新课标北师大版《必修三》高一数学几何概型 (1)
合集下载
高中数学北师大必修三 几何概型复习
5 11
3.3.1 几何概型
问题1（转盘游戏）
图中有两个转盘.甲乙两人玩转盘游戏,规定 当指针指向B区域时,甲获胜,否则乙获胜.在两 种情况下分别求甲获胜的概率是多少?
定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件 区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概 率模型为几何概率模型(geometric models of probability)，简称几何概型。
分析：如图所示,这是长度型几何概型问题,当硬币 中心落在阴影区域时，硬币不与任何一条平行线相 碰,故由几何概型的知识可知所求概率为：
P 1. 3
2.在单位圆⊙O的一条直径MN上随机地取一点 Q，过点Q作弦与MN垂直且弦的长度超过1的概率 是__________. 3
2
3.假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上 6:30—7:30之间把报纸送到你家,你父亲离开家 去工作的时间在早上7:00—8:00之间,问你父亲 在离开家前能得到报纸(称为事件A)的概率是多 少?
求AM小于AC的概率.
2
2
变式1:在Rt△ABC中,∠A=30°,过直角顶点C作射
线CM交线段AB于M,求|AM|>|AC|的概率. 1 6
变式2: 在等腰直角△ABC中,在斜边AB上任取一
点M,求使△ACM为钝角三角形的概率. 1 2
能力提升
1.平面上有一组平行线,且相邻平行线间的距个平面上,求硬币不与任何一条平行线碰到的 概率。
面积为 ( ) B
3
A. 4 3
B. 8 3
C. 2 3
D.无法计算
3.体积问题
有一杯1升的水,其中含有1个细菌,用一个小杯从 这杯水中取出0.1升,求小杯水中含有这个细菌的概 率.
解：由题意可得
3.3.1 几何概型
问题1（转盘游戏）
图中有两个转盘.甲乙两人玩转盘游戏,规定 当指针指向B区域时,甲获胜,否则乙获胜.在两 种情况下分别求甲获胜的概率是多少?
定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件 区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概 率模型为几何概率模型(geometric models of probability)，简称几何概型。
分析：如图所示,这是长度型几何概型问题,当硬币 中心落在阴影区域时，硬币不与任何一条平行线相 碰,故由几何概型的知识可知所求概率为：
P 1. 3
2.在单位圆⊙O的一条直径MN上随机地取一点 Q，过点Q作弦与MN垂直且弦的长度超过1的概率 是__________. 3
2
3.假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上 6:30—7:30之间把报纸送到你家,你父亲离开家 去工作的时间在早上7:00—8:00之间,问你父亲 在离开家前能得到报纸(称为事件A)的概率是多 少?
求AM小于AC的概率.
2
2
变式1:在Rt△ABC中,∠A=30°,过直角顶点C作射
线CM交线段AB于M,求|AM|>|AC|的概率. 1 6
变式2: 在等腰直角△ABC中,在斜边AB上任取一
点M,求使△ACM为钝角三角形的概率. 1 2
能力提升
1.平面上有一组平行线,且相邻平行线间的距个平面上,求硬币不与任何一条平行线碰到的 概率。
面积为 ( ) B
3
A. 4 3
B. 8 3
C. 2 3
D.无法计算
3.体积问题
有一杯1升的水,其中含有1个细菌,用一个小杯从 这杯水中取出0.1升,求小杯水中含有这个细菌的概 率.
解：由题意可得
高中数学必修三几何概型 (共25张PPT)
应用拓展：
例1： 某人午睡醒后，发现表停了，于是打开收 音机等候整点报时，那么等待时间不多于10分钟 的概率是多大？
讨论交流：
1）这是什么概型，为什么？
（几何概型）
2）借助什么样的几何图形来表示随 机事件与所有基本事件？
（线段或圆）
3）该如何建立数学模型？
解:设A={等待的时间不多于10分钟}.我们所 关心的事件A恰好是打开收音机的时刻位于 [50,60]时间段内,因此由几何概型的求概率 的公式得
试验一：
一个边长为2a的正方 形，阴影部分面积是 整个正方形面积的 0.25，向正方形内随 机地丢豆子，则豆子 落在阴影部分的概率 是多少？ 问题3：如果“豆子落在阴影部分”记为事件A，事件A所 包含的基本事件是什么？这个试验的基本事件是什么？
问题 4：如何求事件 A的概率？ 事件A 包含的基本事件是豆子落在阴影部分中任意一点；
2（1）x和y取值都是区间[1,4]中的整数，任
取一个x的值和一个y的值，求 “ x – y >1 ”
的概率。
y 4 3 2 1
作直线 x - y=1
古典概型
P=3/8
-1
1
2
3
4
x
（2）x和y取值都是区间[1,4]中的实数， 任取一个x的值和一个y的值， 求 “ x – y >1 ”的概率。
y 4 3 2 1
这个试验的基本事件是在 300ML 水中任意一点发现草履虫。 构成事件A 的区域体积 P A 试验的全部结果所构成的区域体积
几何概型概念： 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域 的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型 为几何概率模型，简称为几何概型. 问题7 这三个试验的共同特点是什么？
北师大版高中数学必修3-3.3例谈几何概型的计算
例谈几何概型的计算几何概型是将古典概型的有限性推广到无限性，而保留等可能性的一种求概率的方法．它是借助测度来表示样本区域与所考察的样本．几何概型的计算一般按下列步骤进行：（1）选取合适的模型，即样本区域Ｄ；（2）在坐标系中正确表示Ｄ与所求概率事件A 所在的区域d ；（3）计算D 与d 的测度D d μμ，；（4）计算概率()d DP A μμ=． 例1 在区间(01)，中随机地取出两个数，求这两个数的和小于65的概率．分析：解决本题的关键是如何将其归结为一个几何概型，设x ，y 分别表示随机所取的两个数，则由题意知x ，y 均等可能地在（0，1）中取值，从而（x ，y ）等可能地在平面区域{}()|0101D x y x y =<<<<，，中取值，将Ｄ作为样本区域，这就是一个几何概型问题．解：如图1，设x 、y 分别表示从（0，1）中取出的两个数，则样本区域{}()|0101D x y x y =<<<<，，． 记A 为事件“两个数的和小于”， 即6()|()5A x y x y x y D ⎧⎫=+<∈⎨⎬⎩⎭，，，， 因为Ｄ的面积1D S =，A 的面积21410.6825d S ⎛⎫=-⨯= ⎪⎝⎭． 于是由几何概型的概率公式得到()0.68d DS P A S ==．例2 甲、乙两人相约于下午1:00～2:00之间到某车站乘公共汽车外出，他们到达车站的时间是随机的，设在1:00～2:00之间有四班客车开出，开车时间分别是1:15，1:30，1:45，2:00，分别求他们在下述情况下同坐一班车的概率．（1）约定见车就乘；（2）约定最多等一班车．分析：本题是几何概型中的典型例题——约会问题的变形．分别作出表示事件的所在区域，利用构造思想及数形结合思想，结合几何概型知识加以解决．解：设甲、乙到站时间分别是x时，y时，则１≤x≤2，1≤y≤2，试验区域D为点（x，y）所形成的正方形，以16个小方格表示，如图2所示．（1）如图3，约定见车就乘的事件所表示的区域d为图中4个黑的小方格所示，所求概率为41=；164（2）如图4，约定最多等一班车的事件所表示的区域d为图中10个黑的小方格所示，所求概率为105=．168例3 随机地向半圆00)<<>内掷一点，点落在半圆内任何区域y a的概的概率均与该区域的面积成正比，求该点与原点连线与x轴的夹角小于π4率．分析：题目中“随机地”即表示试验结果的等可能性，“点落在半圆内任何区域的概率均与该区域的面积成正比”更强调试验的等可能性，因为试验结果是无限个，因此容易想到用几何概型来计算．解：如图5，设事件A表示“点与原点连线与x轴的夹角小于的概率”．于是样本区域{()|0D x y y =<<，， 即为图5中的半圆，其面积为21π2a ； 而{}()|()A x y x y D x y =∈>，，，，其面积为2211π42a a +． 由几何概型的概率公式有22211π1142()12ππ2a a P A a +==+．。
高中数学必修三教案-几何概型
二．研探新知
探究（一）：几何概型的概念
提出问题
(1)随意抛掷一枚均匀硬币两次,求两次出现相同面的概率？
(2)试验1.取一根长度为3 m的绳子,拉直后在任意位置剪断.问剪得两段的长都不小于1 m的概率有多大？
试验2.射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环.从外向内为白色,黑
色,蓝色,红色,靶心是金色.金色靶心叫“黄心”.奥运会的比赛靶面直径为122 cm,靶心直径为12.2 cm.运动员在70 m外射箭.假设射箭都能射中靶面内任何一点都是等可能的.问射中黄心的概率为多少？
(4)什么是几何概型?它有什么特点?
(5)如何计算几何概型的概率?有什么样的公式?
(6)古典概型和几何概型有什么区别和联系?
活动：学生根据问题思考讨论,回顾古典概型的特点,把问题转化为学过的知识解决,教师引导学生比较概括.
讨论结果：(1)硬币落地后会出现四种结果：分别记作（正,正）、（正,反）、（反,正）、（反,反）.每种结果出现的概率相等,P（正,正）=P（正,反）=P（反,正）=P（反,反）=1/4.两次出现相同面的概率为 .
考虑第一个问题,如右图,记“剪得两段的长都不小于1 m”为事件A.把绳子三等分,于是当剪断位置处在中间一段上时,事件A发生.由于中间一段的长度等于绳长的 ,
于是事件A发生的概率P(A)= .
第二个问题,如右图,记“射中黄心”为事件B,由于中靶心随机地落在面积为 ×π×1222cm2的大圆内,而当中靶点落在面积为 ×π×12.22cm2的黄心内时,事件B发生,于是事件B发生的概率P(B)= =0.01.
分析：石油在1万平方千米的海域大陆架的分布可以看作是随机的，而40平方千米可看作构成事件的区域面积,由几何概型公式可以求得概率.
解：记“钻到油层面”为事件A,则P(A)=0.004.
探究（一）：几何概型的概念
提出问题
(1)随意抛掷一枚均匀硬币两次,求两次出现相同面的概率？
(2)试验1.取一根长度为3 m的绳子,拉直后在任意位置剪断.问剪得两段的长都不小于1 m的概率有多大？
试验2.射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环.从外向内为白色,黑
色,蓝色,红色,靶心是金色.金色靶心叫“黄心”.奥运会的比赛靶面直径为122 cm,靶心直径为12.2 cm.运动员在70 m外射箭.假设射箭都能射中靶面内任何一点都是等可能的.问射中黄心的概率为多少？
(4)什么是几何概型?它有什么特点?
(5)如何计算几何概型的概率?有什么样的公式?
(6)古典概型和几何概型有什么区别和联系?
活动：学生根据问题思考讨论,回顾古典概型的特点,把问题转化为学过的知识解决,教师引导学生比较概括.
讨论结果：(1)硬币落地后会出现四种结果：分别记作（正,正）、（正,反）、（反,正）、（反,反）.每种结果出现的概率相等,P（正,正）=P（正,反）=P（反,正）=P（反,反）=1/4.两次出现相同面的概率为 .
考虑第一个问题,如右图,记“剪得两段的长都不小于1 m”为事件A.把绳子三等分,于是当剪断位置处在中间一段上时,事件A发生.由于中间一段的长度等于绳长的 ,
于是事件A发生的概率P(A)= .
第二个问题,如右图,记“射中黄心”为事件B,由于中靶心随机地落在面积为 ×π×1222cm2的大圆内,而当中靶点落在面积为 ×π×12.22cm2的黄心内时,事件B发生,于是事件B发生的概率P(B)= =0.01.
分析：石油在1万平方千米的海域大陆架的分布可以看作是随机的，而40平方千米可看作构成事件的区域面积,由几何概型公式可以求得概率.
解：记“钻到油层面”为事件A,则P(A)=0.004.
最新-高中数学 331模拟方法---几何概型(1) 课件 北师大版必修3 精品
（1）试验中的基本事件是什么？ 从每一个位置剪断都是一个基本事件,剪断位
置可以是长度为3m的绳子上的任意一点.
（2）每个基本事件的发生是等可能的吗？
（3）符合古典概型的特点吗？
问题3: 有一杯1升的水，其中漂浮有1个微
生物，用一个小杯从这杯水中取出0.1升， 求小杯水中含有这个微生物的概率.
能用古典概型描述该事件的概率吗？为什么？
（1）试验中的基本事件是什么？ 微生物出现的每一个位置都是一个基本事件,
微生物出现位置可以是1升水中的任意一点.
（2）每个基本事件的发生是等可能的吗？
（3）符合古典概型的特点吗？
上面三个随机试验有什么共同特点？
(1)一次试验可能出现的结果有无限多个； (2) 每个结果的发生都具有等可能性．
对于一个随机试验,我们将每个基本事件 理解为从某个特定的几何区域内随机地取一 点,该区域中每一个点被取到的机会都一样; 而一个随机事件的发生则理解为恰好取到中 述区域内的某个指定区域中的点.这里的区域 可以是线段,平面图形,立体图形等.用这种方 法处理随机试验,称为几何概型.
（1）试验中的基本事件是什么？ 射中靶面上每一点都是一个基本事件,这一点可
以是靶面直径为122cm的大圆内的任意一点.
（2）每个基本事件的发生是等可能的吗？ （3）符合古典概型的特点吗？
问题2:取一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪 断，那么剪得两段的长都不小于1m的概率有多大？
3m 能用古典概型描述该事件的概率吗？为什么？
圆内，当n很大时，频率接近于概率．
P(A) m m 4m .
n 4n
n
练一练
练习1. 在数轴上，设点x∈[-3,3]中按均匀分布出 现，记a∈(-1,2]为事件A，则P（A）=（C ）
置可以是长度为3m的绳子上的任意一点.
（2）每个基本事件的发生是等可能的吗？
（3）符合古典概型的特点吗？
问题3: 有一杯1升的水，其中漂浮有1个微
生物，用一个小杯从这杯水中取出0.1升， 求小杯水中含有这个微生物的概率.
能用古典概型描述该事件的概率吗？为什么？
（1）试验中的基本事件是什么？ 微生物出现的每一个位置都是一个基本事件,
微生物出现位置可以是1升水中的任意一点.
（2）每个基本事件的发生是等可能的吗？
（3）符合古典概型的特点吗？
上面三个随机试验有什么共同特点？
(1)一次试验可能出现的结果有无限多个； (2) 每个结果的发生都具有等可能性．
对于一个随机试验,我们将每个基本事件 理解为从某个特定的几何区域内随机地取一 点,该区域中每一个点被取到的机会都一样; 而一个随机事件的发生则理解为恰好取到中 述区域内的某个指定区域中的点.这里的区域 可以是线段,平面图形,立体图形等.用这种方 法处理随机试验,称为几何概型.
（1）试验中的基本事件是什么？ 射中靶面上每一点都是一个基本事件,这一点可
以是靶面直径为122cm的大圆内的任意一点.
（2）每个基本事件的发生是等可能的吗？ （3）符合古典概型的特点吗？
问题2:取一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪 断，那么剪得两段的长都不小于1m的概率有多大？
3m 能用古典概型描述该事件的概率吗？为什么？
圆内，当n很大时，频率接近于概率．
P(A) m m 4m .
n 4n
n
练一练
练习1. 在数轴上，设点x∈[-3,3]中按均匀分布出 现，记a∈(-1,2]为事件A，则P（A）=（C ）
高一数学必修3课件：3-3-1几何概型
第三章 3.3
3.3.1
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修3
X服从[3,40]上的均匀分布，则X的值不能等于( A．15 C．35
[答案] D [解析] 由于X∈[3,40]，则3≤X≤40，则X≠45.
)
B．25 D．45
第三章 3.3
3.3.1
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修3
3．几何概型与古典概型的异同 概率 类型 不同点 相同点 每个基本事件出 现的可能性一 样，即满足等可 能性
第三章 3.3
3.3.1
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修3
新课引入
第三章 3.3
3.3.1
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修3
数学与我们的生活密切相关，我们最好能将学到的数学 知识用到生活中，更加可贵的是，同学们能主动发现生活中 的问题，然后再考虑用什么数学知识来解决，遇到没学过的 知识还能积极探索！
第三章 3.3
3.3.1
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修3
规律总结：本题把时间用一条线段表示，使问题变得 直观，本题也可以用区间表示，即公式的分母为区间(0,15]， 分子为区间(0,5).
第三章 3.3
3.3.1
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修3
命题方向2
与面积有关的几何概型问题
与面积有关的几何概型问题解法： (1)如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用面积 表示，则其概率的计算公式为： 构成事件A的区域面积 P(A)＝ . 试验的全部结果所构成的区域面积
[解析]
记事件E：“A与C、D，B与C、D之间的距离都 1 3 ＝
不小于10米”，把AB三等分，由于中间长度为30× 10 1 10(米)，所以P(E)＝ ＝ . 30 3
高一数学人必修三课件第三章几何概型
在古典概型中，每个样本点出现的可能性相等。如果试验样本点的区域长度（面 积或体积）有大有小，则样本点出现的可能性就有大有小。这种与长度（或面积 、体积）有关的概率模型称为几何概率模型，简称几何概型。
分类
根据样本空间的维数不同，几何概型可分为一维、二维和三维三种。
几何概型与古典概型关系
联系
古典概型和几何概型都是概率模型， 都要通过样本空间中的样本点来计算 事件发生的概率。
二维面积比例典型例题
01
例题1
在边长为1的正方形内随机取一个点，求该点到四个顶点 的距离都大于1的概率。
02
例题2
在半径为1的圆内随机取一个点，求该点到圆心的距离小 于0.5的概率。
03
解题思路
二维面积比例问题涉及到平面图形的随机取点。解题时需 要根据题意确定满足条件的区域，并计算该区域与总面积 的比例。通过解析几何、三角函数等工具，可以求出满足 条件的面积，进而得到概率。
05
练习题与课堂互动环节
针对本节课知识点进行练习
练习题一
已知一个边长为2的正方形，在其 中随机投掷一个点，求该点落在 正方形内切圆内的概率。
练习题二
在区间[0,5]上随机取两个数，求这 两个数之和小于等于6的概率。
练习题三
一个转盘被等分成10个扇形，分别 标有数字1到10。转动转盘两次， 求两次转到的数字之和为偶数的概 率。
利用勾股定理求解
当已知直角三角形的两条 边时，可以利用勾股定理 求解斜边的长度。
二维面积比例问题求解
利用相似比求解
当两个图形相似时，它们的面积比等 于相似比的平方。因此，可以通过相 似比和已知图形的面积求解未知图形 的面积。
利用割补法求解
利用间接法求解
分类
根据样本空间的维数不同，几何概型可分为一维、二维和三维三种。
几何概型与古典概型关系
联系
古典概型和几何概型都是概率模型， 都要通过样本空间中的样本点来计算 事件发生的概率。
二维面积比例典型例题
01
例题1
在边长为1的正方形内随机取一个点，求该点到四个顶点 的距离都大于1的概率。
02
例题2
在半径为1的圆内随机取一个点，求该点到圆心的距离小 于0.5的概率。
03
解题思路
二维面积比例问题涉及到平面图形的随机取点。解题时需 要根据题意确定满足条件的区域，并计算该区域与总面积 的比例。通过解析几何、三角函数等工具，可以求出满足 条件的面积，进而得到概率。
05
练习题与课堂互动环节
针对本节课知识点进行练习
练习题一
已知一个边长为2的正方形，在其 中随机投掷一个点，求该点落在 正方形内切圆内的概率。
练习题二
在区间[0,5]上随机取两个数，求这 两个数之和小于等于6的概率。
练习题三
一个转盘被等分成10个扇形，分别 标有数字1到10。转动转盘两次， 求两次转到的数字之和为偶数的概 率。
利用勾股定理求解
当已知直角三角形的两条 边时，可以利用勾股定理 求解斜边的长度。
二维面积比例问题求解
利用相似比求解
当两个图形相似时，它们的面积比等 于相似比的平方。因此，可以通过相 似比和已知图形的面积求解未知图形 的面积。
利用割补法求解
利用间接法求解
高中数学必修3几何概型课件
【问 题】
今天来班上听课的老师一共有24人， 其中女老师有4位，请问：第一个到达 班上是女老师的概率是多少？
古典概型的特点及其概率公式：
(1)试验中所有可能出现的基本事
古 1.特点 件只有有限个。
典
(2)每个基本事件出现的可能性相等.
概
型 2.事件A的概率公式:
A包含基本事件的个数 P(A)=
基本事件的总数
（2）有一个半径为2的圆，作以该圆内的任 意一点为中点的弦，试求该弦长超过该圆内 接正三角形边长的概率。
思考：射箭比赛的箭靶涂有五个彩色的 分环，从外向内依次为白色、黑色、蓝 色、红色，靶心是金色，金色靶心叫 “黄心”.奥运会射箭比赛的靶面直径是 122cm，黄心直径是12.2cm，运动员在距 离靶面70m外射箭.假设射箭都等可能射 中靶面内任何一点，那么如何计算射中 黄心的概率？
思考： 1．豆子落在三种颜色区域内的可能性是 一样大的吗？ 2．豆子落在哪种颜色的可能性最大？可 能性大小与什么有关？ 3．这个问题是不是古典概型的问题？
1.你能类比古典概型，说出这种概型 的特征吗？
无限性
(1)试验中所有可能出现的基本事件有无限多个。
(2)每个基本事件出现的可能性相等。
等可能性
p( A)
A所在圆心角的大小 圆周角
1 360 6
360
1 6
;
法四：（利用[50,60]时间段所占的面积）：
p( A)
A所在扇形的面积 整个圆的面积
10 60
1; 6
问题1(取水问题)：有一杯1升的水, 其 中含有1个细菌, 用一个小杯从这杯水中 取出0.1升, 求小杯水中含有这个细菌的 概率.
今天来班上听课的老师一共有24人， 其中女老师有4位，请问：第一个到达 班上是女老师的概率是多少？
古典概型的特点及其概率公式：
(1)试验中所有可能出现的基本事
古 1.特点 件只有有限个。
典
(2)每个基本事件出现的可能性相等.
概
型 2.事件A的概率公式:
A包含基本事件的个数 P(A)=
基本事件的总数
（2）有一个半径为2的圆，作以该圆内的任 意一点为中点的弦，试求该弦长超过该圆内 接正三角形边长的概率。
思考：射箭比赛的箭靶涂有五个彩色的 分环，从外向内依次为白色、黑色、蓝 色、红色，靶心是金色，金色靶心叫 “黄心”.奥运会射箭比赛的靶面直径是 122cm，黄心直径是12.2cm，运动员在距 离靶面70m外射箭.假设射箭都等可能射 中靶面内任何一点，那么如何计算射中 黄心的概率？
思考： 1．豆子落在三种颜色区域内的可能性是 一样大的吗？ 2．豆子落在哪种颜色的可能性最大？可 能性大小与什么有关？ 3．这个问题是不是古典概型的问题？
1.你能类比古典概型，说出这种概型 的特征吗？
无限性
(1)试验中所有可能出现的基本事件有无限多个。
(2)每个基本事件出现的可能性相等。
等可能性
p( A)
A所在圆心角的大小 圆周角
1 360 6
360
1 6
;
法四：（利用[50,60]时间段所占的面积）：
p( A)
A所在扇形的面积 整个圆的面积
10 60
1; 6
问题1(取水问题)：有一杯1升的水, 其 中含有1个细菌, 用一个小杯从这杯水中 取出0.1升, 求小杯水中含有这个细菌的 概率.
高中数学必修3课件：3.3.1 几何概型
栏目 导引
精彩推荐典例展示
第三章 概率
规范解答 几何概型与其他知识的综合应用
例4 (本题满分12分)已知圆C：x2＋y2＝12，直线l：4x＋3y
＝25.
(1)求圆C的圆心到直线l的距离；
(2)求圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率．
【解】 (1)由点到直线 l 的距离公式可得
d＝ 422＋5 32＝5 1 .
栏目 导引
第三章 概率
题型二 与面积有关的几何概型 例2 有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗
小玻璃球，若小球落在阴影部分，则可中奖．小明要想增加 中奖机会，应选择的游戏盘是( )
【解析】 各选项中奖的概率依次为38，14，31，13，故选 A.
栏目 导引
第三章 概率
【答案】 A 【名师点评】 找出或构造出随机事件对应的几何图形，利 用图形的几何特征计算相关的面积，套用公式从而求得随机 事件的概率．
B.25
C.35
D.54
栏目 导引
第三章 概率
解析：选 A.所有的基本事件构成的区间长度为 3－(－2)＝5， ∵直线在 y 轴上的截距 b 大于 1， ∴直线横截距小于－1， ∴“直线在 y 轴上的截距 b 大于 1”包含的基本事件构成的 区间长度为－1－(－2)＝1，由几何概型概率公式得直线在 y 轴上的截距 b 大于 1 的概率为 P＝51，故选 A.
栏目 导引
第三章 概率
【名师点评】 本题相当于把正方体分割为27个棱长为1的小 正方体，蜜蜂位于正中间的一个正方体内．
栏目 导引
第三章 概率
跟踪训练
3．已知正方体ABCDA1B1C1D1内有一个内切球O，则在正方 体 ABCDA1B1C1D1 内 任 取 点 M ， 点 M 在 球 O 内 的 概 率 是 ________．
精彩推荐典例展示
第三章 概率
规范解答 几何概型与其他知识的综合应用
例4 (本题满分12分)已知圆C：x2＋y2＝12，直线l：4x＋3y
＝25.
(1)求圆C的圆心到直线l的距离；
(2)求圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率．
【解】 (1)由点到直线 l 的距离公式可得
d＝ 422＋5 32＝5 1 .
栏目 导引
第三章 概率
题型二 与面积有关的几何概型 例2 有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗
小玻璃球，若小球落在阴影部分，则可中奖．小明要想增加 中奖机会，应选择的游戏盘是( )
【解析】 各选项中奖的概率依次为38，14，31，13，故选 A.
栏目 导引
第三章 概率
【答案】 A 【名师点评】 找出或构造出随机事件对应的几何图形，利 用图形的几何特征计算相关的面积，套用公式从而求得随机 事件的概率．
B.25
C.35
D.54
栏目 导引
第三章 概率
解析：选 A.所有的基本事件构成的区间长度为 3－(－2)＝5， ∵直线在 y 轴上的截距 b 大于 1， ∴直线横截距小于－1， ∴“直线在 y 轴上的截距 b 大于 1”包含的基本事件构成的 区间长度为－1－(－2)＝1，由几何概型概率公式得直线在 y 轴上的截距 b 大于 1 的概率为 P＝51，故选 A.
栏目 导引
第三章 概率
【名师点评】 本题相当于把正方体分割为27个棱长为1的小 正方体，蜜蜂位于正中间的一个正方体内．
栏目 导引
第三章 概率
跟踪训练
3．已知正方体ABCDA1B1C1D1内有一个内切球O，则在正方 体 ABCDA1B1C1D1 内 任 取 点 M ， 点 M 在 球 O 内 的 概 率 是 ________．
第六讲 几何概型 课件 (北师大必修3)
【小结】解答几何概型问题，当考察对象为点且点的活动范围在线段上时，就是用线段长度比计 算概率值.
【解析】如图，函数 f(x)在[－5，5]上函数的图像与 x 轴交于 两点(－1，0)，(2，0)， 所以当 x0∈[－1,2]， f(x0)≤0． 3 则概率 P＝ ＝0.3． 10
-5
【小结】当随机试验的结果只受一个连续型变量控制时，求概率时一般考虑用线段长度比.
A
D
O
C
B
【小结】几何概型除了可以用线段长度比、平面图形的面积比求得外，有时也需用到角度比、体积 比等.
技巧传播
解答几何概型问题，当考察对象为点且点的活动范围在线段上时，就是用线段长度比计算概率 值．当基本事件受两个连续的变量控制时，一般是把两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这
样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域面积比求概率．几何概型除了可以用线段
1 15 15 9 2 记此事件为 A，则 P ( A) . 20 20 32
【小结】当基本事件受两个连续的变量控制时，一般是把两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事 件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决．
D1
C1
A1
B1
【解析】点 P 到点 O 的距离大于 1 的点位于以 O 为球心，以 1 为半径的半球外． 1 4π 3 23－ × × 1 2 3 π 记点 P 到点 O 的距离大于 1 为事件 A，则 P(A)＝ ＝1－ . 3 2 12
离散的变量控制的随机试验，而几何概型研究的是无限的、连续的变量控制的随机试验．
【解析】用 x 表示小张到校的时间，则 30≤x≤50， 用 y 表示小王到校的时间，则 30≤y≤50， 则两人到校时间可用点(x，y)表示， 所有可能情况构成如图的正方形区域， 而小张比小王至少早到 5 分钟，即 y- x≥5， 表示区域为直线 y=x+5 上方的区域.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1 P 3
4.在腰长为2的等腰直角三角形内任取一点, 求该点到此三角形的直角顶点的距离小于1的 概率.
P
8
某事件A发生的概率
构成事件A的区域长度（面积或体积） P(A) . 试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）
模型的特点
(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个 (2)每个基本事件出现的可能性相等
2 1 P(获得50购物券)= 20 10
4 1 P(获得20购物券)= 20 5
巩固练习
1.如图,在下面每个图形内随机撒一粒小芝麻,分 别求它落到阴影部分的概率. 2.教室后面墙壁上的时钟掉下来,面板摔坏了,刻 度5至7的部分没了,如图:但指针运行正常,若指 针都指向有刻度的地方视为能看到准确时间,求 不能看到准确时间的概率. 1/6
P=0.121
巩固练习
3.在区间(0,1) 中随机地取两个数,求下列事件的概率: (1) 两个数中较小(大)的小于1/2 ; 3/4, 1/4 7/8 0.5966
(2) 两数之和小于3/2 ;
(3) 两数之积小于1/4 .
想一想
甲、乙二人约定在12点到5点之间在某地会面,
先到者等一个小时后即离去设二人在这段时间
内的各时刻到达是等可能的,且二人互不影响.
求二人能会面的概率.
解:以 X ,Y 分别表示甲乙二人到达的时刻,于是
0 X 5, 0 Y 5
即点 M 落在图中的阴影部分. 所有的点构成一个正方形,即 有无穷多个结果.由于每人在 任一时刻到达都是等可能的, 所以落在正 方 形 内 各 点是 等可能的.
5 4 3 2 1
y
.M(X,Y)
0 1
2 3 4
5
x
二人会面的条件是： | X Y | 1,
阴影部分的面积 p 正方形的面积 1 2 25 2 4 9 2 25 25.
y
5 4 3 2 1
y-x =1 y-x = -1
0
1
2 3 4
5 x
题1
题2
例题讲解
4.“抛金币”是国外游乐场的游戏之一.参与者 只须将手上的“金币”(半径为r)抛向离身边若 干距离的阶砖平面上,抛出的“金币”若恰好落 在任何一个阶砖(边长为a的正方形)的范围内 (不与阶砖相连的线重叠),便可获奖,求获奖的 概率.
解:设阶砖边长为a,“金币” 直径为2r. 若“金币”成功地落在阶砖 上,其圆心必位于右图的绿 色区域A内.
若每个事件发生的概率只与构成该事件区 域的长度(面积或体积)成正比,则称这样的概率 模型为几何概型
两种概型的特点及异同点
1.古典概型的特点: (1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)只有有限个 (2)每个基本事件出现的可能性相等 2.几何概型的特点:
(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个 (2)每个基本事件出现的可能性相等 3.异同点 相同: 基本事件的发生等可能 不同: 古典概型:基本事件有限个
几何概型可以看作是古典概型的推广
例题讲解
1.先判断是何种概率模型,再求相应概率.
(1)在集合A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}中任取一 个元素a,则P(a≥3)= . (2)已知点0(0,0)、M(60,0),在线段OM上任取 一点P,则P(|PM|≤10)= .
(1)古典概率模型,P(a≥3)=7/10 (2)几何概率模型,P(|PM|≤10)=1/6
注：这是与长度有关的几何概型问题
例题讲解
3.某商场为了吸引顾客,设立了一个可 以自由转动的转盘,并规定:顾客每购买 100元的商品,就能获得一次转动转盘的 机会.如果转盘停止时,指针正好对准红、 黄或绿的区域,顾客就可以获得100元、 50元、20元的购物券(转盘等分成20份). 某顾客购物120元. 问:(1)他获得购物券的概率是多少？
几何概型:基本事件无限多个
两种概型、概率公式的联系 1.古典概型的概率公式:
m 事件 A 所包含的基本事件数 P(A) 试验的基本事件总数 n
2.几何概型的概率公式:
构成事件A 的区域长度（面积或体积） P（A ）= 试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）
求几何概型的概率时考虑试验的结果个数失去意义
a
A S
a
问题化为:向平面区域S(面积为a2)随机投点(“金币” 中心),求该点落在区域A内的概率.
于是成功抛中阶砖的概率
A的面积 P S的面积 ( a 2r ) 2 a
2
a
0<2r<a
游戏吗？
巩固练习
1.在线段AD上任意取两个点B、C,在B、C 处折断此线 段而得三折线,求此三折线能构成三角形的概. P=1/4 2.甲、乙两船停靠同一码头,各自独立地到达,且每艘船 在一昼夜间到达是等可能的.若甲船需停泊 1小时,乙船 需停泊 2小时,而该码头只能停泊一艘船.试求其中一艘 船要等待码头空出的概率.
例题讲解
2.某人一觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听电 台整点报时,求他等待的时间不多于10分钟的概率.
本试验的所有基本事件所构成区域在哪？ 事件A包含的基本事件所构成区域在哪？ 解:设事件A={等待的时间不多于10分钟} 事件A发生的区域为时间段[50,60]
P( A)
等待的时间不多于 分钟时间长度 10 1 10 ＝ 所有在60分钟里醒来的时间长度 60 6
绿 黄
黄
绿 绿 绿 红
(2)他得到100元、50元、20元的购物券的概率分别
是多少？
解:甲顾客购物的钱数在100元到200元之间，可以获 得一次转动转盘的机会,转盘一共等分了20份,其中1 份红色、2份黄色、4份绿色,因此对于顾客来说： P(获得购物券)= 1 2 4 7
20
20
1 P(获得100元购物券)= 20
绿
黄
黄
绿 绿 绿 红
引例
1.如右下图,假设在每个图形上随机撒一粒 芝麻,分别计算它落到阴影部分的概率.
P 1
1
3 P2 8
2.有一杯1升的水,其中含有1个细菌,用一个 小杯从这杯水中取出0.1升,求小杯水中含有 这个细菌的概率. P=0.1
引例
3.任取一根长为3m的绳子,拉直后在任意位 置剪断,求剪得两段的长都不小于1m的概率.