平面几何练习题

平面几何选讲练习题１．如图所示，已知⊙O 1与⊙O 2相交于A ，B 两点，过点A 作⊙O 1的切线交⊙O 2于点C ，过点B 作两圆的割线，分别交⊙O 1，⊙O 2于点D ，E ，DE 与AC 相交于点P. （1）求证:AD ∥EC;（2）若AD 是⊙O 2的切线,且PA=6,PC=2,BD=9,求2．如图：已知AD 为⊙O 的直径，直线BA 与⊙O 相切于点A ，直线OB 与弦AC 垂直并相交于点G ，连接DC .求证：BA ·DC =GC ·AD .3． 已知：如图，△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90°，AE=31AC ，BD=31AB ，点F 在BC 上，且CF=31BC 。

求证： （1）EF ⊥BC ；（2）∠ADE=∠EBC 。

FABC４．如图，在△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BD 的中点，AE 的延长线交BC 于F .（1）求FCBF的值；（2）若△BEF 的面积为1S ，四边形CDEF 的面积为2S ，求21:S S 的值．５．已知C 点在圆O 直径BE 的延长线上，CA 切圆O 于A 点，DC 是ACB ∠的平分线交AE 于点F ，交AB 于D 点. （1）求ADF ∠的度数； （2）若AB=AC ，求AC:BC.６．自圆O 外一点P 引切线与圆切于点A ，M 为PA 中点，过M 引割线交圆于B,C 两点．求证:∠MCP=∠MPB ．7．如图，AD 是⊙O 的直径，AB 是⊙O 于点M 、N ，直线BMN 交AD 的延长线于点C ，NC MN BM ==，2=AB ，求BC 的长和⊙O 的半径.8．如图，AB 是⊙O 的直径，C ，F 为⊙O 上的点，CA 是∠BAF 的角平分线，过点C 作CD ⊥AF 交AF 的延长线于D 点，CM ⊥AB ，垂足为点M . （1）求证：DC 是⊙O 的切线； （2）求证：AM ·MB =DF ·DA .9．如图，已知AP 是⊙O 的切线，P 为切点，AC 是⊙O 的割线，与⊙O 交于B 、C 两点，圆心O 在PAC ∠的内部，点M 是BC 的中点.（Ⅰ）证明A ，P ，O ，M 四点共圆； （Ⅱ）求∠OAM ＋∠APM 的大小.10．如图 ，过圆O 外一点M 作它的一条切线，切点A ，过A 点作直线AP 垂直直线OM ，垂足为P.（Ⅰ）证明：OM ·OP=OA 2；（Ⅱ）N 为线段AP 上一点，直线NB 垂直直线ON ，且交圆O 于B 点，过B 点的切线交直线ON 于K.证明：∠OKM=90°A BCE D11．如图，在四边形ABCD 中，△ABC ≌△BAD.求证：AB ∥CD.12．已知 ∆ABC 中，AB=AC, D 是 ∆ABC 外接圆劣弧AC上的点（不与点A,C 重合），延长BD 至E 。

（1） 求证：AD 的延长线平分∠CDE ；（2） 若∠BAC=30，∆ABC 中BC 边上的高为，求∆ABC 外接圆的面积。

13．如图，已知ABC ∆的两条角平分线AD 和CE 相交 于H ，060B ∠=，F 在AC 上，且AE AF =。

（I ）证明：B,D,H,E 四点共圆： （II ）证明：CE 平分DEF ∠。

14．已知:如右图,在等腰梯形ABCD 中,AD ∥BC,AB ＝DC,过点D 作AC 的平行线DE,交BA的延长线于点E ．求证：（1）△ABC ≌△DCB （2）DE·DC ＝AE·BD ．15．在圆O 的直径CB 的延长线上取一点A ，A P 与圆O 切于点P ，且∠APB ＝30°，AP ＝3，则CP ＝( )．16．已知AB 是圆O 的直径，弦AD 、BC 相交于点P ，那么CD ∶AB 等于∠BPD 的( )A ．正弦B ．余弦C ．正切D ．余切17．如图所示，已知D 是△ABC 中AB 边上一点，DE ∥BC 且交AC于E ，EF ∥AB 且交BC 于F ，且S △ADE ＝1，S △EFC ＝4，则四边 形BFED 的面积等于 ( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．518．AD 、AE 和BC 分别切⊙O 于D 、E 、F ，如果AD ＝20，则△ABC 的周长为 ( )A ．20B ．30C ．40D ．35125．如图所示，AB 是半圆的直径，弦AD 、BC 相交于P ，已知∠DPB ＝60°，D 是弧BC 的中点，则tan ∠ADC ＝________.19．如图所示，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ，CD ＝4，BD ＝8，则圆O 的半径长为________．20．如图，AB 是半圆O 的直径，∠BAC ＝30°，BC 为半圆的切线，且BC ＝43，则点O 到AC 的距离OD ＝________.平面几何选讲练习题答案１．（1）证明：连接AB ，∵AC 是⊙O 1的切线，∴∠BAC=∠D ，又∵∠BAC=∠E ，∴∠D=∠E 。

∴AD ∥EC （4分） （2）设BP=x ，PE=y ，∵PA=6，PC=2，∴xy=12，①∵AD ∥EC ，∴269=+⇒=y x PC AP PE DP ②， 由①②可得，⎩⎨⎧==43y x 或⎩⎨⎧-=-=112y x （舍去）∴DE=9+x+y=16，∵AD 是⊙O 2的切线，∴AD 2=DB ∙DE=9×16， ∴AD=12。

（6分）2．证法一：∵ AC OB ^ ，∴ 90AGB ?， 又 AD 是⊙Ｏ的直径，∴ 90DCA ?，又 ∵ BAGADC ??（弦切角等于同弧对圆周角）………4分∴ Rt △AGB ∽Rt △DCA …………………………………5分∴ BAAGAD DC = ， 又∵ OG AC ^∴ GC AG =…………………………7分 ∴ BAGCADDC=…………………………………………………9分 即 BA •DC=G C •AD ………………………………………10分 证法二：∵ BA 与⊙Ｏ相切于A ∴ 90BAO?又 AG BO ^于G ， ∴ ABGGOA ??∴ Rt △BGA ∽Rt △AGO …………………………3分 ∵BA AOAG OG=………………………………………①…5分 ∵ OG AC G ^弦于 ，∴ G 为AC 的中点 又 ∵ O 为直径AD 的中点，FABC∴ 12AO AD = ，12OG DC =………………………7分 ∴ 1212ADBA ADAG DCDC ==∴ BA •DC=G C •A D ……………………………10分3． 证明：设AB=AC=3a ，则AE=BD=a ，CF=.2a （1）.3232,32232====a a CA CF a a CB CE 又∠C 公共，故△BAC ∽△EFC ，由∠BAC=90°， ∴∠EFC=90°，∴EF ⊥BC …………4分 （2）由（1）得.22222,222,2=====aa BF AD a a EF AE a EF 故.BFADEF AE =∴…………6分∴∠DAE=∠BFE=90°∴△ADE ∽△FBE ， …………8分 ∴∠ADE=∠EBC 。

…………10分 ４．证明：（1）过D 点作DG ∥BC ，并交AF 于G 点， -------------------------2分∵E 是BD 的中点，∴BE=DE ，又∵∠EBF=∠EDG ，∠BEF=∠DEG ， ∴△BEF ≌△DEG ，则BF=DG ，∴BF ：FC=DG ：FC ， 又∵D 是AC 的中点，则DG ：FC=1：2，则BF ：FC=1：2；----------------------------------------------4分（2）若△BEF 以BF 为底，△BDC 以BC 为底， 则由（1）知BF ：BC=1：3，又由BE ：BD=1：2可知1h ：2h =1：2，其中1h 、2h 分别为△BEF 和△BDC 的高，则612131=⨯=∆∆BDC BEF S S 则21:S S =1：5． -----------------------8分５． AC 为圆O 的切线,∴EAC B ∠=∠又知,DC 是ACB ∠的平分线,∴DCB ACD ∠=∠ ∴ACD EAC DCB B ∠+∠=∠+∠ 即 A F D A D F ∠=∠ 又因为BE 为圆O 的直径, ∴︒=∠90DAE ∴︒=∠-︒=∠45)180(21DAE ADF （2） EAC B ∠=∠,ACB ACB ∠=∠,∴ACE ∆∽ABC ∆∴ABAEBC AC =又 AB=AC, ∴︒=∠=∠30ACB B , ∴在RT ⊿ABE 中,3330tan tan =︒=∠==B AB AE BC AC ……10分 ６．证明：∵PA 与圆相切于A ，∴2MA MB MC =⋅， ………………2分∵M 为PA 中点，∴PM MA =， ………………3分∴2PM MB MC =⋅，∴PM MBMC PM=． ………5分 ∵BMP PMC ∠=∠， ………………6分 ∴△BMP ∽△PMC ，………………8分 ∴MCP MPB ∠=∠． ………………10分7．证明：AD 是⊙O 的直径，AB 是⊙O 的切线，直线BMN 是⊙O 的割线，90=∠∴BAC ，BN BM AB ⋅=2.233,2,42,2,2==∴=∴=∴===BM BC BM BM AB NC MN BM …4分222BC AC AB =+∴，1842=+AC ，14=AC .1472,14222,=∴⋅==⋅∴⋅=⋅CD CD CA CD CM CN ∴⊙O 的半径为14145)(21=-CD CA ………………………………………8分8．解：（I ）连结OC ，∴∠OAC =∠OCA ，又∵CA 是∠BAF 的角平分线，∴∠OAC =∠F AC ，∴∠F AC =∠ACO ，∴OC ∥AD .………………3分 ∵CD ⊥AF ，∴CD ⊥OC ，即DC 是⊙O 的切线.…………5分 （Ⅱ）连结BC ，在Rt △ACB 中， CM ⊥AB ，∴CM 2=AM ·MB .又∵DC 是⊙O 的切线，∴DC 2=DF ·DA . 易知△AMC ≌△ADC ，∴DC =CM ，∴AM ·MB =DF19．（Ⅰ）证明：连结OP ，OM .因为AP 与⊙O 相切于点P ，所以OP ⊥AP . 因为M 是⊙O 的弦BC 的中点，所以OM ⊥BC .于是∠OP A ＋∠OMA =180°，由圆心O 在PAC ∠可知四边形APOM 的对角互补，所以A ，P ，O ，M 四点共圆…6分 （Ⅱ）解：由（Ⅰ）得A ，P ，O ，M 四点共圆，所以∠OAM =∠OPM. 由（Ⅰ）得OP ⊥AP .由圆心O 在PAC ∠的内部，可知∠OPM ＋∠APM =90°. 所以∠OAM ＋∠APM =90°. ……10分 10．（Ⅰ）证明：因为MA 是圆O 的切线，所以OA ⊥AM又因为AP ⊥OM ，在Rt △OAM 中，由射影定理知，.2OP OM OA ⋅=（Ⅱ）证明：因为BK 是圆O 的切线，BN ⊥OK ， 同（Ⅰ），有OB 2=ON ·OK ，又OB=OA ， 所以OP ·OM=ON ·OK ，即.OKOMOP ON = 又∠NOP=∠MOK ，所以△ONP ∽△OMK ，故∠OKM=∠OPN=90°11．证明：由△ABC ≌△BAD 得∠ACB=∠BDA ，故A 、B 、C 、D 四点共圆，从而∠CBA=∠CDB 。