远期 期货的定价与套利交易 兼容模式

金融工程——期权与期货市场基本原理2016/5/7立信金融张利兵1本章内容（较难）•无套利的基本概念•商品远期的定价分析与套利交易•远期外汇合约定价分析与套利交易•远期利率协议定价分析与套利交易2016/5/7立信金融张利兵2一、无套利的基本概念无套利是指这样一种市场状态：不存在价格上“低买高卖”、或从收益率角度上的“高买低卖”的机会。

如果存在套利机会，则市场中可以构造出某种交易组合获利，而该交易组合的成本<=0。

等价关系：无套利时，未来价值相同的资产，应具有相同的成本（价格）；当前价值相同的资产，应具有相同的“终值”（总收益）。

简单数学上，无套利表现为价格或总收益的“等式”，这就是资产的定价。

2016/5/7立信金融张利兵3Case1：（无）套利？1.不考虑买卖价差。

相同牌子的啤酒，大学城有两家商店售价不同。

(商品，价格)2.同一时间，美元人民币汇率,东京市场1:6.25,伦敦市场1:6.30。

（外汇，价格）3.同一时间，某上市公司股票上海市场价格6.5，香港市场价格（港股）8.5（港币），港币人民币汇率：0.8。

（股票，价格）4.假设中国与A国维持固定汇率。

中国国债利率5%, A国国债收益率4.5%。

（债券，收益率）2016/5/7立信金融张利兵4二、商品远期定价分析与套利交易（一）现货价格与远期价格的基本关系1. 基本原理（1）标的：当前价格P,已知；未来价格P T,未知。

不考虑商品存储、损坏等情况。

（2）远期合约：以合同价格X，在T时刻进行标的商品买卖，X待定。

合同的现值为零就可保证X为远期价格。

2016/5/7立信金融张利兵52016/5/7立信金融张利兵6（3）远期合约（多头）在T时的价值为T P X从交易角度来看：可以看出，这份合约意味着在T时，需要卖空面值为X的债券（-X），同时买入一份标的商品（+P T ）。

我们可以在当前就构造出这份合约：一份标的商品多头+ 一份面值为X的无风险债券空头，然后持有到到期时间T。

*2.扩展情况（了解）（1）如果商品有存储费用（2）如果存储期间还会发生商品损耗（3）如果商品在存储期间可以带来收益这些情况下，需要把存储费用、损耗、收益等考虑进来：a.存储费用、损耗增大期初购买标的商品的成本，从而“抬高商品期初价格”，因此增大商品的远期价格；b.商品在到期前存在收益（如租金），实际上降低了期初购买该商品的成本，从而“降低了商品期初价格”，因此降低了商品的远期价格。

2016/5/7立信金融张利兵9（二）商品远期的套利交易分析1.套利交易基本思想（重要）（1）出现套利交易时，对当前价格偏低的资产做多，同时卖空当前价格偏高的资产，实现当前价格的“低卖高买”；在将来，卖出当初做多的资产，买入当初卖空的资产，实现平仓。

（2）也可以对收益率偏高的资产做多，同时卖空收益率偏低的资产，实现收益率的“高买低卖”；在将来，卖出当初做多的资产，买入当初卖空的资产，从而实现平仓。

（3）整个交易过程中，无需投资者具有初始资金，而实现“空手套白狼”的效果。

2016/5/7立信金融张利兵101）从X/(1+r)=P角度（1）“>”说明：或者远期价格（X）偏高，或者商品现货价格(P)偏低，或者无风险利率(r)偏大。

最简单的做法，由于X/(1+r)>P，说明左边对应的无风险证券价格偏高，故应卖空；右边对应现货的价格偏高，应该买进。

因此对应的交易应该是：a.卖空面值为X的无风险债券（如以r的利率借入资金）获得资金X/(1+r)，以价格P买入现货,结余资金X/(1+r)-P；b.将来再以价格X买入无风险债券，以P T价格卖出现货: X-P T——这一步直接由现在卖空远期合约替代。

2016/5/7立信金融张利兵12（2）“<”，说明左边资产价格偏低，右边资产价格偏高。

因此从现价角度来说，应买入左边资产，卖出右边资产。

套利交易如下：a.当前，买入面值为X的债券（支付X/(1+r)），卖空标的商品(获得P)；b.将来，再卖出到期的债券（获得X）,买回卖空的标的商品（支付P T）：P T-X ——这一步直接由当前的远期合约（多头）代替。

即在进行a步交易的同时，持有相应远期合约的多头头寸即完成套利交易。

2016/5/7立信金融张利兵142)从X=P(1+r)角度由于左边和右边资产的总收益率都是（1+r），因此，从总收益率这个角度不能直接得到套利交易策略。

但因为X=P(1+r)稍作变换就回到X/(1+r)=P，因此只需要考虑角度“1）”即可。

2016/5/7立信金融张利兵16Case2：商品远期套利交易已知：某农产品当前价格为1500元/吨，3月后远期价格为1600元/吨。

年利率为3%。

请问：（1）这样的市场条件有无套利机会？（2）如果有，请问可如何套利？2016/5/7立信金融张利兵17Case2 说明（从X/(1+r)=P角度）（1）判断是否无套利，只需看X/(1+r)=P是否满足。

左边=1600/(1+3%/4)=1588.089；右边=1500；“=”不成立，故存在套利机会。

（2）因为左边>右边，故左边对应的资产价格偏高，右边对应的资产价格偏低。

故套利交易为：a.卖出面值为1600的债券（或以年利率3%借入1600元），买入价格为1500的商品1吨：1500-1588.089，并持有到3个月后；b.将来买回卖出的债券（偿还1600元），同时卖出3个月前买入的商品：1600-P T。

获得平仓。

这一步交易直接采用远期替代，即在交易步骤a的同时，在远期市场上签订远期合约：３个月后以1600元/吨的价格卖出1吨该农产品。

整个套利交易获利1588.089-1500=88.089元。

如果将这样的套利交易放大100倍，则套利获利也放大100倍。

2016/5/7立信金融张利兵18三、远期外汇合约定价与套利交易（一）远期汇率与即期汇率的关系1.基本原理核心问题：现在如何确定一段时间（如3M）以后，两种货币的汇率？以外币同本币之间的直接汇率为例：（1）外币即期汇率为e,即期利率为i f,均已知；未来的T时，汇率为e T,未知；本币即期利率为i。

（2）远期汇率为X，待定。

2016/5/7立信金融张利兵192016/5/7立信金融张利兵20（3）在T时，这份到期的远期合约（多头）价值为Te X 从交易角度来看：可以看出，这份合约意味着在T时，需要卖空面值为X的本币债券（-X），同时买入一单位标的资产，即外币（+e T ）。

我们可以在当前就构造出这份合约：低于一单位的外币多头（按本币计价）+ 一份面值为X 的无风险债券空头，然后持有到到期时间T。

附加问题（1）为什么现在构造这个组合，只需要购买低于1单位的外币？答：因为货币的时间价值，未来的1单位货币，只相当于现在不足1单位的货币。

（2）对应商品远期合约，如果要构造商品远期，在不考虑商品的损耗下，当前只需购买一份商品；若考虑商品的损耗，当前需要购买的商品应大于1份（但最后得到1份，相当于增加了标的商品的成本）。

2016/5/7立信金融张利兵212016/5/7立信金融张利兵242.备选理解方式(容易)思路：无套利时，相同的投入应得到价值相等的期望回报。

11+i f ee(1+i) 外币本币兑换X=？X(1+i f )= e(1+i)(2) “＜”，意味着左边的资产价格相对偏低，右边的资产价格相对偏高。

因此应购买左边的资产，卖空右边的资产；将来再出售左边的资产，购回右边的资产来获利。

a.以即期汇率e购买1/(1+ i f)单位外币，并以i f的利率贷放出去（如买外国国债、存入外汇帐户等），同时卖空面值为X的本币债券；b.将来，以e T的价格（汇率）连本带息卖出共1单位的外币，同时以面值X买回卖空的本币国债。

这样整个帐户头寸获得平仓，而在交易的一开始就已获得套利收益。

对“b”，直接用远期外汇交易中的“卖出”交易代替，即远期外汇合约空头头寸。

2016/5/7立信金融张利兵282016/5/7立信金融张利兵302）从角度(1)(1)f e i X i +=+（1）“>”，说明左边资产（本币）总收益率高于右边资产（外币），因此…（2）“<”，说明左边资产（本币）总收益率低于右边资产（外币），因此…当前，做空右边的资产：以i f 的利率借入外币；做多左边的资产：将借入的外币以e换成本币元，再以收益率i投资（购买本币债券）；将来，反向操作平仓（远期合约代替）。

当前，做空左边的资产：以利率i借入本币，以e兑换成外币；做多右边的资产：将兑换的外币以i f 的利率借出（购买外币债券）；将来，反向操作平仓（远期合约代替）。

2016/5/7立信金融张利兵31“>”说明两个交易步骤对应起来结果如下：e e -(1)(1)T f e i e i +-+(1)(1)T f f e i X i +-+期初期末a. b. 等待借入1元外币的价值（本币计价）本币投资期末所得借入外币换成本币进行投资外币负债的市场价值（本币计价）等待远期合约多头，规模：1+i f 期初成本为0，期末头寸平仓，出现>0的获利。

2016/5/7立信金融张利兵32“<”说明a和b两个交易步骤对应起来结果如下：e e -(1)(1)T f e i e i +-+(1)(1)f T f X i e i +-+期初期末a. b. 等待借入e 元本币的价值外币投资期末所得换成外币币进行投资（本币计价）本币负债的价值远期合约空头，规模：1+i f等待期初成本为0，期末头寸平仓，出现>0的获利。

Case３：现汇与期汇套利交易已知：A国(外国)货币与B国(本国) 货币的即期汇率为1：6.50，6个月后远期汇率为1:6.60。

A国即期年利率为3%，B国即期年利率为5%。

请问：（1）两国货币间有无套利机会？（2）如果有套利机会，如何套利？2016/5/7立信金融张利兵332.期汇+期汇：远期+远期（了解）两个期限不同的远期外汇合约，分别同即期外汇交易之间存在着关系。

（1）如果两个远期外汇合约同即期交易之间不存在套利关系，这两个远期合约之间也不存在套利关系；（2）任意一个远期外汇合约同即期交易之间存在着套利关系，而另一个同即期之间不存在套利关系，则这两个远期合约之间存在套利关系，那么也可以通过现价“低买高卖”或总收益“高买低卖”来套利。

一般来说，只要关注某个远期与即期之间存在套利机会与否即可。

2016/5/7立信金融张利兵35附加说明：汇率价差的影响（了解）我们在定价方面的分析不考虑买卖汇差，在现实中，由于汇差的存在，使得套利交易稍微复杂一些，但分析方式仍然一致。

验证是否存在套利机会，两种资产需要分别用“一买价和一卖价”来验算；找到合适的套利机会，也需要在交易中采用对应的买卖价格来进行。