人教版高中数学必修一第一章集合
3
3
A.2
B.3
C.4
D.5
3.填空
x y 2 （1）方程组 的解集用列举法表示 x y 5
为_______；用描述法表示为
.
（2）集合 { ( x , y ) | x y 6, x N , y N } 用列举法表示为 .
复习回顾
1、元素和集合的定义 2、集合的特性 3、元素和集合的关系 4、集合的表示方法 实数有相等关系，大小关系，类比 实数之间的关系，集合之间是否具备类 似的关系？
x∈A，称A是B的真子集.
记作AB，或BA.
示例4：考察下列集合，并指出集合中的 元素是什么？ A＝{(x, y)| x＋y＝2}； B＝{x| x2＋1＝0，x∈R}.
示例4：考察下列集合，并指出集合中的 元素是什么？ A＝{(x, y)| x＋y＝2}； B＝{x| x2＋1＝0，x∈R}.
A表示的是x＋y＝2上的所有的点； B没有元素.
不含任何元素的集合为空集，记作. 规定：空集是任何集合的子集，空集 是任何集合的真子集.
4.空 集
示例4：考察下列集合，并指出集合中的 元素是什么？ A＝{(x, y)| x＋y＝2}； B＝{x| x2＋1＝0，x∈R}.
A表示的是x＋y＝2上的所有的点； B没有元素.
集合的概念
一般地,我们把研究对象统称为元素,把一些 元素组成的总体叫做集合(简称为集).
思考：
（1）世界上最高的山能不能构成集合？ （2）世界上的高山能不能构成集合？ （3）由实数1、2、3、1组成的集合有几个元素？ （4）由实数1、2、3、1组成的集合记为A,由实数3、 1、2、组成的集合记为B,这两个集合相等吗？
练习1：观察下列各组集合，并指明两个 集合的关系 ① A＝Z ，B＝N； AB ② A＝{长方形}， B＝{平行四边形方形}； AB ③ A＝{x|x2－3x＋2＝0}， B＝{1，2}.
练习1：观察下列各组集合，并指明两个 集合的关系 ① A＝Z ，B＝N； AB ② A＝{长方形}， B＝{平行四边形方形}； AB ③ A＝{x|x2－3x＋2＝0}， B＝{1，2}. A＝B
B＝{x | ax－1＝0},
A表示的是x＋y＝2上的所有的点； B没有元素.
4.空 集
示例4：考察下列集合，并指出集合中的 元素是什么？ A＝{(x, y)| x＋y＝2}； B＝{x| x2＋1＝0，x∈R}.
A表示的是x＋y＝2上的所有的点； B没有元素.
不含任何元素的集合为空集，记作.
4.空 集
示例4：考察下列集合，并指出集合中的 元素是什么？ A＝{(x, y)| x＋y＝2}； B＝{x| x2＋1＝0，x∈R}.
元素与集合的关系
由于集合是一些确定对象的集体,因此可以看成 整体,通常用大写字母A,B,C等表示集合.而用 小写字母a,b,c等表示集合中的元素. 元素与集合的关系有两种: 如果a是集A的元素，记作:
a A
A
如果a不是集A的元素，记作：a
例如，用A表示“ 1~20以内所有的质数”组 成的集合，则有3 ∊A，4 ∉A，等等。
3.无序性
集合的表示方法
(1) 您能用自然语言描述集合｛2,4,6,8｝吗?
小于10的正偶数的集合
(2) 您能用列举法表示不等式x-7<3的解集吗? 不能一一列举
(请阅读课本P4例2前的内容)
{ x R | x 10}
{ x | x 2 0}
2
{ x | 10 x 20 } ﹨
常用的数集
数集 自然数集(非负整数集) 正整数集 整数集 符号 N N* 或N+ Z
有理数集
实数集
Q
R
判断Q与N,N*,Z的关系? 课堂练习P5 第1题 解析:判断一个元素是否在某个集合中,关键在于 弄清这个集合由哪些元素组成的.
集合的表示方法 问题 (1) 如何表示“地球上的四大洋”组成的集合? (2) 如何表示“方程(x-1)(x+2)=0的所有实数根”组成的集 合? ｛太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋｝ ｛1,-2｝ 把集合中的元素一一列举出来,并用花括号｛｝括起来表示 （注意：元素与元素之间用逗号隔开） 集合的方法叫做列举法. 例1 用列举法表示下列集合： 一个集合中的元素 (1)小于10的所有自然数组成的集合； 的书写一般不考虑 2 (2)方程 x x 的所有实数根组成的集合； 顺 序 ( 集 合 中 元 素 的无序性). (3)由1~20以内的所有素数组成的集合. 解：(1)A={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}. (2)B={0，1}. (3)C={2，3，5，7，11，13，17，19}. 1.确定性 2.互异性
确定性：给定的集合，它的元素必须是确定
的，也就是说给定一个集合，那么任何一个元素在 不在这个集合中就确定了
互异性：一个给定的集合中的元素是互不相 同的，即集合中的元素不能相同。 无序性：集合中的元素是无先后顺序的，即
集合里的任何两个元素可以交换位置
这些性质都是从概念中得到的,概念是知识的生长点,思维的发源地.
{ {1 ④ {1, 2} {1}， 2} ， , 2} ⑤{} ⑥{(0，0)}＝{0}.
错误个数为
A.3个 B.4个
(A)
C.5个 D.6个
例3设集合A＝{1, a, b}，
B＝{a, a2, ab}，
若A＝B，求实数a， b.
例4已知A＝{x | x2－2x－3＝0},
例1⑴写出集合{a，b}的所有子集； ⑵写出所有{a，b，c}的所有子集； ⑶写出所有{a，b，c，d}的所有子集.
一般地，集合A含有n个元素， 则A的子集共有2n个，A的真子集 共有2n－1个.
A.3个
B.4个
C.5个
D.6个
例2在以下六个写法中 ①{0}∈{0，1} ②{0} ③{0，－1，1}{－1，0，1}
2012.7.1
“请我们班所有的女生起立！”，咱们班所有的 女生能不能构成一个集合？ “请我们班身高在1.70米的男生起立！”，他们 能不能构成一个集合？ 其实，生活中有很多东西能构成集合，比如新华 字典里所有的汉字可以构成一个集合等等。大家 能不能再举一些生活中的实际例子呢？
集合的含义与表示
德国数学家，集合论的 创始者。1845年3月3 日生于圣彼得堡（今苏 联列宁格勒），1918 年1月6日病逝于哈雷。
了解康托尔
学习目标
1.了解集合的含义以及集合中元素的确定性、互异性与无序性.
2.掌握元素与集合之间的属于关系并能用用符号表示.
3.掌握常用数集及其专用符号，学会使用集合语言叙述数学问
题.
4.掌握集合的表示方法：自然语言、集合语言(列举法、描述 法)，并能相互转换.能选择适当的方法表示集合.
初中学习了哪些集合的实例 数集 自然数的集合,有理数的集合,不等式x-7<3 的解的集合… 点集 圆(到一个定点的距离等于定长的点的集合) 线段的垂直平分线(到一条线段的两个端点的距离 相等的点的集合),等等.
B
A
1.子 集 一般地，对于两个集合，如果A中 任意一个元素都是B的元素，称集合A 是集合B的子集，记作AB.读作“A包 含于B”或“B包含A”.这时说集合A是集 合B的子集. B
A
1.子 集 一般地，对于两个集合，如果A中 任意一个元素都是B的元素，称集合A 是集合B的子集，记作AB.读作“A包 含于B”或“B包含A”.这时说集合A是集 合B的子集. 注意：①区分∈； ②也可用. B
练习
P5
练习第2题
2．选择题 ⑴ 以下说法正确的( C )
(A) “实数集”可记为{R}或{实数集}或{所有实数} (B) {a,b,c,d}与{c,d,b,a}是两个不同的集合 (C) “我校高一年级全体数学学得好的同学”不能组 成一个集合,因为其元素不确定
⑵ 则实数 a 为( c )
(A) 2
已知2是集合M={ 0 , a , a 3 a 2 }中的元素，
2
(B)0或3
(C) 3
(D)0,2,3均可
（3）下列四个集合中，不同于另外三个的是： A.﹛y︱y=2﹜ B. ﹛x=2﹜ C. ﹛2﹜ D. ﹛x︱x2-4x+4=0﹜ (4) 由实数x, -x, x , ｜x｜, x 所组成的集合 中，最 多含有的元素的个数为（ ）
A
1.子 集 A＝{1，2，3} B＝{1，2，7} C＝{1，2，3，4，5} 这时, 我们说集合A是集合C的子集.
1.子 集 A＝{1，2，3} B＝{1，2，7} C＝{1，2，3，4，5} 这时, 我们说集合A是集合C的子集.
(若x A, 则x C , 则A C )
而从B与C来看，显然B不包含于C. 记为BC或CB.
示例3：A＝{1, 2, 7}，B＝{1, 2, 3, 7}，
3.真子集 示例3：A＝{1, 2, 7}，B＝{1, 2, 3, 7}， 如果AB，但存在元素x∈B，且
x∈A，称A是B的真子集.
3.真子集 示例3：A＝{1, 2, 7}，B＝{1, 2, 3, 7}， 如果AB，但存在元素x∈B，且
若AB，BA，则A＝B.
练习1：观察下列各组集合，并指明两个 集合的关系 ① A＝Z ，B＝N； ② A＝{长方形}， B＝{平行四边形方形}； ③ A＝{x|x2－3x＋2＝0}， B＝{1，2}.
练习1：观察下列各组集合，并指明两个 集合的关系 ① A＝Z ，B＝N； AB ② A＝{长方形}， B＝{平行四边形方形}； ③ A＝{x|x2－3x＋2＝0}， B＝{1，2}.
新课
示例1：观察下面三个集合, 找出它们之 间的关系:
A＝{1，2，3}
集合的概念 教学课件-人教A版(2019)高中数学必修第一册
3．[ 变条件] 已知集合 A 含有两个元素 1 和 a2，若“a∈A”， 求实数 a 的值．
解：由 a∈A 可知， 当 a＝1 时，此时 a2＝1，与集合元素的互异性矛盾， 所以 a≠1. 当 a＝a2 时，a＝0 或 1(舍去)． 综上可知，a＝0.
解题方法（根据集合中元素的特性求解字母取值(范围)的3个步骤）
[点睛] 对元素和集合之间关系的两点说明 (1)符号“∈”“∉”刻画的是元素与集合之间的关系．对 于一个元素 a 与一个集合 A 而言，只有“a∈A”与“a∉A”这 两种结果． (2)∈和∉具有方向性，左边是元素，右边是集合，形如 R ∈0 是错误的．
3．常用的数集及其记法
常用的 自然数 正整
数集 集
数集
记法
N N*或 N＋
整数 集
Z
有理 数集
Q
实数集
R
[小试身手]
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)你班所有的姓氏能组成集合．
(√ )
(2)新课标数学人教 A 版必修 1 课本上的所有难题．( × )
(3)一个集合中可以找到两个相同的元素．
(× )
2．下列元素与集合的关系判断正确的是
人教A版 必修 第一册
第一章 集合与常用逻辑用语
1.1 集合的概念
课程目标
1. 了解集合的含义；理解元素与集合的“属于”与“不属 于”关系；熟记常用数集专用符号． 2. 深刻理解集合元素的确定性、互异性、无序性；能 够用其解决有关问题． 3. 会用集合的两种表示方法表示一些简单集合。感受 集合语言的意义和作用。
[ 跟踪训练二] 2．已知集合 A 中有四个元素 0,1,2,3，集合 B 中有三个元素 0,1,2，
新人教版高中数学必修一全套教案
b. {(x,y) ∣ x+y=6 ，x、 y∈ N}用列举法表示为
.
c. 用列举法表示下列集合 , 并说明是有限集还是无限集 ?
(1){x ∣ x 为不大于 20 的质数 }; (2){100
以下的 ,9 与 12 的公倍数 };
(3){(x,y)
∣ x+y=5,xy=6};
d. 用描述法表示下列集合 , 并说明是有限集还是无限集 ?
1. 1. 2 集 合间的基 本关系 （1 课时 ）
教学目标： 1. 理解子集、真子集概念；
2. 会判断和证明两个集合包含关系；
3. 理解“ ”、“ ”的含义； 4. 会判断简单集合的相等关系；
5. 渗透问题相对的观点。
教学重点： 子集的概念、真子集的概念
教学难点： 元素与子集、属于与包含间区别、描述法给定集合的运算
, 以提供某种规律 ,
例 1．用列举法表示下列集合： (1) 小于 5 的正奇数组成的集合； (2) 能被 3 整除而且大于 4 小于 15 的自然数组成的集合； (3) 从 51 到 100 的所有整数的集合； (4) 小于 10 的所有自然数组成的集合；
(5) 方程 x 2 x 的所有实数根组成的集合；
②若 a Ν ,b Ν , 则 a+b 的最小值是 2 ④ x 2+4=4x 的解集可表示为 {2,2}
其中正确命题的个数是 ( )
A ．0
B
．1
C
．2
D
．3
（ IV ）课时小 结
1. 集 合的含 义；
2. 集合元素的三个特征中，确定性可用于判定某些对象是否是给定集合的元素，互异性可用于简化集
合的表示，无序性可用于判定集合的关系。
人教版高中数学必修1课件：第一章__集合与函数概念_章末归纳总结课件
①方程(※)有两不等实根⇔Δ>0，方程(※)有两相等
实根⇔Δ＝0，方程(※)无实根⇔Δ<0，方程(※)有实数解
⇔Δ≥0.
②方程(※)有零根⇔c＝0.
Δ≥0 ③ 方 程 (※) 有 两 正 根 ⇔ x1＋x2>0
x1x2>0
⇔较小的根 x＝
－b－ 2a
Δ >0 (a>0)
⇔－f(02)b>a>00
.
(2)集合 A 是直线 y＝x 上的点的集合，集合 B 是抛物线 y＝x2 的图象上点的集合，∴A∩B 是方程组yy＝ ＝xx2 的解为坐 标的点的集合，∴A∩B＝{(0,0)，(1,1)}．
2．熟练地用数轴与Venn图来表达集合之间的关系 与运算能起到事半功倍的效果．
[例2] 集合A＝{x|x<－1或x>2}，B＝{x|4x＋p<0}， 若B A，则实数p的取值范围是________．
当 a≠0 时，应有 a＝1a，∴a＝±1.故选 D.
二、函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、最值 及应用
1．解决函数问题必须第一弄清函数的定义域
[ 例 1] 函 数 f(x) ＝ x2＋4x 的 单 调 增 区 间 为 ________．
[解析] 由x2＋4x≥0得，x≤－4或x≥0，又二次函数u ＝x2＋4x的对称轴为x＝－2，开口向上，故f(x)的增区间为 [0，＋∞)．
人教版高中数学必修一第一章知识点
第一章 集合与函数概念〖1.1〗集合【1.1.1】集合的含义与表示（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集.（3）集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ∉，两者必居其一. （4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(∅).【1.1.2】集合间的基本关系（6）子集、真子集、集合相等（7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它有21n -个非空子集，它有22n-非空真子集.（8）交集、并集、补集【1.1.3】集合的基本运算名称记号意义性质示意图交集A B{|,x x A∈且}x B∈（1）A A A=（2）A∅=∅（3）A B A⊆A B B⊆BA并集A B{|,x x A∈或}x B∈（1）A A A=（2）A A∅=（3）A B A⊇A B B⊇BA补集U A{|,}x x U x A∈∉且1()UA A=∅2()UA A U=【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法（1）含绝对值的不等式的解法不等式解集||(0)x a a<>{|}x a x a-<<||(0)x a a>>|x x a<-或}x a>||,||(0)ax b c ax b c c+<+>>把ax b+看成一个整体，化成||x a<，||(0)x a a>>型不等式来求解（2）一元二次不等式的解法判别式24b ac∆=-∆>0∆=0∆<二次函数2(0)y ax bx c a=++>的图象O 一元二次方程20(0)ax bx c a++=>的根21,242b b acxa-±-=（其中12)x x<122bx xa==-无实根20(0)ax bx c a++>>的解集1{|x x x<或2}x x>{|x}2bxa≠-R()()()U U UA B A B=()()()U U UA B A B=〖1.2〗函数及其表示 【1.2.1】函数的概念（1）函数的概念①设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →．②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数． （2）区间的概念及表示法①设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足a xb <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞． 注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须a b <．（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①()f x 是整式时，定义域是全体实数．②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1． ⑤tan y x =中，()2x k k Z ππ≠+∈．⑥零（负）指数幂的底数不能为零． ⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出．⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论． ⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义． （4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法：①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值． ③判别式法：若函数()y f x =可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程2()()()0a y x b y x c y ++=，则在()0a y ≠时，由于,x y 为实数，故必须有2()4()()0b y a y c y ∆=-⋅≥，从而确定函数的值域或最值．④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题．⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值． ⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值． ⑧函数的单调性法．【1.2.2】函数的表示法（5）函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种．解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系． （6）映射的概念①设A 、B 是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A 中任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的映射，记作:f A B →．②给定一个集合A 到集合B 的映射，且,a A b B ∈∈．如果元素a 和元素b 对应，那么我们把元素b 叫做元素a 的象，元素a 叫做元素b 的原象．yxo〖1.3〗函数的基本性质 【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性①定义及判定方法 函数的 性 质定义图象判定方法 函数的 单调性如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2,当x ．1．< x ．．2．时，都有f(x ．．．1．)<f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是增函数．．．． x 1x 2y=f(X)xy f(x )1f(x )2o（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象上升为增） （4）利用复合函数 如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x ．1．< x ．．2．时，都有f(x ．．．1．)>f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是减函数．．．． y=f(X)yxox x 2f(x )f(x )211（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象下降为减） （4）利用复合函数②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数． ③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()ug x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减．（2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质()f x 分别在(,]a -∞-、,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a 、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义 ①一般地，设函数()y f x =的定义域为I，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M=．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M=．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法 函数的 性 质定义图象判定方法 函数的 奇偶性如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．－．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做奇函．．数．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于原点对称）如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做偶函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于y 轴对称） ②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．〖补充知识〗函数的图象（1）作图利用描点法作图：①确定函数的定义域； ②化解函数解析式； ③讨论函数的性质（奇偶性、单调性）； ④画出函数的图象． 利用基本函数图象的变换作图：要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象． ①平移变换0,0,|()()h h h h y f x y f x h ><=−−−−−−−→=+左移个单位右移|个单位0,0,|()()k k k k y f x y f x k ><=−−−−−−−→=+上移个单位下移|个单位②伸缩变换01,1,()()y f x y f x ωωω<<>=−−−−→=伸缩01,1,()()A A y f x y Af x <<>=−−−−→=缩伸③对称变换()()x y f x y f x =−−−→=-轴()()y y f x y f x =−−−→=-轴 ()()y f x y f x =−−−→=--原点1()()y x y f x y f x -==−−−−→=直线 ()(||)y y y y f x y f x =−−−−−−−−−−−−−−−→=去掉轴左边图象保留轴右边图象，并作其关于轴对称图象()|()|x x y f x y f x =−−−−−−−−−→=保留轴上方图象将轴下方图象翻折上去（2）识图对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系． （3）用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．。
新教材 人教A版高中数学必修第一册 第一章 集合与常用逻辑用语 知识点考点汇总及解题方法规律提炼
第一章集合与常用逻辑用语1.1.1集合的概念 (1)1.1.2集合的表示 (4)1.2集合间的基本关系 (8)1.3.1并集与交集 (13)1.3.2补集及集合运算的综合应用 (17)1.4.1充分条件与必要条件 (20)1.4.2充要条件 (24)1.5.1全称量词与存在量词 (28)1.5.2全称量词命题与存在量词命题的否定 (32)1.1.1集合的概念要点整理1．元素与集合的概念及表示(1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示．(2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示．(3)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的．2．元素的特性(1)确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”．(2)互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”．(3)无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”．温馨提示：集合含义中的“研究对象”指的是集合的元素，研究集合问题的核心即研究集合中的元素，因此在解决集合问题时，首先要明确集合中的元素是什么．集合中的元素可以是数、点，也可以是一些人或一些物．3．元素与集合的关系(1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A．(2)不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A．温馨提示：(1)符号“∈”“∉”刻画的是元素与集合之间的关系．对于一个元素a与一个集合A而言，只有“a∈A”与“a∉A”这两种结果．(2)∈和∉具有方向性，左边是元素，右边是集合，形如R∈0是错误的．4．常用的数集及其记法题型一集合的基本概念【典例1】判断下列每组对象的全体能否构成一个集合？(1)接近于2019的数；(2)大于2019的数；(3)育才中学高一(1)班视力较好的同学；(4)方程x2－2＝0在实数范围内的解；(5)函数y＝x2图象上的点．[思路导引] 构成集合的关键是要有明确的研究对象，即元素不能模糊不清、模棱两可．[解] (1)(3)由于标准不明确，故不能构成集合；(2)(4)(5)能构成集合．对集合含义的理解给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了，所谓“确定”，是指所有被“研究的对象”都是这个集合的元素，没有被“研究的对象”都不是这个集合的元素．题型二元素与集合的关系【典例2】(1)下列关系中，正确的有( )①12∈R；②2∉Q；③|－3|∈N；④|－3|∈Q.A．1个 B．2个 C．3个D．4个(2)集合A中的元素x满足63－x∈N，x∈N，则集合A中的元素为________．[思路导引] 判断一个元素是否为某集合的元素，关键是抓住集合中元素的特征．[解析] (1)12是实数；2是无理数；|－3|＝3，是自然数；|－3|＝3，是无理数．故①②③正确，选C．(2)当x＝0时，63－0＝2；当x＝1时，63－1＝3；当x＝2时，63－2＝6；当x≥3时不符合题意，故集合A中元素有0,1,2.[答案] (1)C (2)0,1,2判断元素与集合关系的2种方法(1)直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可．(2)推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征．题型三集合中元素的特性【典例3】已知集合A含有两个元素a和a2，若1∈A，则实数a的值为________．[思路导引] 由集合中元素的确定性和互异性切入．[解析] 若a＝1，则a2＝1，此时集合A中两元素相同，与互异性矛盾，故a≠1；若a2＝1，则a＝－1或a＝1(舍去)，此时集合A中两元素为－1,1，故a＝－1.综上所述a＝－1.[答案] －1[变式] (1)本例若将条件“1∈A”改为“2∈A”，其他条件不变，求实数a的值．(2)本例若去掉条件“1∈A”，其他条件不变，则实数a的取值范围是什么？[解] (1)若a＝2，则a2＝4，符合元素的互异性；若a2＝2，则a＝2或a＝－2，符合元素的互异性．所以a的取值为2，2，－ 2.(2)根据集合中元素的互异性可知，a≠a2，所以a≠0且a≠1.应用集合元素的特性解题的要点(1)集合问题的核心即研究集合中的元素，在解决这类问题时，要明确集合中的元素是什么．(2)构成集合的元素必须是确定的(确定性)，而且是互不相同的(互异性)，在书写时可以不考虑先后顺序(无序性)．(3)利用集合元素的特性求参数问题时，先利用确定性解出字母所有可能值，再根据互异性对集合中元素进行检验，要注意分类讨论思想的应用．1.1.2集合的表示1．列举法把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．温馨提示：(1)元素与元素之间必须用“，”隔开．(2)集合中的元素必须是明确的．(3)集合中的元素不能重复．(4)集合中的元素可以是任何事物．2．描述法(1)定义：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线．(2)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．温馨提示：(1)写清楚集合中元素的符号．如数或点等．(2)说明该集合中元素的共同特征，如方程、不等式、函数式或几何图形等．(3)不能出现未被说明的字母．题型一用列举法表示集合【典例1】 用列举法表示下列集合：(1)方程x (x －1)2＝0的所有实数根组成的集合；(2)不大于10的非负偶数集；(3)一次函数y ＝x 与y ＝2x －1图象的交点组成的集合．[思路导引] 用列举法表示集合的关键是弄清集合中的元素是什么，还要弄清集合中的元素个数．[解] (1)方程x (x －1)2＝0的实数根为0,1，故其实数根组成的集合为{0,1}．(2)不大于10的非负偶数即为从0到10的偶数，故不大于10的非负偶数集为{0,2,4,6,8,10}．(3)由⎩⎨⎧ y ＝x y ＝2x －1，解得⎩⎨⎧ x ＝1，y ＝1.故一次函数y ＝x 与y ＝2x －1图象的交点组成的集合为{(1,1)}．题型二用描述法表示集合【典例2】 用描述法表示下列集合：(1)正偶数集；(2)被3除余2的正整数的集合；(3)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合；(4)不等式3x －2<4的解集．[思路导引] 用描述法表示集合的关键是确定代表元素的属性和表示元素的共同特征．[解] (1)偶数可用式子x ＝2n ，n ∈Z 表示，但此题要求为正偶数，故限定n ∈N *，所以正偶数集可表示为{x |x ＝2n ，n ∈N *}．(2)设被3除余2的数为x ，则x ＝3n ＋2，n ∈Z ，但元素为正整数，故x ＝3n ＋2，n ∈N ，所以被3除余2的正整数集合可表示为{x |x ＝3n ＋2，n ∈N }．(3)坐标轴上的点(x，y)的特点是横、纵坐标中至少有一个为0，即xy＝0，故坐标轴上的点的集合可表示为{(x，y)|xy＝0}．(4)不等式3x－2<4可化简为x<2，所以不等式3x－2<4的解集为{x|x<2}．用描述法表示集合应注意的3点(1)用描述法表示集合，首先应弄清楚集合的属性，是数集、点集还是其他的类型．一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序数对来表示．(2)用描述法表示集合时，若描述部分出现元素记号以外的字母，要对新字母说明其含义或取值范围．(3)多层描述时，应当准确使用“且”和“或”，所有描述的内容都要写在集合内．题型三集合表示方法的应用【典例3】(1)若集合A＝{x|ax2－8x＋16＝0，a∈R}中只有一个元素，则a的值为( )A．1 B．4 C．0 D．0或1(2)已知A＝{x|kx＋2>0，k∈R}，若－2∈A，则k的取值范围是________．[思路导引] 借助描述法求值或范围的关键是弄清集合中元素的特征．[解析] (1)①当a＝0时，原方程为16－8x＝0.∴x＝2，此时A＝{2}；②当a≠0时，由集合A中只有一个元素，∴方程ax2－8x＋16＝0有两个相等实根，则Δ＝64－64a＝0，即a＝1.从而x1＝x2＝4，∴集合A＝{4}．综上所述，实数a的值为0或1.故选D．(2)∵－2∈A，∴－2k＋2>0，得k<1.[答案] (1)D (2)k<1[变式] (1)本例(1)中条件“有一个元素”改为有“两个元素”，其他条件不变，求a的取值范围．(2)本例(2)中条件“－2∈A ”改为“－2∉A ”，其他条件不变，求k 的取值范围．[解] (1)由题意可知方程ax 2－8x ＋16＝0有两个不等实根．∴⎩⎨⎧ a ≠0，Δ＝64－64a >0，解得a <1，且a ≠0.(2)∵－2∉A ，∴－2k ＋2≤0，得k ≥1.集合表示方法的应用的注意点(1)若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键．(2)与方程ax 2－8x ＋16＝0的根有关问题易忽视a ＝0的情况．集合的表示方法1．有限集、无限集根据集合中元素的个数可以将集合分为有限集和无限集．当集合中元素的个数有限时，称之为有限集；而当集合中元素的个数无限时，则称之为无限集．当集合为有限集，且元素个数较少时宜采用列举法表示集合；对元素个数较多的集合和无限集，一般采用描述法表示集合．对于元素个数较多的集合或无限集，其元素呈现一定的规律，在不产生误解的情况下，也可以列举出几个元素作为代表，其他元素用省略号表示．【典例1】 用列举法表示下列集合：(1)正整数集；(2)被3整除的数组成的集合．[解] (1)此集合为无限集，且有一定规律，用列举法表示为{1,2,3,4，…}．(2)此集合为无限集，且有一定规律，用列举法表示为{…，－6，－3,0,3,6，…}．[点评] (1){1,2,3,4，…}一般不写成{2,1,4,3，…}；(2)此题中的省略号不能漏掉．2．集合含义的正确识别集合的元素类型多是以数、点、图形等形式出现的．对于已知集合必须弄清集合元素的形式，特别是对于用描述法给定的集合要弄清它的代表元素是什么，代表元素有何属性(如表示数集、点集等)．【典例2】已知下面三个集合：①{x|y＝x2＋1}；②{y|y＝x2＋1}；③{(x，y)|y＝x2＋1}．问：它们是否为同一个集合？它们各自的含义是什么？[解] ∵三个集合的代表元素互不相同，∴它们是互不相同的集合．集合①{x|y＝x2＋1}的代表元素是x，即满足条件y＝x2＋1中的所有x，∴{x|y＝x2＋1}＝R.集合②{y|y＝x2＋1}的代表元素是y，满足条件y＝x2＋1的y的取值范围是y≥1，∴{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}．集合③{(x，y)|y＝x2＋1}的代表元素是(x，y)，可认为是满足条件y＝x2＋1的实数对(x，y)的集合，也可认为是坐标平面内的点(x，y)，且这些点的坐标满足y＝x2＋1.∴{(x，y)|y＝x2＋1}＝{P|P是抛物线y＝x2＋1上的点}．[点评] 使用特征性质描述来表示集合时，首先要明确集合中的元素是什么，如本题中元素的属性都与y＝x2＋1有关，但由于代表元素不同，因而表示的集合也不一样．1.2集合间的基本关系1．子集的概念温馨提示：“A是B的子集”的含义是：对任意x∈A都能推出x∈B.2．集合相等的概念如果集合A的任何一个元素是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么，集合A与集合B相等，记作A＝B.也就是说，若A⊆B 且B⊆A，则A＝B.3．真子集的概念温馨提示：在真子集的定义中，A B首先要满足A⊆B，其次至少有一个x ∈B，但x∉A.4.空集的概念题型一集合间关系的判断【典例1】判断下列两个集合之间的关系：(1)A＝{－1,1}，B＝{x|x2＝1}；(2)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；(3)A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x－5<0}；(4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}．[思路导引] 集合间基本关系的刻画均是由元素的从属关系决定的．[解] (1)用列举法表示集合B＝{－1,1}，故A＝B.(2)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故A B.(3)集合B＝{x|x<5}，用数轴表示集合A，B，如图所示，由图可知A B.(4)解法一(特殊值法)：两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于n∈N*，因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故N M.解法二(列举法)：由列举法知M＝{1,3,5,7，…}，N＝{3,5,7,9，…}，所以N M.判断集合间关系的3种方法(1)列举法：用列举法将两个集合表示出来，再通过比较两集合中的元素来判断两集合之间的关系．(2)元素特征法：根据集合中元素满足的性质特征之间的关系判断．(3)图示法：利用数轴或Venn图判断两集合间的关系．题型二有限集合子集、真子集的确定【典例2】(1)填写下表，并回答问题原集合子集子集的个数∅________________{a}________________{a，b}________________{a，b，c}________________由此猜想，含n个元素的集合的所有子集的个数是多少？真子集的个数及非空真子集个数呢？(2)求满足{1,2}M⊆{1,2,3,4,5}的集合M.[解] (1)原集合子集子集的个数∅∅ 1{a}∅，{a} 2{a，b}∅，{a}，{b}，{a，b} 4{a，b，c}∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}8猜想：含n个元素的集合的子集共有2n个，真子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个．(2)由题意可得{1,2}M⊆{1,2,3,4,5}，可以确定集合M必含有元素1,2，且含有元素3,4,5中的至少一个，因此依据集合M的元素个数分类如下：含有三个元素：{1,2,3}{1,2,4}{1,2,5}；含有四个元素：{1,2,3,4}{1,2,3,5}{1,2,4,5}；含有五个元素：{1,2,3,4,5}．故满足题意的集合M为{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}．(1)求解有限集合子集问题的3个关键点①确定所求集合，是子集还是真子集．②合理分类，按照子集所含元素的个数依次写出．③注意两个特殊的集合，即空集和集合本身．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．(2)与子集、真子集个数有关的3个结论 假设集合A 中含有n 个元素，则有： ①A 的子集的个数为2n 个； ②A 的真子集的个数为2n －1个； ③A 的非空真子集的个数为2n －2个．【典例3】 已知集合A ＝{x |－3<x <4}，B ＝{x |1－m <x ≤2m －1}，且A ⊆B ，求实数m 的取值范围．[思路导引] A ⊆B ，即集合A 中的数在集合B 中，特别注意A ＝∅的情况． [解] 由A ⊆B ，将集合A ，B 分别表示在数轴上，如图所示，则⎩⎨⎧1－m ≤－3，1－m <2m －1，4≤2m －1，解得m ≥4.故m 的取值范围是{m |m ≥4}．[变式] (1)本例中若将“A ⊆B ”改为“B ⊆A ”，其他条件不变，求m 的取值范围．(2)本例若将集合A ，B 分别改为A ＝{3，m 2}，B ＝{1,3,2m －1}，其他条件不变，求实数m 的值．[解] (1)由B ⊆A ，将集合A ，B 分别表示在数轴上，如图所示．∵B ⊆A ，∴当B ＝∅时，1－m ≥2m －1，解得m ≤23；当B ≠∅时，有⎩⎨⎧2m －1>1－m ，2m －1<4，1－m ≥－3，解得23<m <52.综上可知，m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪⎪m <52. (2)由A ⊆B ，按m 2＝1和m 2＝2m －1两种情况分类讨论． ①若m 2＝1，则m ＝－1或m ＝1.当m ＝－1时，B 中元素为1,3，－3，适合题意； 当m ＝1时，B 中元素为1,3,1，与元素的互异性矛盾． ②若m 2＝2m －1，则m ＝1，由①知不合题意． 综上所述，m ＝－1.由集合间的关系求参数的2种方法(1)当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，此时应注意端点处是实点还是虚点．(2)当集合为不连续数集时，常根据集合包含关系的意义，建立方程求解，此时应注意分类讨论思想的运用．1.3.1并集与交集1．并集的概念及表示2.交集的概念及表示温馨提示：(1)两个集合的并集、交集还是一个集合．(2)对于A∪B，不能认为是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合．因为A与B可能有公共元素，每一个公共元素只能算一个元素．(3)A∩B是由A与B的所有公共元素组成，而非部分元素组成．3．并集、交集的运算性质【典例1】(1)若集合A＝{0,1,2,3}，B＝{1,2,4}，则集合A∪B等于( ) A．{0,1,2,3,4} B．{1,2,3,4} C．{1,2} D．{0}(2)已知集合P＝{x|x<3}，Q＝{x|－1≤x≤4}，那么P∪Q等于( )A．{x|－1≤x<3} B．{x|－1≤x≤4} C．{x|x≤4}D．{x|x≥－1}[思路导引] 由并集的定义，结合数轴求解．[解析] (1)A∪B＝{0,1,2,3,4}，选A.(2)在数轴上表示两个集合，如图．∴P∪Q＝{x|x≤4}．选C.[答案] (1)A (2)C求集合并集的2种方法(1)定义法：若是用列举法表示的数集，可以根据并集的定义直接观察或用Venn图表示出集合运算的结果．(2)数形结合法：若是用描述法表示的数集，可借助数轴分析写出结果，此时要注意当端点不在集合中时，应用“空心点”表示．题型二交集的运算【典例2】(1)设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则A∩B等于( )A．{x|0≤x≤2} B．{x|1≤x≤2} C．{x|0≤x≤4}D．{x|1≤x≤4}(2)设A＝{x∈N|1≤x≤5}，B＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，则如图中阴影部分表示的集合为( )A．{2} B．{3} C．{－3,2} D．{－2,3}[思路导引] 既属于集合A，又属于集合B的所有元素组成的集合，借助图示方法求解．[解析] (1)在数轴上表示出集合A与B，如下图．则由交集的定义可得A∩B＝{x|0≤x≤2}．选A.(2)A＝{x∈N|1≤x≤5}＝{1,2,3,4,5}，B＝{x∈R|x2＋x－6＝0}＝{－3,2}，图中阴影部分表示的是A∩B，∴A∩B＝{2}．选A.[答案] (1)A (2)A求集合交集的2个注意点(1)求两集合的交集时，首先要化简集合，使集合的元素特征尽量明朗化，然后根据交集的含义写出结果．(2)在求与不等式有关的集合的交集运算中，应重点考虑数轴分析法，直观清晰．题型三由集合的并集、交集求参数【典例3】 (1)设集合A ＝{x |－1<x <a }，B ＝{x |1<x <3}且A ∪B ＝{x |－1<x <3}，求a 的取值范围．(2)已知集合A ＝{x |－3<x ≤4}，B ＝{x |2－k ≤x ≤2k －1}，且A ∪B ＝A ，试求k 的取值范围．[思路导引] (1)画出数轴求解．(2)若A ∪B ＝A ，则B ⊆A ；若A ∩B ＝A ，则A ⊆B .[解] (1)如下图所示，由A ∪B ＝{x |－1<x <3}知，1<a ≤3. (2)∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A .若B ＝∅，则2－k >2k －1，得k <1；若B ≠∅，则⎩⎨⎧2－k ≤2k －1，2－k >－3，2k －1≤4，解得1≤k ≤52.综上所述，k ≤52.[变式] 本例(2)若将“A ∪B ＝A ”改为“A ∩B ＝A ”，其他条件不变，求k 的取值范围．[解] ∵A ∩B ＝A ，∴A ⊆B . ∴⎩⎨⎧2－k ≤－3，2k －1≥4，解得k ≥5.由集合交集、并集的性质解题的策略、方法及注意点(1)策略：当题目中含有条件A ∩B ＝A 或A ∪B ＝B ，解答时常借助于交集、并集的定义及集合间的关系去分析，将A ∩B ＝A 转化为A ⊆B ，A ∪B ＝B 转化为A ⊆B .(2)方法：借助数轴解决，首先根据集合间的关系画出数轴，然后根据数轴列出关于参数的不等式(组)，求解即可，特别要注意端点值的取舍．(3)注意点：当题目条件中出现B⊆A时，若集合B不确定，解答时要注意讨论B＝∅的情况．1.3.2补集及集合运算的综合应用要点整理1．全集(1)定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．(2)符号表示：全集通常记作U.2．补集温馨提示：∁U A的三层含义：(1)∁U A表示一个集合；(2)A是U的子集，即A⊆U；(3)∁U A是U中不属于A的所有元素组成的集合．题型一补集的运算【典例1】(1)已知全集U＝{x|x≤5}，集合A＝{x|－3≤x<5}，则∁U A＝________________；(2)已知全集U，集合A＝{1,3,5,7}，∁U A＝{2,4,6}，∁U B＝{1,4,6}，则集合B＝________________.[思路导引] 借助补集定义，结合数轴及Venn图求解．[解析] (1)将集合U和集合A分别表示在数轴上，如图所示．由补集定义可得∁U A＝{x|x<－3或x＝5}．(2)解法一：A＝{1,3,5,7}，∁U A＝{2,4,6}，∴U＝{1,2,3,4,5,6,7}．又∁U B＝{1,4,6}，∴B＝{2,3,5,7}．解法二：借助Venn图，如图所示．由图可知B＝{2,3,5,7}．[答案] (1){x|x<－3或x＝5} (2){2,3,5,7}求集合补集的基本方法及处理技巧(1)基本方法：定义法．(2)两种处理技巧①当集合用列举法表示时，可借助Venn图求解；②当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析求解．题型二交集、并集、补集的综合运算【典例2】已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3<x≤3}．求∁U A，A∩B，∁U(A∩B)，(∁U A)∩B.[解] 把全集U和集合A，B在数轴上表示如下：由图可知∁U A＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，A∩B＝{x|－2<x<3}，∁(A∩B)＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，(∁U A)∩B＝{x|－U3<x≤－2或x＝3}．解决集合交、并、补运算的2个技巧(1)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解．在解答过程中常常借助于Venn图来求解．(2)如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算．解答过程中要注意边界问题．题型三利用集合间的关系求参数【典例3】设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2<x<4}，全集U＝R，且(∁A)∩B＝∅，求实数m的取值范围．U[思路导引] 理清集合间的关系，分类求解．[解] 由已知A＝{x|x≥－m}，得∁U A＝{x|x<－m}，因为B＝{x|－2<x<4}，(∁U A)∩B＝∅，所以－m≤－2，即m≥2，所以m的取值范围是m≥2.[变式] (1)将本例中条件“(∁U A)∩B＝∅”改为“(∁U A)∩B≠∅”，其他条件不变，则m的取值范围又是什么？(2)将本例中条件“(∁U A)∩B＝∅”改为“(∁U B)∪A＝R”，其他条件不变，则m的取值范围又是什么？[解] (1)由已知得A＝{x|x≥－m}，所以∁U A＝{x|x<－m}，又(∁U A)∩B≠∅，所以－m>－2，解得m<2.(2)由已知得A＝{x|x≥－m}，∁U B＝{x|x≤－2或x≥4}．又(∁U B)∪A＝R，所以－m≤－2，解得m≥2.利用集合关系求参数的2个注意点(1)与集合的交、并、补运算有关的求参数问题一般利用数轴求解，涉及集合间关系时不要忘掉空集的情况．(2)不等式中的等号在补集中能否取到，要引起重视，还要注意补集是全集的子集．[针对训练]5．已知集合A＝{x|x<a}，B＝{x|1<x<3}．(1)若A∪(∁R B)＝R，求实数a的取值范围；(2)若A(∁R B)，求实数a的取值范围．[解](1)∵B＝{x|1<x<3}，B＝{x|x≤1或x≥3}，∴∁R因而要使A∪(∁R B)＝R，结合数轴分析(如图)，可得a≥3.(2)∵A＝{x|x<a}，∁R B＝{x|x≤1或x≥3}．要使A(∁R B)，结合数轴分析(如图)，可得a≤1.1.4.1充分条件与必要条件要点整理1．命题及相关概念2．充分条件与必要条件一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件．数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件．温馨提示：(1)充分、必要条件的判断讨论的是“若p，则q”形式的命题．若不是，则首先将命题改写成“若p，则q”的形式．(2)不能将“若p，则q”与“p⇒q”混为一谈，只有“若p，则q”为真命题时，才有“p⇒q”．题型一充分、必要条件的概念及语言表述【典例1】将下面的定理写成“若p，则q”的形式，并用充分条件、必要条件的语言表述：(1)两个全等三角形的对应高相等；(2)等底等高的两个三角形是全等三角形．[解] (1)若两个三角形是全等三角形，则它们的对应高相等，所以“两个三角形是全等三角形”是“它们的对应高相等”的充分条件；“对应高相等”是“两个三角形是全等三角形”的必要条件．(2)若两个三角形等底等高，则这两个三角形是全等三角形，所以“两个三角形等底等高”是“这两个三角形是全等三角形”的不充分条件；“两个三角形是全等三角形”是“这两个三角形等底等高”的不必要条件．(1)对充分、必要条件的理解①对充分条件的理解：i)所谓充分，就是说条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够的，条件是足以保证的．“有之必成立，无之未必不成立”．ii)充分条件不是唯一的，如x>2，x>3都是x>0的充分条件．②对必要条件的理解：i)所谓必要，就是条件是必须有的，必不可少的，缺其不可．“有之未必成立，无之必不成立”．ii)必要条件不是唯一的，如x>0，x>5等都是x>9的必要条件．(2)用充分、必要条件的语言表述定理的一般步骤第一步：分析定理的条件和结论；第二步：将定理写成“若p，则q”的形式；第三步：利用充分、必要条件的概念来表述定理．题型二充分条件、必要条件的判定【典例2】判断下列各题中p是q的充分条件吗？p是q的必要条件吗？(1)p：x>1，q：x2>1；(2)p：(a－2)(a－3)＝0，q：a＝3；(3)已知：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，p：Δ＝b2－4ac>0，q：函数图象与x轴有交点．[思路导引] 判断“若p，则q”命题的真假及“若q，则p”命题的真假．[解] (1)由x>1可以推出x2>1，因此p是q的充分条件；由x2>1，得x<－1，或x>1，不一定有x>1.因此，p不是q的必要条件．(2)由(a－2)(a－3)＝0可以推出a＝2或a＝3，不一定有a＝3，因此p不是q的充分条件；由a＝3可以得出(a－2)(a－3)＝0.因此，p是q的必要条件．(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c，当Δ>0时，其图象与x轴有交点，因此p是q的充分条件；反之若函数的图象与x轴有交点，则Δ≥0，不一定是Δ>0，因此p不是q的必要条件．充分、必要条件的判断方法(1)定义法：首先分清条件和结论，然后判断p⇒q和q⇒p是否成立，最后得出结论．(2)命题判断法：①如果命题：“若p，则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p 的必要条件；②如果命题：“若p ，则q ”为假命题，那么p 不是q 的充分条件，同时q 也不是p 的必要条件．显然，p 是q 的充分条件与q 是p 的必要条件表述的是同一个逻辑关系，即p ⇒q ，只是说法不同而已．题型三充分条件、必要条件与集合的关系【典例3】 (1)已知p ：关于x 的不等式3－m 2<x <3＋m 2，q ：0<x <3，若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围．(2)已知集合A ＝{y |y ＝x 2－3x ＋1，x ∈R }，B ＝{x |x ＋2m ≥0}；命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，并且q 是p 的必要条件，求实数m 的取值范围．[思路导引] p 是q 的充分条件转化为对应集合A ⊆集合B ，q 是p 的必要条件转化为集合A ⊆集合B .[解] (1)记A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x | 3－m 2<x <3＋m 2，B ＝{x |0<x <3}， 若p 是q 的充分条件，则A ⊆B .注意到B ＝{x |0<x <3}≠∅，分两种情况讨论：①若A ＝∅，即3－m 2≥3＋m 2，解得m ≤0，此时A ⊆B ，符合题意； ②若A ≠∅，即3－m 2<3＋m 2，解得m >0， 要使A ⊆B ，应有⎩⎪⎨⎪⎧ 3－m 2≥0，3＋m 2≤3，m >0，解得0<m ≤3. 综上可得，实数m 的取值范围是{m |m ≤3}．(2)由已知可得 A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y | y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322－54，x ∈R ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y | y ≥－54， B ＝{x |x ≥－2m }．因为q 是p 的必要条件，所以p ⇒q ，所以A ⊆B ，所以－2m ≤－54，所以m ≥58，即m 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m |m ≥58. [变式] 本例(1)中若将“若p 是q 的充分条件”改为“p 是q 的必要条件”，其他条件不变，求实数m 的取值范围．[解] 记A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x | 3－m 2<x <3＋m 2，B ＝{x |0<x <3}，若p 是q 的必要条件，则B ⊆A .应有⎩⎪⎨⎪⎧ 3－m 2≤0，3＋m 2≥3，解得m ≥3.综上可得，实数m 的取值范围是{m |m ≥3}．(1)利用充分、必要条件求参数的思路根据充分、必要条件求参数的取值范围时，先将p ，q 等价转化，再根据充分、必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解．(2)从集合角度看充分、必要条件：设命题p 、q 分别对应集合A 、B ，若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件；若B ⊆A ，则p 是q 的必要条件．1.4.2充要条件要点整理充要条件如果“若p ，则q ”和它的逆命题“若q ，则p ”均是真命题，即既有p ⇒q ，又有q ⇒p ，记作p ⇔q .此时p 既是q 的充分条件，也是q 的必要条件．我们说p 是q 的充分必要条件，简称为充要条件．如果p 是q 的充要条件，那么q 也是p 的充要条件，即如果p ⇔q ，那么p 与q 互为充要条件．温馨提示：(1)从概念的角度去理解充分条件、必要条件、充要条件①若p⇒q，则称p是q的充分条件，q是p的必要条件．②若p⇔q，则p是q的充要条件．③若p⇒q，且q⇒/p，则称p是q的充分不必要条件．④若p⇒/q，且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件．⑤若p⇒/q，且q⇒/p，则称p是q的既不充分也不必要条件．(2)“⇔”的传递性若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即p⇔q，q⇔s，则有p⇔s，即p 是s的充要条件．题型一充要条件的判断【典例1】在下列各题中，试判断p是q的什么条件．(1)p：a＋5是无理数，q：a是无理数；(2)若a，b∈R，p＝a2＋b2＝0，q：a＝b＝0；(3)p：A∩B＝A，q：∁U B⊆∁U A.[思路导引] 判断是否p⇒q，q⇒p.[解] (1)因为a＋5是无理数⇒a是无理数，并且a是无理数⇒a＋5是无理数，所以p是q的充要条件．(2)因为a2＋b2＝0⇒a＝b＝0，并且a＝b＝0⇒a2＋b2＝0，所以p是q的充要条件．(3)因为A∩B＝A⇒A⊆B⇒∁U A⊇∁U B，并且∁U B⊆∁U A⇒B⊇A⇒A∩B＝A，所以p 是q的充要条件．[变式] 已知p是q的充分条件，q是r的必要条件，也是s的充分条件，r是s的必要条件，问：(1)p是r的什么条件？(2)s是q的什么条件？(3)p，q，r，s中哪几对互为充要条件？[解] 作出“⇒”图，如右图所示，。
高中必修一数学第一章集合间的基本关系ppt课件-人教版
[导入新知] 子集的概念
任意一个
包含
A⊆B B⊇A
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⊆ ⊆
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[化解疑难] 对子集概念的理解
(1)集合 A 是集合 B 的子集的含义是：集合 A 中的 个元素都是集合 B 中的元素，即由 x∈A 能推出 x∈B.例 ⊆{－1,0,1}，则 0∈{0,1},0∈{－1,0,1}．
(2)若两集合相等，则两集合所含元素完全相同，与 列顺序无关.
高中数学
真子集 [提出问题] 给出下列集合： A＝{a，b，c}，B＝{a，b，c，d，e}． 问题1：集合A与集合B有什么关系？ 提示：A⊆B. 问题2：集合B中的元素与集合A有什么关系？ 提示：集合B中的元素a，b，c都在A中，但元素d，e不
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[导入新知] 集合相等的概念
如果集合 A 是集合 B 的 子集 (A⊆B)，且集合 B A 的 子集 (B⊆A)，此时，集合 A 与集合 B 中的元素 的，因此，集合 A 与集合 B 相等，记作 A＝B .
高中数学
[化解疑难] 对两集合相等的认识
(1)若 A⊆B，又 B⊆A，则 A＝B；反之，如果 A＝ ⊆B，且 B⊆A.这就给出了证明两个集合相等的方法，即 ＝B，只需证 A⊆B 与 B⊆A 同时成立即可．
(2)若 A 不是 B 的子集，则 A 一定不是 B 的真子集
高中数学
空集 [提出问题] 一个月有32天的月份组成集合T. 问题1：含有32天的月份存在吗？ 提示：不存在． 问题2：集合T存在吗？是什么集合？ 提示：存在，是空集．
高中数学
[导入新知]
空集的概念
定义 我们把 不含任何元素 的集合，叫做空
1 理解教 材新知
1.1.2
人教版高中数学必修1《集合的概念》PPT课件
• 题型二 元素与集合的关系 • 【学透用活】
• 元素与集合的关系解读
a∈A与a∉A取决于a是不是集合A中的元素，只 唯一性
有属于和不属于两种关系 符号“∈”“∉”具有方向性，左边是元素， 方向性 右边是集合
[典例 2] (1)满足“a∈A 且 4－a∈A，a∈N 且 4－a∈N ”，有且只有 2
名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
记法
N _________
_N_*_或N_＋_
_Z__
_Q__
_R__
• [微思考] N与N*有何区别？
• 提示：N*是所有正整数组成的集合，而N是由0和所有的 正整数组成的集合，所以N比N*多一个元素0.
(二)基本知能小试
1．给出下列关系：①13∈R ；② 5∈Q ；③－3∉Z ；④－ 3∉N ，其中正确的个
数为
()
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：13是实数，①正确； 5是无理数，②错误；－3 是整数，③错误；－ 3
是无理数，④正确．故选 B. 答案：B
2．已知集合 M 有两个元素 3 和 a＋1，且 4∈M，则实数 a＝________.
解析：由题意可知 a＋1＝4，即 a＝3. 答案：3
• 知识点三 集合的表示方法
• [方法技巧] • 用列举法表示集合的3个步骤
• (1)求出集合的元素．
• (2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次．
• (3)用花括号括起来．
• 提醒：二元方程组的所有实数解组成的集合、函数图象 上的所有点构成的集合都是点的集合，一定要写成实数对 的形式，元素与元素之间用“，”隔开，如{(2,3)，(5，－ 1)}．
人教版高中数学必修1 第一章知识点
• 10．函数最大（小）值（定义见课本）
（1）利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）
值. （2）利用图象求函数的最大（小）值 （3）利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：如果函 数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则 函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；如果函数y=f(x)在区间[a，b] 上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有
映射。记作“f：A→ B”
• 给定一个集合A到B的映射，如果a∈A,b∈B.且元 素a和元素b对应，那么，我们把元素b叫做元素a 的象，元素a叫做元素b的原象
• 7．函数单调性 • （1）增函数 • 设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间 D内的任意两个自变量a，b，当a<b时，都有f(a)<f(b)，那
• 9、函数的解析表达式
（1）函数的解析式是函数的一种表示方法，要
求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之
间的对应法则，二是要求出函数的定义域.
（2）求函数的解析式的主要方法有：待定系数法、 换元法、消参法等，如果已知函数解析式的构造时， 可用待定系数法；已知复合函数f[g(x)]的表达式时， 可用换元法，这时要注意元的取值范围；当已知表 达式较简单时，也可用凑配法；若已知抽象函数表 达式，则常用解方程组消参的方法求出f(x)
点(x，y)，均在C上 . 即记为C={ P(x,y) | y= f(x) , x∈A },
图象C一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能
是由与任意平行与Y轴的直线最多只有一个交点的若
干条曲线或离散点组成。
• (2) 画法
A、描点法：根据函数解析式和定义域，求出x,y的一些对
数学人教版高中一年级必修1 高中数学公式定理定律概念大全
第一章 集合与简易逻辑１ 集合的概念与运算 1.1 集合的有关概念（1）定义：某些指定的对象集在一起叫集合；集合中的每个对象叫集合的元素。
（2）元素的三要素：集合中的元素具有确定性、互异性和无序性；表示一个集合要用{ }。
（3）集合的表示法：列举法、描述法、图示法； （4）集合的分类：有限集、无限集和空集，空集记作φ； （5）元素a 和集合A 之间的关系：a ∈A ，或a ∉A ； （6）常用数集：自然数集：N ；正整数集：*N 或N +；整数集：Z ；有理数集：Q ；实数集：R 。
*N N Z Q R ⊂⊂⊂⊂1.2 子集（1）定义：A 中的任何元素都属于B ，则A 叫B 的子集 ；记作：A ⊆B ，注意：A ⊆B 时，A 有两种情况：A ＝φ与A ≠φ（2）性质：①A A A ⊆⊆φ,；②若C B B A ⊆⊆,，则C A ⊆；③若A B B A ⊆⊆,则A =B ； 1.3 真子集（1）定义：A 是B 的子集 ，且B 中至少有一个元素不属于A ；记作：B A ⊂； （2）性质：①,A A φφ≠⊂；②若,A B B C ⊂⊂，则A C ⊂； 1.4 补集：（1）定义：记作：},|{A x U x x A C U ∉∈=且；（2）性质：A A C C U A C A A C A U U U U ===）（，， φ； 1.5 交集与并集 （1）交集：{|,且}AB x x A x B =∈∈性质：①φφ== A A A A , ②若B B A = ，则A B ⊆ （2）并集：{|,或}AB x x A x B =∈∈性质：①A A A A A ==φ , ②若B B A = ，则B A ⊆ 1.6 集合运算中常用结论 （1）德摩根公式： ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==.（2）U U A B A A B B A B C B C A =⇔=⇔⊆⇔⊆U A C B ⇔=ΦU C A B R ⇔=（3）含n 个元素的集合的所有子集有n2个2 一元二次不等式的解法 2.1 一元一次不等式的解法通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤化为ax b >的形式，若0a >,则bx a>；若0a <,则bx a<；若0a =,则当0b <时，x R ∈；当0b ≥时，x ∈∅。
【精华】人教版高中数学必修一--第一章-集合与函数概念--
【精华】人教版高中数学必修一第一章集合与函数概念一、集合的概念集合是数学中最基本的概念之一，它是某些指定对象的总体。
这些对象被称为集合的元素。
集合可以是有序的，也可以是无序的。
例如，自然数集合{1, 2, 3, }是无序的，而有序对集合{(1, 2), (2, 3), }是有序的。
集合的表示方法有两种：列举法和描述法。
列举法是将集合中的所有元素一一列出，用花括号{}括起来。
例如，集合{1, 2, 3}表示包含元素1、2、3的集合。
描述法是使用文字描述集合中元素的特征，例如，自然数集合可以表示为{所有大于0的整数}。
集合的基本运算包括交集、并集、差集、补集等。
交集是指两个集合共同拥有的元素组成的集合；并集是指两个集合所有元素组成的集合；差集是指一个集合中有而另一个集合中没有的元素组成的集合；补集是指一个集合中所有不属于另一个集合的元素组成的集合。
二、函数的概念函数是数学中另一个基本的概念，它描述了两个变量之间的依赖关系。
在函数中，一个变量被称为自变量，另一个变量被称为因变量。
函数的表示方法有三种：解析法、表格法和图像法。
解析法是使用数学公式来表示函数的方法，例如，y = x^2 表示一个二次函数。
表格法是使用表格来表示函数的方法，表格中的每一行都代表一个函数值。
图像法是使用图形来表示函数的方法，图形中的每个点都代表一个函数值。
函数的基本性质包括单调性、奇偶性、周期性等。
单调性是指函数在某个区间内是递增或递减的；奇偶性是指函数在自变量取相反数时，函数值也取相反数；周期性是指函数在一定区间内重复出现。
三、集合与函数的关系集合与函数有着密切的关系。
集合可以用来表示函数的定义域和值域，而函数可以用来描述集合中元素之间的关系。
例如，一个函数可以将一个集合中的元素映射到另一个集合中的元素，从而建立两个集合之间的对应关系。
在解决数学问题时，集合与函数的概念常常被结合起来使用。
例如，在求解函数的值域时，需要先确定函数的定义域，然后根据函数的性质来求解值域。