掉的圆柱体，下面挖了半个球体，如图所示；结合图中数据，计算该几何体的体积为．故选：D．根据三视图知该几何体是在圆柱的上面削掉的圆柱体，下面挖了半个球体，结合图中数据求出该几何体的体积．本题考查了利用三视图求简单组合体体积的应用问题，是中档题．9.若平面向量满足，，，，则的最大值为A. B. C. D.【答案】D【解析】解：由题意，可得：，．．．．则的最大值为．故选：D．本题可根据题意把要求的向量重新组合成已知向量的表达，这样就能方便于计算，切记不要直接计算．本题主要考查根据已知向量的模求未知向量的模的方法技巧，把要求的向量重新组合成已知向量的表达是本题的关键点本题属中档题．10.某人在微信群中发了一个8元“拼手气”红包，被甲、乙、丙三人抢完，若三人均领到整数元，且每人至少领到1元，则甲领到的钱数不少于其他任何人的概率为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：如下图，利用隔板法，得到共计有种领法，甲领3元“甲领取的钱数不少于其他任何人”的情况有2种，甲领4元“甲领取的钱数不少于其他任何人”的情况有3种，甲领5元“甲领取的钱数不少于其他任何人”的情况有2种，甲领6元“甲领取的钱数不少于其他任何人”的情况有1种，“甲领取的钱数不少于其他任何人”的情况总数，甲领取的钱数不少于其他任何人的概率．故选：B．利用隔板法求出共计有种领法，由此能求出“甲领取的钱数不少于其他任何人”的情况总数，由此能求出甲领取的钱数不少于其他任何人的概率．本题考查概率的求法，考查隔板法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．11.设，分别是椭圆：的左、右焦点，直线l过交椭圆C于A，B两点，交y轴于C点，若满足且，则椭圆的离心率为A. B. C. D.【答案】A【解析】解：设，分别是椭圆：的左、右焦点，，．直线l过交椭圆C于A，B两点，交y轴于C点，若满足且，可得，则，解得可得：即：，．解得．故选：A．利用已知条件求出C与A的坐标，把A点的坐标代入椭圆方程即可求出椭圆的离心率．本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查．12.若对于任意的实数t，函数在R上都是增函数，则实数a的取值范围是A. B. C. D.【答案】A【解析】解：在R上都是增函数，在R上恒成立，，，令，则，上，，上，，时，，的最小值为，，故选：A．利用在R上都是增函数，可得在R上恒成立，分离参数，再求出右边的最小值，即可得出结论．本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，正确分离参数求最值是关键．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知复数z满足是虚数单位，则复数z的共轭复数______．【答案】【解析】解：，．故答案为：．直接由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．14.已知的展开式中，二项式系数和为32，各项系数和为243，则______．【答案】2【解析】解：由二项式系数和为，得，又令，得各项系数和为，，．故答案为：2．先根据二项式系数的和为，列出方程求出n的值；在对二项式中的x赋值1列出关于a的方程求出a的值．本题是一个典型的二项式问题，主要考查二项式的性质，注意二项式系数和项的系数之间的关系，这是容易出错的地方，本题考查通过给变量赋值求二项展开式的各项系数和，这是解题的关键．15.已知定点，点的坐标满足，当为坐标原点的最小值是2时，实数a的值是______．【答案】2【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：阴影部分定点，点，，设，要使当为坐标原点的最小值是2时，即时，点P落在直线上，此时．作出不等式对应的平面区域，利用数量积将进行化简，然后根据图象平移确定a的值．本题主要考查线性规划的基本应用，利用数形结合是解决此类问题的基本方法．16.如图，在正方形ABCD中，E，F分别为线段AD，BC上的点，，将绕直线BE、绕直线CD各自独立旋转一周，则在所有旋转过程中，直线AB与直线DF所成角的最大值为______．【答案】【解析】解：AB不动，由于，故无论直线DF运动到那里，其与CD的夹角不变，与AB的夹角也不变为．若DF不动，AB转动，两者的夹角在旋转过程中先变小再变大，大小不超过固定时的夹角；当AB转动到BF的另一侧且与原始位置共面时，若DF不动，可计算出两者的夹角是，若DF转动同一平面的另一边，此时两线的夹角为，取到最大值．故答案为：两者同时动，则线线关系不易确定，可以先固定一个探究规律，再作出判断本题考查两异面直线所成的角，由于本题中两条线不固定，在同时变动的情况下，两线的位置关系变化不好确定，故本题采取了先固定一个，进行研究得出规律．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知中，，，．Ⅰ若，求CD的长；Ⅱ若，，求的值．【答案】本题满分为12分解：Ⅰ由，可得：，在中，由余弦定理可得：，解得：分由，可得：，在中，由正弦定理可知：，可得：，在中，由正弦定理可知：，可得：，故分【解析】Ⅰ由已知利用三角形面积公式可解得BD的值，根据余弦定理即可解得CD 的值．由已知可得，在中，由正弦定理可得，在中，由正弦定理可得，即可计算得解的值．本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18.某地区某农产品近几年的产量统计如表：根据表中数据，建立y关于t的线性回归方；根据线性回归方程预测2019年该地区该农产品的年产量．附：对于一组数据，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，参考数据：，计算结果保留小数点后两位【答案】解由题意可知：，，，，又所以y关于t的线性回归方程为由可得，当年份为2019年时，年份代码，此时，所以可预测2019年该地区该农产品的年产量约为万吨．【解析】先计算出和，再代入公式可求得和，进而可得线性回归方程；将2019年的年份代码代入线性回归方程可得．本题考查了线性回归方程，属中档题．19.如图，四棱锥中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，，，E是PD的中点．证明：直线平面PAB；点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为，求二面角的余弦值．【答案】证明：取PA的中点F，连接EF，BF，因为E是PD的中点，所以，，，，是平行四边形，可得，平面PAB，平面PAB，直线平面PAB；解：四棱锥中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，，，E是PD的中点．取AD的中点O，M在底面ABCD上的射影N在OC上，设，则，，，直线BM与底面ABCD所成角为，可得：，，，可得：，，，作于Q，连接MQ，，所以就是二面角的平面角，，二面角的余弦值为：．【解析】取PA的中点F，连接EF，BF，通过证明，利用直线与平面平行的判定定理证明即可．利用已知条件转化求解M到底面的距离，作出二面角的平面角，然后求解二面角的余弦值即可．本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．20.已知椭圆C：的离心率为，以原点为圆心，以椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．Ⅰ求椭圆C的方程；Ⅱ过椭圆的右焦点F的直线与椭圆交于A、B，过F与直线垂直的直线与椭圆交于C、D，与直线：交于P．求四边形ABCD面积的最小值；求证：直线PA，PF，PB的斜率，，成等差数列．【答案】解：Ⅰ椭圆C：的离心率为，，，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切．，，椭圆的方程为；Ⅱ斜率不存在时，方程为，代入椭圆方程可得，，，四边形ABCD面积为；斜率不为0时，方程为，代入椭圆方程可得设，，则，，，同理，，，，，四边形ABCD面积的最小值为；的斜率存在时，则直线的方程为．令，则，．的斜率不存在时，由对称性知，．直线PA，PF，PB的斜率，，成等差数列．【解析】Ⅰ椭圆C：的离心率为，可得，利用椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切，求出b，即可求椭圆C的方程；Ⅱ分类讨论，设出方程代入椭圆方程，利用基本不等式，即可求四边形ABCD面积的最小值；分类讨论，设出方程，证明，即可证明直线PA，PF，PB的斜率，，成等差数列．本题考查椭圆方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查分类讨论的数学思想，属于难题．21.设函数，．当时，函数有两个极值点，求a的取值范围；若在点处的切线与x轴平行，且函数在时，其图象上每一点处切线的倾斜角均为锐角，求实数a的取值范围．【答案】解：当时，，．．令，．时，，在单调递增，不符合题意．时，令，，在上单调递增．令，，在上单调递减．令，．又，，且．时，有两个极值点．综上所述，在点处的切线与x轴平行，且，，且，，在时，其图象上每一点处切线的倾斜角均为锐角即当时，恒成立，令，，设，，，，，在上单调递增，即在上单调递增，，当时，且时，，在上单调递增，成立，当，在单调递增，，，存在有，当时，，单调递减，，不恒成立；实数a的取值范围为【解析】先求导，再分类讨论，利用导数判断函数的单调性，即可求出判断函数的极值点的情况，即可求出a的范围；先根据导数的几何意义求出，再根据函数在时，其图象上每一点处切线的倾斜角均为锐角，可得恒成立，构造函数，利用导数，即可求出a的范围本题考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查了利用导数求闭区间上函数的最值，训练了利用分离变量求参数的取值范围，考查了学生的运算能力，在分类讨论时，此题对细节的分类要求较高，属难度较大的题目．22.在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为为参数是曲线上的动点，将线段OM绕O点顺时针旋转得到线段ON，设点N的轨迹为曲线以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．求曲线，的极坐标方程；在的条件下，若射线与曲线，分别交于A，B两点除极点外，且有定点，求的面积．【答案】解：曲线的参数方程为为参数．由题设，得的直角坐标方程为，即，分故C的极坐标方程为，即分M是曲线上的动点，将线段OM绕O点顺时针旋转得到线段ON，点N的轨迹为曲线．设点，则由已知得，代入的极坐标方程得，的极坐标方程为分射线与曲线，分别交于A，B两点除极点外，将代入，的极坐标方程得，分又，，分，分分【解析】由曲线的参数方程能求出的直角坐标方程，由此能求出的极坐标方程；设点，由已知得，代入的极坐标方程，能求出的极坐标方程．将代入，的极坐标方程得，由，能求出的面积．本题考查曲线的极坐标的求法，考查三角形的面积的求法，考查参数方程、直角坐标方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．23.已知a，b均为正实数，且．求的最大值；求的最大值．【答案】解：，当且仅当，即时，取等号，故原式的最大值为12．原式，因为，当且仅当，即时，取等号，以，故原式的最大值为．【解析】利用平方以及柯西不等式转化求解即可．利用基本不等式，转化求解函数的最值．本题考查不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．。
【精准解析】重庆市南开中学2020届高三第三次教学质量检测考试理科数学
aa122qq2
0 6a2
a2q
，即
q 0 q2 q
6
0
，解得
q
2
，
因此
S4 S3
1 q4 1 q3
1 16 18
15 9
5 3
.
故选 B
【点睛】本题主要考查等比数列前 n 项和的基本量运算，熟记等比数列的通项公式与求和公式
即可，属于常考题型.
6.已知非零平面向量 a，b 满足
6a
【详解】因为平面向量 a m，1，b 8，m 2 ，若 m 4 ，则 a 4，1，b 8，2 ，所
以 b 2a ，因此 a / /b ；即“ m 4 ”是“ a / /b ”的充分条件
若
a
/
/b
，则
m(m
2)
8
0
，解得
m
4
或
m
2
；所以“
m
4
”不是“
a
/
/b
”的必
要条件；
综上，“ m 4 ”是“ a / /b ”的充分不必要条件.
2 2
2
2
所以 6a b a b 6 a 5a b b 0 ，因此 6 a 5a b 16 a 0 ，
-3-
即 a b 2 a
2
，所以
cos
a,
b
a b ab
2 2 a
2 4a
1， 2
因此 a
与b
的夹角为
2 3
.
故选：C
【点睛】本题主要考查向量的夹角运算，熟记平面向量数量积的运算法则即可，属于常考题
综上，不等式 f x 0 的解集为 ，0 1，2 .
故选 D 【点睛】本题主要考查解不等式，熟记一次函数单调性，以及函数解析式的求法即可，属于 常考题型. 8.明代数学家程大位在《算法统宗》中提出如下问题“九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠， 次第每人多十七，要将第八数来言，务要分明依次第，孝和休惹外人传.”意思是将 996 斤绵
精品解析：【全国百强校】重庆市南开中学2019届高三三月测试题数学(理)试题(解析版)
重庆市南开中学高2019届高三数学考试理科数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、试室号和座位号。
用2B型铅笔把答题卡上试室号、座位号对应的信息点涂黑。
2．选择题每小题选出答案后，用2B型铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的项是符合题目要求的．1.已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】阴影部分用集合表示为，只要求出M、N进行集合的运算即可．【详解】解：图中阴影部分表示的集合，由，则，则．故选：C．【点睛】正确理解集合M、N所表达的含义，以及正确理解韦恩图所表达的集合是解决本题的关键．2.设，则“”是“”的（）A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】先找出的等价条件，然后根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．【详解】解：，，，，推不出，是充分不必要条件，即“”是“”的充分不必要条件．故选：B．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．属于基础题.3.已知，，，则，，的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】容易得出，从而得出a，b，c的大小关系．【详解】，，；．故选：A．【点睛】本题考查对数函数、指数函数的单调性，指数函数的值域,关键是找到a,b,c的范围.4.函数的零点一定位于区间（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】函数在其定义域上连续，同时可判断f（2）＜0，f（3）＞0；从而判断．【详解】函数f（x）＝在其定义域上连续，f（2）＝2+2•2﹣6＝ln2﹣2＜0，f（3）＝ln3+2•3﹣6＝ln3＞0；故函数的零点在区间（2，3）上，故选：B．【点睛】本题考查了函数的零点存在定理，对数函数的性质与计算，熟记定理，准确计算是关键，属于基础题．5.将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，则函数的一个对称中心是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用整体思想求出函数的对称中心．【详解】函数，，，把函数的图象向左平移个单位，得到函数g（x）cos2x的图象，令，解得：x（k∈Z），当k＝0时，函数的对称中心为（）．故选：A．【点睛】本题考查三角函数关系式的恒等变换，三角函数平移变换和伸缩变换的应用，正弦型函数的性质的应用，注意最后结果对称中心的纵坐标易错写为0．6.若正整数除以正整数后的余数为，则记为，例如，如图程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》执行该程序框图，则输出的等于（）A. 20B. 21C. 22D. 23【答案】C【解析】试题分析：由已知中的程序框图得：该程序的功能是利用循环结构计算出并输出同时满足条件：①被3除余1，②被5除余2，最小为两位数，所输出的，故选C.考点：程序框图.【名师点睛】本题考查程序框图，属中档题；识别运行算法流程图和完善流程图是高考的热点.解答这一类问题，第一，要明确流程图的顺序结构、条件结构和循环结构；第二，要识别运行流程图，理解框图所解决的实际问题；第三，按照题目的要求完成解答.对流程图的考查常与数列和函数等知识相结合，进一步强化框图问题的实际背景.7.《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌” 就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，记这位公公的第个儿子的年龄为，则( )A. 23B. 32C. 35D. 38【答案】C【解析】【分析】由题意可得儿子的岁数成等差数列，其中公差，，根据等差数列的前项和公式即可得结果. 【详解】由题意可得儿子的岁数成等差数列，设公差为，其中公差，，即，解得，故选C.【点睛】本题考查等差数列在生产生活中的实际应用，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．8.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先确定该几何体的形状为圆柱从上方削去一部分，削去部分的体积为圆柱体积一半的一半即，下方削去半个球，根据尺寸计算即可.【详解】观察三视图发现：该几何体的形状为圆柱从上方削去一部分，削去部分的体积为圆柱体积一半的一半即，下方削去半个球，故几何体的体积为：，故选D.【点睛】本题主要考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是首先判断几何体的形状，然后根据其尺寸计算体积，属于中档题.9.若平面向量满足，，，，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【详解】设向量的夹角为θ，则，∴，．于是可设，令，则，由题意得，表示点在以为圆心，半径为的圆上．又，∴，表示圆上的点与点间的距离，∴的最大值为．故选D．【点睛】由于向量具有数形两方面的性质，所以在解答向量的有关问题时可借助坐标，将向量的问题转化为数的运算的问题，如本题中最值的计算问题，通过建立适当的平面直角坐标系，将向量模的问题转化为距离问题求解，考查数形结合和转化的运用，同时也考查计算能力．10.某人在微信群中发了一个8元“拼手气”红包，被甲、乙、丙三人抢完，若三人均领到整数元，且每人至少领到1元，则甲领到的钱数不少于其他任何人的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用隔板法得到共计有n21种领法，利用列举法求得甲领到的钱数不少于其他任何人的情况总数m ＝8，由此能求出结果．【详解】如下图，利用隔板法，得到共计有n21种领法，甲领3元“甲领取的钱数不少于其他任何人”的情况有2种，即乙领3元，丙领2元或丙领3元，乙领2元，记为（乙2，丙3）或（丙2，乙3）；甲领4元“甲领取的钱数不少于其他任何人”的情况有3种，即（乙1，丙3）或（丙1，乙3）或（乙2，丙2）甲领5元“甲领取的钱数不少于其他任何人”的情况有2种，即（乙1，丙2）或（丙1，乙2）；甲领6元“甲领取的钱数不少于其他任何人”的情况只有1种，即（乙1，丙1）“甲领取的钱数不少于其他任何人”的情况总数m＝2+3+2+1＝6，∴甲领取的钱数不少于其他任何人的概率p．故选B．【点睛】本题考查概率的求法，考查隔板法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．11.设，分别是椭圆的左、右焦点，直线过交椭圆于，两点，交轴于点，若满足且，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据椭圆中线段关系，表示出，，。
重庆市南开中学2020届高三数学第三次教学质量检测考试试题 理(含解析)
重庆南开中学2020届高三第三次教学质量检测考试数学（理科）2020.4第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用复数的除法的运算法则化简复数为的形式即可．【详解】复数．故选：D【点睛】本题主要考查复数的除法运算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.2.设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先化简集合A和B,再求得解.【详解】由题得A=[-4,1]，B=(0,1 ],所以.故选：C【点睛】本题主要考查集合的化简和运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.3.等差数列的前7项和为28，，则（）A. 6B. 7C. 9D. 14【答案】A【解析】【分析】先根据已知得到关于的方程组，解方程组得的值，再求的值.【详解】由题得.故选：A【点睛】本题主要考查等差数列的通项的基本量的计算，考查等差数列的前n项和的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.4.若双曲线的一条渐近线方程为，则（）A. B. 1 C. 2 D. -8【答案】A【解析】【分析】先根据已知求出a,b,再由题得，解方程即得m的值.【详解】由题得，所以.故选：A【点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质，考查双曲线的渐近线方程，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.5.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A. 42B. 45C. 46D. 48【答案】C【解析】【分析】先通过三视图找到几何体原图，再求几何体的体积.【详解】由三视图可知原几何体为如图所示的多面体ABEHM-CDGF,所以该几何体的体积为.故选：C【点睛】本题主要考查三视图找几何体原图，考查几何体的体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.6.重庆奉节县柑桔栽培始于汉代，历史悠久.奉节脐橙果皮中厚、脆而易剥，酸甜适度，汁多爽口，余味清香，荣获农业部优质水果、中国国际农业博览会金奖等荣誉.据统计，奉节脐橙的果实横径（单位：）服从正态分布，则果实横径在的概率为（）附：若，则；；A. 0.6826B. 0.8413C. 0.8185D. 0.9544 【答案】C【解析】【分析】先计算出和，再求果实横径在的概率.【详解】由题得=5，由题得，所以，由题得，所以，所以P(85＜X＜90=，所以果实横径在的概率为+0.1359=0.8185.故选：C【点睛】本题主要考查正态分布，考查指定区间概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.7.设，满足约束条件，则的最小值是（）A. 4B. 5C. 8D. 9【答案】A【解析】【分析】先作出不等式组对应的可行域，再利用数形结合分析得解.【详解】由题得不等式组对应的可行域为如图所示的△ABC,由题得y=-2x+z,当直线经过点A时，直线的纵截距最小，z最小.联立得A(1,2),所以的最小值是2×1+2=4.故选：A【点睛】本题主要考查利用线性规划求最值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和数形结合分析推理能力.8.如图，给出的是求的值的一个程序框图，则判断框内填入的条件是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由已知中程序的功能是计算的值，根据已知中的程序框图，我们易分析出进行循环体的条件，进而得到答案．【详解】模拟程序的运行，可知程序的功能是计算的值，即，时，进入循环，当时，退出循环，则判断框内填入的条件是．故选：．【点睛】本题考查的知识点是循环结构的程序框图的应用，解答本题的关键是根据程序的功能判断出最后一次进入循环的条件，属于基础题．9.记，则（）A. 81B. 365C. 481D. 728 【答案】B【解析】【分析】令x=0得求出的值，令x=-2得的值，再求的值.【详解】令x=0得1=，令x=-2得，所以.故选：B【点睛】本题主要考查二项式定理展开式的系数和求值问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.10.已知函数的最小正周期为，且是函数图象的一条对称轴，则的最大值为（）A. 1B.C.D. 2【答案】D【解析】【分析】利用辅助角公式化简，根据最小正周期为，可得的值，一条对称轴是建立关系即可求解．【详解】由题得函数，其中．最小正周期为，即．那么．一条对称轴是，可得：则．即．．的最大值为．故选：．【点睛】本题主要考查三角恒等变换，考查三角函数的图像和性质，考查三角函数的最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.11.已知函数，若不等式对任意上恒成立，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】对x分三种情况讨论，当x∈（0,1时，求得；当x∈时，求得；当x∈时，求得a≥3，综合即得解.【详解】由题得，取特值代入上面的不等式得a≥3，所以，（1）在x∈（0,1上，0＜x≤1＜，恒有a≤3+2x-lnx成立，记g(x)=2x-lnx+3(0＜x≤1）所以，所以所以.(2)在x∈上，，恒有，所以x∈上恒成立，又在x∈上，的最小值为5，所以.(3)在x∈时，x≥，恒有.综上.故选:C【点睛】本题主要考查分段函数和不等式的恒成立问题，考查绝对值不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.12.如图，抛物线：，圆：，过焦点的直线从上至下依次交，于点，，，.若，为坐标原点，则（）A. -2B. 1C. 4D.【答案】B【解析】【分析】由题可设A，其中a>0,d＜0.根据得，再利用平面向量的数量积运算化简得解.【详解】由题可设A，其中a>0,d＜0.又焦点F(1,0)，所以|FD|=1+，所以|AB|=|FA|-|OB|=，由题得.所以，所以1.故选：B【点睛】本题主要考查抛物线的简单几何性质和定义，考查平面向量的数量积的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填写在答题卡相应的位置.13.已知向量，且，则实数__________．【答案】-2【解析】14.已知函数，则不等式的解集为__________．【答案】【解析】【分析】先求出函数的奇偶性和单调性，再利用函数的奇偶性和单调性解不等式得解.【详解】由题得函数的定义域为R,由题得=-f(x),所以函数f（x）是奇函数，因为，所以函数f(x)是定义域上的增函数，所以=f(x-4),所以2x+1＜x-4,所以x＜-5.故答案：【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的判断和应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.15.在正三棱柱中，，，分别为，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为__________．【答案】【解析】【分析】如图，连接,则所以异面直线与所成的角就是直线和所成锐角或直角.再解三角形利用余弦定理求出异面直线与所成角的余弦值.【详解】如图，连接,则所以异面直线与所成的角就是直线和所成锐角或直角.由题得,在△中，由余弦定理得.所以异面直线与所成角的余弦值为.故答案为：【点睛】本题主要考查异面直线所成的角的计算，考查空间几何体的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.16.在正项递增等比数列中，，记，，则使得成立的最大正整数为__________．【答案】9【解析】【分析】先化简得，再根据得到，再解不等式得解.【详解】由题得，因为数列是正项递增等比数,所以，所以.因为，所以，所以.所以使得成立的最大正整数为9.故答案为：9【点睛】本题主要考查等比数列的前n项和，考查等比数列的通项，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.三、解答题：本大题共6小题，共计70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.在中，角，，所对的边分别是，，，且.（1）求角；（2）若，求.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理化简即得；（2）由正弦定理得，再结合余弦定理可得.【详解】解：（1）由正弦定理得：，又，，得.（2）由正弦定理得：，又由余弦定理：，代入，可得.【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.18.随着电子商务的兴起，网上销售为人们带来了诸多便利.商务部预计，到2020年，网络销售占比将达到.网购的发展同时促进了快递业的发展，现有甲、乙两个快递公司，每位打包工平均每天打包数量在范围内.为扩展业务，现招聘打包工.两公司提供的工资方案如下：甲公司打包工每天基础工资64元，且每天每打包一件快递另赚1元；乙公司打包工无基础工资，如果每天打包量不超过240件，则每打包一件快递可赚1.2元；如果当天打包量超过240件，则超出的部分每件赚1.8元.下图为随机抽取的打包工每天需要打包数量的频率分布直方图，以打包量的频率作为各打包量发生的概率.（同一组中的数据用该组区间的中间值作代表）.（1）（i）以每天打包量为自变量，写出乙公司打包工的收入函数；（ii）若打包工小李是乙公司员工，求小李一天收入不低于324元的概率；（2）某打包工在甲、乙两个快递公司中选择一个公司工作，如果仅从日平均收入的角度考虑，请利用所学的统计学知识为该打包工作出选择，并说明理由.【答案】（1）（i）；（ii）0.4；（2）建议该打包工去甲快递公司工作.【解析】【分析】（1）（i）乙公司打包工的收入函数；（ii）由，解得，再求小李一天收入不低于324元的概率；（2）设打包工在甲、乙两个快递公司工作的日平均收入为，，先列出打包工在甲、乙两个快递公司工作的收入情况表，再求，，比较它们的大小即得解.【详解】解：（1）（i）当时，y=1.2x当时，y=12×240+(x-240)×1.8=1.8x-144所以，（ii）由，解得，∴小李一天收入不低于324元的概率为.（2）设打包工在甲、乙两个快递公司工作的日平均收入为，，用频率估计概率，则打包工在甲、乙两个快递公司工作的收入情况为故，.因为，故从日平均收入的角度考虑，建议该打包工去甲快递公司工作.【点睛】本题主要考查函数解析式的求法，考查平均值的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.19.已知，是椭圆：上两点.（1）求椭圆的标准方程；（2）设为坐标原点，为椭圆上一动点，点，线段的垂直平分线交轴于点，求的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）代点A,B的坐标到椭圆的方程，得到关于a,b的方程组，解方程组即得椭圆的标准方程；（2）设坐标为，求出，再利用基本不等式求得的最小值为.【详解】解：（1）代入，两点：，，，所以椭圆的标准方程为：.（2）设坐标为，则①线段的中点，，所以：.令，并结合①式得，，当且仅当，时取等，所以的最小值为.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查椭圆中的最值问题和基本不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.20.如图，在四棱锥中，底面为菱形，顶点在底面的射影恰好是菱形对角线的交点，且，，，，其中.（1）当时，求证：；（2）当与平面所成角的正弦值为时，求二面角的余弦值.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】【分析】（1）先证明面，再证明；（2）以为坐标原点，为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向，建立空间直角坐标系，由与面所成角的正弦值为得到.再利用向量法求二面角的余弦值.【详解】解：（1）∵顶点在底面的射影是，∴面，由面，∴.∵，，，连，∴，，，，∴，则，∴.由，，∴面，由面，∴，∵菱形，，∴.（2）以为坐标原点，为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向，建立空间直角坐标系，则，，，，∵，则，∴.∵，则，∴，设面的法向量为，由，解得.由与面所成角的正弦值为，即有，解得.设面的法向量为，由，解得.∴二面角的余弦值.【点睛】本题主要考查空间几何元素的垂直关系，考查空间线面角和二面角的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.21.已知函数，其中.（1）若函数仅在处取得极值，求实数的取值范围；（2）若函数有三个极值点，，，求证：.【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】【分析】(1)，因为仅在处取得极值，则.再对a 分类讨论，利用数形结合分析得到a的取值范围；(2)由题得，由题意则有三个根，则有两个零点，有一个零点，，再利用分析法证明.【详解】解：（1）由，得，由仅在处取得极值，则，即.令，则，当单调递减，单调递增，则，∴当时，，此时仅一个零点，则仅一个为极值点，当时，与在同一处取得零点，此时，，，，∴仅一个零点，则仅一个为极值点，所以a=e.当a＞e时，显然与已知不相符合.∴.（2）由，则.由题意则有三个根，则有两个零点，有一个零点，，令，则，∴当时取极值，时单调递增，∴，则时有两零点，，且，若证：，即证：，由，，则，即证：，由在上单调递增，即证：，又，则证，令，，∴.∴恒成立，则为增函数，∴当时，，∴得证.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的极值问题，考查分析法证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22.在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，），以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.曲线的极坐标方程为：.（1）求曲线的直角坐标方程；（2）设直线与曲线相交于，两点，当到直线的距离最大时，求.【答案】（1）；（2）16.【解析】【分析】（1）直接利用极坐标和直角坐标互化的公式求曲线的直角坐标方程；（2）设，当到直线的距离最大时，得到，故.再利用直线的参数方程的弦长公式求.【详解】解：（1）曲线：，即：.∴曲线的标准方程为：.（2）设，当到直线的距离最大时，，故.∴的参数方程为（为参数），将直线的参数方程代入得：.∴，∴.【点睛】本题主要考查极坐标方程与直角方程坐标的互化，考查直线参数方程t的几何意义的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.23.已知函数的最小值为.（1）求；（2）若正实数，，满足，求证：.【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）先化简函数的解析式，再通过函数的图像得到当时，取得最小值；（2）由题得，再利用均值不等式证明不等式.【详解】解：（1），由于函数y=,减函数，y=,是减函数，y=，是增函数，故当时，取得最小值（2）.【点睛】本题主要考查分段函数的图像和性质，考查分段函数的最值和不等式的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.。
重庆市南开中学2019届高三三月测试题数学(理)试题(含参考答案)
重庆市南开中学高2019届高三数学考试理科数学试题2019.03.10一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的项是符合题目要求的． 1．已知全集U R =，1218x N x⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，(){}ln 1M x y x ==--，则图中阴影部分表示的集合是A ．(3,1)--B ．()3,0-C ．[)1,0-D ．(),3-∞-2．设01a <<，则“log 1a b >”是“b a <”的（ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知21log 3a =，35b -=，122c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c b a <<D ．c a b <<4．函数()ln 26f x x x =+-的零点一定位于区间（ ） A ．()1,2B ．()2,3C ．()3,4D ．()4,55．将函数()2cos cos f x x x x =+的图象向左平移6π个单位得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的一个对称中心是（ ） A ．1,42π⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,42π⎛⎫-- ⎪⎝⎭ C ．1,122π⎛⎫⎪⎝⎭D ．51,122π⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 6．若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，则记为()mod N n m =，例如()102mod4=，如图程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》执行该程序框图，则输出的n 等于（ ）A ．20B ．21C ．22D ．237．《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，记这位公公的第n 个儿子的年龄为n a ，则1a =（ ） A ．23B ．32C ．35D ．388．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．38πB ．4πC ．524πD ．724π 9．若平面向量,,a b c 满足2a =，4b =，4a b ⋅=，3c a b -+=，则c b -的最大值为（ ）ABC ．D ．10．某人在微信群中发了一个8元“拼手气”红包，被甲、乙、丙三人抢完，若三人均领到整数元，且每人至少领到1元，则甲领到的钱数不少于其他任何人的概率为（ ） A ．13B ．821C ．37D ．51811．设1F ，2F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，直线l 过1F 交椭圆C 于A ，B 两点，交y 轴于C 点，若满足1132FC AF =且1230CF F ∠=︒，则椭圆的离心率为（ ） A．3B．6C ．13D ．1611．若对任意的实数t ，函数()()()333t f x x t x e ax =-+--在R 上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C．,2⎛-∞ ⎝⎦D．,2⎛⎫-∞ ⎪ ⎪⎝⎭第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知复数z 满足2i1iz =-（i 是虚数单位），则复数z 的共轭复数z =________． 14、已知()1nax +的展开式中，二项式系数和为32，各项系数和为243，则a =________．15．已知定点()2,0A ，点(),P x y 的坐标满足430352500x y x y x a -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩，当OP OA OA ⋅（O 为坐标原点）的最小值是2时，实数a 的值是________．16．如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别为线段AD ，BC 上的点，20ABE ∠=︒，30CDF ∠=︒．将ABE 绕直线BE 、CDF 绕直线CD 各自独立旋转一周，则在所有旋转过程中，直线AB 与直线DF 所成角的最大值为________．三、解答题17．已知ABC 中，2BC =，45B =︒，AD AB λ=（01λ<<）． （1）若1BCDS=，求CD 的长；（2）若30A =︒，13λ=，求sin sin ACDDCB∠∠的值．18．某地区某农产品近几年的产量统计如表：（I ）根据表中数据，建立关于t 的线性回归方程y bt a =+； （Ⅱ）根据线性回归方程预测2019年该地区该农产品的年产量．附：对于一组数据()11,t y ，()22,t y ，…， (),n n t y ，其回归直线y bt a =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：()()()121ˆˆˆ,nii i ni i tty y bay bt tt==--==--∑∑． （参考数据：()()612.8ii i tty y =--=∑，计算结果保留小数点后两位）19．如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 是边长为2的等边三角形且垂直于底ABCD ，12AB BC AD ==，90BAD ABC ∠=∠=︒，E 是PD 的中点．（1）证明：直线CE平面PAB ；（2）点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成角为45︒，求二面角M AB D --的余弦值．20．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为12，以原点为圆心，以椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y -+=相切．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过椭圆的右焦点F 的直线1l 与椭圆交于C 、D ，过F 与1l 垂直的直线2l 与椭圆交于C ，D ，与3:4l x =交于P ，求证：直线PA ，PF ，PB 的斜率PA k ，PF k ，PB k 成等差数列． 21．设函数()()2ln 1f x x x ax b x =-+-，()xg x e ex =-．（1）当0b =时，函数()f x 有两个极值点，求a 的取值范围；（2）若()y f x =在点()()1,1f 处的切线与x 轴平行，且函数()()()h x f x g x =+在()1,x ∈+∞时，其图象上每一点处切线的倾斜角均为锐角，求a 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生从第22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔在答题卡相应题号处填涂，如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为()5cos 55sin x y ααα=⎧⎨=+⎩为参数．M 是曲线1C 上的动点，将线段OM绕O 点顺时针旋转90︒得到线段ON ，设点N 的轨迹为曲线2C ．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线1C ，2C 的极坐标方程； （2）在（1）的条件下，若射线()03πθρ=≥与曲线1C ，2C 分别交于A ，B 两点（除极点外），且有定点()4,0T ，求TAB △的面积． 23．选修4-5：不等式选讲已知a ，b 均为正实数，且1a b +=．（1）求2的最大值；（2）求1aba+的最大值． 重庆南开中学高2019级高三数学（理）测试（3．10）一、选择题CBABA CCDDB AA 二、填空题13．1i -- 14．2 15．2 16．70︒三、解答题 17．（1）由1··sin45122BCDSBC BD BD BD =︒==⇒= 在BCD △中，由余弦定理可得：2222cos454242CD BC BD BC BD CD =+-⋅⋅︒=+-=⇒=（2）由123AD AB BD AD =⇒=， 在ADC △中，由正弦定理可知sin sin sin sin 2CD AD A AD ADACD A ACD CD CD ⋅=⇒∠==∠， 在BDC △中，由正弦定理可知sin sin sin sin CD BD B BD BCD B BCD CD ⋅=⇒∠==∠，故sin sin 2ADACD BCD CD∠====∠18．（1）由题意可知：123456 3.56t +++++==，6.6 6.777.17.27.476y +++++==，()622222221( 2.5)( 1.5)(0.5)0.5 1.5 2.517.5l i t t =-=-+-+-+++=∑，∴()()()12112.8ˆ0.1617.5niii ni t t y y bt t ==--===-∑∑，又70.16 3.5 6.44b a y t =-=-⨯=，∴y 关于t 的线性回归方程为0.16 6.44y t =+．（2）由（1）可得，当年份为2019年时，年份代码8t =，此时0.168 6.447.72y =⨯+= 所以，可预测2019年该地区该农产品的年产量约为7．72万吨．19．（1）取PA 中点F ，连结EF ，BF ．因为E 为PD 的中点，所以EF AD ，12EF AD =， 由90BAD ABC ∠=∠=︒得BC AD ，又12BC AD =，所以EF BC ，四边形BCEF 为平行四边形，CEBF ．又BF ⊂平面PAB ，CE ⊄平面PAB ，故CE平面PAB ．（2）已知得BA AD ⊥，以A 为坐标原点，AB 的方向为x 轴正方向， AB 为单位长，建如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则()0,0,0A ，()1,0,0B ，()1,1,0C，(P ．(1,0,(1,0,0)PC AB ==，则(1,,),(,1,BM x y z PM x y z =-=- ．因为BM 与底面ABCD 所成的角为45︒，而()0,0,1n =是底面ABCD 的法向量，所以cos ,sin 45,2BM n =︒=，即222(1)0x y z -+-=． 又M 在棱PC上，设PM PC λ=，则,1,x y z λ===，由①，②112x y z ⎧=+⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎪⎩（舍去），112x y z ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩122M ⎛-⎝⎭，从而122AM ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭． 设()000,,m x y z =是平面ABM 的法向量，则00m AM m AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0000(2200x y x ⎧-++=⎪⎨=⎪⎩，所以可取(0,6,2)m =-．于是10cos ,||||m n m n m n ⋅==． 因此二面角M AB D --20．（1）由题意知12c e a ==，所以22214a b a -=，即2243a b =， 又因为以原点为圆心，以椭圆的短半轴长为半径的圆222x y b +=，与直线0x y -+=相切，所以b ==，所以24a =，23b =， 故椭圆C 的方程为22143x y +=． （2）由题意知直线1l 的斜率存在且不为0，则直线1l 的方程为()1y k x =-．由()221,143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩得()22224384120k x k x k +-+-=．①设点()11,A x y ，()22,B x y ，则()11,A x y -，利用根与系数的关系得2122843k x x k +=+，212241243k x x k -=+， 由题意知直线2l AE 的斜率为1k -，则直线2l 的方程为()11y x k =-- 令4x =，得P 点的坐标34,P k ⎛⎫-⎪⎝⎭()()12121212123311311444444PA PBy y k x k x k k k k x x x x k x x ++--⎛⎫+=+=+++ ⎪------⎝⎭()()()1212121212121225883416416x x x x x x k x x x x k x x x x ++++-=⨯+⨯-++-++ 2222222222222241288258834343434128412841641643434343k k k k k k k k k k k k k k k k --⨯+-+++=⨯+⨯---⨯+-⨯+++++ ()()22203242422361361PF k k k k k k k --=⨯+⨯=-=++即2PA PB PF k k k +=，所以,,PA PF PB k k k 成等差数列；21．（1））当b =0时，2()ln ,()ln 2f x x x ax x f x x ax '=--=-，所以2()ln f x x x ax x =--有两个极值点就是方程ln 20x ax -=有两个解，即2y a =与()ln xm x x=的图像的交点有两个． ∵21ln ()xm x x-'=，当()0,x e ∈时，()0m x '>，()m x 单调递增； 当,()x e ∈+∞时，()0m x '<，()m x 单调递减，()m x 有极大值1e ．又因为(]0,1x ∈时，()0m x ≤；当()1,x ∈+∞时，()102m x e<<．当1,2a e ∈+∞⎛⎫⎪⎝⎭时，2y a =与()ln x m x x =的图像的交点有0个； 当(],0a ∈-∞或12a e =时2y a =与()ln xm x x=的图像的交点有1个； 当10,2a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时2y a =与()ln xm x x =的图象的交点有2个； 综上10,2a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭． （2）函数()y f x =在点()()1,1f 处的切线与x 轴平行，所以()10f '=且()10f ≠， 因为()ln 2 f x x ax b '=-+， 所以2b a =且1a ≠；()()2ln 1x h x x x ax b x e ex =-+-+-在()1,x ∈+∞时，其图像的每一点处的切线的倾斜角均为锐角，即当1x >时，()()()0h x f x g x '''=+>恒成立，即ln 220,xx e ax a e +-+->令()ln 22xt x x e ax a e =+-+-，∴()12xt x e a x'=+- 设211()2,()x x x e a x e x x ϕϕ'=+-=-，因为1x >，所以21,1x e e x><，∴()0x ϕ'>， ∴()x ϕ在(1,)+∞单调递增，即()t x '在(1,)+∞单调递增， ∴()()112t t e a x ''>=+-，当12ea +≤且1a ≠时，()0t x '≥． 所以()ln 22xt x x e ax a e =+-+-在(1,)+∞单调递增，∴()()10t x t >=成立． 当12ea +>，因为()t x '在(1)+∞单调递增，所以()1120t e a '=+-<， ()1ln 2220ln 2t a a a a'=+->，所以存在()01,ln2x a ∈有()00t x '=；当()01,x x ∈时，()0t x '<，()h x 单调递减，所以有()()010t x t <=，()0t x >不恒成立；所以实数a 的取值范围为1(,1)1,2e +⎛⎤-∞⋃ ⎥⎝⎦． 22．（1）由题设，得1C 的直角坐标方程为()22525x y +-=，即22100x y y +-=， 故1C 的极坐标方程为210sin 0ρρθ-=，即10sin ρθ=． 设点(),N ρθ(0)ρ≠，则由已知得,2M a πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，代入1C 的极坐标方程得10sin 2πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭即()10sin 0ρθρ=≠． （2）将3πθ=代12,C C的极坐标方程得,5,33A B ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 又因为()4,0T，所以11||||sin 15,||||sin 2323TOA TOB S OA OT S OB OT ππ∆∆=⋅==⋅=所以15TAB TOA TOB S S S ∆∆∆=-=- 23．（1）(2211=()2211(4141)a b ≤+⋅+++()2422(412)12a b =++=⨯+=⎡⎤⎣⎦，当且仅当=12a b ==时，取等号，故原式的最大值为12． （2）原式=112122ab b a b a ab a b===+++，因为121222()123b a b a a b a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=+++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭33≥+=+2b a a b =，即12a b ⎧=-⎪⎨=⎪⎩3≤=-故原式的最大值为3-．。
重庆市南开中学高2019级高三数学(理)测试(4.21)(图片版)
重庆市南开中学高2019届高三数学考试理科数学试题(2019.04.21 )重庆南开中学高2019级高三数学(理〉测试(4.21)—*涯择曲(本题共门小型毎小跳5分，共60分.在毎小题给出的四个选项中,只有f顼捷符合题目娶求的)1.设复数二满足・则=在复平面内的对应点位于()]+ /A. 第一象限B.第二象限C第三象眼D.第四象限2.若集合4卜|兽£0卜 5 = {i|-1<x<2jr 则()A. [-2,2)B. (-L1]C.(-Ll)D.(-l,2)3. 已知取仙线匚-益=1("0, 6>0)的一条渐近践方程为y = 2Xf且经过点P 皿4),姬双曲a b馥的方程是(〉A r—- —-1 0X_Z=，1cf Dr X i -—■ 14 32 34 2 844.在MBC中，BD = -DCi则丽二()2A.丄X5+-XC B+ -AB+-AC4 4 3 3G抨存D抨存:A.谏公司2018年度冰轉晏电器擔害亏损B*诛公司201&年度小家电类电器营业收入和净利润相同C. 该公同20揺年老净利衙主妾由空调类电器甫欝提供D. 副除林箱类电器销电数祁石・谡住司曲淖耶度空调类电器销售浄利润占比将会耳低6.将国数f(x) = 2$叫"?)7的图象上备点横生标缩短到原来的*畝坐标不喪)得到密数g()r)的圈象，则下列说法正瓏的是< )甩函数巩工)的圏象关于点[哈勺对称玖函數列打的周期巧C,函数貞工)在卜彳]上单调递増D函數就对在卜壬]上最大值是iI 1工已知橢做吞■ +令二15 Ab》0)的左右焦点分别为斤丹，右顶点为N r上顶直为以线啟卢；』九直径的附交践段叩的延长域于点若尸，则该楠园离心率是〔)議驚話疇饗富常牒:豁牒囂輕严A.曲种B.44种C.關种10-如图F 止方形网格紙中的实统图曲是一牛赛面体的三观樹・划该多面体 各表面所在平面互相垂直的有（）扎2对 B. 3对 —对 D.5对11,“垛視术飞隙职术［杲由北宋科学家沈括在电梦濱雄谈》中fl ■创，南宋栽学家畅辉、元试数学家朱 世蛊丰富和笈展的一类数列求和方法，有芟草垛、方垛、勺童垛、三炖垛尊辱.某色库中部分箕物 堆毁成如图所示的“芟車垛匕自上而下，第一层】件・以后毎一层比上••崖 每1件，垠疳一层是"件*已曲第…层贷物单价1万元.从第二层起”货物 射单价赴上一层单密的Z 若垃堆货物总价是100“孙汨万元・则用的值10 110/为（）A .7 B. 8 CftnSE ：）C. 9 DUO12函数人对詔-严"禺-1|在® 1）内有两个零点，则实歎b 的取值范囤捷（＞扎卜需 _血屮（斥-1，&）B.（l^f O ）U （O-e-l ）C,（l-Ve. O ）U （D T &-】） °（1F ■冈 1）（丘—1）二、填空尴【索题其4小他 得少船刍乩 共初加□.设零塑数列{斗}的馆”项和为若兔亠叫尅列归」的公擡吐 一——-14.若 $in （壬 + a J - j * 则 cos 2a + cosff " __ _——•15. 若CI + £H O ・ PC a1+ b 1 + _-——-的摄小值为 __{»}16. 已知芈轻为4的球面上冇两点A,B t *S 球心为0，若球面上的动点（？満足二面箱C-AB-O 的大小为60S 珈四面体Q （眈的外接琼的半轻为 ___________ -D.弭种■视脳三、解答越（本大题共6小竝，共70分.解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤》 <-）必考题匕共60分.17* 在 中，角儿 B* （7 所对的边分别为 g th Ct sin ：i4 + sin 2B + sin^sin^ = 2csinC r MBC 的 面积S * abc ■ <1）求角（？：（2）求XBC 周长的取值范围.18.如图，三棱台ABC - EFG 的底面是正三角形，平面4BC 丄平面BCGF ，CB = 2GF, BF = CF. （】）求证t /目丄fG ；C2）若ECYI 求宜线/E 与平面好£心所成角的正弦值.19.某种大型医疗检査机骼生产商，对一次性购买2台机器的客户，推出两种趙过质保期后两年内 的延保维修优惠方案：方案一：交纳延保金7000元”在延保的两年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费2000 元： 方案二；交纳延保金10000元，在延保的两年内可免费维修4次「超过4次每次收取维修费 1000 元 某医院准备一次性购买2台这种机器•现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案・为此搜集 并整理了 50台这种趴器超过质保期后延保两年内維修的次数，得下寧：以这50台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率•记*表示这2台机器超过质 保期后延保的两年内共需维修的次数・ （］>求X 的分布列；（2）以所霊延保金及维修费用的期望值为决策依据，医院选择哪种延保方案更合算？< 1)B «2S®c 薦7S°)上F “g 惦其儒点F 的距离为10. 爲鶴%;圜灌鑑交于4 〃两点，且拋物线耐占两维修次数1一」P 台数5102015A点处的切钱分别込轴于21* 已知函数/(x) = a(x+l)ln(x+1)-i2-ffc(a>0)Ji减函数C1)试确定口的值；⑵已知数列⑷，“学* …码碣…心皀心求证：h[(«+2)7；]<t-^<-)选考题：共10分•谓考生在第22、23两題中住选一题作誓・注竄：只能惟所选走的题目如果多熾*则按所做的第一个题目计分.22. (本小题満分10分)选修4一4:坐标系与参数方程在直為坐嫌系Q中，曲践G的参数方程为i x = 2c^{0为参数).在以原点。
重庆南开中学2020级高三第三次教学质量检测理科数学
班级： 姓名： 线订装绝密★启用前重庆南开中学2020级高三第三次教学质量检测理科数学时间：120分钟满分：150分命卷人：*审核人：一、选择题（每小题5分,共60分）1. 已知集合U ={1,2,3,4,5},,则C U A =( )A. {5}B. {4,5}C. {3,4,5}D. {2,3,4,5}2. 已知复数2+ai1−i为纯虚数,则实数a =( )A. 4B. 3C. 2D. 13. 已知平面向量a ⃗=(m,1),b ⃗⃗=(8,m −2),则“m =4”是“a ⃗//b⃗⃗”的( ) A. 充要条件B. 既不充分也不必要条件C. 必要不充分条件D. 充分不必要条件4. 函数f(x)=sinx −√3cosx 的一条对称轴为( )A. x =−π6B. x =−π3C. x =π6D. x =π35. 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1a 2<0,a 4=6a 2+a 3,则S 4S 3=( )A. −157B. −53C. 53D.1576. 已知非零平面向量a ⃗,b ⃗⃗满足(6a ⃗+b ⃗⃗)⊥(a ⃗−b⃗⃗),,则a ⃗与b⃗⃗的夹角为( ) A. π6 B. π3C.2π3 D. 5π67. 已知定义在R 上的函数f(x)满足f(2−x)+f(x)=0,当x >1时,f(x)=x −2,则不等式f(x)<0的解集为( )A. (1,2)B. (−∞,0)C. (0,2)D. (−∞,0)∪(1,2) 8. 明代数学家程大位在《算法统宗》中提出如下向题“九百九十六斤绵,赠分八子做盘缠,次第每人多十七,要将第八数来言,务要分明依次第,孝和休惹外人传”意思是将996斤绵分给八个人,从第二个人开始,每个人分得的绵都比前一个人多17斤,则第八个人分得绵的斤数为( )A. 150B. 167装订线C. 184D. 2019. 函数y =lnxcosx 的图象大致为( )A.B.C.D.10. 在ΔABC 中,AC =AB =3,点M ,N 分别在边AC ,AB 上,且AM =BN =2,BM ⊥CN ,则ΔABC 的面积为( )A. 9√1011B. 8122C. 4511D.18√101111. 在ΔABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若c −a =2acosB ,则3a+c b的最小值为( )A. √2B. √3C. 2√2D. 312. 已知数列{a n },{b n }满足:a n+1=2a n +b n ,b n+1=a n +2b n +lnn+1n3(n ∈N ∗),a 1+b 1>0,给出下列四个命题:①数列{a n −b n }单调递增;②数列{a n +b n }单调递增;③数列{a n }从某项以后单调递增;④数列{b n }从某项以后单调递增.这四个命题中的真命题是( )A. ②③④B. ②③C. ①④D. ①②③④ 二、填空题（每小题5分,共20分）13. 已知曲线y =x 3+ax 在x =1处的切线与直线y =2x +1平行,则a 的值为__________.14. 已知函数f(x)=Asin(ωx +φ),其中A >0,ω>0,φ∈(−π,π)的部分图象如图所示,则φ=__________.15. 已知函数f(x)=2e x +(1−k)x 2在(0,+∞)上单调递增,则实数k 的取值范围是__________.16. 已知平面向量a ⃗,b⃗⃗,,a ⃗⊥b⃗⃗,,则的最大值是__________.班级： 姓名： 线订装三、解答题（每小题12分,共60分）17. 已知公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 2,a 4,a 7成等比数列,且S 5=50. (1)求a n ; (2)求数列{1a n a n+1}的前n 项和T n .18. 在ΔABC 中,AB =2,AC =3,D 为BC 边上的中点. (1)求sin∠BADsin∠DAC的值; (2)若∠BAD =2∠DAC ,求AD .19. 某工厂生产一批零件,为了解这批零件的质量状况,检验员从这批产品中随机抽取了100件作为样本进行检测,将它们的重量(单位:g )作为质量指标值.由检测结果得到如下频率分布表和频率分布直方图.(1)求图中a ,b 的值; (2)根据质量标准规定:零件重量小于47或大于53为不合格品,重量在区间[47,49)和(51,53]内为合格品,重量在区间[49,51]内为优质品.已知每件产品的检测费用为5元,每件不合格品的回收处理费用为20元.以抽检样本重量的频率分布作为该批零件重量的概率分布.若这批零件共400件,现有两种销售方案: 方案一:对剩余零件不再进行检测,回收处理这100件样本中的不合格品,余下所有零件均按150元/件售出; 方案二:继续对剩余零件的重量进行逐一检测,回收处理所有不合格品,合格品按150元/件售出,优质品按200元/件售出. 仅从获得利润大的角度考虑,该生产商应选择哪种方案?请说明理由.20. 已知函数f(x)=ax 2−ln(x −1)+1(a ∈R)存在极值点. (1)求a 的取值范围; (2)设f(x)的极值点为x 0,若f(x 0)<x 0,求a 的取值范围.装订线21. 已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左右焦点分别为F 1,F 2,离心率为√32,点D 在椭圆C 上,且ΔDF 1F 2的周长为4+2√3. (1)求椭圆C 的方程; (2)已知过点(1,0)的直线与椭圆C 交于A ,B 两点,点P 在直线x =4上,求的最小值.四、选做题（每小题10分,共20分）22A. 在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为(t 为参数,0<α<π),以O 为极点,x 轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方方程为ρ(1−cos2Θ)=8cosΘ. (1)判断直线l 与曲线C 的公共点的个数,并说明理由; (2)设直线l 与曲线C 交于不同的两点A ,B ,点P(1,−1),若,求tanα的值.22B. 已知实数a ,b 满足,. (1)证明:; (2)若pq >0,证明:(ap +bq)(aq +bp)⩾pq .班级： 姓名： 线 订装重庆南开中学2020级高三第三次教学质量检测理科数学答案和解析第1题： 【答案】C【解析】由集合,,则.第2题： 【答案】C【解析】复数为纯虚数,∴,,解得.第3题： 【答案】D【解析】两个平面向量,平行,则,或,所以“”是“”的充分不必要条件,故选D.第4题： 【答案】A【解析】.令,解得,, 当时,,所以A 选项是正确的.第5题： 【答案】B【解析】由已知可得,∴, 又,即,解得,∴.第6题： 【答案】C【解析】∵,∴,又∵, ∴,∴,∴与的夹角为.第7题： 【答案】D【解析】由已知,即,∴关于中心对称, 又当时,,作出函数的图象如图所示,由图可知的解集为.第8题： 【答案】C【解析】设第八人分得,则等差数列公差为,,解得.第9题： 【答案】A【解析】当时,,,∴,排除C 、D; 又当时,,,∴,排除B,故选A.第10题：装订线【答案】A【解析】由已知得,, ∵,∴,解得, ∴,∴.第11题： 【答案】C【解析】已知,根据余弦定理,可得,整理得,即,∴,∴即,当且仅当时,有最小值.第12题： 【答案】A【解析】将两式相减得,整理得,,当时,,当时,,∴①错; 将两式相加得, 化简得. 令,∴为公比等于的等比数列,其首项为, ∴,∴, ∵,∴递增,递增,∴为递增数列,∴②正确; 由上式可得,,,, ∴, 令,∴, 又,∴, ∵,递增,递增,∴为递增数列,∴③正确; 由上式可知,,, ∵,∴为递增数列,且按指数增长,为递增数列,且按对数增长,∴,使得当时,,即,∴④正确.第13题：【答案】【解析】,∴当时,; ∴据题意,得,∴,故答案为:.第14题：【答案】【解析】由图可知,,, ∴,即,得,∴, 又∵函数图像过,∴,解得, 又,∴.第15题：【答案】【解析】由已知得,∵在单调递增, ∴在上恒成立,化简得, 令,∴,∴,∴.第16题：【答案】【解析】不妨设,,,∵, ∴,代入坐标得,即, ∴以原点为起点,向量的终点在以为圆心,为半径的圆上, ∴可表示为到的距离, ∴其最大值为.第17题：【答案】见解答【解析】(1)由题知,而,故, 由,∴,,∴. (2), ∴前项和.第18题：【答案】见解答【解析】(1)由题知,即, ∴. (2)由,∴∴, 在中,, 在中,,而,∴.第19题：【答案】见解答【解析】(1)由题知,. (2)该工厂若选方案一:收入为元, 若选方案二:收入为元, 利润方案二比方案一高元,所以,选方案二.第20题：【答案】见解答班级：姓名： 线订装【解析】(1)函数的定义域为,, 当时,,无极值点;当时,或,设,则,当时,的两根一个小于、一个大于,故有一个极值点;当时,对称轴为知的两根均小于,故无极值点;综上所述,. (2)由(1)知且,∴,,令,显然在上单增,又,∴即,∴,∴.第21题：【答案】见解答【解析】(1)由题意可得:,解得:,故椭圆方程为:. (2)①当直线与轴平行时,取,,,则,,,所以最小值为; ②当直线不与轴平行时,设,,,设直线方程为. 联立方程有, 设线段的中点为,则有,其中, 令,则, 又令,则, 当,即时,取最小值, 当且当时取等号, 所以,,当时取等号. ∴的最小值为.第22A 题： 【答案】见解答【解析】(1), 即,将直线的参数方程代入得, 即,由知,,故直线与曲线有两个公共点. (2)由(1)可设方程的两根为,, 则,, 故, ∴,即,∴.第22B 题： 【答案】见解答 【解析】(1)∵,故. (2), 由,得,得证.。
重庆市南开中学2020级高考理科数学第三次教学质量检测试题(6页)
重庆市南开中学2020级高考理科数学第三次教学质量检测试题一、选择题：本题共12题，每题5分，共60分。
1. 已知集合}5,4,3,2,1{=U }03|Z {2＜x x x A -∈=,则=A C UA.{5}B.{4,5}C.{3,4,5}D.{2,3,4,5} 2. 已知复数iai-+12为纯虚数，则实数a = A.4 B.3 C.2 D.13. 已知平面向量)1(，m a =，)28(-=m b ， ，则“m=4”是“b a //”的A.充要条件B.既不充分也不必要条件C.必要不充分条件D.充分不必要条件4. 函数x x x f cos 3sin )(-=的一条对称轴为A.6π-=xB.3π-=xC.6π=xD.3π=x 5. 已知等比数列{n a }的前n 项和为n S ，1a 2a ＜0，4a =62a +3a ，则34S S = A. 715-B.35-C.35D.7156.已知非零平面向量b a ,满足)(6b a b a -⊥+）（，|a |4|b | =，则a与b 的夹角为 A.6πB.3πC.32π D.65π 7.已知定义在R 上的函数)(x f 满足0)()-2(=+x f x f ，当1＞x 时，)(x f =2-x ，则不等式)(x f ＜0的解集为A.（1,2）B.（-∞，0）C.（0,2）D.（-∞，0）∪（1,2）8.明代数学家程大位在《算法统宗》中提出如下问题“九百九十六斤锦，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言，务要分明依次第，孝和休惹外人传。
”意思是将996斤锦分给8个人，从第二人开始每人分得的锦都比前一个人多17斤，则第八个人分得锦的斤数为A.150B.167C.184D.201 9. 函数xxy cos ln =的图像大致为10. 在△ABC 中，AC=AB=3,点M,N 分别在边AC ，AB 上，且AM=BN=2，BM ⊥CN ，则△ABC 的面积为 A.11109 B.2281 C.1145D.111018 11.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c ，若c-a=2acosB ，则bca 3+的最小值为A.2B.3C.22D.3 12.已知数列{n a }，{n b }满足：1+n a =2n a +n b ，1+n b =n a +2n b +31lnn n +（n ∈N*），1a +1b ＞0，给出下列四个命题：①数列{n a -n b }单调递增；②数列{n a +n b }单调递增；③数列{n a }从某项以后单调递增；④数列{n b }从某项以后单调递增；这四个命题中真命题是A.②③④B.②③C.①④D.①②③④ 二、填空题。
2020届重庆市南开中学高三第三次教学质量检测考试理科数学
重庆南开中学2020级高三第三次教学质量检测考试理科数学一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1.已知集合{1,2,3,4,5}U =，{}2|30A x x x =∈-<Z ，则U A =ð（ ）A. {}5B. {}4,5C. {}3,4,5D. {}2,3,4,52.已知复数21aii+-纯虚数，则实数a =（ ）A. 4B. 3C. 2D. 13.已知平面向量()()182a m b m ==-r r ，，，，则“4m =”是“//a b r r”的（ ）A. 充要条件B. 既不充分也不必要条件C. 必要不充分条件D. 充分不必要条件4.函数()sin f x x x =的一条对称轴为（ ） A. 6x π=-B. 3x π=-C. 6x π=D. 3x π=5.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，120a a <，4236=+a a a ，则43S S =（ ） A. 157-B. 53-C. 53D. 1576.已知非零平面向量a br r ，满足()()64a b a b b a +⊥-=r r r r r r ，，则a r 与b r 的夹角为（ ） A.6π B.3π C.23π D.56π 7.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()20f x f x -+=，当1x >时，()2f x x =-，则不等式()0f x <的解集为（ ）A. ()12，B. ()0-∞，C. ()02，D. ()()012-∞⋃，， 8.明代数学家程大位在《算法统宗》中提出如下问题“九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言，务要分明依次第，孝和休惹外人传.”意思是将996斤绵分给八个人，从第二个人开始，每个人分得的绵都比前一个人多17斤，则第八个人分得绵的斤数为（ ）A. 150B. 167C. 184D. 2019.函数lncosxyx的图象大致为（）A.B.C.D10.在ABC ∆中，3AC AB ==，点M ，N 分别在AC AB ，上，且2AM BN ==，⊥BM CN ,则ABC ∆的面积为（ ）A.B.8122C.4511D.11.在ABC ∆中，内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，若2cos c a a B -=，则3a cb+的最小值为（ ）A.B.C. D. 312.已知数列{}n a ，{}n b 满足：12n n n a a b +=+，()*1312lnn n n n b a b n N n++=++∈，110a b +>，给出下列四个命题：①数列{}n n a b -单调递增；②数列{}n n a b +单调递增；③数列{}n a 从某项以后单调递增；④数列{}n b 从某项以后单调递增.这四个命题中的真命题是：（ ） A ②③④B. ②③C. ①④D. ①②③④本试卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题~第23题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知曲线3y x ax =+在1x =处的切线与直线21y x =+平行，则a 的值为___________．14.已知函数()()sin f x A x =+ωϕ，其中()00A ωϕππ>>∈-，，，的部分图象如图所示，则ϕ=______________．15.已知函数()()221xf x e k x =+-在()0+∞，上单调递增，则实数k 的取值范围是__________． 16.已知平面向量a b r r，满足：2a b ==r r ，⊥r r a b ，22230-⋅+=r r r r b b c c ，则2a c +r r 的最大值是__________． 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为247n S a a a ，，，成等比数列，且550S =． （1）求n a ；（2）求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n 项和．18.在ABC ∆中，23AB AC D ==，，为BC 边上的中点． （1）求sin sin BADDAC∠∠的值；（2）若2BAD DAC ∠=∠，求AD ．19.某工厂生产一批零件，为了解这批零件的质量状况，检验员从这批产品中随机抽取了100件作为样本进行检测，将它们的重量（单位：g ）作为质量指标值．由检测结果得到如下频率分布直方图．（1）求图中a b ，的值；（2）根据质量标准规定：零件重量小于47或大于53为不合格品，重量在区间[)4749，和(]5153，内为合格品，重量在区间[]4951，内为优质品．已知每件产品的检测费用为5元，每件不合格品的回收处理费用为20元．以抽检样本重量的频率分布作为该零件重量的概率分布．若这批零件共m 件()*100m m N>∈，，现有两种销售方案：方案一：不再检测其他零件，整批零件除对已检测到的不合格品进行回收处理，其余零件均按150元/件售出；方案二：继续对剩余零件的重量进行逐一检测，回收处理所有不合格品，合格品按150元/件售出，优质品按200元/件售出．仅从获得利润大的角度考虑，该生产商应选择哪种方案？请说明理由．20.已知函数()()()2ln 11f x ax x a R =--+∈存在极值点．（1）求a 的取值范围；（2）设()f x 的极值点为0x ，若()00f x x <，求a 的取值范围．21.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左右焦点分别为12F F ，D 在椭圆C 上，且12DF F ∆的周长为．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知过点()10，的直线与椭圆C 交于A B ，两点，点P 在直线4x =上，求222PA PB AB ++的最小值．请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分.22.在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos 1sin x t xy t x=+⎧⎨=-+⎩（t 为参数，0απ<<），以O 为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为()12cos28cos ρθθ-=． （1）判断直线l 与曲线C 的公共点的个数，并说明理由； （2）设直线l 与曲线C 交于不同两点A B ，，点()11P -，，若1143PA PB -=，求tan α的值． 23.已知实数a b ，满足33a b +≥，1a b -≤． （1）证明：1a b +≥；（2）若0pq >，证明：()()ap bq aq bp pq ++≥．的。
2019届重庆市南开中学高三第三次教学质量检测考试数学(理)试题(解析版)
递另赚 1 元；乙公司打包工无基础工资，如果每天打包量不超过 240 件，则每打包一件
快递可赚 1.2 元；如果当天打包量超过 240 件，则超出的部分每件赚 1.8 元.
下图为随机抽取的打包工每天需要打包数量的频率分布直方图，以打包量的频率作为各
打包量发生的概率.（同一组中的数据用该组区间的中间值作代表）.
些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
12．如图，抛物线 ：
，圆 ：
，过 焦点 的直线从上至下依
次交 ， 于点 ， ， ， .若
， 为坐标原点，则
（）
A．-2
B．1
C．4
D．
【答案】B
【解析】由题可设 A
，其中 a>0,d＜0.根据
得
，再
利用平面向量的数量积运算化简得解. 【详解】
由题可设 A 又焦点 F(1,0)， 所以|FD|=1+
.
（1）求角 ；
（2）若
，求 .
【答案】（1） ；（2）
.
【解析】（1）利用正弦定理化简
即得
；（2）由正弦定
理得
，再结合余弦定理可得
.
【详解】
解：（1）由正弦定理得：
，
又
，
.
（2）由正弦定理得：
，得 ，
又由余弦定理：
，
代入
，可得
.
【点睛】
本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和
，其中 a>0,d＜0. ，
所以|AB|=|FA|-|OB|= ，
由题得
.
所以
，
所以
1.
故选：B 【点睛】
本题主要考查抛物线的简单几何性质和定义，考查平面向量的数量积的运算，意在考查