余姚中学2009年保送生选拨赛(数学) By 鲁老师 含答案

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所以，三角形 AOB 面积的最小值为12． 17．原方程可化为 2 x 2 − 3x − ( k + 3) = 0 ，① （1）当△＝0 时， k = −
33 3 ， x1 = x 2 = 满足条件； 8 4 1 ， 2
16．如图，一次函数的图象过点 P（2，3） ，交 x 轴的正半轴与 A，交 y 轴的正半轴与 B，求△AOB 面积的 最小值．
y B P O x
A
x 2 + kx + 3 17．在正实数范围内，只存在一个数是关于 x 的方程 = 3 x + k 的解，求实数 k 的取值范围． x −1
18．预计用 1500 元购买甲商品 x 个，乙商品 y 个，不料甲商品每个涨价 1.5 元，乙商品每个涨价 1 元，尽 管购买甲商品的个数比预定数减少 10 个，总金额仍多用 29 元．又若甲商品每个只涨价 1 元，并且购买 甲商品的数量只比预定数少 5 个，那么甲、乙两商品支付的总金额是 1563.5 元． （1）求 x 、 y 的关系式； （2）若预计购买甲商品的个数的 2 倍与预计购买乙商品的个数的和大于 205，但小于 210，求 x 、 y 的 值
DE 1 − x = ，而△DEF∽△ACF，则有 AF x
2
S ∆DEF DF (1 − x) 2 = =1− x ． = S ∆ACF AF x2
故 SABCDE＝3S△ABC＋S△AEF＝
整理解得 x =
5 −1 ． 2
5+ 5 ． 2 b b ， 则 OA＝ − ． k k
（2）若 x = 1 是方程①的根，得 2 × 12 − 3 × 1 − ( k + 3) = 0 ， k = −4 ．此时方程①的另一个根为 故原方程也只有一根 x =
−k +3 < 0 ，得 k > −3 ，此时原方程也只有一个正实数根； 2 3 （4）当方程①有一个根为 0 时， k = −3 ，另一个根为 x = ，此时原方程也只有一个正实根。 2 33 或 k = −4 或 k ≥ −3 ． 综上所述，满足条件的 k 的取值范围是 k = − 8 18． （1）设预计购买甲、乙商品的单价分别为 a 元和 b 元，则原计划是
其中正确的说法是（ (A) ①② ） (B) ①③ (C) ②④ （D）③④
7、一名模型赛车手遥控一辆赛车，先前进 1m，然后，原地逆时针方向旋转角 a(0°<α<180°)。被称为一 次操作．若五次操作后，发现赛车回到出发点，则角 α 为 ( ) (A) 7 2° （B）108°或 14 4° （C）144° （D） 7 2°或 144° 8、如图，已知圆心为 A、B、C 的三个圆彼此相切，且均与直线 l 相切．若⊙A、⊙B、⊙C 的半径分别为 a、 b、c(0<c<a<b)，则 a、b、c 一定满足的关系式为 ( ) （A）2b=a+c （B） b = (D)
13、某商铺专营 A，B 两种商品，试销一段时间，总结得到经营利润 y 与投人资金 x(万元)的经验公式分别 是 yA=
1 3 x ， yB= x 。如果 该商铺投入 10 万元资金经营上述 两 种商品 ， 可获得 的最 大利润 为 7 7
___________ 万元。
14、在△ABC 中，AB＝15，AC＝13，高 AD＝12，设能完全覆盖△ABC 的圆的半径为 R．则 R 的最小值 是 ．
(D) 2
6 、 已 知 一 组 正 数 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 的 方 差 为 ： S 2 =
1 2 ( x1 + x2 2 + x32 + x42 + x52 − 20) ， 则 关 于 数 据 5
x1 + 2, x2 + 2, x3 + 2, x4 + 2, x5 + 2 的说法：①方差为 S2；②平均数为 2；③平均数为 4；④方差为 4S2。
2 ， 3
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（3）当方程①有异号实根时， x1 x 2 =
1 ； 2
ax + by = 1500 ，
①
由甲商品单价上涨 1. 5 元、乙商品单价上涨 1 元，并且甲商品减少 10 个的情形，得
(a + 1.5)( x − 10) + (b + 1) y = 1529 ．②
再由甲商品单价上涨 1 元，而数量比预计数少 5 个，乙商品单价上涨仍是 1 元的情形，得
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19．某仓储系统有 20 条输入传送带，20 条输出传送带．某日，控制室的电脑显示，每条输入传送带每小时 进库的货物流量如图(1)，每条输出传送带每小时出库的货物流量如图 (2)，而该日仓库中原有货物 8 吨，在 0 时至 5 时，仓库中货物存量变化情况如图(3)，则在 0 时至 2 时有多少条输入传送带和输出 传送带在工作? 在 4 时至 5 时有多少条输入传送带和输出传送带在工作?
16． 解： 设一次函数解析式为 y = kx + b ， 则 3 = 2k + b ， 得 b = 3 − 2k ， 令 y = 0得 x = − 令 x = 0 得 y = b ，则 OA＝ b ．
S ∆AOB = 1 b × (− ) × b 2 k 1 (3 − 2k ) 2 = × 2 −k 2 1 4k − 12k + 9 = × 2 −k 2 1 3 = × [(2 − k − ) + 24] 2 −k ≥ 12.
因为 59 为质数，故 x 1 -1, x 2 -1 中必有一个是 59 的倍数，取 x 1 -1=34, x 2 -1=59， 则 x 1 +x 2 =95，∴a 的最小值为 95； 10、
b 65 15 ；11、①②③；12、4；13、1.75；14、 或 ； a 8 2
三、解答题： 15．∵ BE∥CD，CA∥DE，DB∥EA，EC∥AB，AD∥BC， ∴ S△BCD＝S△CDE＝S△DEA＝S△EAB＝S△ACB＝S△ACF＝1． 设 S△AEF＝ x ，则 S△DEF＝1 − x ， 又△AEF 的边 AF 与△DEF 的边 DF 上的高相等， 所以，
余姚中学 2009 年 4 月保送生选拔卷（数学）
（本卷满分：120 分，时间：90 分钟）
一、选择题（每小题 5 分、共 40 分） 1、如果多项式 p = a 2 + 2b 2 + 2a + 4b + 2008 ，则 p 的最小值是（ (A) 2005 (B) 2006 (C) 2007 ). (D)
三、解答题（第 15--19 每题 8 分，20 题 10 分，共 50 分） 15．如图，凸五边形 ABCDE 中，已知 S△ABC＝1，且 EC∥AB，AD∥BC， BE∥CD，CA∥DE，DB∥EA．试求五边形 ABCDE 的面积．
D E C
F
A
B
2
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G
＜2，与 y 轴正半轴的交点在(0，2)的下方，下列结论：①a<b<0；②2a+c>0；③4a+c<0；④2a-b+1．其 中正确的结论是_____________．(填写序号)
12、如图，⊙O 的直径 AB 与弦 EF 相交于点 P，交角为 45°，若 PE + PF =8，则
2 2
AB 等于
．
EF a 10、 如图， 在△ABC 中， AB=AC, AD⊥BC, CG∥AB, BG 分别交 AD,AC 于 E,F.若 = ， BE b GE . 那么 等于 BE
B
2 11、已知二次函数 y = ax + bx + c 的图象与 x 轴交于点(-2，0)，(x1，0)，且 1＜x1
A F E D C
(a + 1)( x − 5) + (b + 1) y = 1563.5 ， ③
由①、②、③得
1.5 x + y − 10a = 44, x + y − 5a = 68.5.
④－⑤×2 并化简，得
④ ⑤
x + 2 y = 186 ．
（2）依题意，有 205＜ 2 x + y ＜210 及 x + 2 y = 186 ，54＜ y ＜ 55 由 y 是整数，得 y = 55 ，从而得 x = 76 ． 答： （1） x 、 y 的关系 x + 2 y = 186 ； （2）预计购买甲商品 76 个，乙商品 55 个． 19． 在 0 时至 2 时内有 14 条输入传送带和 12 条输出传送带在工作； 在 4 时至 5 时内有 6 条输入传送带和 6 条输出传送带在工作． 20． （1）垂直，证略. （2）注意二种情况：B、D 在 AC 两侧，MN = 2+ 3 . 2– 3，B、D 在 AC 同侧，MN =
）
2008
2、菱形的两条对角线之和为 L,面积为 S,则它的边长为( (A)
1 2
4 S − L2
(B)
1 2
4 S + L2
(C)
1 2
L2 − 4S
(D)
1 2
L2 + 4 S
3、方程 ( x 2 + x − 1) x +3 = 1 的所有整数解的个数是（ （A）5 个 （B）4 个 （C）3 个
20．已知直角三角形 ABC 和 ADC 有公共斜边 AC，M、N 分别是 AC，BD 中点，且 M、N 不重合．(1)线段 MN 与 BD 是否垂直?请说明理由． (2)若∠BAC = 30°，∠CAD = 45°，AC = 4，求 MN 的长 .