【期末试卷】吉林省长春市五县2016-2017学年高二上学期期末考试数学(理)试题 Word版含答案
数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.双曲线221168x y -=的虚轴长是（ ）A ．8B ．C ．．22.在公差为d 的等差数列{}n a 中，“1d >”是“{}n a 是递增数列”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3.为了了解800名高三学生是否喜欢背诵诗词，从中抽取一个容量为20的样本，若采用系统抽样，则分段的间隔k 为（ ）A ．50B ．60C ．30D ．404.已知椭圆22:1169x y C +=的左、右焦点分别为12F F 、，过2F 的直线交椭圆C 于P Q 、两点，若1F P +110FQ =，则PQ 等于（ ） A ．8 B ．6 C.4 D ．25.从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如下，则这100个成绩的平均数为（ ）A ．3B ．2.5 C.3.5 D ．2.756.某单位有员工120人，其中女员工有72人，为做某项调查，拟采用分层抽样法抽取容量为15的样本，则男员工应选取的人数是（ ） A ．5 B ．6 C.7 D ．87.已知椭圆()222:10525x y C b b +=<<的长轴长、短轴长、焦距成等差数列，则该椭圆的方程是（ ）A ．221254x y +=B ．221259x y += C.2212516x y += D ．22125x y +=8.已知点()00,A x y 是抛物线()220y px p =>上一点，且它在第一象限内，焦点为,F O 坐标原点，若32pAF =，2AO = ） A ．4x =- B ．3x =- C.2x =- D ．1x =-9.某班m 名学生在一次考试中数学成绩的频率分布直方图如图，若在这m 名学生中，数学成绩不低于100分的人数为33，则m 等于（ ）A ．45B ．48 C.50 D ．5510.已知定点()3,0M -，()2,0N ，如果动点P 满足2PM PN =，则点P 的轨迹所包围的图形面积等于（ ） A ．1009π B ．1429π C.103πD ．9π11.已知命题p ：直线20x y +=与直线20x y +-=之间的距离不大于1，命题q ：椭圆2222754x y +=与双曲线22916144x y -=有相同的焦点，则下列命题为真命题的是（ ）A ．()p q ∧⌝B ．()p q ⌝∧ C.()()p q ⌝∧⌝ D ．p q ∧12.如图，12,F F 分别是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线分别交于点,A B ，且(A ，若2ABF ∆为等边三角形，则12BF F ∆的面积为（ ）A ．1 BD ．2第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知0m >，0n >，向量(),1,3a m =- 与()1,,2b n =垂直，则mn 的最大值为 ．14.若[]x 表示不超过x 的最大整数，执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为 ．15.在区间2,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上任取一个数x ，则函数()3sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的值不小于0的概率为 ．16.已知点A 是抛物线()2:20C x px p =>上一点，O 为坐标原点，若,A B 是以点()0,10M 为圆心，OA 的长为半径的圆与抛物线C 的两个公共点，且ABO ∆为等边三角形，则p 的值是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为3x ty =+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρθ=. （1）写出直线l 的普通方程及圆C 的直角坐标方程；（2）点P 是直线l 上的点，求点P 的坐标，使P 到圆心C 的距离最小. 18. （本小题满分12分）已知p ：方程()2220x mx m +++=有两个不等的正根；q ：方程221321x y m m -=+-表示焦点在y 轴上的双曲线.（1）若q 为真命题，求实数m 的取值范围；（2）若“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，求实数m 的取值范围. 19. （本小题满分12分）某公司经营一批进价为每件4百元的商品，在市场调查时发现，此商品的销售单价x （百元）与日销售量y （件）之间有如下关系：（1）求y 关于x 的回归直线方程；（2）借助回归直线方程请你预测，销售单价为多少百元（精确到个位数）时，日利润最大？相关公式：()()()1122211n niii ii i nniii i x x y y x y nx ybx x xnx====---==--∑∑∑∑ ， ay bx =-. 20. （本小题满分12分）如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名同学的投篮命中次数，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中用x 表示.（1）若乙组同学投篮命中次数的平均数比甲组同学的平均数少1，求x 及乙组同学投篮命中次数的方差；（2）在（1）的条件下，分别从甲、乙两组投篮命中次数低于10次的同学中，各随机选取一名，求这两名同学的投篮命中次数之和为16的概率.21. （本小题满分12分）如图，在三棱锥A BCD -中，AD ⊥平面BCD ，CB CD =，AD DB =，,P Q 分别在线段,AB AC 上，3AP PB =，2AQ QC =，M 是BD 的中点.（1）证明：//DQ 平面CPM ； （2）若二面角C AB D --的大小为3π，求tan BDC ∠.22. （本小题满分12分）已知()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12F F 、，12F F =P 在椭圆上，21tan 2PF F ∠=，且12PF F ∆的面积为4.（1）求椭圆的方程；（2）点M 是椭圆上任意一点，12A A 、分别是椭圆的左、右顶点，直线12MA MA ，与直线x =分别交于,E F 两点，试证：以EF 为直径的圆交x 轴于定点，并求该定点的坐标.试卷答案一、选择题1.B 因为28b =，所以虚轴长2b =.2.A 若1d >，则n N *∀∈，110n n a a d +-=>>，所以，{}n a 是递增数列；若{}n a 是递增数列，则n N *∀∈，10n n a a d +-=>，推不出1d >3.D 由于8002040÷=，即分段的间隔40k =.4.B 因为直线PQ 过椭圆的右焦点2F ，由椭圆的定义，在1F PQ ∆中，11416F P FQ PQ a ++==.又1110F P FQ +=，所以6PQ =. 5.A 设这100个成绩的平均数记为x ，则120210*********3100x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==.6.B 男员工应抽取的人数为12072156120-⨯=. 7.C 设焦距为2c ，则有222552b c c b⎧-=⎨+=⎩，解得216b =，所以椭圆22:12516x y C +=.8.D 因为0322p px +=，所以0x p =，0y =.又)2212p +=，所以2p =，准线方程为1x =-.9.D ()10.0150.025100.6P =-+⨯=，由0.633m =，得55m =.10.A 设(),P x y ，则由2PM PN =得()()2222342x y x y ⎡⎤++=-+⎣⎦，化简得223322x y x +-70+=，即221110039x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，所以所求图形的面积1009S π=.11.B 对于命题p ，将直线l 平移到与椭圆相切，设这条平行线的方程为20x y m ++=，联立方程组224120x y x y m ⎧+=⎨++=⎩，消去y 得222210x mx m ++-=.由0∆=得，所以m =，椭圆上的点到直线l最近距离为直线20x y +-=与l 的距离d =1>，所以命题p 为假命题，于是p ⌝为真命题.对于命题q ，椭圆2222754x y +=与双曲线22916144x y -=有相同的焦点()5,0±，故q 为真命题.从而()p q ⌝∧为真命题.12.C 由已知212BF BF a -=，122AF AF a -=，又2ABF ∆为等边三角形，所以121AF AF BF -=2a =，所以24BF =.在12AF F ∆中，16AF a =，24AF a =，122F F c =，1260F AF ∠=︒，由余弦定理得22243616264cos 60c a a a a =+-⨯⨯⨯︒，所以227c a =，22226b c a a =-=，所以双曲线方程为222216x y a a-=，又(A 在双曲线上，所以221316a a -=，解得212a =，即a =所以122124sin1202BF F S a a ∆=⨯⨯⨯︒==. 二、填空题13.9 因为，所以，又，所以.14.7 第一次循环，0S =，2n =；第二次循环，1S =，4n =；第三次循环，3S =，6n =；第四次循环，5S =，8n =；第五次循环，7S =.因为8>6，所以输出S 的值为7.15.611 当2,43x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，272,636x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦.当[]20,6x ππ-∈，即7,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时()0f x ≥，则所求概率为76121221134ππππ-=⎛⎫-- ⎪⎝⎭.16.56如图，因为MA OA =，所以，点A 在线段OM 的中垂线上，又()0,10M ，所以可设(),5A x . 由tan 305x︒=，得x =，所以A ⎫⎪⎭的坐标代入方程22x px =，得56p =.三、解答题17.解：（1）由3,.x t y =+⎧⎪⎨=⎪⎩消去参数t ，得直线l0y --=，由ρθ=得2sin ρθ=，22x y +=，即圆C的直角坐标方程为(223x y +-=.（2）()3P t +，(C=，0t =∴时PC 最小，此时()3,0P .18.解：（1）由已知方程221321x y m m -=+-表示焦点在y 轴上的双曲线，则()244202020m m m m ⎧∆=-+>⎪->⎨⎪+>⎩解得21m -<<-，即:21p m -<<-. 因p 或q 为真，所以p q 、至少有一个为真. 又p 且q 为假，所以p q 、至少有一个为假.因此，p q 、两命题应一真一假，当p 为真，q 为假时，213m m -<<-⎧⎨≥-⎩，解得21m -<<-；当p 为假，q 为真时，213m m m ≤≥-⎧⎨<-⎩或，解得3m <-.综上，21m -<<-或3m <-. 19.解：（1）因为7x =，1089616.85y ++++==，所以，122121857 6.82255549ni ii ni i x y nx ybx nx==--⨯⨯===--⨯-∑∑ ，()6.82720.8ay bx =-=--⨯=， 于是得到y 关于x 的回归直线方程220.8y x =-+. （2）销售价为x 时的利润为()()24220.8228.883.2x x x x ω=--+=-+-，当28.8722x =≈⨯时，日利润最大. 20.（1）解：依题意得：82910789112155x +⨯+++++⨯=-，解得6x =，41=5x 乙，22222141414141682910 1.7655555s ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-⨯+-+-=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦. （2）记甲组投篮命中次数低于10次的同学为123,,A A A ，他们的命中次数分别为9，8，7. 乙组投篮命中次数低于10次的同学为1234,,,B B B B ，他们的命中次数分别为6，8，8，9.依题意，不同的选取方法有：()()()()()()()()()()()()111213142122232431323334,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B 共12种.设“这两名同学的投篮命中次数之和为16”为事件，则中恰含有()()()222334,,,,,A B A B A B 共3种.()31124P C ==∴. 21.（1）证明：取AB 的中点E ，连接ED EQ 、，则2AE AQEP QC==，所以//EQ PC . 又EQ ⊄平面CPM ，所以//EQ 平面CPM . 又PM 是BDE ∆的中位线，所以//DE PM ， 从而//DE 平面CPM .又DE EQ E = ，所以平面//DEQ 平面CPM . 因为DQ ⊂平面DEQ ，所以//DQ 平面CPM . （2）解：法1：由AD ⊥平面BCD 知，AD CM ⊥， 由BC CD =，BM MD =，知BD CM ⊥， 故CM ⊥平面ABD .由（1）知//DE PM ，面DE AB ⊥，故PM AB ⊥. 所以CPM ∠是二面角C AB D --的平面角， 即3CPM π∠=.设PM a =，则CM =，又易知在Rt ABD ∆中，4B π∠=，可知DM BM ==，在Rt CMD ∆中，tan MC MDC MD ∠===法2：以M 为坐标原点，,,MC MD ME 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标.设MC a =，MD b =，则(),0,0C a ，()0,,0B b -，()0,,2A b b ，则(),,0BC a b = ，()0,2,2BA b b = ，设()1,,n x y z = 是平面ABC 的一个法向量，则110,0.n BC n BA ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 即0,220.ax by by bz +=⎧⎨+=⎩取()1,,n b a a =- ， 不难得到平面ABD 的一个法向量为()21,0,0n = ，所以11cos ,2n n <=，所以a b =， 在Rt CMD ∆中，tan MC a MDC MD b ∠===22.解：（1）因为21tan 2PF F ∠=，所以21sin PF F ∠=，21cos PF F ∠=.由题意得((2221221422PF PF PF ⎧⨯=⎪⎪⎨⎪=+-⨯⎪⎩ ，解得1242PF PF ⎧=⎪⎨=⎪⎩. 从而1224263a PF PF a =+=+=⇒=，结合2c =，得24b =， 故椭圆的方程为22194x y +=. （2）由（1）得()13,0A -，()23,0A ，设()00,M x y ，则直线1MA 的方程为()0033y y x x =++，它与直线x =的交点的坐标为0033y E x ⎫⎫+⎪⎪⎪⎪+⎭⎭， 直线2MA 的方程为()0033y y x x =--，它与直线x =的交点的坐标为0033y F x ⎫⎫-⎪⎪⎪⎪-⎭⎭， 再设以EF 为直径的圆交x 轴于点(),0Q m ，则QE QF ⊥，从而1QE QF k k =-，即1=-，即22020949y m x ⎫=-⎪⎪-⎭，解得1m =. 故以EF 为直径的圆交x轴于定点，该定点的坐标为1,0⎫+⎪⎪⎭或1,0⎫-⎪⎪⎭.。
2016-2017学年吉林省长春、四平两地六县(市区)重点中学高二下学期期末联考数学(理)试题(解析版)
2016-2017学年吉林省长春、四平两地六县（市区）重点中学高二下学期期末联考数学（理）试题一、选择题 1．若复数1iz i=-+，则复数z 的模为（ ）A.B.2C. 1D. 2 【答案】B【解析】由题意可得：12i z i===-+. 本题选择B 选项.2．如图，从甲地到乙地有2条路，从乙地到丁地有3条路；从甲地到丙地有4条路，从丙地到丁地有2条路，则从甲地到丁地不同的路有 ( )A. 11条B. 14条C. 16条D. 48条 【答案】B【解析】分两类，第一类，从甲到乙再到丁，共有2×3=6种， 第二类，从甲到丙再到丁，共有4×2=8种， 根据分类计数原理可得，共有6+8=14种， 故从甲地到丁地共有14条不同的路线。
本题选择B 选项.点睛：一是分类加法计数原理中，完成一件事的方法属于其中一类并且只属于其中一类，简单的说分类的标准是“不重不漏，一步完成”． 二是分步乘法计数原理中，各个步骤相互依存，在各个步骤中任取一种方法，即是完成这个步骤的一种方法，简单的说步与步之间的方法“相互独立，分步完成”．3．2355A C -等于 ( ) A. 0 B. 10 C. 10- D. 40- 【答案】B【解析】235554541021A C ⨯-=⨯-=⨯.本题选择B 选项.4．下列四个推理中，属于类比推理的是（ ）A. 因为铜、铁、铝、金、银等金属能导电，所以一切金属都能导电B. 一切奇数都不能被2整除， ()5021+是奇数，所以()5021+不能被2 整除 C. 在数列{}n a 中， 111,1nn na a a a +==+，可以计算出234111,,234a a a ===，所以推出1n a n=D. 若双曲线的焦距是实轴长的2倍，则此双曲线的离心率为2，类似的，若椭圆的焦距是长轴长的一半，则此椭圆的离心率为12【答案】D【解析】由推理的定义可得A,C 为归纳推理，B 为演绎推理，D 为类比推理. 本题选择D 选项.点睛：一是合情推理包括归纳推理和类比推理，所得到的结论都不一定正确，其结论的正确性是需要证明的．二是在进行类比推理时，要尽量从本质上去类比，不要被表面现象所迷惑；否则只抓住一点表面现象甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误．5．已知函数()()36,1xf x xg x e =-=-，则这两个函数的导函数分别为 ( )A. ()()263,xf x xg x e ''=-= B. ()()23,1xf x xg x e '=='--C. ()()23,xf x xg x e ''=-= D. ()()263,1xf x xg x e '=='--【答案】C【解析】由导函数的运算法则可得若函数()()36,1xf x xg x e =-=-，则这两个函数的导函数分别为()()23,xf x xg x e ''=-= .本题选择C 选项.6．直线0,3,0x x y ===与曲线2y x =所围成的曲边梯形的面积为（ ） A. 9 B. 274 C. 272D. 27 【答案】A【解析】直线x =0,x =3,y =0与曲线y =x 2所围成的曲边梯形的面积为：3233001|93x dx x ⎛⎫== ⎪⎝⎭⎰. 本题选择A 选项.7．有6个人排成一排照相，要求甲、乙、丙三人站在一起，则不同的排法种数为（ ） A. 24 B. 72 C. 144 D. 288【答案】C【解析】总排法数为4343144A A =，故选C ．点睛：本题是排列中的相邻问题，用“捆绑法”求解，解决此问题分两步，第一步把要求相邻的三人捆绑在一起作为一个人，和其他3人看作是4人进行排列，第二步这三人之间也进行排列，然后用乘法原理可得解． 8．函数()ln 41f x x x =-+的递增区间为（ ） A. 1,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭ B. ()0,4 C. 1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ D.10,4⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D【解析】∵f (x )=lnx −4x +1定义域是{x |x >0}∵()114'4x f x x x-=-= 当f ′(x )>0时, 104x <<.本题选择D 选项.点睛：(1)利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号．关键是分离参数k ，把所求问题转化为求函数的最小值问题． (2)若可导函数f (x )在指定的区间D 上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到． 9．有5本相同的数学书和3本相同的语文书，要将它们排在同一层书架上,并且语文书不能放在一起，则不同的放法数为（ ） A. 20 B. 120 C. 2400 D. 14400 【答案】A【解析】由题意3620C =，故选A ．点睛：本题是不相邻问题，解决方法是“插空法”，先把数学书排好（由于是相同的数学书，因此只有一种放法），再在数学书的6个间隔（含两头）中选3个放语文书（语文书也相同，只要选出位置即可），这样可得放法数为36C ，如果是5本不同的数学书和3本不同的语文书，则放法为5356A A ．10．若函数()2123ln 42f x x x x a =+-+的极小值为32-，则a 的值为 ( ) A. 2- B. 1- C. 4- D. 3-【答案】B【解析】函数的定义域为：x>0; ()3'2f x x x=+-， 令f′(x)>0，解得：1<x ， 令f′(x)<0，解得：0<x<1，故f(x)在(0,1)递减,在(1,+∞)递增， ∴()()1312422f x f a ==++=-极小值，解得：a=−1， 本题选择B 选项.11．一口袋里有大小形状完全相同的10个小球，其中红球与白球各2个，黑球与黄球各3个，从中随机取3次，每次取3个小球，且每次取完后就放回，则这3次取球中，恰有2次所取的3个小球颜色各不相同的概率为（ ） A.18 B. 364 C. 38 D. 964【答案】C【解析】每次所取的3个小球颜色各不相同的概率为：1111112232333102212C C C C C C C +=， ∴这3次取球中，恰有2次所取的3个小球颜色各不相同的概率为：2231131228p C ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 本题选择C 选项.12．若存在两个正实数,x y ，使得等式()()324ln ln 0x a y ex y x +--=成立，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(),0-∞ B ．30,2e ⎛⎤ ⎥⎝⎦ C ．3,2e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ D ．()3,0,2e ⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭【答案】D【解析】试题分析：由()()324ln ln 0x a y ex y x +--=可得0ln )42(3=-+xye x y a ,令t x y=,则原方程可化为0ln )2(23=-+t e t a ,若0=a ,等式不成立,故0≠a ,所以t e t a ln )2(23-=-,令t e t t h ln )2()(-=,则te t t h 21ln )(/-+=,故021)(2//>+=t e t t h ,即tet t h 21ln )(/-+=是增函数,所以当e t >时,02221ln )()(//>->-+=>tet e t e h t h ,函数t e t t h ln )2()(-=是单调递增函数,当e t <<0时,02221ln )()(//<-<-+=<tet e t e h t h , 函数t e t t h ln )2()(-=是单调递减函数,所以当e t =时,函数t e t t h ln )2()(-=取最小值e e e e e h -=-=ln )2()(,即e a -≥-23,也即e a ≤23.当0<a 时,成立;当0>a 时,则ea 23≥,综上所求实数a 的取值范围是),23[)0,(+∞-∞e,应选D.【考点】函数方程思想综合运用.【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值问题的重要工具,也高考和各级各类考试的重要内容和考点.解答本题时充分利用题设中提供的有关信息,先运用换元法将问题0ln )42(3=-+x y e x y a 进行化归和转化为t e t aln )2(23-=-,再构造函数t e t t h ln )2()(-=运用求导法则求导,判断函数t e t t h ln )2()(-=的单调性,利用最小值建立不等式e a -≥-23,最后通过解不等式e a-≥-23求出a 的范围是),23[)0,(+∞-∞e.二、填空题13．已知复数1223,z i z t i =+=-，且12·z z 是实数，则实数t =__________.【答案】23-【解析】复数z 1=2+3i ,z 2=t −i ，∴2z =t +i ，∴12·z z =(2+3i )(t +i )=(2t −3)+(3t +2)i ，由12·z z 是实数,得3t +2=0,即23t =-.14．若()7ax y +的展开式中6xy 的系数为1，则a =__________. 【答案】17【解析】(ax +y )7的展开式中通项公式： ()717rrr r T C ax y -+=，令r =6,则6617r T C ax y +=⋅⋅.∵xy 6的系数为1,则7a =1,解得17a =. 15．观察下面一组等式：11S =，22349S =++=， 33456725S =++++=， 44567891049S =++++++=，......根据上面等式猜测()()2143n S n an b -=-+，则22a b += __________．【答案】25【解析】由已知可得()()2221221143n S n n -⎡⎤=--=-⎣⎦，因此4,3a b ==-，从而2225a b +=．点睛：归纳推理是通过观察个别情况发现某些相同本质，从已知相同本质中推出一个明确表述的一般性命题，本题是数的归纳，它包括数字归纳和式子归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系有关的知识，如等差数列、等比数列等．16．若()21,X N σ~， ()120.2P X <<=， ()300.25P X -<<=，则()()015P X P X <<->=_____. 【答案】0.15【解析】由题意可得： ()()120.2,300.25P X P X <<=-<<=，则： ()()50.50.20.250.05P X >=-+=，()()()()0151250.20.050.15P X P X P X P X <<->=<<->=-=. 点睛：关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法①熟记P (μ－σ<X ≤μ＋σ)，P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)，P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)的值． ②充分利用正态曲线的对称性和曲线与x 轴之间面积为1.三、解答题17．已知复数()2az i a R i=+∈+. （1）若z R ∈，求z ；（2）若z 在复平面内对应的点位于第一象限，求a 的取值范围.【答案】（1）2z =；（2）()0,5. 【解析】试题分析：(1)由题意计算可得2555a az i -=+,若z R ∈，则5a =， 2z =. (2)结合(1)的计算结果得到关于实数a 的不等式，求解不等式可得a 的取值范围为()0,5. 试题解析：（1）()225555a i a a z i i --=+=+,若z R ∈，则505a-=，∴5a =，∴2z =. （2）若z 在复平面内对应的点位于第一象限，则205a >且505a ->， 解得05a <<，即a 的取值范围为()0,5.18．2017年“一带一路”国际合作高峰论坛于今年5月14日至15日在北京举行.为高标准完成高峰论坛会议期间的志愿服务工作，将从27所北京高校招募大学生志愿者，某调查机构从是否有意愿做志愿者在某高校访问了80人，经过统计，得到如下丢失数据的列联表：（,,,,a b d A B ，表示丢失的数据）（1）求出,,,,a b d A B 的值，并判断：能否有99.9%的把握认为有意愿做志愿者与性别有关；（2）若表中无意愿做志愿者的5个女同学中，3个是大学三年级同学，2个是大学四年级同学.现从这5个同学中随机选2同学进行进一步调查，求这2个同学是同年级的概率.附参考公式及数据： ()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.【答案】(1)答案见解析；(2) 25. 【解析】试题分析：(1)由题意结合所给的表可得20,20,35,40,55a b d A B =====，计算2K 的观测值013.0910.828k ≈>，则有99.9%的把握认为有意愿做志愿者与性别有关. (2)由题意列出所有可能的事件，然后结合古典概型公式可得这2个同学是同年级的概率是25.试题解析：（1）由表得20,20,35,40,55a b d A B =====， ∵2K 的观测值()2080203552013.0910.82840402555k ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，∴99.9%的把握认为有意愿做志愿者与性别有关.（2）记3个大三同学分别为123A A A 、、，2个大四同学分别为12B B 、，则从中抽取2个的基本事件有：12132311213112223212,,,,,,,,,A A A A A A A B A B A B A B A B A B B B 共10个，其中抽取的2个是同一年级的基本事件有4个，则所求概率为42105=或直接求22322525C C P C +==. 19．将7名应届师范大学毕业生分配到3所中学任教.（1）4个人分到甲学校，2个人分到乙学校，1个人分到丙学校，有多少种不同的分配方案？（2）一所学校去4个人，另一所学校去2个人，剩下的一个学校去1个人，有多少种不同的分配方案？ 【答案】（1）105；（2）630. 【解析】试题分析：(1)由题意利用分步乘法计数原理，分三步可得总的分配方案有421731105C C C ⋅⋅=（种）； (2)由题意利用分步乘法计数原理，分四步可得总的分配方案有42137313630C C C A ⋅⋅⋅=（种）.试题解析：（1）利用分步乘法计数原理，第一步，4个人分到甲学校，有47C 种分法；第二步，2个人分到乙学校，有23C 种分法；第三步，剩下的1个人分到丙学校，有11C 种分法，所以，总的分配方案有421731105C C C ⋅⋅=（种）（2）同样用分步乘法计数原理，第一步，选出4人有47C 种方法；第二步，选出2人有23C 种方法；第三步，选出1人有11C 种方法；第四步，将以上分出的三伙人进行全排列有33A 种方法.所以分配方案有42137313630C C C A ⋅⋅⋅=（种）20．（1）用分析法证明：（2）用反证法证明：三个数2,21,1a a a -+中，至少有一个大于或等于16-. 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析. 【解析】试题分析：(1)结合不等式的特征，两边平方，用分析法证明不等式即可； (2)利用反证法，假设2,21,1a a a -+这三个数没有一个大于或等于16-，然后结合题意找到矛盾即可证得题中的结论. 试题解析：（1<只要证22<，展开得1313+<+只要证2230<，因为2230<<. （2）假设2,21,1a a a -+这三个数没有一个大于或等于16-， 即2111,21,1666a a a <--<-+<-，上面不等式相加得21222a a +<- （）而22211111222224222a a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+-=+-≥-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，这与（）式矛盾，所以假设不成立，即原命题成立.点睛：一是分析法是“执果索因”，特点是从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理，实际上是寻找使结论成立的充分条件；二是应用反证法证题时必须先否定结论，把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推理，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法．所谓矛盾主要指：①与已知条件矛盾；②与假设矛盾；③与定义、公理、定理矛盾；④与公认的简单事实矛盾；⑤自相矛盾.21．甲、乙两人为了响应政府“节能减排”的号召，决定各购置一辆纯电动汽车．经了解目前市场上销售的主流纯电动汽车，按续驶里程数R （单位：公里）可分为三类车型，:80150,:150250A R B R ≤≤＜＜， :250C R ≥．甲从,,A B C 三类车型中挑选，乙从,B C 两类车型中挑选，甲、乙两人选择各类车型的概率如表：已知甲、乙都选C 类型的概率为310. （1）求,p q 的值；（2）求甲、乙选择不同车型的概率；（3）某市对购买纯电动汽车进行补贴，补贴标准如下表：记甲、乙两人购车所获得的财政补贴之和为X ，求X 的分布列和数学期望．【答案】（1）31,102p q ==；（2）2950； 8910【解析】试题分析：(1)由题意得到关于实数p,q 的方程组，求解方程组可得31,102p q ==. (2)结合题意可得甲、乙选择不同车型的概率为2950； (3)由题意可得X 可能取值为7,8,9,10，写出分布列，计算可得数学期望为8910. 试题解析：（1）因为 33,510{11,5q p q =++=，所以31,102p q ==. （2）设“甲、乙选择不同车型”为事件A ，则()133122951052550P A =+⨯+⨯= （3）X 可能取值为7,8,9,10.， ()()122133267,855255510525P X P X ==⨯===⨯+⨯=，()()3312191339,1010525502510P X P X ==⨯+⨯===⨯=.所以X 的分布列为：因此， ()2619389789102525501010E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 22．已知函数，其中，曲线在点处的切线方程为.（1）求，的值； （2）设，求证：.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】试题分析：(1)由题意得到关于实数a,b 的 方程组，求解方程组可得；(2)结合(1)的结论，构造新函数，利用新函数的特征即可证得题中的结论.试题解析：（1）因为，所以，解得.（2）证明：由（1）知，，要证，即要证.设，则.设，则.令，得；令，得，所以，函数在上递减，在上递增.设曲线与轴的交点为，又，所以，且.因为当时，；当时，，所以，.由于，所以，即.点睛：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理第 11 页共 11 页。
【全国县级联考】吉林省长春市五县2016-2017学年高二上学期期末考试理数试题解析(解析版)
吉林省长春市五县2016-2017学年高二上学期期末考试数学（理）试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.双曲线221168x y -=的虚轴长是（ ）A ．8B ．C ．D ．2 【答案】B考点：双曲线的性质.2.在公差为d 的等差数列{}n a 中，“1d >”是“{}n a 是递增数列”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】试题分析：若1d >，则n N *∀∈，110n n a a d +-=>>，所以，{}n a 是递增数列；若{}n a 是递增数列，则n N *∀∈，10n n a a d +-=>，推不出1d >，则“1d >”是“{}n a 是递增数列”的充分不必要条件，故选A.考点：充分条件、必要条件的判定.3.为了了解800名高三学生是否喜欢背诵诗词，从中抽取一个容量为20的样本，若采用系统抽样，则分段的间隔k 为（ ）A ．50B ．60C ．30D ．40 【答案】D 【解析】试题分析：由于8002040÷=，即分段的间隔40k =,故选D.考点：系统抽样.4.已知椭圆22:1169x y C +=的左、右焦点分别为12F F 、，过2F 的直线交椭圆C 于P Q 、两点，若1F P +110FQ =，则PQ 等于（ ） A ．8 B ．6 C.4 D ．2 【答案】B 【解析】试题分析：因为直线PQ 过椭圆的右焦点2F ，由椭圆的定义，在1F PQ ∆中，11416F P FQ PQ a ++==.又1110F P FQ +=，所以6PQ =，故选B. 考点：椭圆的性质.5.从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如下，则这100个成绩的平均数为（ ）A ．3B ．2.5 C.3.5 D ．2.75 【答案】A考点：平均数、中位数、众数.6.某单位有员工120人，其中女员工有72人，为做某项调查，拟采用分层抽样法抽取容量为15的样本，则男员工应选取的人数是（ ）A ．5B ．6 C.7 D ．8 【答案】B 【解析】试题分析：男员工应抽取的人数为12072156120-⨯=，故选B. 考点：分层抽样.【方法点晴】本题主要考查了分层抽样方法及其应用，分层抽样中各层抽取个数依据各层个体数之比来分配，这是分层抽样的最主要的特点，首先各确定分层抽样的个数，分层后，各层的抽取一定要考虑到个体数目，选取不同的抽样方法，但一定要注意按比例抽取，牢记分层抽样的特点和方法是解答的关键，着重考查了学生的分析问题和解答问题的能力．7.已知椭圆()222:10525x y C b b +=<<的长轴长、短轴长、焦距成等差数列，则该椭圆的方程是（ ）A ．221254x y +=B ．221259x y += C.2212516x y += D ．22125x y += 【答案】C考点：椭圆的性质；等差数列的概念.8.已知点()00,A x y 是抛物线()220y px p =>上一点，且它在第一象限内，焦点为,F O 坐标原点，若32pAF =，2AO = ） A ．4x =- B ．3x =- C.2x =- D ．1x =- 【答案】D 【解析】试题分析：因为0322p p x +=，所以0x p =，0y =.又)2212p +=，所以2p =，准线方程为1x =-，故选D.考点：抛物线的性质.9.某班m 名学生在一次考试中数学成绩的频率分布直方图如图，若在这m 名学生中，数学成绩不低于100分的人数为33，则m 等于（ ）A ．45B ．48 C.50 D ．55 【答案】D 【解析】试题分析：()10.0150.025100.6P =-+⨯=，由0.633m =，得55m =，故选D. 考点：频率分布直方图.【方法点晴】本题考查了频率分布直方图的应用问题，解题时应根据频率分布直方图求出频率，是基础题；频率分布直方图的特征：①图中各个长方形的面积等于相应各组的频率的数值，所有小矩形面积和为1；②从频率分布直方图可以清楚地看出数据分布的总体趋势；③从频率分布直方图得不出原始的数据内容，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息被抹掉.10.已知定点()3,0M -，()2,0N ，如果动点P 满足2PM PN =，则点P 的轨迹所包围的图形面积等于（ ） A ．1009π B ．1429π C.103πD ．9π 【答案】A考点：动点的轨迹方程.【方法点晴】考查两点间距离公式及圆的性质，是训练基础知识的好题；求曲线方程的一般步骤（直接法）（1）建系设点：建立适当的直角坐标系，用x y （，）表示曲线上任一点M 的坐标；（2）列式：写出适合条件P 的点M 的集合{|}M p M （）；（3）代入：用坐标表示出条件p M （），列出方程0f x y =（，）；（4）化简：化方程0f x y =（，）为最简形式；（5）证明：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是在曲线上的点. 设P 点的坐标为x y （，），用坐标表示PM 、PN ，代入等式2PM PN =，整理即得点P 的轨迹方程，然后根据轨迹确定面积.11.已知命题p ：直线20x y +=与直线20x y +-=之间的距离不大于1，命题q ：椭圆2222754x y +=与双曲线22916144x y -=有相同的焦点，则下列命题为真命题的是（ ）A ．()p q ∧⌝B ．()p q ⌝∧ C.()()p q ⌝∧⌝ D ．p q ∧ 【答案】B考点：复合命题的真假；椭圆的性质；双曲线的性质.12.如图，12,F F 分别是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线分别交于点,A B ，且(A ，若2ABF ∆为等边三角形，则12BF F ∆的面积为（ ）A ．1B ．2 【答案】C 【解析】试题分析：由已知212BF BF a -=，122AF AF a -=，又2ABF ∆为等边三角形，所以121AF AF BF -=2a =，所以24BF =.在12AF F ∆中，16AF a =，24AF a =，122F F c =，1260F AF ∠=︒，由余弦定理得22243616264cos 60c a a a a =+-⨯⨯⨯︒，所以227c a =，22226b c a a =-=，所以双曲线方程为222216x y a a -=，又(A 在双曲线上，所以221316a a -=，解得212a =，即a =.所以122124sin1202BF F S a a ∆=⨯⨯⨯︒==，故选C. 考点：双曲线的简单性质.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.已知0m >，0n >，向量(),1,3a m =-与()1,,2b n =垂直，则mn 的最大值为 ． 【答案】9 【解析】试题分析：因为向量(),1,3a m =-与()1,,2b n =垂直，所以60a b m n ⋅=+-=，即6m n +=，所以292()m n mn +≤＝，当且仅当3m n ==时取等号，所以mn 的最大值为9，故答案为9. 考点：平面向量数量积的运算；基本不等式.14.若[]x 表示不超过x 的最大整数，执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为 ．【答案】7考点：程序框图. 15.在区间2,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上任取一个数x ，则函数()3sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的值不小于0的概率为 ．【答案】611【解析】试题分析：当2,43x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，272,636x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦.当[]20,6x ππ-∈，即7,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时()0f x ≥，则所求概率为76121221134ππππ-=⎛⎫-- ⎪⎝⎭，故答案为611.考点：几何概型.【方法点晴】本题考查了几何概型的概率求法；关键是正确选择测度比求概率；定义：若一个试验具有下列特征：（1）每次试验的结果有无限多个，且全体结果可用一个有度量的几何区域来表示；（2）每次试验的各种结果是等可能的，那么这样的试验称为几何概型；几何概率：设几何概型的基本事件空间可表示成可度量的区域Ω，事件A 所对应的区域用A 表示（A ⊆Ω），则A PA =Ω的度量（）的度量称为事件A 的几何概率.16.已知点A 是抛物线()2:20C x px p =>上一点，O 为坐标原点，若,A B 是以点()0,10M 为圆心，OA 的长为半径的圆与抛物线C 的两个公共点，且ABO ∆为等边三角形，则p 的值是 ．【答案】56考点：抛物线的性质.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为3x ty =+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρθ=. （1）写出直线l 的普通方程及圆C 的直角坐标方程；（2）点P 是直线l 上的点，求点P 的坐标，使P 到圆心C 的距离最小. 【答案】（10y --=，(223x y +-=；（2）()3,0P. 试题解析：（1）由3,.x t y =+⎧⎪⎨=⎪⎩消去参数t ，得直线l0y --=，由ρθ=得2sin ρθ=，22x y +=，即圆C的直角坐标方程为(223x y +-=.（2）()3P t +，(C=，0t =∴时PC 最小，此时()3,0P .考点：参数方程化为普通方程；简单曲线的极坐标方程.【方法点晴】本题考查直线的普通方程及圆的直角坐标方程的求法，考查直线上的点到圆心的距离最小的点的坐标的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意两点间距离公式的合理运用；参数方程和普通方程的互化，由参数方程化为普通方程：消去参数，消参数的方法有代入法、加减（或乘除）消元法、三角代换法等，利用222cos sin x y x y ρρθρθ⎧=+⎪=⎨⎪=⎩将极坐标方程与直角坐标方程之间互化.18.（本小题满分12分）已知p ：方程()2220x mx m +++=有两个不等的正根；q ：方程221321x y m m -=+-表示焦点在y 轴上的双曲线.（1）若q 为真命题，求实数m 的取值范围；（2）若“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）3m <-；（2）21m -<<-或3m <-. 【解析】（2）若方程()2220x mx m +++=有两个不等的正根，则()244202020m m m m ⎧∆=-+>⎪->⎨⎪+>⎩解得21m -<<-，即:21p m -<<-. 因p 或q 为真，所以p q 、至少有一个为真. 又p 且q 为假，所以p q 、至少有一个为假.因此，p q 、两命题应一真一假，当p 为真，q 为假时，213m m -<<-⎧⎨≥-⎩，解得21m -<<-；当p 为假，q 为真时，213m m m ≤≥-⎧⎨<-⎩或，解得3m <-.综上，21m -<<-或3m <-. 考点：复合命题的真假. 19.（本小题满分12分）某公司经营一批进价为每件4百元的商品，在市场调查时发现，此商品的销售单价x （百元）与日销售量y （件）之间有如下关系：（1）求y 关于x 的回归直线方程；（2）借助回归直线方程请你预测，销售单价为多少百元（精确到个位数）时，日利润最大？相关公式：()()()1122211n niii ii i nniii i x x y y x y nx yb x x xnx====---==--∑∑∑∑，a y bx =-.【答案】（1）220.8y x =-+；（2）销售单价为7百元（精确到个位数）时，日利润最大.（2）销售价为x 时的利润为()()24220.8228.883.2x x x x ω=--+=-+-，当28.8722x =≈⨯时，日利润最大. 考点：线性回归方程.【方法点晴】本题考查的知识点是相关系数，回归方程，熟练掌握最小二乘法的计算步骤，是解答的关键；线性回归是利用数理统计中的回归分析，来确定两种或两种以上变数间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法之一，运用十分广泛．分析按照自变量和因变量之间的关系类型，可分为线性回归分析和非线性回归分析．如果在回归分析中，只包括一个自变量和一个因变量，且二者的关系可用一条直线近似表示，这种回归分析称为一元线性回归分析． 20.（本小题满分12分）如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名同学的投篮命中次数，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中用x 表示.（1）若乙组同学投篮命中次数的平均数比甲组同学的平均数少1，求x 及乙组同学投篮命中次数的方差； （2）在（1）的条件下，分别从甲、乙两组投篮命中次数低于10次的同学中，各随机选取一名，求这两名同学的投篮命中次数之和为16的概率. 【答案】（1）6x =，1.76；（2）14.（2）记甲组投篮命中次数低于10次的同学为123,,A A A ，他们的命中次数分别为9，8，7. 乙组投篮命中次数低于10次的同学为1234,,,B B B B ，他们的命中次数分别为6，8，8，9. 依题意，不同的选取方法有：()()()()()()()()()()()()111213142122232431323334,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B 共12种.设“这两名同学的投篮命中次数之和为16”为事件，则中恰含有()()()222334,,,,,A B A B A B 共3种.()31124P C ==∴. 考点：平均数、方差的概念；列举法求古典概型的概率. 21.（本小题满分12分）如图，在三棱锥A BCD -中，AD ⊥平面BCD ，CB CD =，AD DB =，,P Q 分别在线段,AB AC 上，3AP PB =，2AQ QC =，M 是BD 的中点.（1）证明：//DQ 平面CPM ； （2）若二面角C AB D --的大小为3π，求tan BDC ∠.【答案】（1）证明见解析；（2【解析】试题分析：（1）取AB 的中点E ，则//EQ PC ，从而//EQ 平面CPM ，由中位线定理得//DE PM ，从而//DE 平面CPM ，进而平面//DEQ 平面CPM ，由此能证明//DQ 平面CPM ；（2）推导出AD CM ⊥，BD CM ⊥，从而CM ⊥平面ABD ，进而得到CPM ∠是二面角C AB D --的平面角，由此能求出BDC ∠的正切值．（2）解：由AD ⊥平面BCD 知，AD CM ⊥， 由BC CD =， BM MD =，知BD CM ⊥， 故CM ⊥平面ABD .由（1）知//DE PM ，面DE AB ⊥，故PM AB ⊥. 所以CPM ∠是二面角C AB D --的平面角，即3CPM π∠=.设PM a =，则CM =，又易知在Rt ABD ∆中，4B π∠=，可知DM BM ==，在Rt CMD ∆中，tan MC MDC MD ∠===.考点：直线与平面平行的判定；二面角的平面角及其求法.【一题多解】本题考查线面平行的证明，考查角的正切值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，（2）还可采用以M 为坐标原点，,,MC MD ME 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标.设MC a =，MD b =，则(),0,0C a ，()0,,0B b -，()0,,2A b b ，则(),,0BC a b =，()0,2,2BA b b =， 设()1,,n x y z =是平面ABC 的一个法向量，则110,0.n BC n BA ⎧=⎪⎨=⎪⎩即0,220.ax by by bz +=⎧⎨+=⎩取()1,,n b a a =-， 不难得到平面ABD 的一个法向量为()21,0,0n =， 所以11cos ,2n n <>==，所以a b =，在Rt CMD ∆中，tan MC a MDC MD b ∠===22.（本小题满分12分）已知()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12F F 、，122F F =点P 在椭圆上，21tan 2PF F ∠=，且12PF F ∆的面积为4. （1）求椭圆的方程；（2）点M 是椭圆上任意一点，12A A 、分别是椭圆的左、右顶点，直线12MA MA，与直线x =分别交于,E F 两点，试证：以EF 为直径的圆交x 轴于定点，并求该定点的坐标.【答案】（1）22194x y +=；（2）证明见解析，1,0⎫+⎪⎪⎭或1,0⎫-⎪⎪⎭. 试题解析：（1）因为21tan 2PF F ∠=，所以21sin PF F ∠=21cos PF F ∠=.由题意得((2222122125542522PF PF PF PF ⎧⨯⨯=⎪⎪⎨⎪=+-⨯⎪⎩，解得1242PF PF ⎧=⎪⎨=⎪⎩.从而1224263a PF PF a =+=+=⇒=，结合2c =，得24b =，故椭圆的方程为22194x y +=.故以EF 为直径的圆交x 轴于定点，该定点的坐标为1,0⎫+⎪⎪⎭或1,0⎫-⎪⎪⎭. 考点：椭圆的标准方程；圆与圆锥曲线的综合问题.。
吉林省长春市高二数学上学期期末考试试题理(2021年整理)
2017-—2018学年度上学期高二年级数学学科（理科）期末考试试题第Ⅰ卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． (1) 取一根长度为的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不小于的概率为（ ）（A) （B ） (C ） （D)（2） 阅读程序框图,如果输出的函数值在区间内,则输入的实数x 的取值范围是(A ） （－∞，2］ （B ） [－2,－1］ (C) [－1，2] (D ） ［2，＋∞） （3） 命题“∃x 0∈∁R Q ，x 错误!∈Q ”的否定是（ )(A ）∃x 0∉∁R Q ，x 错误!∈Q （B)∃x 0∈∁R Q ，x 错误!∉Q （C ）∀x ∉∁R Q ,x 3∈Q(D)∀x ∈∁R Q ，x 3∉Q（4) 下表是某工厂1～4月份用电量(单位：万度）的一组数据：错误!＝－0.7x ＋a ,则a ＝（ )(A) 10.5 （B) 5。
25 (C) 5.2 (D) 5.15(5)某单位员工按年龄分为A ，B ，C 三组,其人数之比为5:4：1,现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为20的样本，若C 组中甲、乙二人均被抽到的概率是，则该单位员工总数为（ ）5m2m1213141511,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦145（A ）110 （B ）100 （C)90 (D) 80(6）“”是“方程表示双曲线” 的（ ）(A)充分不必要条件 （B)充要条件（C ）必要不充分条件 (D ）既不充分也不必要条件（7） 正方体ABCD 。
A1B 1C 1D 1中，直线DD 1与平面A 1BC 1所成角的正弦值为（ )（A （C) (D)（8） 现将6把椅子摆成一排,3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为（ ）种。
（A）144 (B)120 (C)72 （D) 24 （9) 已知向量，，则的最小值是（）（ (B ） （C ）(10) 袋中共有15个除颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（ )(A)错误! (B)错误! （C ）错误! （D)1 (11) 已知点的左右焦点，点是双曲线C 上的一点，且满足,的取值范围是（ ）(A) (B) (C)（D ）（12）已知椭圆的左、右焦点分别为，过且与轴垂直的直线交椭圆于两点，直线与椭圆的另一个交点为，若，，则椭圆的离心率为( ）（（（第Ⅱ卷3k >22131x y k k +=--1323a(1,21,0)=t t --(2,)=t,t b -b a12,F F 2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>G127GF G F =0⎛ ⎝0⎛ ⎝53⎤⎥⎦()222210x y a b a b +=>>12,F F 1F x AB 、2AF C23A B C B C F S S ∆∆=二．填空题：本大题共4小题，每小题5分.(13)若，则 。
【精品】2016-2017年吉林省长春市五县联考高一(上)期末数学试卷带解析
2016-2017学年吉林省长春市五县联考高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5.00分）若集合A={x|y=lg（2x+3）}，B={﹣2，﹣1，1，3}，则A∩B等于（）A．{3}B．{﹣1，3}C．{﹣1，1，3}D．{﹣1，﹣1，1，3}2．（5.00分）已知直线l1：（a+2）x+3y=5与直线l2：（a﹣1）x+2y=6平行，则a 等于（）A．﹣1 B．7 C．D．23．（5.00分）若log545=a，则log53等于（）A． B． C． D．4．（5.00分）以（1，﹣1）为圆心且与直线相切的圆的方程为（）A．（x+1）2+（y﹣1）2=6 B．（x﹣1）2+（y+1）2=6 C．（x+1）2+（y﹣1）2=3 D．（x﹣1）2+（y+1）2=35．（5.00分）已知幂函数f（x）=xα的图象过点，则函数g（x）=（x﹣2）f（x）在区间上的最小值是（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣46．（5.00分）设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A．若m∥n，m∥α，则n∥αB．若α⊥β，m∥α，则m⊥βC．若α⊥β，m⊥β，则m∥αD．若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β7．（5.00分）已知圆M：x2+y2﹣2x+ay=0（a＞0）被x轴和y轴截得的弦长相等，则圆M被直线x+y=0截得的弦长为（）A．4 B．C．2 D．28．（5.00分）若x＞0，则函数与y2=log a x（a＞0，且a≠1）在同一坐标系上的部分图象只可能是（）A．B．C．D．9．（5.00分）如图是一个几何体的三视图，在该几何体的各个面中．面积最小的面的面积为（）A．4 B．4 C．4 D．810．（5.00分）已知函数f（x）=a x﹣1（a＞0，且a≠1），当x∈（0，+∞）时，f（x）＞0，且函数g（x）=f（x+1）﹣4的图象不过第二象限，则a的取值范围是（）A．（1，+∞）B． C．（1，3]D．（1，5]11．（5.00分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，BA⊥AD，AD ∥BC，AB=BC=2，PA=3，AD=6，PA⊥底面ABCD，E是PD上的动点．若CE∥平面PAB，则三棱锥C﹣ABE的体积为（）A．B．C．D．12．（5.00分）若关于x的不等式在上恒成立，则实数a的取值范围是（）A． B． C． D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5.00分）已知f（x）是奇函数，当x＞0时，f（x）=x•2x+a﹣1，若f（﹣1）=，则a=．14．（5.00分）已知集合A={0，1，log3（x2+2），x2﹣3x}，若﹣2∈A，则x=．15．（5.00分）已知矩形ABCD的顶点都在半径为R的球O的球面上，且AB=6，BC=2，棱锥O﹣ABCD的体积为8，则R=．16．（5.00分）已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1，点A（0，﹣1），B（0，1），设P是圆C上的动点，令d=|PA|2+|PB|2，则d的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10.00分）已知集合A=[a﹣3，a]，函数（﹣2≤x≤5）的单调减区间为集合B．（1）若a=0，求（∁R A）∪（∁R B）；（2）若A∩B=A，求实数a的取值范围．18．（12.00分）已知不过第二象限的直线l：ax﹣y﹣4=0与圆x2+（y﹣1）2=5相切．（1）求直线l的方程；（2）若直线l1过点（3，﹣1）且与直线l平行，直线l2与直线l1关于直线y=1对称，求直线l2的方程．19．（12.00分）已知a＞0，a≠1且log a3＞log a2，若函数f（x）=log a x在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为1．（1）求a的值；（2）解不等式；（3）求函数g（x）=|log a x﹣1|的单调区间．20．（12.00分）如图所示，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=90°，BC=CD=2，AF=BF，EC∥FD，FD⊥底面ABCD，M是AB的中点．（1）求证：平面CFM⊥平面BDF；（2）点N在CE上，EC=2，FD=3，当CN为何值时，MN∥平面BEF．21．（12.00分）已知点P（2，0）及圆C：x2+y2﹣6x+4y+4=0．（1）设过P直线l1与圆C交于M、N两点，当|MN|=4时，求以MN为直径的圆Q的方程；（2）设直线ax﹣y+1=0与圆C交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l2垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．22．（12.00分）已知函数（a＞0，a≠1）．（1）求函数f（x）的定义域；（2）讨论函数f（x）的奇偶性；（3）求a的取值范围，使f（x）+f（2x）＞0在其定义域上恒成立．2016-2017学年吉林省长春市五县联考高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5.00分）若集合A={x|y=lg（2x+3）}，B={﹣2，﹣1，1，3}，则A∩B等于（）A．{3}B．{﹣1，3}C．{﹣1，1，3}D．{﹣1，﹣1，1，3}【解答】解：∵集合A={x|y=lg（2x+3）}={x|x＞﹣}，B={﹣2，﹣1，1，3}，∴A∩B={﹣1，1，3}．故选：C．2．（5.00分）已知直线l1：（a+2）x+3y=5与直线l2：（a﹣1）x+2y=6平行，则a 等于（）A．﹣1 B．7 C．D．2【解答】解：由﹣=﹣，解得a=7，经过验证两条直线平行．故选：B．3．（5.00分）若log545=a，则log53等于（）A． B． C． D．【解答】解：∵log545=a=1+2log53，则log53=．故选：D．4．（5.00分）以（1，﹣1）为圆心且与直线相切的圆的方程为（）A．（x+1）2+（y﹣1）2=6 B．（x﹣1）2+（y+1）2=6 C．（x+1）2+（y﹣1）2=3 D．（x﹣1）2+（y+1）2=3【解答】解：圆的半径，则所求圆的方程为（x﹣1）2+（y+1）2=3．5．（5.00分）已知幂函数f（x）=xα的图象过点，则函数g（x）=（x﹣2）f（x）在区间上的最小值是（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣4【解答】解：∵幂函数f（x）=xα的图象过点，∴2α=，解得：α=﹣1，故g（x）==1﹣，而g（x）在[，1]递增，故g（x）min=g（）=﹣3，故选：C．6．（5.00分）设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A．若m∥n，m∥α，则n∥αB．若α⊥β，m∥α，则m⊥βC．若α⊥β，m⊥β，则m∥αD．若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β【解答】解：A选项不正确，因为n⊂α是可能的；B选项不正确，因为α⊥β，m∥α时，m∥β，m⊂β都是可能的；C选项不正确，因为α⊥β，m⊥β时，可能有m⊂α；D选项正确，可由面面垂直的判定定理证明其是正确的．故选：D．7．（5.00分）已知圆M：x2+y2﹣2x+ay=0（a＞0）被x轴和y轴截得的弦长相等，则圆M被直线x+y=0截得的弦长为（）A．4 B．C．2 D．2【解答】解：由题意，圆心坐标为（1，﹣），∵圆M：x2+y2﹣2x+ay=0（a＞0）被x轴和y轴截得的弦长相等，∴a=2，∴圆心坐标为（1，﹣1），圆的半径为，圆心在直线x+y=0上，∴圆M被直线x+y=0截得的弦长为2，故选：C．8．（5.00分）若x＞0，则函数与y2=log a x（a＞0，且a≠1）在同一坐标系上的部分图象只可能是（）A．B．C．D．【解答】解：当a＞1时，函数为增函数，且图象过（0，﹣1）点，向右和x轴无限接近，函数y2=log a x（a＞0，且a≠1）为增函数，且图象过（1，0）点，向左和y轴无限接近，此时答案B符合要求，当0＜a＜1时，函数为减函数，且图象过（0，﹣1）点，函数y2=log a x（a＞0，且a≠1）为减函数，且图象过（1，0）点，向左和y轴无限接近，此时无满足条件的图象．故选：B．9．（5.00分）如图是一个几何体的三视图，在该几何体的各个面中．面积最小的面的面积为（）A ．4B ．4C ．4D ．8【解答】解：根据三视图作出物体的直观图如图所示：显然S △PCD ＞S △ABC ． 由三视图特征可知PA ⊥平面ABC ，DB ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，PA=AB=AC=4，DB=2， ∴BC=4，∴S △ABC ==8，S △PAC ==8，S △BCD ==4．S梯形PABD==12．∴△BCD 的面积最小． 故选：B ．10．（5.00分）已知函数f （x ）=a x ﹣1（a ＞0，且a ≠1），当x ∈（0，+∞）时，f （x ）＞0，且函数g （x ）=f （x +1）﹣4的图象不过第二象限，则a 的取值范围是（ ） A ．（1，+∞） B ．C ．（1，3]D ．（1，5]【解答】解：当a ＞1时，函数f （x ）在（0，+∞）上单调递增，f （x ）=a x ﹣1＞0；当0＜a ＜1时，函数f （x ）在（0，+∞）上单调递减，f （x ）=a x ﹣1＜0，舍去．故a＞1．∵函数g（x）=f（x+1）﹣4的图象不过第二象限，∴g（0）=a1﹣5≤0，∴a≤5，∴a的取值范围是（1，5]．故选：D．11．（5.00分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，BA⊥AD，AD ∥BC，AB=BC=2，PA=3，AD=6，PA⊥底面ABCD，E是PD上的动点．若CE∥平面PAB，则三棱锥C﹣ABE的体积为（）A．B．C．D．【解答】解：以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，A（0，0，0），B（0，2，0），C（2，2，0），D（6，0，0），P（0，0，3），设E（a，0，c），，则（a，0，c﹣3）=（6λ，0，﹣3λ），解得a=6λ，c=3﹣3λ，∴E（6λ，0，3﹣3λ），=（6λ﹣2，﹣2，3﹣3λ），平面ABP的法向量=（1，0，0），∵CE∥平面PAB，∴=6λ﹣2=0，解得，∴E（2，0，2），∴E到平面ABC的距离d=2，∴三棱锥C﹣ABE的体积：V C﹣ABE=V E﹣ABC===．故选：D．12．（5.00分）若关于x的不等式在上恒成立，则实数a的取值范围是（）A． B． C． D．【解答】解：由题意得在上恒成立，即当时，函数的图象不在y=log a x图象的上方，由图知：当a＞1时，函数的图象在y=log a x图象的上方；当0＜a＜1时，，解得．故选：A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5.00分）已知f（x）是奇函数，当x＞0时，f（x）=x•2x+a﹣1，若f（﹣1）=，则a=﹣3．【解答】解：由题意，f（1）=21+a﹣1，f（1）=﹣f（﹣1）═﹣，∴a=﹣3，故答案为﹣3．14．（5.00分）已知集合A={0，1，log3（x2+2），x2﹣3x}，若﹣2∈A，则x=2．【解答】解：因为集合A={0，1，log3（x2+2），x2﹣3x}，﹣2∈A，所以x2﹣3x=﹣2，解得x=2或者x=1（舍去）故答案为：2．15．（5.00分）已知矩形ABCD的顶点都在半径为R的球O的球面上，且AB=6，BC=2，棱锥O﹣ABCD的体积为8，则R=4．【解答】解：由题可知矩形ABCD所在截面圆的半径即为ABCD的对角线长度的一半，∵AB=6，BC=2，∴r==2，由矩形ABCD的面积S=AB•BC=12，则O到平面ABCD的距离为h满足：=8，解得h=2，故球的半径R==4，故答案为：4．16．（5.00分）已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1，点A（0，﹣1），B（0，1），设P是圆C上的动点，令d=|PA|2+|PB|2，则d的取值范围是[34，74] ．【解答】解：设P点的坐标为（3+sinα，4+cosα），则d=|PA|2+|PB|2=（3+sinα）2+（5+cosα）2+（3+sinα）2+（3+cosα）2=54+12sinα+16cosα=54+20sin（θ+α）∴当sin（θ+α）=1时，即12sinα+16cosα=20时，d取最大值74，当sin（θ+α）=﹣1时，即12sinα+16cosα=﹣20，d取最小值34，∴d的取值范围是[34，74]．故答案为[34，74]．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10.00分）已知集合A=[a﹣3，a]，函数（﹣2≤x≤5）的单调减区间为集合B．（1）若a=0，求（∁R A）∪（∁R B）；（2）若A∩B=A，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）由题意知函数f（x）的定义域是：[﹣2，5]，则函数y=x2﹣4x=（x﹣2）2﹣4的减区间为[﹣2，2]，又，则函数f（x）的减区间[﹣2，2]，即集合B=[﹣2，2]，当a=0时，A=[﹣3，0]，则∁R A=（﹣∞，﹣3）∪（0，+∞），（∁R B）=（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）；所以（∁R A）∪（∁R B）=（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）；（2）由A∩B=A得，A⊆B=[﹣2，2]，所以，解得1≤a≤2，即实数a的取值范围为[1，2]．18．（12.00分）已知不过第二象限的直线l：ax﹣y﹣4=0与圆x2+（y﹣1）2=5相切．（1）求直线l的方程；（2）若直线l1过点（3，﹣1）且与直线l平行，直线l2与直线l1关于直线y=1对称，求直线l2的方程．【解答】解：（1）∵直线l与圆x2+（y﹣1）2=5相切，∴，…（2分）∵直线l不过第二象限，∴a=2，∴直线l的方程为2x﹣y﹣4=0；…（4分）（2）∵直线l1过点（3，﹣1）且与直线l平行，∴直线l1的方程为2x﹣y+b=0，…（6分）∵直线l1过点（3，﹣1），∴b=﹣7，则直线l1的方程为2x﹣y﹣7=0，…（7分）∵直线l2与l1关于y=1对称，∴直线l2的斜率为﹣2，且过点（4，1），…（9分）∴直线l2的斜率为y﹣1=﹣2（x﹣4），即化简得2x+y﹣9=0．…（10分）19．（12.00分）已知a＞0，a≠1且log a3＞log a2，若函数f（x）=log a x在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为1．（1）求a的值；（2）解不等式；（3）求函数g（x）=|log a x﹣1|的单调区间．【解答】解：（1）∵log a3＞log a2，∴a＞1，又∵y=log a x在[a，2a]上为增函数，∴log a2a﹣log a a=1，即log a2=1，∴a=2．（2）依题意可知解得，∴所求不等式的解集为．（3）∵g（x）=|log2x﹣1|，∴g（x）≥0，当且仅当x=2时，g（x）=0．则∴函数在（0，2）上为减函数，在（2，+∞）上为增函数，g（x）的减区间为（0，2），增区间为（2，+∞）．20．（12.00分）如图所示，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=90°，BC=CD=2，AF=BF，EC∥FD，FD⊥底面ABCD，M是AB的中点．（1）求证：平面CFM⊥平面BDF；（2）点N在CE上，EC=2，FD=3，当CN为何值时，MN∥平面BEF．【解答】证明：（1）∵FD⊥底面ABCD，∴FD⊥AD，FD⊥BD∵AF=BF，∴△ADF≌△BDF，∴AD=BD，连接DM，则DM⊥AB，∵AB∥CD，∠BCD=90°，∴四边形BCDM是正方形，∴BD⊥CM，∵DF⊥CM，∴CM⊥平面BDF．解：（2）当CN=1，即N是CE的中点时，MN∥平面BEF．证明如下：过N作NO∥EF，交ED于O，连结MO，∵EC∥FD，∴四边形EFON是平行四边形，∵EC=2，FD=3，∴OF=1，∴OD=2，连结OE，则OE∥DC∥MB，且OE=DC=MB，∴四边形BMOE是平行四边形，则OM∥BE，又OM∩ON=O，∴平面OMN∥平面BEF，∵MN⊂平面OMN，∴MN∥平面BEF．21．（12.00分）已知点P（2，0）及圆C：x2+y2﹣6x+4y+4=0．（1）设过P直线l1与圆C交于M、N两点，当|MN|=4时，求以MN为直径的圆Q的方程；（2）设直线ax﹣y+1=0与圆C交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l2垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由于圆C：x2+y2﹣6x+4y+4=0的圆心C（3，﹣2），半径为3，|CP|=，而弦心距d=，所以d=|CP|=，所以P为MN的中点，所以所求圆的圆心坐标为（2，0），半径为|MN|=2，故以MN为直径的圆Q的方程为（x﹣2）2+y2=4；（2）把直线ax﹣y+1=0即y=ax+1．代入圆C的方程，消去y，整理得（a2+1）x2+6（a﹣1）x+9=0．由于直线ax﹣y+1=0交圆C于A，B两点，故△=36（a﹣1）2﹣36（a2+1）＞0，即﹣2a＞0，解得a＜0．则实数a的取值范围是（﹣∞，0）．设符合条件的实数a存在，由于l2垂直平分弦AB，故圆心C（3，﹣2）必在l2上．所以l2的斜率k PC=﹣2，∴k AB=a=，由于，故不存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l2垂直平分弦AB．22．（12.00分）已知函数（a＞0，a≠1）．（1）求函数f（x）的定义域；（2）讨论函数f（x）的奇偶性；（3）求a的取值范围，使f（x）+f（2x）＞0在其定义域上恒成立．【解答】解：（1）定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）．（2）==，∴f（x）是偶函数．（3）∵函数f（x）在定义域上是偶函数，∴函数y=f（2x）在定义域上也是偶函数，∴当x∈（0，+∞）时，f（x）+f（2x）＞0可满足题意，∵当x∈（0，+∞）时，x3＞0，∴只需，即，∵a2x+a x+1＞0，∴（a x）2﹣1＞0，解得a＞1，∴当a＞1时，f（x）+f（2x）＞0在定义域上恒成立．赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：60°运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC. （1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝62，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=45APBC的面积是36，求△ACB的周长.2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。
吉林省长春市五县高二上学期期末考试数学(理)试题 Word版含答案
数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.双曲线221168x y -=的虚轴长是（ ）A ．8B ．C ．．22.在公差为d 的等差数列{}n a 中，“1d >”是“{}n a 是递增数列”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3.为了了解800名高三学生是否喜欢背诵诗词，从中抽取一个容量为20的样本，若采用系统抽样，则分段的间隔k 为（ ）A ．50B ．60C ．30D ．404.已知椭圆22:1169x y C +=的左、右焦点分别为12F F 、，过2F 的直线交椭圆C 于P Q 、两点，若1F P +110FQ =，则PQ 等于（ ） A ．8 B ．6 C.4 D ．25.从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如下，则这100个成绩的平均数为（ ）A ．3B ．2.5 C.3.5 D ．2.756.某单位有员工120人，其中女员工有72人，为做某项调查，拟采用分层抽样法抽取容量为15的样本，则男员工应选取的人数是（ ） A ．5 B ．6 C.7 D ．87.已知椭圆()222:10525x y C b b +=<<的长轴长、短轴长、焦距成等差数列，则该椭圆的方程是（ ）A ．221254x y +=B ．221259x y += C.2212516x y += D ．22125x y +=8.已知点()00,A x y 是抛物线()220y px p =>上一点，且它在第一象限内，焦点为,F O 坐标原点，若32pAF =，2AO = ） A ．4x =- B ．3x =- C.2x =- D ．1x =-9.某班m 名学生在一次考试中数学成绩的频率分布直方图如图，若在这m 名学生中，数学成绩不低于100分的人数为33，则m 等于（ ）A ．45B ．48 C.50 D ．5510.已知定点()3,0M -，()2,0N ，如果动点P 满足2PM PN =，则点P 的轨迹所包围的图形面积等于（ ） A ．1009π B ．1429π C.103πD ．9π11.已知命题p ：直线20x y +=与直线20x y +-=之间的距离不大于1，命题q ：椭圆2222754x y +=与双曲线22916144x y -=有相同的焦点，则下列命题为真命题的是（ ）A ．()p q ∧⌝B ．()p q ⌝∧ C.()()p q ⌝∧⌝ D ．p q ∧12.如图，12,F F 分别是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线分别交于点,A B ，且(A ，若2ABF ∆为等边三角形，则12BF F ∆的面积为（ ）A ．1 BD ．2第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知0m >，0n >，向量(),1,3a m =-与()1,,2b n =垂直，则mn 的最大值为 ．14.若[]x 表示不超过x 的最大整数，执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为 ．15.在区间2,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上任取一个数x ，则函数()3sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的值不小于0的概率为 ．16.已知点A 是抛物线()2:20C x px p =>上一点，O 为坐标原点，若,A B 是以点()0,10M 为圆心，OA 的长为半径的圆与抛物线C 的两个公共点，且ABO ∆为等边三角形，则p 的值是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为3x ty =+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρθ=. （1）写出直线l 的普通方程及圆C 的直角坐标方程；（2）点P 是直线l 上的点，求点P 的坐标，使P 到圆心C 的距离最小. 18. （本小题满分12分）已知p ：方程()2220x mx m +++=有两个不等的正根；q ：方程221321x y m m -=+-表示焦点在y 轴上的双曲线.（1）若q 为真命题，求实数m 的取值范围；（2）若“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，求实数m 的取值范围. 19. （本小题满分12分）某公司经营一批进价为每件4百元的商品，在市场调查时发现，此商品的销售单价x （百元）与日销售量y （件）之间有如下关系：（1）求y 关于x 的回归直线方程；（2）借助回归直线方程请你预测，销售单价为多少百元（精确到个位数）时，日利润最大？相关公式：()()()1122211n niii ii i nniii i x x y y x y nx yb x x xnx====---==--∑∑∑∑，a y bx =-.20. （本小题满分12分）如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名同学的投篮命中次数，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中用x 表示.（1）若乙组同学投篮命中次数的平均数比甲组同学的平均数少1，求x 及乙组同学投篮命中次数的方差；（2）在（1）的条件下，分别从甲、乙两组投篮命中次数低于10次的同学中，各随机选取一名，求这两名同学的投篮命中次数之和为16的概率.21. （本小题满分12分）如图，在三棱锥A BCD -中，AD ⊥平面BCD ，CB CD =，AD DB =，,P Q 分别在线段,AB AC 上，3AP PB =，2AQ QC =，M 是BD 的中点.（1）证明：//DQ 平面CPM ； （2）若二面角C AB D --的大小为3π，求tan BDC ∠.22. （本小题满分12分）已知()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12F F 、，12F F =P 在椭圆上，21tan 2PF F ∠=，且12PF F ∆的面积为4.（1）求椭圆的方程；（2）点M 是椭圆上任意一点，12A A 、分别是椭圆的左、右顶点，直线12MA MA ，与直线x =分别交于,E F 两点，试证：以EF 为直径的圆交x 轴于定点，并求该定点的坐标.试卷答案一、选择题1.B 因为28b =，所以虚轴长2b =.2.A 若1d >，则n N *∀∈，110n n a a d +-=>>，所以，{}n a 是递增数列；若{}n a 是递增数列，则n N *∀∈，10n n a a d +-=>，推不出1d >3.D 由于8002040÷=，即分段的间隔40k =.4.B 因为直线PQ 过椭圆的右焦点2F ，由椭圆的定义，在1F PQ ∆中，11416F P FQ PQ a ++==.又1110F P FQ +=，所以6PQ =. 5.A 设这100个成绩的平均数记为x ，则120210*********3100x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==.6.B 男员工应抽取的人数为12072156120-⨯=. 7.C 设焦距为2c ，则有222552b c c b⎧-=⎨+=⎩，解得216b =，所以椭圆22:12516x y C +=.8.D 因为0322p px +=，所以0x p =，0y =.又)2212p +=，所以2p =，准线方程为1x =-.9.D ()10.0150.025100.6P =-+⨯=，由0.633m =，得55m =.10.A 设(),P x y ，则由2PM PN =得()()2222342x y x y ⎡⎤++=-+⎣⎦，化简得223322x y x +-70+=，即221110039x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，所以所求图形的面积1009S π=.11.B 对于命题p ，将直线l 平移到与椭圆相切，设这条平行线的方程为20x y m ++=，联立方程组224120x y x y m ⎧+=⎨++=⎩，消去y 得222210x mx m ++-=.由0∆=得，所以m =，椭圆上的点到直线l最近距离为直线20x y +-=与l 的距离d =1>，所以命题p 为假命题，于是p ⌝为真命题.对于命题q ，椭圆2222754x y +=与双曲线22916144x y -=有相同的焦点()5,0±，故q 为真命题.从而()p q ⌝∧为真命题.12.C 由已知212BF BF a -=，122AF AF a -=，又2ABF ∆为等边三角形，所以121AF AF BF -=2a =，所以24BF =.在12AF F ∆中，16AF a =，24AF a =，122F F c =，1260F AF ∠=︒，由余弦定理得22243616264cos 60c a a a a =+-⨯⨯⨯︒，所以227c a =，22226b c a a =-=，所以双曲线方程为222216x y a a-=，又(A 在双曲线上，所以221316a a -=，解得212a =，即a =所以122124sin1202BF F S a a ∆=⨯⨯⨯︒==. 二、填空题13.9 因为，所以，又，所以.14.7 第一次循环，0S =，2n =；第二次循环，1S =，4n =；第三次循环，3S =，6n =；第四次循环，5S =，8n =；第五次循环，7S =.因为8>6，所以输出S 的值为7.15.611 当2,43x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，272,636x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦.当[]20,6x ππ-∈，即7,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时()0f x ≥，则所求概率为76121221134ππππ-=⎛⎫-- ⎪⎝⎭.16.56如图，因为MA OA =，所以，点A 在线段OM 的中垂线上，又()0,10M ，所以可设(),5A x . 由tan 305x︒=，得x =，所以A ⎫⎪⎭的坐标代入方程22x px =，得56p =.三、解答题17.解：（1）由3,.x t y =+⎧⎪⎨=⎪⎩消去参数t ，得直线l0y --=，由ρθ=得2sin ρθ=，22x y +=，即圆C的直角坐标方程为(223x y +-=.（2）()3P t +，(C=，0t =∴时PC 最小，此时()3,0P .18.解：（1）由已知方程221321x y m m -=+-表示焦点在y 轴上的双曲线，则()244202020m m m m ⎧∆=-+>⎪->⎨⎪+>⎩解得21m -<<-，即:21p m -<<-. 因p 或q 为真，所以p q 、至少有一个为真. 又p 且q 为假，所以p q 、至少有一个为假.因此，p q 、两命题应一真一假，当p 为真，q 为假时，213m m -<<-⎧⎨≥-⎩，解得21m -<<-；当p 为假，q 为真时，213m m m ≤≥-⎧⎨<-⎩或，解得3m <-.综上，21m -<<-或3m <-. 19.解：（1）因为7x =，1089616.85y ++++==，所以，122121857 6.82255549ni ii ni i x y nx yb x nx==--⨯⨯===--⨯-∑∑，()6.82720.8a y bx =-=--⨯=，于是得到y 关于x 的回归直线方程220.8y x =-+.（2）销售价为x 时的利润为()()24220.8228.883.2x x x x ω=--+=-+-，当28.8722x =≈⨯时，日利润最大. 20.（1）解：依题意得：82910789112155x +⨯+++++⨯=-，解得6x =，41=5x 乙，22222141414141682910 1.7655555s ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-⨯+-+-=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦. （2）记甲组投篮命中次数低于10次的同学为123,,A A A ，他们的命中次数分别为9，8，7. 乙组投篮命中次数低于10次的同学为1234,,,B B B B ，他们的命中次数分别为6，8，8，9.依题意，不同的选取方法有：()()()()()()()()()()()()111213142122232431323334,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B 共12种.设“这两名同学的投篮命中次数之和为16”为事件，则中恰含有()()()222334,,,,,A B A B A B 共3种.()31124P C ==∴. 21.（1）证明：取AB 的中点E ，连接ED EQ 、，则2AE AQEP QC==，所以//EQ PC . 又EQ ⊄平面CPM ，所以//EQ 平面CPM . 又PM 是BDE ∆的中位线，所以//DE PM ， 从而//DE 平面CPM . 又DEEQ E =，所以平面//DEQ 平面CPM .因为DQ ⊂平面DEQ ，所以//DQ 平面CPM . （2）解：法1：由AD ⊥平面BCD 知，AD CM ⊥， 由BC CD =，BM MD =，知BD CM ⊥， 故CM ⊥平面ABD .由（1）知//DE PM ，面DE AB ⊥，故PM AB ⊥. 所以CPM ∠是二面角C AB D --的平面角， 即3CPM π∠=.设PM a =，则CM =，又易知在Rt ABD ∆中，4B π∠=，可知DM BM ==，在Rt CMD ∆中，tan MC MDC MD ∠===法2：以M 为坐标原点，,,MC MD ME 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标.设MC a =，MD b =，则(),0,0C a ，()0,,0B b -，()0,,2A b b ，则(),,0BC a b =，()0,2,2BA b b =，设()1,,n x y z =是平面ABC 的一个法向量，则110,0.n BC n BA ⎧=⎪⎨=⎪⎩即0,220.ax by by bz +=⎧⎨+=⎩取()1,,n b a a =-， 不难得到平面ABD 的一个法向量为()21,0,0n =， 所以11cos ,2n n <>==，所以a b =， 在Rt CMD ∆中，tan MC a MDC MD b ∠===22.解：（1）因为21tan 2PF F ∠=，所以21sin PF F ∠=，21cos PF F ∠=.由题意得((2222122125542522PF PF PF PF ⎧⨯⨯=⎪⎪⎨⎪=+-⨯⎪⎩，解得1242PF PF ⎧=⎪⎨=⎪⎩. 从而1224263a PF PF a =+=+=⇒=，结合2c =，得24b =，故椭圆的方程为22194x y +=. （2）由（1）得()13,0A -，()23,0A ，设()00,M x y ，则直线1MA 的方程为()0033y y x x =++， 它与直线x =的交点的坐标为0033y E x ⎫⎫+⎪⎪⎪⎪+⎭⎭， 直线2MA 的方程为()0033y y x x =--，它与直线x =的交点的坐标为0033y F x ⎫⎫-⎪⎪⎪⎪-⎭⎭， 再设以EF 为直径的圆交x 轴于点(),0Q m ，则QE QF ⊥，从而1QE QF k k =-，即135⎝=-，即220209349y m x ⎛⎫=-⎪ ⎪-⎝⎭，解得1m =. 故以EF 为直径的圆交x 轴于定点，该定点的坐标为1,0⎫+⎪⎪⎭或1,0⎫-⎪⎪⎭.。
吉林省长春市高二上学期期末考试数学试题Word版含答案
长春外国语学校2017-2018学年第一学期期末考试高二年级数学试卷出题人 ： 刘 洋 审题人 ： 宋志刚本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页。
考试结束后，将答题卡交回。
注意事项：1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信 息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书 写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效； 在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5. 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1，0)，离心率等于13，则椭圆C 的方程是A ．．．．2. A （-2,2）标系，点A的极坐标为A．．C．．3. 运行如图所示的程序框图，输出A，B，C的一组数据为3，－1,2，则在两个判断框内的横线上分别应填（第3题图）（第5题图）A．垂直、相切 B．平行、相交 C．垂直、相离 D．平行、相切4.已知双曲线中心在原点且一个焦点为F0），M、N两点，MN5. 根据下边框图，对大于2的整数N，输出的数列的通项公式是A．．6.A．．．．7.A． 2 B．． 1 D．8. 下列说法中正确的是A．①② B．③④ C．①④ D．②③9. 下列程序执行后输出的结果是A． 600 B． 880 C． 990 D． 110010.离心率为A ．11.D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是A ．．．．12.，曲线CA ． 16B ． 18C ． 8D ． 10第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分。
13.C ：x 2＋(y －1)2＝5的位置关系是______________.14. P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，则PQ ＝________.15. ,_______________.16.周上任意一点，把圆纸片折叠，然后抹平纸片，__________．三、解答题：本题共70分，其中17题10分，18至22题每题12分.17.下表提供了某厂节能降耗技术改进后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据.(1) 请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x(2) 已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(1)求出的回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？(参考数值：3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5)18. 以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数.乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示.（Ⅰ）如果X=8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；（Ⅱ）如果X=9，分别从甲、乙两组中各随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19的概率.19. 已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋4t ，y ＝3t(t 为参数)，曲线C 相交所截的弦长.20. 4月23日是“世界读书日”,某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动,为了解本校学生课外阅读情况,学校随机抽取了100名学生对其课外阅读时间进行调查,下面是根据调查结果绘制的学生日均课外阅读时间(单位:min)的频率分布直方图,若将日均课外阅读时间不低于60 min 的学生称为“书虫”,低于60 min 的学生称为“懒虫”,(1)求x 的值并估计全校3 000名学生中“书虫”大概有多少名学生?(将频率视为概率) (2)根据已知条件完成下面2×2的列联表,并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“书虫”与性别有关:21.曲线C1(1)求曲线C1的直角坐标方程；(2)曲线C2的方程为x216＋y24＝1，设P，Q分别为曲线C1与曲线C2上的任意一点，求|PQ|的最小值．22.（1（21.B2.B3.A4.D5.C6.C7.C8.D9.C 10.B 11.D 12.B 13.相交.14.抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.根据题意可得，PQ ＝PF ＋QF ＝x 1＋1＋x 2＋1＝x 1＋x 2＋2＝8.三、解答题 17.解 (1)x ＝3＋4＋5＋64＝4.5， 1分y ＝2.5＋3＋4＋4.54＝3.5， 1分∑4i ＝1x i y i ＝3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5，∑4i ＝1x 2i ＝32＋42＋52＋62＝86， ∴b ^＝∑4i ＝1x i y i －4x y∑4i ＝1x 2i －4x 2＝66.5－4×4.5×3.586－4×4.526分＝0.7，a ^＝y －b ^x ＝3.5－0.7×4.5＝0.35. 8分∴所求的回归方程为y ^＝0.7x ＋0.35. (2)现在生产100吨甲产品用煤y ^＝0.7×100＋0.35＝70.35， ∴90－70.35＝19.65.∴生产能耗比技改前降低约19.65吨标准煤． 10分18．19.20. (1)由已知可得:(0.01+0.02+0.03+x+0.015)×10=1,可得x=0.025. 2分因为(0.025+0.015)×10=0. 4,将频率视为概率,由此可以估算出全校3000名学生中“书虫”大概有1200人. 4分(2)完成下面的2×2列联表如下:7分K2=≈8.249. 10分由8.249>6.635,故在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“读书迷”与性别有关. 12分。
吉林省长春20162017学年高二上学期期末考试数学Word版含答案
第4题7 8 99 8 27 911 2 5 6 甲 乙 长春外国语学校2016-2017学年第一学期期末考试高二年级数学试卷出题人 ： 赵 天 审题人：马 竞本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部份，共4页。
考试终止后，将答题卡交回。
注意事项：1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信 息条形码粘贴区。
2．选择题必需利用2B 铅笔填涂；非选择题必需利用毫米黑色笔迹的签字笔书 写，字体工整、笔迹清楚。
3．请依照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效； 在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．作图可先利用铅笔画出，确信后必需用黑色笔迹的签字笔描黑。
5. 维持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准利用涂改液、修正带、刮纸刀。
第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 抛物线24y x =的核心坐标是( )A ．(0,1)B ．(1,0)C ．1(0,)16 D ．1(,0)162. 双曲线1422=-y x 的渐近线方程和离心率别离是（ ） A.5;2=±=e x y B.5;21=±=e x yC.3;21=±=e x y D.2;3y x e =±=3. 若是(1,3)A 关于直线l 的对称点为(5,1)B -，则直线l 的方程是( )A ．380x y -+= B. 340x y ++= C ．340x y +-= D ．380x y -+= 4. 将甲、乙两名同窗5次物理考试的成绩用茎叶图表示如图， 若甲、乙两人成绩的中位数别离为乙甲、x x ，则下列说法正确 的是（ ）A ．乙甲x x <；乙比甲成绩稳固 B.乙甲x x >；甲比乙成绩稳固 C.乙甲x x >；乙比甲成绩稳固 D.乙甲x x <；甲比乙成绩稳固5. 在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，以710为概率的事件( )A ．恰有1件一等品B ．至少有一件一等品C ．最多有一件一等品D ．都不是一等品6．以下给出的是计算201614121+⋅⋅⋅+++ 的值的一个程序框图（如图所示），其中 判定框内应填入的条件是（ ） A ． i>10 B. i<10C. i<20 >20（第6题图）7．曲线192522=+y x 与曲线192522=-+-ky k x )9(<k 的（ ） A.长轴长相等 B.离心率相等 D.焦距相等 8. 已知0,0,1a b a b >>+=，则( ) A. 7 B ．8 C. 9 D ．109. 已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点(0,2)的距离与到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ ）B. 39210．已知圆的方程为22680x y x y +--=，设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦别离为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( )A ．B ．． D ．11. 若椭圆221369x y +=的弦被点(4,2)平分，则此弦所在直线的斜率为（ ） A. 2 B. 2- C.13 D.12-12．若直线y x b =+与曲线3y =b 的取值范围是( )A ．[1-+B ．[1-C ．[1,1-+D ．[1-第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分。
吉林省长春市五县联考2016-2017学年高一上学期期末数学试卷含解析
2016-2017学年吉林省长春市五县联考高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合A={x|y=lg（2x+3）}，B={﹣2，﹣1，1，3}，则A∩B等于（）A．{3}B．{﹣1，3}C．{﹣1，1，3}D．{﹣1，﹣1，1，3}2．已知直线l1：（a+2）x+3y=5与直线l2：（a﹣1）x+2y=6平行，则a等于（）A．﹣1 B．7 C．D．23．若log545=a，则log53等于（）A．B． C． D．4．以（1，﹣1）为圆心且与直线相切的圆的方程为（）A．（x+1）2+（y﹣1）2=6 B．（x﹣1）2+（y+1）2=6 C．（x+1）2+（y﹣1）2=3 D．（x﹣1）2+（y+1）2=35．已知幂函数f（x）=xα的图象过点，则函数g（x）=（x﹣2）f（x）在区间上的最小值是（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣46．设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A．若m∥n，m∥α，则n∥αB．若α⊥β，m∥α，则m⊥βC．若α⊥β，m⊥β，则m∥αD．若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β7．已知圆M：x2+y2﹣2x+ay=0（a＞0）被x轴和y轴截得的弦长相等，则圆M 被直线x+y=0截得的弦长为（）A．4 B．C．2 D．28．若x＞0，则函数与y2=log a x（a＞0，且a≠1）在同一坐标系上的部分图象只可能是（）A．B．C．D．9．如图是一个几何体的三视图，在该几何体的各个面中．面积最小的面的面积为（）A．4 B．4 C．4 D．810．已知函数f（x）=a x﹣1（a＞0，且a≠1），当x∈（0，+∞）时，f（x）＞0，且函数g（x）=f（x+1）﹣4的图象不过第二象限，则a的取值范围是（）A．（1，+∞）B． C．（1，3]D．（1，5]11．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，BA⊥AD，AD∥BC，AB=BC=2，PA=3，AD=6，PA⊥底面ABCD，E是PD上的动点．若CE∥平面PAB，则三棱锥C ﹣ABE的体积为（）A．B．C．D．12．若关于x的不等式在上恒成立，则实数a的取值范围是（）A． B． C． D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知f（x）是奇函数，当x＞0时，f（x）=x•2x+a﹣1，若f（﹣1）=，则a=．14．已知集合A={0，1，log3（x2+2），x2﹣3x}，若﹣2∈A，则x=．15．已知矩形ABCD的顶点都在半径为R的球O的球面上，且AB=6，BC=2，棱锥O﹣ABCD的体积为8，则R=．16．已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1，点A（0，﹣1），B（0，1），设P是圆C 上的动点，令d=|PA|2+|PB|2，则d的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知集合A=[a﹣3，a]，函数（﹣2≤x≤5）的单调减区间为集合B．（1）若a=0，求（∁R A）∪（∁R B）；（2）若A∩B=A，求实数a的取值范围．18．已知不过第二象限的直线l：ax﹣y﹣4=0与圆x2+（y﹣1）2=5相切．（1）求直线l的方程；（2）若直线l1过点（3，﹣1）且与直线l平行，直线l2与直线l1关于直线y=1对称，求直线l2的方程．19．已知a＞0，a≠1且log a3＞log a2，若函数f（x）=log a x在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为1．（1）求a的值；（2）解不等式；（3）求函数g（x）=|log a x﹣1|的单调区间．20．如图所示，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=90°，BC=CD=2，AF=BF，EC∥FD，FD⊥底面ABCD，M是AB的中点．（1）求证：平面CFM⊥平面BDF；（2）点N在CE上，EC=2，FD=3，当CN为何值时，MN∥平面BEF．21．已知点P（2，0）及圆C：x2+y2﹣6x+4y+4=0．（1）设过P直线l1与圆C交于M、N两点，当|MN|=4时，求以MN为直径的圆Q的方程；（2）设直线ax﹣y+1=0与圆C交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l2垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．22．已知函数f（x）=（+）x3（a＞0，a≠1）．（1）讨论函数f（x）的奇偶性；（2）求a的取值范围，使f（x）+f（2x）＞0在其定义域上恒成立．2016-2017学年吉林省长春市五县联考高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合A={x|y=lg（2x+3）}，B={﹣2，﹣1，1，3}，则A∩B等于（）A．{3}B．{﹣1，3}C．{﹣1，1，3}D．{﹣1，﹣1，1，3}【考点】交集及其运算．【分析】先分别求出集合A，B，由此能求出A∩B．【解答】解：∵集合A={x|y=lg（2x+3）}={x|x＞﹣}，B={﹣2，﹣1，1，3}，∴A∩B={﹣1，1，3}．故选：C．2．已知直线l1：（a+2）x+3y=5与直线l2：（a﹣1）x+2y=6平行，则a等于（）A．﹣1 B．7 C．D．2【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】由﹣=﹣，解得a，并且验证即可得出．【解答】解：由﹣=﹣，解得a=7，经过验证两条直线平行．故选：B．3．若log545=a，则log53等于（）A．B． C． D．【考点】对数的运算性质．【分析】利用对数的运算性质即可得出．【解答】解：∵log545=a=1+2log53，则log53=．故选：D．4．以（1，﹣1）为圆心且与直线相切的圆的方程为（）A．（x+1）2+（y﹣1）2=6 B．（x﹣1）2+（y+1）2=6 C．（x+1）2+（y﹣1）2=3 D．（x﹣1）2+（y+1）2=3【考点】圆的标准方程．【分析】求出圆的半径，即可求出圆的方程．【解答】解：圆的半径，则所求圆的方程为（x﹣1）2+（y+1）2=3．5．已知幂函数f（x）=xα的图象过点，则函数g（x）=（x﹣2）f（x）在区间上的最小值是（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣4【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【分析】求出幂函数f（x）的解析式，从而求出g（x）的解析式，根据函数的单调性求出g（x）在闭区间上的最小值即可．【解答】解：∵幂函数f（x）=xα的图象过点，∴2α=，解得：α=﹣1，故g（x）==1﹣，而g（x）在[，1]递增，故g（x）min=g（）=﹣3，故选：C．6．设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A．若m∥n，m∥α，则n∥αB．若α⊥β，m∥α，则m⊥βC．若α⊥β，m⊥β，则m∥αD．若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β【考点】命题的真假判断与应用；空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】A选项m∥n，m∥α，则n∥α，可由线面平行的判定定理进行判断；B选项α⊥β，m∥α，则m⊥β，可由面面垂直的性质定理进行判断；C选项α⊥β，m⊥β，则m∥α可由线面的位置关系进行判断；D选项a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β，可由面面垂直的判定定理进行判断；【解答】解：A选项不正确，因为n⊂α是可能的；B选项不正确，因为α⊥β，m∥α时，m∥β，m⊂β都是可能的；C选项不正确，因为α⊥β，m⊥β时，可能有m⊂α；D选项正确，可由面面垂直的判定定理证明其是正确的．故选D7．已知圆M：x2+y2﹣2x+ay=0（a＞0）被x轴和y轴截得的弦长相等，则圆M 被直线x+y=0截得的弦长为（）A．4 B．C．2 D．2【考点】直线与圆的位置关系．【分析】利用圆M：x2+y2﹣2x+ay=0（a＞0）被x轴和y轴截得的弦长相等，求出a=2，得出圆心在直线x+y=0上，即可求出圆M被直线x+y=0截得的弦长．【解答】解：由题意，圆心坐标为（1，﹣），∵圆M：x2+y2﹣2x+ay=0（a＞0）被x轴和y轴截得的弦长相等，∴a=2，∴圆心坐标为（1，﹣1），圆的半径为，圆心在直线x+y=0上，∴圆M被直线x+y=0截得的弦长为2，故选C．8．若x＞0，则函数与y2=log a x（a＞0，且a≠1）在同一坐标系上的部分图象只可能是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】结合指数函数和对数函数的图象和性质，分析出当a＞1时，两个函数的图象形状，可得答案．【解答】解：当a＞1时，函数为增函数，且图象过（0，﹣1）点，向右和x轴无限接近，函数y2=log a x（a＞0，且a≠1）为增函数，且图象过（1，0）点，向左和y轴无限接近，此时答案B符合要求，当0＜a＜1时，函数为减函数，且图象过（0，﹣1）点，函数y2=log a x（a＞0，且a≠1）为减函数，且图象过（1，0）点，向左和y轴无限接近，此时无满足条件的图象．故选：B9．如图是一个几何体的三视图，在该几何体的各个面中．面积最小的面的面积为（）A．4 B ．4 C ．4 D ．8【考点】由三视图求面积、体积．【分析】作出直观图，根据三视图数据计算各个表面的面积比较得出． 【解答】解：根据三视图作出物体的直观图如图所示：显然S △PCD ＞S △ABC ．由三视图特征可知PA ⊥平面ABC ，DB ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，PA=AB=AC=4，DB=2，∴BC=4，∴S △ABC ==8，S △PAC ==8，S △BCD ==4．S梯形PABD==12．∴△BCD 的面积最小． 故选B ．10．已知函数f （x ）=a x ﹣1（a ＞0，且a ≠1），当x ∈（0，+∞）时，f （x ）＞0，且函数g （x ）=f （x +1）﹣4的图象不过第二象限，则a 的取值范围是（ ）A ．（1，+∞）B ．C ．（1，3]D ．（1，5]【考点】指数函数的图象变换．【分析】对a 分类讨论：利用指数函数的单调性可得a ＞1．由于函数g （x ）=a x +1﹣5的图象不过第二象限，可得g （0）≤0，求解即可得答案．【解答】解：当a ＞1时，函数f （x ）在（0，+∞）上单调递增，f （x ）=a x ﹣1＞0；当0＜a ＜1时，函数f （x ）在（0，+∞）上单调递减，f （x ）=a x ﹣1＜0，舍去．故a ＞1．∵函数g （x ）=f （x +1）﹣4的图象不过第二象限，∴g （0）=a 1﹣5≤0， ∴a ≤5，∴a 的取值范围是（1，5]． 故选：D ．11．在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是一直角梯形，BA ⊥AD ，AD ∥BC ，AB=BC=2，PA=3，AD=6，PA ⊥底面ABCD ，E 是PD 上的动点．若CE ∥平面PAB ，则三棱锥C ﹣ABE 的体积为（ ）A ．B ．C ．D ． 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】以A 为原点，AD 为x 轴，AB 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出三棱锥C ﹣ABE 的体积．【解答】解：以A 为原点，AD 为x 轴，AB 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，A （0，0，0），B （0，2，0），C （2，2，0），D （6，0，0），P （0，0，3），设E （a ，0，c ），，则（a ，0，c ﹣3）=（6λ，0，﹣3λ），解得a=6λ，c=3﹣3λ，∴E （6λ，0，3﹣3λ），=（6λ﹣2，﹣2，3﹣3λ），平面ABP 的法向量=（1，0，0），∵CE ∥平面PAB ，∴=6λ﹣2=0，解得，∴E （2，0，2），∴E 到平面ABC 的距离d=2， ∴三棱锥C ﹣ABE 的体积：V C ﹣ABE =V E ﹣ABC ===．故选：D ．12．若关于x的不等式在上恒成立，则实数a的取值范围是（）A． B． C． D．【考点】函数恒成立问题．【分析】两个函数的恒成立问题转化为最值问题，此题4x﹣log a x≤对x∈（0，）恒成立，函数的图象不在y=log a x图象的上方．对数函数另一方面要注意分类对底数a讨论．即可求解【解答】解：由题意得在上恒成立，即当时，函数的图象不在y=log a x图象的上方，由图知：当a＞1时，函数的图象在y=log a x图象的上方；当0＜a＜1时，，解得．故选：A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知f（x）是奇函数，当x＞0时，f（x）=x•2x+a﹣1，若f（﹣1）=，则a=﹣3．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】由题意，f（1）=21+a﹣1=﹣，即可求出a的值．【解答】解：由题意，f（1）=21+a﹣1，f（1）=﹣f（﹣1）═﹣，∴a=﹣3，故答案为﹣3．14．已知集合A={0，1，log3（x2+2），x2﹣3x}，若﹣2∈A，则x=2．【考点】元素与集合关系的判断．【分析】由已知集合A={0，1，log3（x2+2），x2﹣3x}，﹣2∈A，只能得到x2﹣3x=﹣2，解不等式得到x；关键元素的互异性得到x值．【解答】解：因为集合A={0，1，log3（x2+2），x2﹣3x}，﹣2∈A，所以x2﹣3x=﹣2，解得x=2或者x=1（舍去）故答案为：2．15．已知矩形ABCD的顶点都在半径为R的球O的球面上，且AB=6，BC=2，棱锥O﹣ABCD的体积为8，则R=4．【考点】球的体积和表面积．【分析】由题意求出矩形的对角线的长，即截面圆的直径，根据棱锥的体积计算出球心距，进而求出球的半径．【解答】解：由题可知矩形ABCD所在截面圆的半径即为ABCD的对角线长度的一半，∵AB=6，BC=2，∴r==2，由矩形ABCD的面积S=AB•BC=12，则O到平面ABCD的距离为h满足：=8，解得h=2，故球的半径R==4，故答案为：4．16．已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1，点A（0，﹣1），B（0，1），设P是圆C 上的动点，令d=|PA|2+|PB|2，则d的取值范围是[32，72] ．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】利用圆的参数方程，结合两点间的距离公式即可得到结论．【解答】解：设P点的坐标为（3+sinα，4+cosα），则d=|PA|2+|PB|2=（3+sinα）2+（5+cosα）2+（3+sinα）2+（3+cosα）2=52+12sinα+16cosα=52+20sin（θ+α）∴当sin（θ+α）=1时，即12sinα+16cosα=20时，d取最大值72，当sin（θ+α）=﹣1时，即12s inα+16cosα=﹣20，d取最小值32，∴d的取值范围是[32，72]．故答案为[32，72]．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知集合A=[a﹣3，a]，函数（﹣2≤x≤5）的单调减区间为集合B．（1）若a=0，求（∁R A）∪（∁R B）；（2）若A∩B=A，求实数a的取值范围．【考点】交、并、补集的混合运算；集合的包含关系判断及应用．【分析】（1）根据二次函数、指数函数、复合函数的单调性求出集合B，由条件和补集的运算求出∁R A、∁R B，由交集的运算求出（∁R A）∪（∁R B）；（2）由A∩B=A得A⊆B，根据子集的定义和题意列出不等式组，求出实数a的取值范围．【解答】解：（1）由题意知函数f（x）的定义域是：[﹣2，5]，则函数y=x2﹣4x=（x﹣2）2﹣4的减区间为[﹣2，2]，又，则函数f（x）的减区间[﹣2，2]，即集合B=[﹣2，2]，当a=0时，A=[﹣3，0]，则∁R A=（﹣∞，﹣3）∪（0，+∞），（∁R B）=（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）；所以（∁R A）∪（∁R B）=（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）；（2）由A∩B=A得，A⊆B=[﹣2，2]，所以，解得1≤a≤2，即实数a的取值范围为[1，2]．18．已知不过第二象限的直线l：ax﹣y﹣4=0与圆x2+（y﹣1）2=5相切．（1）求直线l的方程；（2）若直线l1过点（3，﹣1）且与直线l平行，直线l2与直线l1关于直线y=1对称，求直线l2的方程．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）利用直线l与圆x2+（y﹣1）2=5相切，，结合直线l不过第二象限，求出a，即可求直线l的方程；（2）直线l1的方程为2x﹣y+b=0，直线l1过点（3，﹣1），求出b，即可求出直线l1的方程；利用直线l2与l1关于y=1对称，求出直线的斜率，即可求直线l2的方程．【解答】解：（1）∵直线l与圆x2+（y﹣1）2=5相切，∴，…∵直线l不过第二象限，∴a=2，∴直线l的方程为2x﹣y﹣4=0；…（2）∵直线l1过点（3，﹣1）且与直线l平行，∴直线l1的方程为2x﹣y+b=0，…∵直线l1过点（3，﹣1），∴b=﹣7，则直线l1的方程为2x﹣y﹣7=0，…∵直线l2与l1关于y=1对称，∴直线l2的斜率为﹣2，且过点（4，1），…∴直线l2的斜率为y﹣1=﹣2（x﹣4），即化简得2x+y﹣9=0．…19．已知a＞0，a≠1且log a3＞log a2，若函数f（x）=log a x在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为1．（1）求a的值；（2）解不等式；（3）求函数g（x）=|log a x﹣1|的单调区间．【考点】对数函数的图象与性质．【分析】（1）根据对数函数的性质求出a的值即可；（2）根据对数函数的性质得到关于x的不等式组，解出即可；（3）求出g（x）的分段函数的形式，从而求出函数的单调区即可．【解答】解：（1）∵log a3＞log a2，∴a＞1，又∵y=log a x在[a，2a]上为增函数，∴log a2a﹣log a a=1，即log a2=1，∴a=2．（2）依题意可知解得，∴所求不等式的解集为．（3）∵g（x）=|log2x﹣1|，∴g（x）≥0，当且仅当x=2时，g（x）=0．则∴函数在（0，2）上为减函数，在（2，+∞）上为增函数，g（x）的减区间为（0，2），增区间为（2，+∞）．20．如图所示，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=90°，BC=CD=2，AF=BF，EC∥FD，FD⊥底面ABCD，M是AB的中点．（1）求证：平面CFM⊥平面BDF；（2）点N在CE上，EC=2，FD=3，当CN为何值时，MN∥平面BEF．【考点】直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）推导出四边形BCDM是正方形，从而BD⊥CM，又DF⊥CM，由此能证明CM⊥平面BDF．（2）过N作NO∥EF，交EF于O，连结MO，则四边形EFON是平行四边形，连结OE，则四边形BMON是平行四边形，由此能推导出N是CE的中点时，MN∥平面BEF．【解答】证明：（1）∵FD⊥底面ABCD，∴FD⊥AD，FD⊥BD∵AF=BF，∴△ADF≌△BDF，∴AD=BD，连接DM，则DM⊥AB，∵AB∥CD，∠BCD=90°，∴四边形BCDM是正方形，∴BD⊥CM，∵DF⊥CM，∴CM⊥平面BDF．解：（2）当CN=1，即N是CE的中点时，MN∥平面BEF．证明如下：过N作NO∥EF，交ED于O，连结MO，∵EC∥FD，∴四边形EFON是平行四边形，∵EC=2，FD=3，∴OF=1，∴OD=2，连结OE，则OE∥DC∥MB，且OE=DC=MB，∴四边形BMOE是平行四边形，则OM∥BE，又OM∩ON=O，∴平面OMN∥平面BEF，∵MN⊂平面OMN，∴MN∥平面BEF．21．已知点P（2，0）及圆C：x2+y2﹣6x+4y+4=0．（1）设过P直线l1与圆C交于M、N两点，当|MN|=4时，求以MN为直径的圆Q的方程；（2）设直线ax﹣y+1=0与圆C交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l2垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）由利用两点间的距离公式求出圆心C到P的距离，再根据弦长|MN|的一半及半径，利用勾股定理求出弦心距d，发现|CP|与d相等，所以得到P为MN的中点，所以以MN为直径的圆的圆心坐标即为P的坐标，半径为|MN|的一半，根据圆心和半径写出圆的方程即可；（2）把已知直线的方程代入到圆的方程中消去y得到关于x的一元二次方程，因为直线与圆有两个交点，所以得到△＞0，列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的取值范围，利用反证法证明：假设符合条件的a存在，由直线l2垂直平分弦AB得到圆心必在直线l2上，根据P与C的坐标即可求出l2的斜率，然后根据两直线垂直时斜率的乘积为﹣1，即可求出直线ax﹣y+1=0的斜率，进而求出a的值，经过判断求出a的值不在求出的范围中，所以假设错误，故这样的a不存在．【解答】解：（1）由于圆C：x2+y2﹣6x+4y+4=0的圆心C（3，﹣2），半径为3，|CP|=，而弦心距d=，所以d=|CP|=，所以P为MN的中点，所以所求圆的圆心坐标为（2，0），半径为|MN|=2，故以MN为直径的圆Q的方程为（x﹣2）2+y2=4；（2）把直线ax﹣y+1=0即y=ax+1．代入圆C的方程，消去y，整理得（a2+1）x2+6（a﹣1）x+9=0．由于直线ax﹣y+1=0交圆C于A，B两点，故△=36（a﹣1）2﹣36（a2+1）＞0，即﹣2a＞0，解得a＜0．则实数a的取值范围是（﹣∞，0）．设符合条件的实数a存在，由于l2垂直平分弦AB，故圆心C（3，﹣2）必在l2上．所以l2的斜率k PC=﹣2，∴k AB=a=，由于，故不存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l2垂直平分弦AB．22．已知函数f（x）=（+）x3（a＞0，a≠1）．（1）讨论函数f（x）的奇偶性；（2）求a的取值范围，使f（x）+f（2x）＞0在其定义域上恒成立．【考点】函数恒成立问题；函数奇偶性的判断．【分析】（1）由可推知f（﹣x）=f（x），从而可判断函数f（x）的奇偶性；（2）利用（1）知f（x）为偶函数，可知当x∈（0，+∞）时，x3＞0，从而可判知，要使f（x）+f（2x）＞0在其定义域上恒成立，只需当a＞1时即可．【解答】解：（1）定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），∵f（﹣x）=（+）（﹣x）3=﹣（+）x3=（+）=f（x）∴f（x）是偶函数．（2）∵函数f（x）在定义域上是偶函数，∴函数y=f（2x）在定义域上也是偶函数，∴当x∈（0，+∞）时，f（x）+f（2x）＞0可满足题意，∵当x∈（0，+∞）时，x3＞0，∴只需+++＞0，即＞0，∵a2x+a x+1＞0，∴（a x）2﹣1＞0，解得a＞1，∴当a＞1时，f（x）+f（2x）＞0在定义域上恒成立．2017年2月19日。
2016-2017学年高二上学期数学(理)期末考试题及答案
2016-2017学年度上学期期末考试高二数学（理）答案2017-01-04本试卷分选择题和非选择题两部分共22题，共150分，共2页.考试时间为120分钟.考试结束后，只交答题卡.第Ⅰ卷(选择题，共计60分)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分）1. 已知命题“q p ∧”为假，且“p ⌝”为假，则（ ） A ．p 或q 为假 B ．q 为假C ．q 为真D ．不能判断q 的真假2．椭圆1422=+y m x 的焦距为2,则m 的值等于（ ） A ．5或3- B ．2或6 C ．5或3 D ．5或33.右图是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是腰长 为3,底边长为2的等腰三角形，则该几何体的体积是（ ）A. π322B. π22C. π28D. π3284. 以双曲线191622=-y x 的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为（ ）A ．x y 162= B ．x y 122= C ．x y 202-= D ．x y 202=5. 已知直线α⊂a ，则βα⊥是β⊥a 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6. 已知l 是正方体1111D CB A ABCD -中平面11D B A 与下底面ABCD 所在平面的交线，正视图 俯视图侧视图.下列结论错误的是（ ）.A. 11D B //lB. ⊥l 平面C A 1C. l //平面111D B AD. 11C B l ⊥ 7. 设原命题：若向量c b a ,,构成空间向量的一组基底，则向量,a b 不共线. 则原命题、逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 8. 已知双曲线1244922=-y x 上一点P 与双曲线的两个焦点1F 、2F 的连线互相垂直，则三角形21F PF 的面积为（ ）A ．20B ．22C ．28D ．24 9. 两个圆0222:221=-+++y x y x C 与0124:222=+--+y x y x C的公切线有且仅有 （ ） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条10. 已知F 是抛物线y x=2的焦点，B A ,是该抛物线上的两点，3=+BF AF ，则线段AB 的中点到x 轴的距离为( ) A ．43B ．1C ．45 D ．47 11. 正三棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为3，底面边长为3， 则该球的表面积为( )A ．π4B ．π8C ．π16D ．332π12. 如图，H 为四棱锥ABCD P -的棱PC 的三等分点，且HC PH 21=，点G 在AH 上，mAH AG =.四边形ABCD 为 平行四边形，若D P B G ,,,四点共面，则实数m 等于（ ） A ．43 B ．34 C ．41D ．21第Ⅱ卷(非选择题，共计90分)二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13.命题“2,12≥≥∀xx ”的否定是 .14. 平面α的法向量)2,1,(1-=x n ，平面β的法向量)21,,1(2y n -=， 若α∥β，则=+y x __________________.15. 已知点A 的坐标为)2,4(，F 是抛物线x y 22=的焦点，点M 是抛物线上的动点，当MA MF +取得最小值时，点M 的坐标为 ．16. 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为)0,(),0,(21c F c F -，若双曲线上存在一点P 使2112sin sin F PF c F PF a ∠=∠，则该双曲线的离心率的取值范围是 . 三、解答题（本大题共6小题，共70分） 17.（本小题满分10分） 已知四棱锥ABCD P -的底面是边长为2的正方形，侧面是全等的等腰三角形，侧棱长为3 ， 求它的表面积和体积.18.（本小题满分12分）已知直线方程为033)12()1(=-+--+m y m x m . （1）求证:不论m 取何实数值，此直线必过定点；（2）过这定点作一条直线，使它夹在两坐标轴间的线段被这点平分，求这条直线方程.19.（本小题满分12分）在棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中，F E ,分别是棱111,B D BB 的中点.(1) 求证：⊥EF 平面1ACB ； (2)求二面角C EF A--的余弦值.D ABC OP20.（本小题满分12分）已知圆M 满足：①过原点；②圆心在直线x y =上；③被y 轴截得的弦长为2. (1) 求圆M 的方程；(2) 若N 是圆M 上的动点，求点N 到直线8-=x y 距离的最小值.21．（本小题满分12分）．在斜三棱柱111C B A ABC -中，点O 、E 分别是11C A 、1AA 的中点，AO ⊥平面111C B A .︒=∠90BCA ，21===BC AC AA .(1)证明：OE ∥平面11C AB ； (2)求异面直线1AB 与C A 1所成的角； (3)求11C A 与平面11B AA 所成角的正弦值．22.（本小题满分12分）已知椭圆C :)0(12222>>=+b a by a x 和直线L :1=-b ya x , 椭圆的离心率23=e ， 坐标原点到直线L 的距离为552. （1）求椭圆的方程；（2）已知定点)0,1(E ，若直线)0(2≠-=k kx y 与椭圆C 相交于M 、N 两点，试判断是否存在实数k，使以MN为直径的圆过定点E？若存在求出这个k值，若不存在说明理由.2016-2017学年度上学期期末考试高二数学（理）答案一. 选择题:1.B2.C3.A4.A5.B6.D7.B8.D9.B 10.C 11.C 12.A二. 填空题: 13. 2,1200<≥∃x x 14. 41515. )2,2( 16. ]21,1(+三. 解答题:17.解：过点P 作BC PE ⊥，垂足为E ，由勾股定理得：221922=-=-=BE PB PE所以，棱锥的表面积 28422221422+=⨯⨯⨯+⨯=S -----5分过点P 作ABCD PO 平面⊥，垂足为O ，连接OE . 由勾股定理得：71822=-=-=OE PE PO所以，棱锥的体积 37472231=⨯⨯⨯=V ------10分18.（1）证明：将方程033)12()1(=-+--+m y m x m 变形为 03)32(=-+++-y x m y x解方程组⎩⎨⎧=-+=+-03032y x y x 得：⎩⎨⎧==21y x 所以，不论m 取何实数值，此直线必过定点)2,1(.-----6分(2)解：设所求直线交x 轴y 轴分别为点),0(),0,(b B a A由中点坐标公式得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+220120ba4,2==∴b a所以直线的方程为：142=+yx即042=-+y x ------12分19． 解: （1）以DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴建立空间直角坐标系xyz D -，可得：)1,0,0(),1,1,1(),0,1,0(),0,1,1(),0,0,1(11D B C B A ，则中点 )1,21,21(),21,1,1(F E因)1,1,0(),0,1,1(),21,21,21(1=-=--=→→→AB AC EF 所以0,01=∙=∙→→→→AB EF AC EF1,AB EF AC EF ⊥⊥ 而A AB AC =⋂1 所以 ⊥EF 平面C AB 1 -------- 6分（2）设平面AEF 的一个法向量为),,(1z y x n =→，因)21,21,21(),21,1,0(--==→→EF AE由⎪⎩⎪⎨⎧=+--=+0212121021z y x z y 令2=z 得 )2,1,3(1-=→n 同理平面CEF 的法向量为)2,3,1(2--=→n 由71,cos 21->=<→→n n所以二面角C EF A --的余弦值是71 -------12分20.解：(1)设圆M 的方程为)0()()(222>=-+-r rb y a xD C B A由已知可得: ⎪⎩⎪⎨⎧=+==+222221r a b a r b a ,解方程组得: ⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=⎪⎩⎪⎨⎧===211或211r b a r b a 所以, 圆M 的方程为2)1()1(22=-+-y x 或2)1()1(22=+++y x -----6分 (2)当圆M 的方程为2)1()1(22=-+-y x 时, 圆心M 到直线8-=x y 的距离为: 242811=--=d同理, 当圆M 的方程为2)1()1(22=+++y x 时, 圆心M 到直线8-=x y 的距离也为: 24=d所以, 点N 到直线8-=x y 距离的最小值为23224=- -------12分21.解 解法1：(1)证明：∵点O 、E 分别是A 1C 1、AA 1的中点， ∴OE ∥AC 1，又∵EO ⊄平面AB 1C 1，AC 1⊂平面AB 1C 1， ∴OE ∥平面AB 1C 1. -------4分 (2)∵AO ⊥平面A 1B 1C 1， ∴AO ⊥B 1C 1，又∵A 1C 1⊥B 1C 1，且A 1C 1∩AO＝O ， ∴B 1C 1⊥平面A 1C 1CA ， ∴A 1C ⊥B 1C 1.又∵AA 1＝AC ，∴四边形A 1C 1CA 为菱形， ∴A 1C ⊥AC 1，且B 1C 1∩AC 1＝C 1， ∴A 1C ⊥平面AB 1C 1，∴AB 1⊥A 1C ，即异面直线AB 1与A 1C 所成的角为90°. ------8分 (3)∵O 是A 1C 1的中点，AO ⊥A 1C 1， ∴AC 1＝AA 1＝2，又A 1C 1＝AC ＝2，∴△AA 1C 1为正三角形， ∴AO ＝3，又∠BCA ＝90°， ∴A 1B 1＝AB ＝22，设点C 1到平面AA 1B 1的距离为d ，∵VA －A 1B 1C 1＝VC 1－AA 1B 1，即13·(12·A 1C 1·B 1C 1)·AO＝13·S△AA 1B·d.又∵在△AA 1B 1中，A 1B 1＝AB 1＝22， ∴S △AA 1B 1＝7，∴d ＝2217，∴A 1C 1与平面AA 1B 1所成角的正弦值为217. -------12分 解法2：∵O 是A 1C 1的中点，AO ⊥A 1C 1， ∴AC ＝AA 1＝2，又A 1C 1＝AC ＝2， ∴△AA 1C 1为正三角形， ∴AO ＝3，又∠BCA ＝90°， ∴A 1B 1＝AB ＝22，如图建立空间直角坐标系O －xyz ，则A(0,0，3)，A 1(0，－1，0)，E(0，－12，32)，C 1(0,1,0)，B 1(2,1,0)，C(0,2，3)．(1)∵OE →＝(0，－12，32)，AC 1→＝(0,1，－3)，∴OE →＝－12AC 1→，即OE ∥AC 1，又∵EO ⊄平面AB 1C 1，AC 1⊂平面AB 1C 1， ∴OE ∥平面AB 1C 1. -------4分 (2)∵AB 1→＝(2,1，－3)，A 1C →＝(0,3，3)， ∴AB 1→·A 1C →＝0， 即∴AB 1⊥A 1C ，∴异面直线AB 1与A 1C 所成的角为90°. -------8分 (3)设A 1C 1与平面AA 1B 1所成角为θ，A 1C 1→＝(0,2,0)， A 1B 1→＝(2,2,0)，A 1A →＝(0,1，3)，设平面AA 1B 1的一个法向量是n ＝(x ，y ，z)， 则⎩⎪⎨⎪⎧A 1B 1→·n ＝0，A 1A →·n ＝0，即⎩⎨⎧2x ＋2y ＝0，y ＋3z ＝0.不妨令x ＝1，可得n ＝(1，－1，33)， ∴sin θ＝cos 〈A 1C 1→，n 〉＝22·73＝217，∴A 1C 1与平面AA 1B 1所成角的正弦值为217. -------12分22. 解：（1）直线L ：0=--ab ay bx ，由题意得：552,2322=+==b a ab ac e 又有222c b a +=， 解得：1,422==b a椭圆的方程为1422=+y x . ——5分（2）若存在，则EN EM ⊥，设),(),,(2211y x N y x M ，则：21212211)1)(1(),1(),1(y y x x y x y x EN EM +--=-⋅-=⋅)(05))(12()1()2)(2()1)(1(212122121*=+++-+=--+--=x x k x x k kx kx x x联立⎪⎩⎪⎨⎧=+-=14222y x kx y ，得：01216)41(22=+-+kx x k ⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+>+⨯⨯--=∆∴221221224112,41160)41(124)16(k x x k k x x k k 代入（*）式，解得：1617=k ，满足0>∆ —— 12分11。
吉林省长春市五县联考高二上学期期末数学试卷(文科)含解析.doc
2016-2017学年吉林省长春市五县联考高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分•在每小题给出的四个选2 21.双曲线亠二1的实轴长是（）项中，只有一项是符合题目要求的.16 8A. 2B. 4逅C・2A/2D. 82. 在公差为d的等差数列｛冇｝中，"d>l〃是"3讣是递增数列〃的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3. 为了了解800名高三学生是否喜欢背诵诗词，从中抽取一个容量为20的样本, 若采用系统抽样，则分段的间隔k为（）A. 50B. 60C. 30 D・ 404.已知抛物线x2=2px （p>0）经过点线2）,则它的准线方程为（）A.尸一土B・ B C. C D・ D5. 从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如下，则这100个成绩的平均数为（）6. 某单位有员工220人，其屮女员工有72人，为做某项调查，拟采用分层抽样法抽取容量为15的样本，则男员工应选取的人数是（）A. 5B. 6C. 7D. 87. 已知椭圆C：話+分l（O<b<5）的长轴长、短轴长、焦距成等差数列，则25—该椭圆的方程是（）A. - 2B. 0C. -寺D. 1□・已知命题p ：直线x+2y -近=0与直线“+2厂6近=0之间的距离不大于1,命 题q ：椭圆2x 2+27y 2=54与双曲线9x 2 - 16y 2=144有相同的焦点，则下列命题为真 命题的是()A. pA (「q)B. (~'p) AqC. (~*p) A (「q)D. pAq2 212. 如图，Fi ，F2分别是双曲线丄分-分l(e>0, b>0)的左、右焦点，过Fia b的直线I 与双曲线分别交于点A, B,若AABF2为等边三角形，则双曲线的渐近A. B.x225C. D.兀在区间［-—y4小于0的概率为(838. 9H兀飞一］上任取一个数x,则函数f (x) =3sin (2x -—)的值不)2 D 卫 11 119.某班m 名学生在一次考试中数学成绩的频率分布直方图如图，若在这m 名学生中，数学成绩不低于100分的人数为33,则m 等于( )A. ±V3 B・ ±2 C・士庞 D. 土迈二、填空题(每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上)13. 若焦点在x轴上的椭圆罕+£"的离心率为吉，则仆・4 m 214. 已知函数f (x) = (x2+x- 1) e x,则f (x)的极大值为_____________ •JT 0 IT15. 在区间［-—,—亍T上任取一个数x,则函数f (x) =3sin (2x -—)的值不小于0的概率为_・16. 已知点A (4, 0),抛物线C： X?二8y的焦点为F,射线FA与抛物线和它的准线分别交于点M和N,则|FM|：|MN|= _____ ・三、解答题(本大题共6小题，共70分•解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤・)17. 在直角坐标系xOy屮，直线I的参数方程为为参数)，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为Q =2V3sin0 .(1) 写出直线I的普通方程及圆C的直角坐标方程；(2) 点P是直线I上的，求点P的坐标，使P到圆心C的距离最小.2 218. 己知p：方程x2+2mx+(m+2)=0有两个不等的正根；q：方程亠--^―=1irrt-3 2m- 1表示焦点在y轴上的双曲线.(1) 若q为真命题，求实数m的取值范围；(2) 若"p或q〃为真，"p且q〃为假，求实数m的取值范围.19. 某公司经营一批进价为每件4百元的商品，在市场调查时发现，此商品的销售单价x (百元)与日销售量y (件)之间有如下关系：2借助回归直线方程请你预测，销售单价为多少百元(精确到个位数)时,H利润最大？y (件) 108961(1) 求y关于x的回归直线方程；S (x t ~ x) (y£ - y) z x i y i_n x-y相关公式：E二---------- ：------ 二咒 ------ ,2壬_辰E (Xi- X)3 E x^-n72i=l i=l20. 如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名同学的投篮命中次数，乙组记录屮有一个数据模糊，无法确认，在图屮用x表示.(1)若乙组同学投篮命中次数的平均数比甲组同学的平均数少1,求x及乙组同学投篮命中次数的方差；(2)在(1)的条件下，分别从甲、乙两组投篮命中次数低于10次的同学中，齐随机选取一名，求这两名同学的投篮命中次数之和为16的概率.3 121. 已知椭圆：C： +y2=l,点M (0,-).(1) 设P是椭圆C上任意的一点，Q是点P关于坐标原点的对称点，记入二证•而, 求入的取值范围；(2) 已知点D(・l,・专)，E (1,・专)，P是椭圆C上在第一象限内的点，记I为经过原点与点P的直线，s为△DEM截直线I所得的线段长，试将s表示成直线I的斜率k的函数.22. 己知函数 f (x) =ax2 - (a+4) x+2lnx,其中xER.(1) 当时，求曲线y二f (x)的点(1, f (1))处的切线方程；(2) 当a>0时，若函数f (x)在区间[1, 2e]±的最小值为・4,求a的取值范围.2016-2017学年吉林省长春市五县联考高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分•在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.21.双曲线話-苓二1的实轴长是（）A. 2B. 4近C・ 2V2D・ 8【考点】双曲线的简单性质.2【分析】双曲线方程帚2■:二沖，由宀6,能求出双曲线的实轴长.2 2【解答】解：双曲线方程耳-备-二1屮,16 8Va2=16,・••双曲线的实轴长2a=2X4=&故选D.2. 在公差为d的等差数列&｝中，〃d>l〃是“｛冇｝是递增数列〃的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.【分析】根据递增数列的性质结果充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 【解答】解：若d>l,则VneN*, a n+i-a n=d>l>0,所以,｛a n｝是递增数列; 若｛aj是递增数列，则DneN*, a n+i - a n=d>0,推不岀d>l,故> r是是递增数列〃的充分不必要条件，故选：A3. 为了了解800名高三学生是否喜欢背诵诗词，从中抽取一个容量为20的样本, 若采用系统抽样，则分段的间隔k为( )A. 50B. 60C. 30 D・ 40【考点】系统抽样方法.【分析】根据系统抽样的定义进行求解.【解答】解：由于8004-20=40,即分段的间隔k二40.故选：D.4. 已知抛物线x2=2px (p>0)经过点线g, 2),则它的准线方程为( )A.尸一寺B・B C・C D・D【考点】抛物线的简单性质.【分析】把点2),代入抛物线的方程得寺=4p,解得p辛，即可求出它的z 4 lb准线方程.【解答】解：把点M(寺，2),代入抛物线的方程得*=4p,解得p二吉，所以它的准线方程为y=-寺.故选：A.5. 从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如下，则这100个成绩的平均数为( )【考点】众数、中位数、平均数.【分析】利用加权平均数计算公式求解.【解答】解：设这100个成绩的平均数记为^1X20.2X10.3X40.4X10.5X2^故选：A.6.某单位有员工120人，其中女员工有72人，为做某项调查，拟采用分层抽样 法抽取容量为15的样本，则男员工应选取的人数是()A. 5B. 6C. 7 D ・ 8【考点】分层抽样方法.【分析】总体的个数是120人，要抽一个15人的样本，则每个个体被抽到的概 率是寺，用概率去乘以男员工的人数，得到结果120 一 79【解答】解：男员工应抽取的人数为土卩门二X15二6・ 故选B.2 2號尹g<5)的长轴长、短轴长、焦距成等差数列，则该椭圆的方程是【考点】椭圆的简单性质. 【分析】设椭圆焦距为2c,由已知可得5+c 二2b,结合隐含条件求得b,则椭圆 方程可求.【解答】解：设焦距为2c, 厂 2 2则有药-b 二c ,解得匕2“6,(5+c 二2b2 2 x 丄 y 25 16故选：C.O 丁f&在区间［-Z ，上任取一个数X,则函数f (x) =3sin (2x -—)的值不7.已知椭圆C ：B.252 2U #+16T =1D.小于0的概率为( )【考点】几何概型.【分析】本题是儿何概型的考查，利用区间长度的比即可求概率.71【解答】解：・・•函数f (x) =3sin (2X-—),七―兀 2兀“4 r 兀—2兀 7兀「 ^xe[-V 丁]时'2x_T e[■—〒]'TT11 7 3 L当 2x - —10, H ],即[―»时，f (X )$0,7兀_兀则所求概率为卩=2芒 型 寻丁 ' 1") 故选：C.9.某班m 名学生在一次考试中数学成绩的频率分布直方图如图，若在这m 名学 牛中，数学成绩不低于100分的人数为33,则m 等于( )【考点】频率分布直方图.【分析】根据频率分布直方图，求出数学成绩不低于100分的频率，再根据数学 成绩不低于100分的人数为33求得m ・【解答】解：由频率分布直方图知，数学成绩不低于100分的频率为(0.030+0.020+0.010) X 10=0.6,・・•在这m 名学生中，数学成绩不低于100分的人数为33,Am=33^ 0.6=55.A.11B.11 U故选：D.10.函数f (x)二x+cosx在[0,冗]上的最小值为( )A. - 2B. 0 C・一寺D・ 1【考点】利用导数求闭区间上函数的最值.【分析】求出函数的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数的最小值即可. 【解答】解：・・・f' （x） =l-sinx^O,•I函数f （x）是在［0,兀］上的增函数，即 f （x）min=f （0） =1,故选：D.11.已知命题p：直线x+2y-近=0与直线x+2y-6近=0之间的距离不大于命题q：椭圆2x2+27y2=54与双曲线9x2 - 16y2=144有相同的焦点，则下列命题为真命题的是（）A. pA （「q） B・（~'p） Aq C・（~*p） A （~'q）D・ pAq【考点】命题的真假判断与应用；复合命题的真假.【分析】先判断命题p和命题q的真假，进而根据复合命题真假判断的真值表, 可得答案.【解答】解：对于命题P，| - I ___直线x+2y -逅=0与直线x+2y - 6^2=0的距离d=~~石存-------- 二710>1，所以命题P为假命题，于是「p为真命题；对于命题q，椭圆2x2+27y2=54与双曲线9x2 - 16y2=144有相同的焦点（±5, 0）,故q为真命题，从而（「p） /\q为真命题.pA （「q）, （「p） A （「q）, p/\q 为假命题，故选：B2 212.如图，F］, F2分别是双曲线耳-专1G>O, b>0）的左、右焦点，过Fi a b的直线I与双曲线分别交于点A, B,若AABF2为等边三角形，则双曲线的渐近线的斜率为（）A. ±^3 B・ ±2 C. 士魏 D. 土迈【考点】双曲线的简单性质.【分析】根据双曲线的定义算AF I F2中，|AFj=2a, |AF2〔=4a, iAABF2是等边三角形得ZF1AF2=120°,利用余弦定理算出c2=7a2,结合双曲线渐近线方程即可的结论. 【解答】解：根据双曲线的定义,可得|AFi| - |AF2|=2a,v A ABF2是等边三角形,即|AF2|=|AB|A |BFi|=2a又V |BF2| - |BF I|二2a,・・・ |BF2| = |BF1|+2a=4a,V ABF I F2中，|BFi|=2a, |BF2|=4a, ZF I BF2=120°|F I F2|2=|BF1|2+|BF2|2-2|BF I|>|BF2|COS120°即4c2=4a2+16a2 - 2 X 2a X4a X （-号）=28a2,解得c2=7a2,b=V6a,・・・双曲线的渐近线的斜率为土屆故选C.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）2 2 113.若焦点在x轴上的椭圆2_+匚"的离心率为则m=_3_・4 ID 2【考点】椭圆的简单性质.【分析】由己知可得a2, b?的值，求得c2=4-m,结合椭圆离心率列式求得m值.【解答】解：由已知a2=4, b2=m,则C2=4 - m,・•・/二弓二¥二£ 解得乔3・故答案为：3.“ 514. 己知函数f (x) = (x2+x - 1) ex,贝l」f (x)的极大值为_飞_・e【考点】利用导数研究函数的极值.【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极大值即可.【解答】解:Vf (x) = (x2+x- 1) e x,/.f (x) = (X2+3X) e x,由f' (x) <0,得・3<x<0；由 f (x) >0,得x>0 或x< - 3,5因此，f (x)的极大值为f ( -3)=—,e5故答案为：一T・e15. 在区间［-手，写］上任取一个数x,则函数f (x) =3sin (2x-芈)的值4 d o不小于0的概率为* •—11 —【考点】几何概型.【分析】本题是几何概型的考查，利用区间长度比即可求概率.【解答】解：在区间［-¥，晋］上任取一个数X,等于区间的长度为叨，在此范围内，满足函数f (x)二3sin(2x-学)的值不小于0的区间为［詈，, 0 1Z 1Z 兀区间长度为学，所以由几何概型的公式得到所求概率为缶厂十;12故答案为：16.已知点A (4, 0),抛物线C： x~8y的焦点为F,射线FA与抛物线和它的准线分别交于点M和N,则|FM|：|MN|= 1： V5・【考点】抛物线的简单性质.【分析】如图所示，由抛物线定义知|MF|=|MH|,得到|FM|：|MN|=|MH|：|MN|,根据△MHNS^FOA,即可求出答案.【解答】解：如图所示，由抛物线定义知|MF|=|MH|,所以|FM|：|MN|=|MH|：|MN|.由于ZXIVIHN s^FOA,,[nl|MH| |OF | 2_1；J W=W=4=I，贝I J|MH|：|MN|=I：忑,即|FM|：|MN|=I：反.三、解答题(本大题共6小题，共70分•解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤・)17.在直角坐标系xOy中，直线I的参数方程为｛Jgjt为参数人以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为P=2V3sin0 .(1) 写出直线I的普通方程及圆C的直角坐标方程；(2) 点P是直线I上的，求点P的坐标，使P到圆心C的距离最小.【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程.【分析】(1)由已知得t 二x ・3,从而y=V3(x-3),由此能求岀直线丨的普通方 程；由P=2V3sin9 ,得p 2=2V3P sin0，由此能求出圆C 的直角坐标方程.(2)圆C 圆心坐标C (0,馅)，设P (3+t, \<3t),由此利用两点间距离公式能求出点P 的坐标，使P 到圆心C 的距离最小.At=x ・ 3,・・・y=V^(x- 3),整理得直线I 的普通方程为-y- 3^3=0,•・• P 二 2届 in & ,・•・ p 2=2V3P sin© , ••- x 2 + y 2=2V3y*・••圆C 的直角坐标方程为：x 2+(厂V3)2=3-(2)圆 C ： x 2+(y-V3)2=3的圆心坐标 c (0, V3).・・•点P 在直线I ： 7^-卩-3逅二0上，设P(3+t, V3t), 则 I PCI =V (3+t )2+(V3t "V3)2=V4t 2+12^・・・1二0时，| PC|最小，此时P (3, 0).2 218.已知p ：方程x 2+2mx+(m+2)=0有两个不等的正根；q ：方程二=- 二1irH-3 2ITI _ 1表示焦点在y 轴上的双曲线.(1) 若q 为真命题，求实数m 的取值范围； (2) 若“p 或q 〃为真，为假，求实数m 的取值范围.【考点】复合命题的真假.【分析】(1)根据双曲线的标准方程进行求解即可.(2)根据复合命题真假关系得到p, q 两命题应一真一假，进行求解即可.2 2【解答】解：(1)由已知方程化■--^―=1表示焦点在y 轴上的双曲线,m+3 2m- 1则b-2m>V 得'得 *-3,即 q ： m< - 3.【解答】解：(1)V 在直角坐标系xOy 中，直线I 的参数方程为 rx=3+t(t 为参数),(2)若方程x3 4+2mx+ (m+2)二0有两个不等的正根A=4m2 - 4(irH-2)>0则-2m>0 ,解得-2VmV-l,即p： - 2<m< - 1.in+2>0因P或q为真，所以P、q至少有一个为真.乂p且q为假，所以p, q至少有一个为假.因此，p, q两命题应一真一假，当p为真，q为假时，J 解得一2<m< - 1；f 10^2或10》- 1当P为假，q为真时，(* — 3 ，解得综上，-2VmV - 1 或mV - 3.19. 某公司经营一批进价为每件4百元的商品，在市场调查时发现，此商品的销售单价x (百元)与日销售量y (件)之间有如下关系：x(百元) 56789y (件) 108961n _ _ n _ _E (x4_ x) (y. _ y) E x-y. _n x-y所以， ________________ -—戶________________ =218^X7X6.8 =切丛，n _ 9n _ 255- 5X 49 '3 求y关于x的回归直线方程；4借助回归直线方程请你预测，销售单价为多少百元(精确到个位数)时，H利润最大？n _ _ n _ _S (x t ~ x) (y£ - y) Z x i y i_n x-y相关公式：E二---------- ：——二咒---------- ，a=? - b^.E (Xi- x)2 E x^-n72i=l i=l【考点】线性回归方程.【分析】(1)求求出回归系数，即可y关于X的回归直线方程；(2)销售价为x时的利润为(x- 4) ( - 2X+20.8) = - 2x2+28.8x - 83.2,即可得出结论. 【解答】解：(1)因为x=7, y =6.8,E E x^-nx2i=l i=l于是得到y关于x的回归直线方程y= - 2X+20.8.(2)销售价为x 时的利润为(x - 4) ( - 2X+20.8) = - 2x2+28.8x - 83.2,当吋，日利润最大.20. 如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名同学的投篮命中次数，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中用X表示.（1）若乙组同学投篮命屮次数的平均数比甲组同学的平均数少1,求x及乙组同学投篮命中次数的方差；（2）在（1）的条件下，分别从甲、乙两组投篮命中次数低于10次的同学中，各随机选取一名，求这两名同学的投篮命中次数之和为16的概率.屮迫9 8 70 1 H 8 91 10【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率.【分析】（1）依题意得求出x=6,运二#,由此能求出乙组同学投篮命中次数的方差.（2）记甲组投篮命中次数低于20次的同学为A】，A2, A3,他们的命中次数分别为9, 8, 7.乙组投篮命中次数低于10次的同学为Bi，B2, B3, B4,他们的命中次数分别为6, 8, 8, 9.由此利用列举法能求出这两名同学的投篮命中次数之和为16的概率•【解答】解：（1）依题意得:x+gX 2+9+10 ,7+8+9+11X2 55 _ 5解得x=6, x乙二乎，・•・乙组同学投篮命中次数的方差S2-| [（6 晋）J（8-爭）冬2+（9-詈）2+ （10 一学）2]=1.76・b（2）记甲组投篮命中次数低于10次的同学为A】，A2, A3,他们的命中次数分别为9, 8, 7.乙组投篮命中次数低于10次的同学为B］, B2, B3, B4,他们的命中次数分别为6,8, 8, 9.依题意，不同的选取方法有：（Ai，B］）, （A】，B2）, （A】，B3）, （Ai，B4）, （A2，B］）, （A2，B2）, （A2，B3）,（A2, B4）, （A3, Bi）, （A3, B2）, （A3, B3）, （A3, B4）共12 种.设〃这两名同学的投篮命中次数之和为16〃为事件，则中恰含有（A2B2）, （A2, B3）, （A3, B4）共 3 种. 这两名同学的投篮命屮次数Z和为16的概率P （C）二寻斗.2 121.已知椭圆：C： +y2=l,点M （0,-）.（1）设P是椭圆C上任意的一点，Q是点P关于坐标原点的对称点，记X=MP*MQ，求入的取值范围；（2）已知点D（・l,・专），E （1,・*）, P是椭圆C上在第一象限内的点，记I 为经过原点与点P的直线，s为△DEM截直线I所得的线段长，试将s表示成直线I 的斜率k的函数.【考点】椭圆的简单性质.【分析】（1）设P （xo，y°），则Q（ - xo，- y°），MP= （x。