平面几何习题大全
五年级下册数学《平面几何》练习题大全
五年级下册数学《平面几何》练习题大全
一、选择题
1. 以下哪个选项是平行四边形的一个性质？
A. 两组对边分别相等
B. 四条边都相等
C. 对角线互相平分
D. 有一个角是直角
2. 如果一个四边形的对边平行且相等，那么它一定是？
A. 矩形
B. 菱形
C. 平行四边形
D. 梯形
3. 在三角形中，若一个角的度数是90度，那么这个三角形是？
A. 锐角三角形
B. 直角三角形
C. 钝角三角形
D. 等边三角形
二、填空题
1. 矩形是一种特殊的平行四边形，它的特点是_____。
2. 在三角形中，如果一个角的度数大于90度，那么这个角被
称为_____角。
3. 若一个四边形的对边相等且平行，则这个四边形是_____。
三、解答题
1. 画出一个任意三角形，并标出它的三个内角。
2. 已知一个平行四边形的对边相等，证明它是矩形。
3. 若已知三角形ABC中，AB=AC，求证∠BAC=60度。
四、应用题
1. 小明的书桌是一个矩形，已知矩形的长是80cm，宽是40cm，求书桌的面积。
2. 小红有一个平行四边形的框架，已知对边相等，其中一个角是直角，求这个平行四边形的面积。
3. 如图，三角形ABC中，AB=AC，D是BC的中点，求证AD是∠BAC的角平分线。
请注意，以上题目只是示例，并不是完整的练习题大全。
您可以根据需要继续添加或修改题目。
平面几何练习题――点共圆
平面几何练习题 ――点共圆
1. 在直角ABC ∆的两条直角边AC 、BC 上各取一点D 和E ，由顶点C 分别向直线DE 、EA 、AB 、
BD 引垂线，求证，所得的4个垂足共圆；（1989年前苏联教委推荐题）
)
291988(.2候选题届年第共圆；
、、、、、、、、的中点，求证：、、为、、为垂心，为三条高的垂足，、、为三边的中点，、、中，在IMO R Q P Z Y X F E D HC HB HA R Q P H Z Y X F E D ABC ∆
)
191990(.3AMO Q P N M Q P AC AC N M CC AB AB ABC 届年第共圆；
、、、，求证：、于边的高线及其延长线交为直径的圆与以，
、及其延长线交于边的高线为直径的圆与，以给出平面上一个锐角‘
4.凸四边形ABCD 中，两对角线AC 和BD 互相垂直，两对边AB 与CD 不平行，且AB 与CD 的垂直平分线交于四边形内一点P ，证明：ABCD 为圆内接四边形的充要条件是ABP ∆的面积等于CDP ∆的面积。
（1998年第39届IMO ）
)
361995(6,,,,,)()()(.5222111122112211221122112211221候选题届年第个顶点共圆。
求证：这两个三角形的也可构成一个三角形，线可构成一个三角形，直，直线，使得之间与位于、上取两点，在边之间与于位、上取两点，在边之间与位于，，上取两点的边在锐角IMO CC BB AA CC BB AA C CC C CC B BB B BB A AA A AA B C C C C AB A B B B B CA C A A A A BC ABC ∠=∠=∠=∠=∠=∠∆。
新平面几何100题1-60
1、设I是△ABC的内心，D是边BC上的一点，E是BC延长线上一点，且满足BDDC =BEEC.设H是D到直线IE的垂足，证明：∠AHE=∠IDE.B2、设O、H分别是△ABC的外心和垂心，点A关于直线OH的对称点是P，点P和点A不在直线BC的同侧，E、F分别在AB和AC上，满足BE=PC，CF=PB，直线AP、OH相交于点K，证明：EK⊥FK.B CP3、设正△ABC的外接圆和内切圆分别是Γ、ω，P为ω上一动点，P1、P2、P3分别为P在BC、CA、AB上的射影，圆ω1、ω2、ω3分别与BC、CA、AB切于P1、P2、P3且与Γ内切（它们的圆心与A、B、C分别在BC、CA、AB的异侧）.证明：圆ω1、ω2、ω3两两外公切线的长度之和是一个定值.A4、设正△ABC内接于⊙O，E、F分别是AC，BC上一点，使得AE=2CE，BF=2CF. P为⊙O上的一点，PD⊥EF于D，交AB于K，作PS⊥BC于S，连接SK并交AO于T.证明：DS=DT.T5、设E、F分别位于△ABC的AC，AB边上，BE、CF交于D，△AEF的外接圆交△ABC的外接圆于点A、P，△AEF的外接圆在A处的切线交△ABC于A、Q两点，设N、M分别为AQ、BC的中点.证明：∠APD=∠MNQ.Q6、已知△ABC的外心为O，A′、B′、C′分别是边BC、CA、AB上的点，且满足A、B′、C′、O共圆，C、A′、B′、O共圆.以B′为圆心，B′C为半径的圆和以C′为圆心，BC′为半径的圆的根轴为l a.类似定义l b、l c.证明：直线l a、l b、l c交出的三角形垂心与△ABC的垂心重合.7、设凸四边形ABCD顶点不共圆，记点A在直线BC、BD、CD上的射影分别为P、Q、R，其中P、Q分别在BC、BD内，R在CD的延长线上.记点D在直线AC、BC、AB上的射影分别为X、Y、Z，其中X、Y分别在线段AC、BC内，Z在BA的延长线上，设△ABD的垂心为H，证明：BH的中点在△PQR外接圆和△XYZ外接圆的根轴上.8、在圆内接四边形ABCD中，AB>BC，AD>DC，I、J分别为△ABC、△ADC的内心.以AC为直径的圆与线段IB交于点X、与JD的延长线交于点Y.证明：若B、I、J、D四点共圆，则点X、Y关于直线AC对称.9、设△ABC的外接圆和内切圆的圆心分别为O、I，点M和点Q分别在边AB和AC上，点N和点P分别在边BC上（N在线段BP上），且满足五边形AMNPQ的五条边长相等.记点S为直线MN和QP的交点，l为∠MSQ的角平分线.证明：l和OI平行.S11、凸四边形ABCD中，P、Q、R、S分别是线段AB、BC、CD、DA上的点.若相交的线段PR、QS把四边形ABCD分为4个四个对角线互相垂直的凸四边形.证明：P、Q、R、S四点共圆.B12、不等腰三角形ABC的外接圆为Ω，内心为I，射线AI与BC交于D，与Ω交于除A以外的另一点M，以DM为直径的圆与Ω交于除M以外的另一点K，直线MK与BC交于点S，设N为IS的中点，L1、L2为△KID的外接圆与△MAN的外接圆的交点.证明：IL1或IL2的中点在Ω上.S113、在非等腰△ABC中，D、E、F分别为BC、CA、AB的中点.过D作△ABC的内切圆的切线（不同于直线BC），交直线EF于点X.类似定义Y和Z.证明：X、Y、Z三点共线.ZBD14、圆外切四边形ABCD的内切圆⊙I分别切DC、DA于E、F，K为BD上一点，KA、KC分别交⊙I于M、N，MF与NE交于L.证明：L在直线BD上.L15、四边形ABCD内接于⊙O，∠A、∠C的角平分线相交于点I，∠B、∠D的角平分线相交于点J，直线IJ不经过点O，且与边AB、CD的延长线分别交于点P、R，与边BC、DA分别交于点Q、S.线段PR、QS的中点分别为M、N.证明：OM⊥ON.R16、在圆内接四边形ABCD中，M、N分别是线段BC、AD的中点，对角线AC、BD交于点E. P是边BC上的点，满足PBPC =(BDAC)2.设E在PN上的投影是H，证明：△BEC的外接圆与△MPH的外接圆相切.17、圆内接四边形ABCD的对角线相交于P，存在一个圆Γ与AB、BC、AD、DC的延长线切于点X、Y、Z、T.过A、B的圆Ω与圆Γ外切于S.证明：SP⊥ST.18、对于平面上的凸四边形ABCD，设直线l交直线AB于X，交直线CD于X′，交直线BC于Y，交直线DA于Y′，交直线AC于Z，交直线BD于Z′.已知以上六点在l上按照X、Y、Z、X′、Y′、Z′的顺序排列.证明：以XX′、YY′、ZZ′为直径的三个圆共点.19、设O是三角形ABC的外心，D是AB上一点，作与⊙O内切，与线段CD、BD相切的⊙I；作与⊙O内切，与线段CD、AD相切的⊙J.证明：若A、B、I、J四点共圆，则D是三角形ABC中的∠ACB内旁切圆在AB上的切点.20、设⊙O 1与⊙O 2交于P 、Q 两点，过P 作两条割线AB 、CD ，过Q 作两条平行割线A′B′、C′D′，取△PAC 、△PBD 、△QB′D′、△QA′C′的九点圆圆心F 1、F 2、F 3、F 4.证明：四边形F 1F 2F 3F 4是矩形.D'A'C21、设⊙O是四边形ABCD的内切圆. AC、BD交于P，I、J分别是△ABC、△ADC的内心，OP，IJ交于K，T是K在BD上的射影.证明：I、J、P、T四点共圆.B22、设O、I B、I C分别是锐角三角形ABC的外接圆圆心，∠B内的旁切圆圆心和∠C内的旁切圆圆心.在AC边上取点E和Y，使得∠ABY=∠CBY，BE⊥AC，在AB边上取点F和Z，使得∠ACZ=∠BCZ，CF⊥AB，直线I B F和I C E交于点P.证明：PO⊥YZ.I B I C23、四边形ABCD内接于⊙O，AC、BD交于点P，直线AB、CD交于点Q. K是P在QO上的射影，KP、BC交于X，M是BC的中点，P′是P关于BC的对称点，K′是K关于M的对称点. P′K′分别交BC于Y，交KP于Z.证明：△XYZ的外接圆与△QBC的外接圆相切.D24、对边不平行的凸四边形ABCD中，BA延长线与CD延长线交于点E，AD延长线与BC延长线交于点F，K是△CDF的外接圆与△ADE的外接圆的交点(K≠D).设∠BAD、∠ABC、∠BCD、∠ADC的外角平分线分别为l A、l B、l C、l D，l A和l B、l B和l C、l C和l D、l D和l A分别交于点G、H、I、J.△CDF的外接圆中，弧DF（不含C）的中点为Q，直线EH与△AED的外接圆交于另一点M.设GJ中垂线与IH中垂线（不重合）交于点P.证明：P、M、Q、K四点共圆.25、设D是△ABC外接圆⊙O上任意一点，过D作⊙O的切线l.证明：l关于△ABC三边对称的直线围成的三角形的外接圆与⊙O相切.26、设O为△ABC内一点，O在BC、CA、AB上的射影分别为U、V、W.X、Y、Z分别在BC、CA、AB上，X′、Y′、Z′分别是X关于U、Y关于V，Z关于W的对称点，点X、Y、Z关于△ABC的密克点为S，点X′、Y′、Z′关于△ABC的密克点为T.证明：OS=OT.B CX'U27、点D、E、F分别在△ABC的边AB、BC、CA上，满足AD+AF=BC、BD+BE=AC、CE+CF=AB. △ADF、△BDE、△CEF的外接圆与△ABC外接圆的另一个交点分别为A1、B1、C1，P是D、E、F关于△ABC的密克点，证明：P为△A1B1C1的垂心.128、设AA′、BB′、CC′是锐角△ABC的外接圆的三条直径，P为△ABC内任意一点，点P在BC、CA、AB上的射影分别是D、E、F，X、Y、Z分别是A′关于D、B′关于E，C′关于F的对称点.证明：△XYZ∽△ABC.29、设H是锐角△ABC的外接圆的垂心，P是外接圆弧BC上一点，连接PH交弧AC于M，弧AB上一点K满足直线KM平行于点P关于△ABC的西姆松线，设Q为外接圆上一点满足30、设△ABC的内切圆⊙I分别切BC、CA、AB于点D、E、F，延长EI交DF于G，BE、CF交⊙I于另外的点X、Y.设J为△AEF外接圆的另一个交点，△XJI外接圆与⊙I的另一个交点为S，T在⊙I上满足TS⊥AI，连接YT、XS交于P，直线DP与⊙I的另一个交点为Q.证明：KQ是⊙I的直径.C31、在△ABC中，内切圆⊙I分别切BC、CA、AB于点D、E、F，M、N分别是AB、AC的中点，EF、MN交于S，DS与⊙I的另一个交点为J.证明：J在△ABC的九点圆上.B C32、过△ABC内心I任作一直线l，内切圆分别切BC、CA、AB于点X、Y、Z，边BC、CA、AB的中点分别为D、E、F，直线l分别交△BIC外接圆、△CIA外接圆、△AIB外接圆于另一点D′、E′、F′，过点X、Y、Z分别作平行于DD′、EE′、FF′的直线l1、l2、l3.证明：直线l1、l2、l3交于一点.33、已知△ABC的外接圆为⊙O，A′为点A在⊙O上的对径点.作等边△BCD，使得A、D位的于BC的异侧，过点A′作A′D的垂线，分别与AC、AB交于E、F两点.以EF为底，作底角为π6等腰△ETF，并使得A、T位于BC的异侧.证明：AT经过△ABC的九点圆圆心.ED34、设△ABC的内切圆⊙I与边BC、CA、AB分别切于点D、E、F，记⊙I B、⊙I C分别为△ABC的顶点B、C所对的旁切圆，P、Q分别为I B E，I C F的中点，若DE、DF与I B I C交于点K、J，EJ 与FK交于点M，PE与△PAC的外接圆交于另一点X，QF与△QAB的外接圆交于另一点Y.证明：BY、CX、AM三线共点.35、已知凸四边形ABCD内两动点P、Q满足∠APB=∠AQB=∠CPD=∠CQD.证明：动直线PQ要么均经过一个定点，要么相互平行.36、在凸四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC<π，∠ABC、∠ADC的平分线交于点P，并分2别与AC交于点E、F，M为AC的中点，BM、DM与△BDP的外接圆分别交于另一点X、Y，EX与PY交于点Q.证明：AC⊥PQ.B37、凸六边形A1A2A3A4A5A6满足A1A2=A3A4=A5A6，A2A3=A4A5=A6A1，点X、Y在38、已知凸四边形ABCD内接于⊙O，⊙I切AC、BD及⊙O，E为弧BC的中点，AE与BD相交于点M，DE与AC相交于点N.证明：△EMN外接圆与⊙I相切.39、锐角△ABC 中BC >AC >AB ，I 、O 、H 分别为其内心、外心、垂心，D 、E 分别在BC 、AC 上使AE =BD ，CD +CE =AB .记K 为BE 与AD 交点，证明：KH =2IO .ABC40、在锐角△ABC中，AB>AC，设Γ为其外接圆，H为垂心，F为由顶点A处所引高的垂足，M为边BC的中点.Q、K为圆Γ上的点，使得∠HQA=∠HKQ=π.若点A、B、C、K、Q互2不相同，且按此顺序排列在Γ上，证明：△KQH的外接圆与△FKM的外接圆相切.41、设△ABC内接于⊙O，过A作⊙O的切线交BC于T，G为△ABC的重心，直线TG分别交AB、AC于E、F，AG交⊙O于K，证明：AK平分∠EKF.K42、在凸四边形ABCD中，AB≠BC，ω1和ω2分别是△ABC和△ADC的内切圆.已知存在一个圆ω与射线BA相切（切点不在线段BA上），与射线BC相切（切点不在线段BC上），且与直线AD和直线CD都相切.证明：圆ω1和ω2的两条外公切线的交点在圆ω上.43、P为△ABC内一点，L、M、N分别为边BC、CA、AB的中点，且PL∶PM∶PN=BC∶CA∶AB.延长AP、BP、CP分别交△ABC的外接圆于点D、E、F.证明：△APF、△APE、△BPF、△BPD、△CPD、△CPE的外接圆圆心六点共圆.B44、给定△ABC，求线段BC上满足下列条件的所有点P：如果X、Y是直线PA与△PAB、△PAC外接圆的两条外公切线的交点，则(PAXY )2+PB∙PCAB∙AC=1.45、在凸四边形ABCD中，∠ABC=∠CDA=π2，H是A在BD上的射影，边AB上的S和边AD上的T使H在△SCT内部，∠CHS−∠CSB=π2，∠THC−∠DTC=π2，证明：直线BD和△TSH的外接圆相切.CD46、在△ABC中，⊙O、⊙I分别为其外接圆与内切圆，⊙I与BC切于点D，M为ID中点，A0与A 关于点O对称，直线A0M交⊙O于异于点A0的一点X，证明：△ADX的外接圆与直线BC相切.47、已知P 是凸四边形ABCD 的边AB 上的一点，ω是△CPD 的内切圆，I 为其圆心，若ω分别与△APD 以及△CPB 的内切圆切于点K 和L ，AC 与BD 交于点E ，AK 、BL 交于点F .证明：E 、I 、F 共线.BAD48、在锐角△ABC中，ω、Ω、R分别表示其内切圆、外接圆及外接圆的半径.圆ωA与Ω内切于点A且与ω外切；圆ΩA与Ω内切于点A且与ω内切.设P A和Q A分别是ωA和ΩA的圆心.同样定义P B和Q B、P C和Q C.证明：8P A Q A∙P B Q B∙P C Q C≤R349、已知△ABC的垂心为H，外心为O，设A、B、C关于BC、CA、AB的对称点分别为D、E、F.证明：D、E、F共线当且仅当OH=2R，其中R为△ABC外接圆半径.FCO50、设∠XAY是一个固定的角，B、C分别是射线AX、AY上的动点，∠XAY内有一动点P满足PA、PB、PC的长度都保持不变.求△ABC面积的最小值.。
平面几何100题及答案(前80题)
第一题、如图，F为。
0外一点，PA、PB分别切6于A、B, PCD为ST割线，CO 交CX）于另一点E, AC、EB交于点F,证明：CD平分匕ADF。
"证明方法一：如图，延长ED交CA于K,根据条件知四边形CADB为调和四边形，故ED、EC、EA、EB构成一组调和线束，进而知K、C、A、F构成一组调和点列。
而KD±CD, 故CD平分ZADFo 3证明方法二：如鼠连結OA、OE、AB、BC,因为ZAFB = ZACE-ZBEC =ZAOE-ZBOC ISCT-NAOC-NBOC 半，且PA = PB,故点P为TkABF的外心。
于是知ZPFA= ZPAC = ZPDA,所以P、A、D、F 四点共圆。
又PA= PF,故CD 平分Z A DF。
3第二题、如图，AB为©0直径，C、D为O。
上两点，且在AB同侧，。
在C、D两处的切城交于点E, BC、AD交于点F, EF交AB于证明：E、C、页、D四点共圆。
“证明：如图，延长白C、BD交于点K,则BC1AK, AD丄BK,从而知F^)AKAB的垂心。
又在圆内接六边形CCADDB中使用帕斯卡定理，知K、E、F三点共线，从而KM丄卽于価。
于是知匕CMF = ZCAF= ZCDE,所以E、C、页、D四点共圆。
K第三题、如图，AB为。
直径，C、D为伽上两点'且在AB同侧，O0在C. D两处的切线交于点E, BC、AD交于点F, EB交0。
于点G,证明；ZCEF = 2/AGF。
“证明：如图，根据条件知匕CF D =典牌=(脸-®；(i对-命)=Z CAB + / DBA = ZECF + ZEDF；且EC = ED；故点E 为△CED 外心。
于是知/EFC = ZECF = ZCAB = ZCGE,敌E、C、F、G四点共圆。
所以“ZCGF = ZCEF = 2(90° - ZECF)= 2(90° - ZCAB)= 2ZABC 二2ZAGC " 0lWZAGF = —=—,即得ZCEF = 2ZAGFo，2 2第四題、如图，AB为直径，P为AB延长线上一点，PC切于C,点C关于朋的对称点为点D, CE1AD于E, F为CE中点，AF交于K,求证：AP为ZXPCK外扬圆的切线。
平面几何练习题
平面几何练习题题一：求三角形边长和周长已知一个三角形的两边长分别为a和b，夹角为C°，求第三边c的长度和三角形的周长P。
解：根据余弦定理可知，余弦公式为：c² = a² + b² - 2ab·cos(C)。
根据上述公式，可以计算得到c的长度。
根据三角形的定义可知，三角形的周长P等于三边之和，即P = a + b + c。
题二：求三角形的面积已知一个三角形的底边长为b，高为h，求三角形的面积S。
解：根据三角形的面积公式可知，S = 0.5 * b * h。
题三：判断点是否在三角形内部已知一个三角形的三个顶点坐标分别为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），以及一个待判断的点D（x，y），判断点D是否在三角形ABC的内部。
解：利用行列式的性质可以判断点D是否在三角形ABC内部。
设点D的坐标为(x,y)，则点D在三角形ABC内部的条件为：|(x₁ - x) (y₁ - y) 1||(x₂ - x) (y₂ - y) 1| > 0|(x₃ - x) (y₃ - y) 1|如果等式左侧的行列式结果大于0，则点D在三角形ABC内部；如果等式左侧的行列式结果小于0，则点D在三角形ABC的外部；如果等式左侧的行列式结果等于0，则点D在三角形ABC所在的边界上。
题四：求矩形的面积和周长已知一个矩形的长为L，宽为W，求矩形的面积S和周长P。
解：矩形的面积公式为S = L * W，周长公式为P = 2 * (L + W)。
题五：求圆的面积和周长已知一个圆的半径为r，求圆的面积S和周长C（circumference）。
解：圆的面积公式为S = π * r²，其中π取近似值3.14159；圆的周长公式为C = 2 * π * r。
题六：判断点是否在圆内部已知一个圆的圆心坐标为O（x₀，y₀），半径为r，以及一个待判断的点P（x,y），判断点P是否在圆O内部或者在圆的边界上。
2024年数学九年级上册平面几何基础练习题(含答案)
2024年数学九年级上册平面几何基础练习题（含答案）试题部分一、选择题：1. 在平面几何中，下列哪个图形既是轴对称图形又是中心对称图形？（）A. 矩形B. 等腰三角形C. 梯形D. 正五边形2. 下列各角中，哪个角是补角？（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 120°3. 在直角坐标系中，点A(2, 3)关于原点对称的点是（）A. (2, 3)B. (2, 3)C. (2, 3)D. (2, 3)4. 下列哪个条件能判定两个三角形全等？（）A. 两边和其中一边的对角相等B. 两角和其中一边相等C. 两边和它们的夹角相等D. 两边和其中一边的对角相等5. 若平行线l1和l2之间的距离为5cm，直线l3与l1、l2均相交，且l3与l1、l2的夹角均为45°，则l3与l1、l2之间的距离为（）A. 5cmB. 5√2 cmC. 2.5cmD. 2.5√2 cm6. 下列哪个图形是正多边形？（）A. 边长为1，内角为108°的多边形B. 边长为1，内角为120°的多边形C. 边长为1，内角为135°的多边形D. 边长为1，内角为140°的多边形7. 在直角三角形中，若一个锐角的度数为30°，则另一个锐角的度数为（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°8. 下列哪个比例式成立？（）A. a² : b² = (a+b)² : (ab)²B. a² : b² = (a+b) : (ab)C. a : b = (a+b)² : (ab)²D. a : b = (a+b) : (ab)9. 若等腰三角形的底边长为8cm，腰长为5cm，则该三角形的面积为（）A. 20cm²B. 40cm²C. 30cm²D. 24cm²10. 在平面几何中，下列哪个说法是正确的？（）A. 对角线互相垂直的四边形一定是矩形B. 对角线互相平分的四边形一定是平行四边形C. 对角线相等的四边形一定是矩形D. 对角线互相垂直平分的四边形一定是菱形二、判断题：1. 平行线的性质是：同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。
平面几何练习题
平面几何选讲练习题１．如图所示,已知⊙O 1与⊙O 2相交于A ，B 两点，过点A 作⊙O 1的切线交⊙O 2于点C,过点B 作两圆的割线，分别交⊙O 1，⊙O 2于点D ，E ，DE 与AC 相交于点P 。
（1）求证：AD ∥EC ；(2)若AD 是⊙O 2的切线,且PA=6,PC=2,BD=9，求AD 的长;2．如图：已知AD 为⊙O 的直径，直线BA 与⊙O 相切于点A ，直线OB 与弦AC 垂直并相交于点G ，连接DC 。
求证:BA ·DC =GC ·AD .3． 已知：如图，△ABC 中,AB=AC ，∠BAC=90°，AE=31AC ，BD=31AB ，点F 在BC 上,且CF=31BC.求证: （1)EF ⊥BC ；(2）∠ADE=∠EBC.B E DO 1 O 2A P CF EDABC４．如图，在△ABC 中，D 是AC 的中点,E 是BD 的中点，AE 的延长线交BC 于F .（1)求FCBF 的值;（2）若△BEF 的面积为1S ,四边形CDEF 的面积为2S ，求21:S S 的值．５．已知C 点在圆O 直径BE 的延长线上，CA 切圆O 于A 点，DC 是ACB ∠的平分线交AE 于点F ，交AB 于D 点。
（1)求ADF ∠的度数； （2）若AB=AC ，求AC:BC.６．自圆O 外一点P 引切线与圆切于点A ，M 为PA 中点，过M 引割线交圆于B ，C 两点．求证：∠MCP=∠MPB ． O A BDE F7．如图,AD 是⊙O 的直径，AB 是⊙O 于点M 、N ，直线BMN 交AD 的延长线于点C ，NC MN BM ==，2=AB ，求BC 的长和⊙O 的半径.8．如图，AB 是⊙O 的直径，C ，F 为⊙O 上的点，CA 是∠BAF 的角平分线,过点C 作CD ⊥AF 交AF 的延长线于D 点，CM ⊥AB ，垂足为点M . （1)求证：DC 是⊙O 的切线； (2）求证：AM ·MB =DF ·DA .9．如图，已知AP 是⊙O 的切线,P 为切点，AC 是⊙O 的割线，与⊙O 交于B 、C 两点，圆心O 在PAC ∠的内部，点M 是BC 的中点.（Ⅰ）证明A ，P ,O ,M 四点共圆； (Ⅱ）求∠OAM ＋∠APM 的大小.10．如图 ，过圆O 外一点M 作它的一条切线，切点A ，过A 点作直线AP 垂直直线OM ，垂足为P 。
平面几何习题
1、三角形ABC中,AD为中线,P为AD上任意一点,过p的直线交AB于M.交ac 于N,若AN=AM，求证PM/PN=AC/AB2、在三角形BCD中,BC=BD,延长BC至A,延长BD至E,使AC=BE,连接AD,AE,AD=AE,求BCD为等边3、三角形ABC中若圆O在变化过程中都落在三角形ABC内(含相切), A为60度,AC为8,AB为10,X为未知数,是AE的长.圆O与AB,AC相切,圆O与AB的切点为E, X的范围是？4、已知三角形ABE中C 、D分别为AB、BE上的点，且AD=AE，三角形BCD 为等边三角形，求证BC+DE=AC5、已知在三角形ABC中,AD是BC边上的中线,E是AD上的一点,且BE=AC,延长BE交AC与F,求证AF=EF6、在△ABC中，D是BC边中点，O是AD上一点，BO,CO的延长线分别交AC,AB 于E,F求证：EF平行BC。
7、已知：在△ABC和△A'B'C'中，AB=A'B', AC=A'C'.AD，A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的中线，且AD=A'D'.求证：△ABC≌△A'B'C'8、四边形ABCD为菱形，E,F为AB,BC的中点，EP⊥CD，∠BAD＝110º，求∠FPC的度数9、已知：E是正方形ABCD内的一点，且∠DAE=∠ADE=15°，求证：△EBC是等边三角形10、在三角形ABC中,经过BC的中点M,有垂直相交于M的两条直线,它们与AB,AC分别交于D、E，求证，BD+CE＞DE11、AB是等腰直角三角形ABC的斜边，若点M在边AC上，点N在边BC上，沿直线MN把△MCN翻折，使点C落在AB上设其落点（1）.如图一，当是AB的中点时，求证：PA/PB=CM/CN（2）.如图二当P不是AB中点时，结论PA/PB=CM/CN是否成立？若成立，请给出证明12、三角形ABC中，BC=5，M和I分别是三角形ABC的重心和内心，若MI 平行于BC,则AB+AC的值是多少？13、已知圆O是三角形ABC的外接圆CD是AB边上的高，AE是圆O的直径。
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平面几何习题大全下面得平面几何习题均就是我两年来收集得,属竞赛范围。
共分为五种类型,１，几何计算；２,几何证明;３,共点线与共线点;4,几何不等式；5，经典几何。
几何计算－1命题设点Ｄ就是Rt△ＡBC斜边AＢ上得一点,DE⊥BC于点E,DF⊥AＣ于点Ｆ.若AF=１5,BＥ=1０,则四边形ＤECF得面积就是多少？解：设DＦ=CE=x,DE=ＣF=ｙ、∵Ｒt△BEＤ∽Rt△ＤFA，∴BE/DＥ=DF/AF<=＝> 10/y＝x/15 〈==> xy=150、ﻩ所以，矩形ＤECF得面积１5０、几何证明—1命题在圆内接四边形ＡBCＤ中，O为圆心,己知∠ＡOB+∠COD=１80、求证:由O向四边形ＡBCD所作得垂线段之与等于四边形ABCD得周长得一半。
ﻫ证明（一）连OA，OB，OC,OD,过圆心O点分别作AＢ，ＢC，ＣD，DA得垂线，垂足依次为Ｐ,Q，Ｒ,S。
易证ΔAPO≌ΔORD，所以DR＝OP，AＰ=OR,故OＰ+OＲ=DＲ+AP＝(CD+AB)/2。
同理可得：OＱ＋OS=（DA+BＣ)/２.因此有ＯＰ+OＱ+ＯR+OS=（ＡB+BC＋CD+ＤＡ)／２。
证明（二）连OＡ,OＢ,ＯＣ，ＯD，因为∠AOB+∠CＯD＝１80°,ＯA=OD,所以易证RtΔＡPO≌RtΔＯＲD，故得ＤR=OP,AP=OＲ，即OP＋ＯR=DR+AP=（CD＋AＢ)/２。
同理可得：OQ+ＯＳ=（DＡ＋BC)/２。
因此有OP+OQ＋OR+OＳ＝(ＡＢ+BC+CＤ+DA）/2.几何不等式－1命题设P就是正△AＢC内任意一点，△DEF就是P点关于正△ABC得内接三角形[AP，BＰ,CＰ延长分别交BＣ，ＣA,ＡB于D,Ｅ，F］,记面积为Ｓ１;△ＫNM就是Ｐ点关于正△ABC得垂足三角形［过Ｐ点分别作BC,ＣA，AＢ垂线交于K，Ｎ,M］,记面积为S2.求证：S2≥Ｓ１ . ﻫ证明设Ｐ点关于正△AＢC得重心坐标为Ｐ（x，y，z),a为正△ＡBＣ得边长,则正△ABC得面积为S=(ａ^２√3）／4. ﻫ由三角形重心坐标定义易求得：ﻫAＤ=za/（y+z），ＣD=ｙa/(ｙ+z)，CＥ=xa/(ｚ+ｘ)，AE＝za／（z＋x)，AＦ=ya／（x+ｙ），BF=xａ/(ｘ+y)、故得:△ＡＥＦ得面积X＝AE＊AF*ｓｉn60°/2=Syｚ/（z+ｘ)(ｘ+y）;△BFD得面积Y=ＢF＊BD＊ｓin6０°／２＝Ｓzx/（x+ｙ）(y＋z)；ﻫ△CDE得面积Z=CD*CE＊sｉn60°／2＝Ｓxy／（y+ｚ)(ｚ+x)、从而有S1=Ｓ—Ｘ—Y-Ｚ＝2xｙzS／（ｙ+z)（z+x)（x+y)。
因为P点就是△KＮM得费马点,从而易求得：PＫ=（xa√3)/［２(x+y＋z)]，PN＝(ya√３)/[2(x+y+z）]，ﻫPM＝(za√3）/[2（x+ｙ+z）］、故得:Ｓ2=(PＮ*ＰM+ＰM＊ＰK＋ＰK＊PＮ)＊siｎ1２0/2=3S(ｙz+ｚx+xｙ)/[4(x+y+z)^２］。
3/4)*(yz+zx+xy）/(x＋y＋ｚ）＾2≥2xｙz/（y+z)(ｚ+x)所以待证不等式Ｓ2≥S1等价于: ﻫ(（x＋y)；ﻫ＜＝===〉３（y+z）（z＋x)(ｘ+y）(ｙz＋ｚｘ+xy）≥8xyｚ（x+ｙ+ｚ)^2;上式展开等价于3ｘ＾3(y^2＋z^2)+3y^3(z^2+ｘ＾2)+3z^3(x＾２＋ｙ^２)-2xyｚ（x^2+ｙ＾2+z^2)-4xyz（yz ＋zx＋xｙ）≥0；ﻫ上式化简等价于ｘ^2(ｘ＋2ｙ+２z)(y-z）^2＋y＾２（y+2ｚ+２x)(z－x)^2+z^2(ｚ＋2x+２y)（x-y)^２≥0、ﻫ因为P点在正△ＡBC内,故x＞0，ｙ＞０,z〉0，所以上式显然成立。
命题得证。
几何不等式—２命题设Ｐ就是三角形ＡBC内一点,直线AP，BP,CＰ与三边得交点分别为D，E，F。
则三角形DＥF叫做点P得塞瓦三角形。
试证点P得塞瓦三角形DEF得面积不超过三角形ABC面积得四分之一。
证明设三角形AＢＣ得面积为S, 塞瓦三角形DEＦ得面积为S1, 三角形ＡEF得面积为Sa，三角形BＦD得面积为Sｂ，三角形CDＥ得面积为Ｓc。
令BD＝xＢC，CE=yCA,AF=zAB，则CD=(1-x)ＢC，AE=（1-y）CA，BF=(1-z）AＢ.那么Sa=(AＥ＊ＡF＊ｓiｎＡ)/2＝z＊(1—y)*S,Ｓb=(BD＊BF＊sinB)/2＝ｘ*（１－z)＊Ｓ,Sc=(CD*ＣE*sinC)／２=y＊(１-x)*S。
所以有S1=Ｓ-Sａ-Ｓb－Sc＝S＊[１—z*(1-y）—x＊(1—ｚ）-y*（１-x)］=Ｓ*[1—（x+y＋z）＋yｚ+zｘ+xy] ,据此命题[S≥4S１］转化为证明4＊[１—(x＋y+z)＋yｚ＋ｚｘ＋xy]≤１根据塞瓦定理得:ｘyz=（1－ｘ)*（1－ｙ)＊（１—z）上述恒等式展开等价于１+ｙz+zx+xｙ=2xyｚ+x＋y＋z将其代入得：8xyｚ≤1、由算术-－几何平均不等式得：2√［ｘ(1-x)］≤1，2√［y(1—y）］≤1，2√［z（1－z)］≤1，上述三式相乘得：８√[xyｚ(１-x）＊(1－y）＊(1—z)］≤1，〈==＞8xyz≤1 、几何不等式-3命题设Ｐ就是三角形ABC内一点，点P在三边ＢC，CA，ＡB上得射影分别为D,Ｅ，F。
则三角形ＤＥF叫做点P得垂足三角形.试证点P得垂足三角形DEＦ得面积不超过三角形ＡBC面积得四分之一。
证明设P点垂足ΔDEF面积为F,ΔABＣ面积为Δ，令ＰD＝r１，PＥ=r2,PC=r3，BC=a,CA=b，AB＝ｃ，R表示三角形AＢＣ得外接圆半径。
则有F=[r２＊r3＊siｎＡ+ｒ３＊ｒ1＊siｎＢ+ｒ1*r２＊sinC］／2=[a*r2*ｒ３+b*r3*r1+c*ｒ1＊ｒ２]/(4Ｒ）.故命题转化为求证a＊r2＊r３+b*r3＊r1+c＊ｒ1＊r2≤ＲΔ (1）据恒等式：ａｂc=4ＲΔ,则上式为a＊r2*r3+ｂ＊r3*r1+c*r1＊r２≤ａbc/4(2)设P点得ΔABC重心坐标为P（x,y，z)，对(2）式作置换等价于R^2*(ｘ+ｙ+z）^2≥ｙｚa^2+ｚxｂ＾2+xyc＾2（３)（3)展开化简为(Ｒ*x)^２＋(R*y)＾2＋（R＊ｚ）^2+(2*R^2—ａ^2)＊yz+（２＊R＾2—ｂ^2）*zｘ＋(2＊Ｒ^2—c＾2）*ｘy≥０上式配方整理得:[R＊x＋(2*R^2－c＾2）＊y/(2Ｒ）＋（2＊R^2—b＾２)＊z/（２R）]^２＋［c＊y*cosC－b ＊z＊cosB］^2≥0，显然成立.易验证当x:ｙ:z＝ａ*cosA：ｂ＊cｏｓB：c＊cosC，即外心时取等号。
几何不等式-４命题试比较给定一三角形得最大内接矩形得面积与最大内接正方形得面积大小。
证明设给定三角形ＡBＣ得边长分别为ａ,ｂ,c,相对应得高线分别为ha,hｂ,ｈc，给定三角形ABC得面积为S.不妨设a>ｂ＞c,则ｈa<hｂ<hc,运用化归法易证明：给定三角形ABC得最大内接矩形与最大内接正方形得一边与三角形一边重合，另外两端在另外两边上。
下面在a＞ｂ＞c条件下，求出最大内接矩形与最大内接正方形得面积. ﻫ(1）对于给定三角形得最大内接矩形得面积可如下求:设矩形长为x[与BC边重合］，宽为y，矩形得面积为Ｓ1.运用相似比可得：ﻫ（ha—y)/x=hａ/a 〈=＝〉x=ａ*(ha-y）/ｈａ，所以S1＝y＊a＊（hａ—ｙ）/ｈａ=-［1/（a*ha）］＊［a＾2＊y^2－2＊ａ＊S＊y］ﻫ=—[１/(2*S)]＊(a*y-Ｓ）^2+S^/2≤Ｓ/2。
当ｙ=S/a=ha/2，ｘ=a/2时,S１得最大值为S/2. ﻫ所以给定三角形得最大内接矩形得面积为Ｓ／2,它共有三种形状，即(长，宽)＝(a／2,hａ／2)；(长，宽)＝（ｂ/2，hb/2);(长,宽）=(c/2，hc／２）。
注意这里长与宽相对而言。
ﻫ（2）对于给定三角形得最大内接正方形得面积可如下求：设正方形边长为ｘ,正方形得面积为S2。
运用相似比可得:（ha-x)／x=ha/a<==> ｘ=2*S/（ａ+ha），因为a>ｂ〉c，易证得：ａ+ha>b+hb>ｃ＋hｃ, ﻫ所以给定三角形得最大内接正方形得面积：ﻫS２＝［2＊S/（ｃ+hｃ)］^2.(３)下面确定给定三角形AＢC得最大内接矩形得面积与最大内接正方形得面积大小。
[2*S/(c+hｃ）]＾２≤S/2 ﻫ<＝=>8*S≤(c+hｃ）^２因为c^２＋(hc)^2≥2*ｃ＊hc＝4＊S，所以８＊Ｓ≤（c+hc）^2显然成立。
当c＝hc时等号成立。
几何不等式—5命题在等腰直角三角形中,∠BAC=90°,Ｅ,Ｆ在BC边上[E点靠近B点，F点靠近Ｃ点]。
求证: ﻫ（1）如果∠EＡF≤4５°，则ＢE＾2+CF^2≥ＥF＾２; ﻫ（２）如果∠ＥAF≥45°,则ＢE^2+CＦ^２≤ＥＦ＾2、ﻫ证明设AE为y，AＦ为z，AＢ=AＣ=a。
ﻫ在△ＡBE，△ACF中［∠AＢＥ=４５°，∠AＣF=4５°］，根据余弦定理得:BＥ^２=y^２-a^2+a＊BE*√2；⎛y^2=a^2+BE^2-a＊BＥ*√2；z^2=a^2+CF^2-ａ＊ＣＦ＊√2；CＦ^2=z^2－a^２+a*CＦ＊√２、⎛两式相加得：BE＾2＋CF^2＝y^２+ｚ＾2—2a＾2＋a√2（ＢE＋CF）=y^２+z^2—２a^2+ａ√2（a√2—ＥＦ) ﻫ=y^２+z＾２－a√2ＥF。
注意到：△AEF面积得两种表示式ﻫyｚsin（∠EAF)/2=aEＦ/(２√2) ａ√2EF=2yzｓin∠ＥAF ﻫ所以有BE＾2＋CＦ^2=y^2+z^2—２yzｓin∠ＥAＦ而在△AEF中，根据余弦定理得：ﻫEF^２=y＾2+z^2－2yzcｏs∠EAＦﻫ对比上述两式,当∠EAF＝45°时,有BE^2+ＣF^2＝EF^2。
ﻫ（1）如果∠EAＦ≤4５°,则taｎ∠ＥAF≤1,即BE＾2+CF＾2≥EＦ^２;（2）如果∠EAF≥４5°,则tan∠EAF≥1,即ＢＥ^2+ＣF＾２≤EF^2、附证如图,等腰直角三角形AＢC，Ｅ，Ｆ在BC上，不妨设F在E右侧将△ＡFC旋转90度到△ＡDB ﻫ∠ＡBC=∠ACB＝∠ＡBD=４５＝=〉∠DBE=90BD=C F==>BＥ^2+CF＾2＝BE^２+BD^2=ＤE＾２ﻫDE＾2＝AD＾2＋AE＾2－2AＤ＊ＡE＊coｓ∠DAＥEＦ^２＝AF^2+ＡE^2-2AF*AE＊coｓ∠EＡFﻫAＤ=AF ﻫＤＥ^2—EF^2=2ＡF*AE(cos∠ＥAF—coｓ∠DＡE）∠ＤAＥ=∠DAＢ+∠ＢAE=∠ＣAF+∠BAE=9０-∠EＡF（1)∠EＡF≤45°，则90°＞∠DAＥ≥∠EAF＞０°，DE^２－EＦ^２＝２AＦ*ＡE（ｃos∠EAF-ｃos∠DAE）≥0ﻫＤＥ^２≥EF^2BＥ^2+ＣＦ^2≥EF^2ﻫ（2)∠EAF≥45°,则０°<∠DAE≤∠ＥＡF＜90°,DE＾2-ＥF^２＝2ＡＦ＊AE（coｓ∠EAＦ－cｏs∠DAE）≤0 ﻫDE^2≤EF^2 ﻫBE＾2+CＦ^ 2≤EＦ^2几何不等式-6命题非钝角三角形得三条中线组成得三角形,它得外接圆半径大于原三角形外接圆半径得５/6。